資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第9講　平拋運動
目錄
[基礎過關] 1
平拋運動 1
[命題點研究] 2
命題點一　平拋運動的基本規律 2
命題點二　有約束條件的平拋運動模型 4
命題點三　平拋運動的臨界問題 9
[課時訓練] 12
[考試標準]
知識內容 考試要求 說明
平拋運動 d 1.不要求推導合運動的軌跡方程． 2.不要求計算與平拋運動有關的相遇問題． 3.不要求定量計算有關斜拋運動的問題.
[基礎過關]
平拋運動
1．定義
將一物體水平拋出，物體只在重力作用下的運動．
2．性質
加速度為重力加速度g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線．
3．平拋運動的研究方法
將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，分別研究兩個分運動的規律，必要時再用運動合成的方法進行合成．
4．基本規律
以拋出點為原點，水平方向(初速度v0方向)為x軸，豎直向下方向為y軸，建立平面直角坐標系，則：
(1)水平方向：速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)豎直方向：速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向與水平方向的夾角為θ，則tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向與水平方向的夾角為α，tan α＝＝.
(5)角度關系：tan θ＝2tan α.
[命題點研究]
命題點一　平拋運動的基本規律
1．飛行時間：由t＝知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關．
2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程與初速度v0和下落高度h有關，與其他因素無關．
3．落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度與x軸正方向間的夾角，有tan θ＝＝，即落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關．
4．重要推論：做平拋運動的物體任意時刻瞬時速度方向的反向延長線必通過此時水平位移的中點．
（2022 甲卷）將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝，頻閃儀每隔0.05s發出一次閃光。某次拍攝時，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光，拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像，每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像，所標出的兩個線段的長度s1和s2之比為3：7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空氣阻力。求在拋出瞬間小球速度的大小。
（2021 山東）海鷗捕到外殼堅硬的鳥蛤（貝類動物）后，有時會飛到空中將它丟下，利用地面的沖擊打碎硬殼。一只海鷗叼著質量m＝0.1kg的鳥蛤，在H＝20m的高度、以v0＝15m/s的水平速度飛行時，松開嘴巴讓鳥蛤落到水平地面上。取重力加速度g＝10m/s2，忽略空氣阻力。
（1）若鳥蛤與地面的碰撞時間Δt＝0.005s，彈起速度可忽略，求碰撞過程中鳥蛤受到的平均作用力的大小F；（碰撞過程中不計重力）
（2）在海鷗飛行方向正下方的地面上，有一與地面平齊、長度L＝6m的巖石，以巖石左端為坐標原點，建立如圖所示坐標系。若海鷗水平飛行的高度仍為20m，速度大小在15m/s～17m/s之間，為保證鳥蛤一定能落到巖石上，求釋放鳥蛤位置的x坐標范圍。
（2023 浙江模擬）如圖所示，為運動員跨欄時的訓練圖，若運動員把起跑八步上欄改成七步上欄，從而使起跳時距欄的水平距離增大，若在過欄時的最高點仍在欄的正上方同一高度處，八步上欄動作中運動員雙腳離地時速度與水平方向的夾角為45°，則改成七步上欄時該運動員雙腳離地時（不計空氣阻力）（　　）
A．若速度大小不變，速度與水平方向的夾角一定要增大
B．若速度大小不變，速度與水平方向的夾角可能要減小
C．若速度大小增大，速度與水平方向的夾角一定要增大
D．速度大小必須增大，速度與水平方向的夾角一定要減小
（2021 浙江模擬）如圖所示，水平地面有一個坑，其豎直截面為y＝kx2的拋物線（k＝1，單位為），ab沿水平方向，a點橫坐標為，在a點分別以初速度v0、2v0（v0未知）沿ab方向拋出兩個石子并擊中坑壁，且以v0、2v0拋出的石子做平拋運動的時間相等。設以v0和2v0拋出的石子做平拋運動的時間為t，擊中坑壁瞬間的速度分別為v1和v2，下落高度為H，（僅s和重力加速度g為已知量），則（　　）（選項中只考慮數值大小，不考慮量綱）
A．不可以求出t
B．可求出t大小為
C．可以求出v1大小為
D．可求出H的大小為2s2
（2020 西湖區校級模擬）如圖所示，ab為豎直平面內的半圓環acb的水平直徑，c為環上最低點，環半徑為R，將一個小球從a點以初速度v0沿ab方向拋出，設重力加速度為g，不計空氣阻力，則以下說法錯誤的是（　　）
A．小球的初速度v0越大，碰到圓環時的水平分位移越大
B．當小球的初速度時，碰到圓環時的豎直分速度最大
C．無論v0取何值，小球都不可能垂直撞擊圓環
D．v0取值不同時，小球落在圓環上的速度方向和水平方向之間的夾角可以相同
命題點二　有約束條件的平拋運動模型
模型1　對著豎直墻壁平拋
如圖6所示，水平初速度v0不同時，雖然落點不同，但水平位移d相同，t＝.
（2021秋 寧波期末）小亮同學喜愛打籃球，一次他將籃球從地面上方B點以速度v斜向上拋出，恰好垂直擊中籃板上A點，如圖所示．當他后撤到與B等高的C點投籃，還要求垂直擊中籃板上A點，不計空氣阻力，他應該（　　）
A．增大拋射角θ，同時增大拋出速度v
B．增大拋射角θ，同時減小拋出速度v
C．減小拋射角θ，同時增大拋射速度v
D．減小拋射角θ，同時減小拋射速度v
（2018 余姚市校級模擬）如圖，一演員表演飛刀絕技，由O點先后拋出完全相同的三把飛刀，分別垂直打在豎直木板上M、N、P三點。假設不考慮飛刀的轉動，并可將其看作質點，已知O、M、N、P四點距離水平地面高度分別為h、4h、3h、2h，以下說法正確的是（　　）
A．三把刀在擊中板時動能相同
B．三次飛行時間之比為1：：
C．三次初速度的豎直分量之比為3：2：1
D．設三次拋出飛刀的初速度與水平方向夾角分別為θ1、θ2、θ3，則有θ1＞θ2＞θ3
（2022秋 煙臺期末）疫情防控期間，小明同學在家中對著豎直墻壁打乒乓球，某次在空中A點將球斜向上擊出，球垂直撞在墻上的O點后沿與碰撞前速度相反的方向彈回落地，落地點B正好在發球點A的正下方，如圖所示。不計球的旋轉及空氣阻力，以O點為坐標原點、垂直于墻壁向左為x軸正方向、平行于墻壁向下為y軸正方向建立平面直角坐標系，關于球從A點到剛落到B點的運動過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．球的機械能守恒
B．球在B點時的動能一定大于在A點時的動能
C．過A、B兩點的軌跡的切線與x軸相交于同一點
D．球在B點時的水平速度比在A點時的水平速度大
（2023 邯山區校級二模）如圖甲所示，兩消防員在水平地面A、B兩處使用相同口徑的噴水槍對高樓著火點進行滅火。出水軌跡簡化為如圖乙所示，假設均能垂直擊中豎直樓面上的同一位置點P。不計空氣阻力，則（　　）
A．A處水槍噴出的水在空中運動的時間較長
B．B處水槍噴出的水在空中運動的時間較長
C．A處水槍噴出的水擊中墻面的速度較大
D．B處水槍噴出的水擊中墻面的速度較大
（2022 涪陵區校級二模）如圖所示，某同學進行籃球訓練，將籃球從同一位置斜向上拋出，其中兩次拋出過程中，籃球垂直撞在豎直墻面上，不計空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A．籃球撞墻的速度，第一次較大
B．籃球拋出時的速度，第一次一定比第二次大
C．籃球在空中運動時的加速度，第一次較大
D．籃球從拋出到撞墻，第一次在空中運動的時間較長
模型2　斜面上的平拋問題
1．順著斜面平拋(如圖9)
圖9
方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
2．對著斜面平拋(如圖10)
圖10
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
（2023 蚌埠模擬）如圖所示，小球以速度v0正對傾角為θ的斜面水平拋出，若小球到達斜面的位移最小，則以下說法正確的是（重力加速度為g）（　　）
A．小球在空中的運動時間為
B．小球的水平位移大小為
C．小球的豎直位移大小為
D．由于不知道拋出點位置，位移大小無法求解
（2023 湖南二模）如圖所示，物體在傾角為θ、足夠長的斜面上做平拋運動，最終落在斜面上，從拋出到第一次落到斜面上的過程，下列說法正確的是（　　）
A．物體在空中運動的時間與初速度成正比
B．落到斜面上時、速度方向與水平面的夾角隨初速度的增大而增大
C．拋出點和落點之間的距離與初速度成正比
D．物體在空中運動過程中，離斜面的最遠距離與初速度成正比
（2023 邯山區校級二模）如圖所示，以10m/s的水平初速度v0拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為30°的斜面上，則飛行時間t是（g取10m/s2）（　　）
A． B．2 C． D．
（2023 蚌埠模擬）2022年2月8日，谷愛凌勇奪北京冬奧會自由式滑雪女子大跳臺金牌．如圖是運動員某次訓練時的示意圖，她從跳臺a處沿水平方向飛出，在斜坡b處著陸，如果其在空中運動過程中與斜面間的最大距離為m，斜坡與水平方向的夾角為30°，重力加速度取10m/s則其從a處飛出時的速度大小為（　　）
A．10m/s B．5m/s C．m/s D．m/s
（2023 南京模擬）如圖所示，傾角為α的足夠長斜面，現從斜面上O點與斜面成β角（β＜90°），以速度v0、2v0分別拋出小球P、Q，小球P、Q剛要落在斜面上A、B兩點時的速度分別vP、vQ，設O、A間的距離為s1，O、B間的距離為s2，不計空氣阻力，當β取不同值時下列說法正確的是（　　）
A．vQ一定等于2vP
B．vQ方向與斜面的夾角一定小于vP方向與斜面的夾角
C．P、Q在空中飛行的時間可能相等
D．s2可能大于4s1
命題點三　平拋運動的臨界問題
1．分析平拋運動中的臨界問題時一般運用極限分析的方法，即把要求的物理量設定為極大或極小，讓臨界問題突顯出來，找到臨界的條件．
2．確立臨界狀態的運動軌跡，并畫出軌跡示意圖，畫示意圖可以使抽象的物理情景變得直觀，還可以使一些隱藏于問題深處的條件暴露出來．
（2023春 濰坊期中）如圖所示，球網高出桌面H，網到桌邊的距離為L．某人在乒乓球訓練中，從左側處，將球沿垂直于網的方向水平擊出，球恰好通過網的上沿落到右側桌邊緣．設乒乓球運動為平拋運動．則（　　）
A．乒乓球在左、右兩側運動速度變化量之比為1：1
B．乒乓球在網左右兩側運動時間之比為2：1
C．乒乓球過網時與落到桌邊緣時速率之比為1：3
D．擊球點的高度與網高度之比為9：8
（多選）（2023春 合肥期中）中國的面食文化博大精深，種類繁多，其中“山西刀削面”堪稱天下一絕，傳統的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接將面削到開水鍋里。如圖所示，小面圈（可視為質點）剛被削離時距開水鍋的高度為h，與鍋沿的水平距離為L，鍋的半徑也為L，將削出的小面圈的運動視為平拋運動，且小面圈都落入鍋中，重力加速度為g。則下列關于所有小面圈在空中運動的描述，正確的是（　　）
A．運動的時間都相同
B．速度的變化量都相同
C．若小面圈的初速度為v0，則
D．小面圈落入鍋中時，最大速度是最小速度的3倍
（多選）（2023春 天河區校級期中）如圖所示，乒乓球訓練場上利用乒乓球發球機訓練。發球機位于球臺上一側邊的中點，出球口在球臺上方高度為H處，位于球臺中間的網高為h，球臺尺寸如圖上標注。發球機水平發出的球能過網，且球落在球臺上，重力加速度為g，不計空氣阻力，則發球機水平發出的乒乓球（　　）
A．最大速度為
B．最小速度為
C．落到球臺上時的豎直速度為
D．從拋出到落到球臺上的最大位移為
（2022秋 金華期末）拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動．現討論乒乓球發球問題，設球臺長2L、網高h，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻力。（設重力加速度為g）
（1）若球在球臺邊緣O點正上方高度為h1處以速度v1，水平發出，落在球臺的P1點（如圖實線所示），求P1點距O點的距離x1；
（2）若球在O點正上方以速度v2水平發出，恰好在最高點時越過球網落在球臺的P2（如圖虛線所示），求v2的大小；
（3）若球在O正上方水平發出后，球經反彈恰好越過球網且剛好落在對方球臺邊緣P3，求發球點距O點的高度h3。
（2023春 寧波期中）如圖所示為某物理興趣小組所設計的游戲裝置示意圖。質量m＝0.05kg的小鋼珠（視為質點）用長度L＝0.2m的輕繩拴著在豎直面內繞O做圓周運動。鋼珠運動到A點時輕繩恰好斷開，以vA＝1m/s的速度水平拋出，鋼珠飛出后恰好從B點無碰撞切入一傾角為θ＝45°的斜面上，從C處小圓弧以vC＝2m/s的速度水平拋出，已知拋出點距地面高為h1＝0.45m。若鋼珠在第一次與地面碰撞前恰好掠過高為h2＝0.25m的擋板D，經過一次碰撞又恰好掠過高為h3＝0.4m的擋板E，最后打中位于F處的電燈開關（開關大小不計，可視為點）。若鋼珠與地面發生彈性碰撞時，碰撞前后速度水平分量不變，速度的豎直分量大小不變，方向相反。不計空氣阻力，g取10m/s2。求：
（1）輕繩能夠承受的最大拉力；
（2）A、B兩點的豎直距離；
（3）擋板D以及E距拋出點C可能的水平距離xD、xE。
[課時訓練]
一．選擇題（共10小題）
1．（2023春 西城區校級期中）如圖所示，在排球比賽中如果運動員在近網處沿水平方向扣球，若把扣后排球的運動近似看作質點的平拋運動，則下列四種情況中，排球最有可能出界的是（　　）
A．扣球點較高，扣出時排球的速度較大
B．扣球點較高，扣出時排球的速度較小
C．扣球點較低，扣出時排球的速度較大
D．扣球點較低，扣出時排球的速度較小
2．（2023春 愛民區校級期中）物體以速度v0水平拋出，若不計空氣阻力，則當其豎直分速度與水平分速度相等時，下說法中正確的是（　　）
A．豎直分位移大小等于水平分位移大小
B．即時速度大小為
C．運動的時間為
D．運動的位移大小為
3．（2023春 愛民區校級期中）如圖所示，以v0＝10m/s的速度水平拋出的小球，飛行一段時間，垂直地撞在傾角θ＝30°的斜面上，g＝10m/s2，以下結論中正確的是（　　）
A．物體飛行時間是
B．物體飛行的時間是2s
C．物體下降的距離是10m
D．物體撞擊斜面時的速度大小為10m/s
4．（2023春 杭州月考）某同學在操場練習擲鉛球，第一次以速度v0水平擲出鉛球，第二次以與水平方向成α角斜向上擲出鉛球，結果鉛球都落到了P點。已知鉛球兩次出手時的高度和速度大小均相同，兩次鉛球的水平射程均為x，則下列說法正確的是（　　）
A．鉛球兩次在空中運動的時間一定相同
B．鉛球兩次到達P點時的速度一定相同
C．第一次鉛球在空中運動的時間更短
D．鉛球兩次在空中運動的位移不相同
5．（2023春 浙江期中）如圖所示，在豎直平面內，小球P懸掛在離地h高處，一玩具槍的槍口與小球等高且相距為L。當玩具子彈以水平速度v從槍口向小球射出時，小球恰好由靜止釋放。不計空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．以小球為參考系，子彈在空中做平拋運動
B．以子彈為參考系，小球在空中做勻速直線運動
C．經時間，子彈一定能擊中小球
D．只有滿足，才能使子彈擊中小球
6．（2023春 西湖區校級月考）“跳一跳”小游戲需要操作著控制棋子離開平臺時的速度，使其能跳到旁邊平臺上。如圖所示的拋物線為棋子在某次跳躍過程中的運動軌跡，其最高點離平臺的高度為h，水平速度為v。若質量為m的棋子在運動過程中可視為質點，只受重力作用，重力加速度為g，則（　　）
A．棋子從最高點落到平臺上所需時間
B．若棋子在最高點的速度v變大，則其落到平臺上的時間變短
C．棋子從最高點落到平臺的過程中，棋子的水平位移大小
D．棋子落到平臺上時的速度大小為
7．（2023春 順德區校級月考）如圖所示，固定在水平面上的光滑斜面長a＝5m，寬b＝4m，傾角θ＝30°，一可視為質點的小球從頂端B處水平向左射入，恰好從底端點A處射出，重力加速度g取10m/s2。則下列說法正確的是（　　）
A．小球運動的加速度為10m/s2
B．小球從B運動到A所用時間為2s
C．小球從B點水平射入時的速度為
D．若小球從B點以4m/s的速度水平向左射入，則恰能從底端A點離開斜面
8．（2023春 洛陽月考）如圖所示，某同學對著墻壁練習打乒乓球（視為質點），某次乒乓球與墻壁上的P點碰撞后水平彈離，恰好垂直落在球拍上的Q點。若球拍與水平方向的夾角為45°，乒乓球落到球拍上瞬間的速度大小為4m/s，取重力加速度大小為10m/s2，不計空氣阻力，則P、Q兩點的水平距離為（　　）
A．0.8m B．1.2m C．1.6m D．2m
9．（2023 長安區一模）2021年8月6日，東京奧林匹克女子標槍決賽，中國田徑隊在奧運會上迎來了重大突破，劉詩穎以66.34m的個人賽季最好成績成功奪冠，如圖所示。假設3次投擲，標槍的出手位置和離開手時的速度大小相等、方向略有不同。若標槍在空中僅受重力作用且可看成質點。下列說法正確的是（　　）
A．三次投擲，標槍的水平位移都相等
B．三次投擲，標槍的運動時間都相等
C．如忽略劉詩穎投擲標槍時出手點離地高度，當投擲方向與水平方向等于45°角時水平位移最大
D．如忽略劉詩穎投擲標槍時出手點離地高度，當投擲方向與水平方向等于53°角時水平位移最大
10．（2023春 南京期中）如圖所示，兩人各自用吸管吹黃豆，甲黃豆從吸管末端P點水平射出的同時乙黃豆從另一吸管末端M點斜向上射出，經過一段時間后兩黃豆在N點相遇，曲線1和2分別為甲、乙黃豆的運動軌跡。若M點在P點正下方，M點與N點位于同一水平線上，且PM長度等于MN的長度，不計黃豆的空氣阻力，可將黃豆看成質點，則（　　）
A．乙黃豆相對于M點上升的最大高度為PM長度一半
B．甲黃豆在P點速度與乙黃豆在最高點的速度相等
C．兩黃豆相遇時甲的速度大小為乙的兩倍
D．兩黃豆相遇時甲的速度與水平方向的夾角為乙的兩倍
二．計算題（共4小題）
11．（2023春 合肥期中）某人站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m＝0.3kg的小球，使球在豎直平面內以手為圓心做圓周運動。當球某次運動到最低點時，繩恰好受到所能承受的最大拉力被拉斷，球以繩斷時的速度水平飛出，通過水平距離x＝1m后落地。已知握繩的手離地面高度為H＝1m，手與球之間的繩長為l＝0.25m，重力加速度為g，忽略空氣阻力，則
（1）繩能承受的最大拉力是多少？
（2）保持手的高度不變，改變繩長，使重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時達到最大拉力被拉斷，要使球拋出的水平距離最大，繩長應是多少？最大水平距離是多少？
12．（2023春 杭州期中）如圖所示，高為h、厚度不計的擋板AB豎直放置在水平面上，擋板右邊為傾角α＝37°的斜面。可視為質點的小球從高為2h的桌面上水平飛出。桌面右端和擋板的水平距離為L，重力加速度為g＝10 m/s2，不計空氣阻力和桌面的摩擦力。
（1）若L＝1.2 m，h＝0.3 m，小球飛出后恰好擊中擋板AB的中間，求小球飛出的初速度；
（2）若h＝0.45 m，小球落到A點恰好能沿斜面向下運動，求水平距離L的大小；
（3）若調整L，使小球分別擊中擋板A端和B端時動能相等，求的值。
13．（2023春 萬州區校級期中）如圖1所示為足球球門，球門寬為L。一個球員在球門中心正前方距離球門s處高高躍起，將足球頂入球門的左下方死角（圖中P點），球員頂球點的高度為h，足球做平拋運動（足球可看成質點，忽略空氣阻力），重力加速度為g，求：
（1）足球位移的大小；
（2）足球末速度的大小；
（3）某研學小組”將足球網改造成半圓弧形，前網口在豎直平面上，上下最大高差2R，如圖2所示，尉然同學將足球從前網口正中心垂直網口以速度v0射入，重力加速度為g，當v0取何值時，足球落到球網上的速度最小。
14．（2023春 越秀區期中）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動，當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉。球飛行水平距離d后落地，如圖所示，已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為，重力加速度為g。忽略手的運動半徑和空氣阻力。試求：
（1）球落地時的速度大小v2；
（2）繩子能夠承受的最大拉力為多大；
（3）如果不改變手離地面的高度，改變繩子的長度，使小球重復上述的運動。若繩子仍然在小球運動到最低點時斷掉，要使小球拋出的水平距離最大，則繩子長度l應為多少，小球的最大水平距離x為多少？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
第9講　平拋運動
目錄
[基礎過關] 1
平拋運動 1
[命題點研究] 2
命題點一　平拋運動的基本規律 2
命題點二　有約束條件的平拋運動模型 7
命題點三　平拋運動的臨界問題 16
[課時訓練] 21
[考試標準]
知識內容 考試要求 說明
平拋運動 d 1.不要求推導合運動的軌跡方程． 2.不要求計算與平拋運動有關的相遇問題． 3.不要求定量計算有關斜拋運動的問題.
[基礎過關]
平拋運動
1．定義
將一物體水平拋出，物體只在重力作用下的運動．
2．性質
加速度為重力加速度g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線．
3．平拋運動的研究方法
將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，分別研究兩個分運動的規律，必要時再用運動合成的方法進行合成．
4．基本規律
以拋出點為原點，水平方向(初速度v0方向)為x軸，豎直向下方向為y軸，建立平面直角坐標系，則：
(1)水平方向：速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)豎直方向：速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向與水平方向的夾角為θ，則tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向與水平方向的夾角為α，tan α＝＝.
(5)角度關系：tan θ＝2tan α.
[命題點研究]
命題點一　平拋運動的基本規律
1．飛行時間：由t＝知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關．
2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程與初速度v0和下落高度h有關，與其他因素無關．
3．落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度與x軸正方向間的夾角，有tan θ＝＝，即落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關．
4．重要推論：做平拋運動的物體任意時刻瞬時速度方向的反向延長線必通過此時水平位移的中點．
（2022 甲卷）將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝，頻閃儀每隔0.05s發出一次閃光。某次拍攝時，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光，拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像，每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像，所標出的兩個線段的長度s1和s2之比為3：7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空氣阻力。求在拋出瞬間小球速度的大小。
【解答】解：因為每相鄰兩個小球之間被刪去了3個影像，所以每相鄰兩個小球之間有4次閃光間隔，即相鄰兩個小球之間的時間為：
t＝4×0.05s＝0.2s
因為第一個小球為拋出點，所以第一段運動對應的豎直位移大小為：
第二段運動對應的豎直位移大小為：
0.6m
設小球拋出時的初速度大小為v，則s1可以表示為：
同理s2可以表示為：
因為s1：s2＝3：7，聯立解得：
v
答：拋出瞬間小球的速度大小為。
（2021 山東）海鷗捕到外殼堅硬的鳥蛤（貝類動物）后，有時會飛到空中將它丟下，利用地面的沖擊打碎硬殼。一只海鷗叼著質量m＝0.1kg的鳥蛤，在H＝20m的高度、以v0＝15m/s的水平速度飛行時，松開嘴巴讓鳥蛤落到水平地面上。取重力加速度g＝10m/s2，忽略空氣阻力。
（1）若鳥蛤與地面的碰撞時間Δt＝0.005s，彈起速度可忽略，求碰撞過程中鳥蛤受到的平均作用力的大小F；（碰撞過程中不計重力）
（2）在海鷗飛行方向正下方的地面上，有一與地面平齊、長度L＝6m的巖石，以巖石左端為坐標原點，建立如圖所示坐標系。若海鷗水平飛行的高度仍為20m，速度大小在15m/s～17m/s之間，為保證鳥蛤一定能落到巖石上，求釋放鳥蛤位置的x坐標范圍。
【解答】解：（1）設平拋運動的時間為t，鳥蛤落地前瞬間的速度大小為v．豎直方向分速度大小為vy，
根據速度﹣位移關系可得：2gH，解得：vy＝20m/s
根據運動的合成與分解得：，解得：v＝25m/s
在碰撞過程中，以鳥蛤為研究對象，取速度v的方向為正方向，由動量定理得：﹣FΔt＝0﹣mv
解得：F＝500N；
（2）若釋放鳥蛤的初速度為v1＝15m/s，設擊中巖石左端時，釋放點的坐標為x1，擊中右端時，釋放點的x坐標為x2，
鳥蛤下落的時間為t，則有：H，解得：t＝2s
根據平拋運動的規律可得：x1＝v1t＝15×2m＝30m
根據幾何關系可得：x2＝x1+L＝30m+6m＝36m
若釋放鳥蛤時的初速度為v2＝17m/s，設擊中巖石左端時，釋放點的x坐標為x1′，擊中右端時，釋放點的x坐標為x2′，
根據平拋運動的規律可得x1′＝v2t＝17×2m＝34m
根據幾何關系可得：x2′＝x1′+L＝34m+6m＝40m
綜上得x坐標交集的區間為（34m，36m）。
答：（1）碰撞過程中鳥蛤受到的平均作用力的大小為500N；
（2）為保證鳥蛤一定能落到巖石上，釋放鳥蛤位置的x坐標范圍為（34m，36m）。
（2023 浙江模擬）如圖所示，為運動員跨欄時的訓練圖，若運動員把起跑八步上欄改成七步上欄，從而使起跳時距欄的水平距離增大，若在過欄時的最高點仍在欄的正上方同一高度處，八步上欄動作中運動員雙腳離地時速度與水平方向的夾角為45°，則改成七步上欄時該運動員雙腳離地時（不計空氣阻力）（　　）
A．若速度大小不變，速度與水平方向的夾角一定要增大
B．若速度大小不變，速度與水平方向的夾角可能要減小
C．若速度大小增大，速度與水平方向的夾角一定要增大
D．速度大小必須增大，速度與水平方向的夾角一定要減小
【解答】解：A．運動員雙腳離地，做斜上拋運動，將運動分解到水平方向和豎直方向，水平方向做勻速直線運動，豎直方向豎直上拋運動，因豎直方向位移不變，由，每一步時間不變；由，豎直方向初速度不變。八步上欄改成七步上欄，則每一步水平方向位移增大，由x＝vxt，水平方向分速度需要增大，若速度大小不變，速度與水平方向的夾角增大，則豎直方向分速度增大，水平方向分速度減小，故A錯誤；
B．速度大小不變，速度與水平方向夾角減小，則豎直方向分速度減小，水平方向分速度增大，而題目中豎直方向分速度不變，故B錯誤；
C．速度大小增大，速度與水平方向夾角一定增大，則豎直方向分速度增大，而題目中豎直方向的速度不變，故C錯誤；
D．速度增大，同時減少速度與水平方向夾角，水平方向速度增大，豎直方向速度可能不變，可以八步上欄改成七步上欄，故D正確。
故選：D。
（2021 浙江模擬）如圖所示，水平地面有一個坑，其豎直截面為y＝kx2的拋物線（k＝1，單位為），ab沿水平方向，a點橫坐標為，在a點分別以初速度v0、2v0（v0未知）沿ab方向拋出兩個石子并擊中坑壁，且以v0、2v0拋出的石子做平拋運動的時間相等。設以v0和2v0拋出的石子做平拋運動的時間為t，擊中坑壁瞬間的速度分別為v1和v2，下落高度為H，（僅s和重力加速度g為已知量），則（　　）（選項中只考慮數值大小，不考慮量綱）
A．不可以求出t
B．可求出t大小為
C．可以求出v1大小為
D．可求出H的大小為2s2
【解答】解：ABD.由題可知，兩個石子做平拋運動，運動時間一樣，則下落的高度H一樣，又因為落在拋物線上，所示是關于y軸對稱的點上，可得如下關系
可得
v0t＝s
即可分別得出落在坑壁上兩個石子的坐標分別為和，由
y＝kx2
可得初始高度為，在落到坑壁的高度可代入拋物線表達式計算求得為
所以利用高度之差可求得
H＝2s2
平拋運動的運動時間由
H
可求出
t2s
故D正確，AB錯誤；
C.由前面可求出
v0
豎直方向上的速度
vy＝gt＝2s
由運動的合成可得
v
故C錯誤。
故選：D。
（2020 西湖區校級模擬）如圖所示，ab為豎直平面內的半圓環acb的水平直徑，c為環上最低點，環半徑為R，將一個小球從a點以初速度v0沿ab方向拋出，設重力加速度為g，不計空氣阻力，則以下說法錯誤的是（　　）
A．小球的初速度v0越大，碰到圓環時的水平分位移越大
B．當小球的初速度時，碰到圓環時的豎直分速度最大
C．無論v0取何值，小球都不可能垂直撞擊圓環
D．v0取值不同時，小球落在圓環上的速度方向和水平方向之間的夾角可以相同
【解答】解：A、小球的初速度v0越大，落點越靠近b點，即碰到圓環時的水平分位移越大，故A正確；
B、平拋運動豎直方向的分運動是自由落體運動，由hgt2可知，當小球落在c點運動的時間最長，豎直方向的分速度：vy＝gt，可知運動時間越長，豎直方向的分速度越大，所以當小球落在c點時豎直方向的分速度最大，此時水平位移：x＝R＝v0t，運動時間：t，解得：v0＝R，即當小球的初速度時，碰到圓環時的豎直分速度最大，故B正確；
C、假設小球可以垂直撞擊圓環，根據平拋運動的規律可知，速度反向延長線交于水平位移的中點，根據幾何關系可知，O點一定不是水平位移的中點，所以小球撞在圓環上的速度反向延長線不可能通過O點，也就不可能垂直撞擊圓環，故C正確；
D、v0取值不同時，小球落在圓環上的位置不同，一種情況是豎直分速度不同，另一種情況是豎直分速度相同，但水平速度不同，則速度方向和水平方向之間的夾角不相同，故D錯誤。
本題選錯誤的，故選：D。
命題點二　有約束條件的平拋運動模型
模型1　對著豎直墻壁平拋
如圖6所示，水平初速度v0不同時，雖然落點不同，但水平位移d相同，t＝.
（2021秋 寧波期末）小亮同學喜愛打籃球，一次他將籃球從地面上方B點以速度v斜向上拋出，恰好垂直擊中籃板上A點，如圖所示．當他后撤到與B等高的C點投籃，還要求垂直擊中籃板上A點，不計空氣阻力，他應該（　　）
A．增大拋射角θ，同時增大拋出速度v
B．增大拋射角θ，同時減小拋出速度v
C．減小拋射角θ，同時增大拋射速度v
D．減小拋射角θ，同時減小拋射速度v
【解答】解：如圖所示，正交分解初速度v
由豎直上拋規律可知，到最高點速度為0，即vy＝gt，所以vy決定時間，改在C點投籃時，因為豎直位移不變，所以豎直分速度不變，時間不變，但是水平位移變大，由x＝vxt可知，vx變大，合成之后合速度變大，與水平方向的夾角變小。故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2018 余姚市校級模擬）如圖，一演員表演飛刀絕技，由O點先后拋出完全相同的三把飛刀，分別垂直打在豎直木板上M、N、P三點。假設不考慮飛刀的轉動，并可將其看作質點，已知O、M、N、P四點距離水平地面高度分別為h、4h、3h、2h，以下說法正確的是（　　）
A．三把刀在擊中板時動能相同
B．三次飛行時間之比為1：：
C．三次初速度的豎直分量之比為3：2：1
D．設三次拋出飛刀的初速度與水平方向夾角分別為θ1、θ2、θ3，則有θ1＞θ2＞θ3
【解答】解；A、將飛刀的運動逆過來看成是一種平拋運動，三把刀在擊中板時的速度大小即為平拋運動的初速度大小，運動時間為t，初速度為v0x，由圖看出，三把刀飛行的高度不同，運動時間不同，水平位移大小相等，由平拋運動的初速度大小不等，即打在木板上的速度大小不等，故三把刀在擊中板時動能不同。故A錯誤。
B、豎直方向上逆過來看作自由落體運動，運動時間為t，則得三次飛行時間之比為：：：故B錯誤。
C、三次初速度的豎直分量等于平拋運動下落的速度豎直分量，由vy＝gt，則得它們之比為：故C錯誤。
D、設任一飛刀拋出的初速度與水平方向夾角分別為θ，則tanθ，則得，θ1＞θ2＞θ故D正確。
故選：D。
（2022秋 煙臺期末）疫情防控期間，小明同學在家中對著豎直墻壁打乒乓球，某次在空中A點將球斜向上擊出，球垂直撞在墻上的O點后沿與碰撞前速度相反的方向彈回落地，落地點B正好在發球點A的正下方，如圖所示。不計球的旋轉及空氣阻力，以O點為坐標原點、垂直于墻壁向左為x軸正方向、平行于墻壁向下為y軸正方向建立平面直角坐標系，關于球從A點到剛落到B點的運動過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．球的機械能守恒
B．球在B點時的動能一定大于在A點時的動能
C．過A、B兩點的軌跡的切線與x軸相交于同一點
D．球在B點時的水平速度比在A點時的水平速度大
【解答】解：A．從A到O點，逆向看為平拋運動，從O到B點為平拋運動，水平位移相同，反彈回時下落的高度大，運動的時間長，可知反彈回的初速度比撞擊墻時的速度小，故碰撞時有機械能損失，故A錯誤；
B．反彈時球的速度大于撞擊O點時的速度，即反彈后的水平分速度小于拋出時的水平分速度，下落到B的高度大于AO的高度差，故落到B點時豎直方向的分速度大于拋出時的豎直方向的分速度，根據速度的合成規律，小球在A、B兩點的速度大小關系不確定，故動能關系不確定，故B錯誤；
C．根據平拋運動的推論，速度的反向延長線過水平位移的中點，兩軌跡的水平位移相同，故A、B兩點的軌跡的切線與x軸相交于同一點，故C正確；
D．球在B點時的水平速度比在A點時的水平速度小，故D錯誤。
故選：C。
（2023 邯山區校級二模）如圖甲所示，兩消防員在水平地面A、B兩處使用相同口徑的噴水槍對高樓著火點進行滅火。出水軌跡簡化為如圖乙所示，假設均能垂直擊中豎直樓面上的同一位置點P。不計空氣阻力，則（　　）
A．A處水槍噴出的水在空中運動的時間較長
B．B處水槍噴出的水在空中運動的時間較長
C．A處水槍噴出的水擊中墻面的速度較大
D．B處水槍噴出的水擊中墻面的速度較大
【解答】解：AB．利用逆向思維，水從拋出點拋出到垂直擊中P點的過程可以看成水從P點做平拋運動，根據，可得，高度h相等，所以從拋出到擊中墻壁的時間相等，故AB錯誤；
CD．根據x＝v0t，時間t相等，可知水平方向位移大的則水平方向的速度大，水擊中墻面的速度即為水平方向的速度，由圖可知，A處水槍噴出的水，水平方向的位移大，所以A處水槍噴出的水擊中墻面的速度較大，故C正確，D錯誤。
故選：C。
（2022 涪陵區校級二模）如圖所示，某同學進行籃球訓練，將籃球從同一位置斜向上拋出，其中兩次拋出過程中，籃球垂直撞在豎直墻面上，不計空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A．籃球撞墻的速度，第一次較大
B．籃球拋出時的速度，第一次一定比第二次大
C．籃球在空中運動時的加速度，第一次較大
D．籃球從拋出到撞墻，第一次在空中運動的時間較長
【解答】解：C、不計空氣阻力，籃球只受重力，所以加速度均為重力加速度，相同，故C錯誤；
D、在兩次運動中，籃球被拋出后的運動可以看作是平拋運動的逆反運動，由于兩次籃球垂直撞在豎直墻面上，在豎直方向由，得t，由題知h1＞h2，可得籃球從拋出到撞墻的時間t1＞t2，故D正確；
A、但是兩球的水平位移相同，根據x＝vxt，可知籃球撞墻的速度，v1＜v2，故A錯誤；
B．根據平行四邊形定則知，拋出時的速度
第一次的水平初速度小，上升的高度大，則無法比較拋出時的速度大小，故B錯誤。
故選：D。
模型2　斜面上的平拋問題
1．順著斜面平拋(如圖9)
圖9
方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
2．對著斜面平拋(如圖10)
圖10
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
（2023 蚌埠模擬）如圖所示，小球以速度v0正對傾角為θ的斜面水平拋出，若小球到達斜面的位移最小，則以下說法正確的是（重力加速度為g）（　　）
A．小球在空中的運動時間為
B．小球的水平位移大小為
C．小球的豎直位移大小為
D．由于不知道拋出點位置，位移大小無法求解
【解答】解：A．如圖所示，過拋出點作斜面的垂線與斜面交于B點，由幾何關系可知，當小球落在斜面上的B點時，位移最小，設運動的時間為t，則水平方向有x＝v0t，豎直方向有，根據幾何關系有，聯立解得，故A錯誤；
B．水平位移x＝vt，結合A分析可知，小球的水平位移大小為，故B正確；
C．由A中分析，由可知，豎直位移的大小為，故C錯誤；
D．根據幾何關系可知，總位移的大小為，解得，故D錯誤。
故選：B。
（2023 湖南二模）如圖所示，物體在傾角為θ、足夠長的斜面上做平拋運動，最終落在斜面上，從拋出到第一次落到斜面上的過程，下列說法正確的是（　　）
A．物體在空中運動的時間與初速度成正比
B．落到斜面上時、速度方向與水平面的夾角隨初速度的增大而增大
C．拋出點和落點之間的距離與初速度成正比
D．物體在空中運動過程中，離斜面的最遠距離與初速度成正比
【解答】解：A、物體在傾角為θ、足夠長的斜面上做平拋運動，最終落在斜面上，則位移與水平面之間的夾角為θ，這個合位移可以分解為豎直方向的位移y以及水平方向的位移x，設初速度為v0，則有tanθ，解得t，由于θ值以及g值一定，所以物體在空中運動的時間與初速度成正比，故A正確；
B、落到斜面上時，設速度方向與水平面的夾角為α，tanα，把t值代入得，tanα＝2tanθ，由于θ值一定，α也一定，與初速度無關，故B錯誤；
C、拋出點和落點之間的距離即合位移大小，設為l，l，把t值代入得l，拋出點和落點之間的距離與初速度的平方成正比錯誤，而不是和初速度成正比，故C錯誤；
D、可以把初速度和重力加速度分解來求解物體在空中運動過程中離斜面的最遠距離，v0分解為垂直于斜面的速度v1和沿著斜面的速度v2，其中v1＝v0sinθ，重力加速度分解為垂直斜面的加速度g1和沿著斜面的加速度g2，其中g1＝gcosθ，在垂直斜面方向上速度減為0距離斜面最遠，設最遠距離為d，d，物體在空中運動過程中離斜面的最遠距離與初速度平方成正比，故D錯誤。
故選：A。
（2023 邯山區校級二模）如圖所示，以10m/s的水平初速度v0拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為30°的斜面上，則飛行時間t是（g取10m/s2）（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：物體做平拋運動，當垂直地撞在傾角為30°的斜面上時，把物體的速度分解如圖所示，
由圖可知，此時物體的豎直方向上的速度的大小為
vy
由vy＝gt可得，運動的時間為：
。故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2023 蚌埠模擬）2022年2月8日，谷愛凌勇奪北京冬奧會自由式滑雪女子大跳臺金牌．如圖是運動員某次訓練時的示意圖，她從跳臺a處沿水平方向飛出，在斜坡b處著陸，如果其在空中運動過程中與斜面間的最大距離為m，斜坡與水平方向的夾角為30°，重力加速度取10m/s則其從a處飛出時的速度大小為（　　）
A．10m/s B．5m/s C．m/s D．m/s
【解答】解：將在a處的速度分解為垂直斜面和沿斜面方向的速度，則沿垂直斜面方向當到達距離斜面最大高度時，根據速度—位移公式可得：
解得：，故A正確，BCD錯誤；
故選：A。
（2023 南京模擬）如圖所示，傾角為α的足夠長斜面，現從斜面上O點與斜面成β角（β＜90°），以速度v0、2v0分別拋出小球P、Q，小球P、Q剛要落在斜面上A、B兩點時的速度分別vP、vQ，設O、A間的距離為s1，O、B間的距離為s2，不計空氣阻力，當β取不同值時下列說法正確的是（　　）
A．vQ一定等于2vP
B．vQ方向與斜面的夾角一定小于vP方向與斜面的夾角
C．P、Q在空中飛行的時間可能相等
D．s2可能大于4s1
【解答】解：沿斜面x軸，垂直于斜面y軸，分解初速度和加速度大小分別為：v0x＝v0cosβ，v0y＝v0sinβ，ax＝gsinα，ay＝gcosα，
沿斜面和垂直于斜面，沿斜面是勻加速直線運動，垂直于斜面方向是類豎直上拋運動。
A、運動對稱性知，落回斜面時垂直于斜面的速度大小vy＝v0y，vx＝v0x+axt，，
則落回斜面的速度為，，故A正確；
B、運動對稱性知，vQ方向與斜面的夾角一定等于vP方向與斜面的夾角均為β，故B錯誤；
C、空中飛行時間為，，故C錯誤；
D、沿斜面發生的位移是：，其中tQ＝2tP，vQ0x＝2vp0x，所以s2等于4s1，故D錯誤。
故選：A。
命題點三　平拋運動的臨界問題
1．分析平拋運動中的臨界問題時一般運用極限分析的方法，即把要求的物理量設定為極大或極小，讓臨界問題突顯出來，找到臨界的條件．
2．確立臨界狀態的運動軌跡，并畫出軌跡示意圖，畫示意圖可以使抽象的物理情景變得直觀，還可以使一些隱藏于問題深處的條件暴露出來．
（2023春 濰坊期中）如圖所示，球網高出桌面H，網到桌邊的距離為L．某人在乒乓球訓練中，從左側處，將球沿垂直于網的方向水平擊出，球恰好通過網的上沿落到右側桌邊緣．設乒乓球運動為平拋運動．則（　　）
A．乒乓球在左、右兩側運動速度變化量之比為1：1
B．乒乓球在網左右兩側運動時間之比為2：1
C．乒乓球過網時與落到桌邊緣時速率之比為1：3
D．擊球點的高度與網高度之比為9：8
【解答】解：AB、乒乓球做的是平拋運動，水平方向做勻速運動，網左側的水平位移與右側水平位移之比是1：2，由x＝v0t知，乒乓球在網左右兩側運動時間之比為1：2，根據Δv＝gt，可得乒乓球在左、右兩側運動速度變化量之比為1：2；故AB錯誤；
C、球恰好通過網的上沿的時間為落到右側桌邊緣的時間的，豎直方向做自由落體運動，根據vy＝gt可知，球恰好通過網的上沿的豎直分速度與落到右側桌邊緣的豎直分速度之比為1：3，根據v可知，乒乓球過網時與落到桌邊緣時速率之比不是1：3，故C錯誤；
D、網右側運動時間是左側的兩倍，球在豎直方向做自由落體運動，根據h可得：t，在網左側下落的高度和整個高度之比為1：9，所以擊球點的高度與網高之比為9：8，故D正確；
故選：D。
（多選）（2023春 合肥期中）中國的面食文化博大精深，種類繁多，其中“山西刀削面”堪稱天下一絕，傳統的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接將面削到開水鍋里。如圖所示，小面圈（可視為質點）剛被削離時距開水鍋的高度為h，與鍋沿的水平距離為L，鍋的半徑也為L，將削出的小面圈的運動視為平拋運動，且小面圈都落入鍋中，重力加速度為g。則下列關于所有小面圈在空中運動的描述，正確的是（　　）
A．運動的時間都相同
B．速度的變化量都相同
C．若小面圈的初速度為v0，則
D．小面圈落入鍋中時，最大速度是最小速度的3倍
【解答】解：A、小面圈做平拋運動，每片小面圈做平拋運動的高度相同，由hgt2得，t
則運動的時間都相同，A正確；
B、由A可知，小面圈下落時間相等，根據Δv＝gt得，速度變化量都相同，故B正確；
C、小面圈水平方向做勻速直線運動，落入鍋中的最大水平位移為xmax＝3L
則最大水平速度3L
最小水平位移為xmin＝L
則最小水平速度L
即小面圈的初速度
故C正確；
D、小面圈落入鍋中的速度為
其中
則最大速度不是最小速度的3倍，故D錯誤。
故選：ABC。
（多選）（2023春 天河區校級期中）如圖所示，乒乓球訓練場上利用乒乓球發球機訓練。發球機位于球臺上一側邊的中點，出球口在球臺上方高度為H處，位于球臺中間的網高為h，球臺尺寸如圖上標注。發球機水平發出的球能過網，且球落在球臺上，重力加速度為g，不計空氣阻力，則發球機水平發出的乒乓球（　　）
A．最大速度為
B．最小速度為
C．落到球臺上時的豎直速度為
D．從拋出到落到球臺上的最大位移為
【解答】解：A、要使乒乓球能落到對方的球臺上，發球機發出的乒乓球速度最大時，球恰好到達對方球臺的邊緣，球做平拋運動，豎直方向：
水平方向：v1t1
聯立解得：v1
故A錯誤；
B、當乒乓球恰好過網時，速度最小，豎直方向：
水平方向：L1＝v2t2
聯立解得：
故B正確；
C、乒乓球在豎直方向上做自由落體運動，由勻變速直線運動位移—速度公式得，落到球臺上時的豎直分速度為
故C正確；
D、乒乓球恰好到達對方球臺的邊角時，從拋出到落到球臺上的位移最大，最大位移為
故D正確。
故選：BCD。
（2022秋 金華期末）拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動．現討論乒乓球發球問題，設球臺長2L、網高h，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻力。（設重力加速度為g）
（1）若球在球臺邊緣O點正上方高度為h1處以速度v1，水平發出，落在球臺的P1點（如圖實線所示），求P1點距O點的距離x1；
（2）若球在O點正上方以速度v2水平發出，恰好在最高點時越過球網落在球臺的P2（如圖虛線所示），求v2的大小；
（3）若球在O正上方水平發出后，球經反彈恰好越過球網且剛好落在對方球臺邊緣P3，求發球點距O點的高度h3。
【解答】解：（1）設發球時飛行時間為t1，根據平拋運動有，x1＝v1t1
解得：
（2）設發球高度為h2，飛行時間為t2，同理有：
，x2＝v2t2
且h2＝h
2x2＝L
得：
（3）設球從恰好越過球網到最高點的時間為t，水平距離為s，根據拋體運動的特點及反彈的對稱性，知反彈到最高點的水平位移為．則反彈到越過球網的水平位移為，則圖中的s．在水平方向上做勻速直線運動，所以從越過球網到最高點所用的時間和從反彈到最高點的時間比為1：
對反彈到最高點的運動采取逆向思維，根據水平方向上的運動和豎直方向上的運動具有等時性，知越過球網到最高點豎直方向上的時間和反彈到最高點在豎直方向上的時間比為1：根據h得，知越過球網到最高點豎直方向上的位移和反彈到最高點的位移為1：4，即，解得．
答：（1）P1點距O點的距離為．
（2）v2的大小為．
（3）發球點距O點的高度h3為．
（2023春 寧波期中）如圖所示為某物理興趣小組所設計的游戲裝置示意圖。質量m＝0.05kg的小鋼珠（視為質點）用長度L＝0.2m的輕繩拴著在豎直面內繞O做圓周運動。鋼珠運動到A點時輕繩恰好斷開，以vA＝1m/s的速度水平拋出，鋼珠飛出后恰好從B點無碰撞切入一傾角為θ＝45°的斜面上，從C處小圓弧以vC＝2m/s的速度水平拋出，已知拋出點距地面高為h1＝0.45m。若鋼珠在第一次與地面碰撞前恰好掠過高為h2＝0.25m的擋板D，經過一次碰撞又恰好掠過高為h3＝0.4m的擋板E，最后打中位于F處的電燈開關（開關大小不計，可視為點）。若鋼珠與地面發生彈性碰撞時，碰撞前后速度水平分量不變，速度的豎直分量大小不變，方向相反。不計空氣阻力，g取10m/s2。求：
（1）輕繩能夠承受的最大拉力；
（2）A、B兩點的豎直距離；
（3）擋板D以及E距拋出點C可能的水平距離xD、xE。
【解答】解：（1）對A點受力分析得：
代入數據得到：F＝0.75N
（2）從A→B，小鋼珠做平拋運動，根據題意由B點的速度方向：vy＝vA＝1m/s
據豎直方向的速度—位移關系，代入數據可得：h＝0.05m
（3）從C→D小鋼珠做平拋運動：
代入數據得：t1＝0.2s
則有xD＝vCt1＝2×0.2m＝0.4m
從C→落地：，所以求得：t2＝0.3s
當小球落地：vy＝gt2＝10×0.3m/s＝3m/s，x＝vct2＝2×0.3m＝0.6m
反彈后，在豎直方向上有：
解得：t3＝0.2s，t4＝0.4s
當t3＝0.2s時xE1＝x+vct3＝0.6m+2×0.2m＝1.0m
當t4＝0.4s時xE2＝x+vct4＝0.6m+2×0.4＝m1.4m
答：（1）輕繩能夠承受的最大拉力為0.75N；
（2）A、B兩點的豎直距離為0.05m；
（3）擋板D以及E距拋出點C可能的水平距離xD、xE分別為0.4m、1m或1.4m。
[課時訓練]
一．選擇題（共10小題）
1．（2023春 西城區校級期中）如圖所示，在排球比賽中如果運動員在近網處沿水平方向扣球，若把扣后排球的運動近似看作質點的平拋運動，則下列四種情況中，排球最有可能出界的是（　　）
A．扣球點較高，扣出時排球的速度較大
B．扣球點較高，扣出時排球的速度較小
C．扣球點較低，扣出時排球的速度較大
D．扣球點較低，扣出時排球的速度較小
【解答】解：排球的運動近似看作質點的平拋運動，水平方向做勻速直線運動，有：x＝v0t
豎直方向做自由落體運動，有：y
聯立解得：x
可知扣球點較高，扣出時排球的速度較大時，排球的水平位移最大，最有可能出界，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
2．（2023春 愛民區校級期中）物體以速度v0水平拋出，若不計空氣阻力，則當其豎直分速度與水平分速度相等時，下說法中正確的是（　　）
A．豎直分位移大小等于水平分位移大小
B．即時速度大小為
C．運動的時間為
D．運動的位移大小為
【解答】解：AC．由題可知，物體做平拋運動，
又由題可知，豎直方向分速度與水平方向分速度相等，則vy＝v0＝gt
即可解得物體運動的時間為：
則物體的水平方向分位移大小為：
物體的豎直分位移：
可知水平方向分位移和豎直方向分位移不相等，故A錯誤，C正確；
B．根據平行四邊形定則，可求瞬時速度的大小：，故B錯誤；
D．由上已求得物體水平方向和豎直方向的分位移，則根據平行四邊形定則可得運動的位移大小為：，故D錯誤；
故選：C。
3．（2023春 愛民區校級期中）如圖所示，以v0＝10m/s的速度水平拋出的小球，飛行一段時間，垂直地撞在傾角θ＝30°的斜面上，g＝10m/s2，以下結論中正確的是（　　）
A．物體飛行時間是
B．物體飛行的時間是2s
C．物體下降的距離是10m
D．物體撞擊斜面時的速度大小為10m/s
【解答】解：AB．根據題意可知，小球垂直撞在斜面上，小球的速度方向如圖所示：
由幾何關系可知，速度與水平方向的夾角為：
根據平拋運動規律，水平方向上有：vx＝v0＝10m/s
豎直方向上有：vy＝gt
又有：
整理得：
解得：，故A正確，B錯誤；
D．則物體的豎直分速度為：
則物體撞擊斜面時的速度大小為：，故D錯誤；
C．根據公式，代入數據可得物體下降的距離是：，故C錯誤。
故選：A。
4．（2023春 杭州月考）某同學在操場練習擲鉛球，第一次以速度v0水平擲出鉛球，第二次以與水平方向成α角斜向上擲出鉛球，結果鉛球都落到了P點。已知鉛球兩次出手時的高度和速度大小均相同，兩次鉛球的水平射程均為x，則下列說法正確的是（　　）
A．鉛球兩次在空中運動的時間一定相同
B．鉛球兩次到達P點時的速度一定相同
C．第一次鉛球在空中運動的時間更短
D．鉛球兩次在空中運動的位移不相同
【解答】解：AC．第一次鉛球在豎直方向做自由落體運動，第二次鉛球在豎直方向做豎直上拋運動，由于高度相同，第二次鉛球在空中運動的時間大于第一次鉛球在空中運動的時間，故A錯誤，C正確；
B．拋出時的初動能相同，兩次重力對鉛球做的功相同，則鉛球兩次到達P點時的動能相同，鉛球兩次到達P點時的速度大小相等，但速度方向不相同，故B錯誤；
D．由于兩次鉛球的初末位置相同，所以鉛球兩次在空中運動的位移相同，故D錯誤。
故選：C。
5．（2023春 浙江期中）如圖所示，在豎直平面內，小球P懸掛在離地h高處，一玩具槍的槍口與小球等高且相距為L。當玩具子彈以水平速度v從槍口向小球射出時，小球恰好由靜止釋放。不計空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．以小球為參考系，子彈在空中做平拋運動
B．以子彈為參考系，小球在空中做勻速直線運動
C．經時間，子彈一定能擊中小球
D．只有滿足，才能使子彈擊中小球
【解答】解：AB、小球做自由落體運動，子彈做平拋運動，豎直方向上小球和子彈均做自由落體運動，以小球為參考系，則子彈在空中做勻速直線運動，同理，以子彈為參考系，小球在空中做勻速直線運動，故A錯誤，B正確；
CD、子彈水平方向做勻速直線運動，設小球落地前，子彈能打中小球，水平方向有：L＝vt
解得：t
豎直方向，小球落到地面時有：
解得：
則當時，才能使子彈擊中小球，故CD錯誤。
故選：B。
6．（2023春 西湖區校級月考）“跳一跳”小游戲需要操作著控制棋子離開平臺時的速度，使其能跳到旁邊平臺上。如圖所示的拋物線為棋子在某次跳躍過程中的運動軌跡，其最高點離平臺的高度為h，水平速度為v。若質量為m的棋子在運動過程中可視為質點，只受重力作用，重力加速度為g，則（　　）
A．棋子從最高點落到平臺上所需時間
B．若棋子在最高點的速度v變大，則其落到平臺上的時間變短
C．棋子從最高點落到平臺的過程中，棋子的水平位移大小
D．棋子落到平臺上時的速度大小為
【解答】解：A、棋子從最高點落到平臺上為平拋運動，豎直方向為自由落體運動，有hgt2，得t，故A錯誤；
B、棋子在最高點的速度v為平拋運動的水平初速度，由t知，落地時間只和高度有關，和水平速度無關，故B錯誤；
C、棋子從最高點落到平臺的過程中，棋子的水平位移大小x＝vt＝v，故C正確；
D、棋子從最高點落到平臺的過程中，機械能守恒，有mghmv2，得落到平臺上時的速度大小為v1，故D錯誤。
故選：C。
7．（2023春 順德區校級月考）如圖所示，固定在水平面上的光滑斜面長a＝5m，寬b＝4m，傾角θ＝30°，一可視為質點的小球從頂端B處水平向左射入，恰好從底端點A處射出，重力加速度g取10m/s2。則下列說法正確的是（　　）
A．小球運動的加速度為10m/s2
B．小球從B運動到A所用時間為2s
C．小球從B點水平射入時的速度為
D．若小球從B點以4m/s的速度水平向左射入，則恰能從底端A點離開斜面
【解答】解：A、依據曲線條件，初速度與合力方向垂直，且合力大小恒定，則物體做勻變速曲線運動，
再根據牛頓第二定律得，物體的加速度為：g′gsinθ＝10m/s2＝5m/s2，故A錯誤；
BC、根據ag′t2，有：tss
根據s＝v0t，有：
v0m/s＝2m/s，故B錯誤，C正確；
D．若小球從B點以4m/s的速度水平向左射入，因水平位移不變，則下落的時間會減小，則不能從底端A點離開斜面，故D錯誤；
故選：C。
8．（2023春 洛陽月考）如圖所示，某同學對著墻壁練習打乒乓球（視為質點），某次乒乓球與墻壁上的P點碰撞后水平彈離，恰好垂直落在球拍上的Q點。若球拍與水平方向的夾角為45°，乒乓球落到球拍上瞬間的速度大小為4m/s，取重力加速度大小為10m/s2，不計空氣阻力，則P、Q兩點的水平距離為（　　）
A．0.8m B．1.2m C．1.6m D．2m
【解答】解：乒乓球做平拋運動，已知乒乓球落到球拍上瞬間的速度大小為v＝4m/s，則乒乓球落到球拍上瞬間的豎直分速度大小為vy＝vcos45°
設乒乓球運動的時間為t，則有vy＝gt
水平分速度大小為vx＝vsin45°
P、Q兩點的水平距離為x＝vxt，聯立解得x＝0.8m，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
9．（2023 長安區一模）2021年8月6日，東京奧林匹克女子標槍決賽，中國田徑隊在奧運會上迎來了重大突破，劉詩穎以66.34m的個人賽季最好成績成功奪冠，如圖所示。假設3次投擲，標槍的出手位置和離開手時的速度大小相等、方向略有不同。若標槍在空中僅受重力作用且可看成質點。下列說法正確的是（　　）
A．三次投擲，標槍的水平位移都相等
B．三次投擲，標槍的運動時間都相等
C．如忽略劉詩穎投擲標槍時出手點離地高度，當投擲方向與水平方向等于45°角時水平位移最大
D．如忽略劉詩穎投擲標槍時出手點離地高度，當投擲方向與水平方向等于53°角時水平位移最大
【解答】解：AB、設標槍出手的初速度大小為v0，方向與水平方向的夾角為α，出手位置離地高度為h。標槍在空中做斜拋運動，在豎直方向上做豎直上拋運動，取豎直向上為正方向，則有
﹣h＝（v0sinα）t
h、v0相等，α不同，則知運動時間不等，由
x＝（v0cosα）t
知標槍的水平位移不等，故AB錯誤；
CD、如忽略劉詩穎投擲標槍時出手點離地高度，則
（v0sinα）t0
整理解得
t
標槍的水平位移
x＝（v0cosα）t
當α＝45°，sin2α最大，x最大，即當投擲方向與水平方向等于45度角時水平位移最大，故C正確，D錯誤。
故選：C。
10．（2023春 南京期中）如圖所示，兩人各自用吸管吹黃豆，甲黃豆從吸管末端P點水平射出的同時乙黃豆從另一吸管末端M點斜向上射出，經過一段時間后兩黃豆在N點相遇，曲線1和2分別為甲、乙黃豆的運動軌跡。若M點在P點正下方，M點與N點位于同一水平線上，且PM長度等于MN的長度，不計黃豆的空氣阻力，可將黃豆看成質點，則（　　）
A．乙黃豆相對于M點上升的最大高度為PM長度一半
B．甲黃豆在P點速度與乙黃豆在最高點的速度相等
C．兩黃豆相遇時甲的速度大小為乙的兩倍
D．兩黃豆相遇時甲的速度與水平方向的夾角為乙的兩倍
【解答】解：A．由題意知，甲乙兩黃豆運動時間相同，設運動時間均為t，設PM＝MN＝L
對甲黃豆，豎直方向有
對乙黃豆，從M點運動至最高點過程中，由對稱性可知運動時間為，由逆向思維可知上升最大高度為
所以乙黃豆相對于M點上升的最大高度為PM長度的，故A錯誤；
B．設甲黃豆在P點的速度為v1，乙黃豆到達最高點的速度為v2x
對甲黃豆，水平方向有L＝v1t
對乙黃豆，水平方向有L＝v2xt
聯立解得v1＝v2x
即甲黃豆在P點速度與乙黃豆在最高點的速度相等，故B正確；
C．設甲黃豆到N點時豎直方向速度為v1y，則有2gL，解得
又有L＝v1t
Lgt2
聯立解得v1
則甲黃豆到N點時速度大小為v甲
設乙黃豆在N點的豎直分速度為v2y，則有2gh＝2g，解得v2y
則乙黃豆到N點時速度大小為v乙
則
故C錯誤；
D．兩黃豆相遇時，甲的速度與水平方向的夾角的正切值為tanα12
乙的速度與水平方向的夾角的正切值為tanα21
所以兩黃豆相遇時甲的速度與水平方向的夾角的正切值為乙的兩倍，則由正切函數知識可知，兩黃豆相遇時甲的速度與水平方向的夾角并非乙的兩倍，故D錯誤。
故選：B。
二．計算題（共4小題）
11．（2023春 合肥期中）某人站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m＝0.3kg的小球，使球在豎直平面內以手為圓心做圓周運動。當球某次運動到最低點時，繩恰好受到所能承受的最大拉力被拉斷，球以繩斷時的速度水平飛出，通過水平距離x＝1m后落地。已知握繩的手離地面高度為H＝1m，手與球之間的繩長為l＝0.25m，重力加速度為g，忽略空氣阻力，則
（1）繩能承受的最大拉力是多少？
（2）保持手的高度不變，改變繩長，使重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時達到最大拉力被拉斷，要使球拋出的水平距離最大，繩長應是多少？最大水平距離是多少？
【解答】解：（1）設繩能承受的最大拉力F，此時小球的速度為v0，由牛頓第二定律得：
繩斷之后，小球做平拋運動，豎直方向：
水平方向：x＝v0t
代入數據聯立解得：F＝11N
（2）設繩長為L時，球拋出的水平距離最大，小球運動到最低點的速度為v1，由牛頓第二定律得：
繩斷之后，小球做平拋運動，豎直方向：
水平方向：x＝v1t1
聯立整理得：
則當L＝0.5m時，x最大，最大距離為
答：（1）繩能承受的最大拉力是11N；
（2）要使球拋出的水平距離最大，繩長應是0.5m，最大水平距離是。
12．（2023春 杭州期中）如圖所示，高為h、厚度不計的擋板AB豎直放置在水平面上，擋板右邊為傾角α＝37°的斜面。可視為質點的小球從高為2h的桌面上水平飛出。桌面右端和擋板的水平距離為L，重力加速度為g＝10 m/s2，不計空氣阻力和桌面的摩擦力。
（1）若L＝1.2 m，h＝0.3 m，小球飛出后恰好擊中擋板AB的中間，求小球飛出的初速度；
（2）若h＝0.45 m，小球落到A點恰好能沿斜面向下運動，求水平距離L的大小；
（3）若調整L，使小球分別擊中擋板A端和B端時動能相等，求的值。
【解答】解：（1）由題可知，小球做平拋運動，在豎直放方向上做自由落體運動，水平方向上做勻速直線運動，
由題可得，小球恰好擊中擋板AB中點，則可求小球下落的高度為：
根據小球在豎直方向做自由落體運動有：
解得小球運動的時間為：t10.3 s
又因為小球在水平方向上做勻速直線運動，則可得：L＝v0t
解得小球飛出的初速度：
即小球飛出的初速度為4m/s；
（2）由題可知，小球自由下落的高度為h，故根據平拋運動的規律可得：
解得此時小球運動的時間為：t2
小球落到A點恰好能沿斜面向下，則根據幾何關系可得分速度關系為：
解得小球水平拋出的速度大小為：v0
由于小球在水平方向最勻速直線運動，則水平距離L的大小為：L＝v0t2＝4m/s×0.3s＝1.2 m
故水平距離L的大小為1.2m；
（3）小球擊中A端，豎直方向有：hgt2
水平方向有：L＝v1t
解得：
則A端動能：
小球擊中B端，豎直方向有：
水平方向有：L＝v2t
解得：
則B端動能：
由題可知，小球分別擊中擋板A端和B端時動能相等，即：Ek1＝Ek2
故可得：
解得：
即的值為2。
答：（1）小球飛出的初速度為4m/s；
（2）水平距離L的大小為1.2m；
（3）的值為2。
13．（2023春 萬州區校級期中）如圖1所示為足球球門，球門寬為L。一個球員在球門中心正前方距離球門s處高高躍起，將足球頂入球門的左下方死角（圖中P點），球員頂球點的高度為h，足球做平拋運動（足球可看成質點，忽略空氣阻力），重力加速度為g，求：
（1）足球位移的大小；
（2）足球末速度的大小；
（3）某研學小組”將足球網改造成半圓弧形，前網口在豎直平面上，上下最大高差2R，如圖2所示，尉然同學將足球從前網口正中心垂直網口以速度v0射入，重力加速度為g，當v0取何值時，足球落到球網上的速度最小。
【解答】解：（1）由題可知，足球在水平方向的位移大小為：
所以足球的位移大小：；
（2）足球運動的時間為：
所以足球的初速度的大小為：；
聯立以上各式得：足球末速度的大小為：；
（3）設小球落到軌道上的速度為v，平拋的位移與水平方向的夾角為θ，
由幾何關系可得x＝Rcosθ＝v0t，，vy＝gt，
聯立解得，
由矢量合成知識得，
由函數知識知，當時，v取最小值，此時對應的初速度．
答：
（1）足球的位移大小為；
（2）足球末速度的大小為；
（3）對應的初速度
14．（2023春 越秀區期中）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動，當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉。球飛行水平距離d后落地，如圖所示，已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為，重力加速度為g。忽略手的運動半徑和空氣阻力。試求：
（1）球落地時的速度大小v2；
（2）繩子能夠承受的最大拉力為多大；
（3）如果不改變手離地面的高度，改變繩子的長度，使小球重復上述的運動。若繩子仍然在小球運動到最低點時斷掉，要使小球拋出的水平距離最大，則繩子長度l應為多少，小球的最大水平距離x為多少？
【解答】解：（1）由幾何關系可知：球做平拋運動下降的高度為（）
則根據平拋運動規律可得：
即：
得：
則繩斷時，球的速度（水平速度）為：。
球在豎直方向上做自由落體運動，則豎直方向的速度為：
對小球的分速度合成可求小球落地時的速度：
（2）由于小球在最低點時，繩子的拉力最大，
根據牛頓第二定律可得：Fm﹣mg＝ma
根據向心加速度和線速度的關系式可得：
代入可得：Fm＝mg+ma
即解得：Fm
（3）設繩長為l，繩斷時球的速度為v3，
則有：，
由（2）可知繩子最大拉力Fm
則可得：
解得：
繩斷后球做平拋運動，豎直位移為（d﹣l），水平位移為x，時間為t2，
則有：
x＝v3t2
可得：
解得：
當l＝d﹣l時，即時，x有極大值為：。
答：（1）落地球時的速度大小為；
（2）繩子能夠承受的最大拉力為；
（3）繩子則長度 時，小球的水平距離最大，最大水平距離為。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑