資源簡介

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第8講　曲線運動　運動的合成與分解
目錄
[考試標準] 1
[基礎過關] 1
一、曲線運動 1
二、運動的合成與分解 2
[命題點研究] 2
命題點一　曲線運動的條件及軌跡 2
命題點二　運動的合成與分解 5
命題點三　小船渡河模型 9
命題點四　繩(桿)端速度分解模型 13
[課時訓練] 18
[考試標準]
知識內容 考試要求 說明
曲線運動 b 不要求會畫速度變化量矢量圖.
運動的合成與分解 c
[基礎過關]
一、曲線運動
1．速度的方向：質點在某一點的速度方向，是沿曲線在這一點的切線方向．
2．運動性質：做曲線運動的物體，速度的方向時刻改變，故曲線運動一定是變速運動，即必然具有加速度．
3．物體做曲線運動的條件：
(1)運動學角度：物體的加速度方向跟速度方向不在同一條直線上．
(2)動力學角度：物體所受合外力的方向跟速度方向不在同一條直線上．
4．合外力方向與軌跡的關系：
物體做曲線運動的軌跡一定夾在合外力方向與速度方向之間，速度方向與軌跡相切，合外力方向指向軌跡的“凹”側．
二、運動的合成與分解
1．遵循的法則
位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循平行四邊形定則．
2．合運動與分運動的關系
(1)等時性：合運動和分運動經歷的時間相等，即同時開始、同時進行、同時停止．
(2)獨立性：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，不受其他運動的影響．
(3)等效性：各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有完全相同的效果．
3．合運動的性質判斷
[命題點研究]
命題點一　曲線運動的條件及軌跡
1．曲線運動的特點
速度方向 時刻改變，某時刻的速度方向沿曲線上物體所處位置的切線方向
運動性質 變速運動
受力 合力與速度方向不共線
位移與路程的關系 位移大小小于路程
合力 合力不為0，指向曲線凹側
軌跡 夾在速度方向與合力方向之間
2.判斷物體是否做曲線運動的方法
判斷物體是做曲線運動還是做直線運動，關鍵要看a和v的方向，兩者方向在同一直線上則做直線運動，不在同一直線上則做曲線運動．
3．判斷物體速度大小增減的方法
根據合力方向與速度方向的夾角，判斷物體的速度大小變化情況：夾角為銳角時，速度大小變大；夾角為鈍角時，速度大小變小；合力方向與速度方向總是垂直時，速度大小不變．
（2022春 拱墅區校級期中）下列說法正確的是（　　）
A．做曲線運動的物體所受的合力一定是變化的
B．兩個勻變速直線運動的合運動一定是曲線運動
C．做勻速圓周運動的物體的加速度大小恒定，方向始終指向圓心
D．做曲線運動的物體，其速度方向與加速度方向可能在同一條直線上
【解答】解：A．做曲線運動的物體所受的合力不一定是變化的，如平拋運動，合力為重力，保持不變，故A錯誤；
B．兩個勻變速直線運動的合運動，當合速度方向與合加速度方向在同一直線時，合運動為勻變速直線運動，故B錯誤；
C．根據勻速圓周運動的特點可知，做勻速圓周運動的物體的加速度大小恒定，方向始終指向圓心，故C正確；
D．做曲線運動的物體，其速度方向與加速度方向一定不在同一條直線上，故D錯誤。
故選：C。
（2022春 鎮海區校級期末）如圖所示，艦載機殲﹣15在“遼寧號”甲板上沿曲線MN向上加速爬升，圖中畫出表示該艦載機受到合力的四種方向其中可能的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：殲﹣15從M點運動到N點做曲線運動，合力方向指向軌跡彎曲方向，又由于飛機做加速運動，則有沿切線方向與速度同向的分力，即合力方向與速度方向夾角為銳角，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2023 乙卷）小車在水平地面上沿軌道從左向右運動，動能一直增加。如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力，下列四幅圖可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根據曲線運動的特點可知，曲線運動速度方向沿運動軌跡的切線方向，合力方向指向運動軌跡的凹側。小車做曲線運動，且動能一直增加，則小車所受合力方向與運動方向夾角為銳角，故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2023春 蘭州期中）如圖所示，乒乓球從斜面上滾下后在水平桌面上沿直線運動。在與乒乓球運動路線垂直的方向上橫放一個紙筒（紙筒開口略大于乒乓球直徑）。人趴在桌子邊沿并鼓起嘴巴正對紙筒口，當乒乓球經過筒口時，對著乒乓球向筒口吹氣，則乒乓球被吹后（　　）
A．保持原運動方向繼續前進
B．一定能沿吹氣方向進入紙筒
C．偏離原運動方向滾向紙筒左側
D．偏離原運動方向滾向紙筒右側
【解答】解：一開始乒乓球向右運動，當乒乓球受到沿紙筒方向的吹氣的力后，乒乓球參與了兩個方向的分運動，會偏離原運動方向滾向紙筒右側；由于慣性，乒乓球不可能吹氣方向進入紙筒。故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2023春 蘭州期中）在一次校園足球聯賽中，如圖所示，比賽進行到59分鐘時王同學以一記“香蕉球”破門贏得比賽。下列說法正確是（　　）
A．足球在空中運動時只受重力
B．足球在空中的運動一定是勻變速運動
C．足球在空中一定是變速運動
D．研究如何踢出香蕉球時，足球可看作質點
【解答】解：A．足球在空中運動時除了受重力外，還受到空氣的作用力，否則不可能出現“香蕉球”，故A錯誤；
B．由于速度變化，空氣阻力的方向也會發生變化，空氣阻力是變力，則重力和空氣阻力的合力為變力，a發生變化，故B錯誤；
C．從圖中足球軌跡看，足球在空中運動的速度方向在發生變化，所以一定是變速運動，故C正確；
D．研究如何踢出香蕉球時，需要研究足球不同部位所受力的情況，不能把足球看作質點，故D錯誤。
故選：C。
命題點二　運動的合成與分解
1．運動的合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故合成與分解都遵循平行四邊形定則．
2．合運動和分運動具有等時性，這是處理運動分解問題的切入點．
3．合運動是物體的實際運動，而分運動是物體同時參與的幾個運動，并不是物體的實際運動．
4．兩個分運動是直線運動的合運動可能是直線運動，也可能是曲線運動，這是由合初速度與合加速度是否共線決定的．
（2023 浙江模擬）由于空氣阻力的影響，炮彈的實際飛行軌跡不是拋物線，而是“彈道曲線”，如圖中實線所示，圖中虛線為不考慮空氣阻力情況下炮彈的理想運動軌跡。O、a、b、c、d為彈道曲線上的五點，其中O點為發射點，d點為落地點，b點為軌跡的最高點，a、c為運動過程中經過的距地面高度相等的兩點，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．炮彈到達最高點b時的加速度為g
B．炮彈經過c點時的加速度方向沿該點切線斜向上
C．炮彈經過a點時加速度的豎直分量大于g
D．炮彈由a點運動到b點的時間與由b點運動到c點的時間相等
【解答】解：A．在最高點b，炮彈除了受重力還受到向后的空氣阻力，加速度大于g，故A錯誤；
B．根據曲線運動特點，炮彈經過c點時加速度方向一定指向軌跡凹側，故B錯誤；
C．炮彈經過a點時，受空氣阻力和重力共同作用，空氣阻力方向與速度方向相反斜向左下方，根據牛頓第二定律，加速度的豎直分量由重力和空氣阻力豎直分力相加得出，所以炮彈經過a點時加速度的豎直分量大于g，故C正確；
D．設炮彈由a點運動到b點過程中，受阻力平均豎直分量為f1，由b點運動到c點過程中，受阻力平均豎直分量為f2，根據牛頓第二定律，則前、后兩個過程炮彈豎直平均加速度大小分別為
根據運動學規律，炮彈由a點運動到b點時間小于由b點運動到c點時間，故D錯誤。
故選：C。
（2022春 溫州期末）如圖所示，在雜技表演中，表演者頂著桿沿水平地面向右勻速運動與此同時猴子從A點開始沿豎直桿向上做勻加速運動，最終達到B點。若以地面為參考系，猴子從A點到B點的運動軌跡可能是圖中的（　　）
A．曲線1 B．曲線2 C．直線3 D．曲線4
【解答】解：由題意，小猴子從A點到B點沿水平方向為勻速直線運動，加速度為零；沿桿向上做勻加速直線運動，加速度向上，故小猴子的實際加速度豎直向上；初速度與加速度不在一條直線上，所以小猴子的運動軌跡為向上彎曲的曲線。故D正確，ABC錯誤；
故選：D。
（2022春 鎮海區校級期末）如圖所示為教室里可以沿水平方向滑動的黑板，一位老師用粉筆在其中可移動的黑板上畫線。若粉筆相對于地面從靜止開始向下勻加速直線滑動，同時一同學推動黑板以某一速度水平向左勻速滑動，取水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則粉筆在黑板上所畫出的軌跡可能為下列圖中的（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：黑板以某一速度水平向左勻速滑動，則相對而言，粉筆以某一速度水平向右勻速運動，同時從靜止開始勻加速向下滑動，根據做曲線運動的物體所受合外力一定指向曲線凹側，則粉筆在水平方向始終勻速，在豎直方向向下加速，由運動的合成與分解，結合矢量合成法則，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2021秋 浙江期中）在一光滑水平面內建立平面直角坐標系，一物體從t＝0時刻起，由坐標原點（0，0）開始運動，其沿x軸和y軸方向運動的速度—時間圖像如圖甲、乙所示，下列說法中正確的是（　　）
A．0～2s內物體沿x軸做勻變速曲線運動
B．0～2s內物體的平均速度為2m/s
C．4s末物體坐標為（6m，2m）
D．2～4s內物體繼續做勻加速直線運動，但加速度沿y軸方向
【解答】解：AD、0﹣2s內，物體沿x軸方向做勻變速直線運動，在2s～4s內，物體在x軸方向做勻速直線運動，y軸方向做勻加速直線運動，根據運動的合成得知，物體做勻變速曲線運動，加速度沿y軸方向，故AD錯誤；
B、0～2s內，在x方向上物體的速度為vx＝2m/s，在y方向上速度為vy＝0m/s，那么物體的平均速度為m/s＝1m/s，故B錯誤；
C、在前2s內，物體在x軸方向根據平均速度公式可以得到位移為：x1t2m＝2m；
在后2s內，x軸方向的位移為x2＝vxt＝2×2m＝4m，y軸方向根據平均速度公式可以得到位移為：yt2m＝2m，則4s末物體的坐標為（x1+x2，y），即為（6m，2m），故C正確；
故選：C。
（2021春 紹興期末）在一次雜技表演中，表演者頂著桿沿水平地面運動，其x﹣t圖像如圖甲所示。與此同時猴子沿豎直桿向上運動，如圖乙所示，其v﹣t圖像如圖丙所示，若以地面為參考系，下列說法中正確的是（　　）
A．猴子的運動軌跡為直線
B．t＝0時猴子的速度大小為8m/s
C．t＝2s時猴子的加速度大小為4m/s2
D．猴子在前2s內運動的位移大小為16m
【解答】解：A、由丙圖知，猴子豎直方向上做勻減速直線運動，豎直方向加速度豎直向下，由乙圖知，猴子水平方向上做勻速直線運動，水平方向加速度為0，則猴子的合加速度豎直向下，與初速度方向不在同一直線上，所以猴子在2s內做勻變速曲線運動，運動軌跡為曲線，故A錯誤；
C、x﹣t圖象的斜率等于速度，則知猴子水平方向的初速度大小為：vxm/s＝4m/s，t＝0時猴子豎直方向分速度：vy＝8m/s，根據矢量運算法則可知，t＝0時，猴子的速度：v0m/s＝4m/s，故B錯誤；
C、猴子在水平方向上沒有加速度，v﹣t 圖象的斜率等于加速度，可知猴子沿豎直方向的加速度大小為a4m/s2，故C正確；
D、v﹣t圖中圖線與時間軸之間的面積表示位移，由圖乙可知，0～2s內的猴子沿豎直方向位移大小為ym＝8m；
由丙圖知，猴子水平方向上做勻速直線運動，0～2s內的沿水平方向位移大小為8m，所以猴子在0～2s內的位移大小為：sm＝8m，故D錯誤。
故選：C。
命題點三　小船渡河模型
小船渡河問題分析
(1)船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動．
(2)三種速度：v1(船在靜水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的實際速度)．
(3)三種情景
①過河時間最短：船頭正對河岸時，渡河時間最短，t短＝(d為河寬)．
②過河路徑最短(v2③過河路徑最短(v2>v1時)：合速度
圖5
不可能垂直于河岸，無法垂直渡河．確定方法如下：如圖5所示，以v2矢量末端為圓心，以v1矢量的大小為半徑畫弧，從v2矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向航程最短．由圖可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
（2022春 溫州期中）如圖所示，一只小船橫渡一條河流。小船船頭垂直于河岸，自A點出發沿直線抵達對岸的B點，歷時20s，且知AB與河岸的夾角α＝37°，河水流速大小為4m/s，小船相對靜水的速度不變。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列判斷中錯誤的是（　　）
A．河流的寬度為60m
B．小船相對靜水速度的大小為3m/s
C．無論怎樣調整小船的航向，α不可能超過37°
D．無論怎樣調整小船的航向，小船渡河的位移都不可能小于80m
【解答】解：小船順著河流發生的位移為x＝v水t＝4×20m＝80m，根據數學知識，河流的寬度d＝xtan37°，故A正確。
B.根據等時性，小船過河時間為t，小船在靜水中的速度，故B正確。
CD.由于船速小于水速，小船不可能垂直過河，當船速和水速的合速度與船速垂直時，位移最小，如圖所受；設此時船頭指向上游，合速度與河岸成θ，根據數學知識sinθsin37°＝0.6；根據直角三角形邊角關系，得小船的過河位移，即小船渡河的最小位移為80m，故C錯誤，D正確。
本題選擇錯誤的選項。
故選：C。
（2022春 浙江期中）小船橫渡一條河，為盡快到達對岸，船頭方向始終與河岸垂直，為避免船撞擊河岸，小船先加速后減速，恰好使小船到達河對岸時速度為0，若小船在靜水中的行駛速度v1和水的流速v2如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A．小船的運動軌跡為直線
B．小船渡河的河寬是240m
C．小船渡河的過程中最大速度是7m/s
D．小船到達對岸時沿河岸方向運動了180m
【解答】解：A、小船在靜水中先做加速運動后做減速運動，具有加速度，水流速度勻速不變，所以小船的運動軌跡是曲線，故A錯誤；
B、研究垂直于河岸方向的運動，速度﹣時間圖像圍成的面積表示位移，則小船渡河的寬度dm＝120m，故B錯誤；
C、根據矢量合成法則可知，小船在靜水中的速度最大時，渡河速度最大，有m/s＝5m/s，故C錯誤；
D、根據運動的等時性可知，小船沿河岸方向運動了60s，距離為x＝3×60m＝180m，故D正確。
故選：D。
（2021 上海一模）如圖所示，小船以大小為v（船在靜水中的速度）、方向與上游河岸成θ的速度從O處過河，經過一段時間，正好到達正對岸的O′處．現要使小船在更短的時間內過河并且也正好到達正對岸的O′處．在水流速度不變的情況下，可采取的方法是（　　）
A．θ角不變且v增大 B．θ角減小且v增大
C．θ角增大且v減小 D．θ角增大且v增大
【解答】解：由題意可知，船相對水的速度為v1，其航線恰好垂直于河岸，當水流速度稍有增大，為保持航線不變，且能到達對岸，則如圖所示，可知，故D正確，ABC錯誤；
故選：D。
（2020 平谷區一模）深刻理解運動的合成和分解的思想，可以幫助我們輕松處理比較復雜的問題。小船在流動的河水中行駛時，如圖乙所示。假設河水靜止，小船在發動機的推動下沿OA方向運動，經時間t運動至對岸A處，位移為x1；若小船發動機關閉，小船在水流的沖擊作用下從O點沿河岸運動，經相同時間t運動至下游B處，位移為x小船在流動的河水中，從O點出發，船頭朝向OA方向開動發動機行駛時，小船同時參與了上述兩種運動，實際位移x為上述兩個分運動位移的矢量和，即此時小船將到達對岸C處。請運用以上思想，分析下述問題：弓箭手用弓箭射擊斜上方某位置處的一個小球，如圖丙所示。弓箭手用箭瞄準小球后，以初速度v0將箭射出，同時將小球由靜止釋放。箭射出時箭頭與小球間的距離為L，空氣阻力不計。請分析說明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高時被射中；若不能射中，求小球落地前與箭頭的最近距離。
【解答】解：如圖所示：
箭射出后，若不受重力，將沿初速度方向做勻速直線運動，經時間t從P運動至小球初始位置D處，位移為x1＝L；脫離弓后，若箭的初速度為零，將沿豎直方向做自由落體運動，經相同時間t從P運動至E，位移為x2；箭射出后的實際運動，同時參與了上述兩種運動，實際位移x為上述兩個分運動位移的矢量和（遵循平行四邊形定則），即此時箭將到達F處。小球由靜止釋放后做自由落體運動，經相同時間t運動的位移與箭在豎直方向分位移x2相同，即小球與箭同時到達F處，能夠射中小球。
若不受重力，箭從P運動至小球初始位置D處的時間：t
射中時小球下落的高度：hgt2，解得：h
答：能射中，小球下落時被射中。
命題點四　繩(桿)端速度分解模型
1．模型特點
沿繩(或桿)方向的速度分量大小相等．
2．思路與方法
合運動→繩拉物體的實際運動速度v
分運動→
方法：v1與v2的合成遵循平行四邊形定則．
3．解題的原則：
把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分量，根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解．常見的模型如圖8所示．
（2023 浙江模擬）如圖所示，斯特林發動機的機械裝置可以將圓周運動轉化為直線上的往復運動。連桿AB，OB可繞圖中A、B、O三處的轉軸轉動，連桿OB長為R，連桿AB長為L（L＞R），當OB桿以角速度ω逆時針勻速轉動時，滑塊在水平橫桿上左右滑動，連桿AB與水平方向夾角為α，AB桿與OB桿的夾角為β。在滑塊向左滑動過程中（　　）
A．滑塊A從右向左先做加速度減小的加速運動，后做加速度減小的減速運動
B．當OB桿與OA垂直時，滑塊的速度最大
C．當OB桿與OA垂直時，滑塊的速度大小為
D．當β＝90°時，滑塊的速度大小為
【解答】解：設滑塊的速度（合速度）大小為v，沿水平方向，如圖將A點的速度分解為沿著桿的分速度和垂直桿的分速度
根據運動的合成與分解可知，沿桿方向的分速度：
v1＝vcosα
BB點做圓周運動，實際速度是圓周運動的線速度，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直于桿方向的分速度，如圖設B的線速度為v'，則
沿桿的分速度：
v'1＝V'cosθ＝V'cos（90°﹣β）＝V'sinβ
V'＝ωR
又二者沿桿方向的分速度是相等的，即v1＝v'1
聯立可得
在△AOB中，由正弦定理得
解得v＝ωsOAtanα
A.滑塊A從右向左運動時，其速度v＝ωsOAtanα，隨角度α變化而不均勻變化，角度α先增大后減小，根據正切函數的性質可知，滑塊先做加速度增大的加速運動，后做加速度減小的減速運動，故A錯誤；
BC.當O桿OB與AB垂直時，α＝90°﹣β，sinβ＝cosα，則，滑塊的速度不是最大，故B，C錯誤；
D.當β＝90°時，如圖所示：
滑塊的速度為：
，故D正確。
故選：D。
（2023 上饒模擬）某拐角處放著一根木棍，木棍下端B沿水平地面向右滑動，當木棍與水平方向的夾角為θ時，B點的瞬時速度大小為v0，則木棍上端A的速度大小為（　　）
A．v0cosθ B．v0sinθ C． D．v0tanθ
【解答】解：將木棍A、B兩端的速度分解為沿木棍方向和垂直于木棍的方向，則沿木棍的分速度相等
則有v0cosθ＝vAsinθ
解得，故ABD錯誤，C正確。
故選：C。
（2023 高州市一模）如圖所示，一根長為L的直桿一端抵在墻角，一端倚靠在物塊的光滑豎直側壁上，物塊向左以速度大小v運動時，直桿繞O點做圓周運動且始終與物塊間有彈力。當直桿與水平方向的夾角為θ時，則（　　）
A．A點速度大小也為v B．A點速度大小與θ有關
C．A點速度方向與θ無關 D．A點速度方向與OA成θ角
【解答】解：如下圖，將A點的速度分解：
根據運動的合成與分解可知，接觸點A的實際運動、即合運動為在A點垂直于桿的方向的運動，該運動由水平向左的分運動和豎直向下的分速度組成，所以vA，為A點做圓周運動的線速度，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2023 重慶模擬）如圖所示，物體A和小車用輕繩連接在一起，小車以速度v0向右勻速運動。當小車運動到圖示位置時，輕繩與水平方向的夾角為θ，關于此時物體A的運動情況的描述正確的是（　　）
A．物體A減速上升
B．物體A的速度大小vA＝v0
C．物體A的速度大小vA＝v0sinθ
D．物體A的速度大小vA＝v0cosθ
【解答】解：將小車的速度沿繩子方向和垂直于繩子方向進行分解，
沿繩子方向的分速度等于A的速度，則：vA＝v0cosθ，
小車向右做勻速直線運動，則θ減小，則A的速度增大，A做加速運動，故D正確，ABC錯誤。
故選：D。
（2022 襄城區校級模擬）如圖所示，某人通過跨過定滑輪的繩子將小車拉上傾角為α的光滑斜面，人拉動繩子的速度v恒定，下列說法正確的是（　　）
A．小車沿斜面上升的過程中，人對繩子拉力恒定
B．小車沿斜面上升的過程中，小車的動能先增大后減小
C．小車沿斜面上升h高的過程中，繩子拉力對小車做的功大于小車重力勢能的增加量
D．當繩子與斜面斜邊的夾角為β時，小車的速度為
【解答】解：AD、當繩子與斜面斜邊的夾角為β時，將小車的速度進行分解，如圖所示；則小車速度v車；
隨β增大，小車的速度增大，所以小車做加速運動，但不是勻加速直線運動，人對繩子的拉力不恒定，故AD錯誤；
B、隨著小車沿斜面向上運動，小車速度增大，所以小車的動能增大，故B錯誤；
C、隨著小車沿斜面向上運動，小車速度增大，此過程中只有拉力和重力做功，根據功能關系可得繩子拉力對小車做的功大于小車克服自身重力做的功，則繩子拉力對小車做的功大于小車重力勢能的增加量，故C正確。
故選：C。
（多選）（2022 西城區校級模擬）如圖所示，光滑半圓軌道豎直放置，在軌道邊緣處固定一光滑定滑輪（忽略滑輪大小），一條輕繩跨過定滑輪且兩端分別連接小球A、B，小球A在水平拉力F作用下靜止于軌道最低點P。現增大拉力F使小球A沿著半圓軌道運動，當小球A經過Q點時速度為v，OQ連線與豎直方向的夾角為30°，則下列說法正確的是（　　）
A．小球A、B的質量之比為：2
B．小球A經過Q點時，小球B的速度大小為
C．小球A從P運動到Q的過程中，小球A、B組成的系統機械能一定在增加
D．小球A從P運動到Q的過程中，小球B的動能一直增加
【解答】解：A、小球A在最低點時，繩與豎直方向的夾角為45°，對小球A受力分析：
如果小球與軌道之間為零，則Tcos45°＝mAg、T＝mBg，解得小球A、B的質量之比為：，而小球與軌道之間的彈力無法確定，所以無法確定質量之比，故A錯誤；
B、小球經過Q的速度為vA，將vA分解得：vB＝vAsin30°，解得：vA：vB＝2：1，根據題意可知vA＝v，則vB，故B正確；
C、小球A從P運動到Q的過程中，拉力F對A、B組成的系統做正功，所以小球A、B組成的系統機械能一直增加，故C正確；
D、小球A從P運動到Q的過程中，小球B的重力勢能一直增加，機械能一直增加，速度的變化情況無法確定，動能不一定一直增加，故D錯誤。
故選：BC。
[課時訓練]
一．選擇題（共12小題）
1．（2023 黃埔區三模）在一次足球比賽中，隊友甲示意隊友乙向前跑。當隊友乙在圖中位置以某一速度勻速前跑時，隊友甲將足球從靜止瞬間踢起，足球軌跡如圖所示且剛好落在隊友乙的腳下。用v表示隊友乙與足球的水平速度，s表示水平位移。速率越大，空氣阻力越大，從踢起足球到落地，下列圖像大致能反映乙和球的運動情況的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根據題意可知，球在水平方向只受到了阻力的作用，所以根據牛頓第二定律可知球的水平方向的加速度減小，故球的水平速度逐漸減小，所以水平方向上，球做加速度減小的減速運動，而乙做勻速直線運動；s﹣t圖像的斜率表示速度，球做加速度減小的減速運動，即球的速度減小，即球的位移—時間圖像斜率會變小；乙做勻速直線運動，位移隨時間均勻增加。故A正確，BCD錯誤；
故選：A。
2．（2023春 蘭州期中）一下雨天，某同學測定雨滴下落速度的大小，發現雨滴水平方向分速度為2m/s，合速度與豎直方向成37°，sin37°＝0.6，則雨滴此時的速度大小（　　）
A．m/s B．2m/s C．m/s D．m/s
【解答】解：由題意及幾何關系可得
可得，故D正確，ABC錯誤。
故選：D。
3．（2023春 虹口區校級期中）一輛汽車在水平公路上轉彎，沿曲線由M向N行駛，速度逐漸減小。如選項圖中分別畫出了汽車轉彎時所受合力F的四種方向，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：汽車做速度大小減小的曲線運動，曲線運動的速度方向沿運動軌跡的切線方向，由曲線運動的受力特點可知，合力的方向指向運動軌跡的凹側，且合力方向與速度方向夾角為鈍角，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
4．（2023春 寧波期中）俄烏戰爭是2022年的頭條新聞，其中俄羅斯使用了一款反輻射導彈打擊敵方雷達，如圖是分析導彈工作時的軌跡示意圖，其中彈頭的速度v與其所受合外力F關系可能正確的是（　　）
A．圖中A點 B．圖中B點 C．圖中C點 D．圖中D點
【解答】解：AC、速度方向沿運動軌跡切線方向，圖中A點和C點標出的速度方向不是沿軌跡的切線方向，故AC錯誤；
B、圖中B點標出的受力的方向不是沿彎曲的方向，故B錯誤；
D、曲線運動的D速度方向沿切線方向，而受到的合力應該指向運動軌跡彎曲的內側，故D正確；
故選：D。
5．（2021 烏蘭察布一模）如圖所示，長度為l＝1m的輕桿一端通過鉸鏈固定在地面上的O點，搭在一棱長為a＝18cm的正方體木塊上，向左推動木塊，輕桿繞O點轉動。當輕桿與地面成37°角時，木塊的速度大小為v＝3.0m/s，則輕桿最上端A點的速度大小為（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　　）
A．5.0m/s B．6.0m/s C．9.0m/s D．10m/s
【解答】解：設物塊在所示位置的速度為v，將物塊與接觸點處的速度沿垂直于桿的方向與沿桿的方向分解，如圖所示：
物塊與接觸點處的速度沿垂直于桿方向的分速度：v⊥＝v sin37°＝3.0×0.6m/s＝1.8m/s
接觸點到O點的距離：m＝0.3m
桿繞O點做圓周運動，根據公式：v＝ωr，可得：v⊥＝ωl1，vA＝ωl
代入數據可得：v＝6.0m/s，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
6．（2021 邛崍市校級模擬）如圖所示，做勻速直線運動的汽車A通過一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，設重物和汽車的速度的大小分別為vB、vA，則（　　）
A．vA＝vB
B．vA＜vB
C．繩子對B的拉力大于B的重力
D．繩子對B的拉力等于B的重力
【解答】解：AB、小車的運動可分解為沿繩方向和垂直于繩的方向兩個運動，設斜拉繩子與水平面的夾角為θ，
由幾何關系可得：vB＝vAcosθ，所以vA＞vB；故AB錯誤；
CD、因汽車勻速直線運動，而θ逐漸變小，故vB逐漸變大，物體B有向上的加速度，處于超重狀態，故C正確，D錯誤。
故選：C。
7．（2023春 泉州期中）質點僅在恒力F的作用下，由O點運動到A點的軌跡如圖所示，在A點時速度的方向與x軸平行，則下列說法錯誤的是（　　）
A．該質點做勻變速曲線運動
B．恒力F的方向可能沿y軸負方向
C．恒力F的方向可能沿x軸正方向
D．任意兩段相等時間內該質點速度變化量不僅大小相等而且方向相同
【解答】解：A、質點僅在恒力F的作用下運動，質點加速度不變，該質點做勻變速曲線運動，故A正確；
BC、由于物體做的是曲線運動，根據物體做曲線運動的條件可知，物體受到的恒力的方向應指向弧內，且與速度方向不在同一直線上，由于沿y軸正方向的分速度減為零，所以質點必定受到沿y軸負方向力，所以沿y軸負方向的力可能產生如圖的曲線軌跡，恒力F的方向不可能沿x軸正方向，故B正確，C錯誤；
D、根據Δv＝aΔt，質點加速度不變，所以任意兩段相等時間內該質點速度變化量不僅大小相等而且方向相同，故D正確。
本題選錯誤的，故選：C。
8．（2021 南充模擬）如圖所示，質量均為m的兩個滑塊A和B分別套在固定于豎直平面內相互垂直的光滑桿上，A和B用輕連桿通過鉸鏈相連，對B施加水平向左的外力F，使滑塊A緩慢勻速上升，撤去外力F后較短時間內，A的速度減為0，此時輕連桿與豎直桿的夾角θ＝30°，然后滑塊A下落且不反彈，不計鉸鏈處摩擦，輕連桿長度為L，重力加速度為g，以下說法正確的是（　　）
A．F作用過程中，滑塊B的速度保持不變
B．F作用過程中，滑塊B對水平桿的壓力逐漸增大
C．A下落過程中，B的速度一直增大
D．A下落過程中，接觸水平桿前瞬間，A的動能為mgL
【解答】解：A、A沿桿方向速度分量v1＝vAcosθ，B沿桿方向速度分量v2＝vBsinθ，兩滑塊沿桿方向速度分量相等，得：vAcosθ＝vBsinθ，滑塊A緩慢勻速上升時，θ逐漸減小，所以滑塊B的速度逐漸增大，故A錯誤；
B、將兩滑塊看作一個整體，在豎直方向加速度為零，合力為零，所以水平桿對滑塊B的支持力與系統總重力平衡，即滑塊B對水平桿的壓力不變，故B錯誤；
C、A下落過程中，兩滑塊初始速度為零，隨著A的下落兩滑塊沿桿方向速度分量仍然相等，即vA′cosθ＝vB′sinθ，當θ＝90°時A速度豎直向下，B速度又為零，所以B的速度先增大后減小，故C錯誤；
D、由C項可知A下落接觸水平桿前瞬間B速度為零，對于AB和桿組成的系統，根據機械能守恒定律得mgLcosθ＝EkA，解得A的動能EkAmgL，故D正確。
故選：D。
9．（2023春 鼓樓區校級期中）如圖所示，小船以大小為v1＝5m/s、方向與上游河岸成θ＝60°角的速度（在靜水中的速度）從A處渡河，經過一段時間正好到達正對岸的B處．已知河寬d＝180m，則下列說法中正確的是（　　）
A．河中水流速度為
B．小船以最短位移渡河的時間為72s
C．小船渡河的最短時間為3.6s
D．小船以最短的時間渡河的位移是
【解答】解：A、由題意知，小船方向與上游河岸成θ＝60°角的速度（在靜水中的速度）從A處渡河，經過一段時間正好到達正對岸的B處，v2＝v1cosθ＝5×0.5m/s＝2.5m/s，故A錯誤；
B、小船以最短位移渡河的時間為，故B錯誤；
C、小船以最短時間渡河，船頭應垂直對岸，時間為，故C錯誤；
D、小船以最短時間渡河時到達對岸，小船的合速度為m/s＝2.5m/s，因此小船的位移為x＝v合t＝2.536m＝90m/s，故D正確。
故選：D。
10．（2023春 天河區校級期中）如圖，有一條寬為20m的河道，小船從岸邊某點渡河，渡河過程中始終保持船頭與河岸垂直，小船在靜水中的速度大小為5m/s，水流速度為12m/s，下列說法正確的是（　　）
A．小船在河水中行駛軌跡為曲線
B．小船在河水中的速度為10m/s
C．小船渡河時間為4s
D．小船在渡河過程中位移大小為48m
【解答】解：A、由于小船在靜水中的速度、水流速度均恒定，故小船的合速度恒定，小船在河水中做勻速直線運動，軌跡為直線，故A錯誤；
B、小船在河水中的速度大小為vm/s＝13m/s，故B錯誤；
C、小船渡河過程中始終保持船頭與河岸垂直，故渡河時間為ts＝4s，故C正確；
D、小船沿河流方向的位移為l＝v水t＝12×4m＝48m，小船在渡河過程中位移大小為sm＞48m，故D錯誤。
故選：C。
11．（2023春 東城區校級期中）一個質點從水平面內的xOy坐標系的原點出發開始運動，其沿x軸正方向的分速度隨時間變化的圖象及沿y軸正方向的位移隨時間變化的圖象如圖甲、乙所示，一條直線過坐標原點、與x軸正方向成30°角，如圖丙所示。質點經過該直線時的坐標為（　　）
A．（12m，4m） B．（9m，3m） C．（6m，2m） D．（3m，m）
【解答】解：質點沿x軸正方向做初速度為零的勻加速直線運動，加速度大小a＝2m/s2，沿y軸正方向做勻速直線運動，速度大小v0＝2m/s，設質點經過時間t經過該直線，則有①，②，y0＝v0t③，解得ts，將t代入②式可得x＝12m，ym，過該直線的坐標（12m，4m），故BCD錯誤，故A正確。
故選：A。
12．（2021 南京模擬）如圖所示，質量為m的小環P套在豎直桿上，P通過不可伸長的輕繩跨過輕小定滑輪與質量也為m的物體Q相連。O點為桿上與定滑輪等高的點，桿上A點和B點分別在O點的上方和下方且到O點距離相等，h。將小環P從A點從靜止釋放，不計一切摩擦，已知繩始終繃緊，在小環P下降過程中，下列說法正確的是（　　）
A．小環從A到O的過程中，物體Q的動能不斷增大
B．小環從A到B的過程中，物體Q的機械能先減小再增大
C．小環到達O點時，小環的動能為mgh
D．小環到達B點時，小環的動能小于mgh
【解答】解：A、小環在A點時物體Q的速度為零，當小環下降到O點時，小環沿繩子方向的速度為零，則Q的速度為零，所以小環從A到O的過程中，物體Q的動能先增大后減小，故A錯誤；
B、小環從A到B的過程中，繩子拉力先對Q做負功、后做正功，所以物體Q的機械能先減小再增大，故B正確；
C、小環從A到O運動過程中，設繩子拉力對小環做的功（正功）為WF，根據動能定理可得：mgh+WF＝EkO，所以小環到達O點時，小環的動能EkO大于mgh，故C錯誤；
D、由于h，根據對稱性可知，小環達到B點時，物體Q處于原來的位置，設此時小環的速度大小為v，Q的速度大小為v′，如圖所示，根據運動的合成與分解可得：v′＝vcosθ；
根據機械能守恒定律可得：mg 2h
所以小環的動能Ekmgh，故D錯誤。
故選：B。
二．多選題（共2小題）
（多選）13．（2021 晉江市模擬）如圖所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質量為m的環，環套在豎直固定的光滑直桿上，光滑的輕小定滑輪與直桿的距離為d，桿上的A點與定滑輪等高，桿上的B點在A點下方距離為d處。現將環從A處由靜止釋放，不計一切摩擦阻力，下列說法正確的是（　　）
A．環到達B處時，環的速度大小是重物的倍
B．環從A到B過程中，環的機械能是減少的
C．環到達B處時，重物上升的高度d
D．環到達B處時，重物上升的高度為d
【解答】解：A、環沿繩子方向的分速度大小等于重物的速度大小，在B點，將環的速度分解如圖所示，可得v環cosθ＝v物。在B點，由幾何關系可得θ＝45°，解得v環v物，所以環到達B處時，環的速度大小是重物的倍，故A正確；
B、對于重物與環組成的系統，因為只有重力做功，系統的機械能守恒。環從A到B過程中，重物的機械能增大，則環的機械能是減少的，故B正確；
CD、由幾何關系可知，環到達B處時，重物上升的高度h，故CD錯誤。
故選：AB。
（多選）14．（2021 渭南模擬）如圖所示，固定豎直桿上套著一個質量為m的小滑塊（視為質點），用輕繩系著滑塊繞過小定滑輪（大小不計），另一端以大小為v的速度勻速運動，使滑塊沿豎直桿上升，先后經過A、B兩點。滑輪邊緣與輕繩相切于O點，O點到豎直桿的距離為L，∠OAC＝30°，∠OBC＝45°，重力加速度大小為g，不計一切摩擦。下列說法正確的是（　　）
A．滑塊經過A、B兩點時的速度大小之比為：
B．滑塊經過A、B兩點時的速度大小之比為：3
C．在滑塊從A點運動到B點的過程中，輕繩的拉力對滑塊做的功為（1）mgLmv2
D．在滑塊從A點運動到B點的過程中，輕繩的拉力對滑塊做的功為mgLmv2
【解答】解：AB、根據滑塊沿繩子方向的分速度等于繩頭移動的速度，滑塊經過A點時，則有vAcos30°＝v，得vAv
滑塊經過B點時，則有vBcos45°＝v，得vBv，故滑塊經過A、B兩點時的速度大小之比為vA：vB：3，故A錯誤，B正確；
CD、在滑塊從A點運動到B點的過程中，滑塊下降的高度為h
根據動能定理得：mgh+W
聯立解得輕繩的拉力對滑塊做的功W＝（1）mgLmv2，故C正確，D錯誤。
故選：BC。
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第8講　曲線運動　運動的合成與分解
目錄
[考試標準] 1
[基礎過關] 1
一、曲線運動 1
二、運動的合成與分解 2
[命題點研究] 2
命題點一　曲線運動的條件及軌跡 2
命題點二　運動的合成與分解 4
命題點三　小船渡河模型 7
命題點四　繩(桿)端速度分解模型 9
[課時訓練] 12
[考試標準]
知識內容 考試要求 說明
曲線運動 b 不要求會畫速度變化量矢量圖.
運動的合成與分解 c
[基礎過關]
一、曲線運動
1．速度的方向：質點在某一點的速度方向，是沿曲線在這一點的切線方向．
2．運動性質：做曲線運動的物體，速度的方向時刻改變，故曲線運動一定是變速運動，即必然具有加速度．
3．物體做曲線運動的條件：
(1)運動學角度：物體的加速度方向跟速度方向不在同一條直線上．
(2)動力學角度：物體所受合外力的方向跟速度方向不在同一條直線上．
4．合外力方向與軌跡的關系：
物體做曲線運動的軌跡一定夾在合外力方向與速度方向之間，速度方向與軌跡相切，合外力方向指向軌跡的“凹”側．
二、運動的合成與分解
1．遵循的法則
位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循平行四邊形定則．
2．合運動與分運動的關系
(1)等時性：合運動和分運動經歷的時間相等，即同時開始、同時進行、同時停止．
(2)獨立性：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，不受其他運動的影響．
(3)等效性：各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有完全相同的效果．
3．合運動的性質判斷
[命題點研究]
命題點一　曲線運動的條件及軌跡
1．曲線運動的特點
速度方向 時刻改變，某時刻的速度方向沿曲線上物體所處位置的切線方向
運動性質 變速運動
受力 合力與速度方向不共線
位移與路程的關系 位移大小小于路程
合力 合力不為0，指向曲線凹側
軌跡 夾在速度方向與合力方向之間
2.判斷物體是否做曲線運動的方法
判斷物體是做曲線運動還是做直線運動，關鍵要看a和v的方向，兩者方向在同一直線上則做直線運動，不在同一直線上則做曲線運動．
3．判斷物體速度大小增減的方法
根據合力方向與速度方向的夾角，判斷物體的速度大小變化情況：夾角為銳角時，速度大小變大；夾角為鈍角時，速度大小變小；合力方向與速度方向總是垂直時，速度大小不變．
（2022春 拱墅區校級期中）下列說法正確的是（　　）
A．做曲線運動的物體所受的合力一定是變化的
B．兩個勻變速直線運動的合運動一定是曲線運動
C．做勻速圓周運動的物體的加速度大小恒定，方向始終指向圓心
D．做曲線運動的物體，其速度方向與加速度方向可能在同一條直線上
（2022春 鎮海區校級期末）如圖所示，艦載機殲﹣15在“遼寧號”甲板上沿曲線MN向上加速爬升，圖中畫出表示該艦載機受到合力的四種方向其中可能的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 乙卷）小車在水平地面上沿軌道從左向右運動，動能一直增加。如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力，下列四幅圖可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023春 蘭州期中）如圖所示，乒乓球從斜面上滾下后在水平桌面上沿直線運動。在與乒乓球運動路線垂直的方向上橫放一個紙筒（紙筒開口略大于乒乓球直徑）。人趴在桌子邊沿并鼓起嘴巴正對紙筒口，當乒乓球經過筒口時，對著乒乓球向筒口吹氣，則乒乓球被吹后（　　）
A．保持原運動方向繼續前進
B．一定能沿吹氣方向進入紙筒
C．偏離原運動方向滾向紙筒左側
D．偏離原運動方向滾向紙筒右側
（2023春 蘭州期中）在一次校園足球聯賽中，如圖所示，比賽進行到59分鐘時王同學以一記“香蕉球”破門贏得比賽。下列說法正確是（　　）
A．足球在空中運動時只受重力
B．足球在空中的運動一定是勻變速運動
C．足球在空中一定是變速運動
D．研究如何踢出香蕉球時，足球可看作質點
命題點二　運動的合成與分解
1．運動的合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故合成與分解都遵循平行四邊形定則．
2．合運動和分運動具有等時性，這是處理運動分解問題的切入點．
3．合運動是物體的實際運動，而分運動是物體同時參與的幾個運動，并不是物體的實際運動．
4．兩個分運動是直線運動的合運動可能是直線運動，也可能是曲線運動，這是由合初速度與合加速度是否共線決定的．
（2023 浙江模擬）由于空氣阻力的影響，炮彈的實際飛行軌跡不是拋物線，而是“彈道曲線”，如圖中實線所示，圖中虛線為不考慮空氣阻力情況下炮彈的理想運動軌跡。O、a、b、c、d為彈道曲線上的五點，其中O點為發射點，d點為落地點，b點為軌跡的最高點，a、c為運動過程中經過的距地面高度相等的兩點，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．炮彈到達最高點b時的加速度為g
B．炮彈經過c點時的加速度方向沿該點切線斜向上
C．炮彈經過a點時加速度的豎直分量大于g
D．炮彈由a點運動到b點的時間與由b點運動到c點的時間相等
（2022春 溫州期末）如圖所示，在雜技表演中，表演者頂著桿沿水平地面向右勻速運動與此同時猴子從A點開始沿豎直桿向上做勻加速運動，最終達到B點。若以地面為參考系，猴子從A點到B點的運動軌跡可能是圖中的（　　）
A．曲線1 B．曲線2 C．直線3 D．曲線4
（2022春 鎮海區校級期末）如圖所示為教室里可以沿水平方向滑動的黑板，一位老師用粉筆在其中可移動的黑板上畫線。若粉筆相對于地面從靜止開始向下勻加速直線滑動，同時一同學推動黑板以某一速度水平向左勻速滑動，取水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則粉筆在黑板上所畫出的軌跡可能為下列圖中的（　　）
A． B．
C． D．
（2021秋 浙江期中）在一光滑水平面內建立平面直角坐標系，一物體從t＝0時刻起，由坐標原點（0，0）開始運動，其沿x軸和y軸方向運動的速度—時間圖像如圖甲、乙所示，下列說法中正確的是（　　）
A．0～2s內物體沿x軸做勻變速曲線運動
B．0～2s內物體的平均速度為2m/s
C．4s末物體坐標為（6m，2m）
D．2～4s內物體繼續做勻加速直線運動，但加速度沿y軸方向
（2021春 紹興期末）在一次雜技表演中，表演者頂著桿沿水平地面運動，其x﹣t圖像如圖甲所示。與此同時猴子沿豎直桿向上運動，如圖乙所示，其v﹣t圖像如圖丙所示，若以地面為參考系，下列說法中正確的是（　　）
A．猴子的運動軌跡為直線
B．t＝0時猴子的速度大小為8m/s
C．t＝2s時猴子的加速度大小為4m/s2
D．猴子在前2s內運動的位移大小為16m
命題點三　小船渡河模型
小船渡河問題分析
(1)船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動．
(2)三種速度：v1(船在靜水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的實際速度)．
(3)三種情景
①過河時間最短：船頭正對河岸時，渡河時間最短，t短＝(d為河寬)．
②過河路徑最短(v2③過河路徑最短(v2>v1時)：合速度
圖5
不可能垂直于河岸，無法垂直渡河．確定方法如下：如圖5所示，以v2矢量末端為圓心，以v1矢量的大小為半徑畫弧，從v2矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向航程最短．由圖可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
（2022春 溫州期中）如圖所示，一只小船橫渡一條河流。小船船頭垂直于河岸，自A點出發沿直線抵達對岸的B點，歷時20s，且知AB與河岸的夾角α＝37°，河水流速大小為4m/s，小船相對靜水的速度不變。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列判斷中錯誤的是（　　）
A．河流的寬度為60m
B．小船相對靜水速度的大小為3m/s
C．無論怎樣調整小船的航向，α不可能超過37°
D．無論怎樣調整小船的航向，小船渡河的位移都不可能小于80m
（2022春 浙江期中）小船橫渡一條河，為盡快到達對岸，船頭方向始終與河岸垂直，為避免船撞擊河岸，小船先加速后減速，恰好使小船到達河對岸時速度為0，若小船在靜水中的行駛速度v1和水的流速v2如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A．小船的運動軌跡為直線
B．小船渡河的河寬是240m
C．小船渡河的過程中最大速度是7m/s
D．小船到達對岸時沿河岸方向運動了180m
（2021 上海一模）如圖所示，小船以大小為v（船在靜水中的速度）、方向與上游河岸成θ的速度從O處過河，經過一段時間，正好到達正對岸的O′處．現要使小船在更短的時間內過河并且也正好到達正對岸的O′處．在水流速度不變的情況下，可采取的方法是（　　）
A．θ角不變且v增大 B．θ角減小且v增大
C．θ角增大且v減小 D．θ角增大且v增大
（2020 平谷區一模）深刻理解運動的合成和分解的思想，可以幫助我們輕松處理比較復雜的問題。小船在流動的河水中行駛時，如圖乙所示。假設河水靜止，小船在發動機的推動下沿OA方向運動，經時間t運動至對岸A處，位移為x1；若小船發動機關閉，小船在水流的沖擊作用下從O點沿河岸運動，經相同時間t運動至下游B處，位移為x小船在流動的河水中，從O點出發，船頭朝向OA方向開動發動機行駛時，小船同時參與了上述兩種運動，實際位移x為上述兩個分運動位移的矢量和，即此時小船將到達對岸C處。請運用以上思想，分析下述問題：弓箭手用弓箭射擊斜上方某位置處的一個小球，如圖丙所示。弓箭手用箭瞄準小球后，以初速度v0將箭射出，同時將小球由靜止釋放。箭射出時箭頭與小球間的距離為L，空氣阻力不計。請分析說明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高時被射中；若不能射中，求小球落地前與箭頭的最近距離。
命題點四　繩(桿)端速度分解模型
1．模型特點
沿繩(或桿)方向的速度分量大小相等．
2．思路與方法
合運動→繩拉物體的實際運動速度v
分運動→
方法：v1與v2的合成遵循平行四邊形定則．
3．解題的原則：
把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分量，根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解．常見的模型如圖8所示．
（2023 浙江模擬）如圖所示，斯特林發動機的機械裝置可以將圓周運動轉化為直線上的往復運動。連桿AB，OB可繞圖中A、B、O三處的轉軸轉動，連桿OB長為R，連桿AB長為L（L＞R），當OB桿以角速度ω逆時針勻速轉動時，滑塊在水平橫桿上左右滑動，連桿AB與水平方向夾角為α，AB桿與OB桿的夾角為β。在滑塊向左滑動過程中（　　）
A．滑塊A從右向左先做加速度減小的加速運動，后做加速度減小的減速運動
B．當OB桿與OA垂直時，滑塊的速度最大
C．當OB桿與OA垂直時，滑塊的速度大小為
D．當β＝90°時，滑塊的速度大小為
（2023 上饒模擬）某拐角處放著一根木棍，木棍下端B沿水平地面向右滑動，當木棍與水平方向的夾角為θ時，B點的瞬時速度大小為v0，則木棍上端A的速度大小為（　　）
A．v0cosθ B．v0sinθ C． D．v0tanθ
（2023 高州市一模）如圖所示，一根長為L的直桿一端抵在墻角，一端倚靠在物塊的光滑豎直側壁上，物塊向左以速度大小v運動時，直桿繞O點做圓周運動且始終與物塊間有彈力。當直桿與水平方向的夾角為θ時，則（　　）
A．A點速度大小也為v B．A點速度大小與θ有關
C．A點速度方向與θ無關 D．A點速度方向與OA成θ角
（2023 重慶模擬）如圖所示，物體A和小車用輕繩連接在一起，小車以速度v0向右勻速運動。當小車運動到圖示位置時，輕繩與水平方向的夾角為θ，關于此時物體A的運動情況的描述正確的是（　　）
A．物體A減速上升
B．物體A的速度大小vA＝v0
C．物體A的速度大小vA＝v0sinθ
D．物體A的速度大小vA＝v0cosθ
（2022 襄城區校級模擬）如圖所示，某人通過跨過定滑輪的繩子將小車拉上傾角為α的光滑斜面，人拉動繩子的速度v恒定，下列說法正確的是（　　）
A．小車沿斜面上升的過程中，人對繩子拉力恒定
B．小車沿斜面上升的過程中，小車的動能先增大后減小
C．小車沿斜面上升h高的過程中，繩子拉力對小車做的功大于小車重力勢能的增加量
D．當繩子與斜面斜邊的夾角為β時，小車的速度為
（多選）（2022 西城區校級模擬）如圖所示，光滑半圓軌道豎直放置，在軌道邊緣處固定一光滑定滑輪（忽略滑輪大小），一條輕繩跨過定滑輪且兩端分別連接小球A、B，小球A在水平拉力F作用下靜止于軌道最低點P。現增大拉力F使小球A沿著半圓軌道運動，當小球A經過Q點時速度為v，OQ連線與豎直方向的夾角為30°，則下列說法正確的是（　　）
A．小球A、B的質量之比為：2
B．小球A經過Q點時，小球B的速度大小為
C．小球A從P運動到Q的過程中，小球A、B組成的系統機械能一定在增加
D．小球A從P運動到Q的過程中，小球B的動能一直增加
[課時訓練]
一．選擇題（共12小題）
1．（2023 黃埔區三模）在一次足球比賽中，隊友甲示意隊友乙向前跑。當隊友乙在圖中位置以某一速度勻速前跑時，隊友甲將足球從靜止瞬間踢起，足球軌跡如圖所示且剛好落在隊友乙的腳下。用v表示隊友乙與足球的水平速度，s表示水平位移。速率越大，空氣阻力越大，從踢起足球到落地，下列圖像大致能反映乙和球的運動情況的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023春 蘭州期中）一下雨天，某同學測定雨滴下落速度的大小，發現雨滴水平方向分速度為2m/s，合速度與豎直方向成37°，sin37°＝0.6，則雨滴此時的速度大小（　　）
A．m/s B．2m/s C．m/s D．m/s
3．（2023春 虹口區校級期中）一輛汽車在水平公路上轉彎，沿曲線由M向N行駛，速度逐漸減小。如選項圖中分別畫出了汽車轉彎時所受合力F的四種方向，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023春 寧波期中）俄烏戰爭是2022年的頭條新聞，其中俄羅斯使用了一款反輻射導彈打擊敵方雷達，如圖是分析導彈工作時的軌跡示意圖，其中彈頭的速度v與其所受合外力F關系可能正確的是（　　）
A．圖中A點 B．圖中B點 C．圖中C點 D．圖中D點
5．（2021 烏蘭察布一模）如圖所示，長度為l＝1m的輕桿一端通過鉸鏈固定在地面上的O點，搭在一棱長為a＝18cm的正方體木塊上，向左推動木塊，輕桿繞O點轉動。當輕桿與地面成37°角時，木塊的速度大小為v＝3.0m/s，則輕桿最上端A點的速度大小為（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　　）
A．5.0m/s B．6.0m/s C．9.0m/s D．10m/s
6．（2021 邛崍市校級模擬）如圖所示，做勻速直線運動的汽車A通過一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，設重物和汽車的速度的大小分別為vB、vA，則（　　）
A．vA＝vB
B．vA＜vB
C．繩子對B的拉力大于B的重力
D．繩子對B的拉力等于B的重力
7．（2023春 泉州期中）質點僅在恒力F的作用下，由O點運動到A點的軌跡如圖所示，在A點時速度的方向與x軸平行，則下列說法錯誤的是（　　）
A．該質點做勻變速曲線運動
B．恒力F的方向可能沿y軸負方向
C．恒力F的方向可能沿x軸正方向
D．任意兩段相等時間內該質點速度變化量不僅大小相等而且方向相同
8．（2021 南充模擬）如圖所示，質量均為m的兩個滑塊A和B分別套在固定于豎直平面內相互垂直的光滑桿上，A和B用輕連桿通過鉸鏈相連，對B施加水平向左的外力F，使滑塊A緩慢勻速上升，撤去外力F后較短時間內，A的速度減為0，此時輕連桿與豎直桿的夾角θ＝30°，然后滑塊A下落且不反彈，不計鉸鏈處摩擦，輕連桿長度為L，重力加速度為g，以下說法正確的是（　　）
A．F作用過程中，滑塊B的速度保持不變
B．F作用過程中，滑塊B對水平桿的壓力逐漸增大
C．A下落過程中，B的速度一直增大
D．A下落過程中，接觸水平桿前瞬間，A的動能為mgL
9．（2023春 鼓樓區校級期中）如圖所示，小船以大小為v1＝5m/s、方向與上游河岸成θ＝60°角的速度（在靜水中的速度）從A處渡河，經過一段時間正好到達正對岸的B處．已知河寬d＝180m，則下列說法中正確的是（　　）
A．河中水流速度為
B．小船以最短位移渡河的時間為72s
C．小船渡河的最短時間為3.6s
D．小船以最短的時間渡河的位移是
10．（2023春 天河區校級期中）如圖，有一條寬為20m的河道，小船從岸邊某點渡河，渡河過程中始終保持船頭與河岸垂直，小船在靜水中的速度大小為5m/s，水流速度為12m/s，下列說法正確的是（　　）
A．小船在河水中行駛軌跡為曲線
B．小船在河水中的速度為10m/s
C．小船渡河時間為4s
D．小船在渡河過程中位移大小為48m
11．（2023春 東城區校級期中）一個質點從水平面內的xOy坐標系的原點出發開始運動，其沿x軸正方向的分速度隨時間變化的圖象及沿y軸正方向的位移隨時間變化的圖象如圖甲、乙所示，一條直線過坐標原點、與x軸正方向成30°角，如圖丙所示。質點經過該直線時的坐標為（　　）
A．（12m，4m） B．（9m，3m） C．（6m，2m） D．（3m，m）
12．（2021 南京模擬）如圖所示，質量為m的小環P套在豎直桿上，P通過不可伸長的輕繩跨過輕小定滑輪與質量也為m的物體Q相連。O點為桿上與定滑輪等高的點，桿上A點和B點分別在O點的上方和下方且到O點距離相等，h。將小環P從A點從靜止釋放，不計一切摩擦，已知繩始終繃緊，在小環P下降過程中，下列說法正確的是（　　）
A．小環從A到O的過程中，物體Q的動能不斷增大
B．小環從A到B的過程中，物體Q的機械能先減小再增大
C．小環到達O點時，小環的動能為mgh
D．小環到達B點時，小環的動能小于mgh
二．多選題（共2小題）
（多選）13．（2021 晉江市模擬）如圖所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質量為m的環，環套在豎直固定的光滑直桿上，光滑的輕小定滑輪與直桿的距離為d，桿上的A點與定滑輪等高，桿上的B點在A點下方距離為d處。現將環從A處由靜止釋放，不計一切摩擦阻力，下列說法正確的是（　　）
A．環到達B處時，環的速度大小是重物的倍
B．環從A到B過程中，環的機械能是減少的
C．環到達B處時，重物上升的高度d
D．環到達B處時，重物上升的高度為d
（多選）14．（2021 渭南模擬）如圖所示，固定豎直桿上套著一個質量為m的小滑塊（視為質點），用輕繩系著滑塊繞過小定滑輪（大小不計），另一端以大小為v的速度勻速運動，使滑塊沿豎直桿上升，先后經過A、B兩點。滑輪邊緣與輕繩相切于O點，O點到豎直桿的距離為L，∠OAC＝30°，∠OBC＝45°，重力加速度大小為g，不計一切摩擦。下列說法正確的是（　　）
A．滑塊經過A、B兩點時的速度大小之比為：
B．滑塊經過A、B兩點時的速度大小之比為：3
C．在滑塊從A點運動到B點的過程中，輕繩的拉力對滑塊做的功為（1）mgLmv2
D．在滑塊從A點運動到B點的過程中，輕繩的拉力對滑塊做的功為mgLmv2
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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