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第10講　圓周運(yùn)動(dòng)
目錄
[考試標(biāo)準(zhǔn)] 1
[基礎(chǔ)過關(guān)] 1
一、圓周運(yùn)動(dòng)、向心加速度、向心力 1
二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力 2
三、生活中的圓周運(yùn)動(dòng) 2
[命題點(diǎn)研究] 3
命題點(diǎn)一　描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量間的關(guān)系 3
命題點(diǎn)二　水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng) 7
命題點(diǎn)三　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題 12
[課時(shí)訓(xùn)練] 22
[考試標(biāo)準(zhǔn)]
知識(shí)內(nèi)容 考試要求 說明
圓周運(yùn)動(dòng)、向心加速度、向心力 d 1.不要求分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度問題． 2.不要求掌握向心加速度公式的推導(dǎo)方法． 3.不要求用“等效圓”處理一般曲線運(yùn)動(dòng)． 4.變速圓周運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)的切向分力和切向加速度不作定量計(jì)算要求． 5.不要求求解提供向心力的各力不在同一直線上的圓周運(yùn)動(dòng)問題． 6.不要求對(duì)離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)行定量計(jì)算． 7.不要求分析與計(jì)算兩個(gè)物體聯(lián)結(jié)在一起(包括不接觸)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的問題.
生活中的圓周運(yùn)動(dòng) c
[基礎(chǔ)過關(guān)]
一、圓周運(yùn)動(dòng)、向心加速度、向心力
1．勻速圓周運(yùn)動(dòng)
(1)定義：物體沿著圓周運(yùn)動(dòng)，并且線速度的大小處處相等．
(2)性質(zhì)：加速度大小不變，方向總是指向圓心的變加速曲線運(yùn)動(dòng)．
2．描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理量
(1)線速度：描述物體圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理量．
v＝＝.單位：m/s.
(2)角速度：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量．
ω＝＝.單位：rad/s.
(3)周期和頻率：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量．
T＝.
(4)轉(zhuǎn)速：物體單位時(shí)間內(nèi)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)．符號(hào)為n，單位：r/s(或r/min)．
(5)相互關(guān)系：v＝ωr＝r＝2πrf＝2πnr.
3．向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量．
an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力
1．作用效果
向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始終沿半徑方向指向圓心，時(shí)刻在改變，即向心力是一個(gè)變力．
4．來源
向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，還可以由一個(gè)力的分力提供．
三、生活中的圓周運(yùn)動(dòng)
1．火車轉(zhuǎn)彎
特點(diǎn)：重力與支持力的合力提供向心力．(火車應(yīng)按設(shè)計(jì)速度轉(zhuǎn)彎，否則將擠壓內(nèi)軌或外軌)
2．豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
(1)汽車過弧形橋
特點(diǎn)：重力和橋面支持力的合力提供向心力．
(2)水流星、繩模型、內(nèi)軌道
最高點(diǎn)：當(dāng)v≥時(shí)，能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)v<時(shí)，不能到達(dá)最高點(diǎn)．
3．離心運(yùn)動(dòng)定義
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受的合外力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力的情況下，就會(huì)做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)，即離心運(yùn)動(dòng)．
4．受力特點(diǎn)
當(dāng)F合＝mω2r時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)F合＝0時(shí)，物體沿切線方向飛出；
當(dāng)F合當(dāng)F合＞mω2r時(shí)，物體做近心運(yùn)動(dòng)．
[命題點(diǎn)研究]
命題點(diǎn)一　描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量間的關(guān)系
1．對(duì)公式v＝ωr的理解
當(dāng)r一定時(shí)，v與ω成正比；
當(dāng)ω一定時(shí)，v與r成正比；
當(dāng)v一定時(shí)，ω與r成反比．
2．對(duì)a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定時(shí)，a與r成反比；在ω一定時(shí)，a與r成正比．
3．常見的傳動(dòng)方式及特點(diǎn)
(1)皮帶傳動(dòng)：如圖2甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
圖2
(2)摩擦傳動(dòng)和齒輪傳動(dòng)：如圖3甲、乙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
圖3
(3)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)：如圖4甲、乙所示，繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比．
圖4
（2022 浙江模擬）今年第10號(hào)超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“海神“于2020年9月5日8點(diǎn)在西北太平洋洋面形成，上午8點(diǎn)10分到12分，形成階段的臺(tái)風(fēng)以幾乎不變的形狀在原地高速旋轉(zhuǎn)。圖中O點(diǎn)為臺(tái)風(fēng)眼，ω代表角速度，v代表線速度，T代表周期、a代表向心加速度，下列說法正確的是（　　）
A．ωA＞ωB B．a(chǎn)A＜aB C．TA＜TB D．vA＞vB
【解答】解：形成階段的臺(tái)風(fēng)以幾乎不變的形狀在原地高速旋轉(zhuǎn)，所以A、B兩點(diǎn)的角速度相等，ωA＝ωB，根據(jù)公式，可知周期相等，即TA＝TB；由于B的半徑大于A的半徑，根據(jù)v＝rω知，B的線速度大于A的線速度，即vA＜vB；由向心加速度與半徑的公式：a＝ω2r，由于B的半徑大于A的半徑，所以B的向心加速度大于A的向心加速度，即aA＜aB，故B正確，ACD錯(cuò)誤。
故選：B。
（2022 義烏市模擬）吉利英倫TX5是一款義烏制造的新能源汽車，用戶可以選裝可連續(xù)變換速度的無級(jí)變速器。如圖所示的是這種變速器的結(jié)構(gòu)示意圖，兩個(gè)錐輪之間有一個(gè)滾輪，主動(dòng)輪、滾動(dòng)輪、從動(dòng)輪之間靠著彼此之間的摩擦力帶動(dòng)，且沿轉(zhuǎn)動(dòng)的切線方向無相對(duì)滑動(dòng)，圖示位置主動(dòng)輪的直徑為D1，從動(dòng)輪的直徑為D2。下列說法中正確的是（　　）
A．若主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速不變，滾輪從右向左移動(dòng)時(shí)從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速將減小
B．無論滾輪怎樣移動(dòng)，滾輪、主動(dòng)輪、從動(dòng)輪的線速度大小都相等
C．圖示位置，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速之比為D1：D2
D．圖示位置，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的向心加速度之比為D1：D2
【解答】解：AB、主動(dòng)輪、滾動(dòng)輪、從動(dòng)輪之間靠彼此之間的摩擦力帶動(dòng)且不打滑，線速度相等，當(dāng)位于主動(dòng)輪和從動(dòng)輪之間的滾動(dòng)輪從右到左移動(dòng)時(shí)，主動(dòng)輪的半徑變大，從動(dòng)輪的半徑變小，若主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速恒定，則從動(dòng)輪轉(zhuǎn)速增加，故A錯(cuò)誤，B正確；
D、三個(gè)輪子的線速度相等，根據(jù)n＝f，T，可得v＝2πRn，即轉(zhuǎn)速與半徑成反比，故，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)a可知：，故D錯(cuò)誤；
故選：B。
（2022 鹿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，帶車牌自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)的直桿道閘，離地面高為1m的細(xì)直桿可繞O在豎直面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。汽車從自動(dòng)識(shí)別線ab處到達(dá)直桿處的時(shí)間為2.3s，自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)的反應(yīng)時(shí)間為0.3s；汽車可看成高1.6m的長(zhǎng)方體，其左側(cè)面底邊在aaˊ直線上，且O到汽車左側(cè)面的距離為0.6m，要使汽車安全通過道閘，直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度至少為（　　）
A．rad/s B．rad/s C．rad/s D．rad/s
【解答】解：設(shè)汽車恰好通過道閘時(shí)直桿轉(zhuǎn)過的角度為θ，
由幾何知識(shí)得：tanθ1，
解得：θ，
直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間：t＝t汽車﹣t反應(yīng)時(shí)間＝（2.3﹣0.3）s＝2s
直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度：ωrad/srad/s，故ABD錯(cuò)誤，C正確。
故選：C。
（2022 寧波二模）如圖所示為“行星減速機(jī)”的工作原理圖。“行星架”為固定件，中心“太陽(yáng)輪”為從動(dòng)件，其半徑為R1；周圍四個(gè)“行星輪”的半徑為R2，“齒圈”為主動(dòng)件，其中R1＝2R2。A、B、C分別是“太陽(yáng)輪”“行星輪”“齒圈”邊緣上的點(diǎn)。則在該狀態(tài)下（　　）
A．A點(diǎn)與B點(diǎn)的角速度相同
B．A點(diǎn)與C點(diǎn)的轉(zhuǎn)速相同
C．B點(diǎn)與C點(diǎn)的周期相同
D．A點(diǎn)與C點(diǎn)的線速度大小相同
【解答】解：齒輪傳動(dòng)，每個(gè)齒輪邊緣的線速度大小都相等，故A點(diǎn)與B點(diǎn)、C點(diǎn)的線速度大小相等，已知三點(diǎn)的半徑不同，由可知：A、B、C三點(diǎn)的角速度不同，由可知三點(diǎn)的轉(zhuǎn)速不同，由可知，三點(diǎn)的周期不同，故D周期，ABC錯(cuò)誤。
故選：D。
（2021 浙江模擬）兩級(jí)皮帶傳動(dòng)裝置如圖所示，輪1和輪2的半徑相同，輪2和輪3兩個(gè)同心輪固定在一起，輪3和輪4的半徑相同，且為輪1和輪2半徑的一半，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)皮帶和輪子之間均不打滑，則輪1邊緣的a點(diǎn)和輪4邊緣的c點(diǎn)相比（　　）
A．線速度大小之比為1：4
B．向心加速度大小之比為8：1
C．周期之比為4：1
D．角速度大小之比為1：8
【解答】解：A、輪1和輪3線速度相同，輪2和輪4線速度相同，輪2和輪3角速度相同，根據(jù)v＝ωr，v2＝2v3，所以
故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)向心加速度的定義式：
解得故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)線速度與周期的關(guān)系式
解得：故C正確；
D、根據(jù)角速度與周期的關(guān)系式：
故D錯(cuò)誤。
故選：C。
命題點(diǎn)二　水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
解決圓周運(yùn)動(dòng)問題的主要步驟：
1．審清題意，確定研究對(duì)象，明確物體做圓周運(yùn)動(dòng)的平面是至關(guān)重要的一環(huán)；
2．分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，軌道平面、圓心位置、半徑大小以及物體的線速度是否變化；
3．分析物體的受力情況，畫出受力分析圖，確定向心力的來源；
4．根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律及向心力公式列方程．
（2023春 溫州期中）如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的物體A、B隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B的質(zhì)量分別為3m、2m，A與B、B與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，A和B離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離都為r，重力加速度為g，設(shè)本題中的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。下列說法正確的是（　　）
A．A對(duì)B的摩擦力沿水平方向指向圓心O點(diǎn)
B．物塊B對(duì)物塊A的摩擦力一定為3μmg
C．轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物塊B的摩擦力的大小一定為5mω2r
D．轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度一定滿足：
【解答】解：A.對(duì)A進(jìn)行受力分析，A在水平方向只受到B給的摩擦力，所以是B給的摩擦力來提供向心力，B給A的摩擦力指向圓心，所以A給B的摩擦力是背離圓心方向，故A錯(cuò)誤；
B.由于AB之間是靜摩擦力，靜摩擦力的大小需要根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)情況來計(jì)算，不一定是最大值，故B錯(cuò)誤；
C.對(duì)AB整體進(jìn)行受力分析，在水平方向只受到轉(zhuǎn)臺(tái)給的摩擦力，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律可得，f＝（2m+3m）ω2r，故C正確；
D.當(dāng)AB與轉(zhuǎn)臺(tái)之間的摩擦力達(dá)到最大值就是兩物體滑動(dòng)的臨界狀態(tài)，此時(shí)有：μ×5mg＝5mω2r，求得，故D錯(cuò)誤。
故選：C。
（2023 高新區(qū)模擬）如圖所示，半徑分別為rA、rB的兩圓盤水平放置，圓盤的邊緣緊密接觸，當(dāng)兩圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓盤的邊緣不打滑，質(zhì)量分別為mA、mB的物塊A、B（均視為質(zhì)點(diǎn)）分別放置在兩圓盤的邊沿，與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μA、μB，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，現(xiàn)讓圓盤繞過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)起來，A比B先滑動(dòng)的條件是（　　）
A．μArA＜μBrB B．μArB＜μBrA
C． D．
【解答】解：由牛頓第二定律與圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，當(dāng)A剛要相對(duì)圓盤滑動(dòng)時(shí)摩擦力提供向心力，則：
解得
當(dāng)B剛要相對(duì)圓盤滑動(dòng)時(shí)
解得
當(dāng)A比B先滑動(dòng)時(shí)，則有vA＜vB
即
化簡(jiǎn)可得μArA＜μBrB，故A正確，BCD錯(cuò)誤。
故選：A。
（2023春 房山區(qū)期中）如圖所示，餐桌中心是一個(gè)可以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)、半徑R為1米的圓盤。圓盤與餐桌在同一水平面內(nèi)且兩者之間的間隙可忽略不計(jì)。放置在圓盤邊緣的質(zhì)量為m＝0.1kg的物體與圓盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1＝0.4，與餐桌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2＝0.2，餐桌高h(yuǎn)＝0.8米。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g取m/s2。
（1）為使物體不滑到餐桌上，求圓盤的角速度的最大值ω；
（2）緩慢增大圓盤的角速度，物體將從圓盤上滑出。
a、為使物體不滑落到地面，求餐桌半徑的最小值R1；
b、若餐桌半徑R2＝1.25m，求物體離開圓盤后水平方向總位移x。
【解答】解：（1）為使物體不從圓盤上滑出，則μ1mg≥mω2R
解得：ω≤2rad/s
所以為使物體不滑到餐桌上，圓盤的角速度的最大值ω為2rad/s。
（2）a、設(shè)物體恰好從圓盤上滑出時(shí)的速度為v1，由（1）可知物體恰好從圓盤上滑出時(shí)圓盤的角速度為2rad/s，則
v1＝ωR＝2×1m/s＝2m/s
物體恰好不滑落到地面，滑到餐桌邊緣速度減到0，有
μ2mg＝ma
2ax1
聯(lián)立解得物體滑過的位移：x1＝1m
餐桌最小半徑R1mm
b、若餐桌半徑R2＝1.25m，物體在餐桌上滑行的距離為
x2m＝0.75m
根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：
2（﹣μ2g）x2
解得物體離開桌邊的水平速度：v2＝1m/s
設(shè)物體離開桌面平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2，則h
解得：t2＝0.4s
平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移大小為x3＝v2t2＝1×0.4m＝0.4m
物體離開圓盤后水平方向總位移為
x＝x2+x3＝0.75m+0.4m＝1.15m
答：（1）為使物體不滑到餐桌上，圓盤的角速度的最大值ω為2rad/s；
（2）a、餐桌半徑的最小值R1為m；b、物體離開圓盤后水平方向總位移x為1.15m。
（2022秋 清江浦區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合。轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω0勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，此時(shí)小物塊受到的摩擦力恰好為0，且它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度為g。
（1）求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω0；
（2）若改變轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度，當(dāng)ω＝1.4ω0時(shí)，小物塊仍與罐壁相對(duì)靜止，求此時(shí)小物塊受到的摩擦力的大小和方向。
【解答】解：（1）對(duì)小物塊進(jìn)行受力分析，小物塊受重力與彈力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg tan60°＝mR sin60°
解得ω0
（2）設(shè)支持力N，摩擦力f，對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，如圖所示：
物塊在豎直方向受力平衡，水平方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則
豎直方向：N cos60°＝mg+f sin60°
水平方向：N sin60°+f cos60°＝（1.4）2mR sin60°
解得：f＝0.48mg
方向與罐壁相切斜向下。
答：（1）轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為
（2）此時(shí)小物塊受到的摩擦力的大小為0.48mg，方向與罐壁相切斜向下。
（2023 漳州二模）如圖甲為生產(chǎn)流水維上的皮帶轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)，由一段直線形水平傳送帶和一段圓弧形水平傳送帶平滑連接而成，其俯視圖如圖乙所示，虛線ABC是皮帶的中線，AB段（直線）長(zhǎng)度L＝3.2m，BC段（圓弧）半徑R＝2.0m，中線上各處的速度大小均為1.0m/s。某次轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)傳送一個(gè)質(zhì)量m＝0.5kg的小物件時(shí)，將小物件輕放在直線旋帶的起點(diǎn)A處，被傳送至B處，滑上圓弧皮帶上時(shí)速度大小不變。已知小物件與兩皮帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝0.5，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）求小物件在直線皮帶上加速過程的位移大小s；
（2）計(jì)算說明小物件在圓弧皮帶上是否打滑？并求出摩擦力大小。
【解答】解：（1）小物件在直線皮帶上加速過程，由牛頓第二定律可得：μmg＝ma
代入數(shù)據(jù)解得：a＝5m/s2
根據(jù)速度—位移關(guān)系可得：v2＝2as
代入數(shù)據(jù)解得：s＝0.1m；
（2）假設(shè)小物件在圓弧皮帶上做圓周運(yùn)動(dòng)，則需要的摩擦力大小為：
f＝mN＝0.25N
最大靜摩擦力：fm＝μmg＝0.5×0.5×10N＝2.5N＞0.25N
因此，假設(shè)成立，小物件在圓弧皮帶上不打滑，摩擦力大小為f＝0.25N。
答：（1）小物件在直線皮帶上加速過程的位移大小為0.1m；
（2）小物件在圓弧皮帶上不打滑，摩擦力大小為0.25N。
命題點(diǎn)三　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題
繩、桿模型涉及的臨界問題
繩模型 桿模型
常見類型 均是沒有支撐的小球 均是有支撐的小球
過最高點(diǎn)的臨界條件 由mg＝m得v臨＝ 由小球恰能做圓周運(yùn)動(dòng)得v臨＝0
討論分析 (1)能過最高點(diǎn)時(shí)，v≥，F(xiàn)N＋mg＝m，繩、圓軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力FN(FN≥0) (2)不能過最高點(diǎn)時(shí)，v<，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道 (1)當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心 (2)當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大
模型1　輕繩模型
（2023 全國(guó)）如圖，水平地面上放有一質(zhì)量為M的⊥形支架。一質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為l的輕繩連接在支架頂端，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g。已知小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度大小為v，此時(shí)地面受到的正壓力大小為（　　）
A．Mg B．（M+m）g
C．（M+m）g+m D．（M+m）g﹣m
【解答】解：小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，小球受豎直向下的重力和輕繩豎直向上的拉力，根據(jù)牛頓第二定律，T﹣mg＝m，對(duì)M受力分析，受豎直向下的重力、小球?qū)K子豎直向下的拉力和自身的重力，根據(jù)平衡條件F＝Mg+T＝（M+m）g+m，根據(jù)牛頓第三定律，地面受到的正壓力與地面對(duì)M的支持力F大小相等，故C正確，ABD錯(cuò)誤。
故選：C。
（2022秋 龍港區(qū)校級(jí)期末）某教師受兒童娛樂場(chǎng)過山車與彩色滑道項(xiàng)目的啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置，豎直放置的光滑曲線軌道AM、水平軌道MN與光滑圓軌道O在M點(diǎn)平滑連接，在B點(diǎn)安裝有壓力傳感器并與計(jì)算機(jī)連接（B為圓軌道的最高點(diǎn)），已知圓O的半徑為R。一質(zhì)量為m的小物塊從距水平軌道高h(yuǎn)處的A點(diǎn)無初速度滑下，經(jīng)過圓軌道O后到達(dá)水平軌道MN，壓力傳感器顯示小物塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為。下列說法正確的是（　　）
A．h＝3R
B．小物塊滑過M點(diǎn)時(shí)加速度大小a＝5.5g
C．減小h，小物塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力增大
D．減小h，小物塊經(jīng)過M點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力差一定減小
【解答】解：A．物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得
mgh＝mg×2R
在B點(diǎn)由牛頓第二定律得
又
整理解得h＝2.75R
故A錯(cuò)誤；
B．物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得
M點(diǎn)有NM﹣mg＝m
聯(lián)立整理解得
NM＝6.5mg
NM﹣NB＝6.5mg﹣0.5mg＝6mg
故B正確；
CD．減少h，小物塊經(jīng)過M點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)的速度減小，由牛頓第二定律表達(dá)式
可知，B點(diǎn)軌道彈力減小，經(jīng)過M點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)壓力差為
NM﹣NB＝mmg﹣（mmg）＝2mg+4mg＝6mg
壓力差恒定不變，故CD錯(cuò)誤。
故選：B。
（多選）（2023 廣州二模）如圖為某種秋千椅的示意圖，“”形輕質(zhì)鋼制支架O1A1A2O2固定在豎直面內(nèi)，A1A2沿水平方向，四根等長(zhǎng)輕質(zhì)硬桿通過光滑鉸鏈O1、O2懸掛長(zhǎng)方形勻質(zhì)椅板B1C1C2B2，豎直面內(nèi)的O1B1C1、O2C2B2為等邊三角形，并繞O1、O2沿圖中虛線來回?cái)[動(dòng)。已知重力 加速度為g，椅板的質(zhì)量為m，則椅板擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)（　　）
A．B1、C1兩點(diǎn)角速度相等
B．B2、C2兩點(diǎn)線速度相同
C．O1A1受到的拉力等于mg
D．O2A2受到的拉力大于mg
【解答】解：A.B1C1為同軸傳動(dòng)，則角速度相同，故A正確；
B.B2C2兩點(diǎn)的線速度大小一樣，方向不同，故B錯(cuò)誤；
C.D.板B1C1C2B2板子在運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)處于超重狀態(tài)，合力向上，所以每根硬桿的拉力大于mg，故C錯(cuò)誤，D正確。
故選：AD。
（多選）（2022秋 煙臺(tái)期末）如圖所示，一水平固定硬桿的a、b兩點(diǎn)分別拴有兩根長(zhǎng)為l＝0.625m的輕繩，兩輕繩均可繞拴接點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，兩輕繩的下端拴接在一質(zhì)量為m＝1kg的小球上，此時(shí)兩輕繩與豎直方向的夾角均為37°，開始時(shí)小球在最低點(diǎn)保持靜止，現(xiàn)給小球一個(gè)垂直于紙面向里的水平初速度v0，已知cos37°＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，不計(jì)一切摩擦阻力，則在小球運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．若小球在最高點(diǎn)時(shí)速度為4m/s，則v0＝6m/s
B．若v0＝5m/s，則小球在最低點(diǎn)時(shí)輕繩的張力為37.5N
C．要使小球能完成圓周運(yùn)動(dòng)，小球過圓周最高點(diǎn)時(shí)速度不能小于m/s
D．若小球能完成圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)輕繩的張力之差為60N
【解答】解：A、若小球在最高點(diǎn)時(shí)速度為v＝4m/s，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝lcos37°＝0.625×0.8m＝0.5m。根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得mv2+mg 2R，解得v0＝6m/s，故A正確；
B、若v0＝5m/s，設(shè)小球在最低點(diǎn)時(shí)輕繩的張力為T，根據(jù)牛頓第二定律可得2Tcos37°﹣mg＝m，解得：T＝37.5N，故B正確；
C、要使小球能完成圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球過圓周最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為vmin，此時(shí)重力恰好提供向心力，則有mg＝m
解得vminm/sm/s，故C正確；
D、若小球能完成圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒可得
mv2+mg 2R
小球在最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得
2T1cos37°﹣mg＝m
小球在最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得
2T2cos37°+mg＝m
小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)輕繩的張力之差為ΔT＝T1﹣T2
聯(lián)立解得：ΔT＝37.5N，故D錯(cuò)誤。
故選：ABC。
模型2　輕桿模型
（多選）（2021春 廣元期末）如圖甲所示，輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，其FN﹣v2圖像如圖乙所示。則（　　）
A．小球的質(zhì)量為
B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?br/>C．v2＝3b時(shí)，在最高點(diǎn)桿對(duì)小球的彈力大小為2a
D．v2＝c時(shí)，在最高點(diǎn)桿對(duì)小球的彈力方向向上
【解答】解：AB、在最高點(diǎn)，若v＝0，則彈力與重力平衡FN＝mg＝a
若FN＝0，則重力恰好提供向心力mg＝m
解得g
mR
故A正確，B錯(cuò)誤；
C、若v2＝3b，則FN+mg＝m
解得FN＝2a
故C正確。
D、由圖可知：當(dāng)v2＜b時(shí)，桿對(duì)小球彈力方向向上，當(dāng)v2＞b時(shí)，桿對(duì)小球彈力方向向下，所以當(dāng)v2＝c時(shí)，桿對(duì)小球彈力方向向下，故D錯(cuò)誤；
故選：AC。
（2023春 越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿一端固定在水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一質(zhì)量為m的小球。輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度g。
（1）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，求桿對(duì)球的拉力大小；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到水平位置A時(shí)，求桿對(duì)球的向心力大小；
（3）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，求桿對(duì)球的作用力。
【解答】解：（1）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)桿對(duì)球的作用力F1，由牛頓第二定律可得
F1﹣mg＝mLω2
可得桿對(duì)球的拉力大小為
F1＝mg+mLω2
（2）小球運(yùn)動(dòng)到水平位置A時(shí)，水平方向有
F向＝mLω2
（3）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，設(shè)桿對(duì)球的作用力大小F2，方向豎直向下，由牛頓第二定律可得
F2+mg＝mLω2
可得
F2＝mLω2﹣mg
當(dāng)mLω2＝mg，即ω時(shí)，F(xiàn)2＝0，即桿對(duì)球沒有作用力；
當(dāng)ω時(shí)，F(xiàn)2＞0，F(xiàn)2＝mLω2﹣mg，桿對(duì)球的作用力豎直向下；
當(dāng)0≤ω時(shí)，F(xiàn)2＜0，F(xiàn)2＝mg﹣mLω2，桿對(duì)球的作用力豎直向上。
答：（1）桿對(duì)球的拉力大小為mg+mLω2；
（2）桿對(duì)球的向心力大小F向＝mLω2；
（3）見解析。
（2023春 深圳期中）如圖所示為風(fēng)靡小朋友界的風(fēng)火輪賽車競(jìng)速軌道的部分示意圖。一質(zhì)量為m＝0.5 kg的賽車（視為質(zhì)點(diǎn)）從A處出發(fā)，以速率v1＝0.1 m/s駛過半徑R1＝0.1 m的凸形橋B的頂端，經(jīng)CD段直線加速后從D點(diǎn)進(jìn)入半徑為R2＝0.2 m的豎直圓軌道，并以某速度v2駛過圓軌的最高點(diǎn)E，此時(shí)賽車對(duì)軌道的作用力恰好為零。重力加速度g取10 m/s2，試計(jì)算：
（1）賽車在B點(diǎn)受到軌道支持力的大小；
（2）若賽車以2v2的速率經(jīng)過E點(diǎn)，求軌道受到來自賽車的彈力；
（3）已知賽車經(jīng)直線加速后從D點(diǎn)進(jìn)入豎直軌道的速度為vD＝4 m/s，求賽車從D點(diǎn)到E點(diǎn)的過程中克服阻力做的功。
【解答】解：（1）對(duì)B處的賽車，根據(jù)牛頓第二定律得：
解得賽車受到的支持力為：FN＝4.95N。
（2）賽車以速度v2駛過圓軌的最高點(diǎn)E時(shí)，因此時(shí)賽車對(duì)軌道的作用力恰好為零，由重力提供向心力，則有：
解得：v2m/s
賽車以2v2過E點(diǎn)時(shí)，會(huì)受到外軌道對(duì)其指向圓心的壓力，根據(jù)牛頓第二定律得：
解得：F'N＝15N
根據(jù)牛頓第三定律知，軌道受到來自賽車的彈力方向豎直向上，大小為15N。
（3）賽車從D點(diǎn)到E點(diǎn)，由動(dòng)能定理，得
解得從D到E過程賽車克服摩擦阻力做功為Wf＝1.5J
答：（1）賽車在B點(diǎn)受到軌道支持力的大小為4.95N；
（2）軌道受到來自賽車的彈力大小為15N，方向豎直向上；
（3）賽車從D點(diǎn)到E點(diǎn)的過程中克服阻力做的功為1.5J。
模型3　凹形橋與拱形橋模型
FN－mg＝ 概述 如圖所示為凹形橋模型．當(dāng)汽車通過凹形橋的最低點(diǎn)時(shí)，向心力Fn＝FN－mg＝m
規(guī)律 橋?qū)嚨闹С至N＝mg＋m＞mg，汽車處于超重狀態(tài)
mg－FN＝ 概述 如圖所示為拱形橋模型．當(dāng)汽車通過拱形橋的最高點(diǎn)時(shí)，向心力Fn＝mg－FN＝m
規(guī)律 橋?qū)嚨闹С至N＝mg－m＜mg，汽車處于失重狀態(tài)．若v＝，則FN＝0，汽車將脫離橋面做平拋運(yùn)動(dòng)
（2023春 賀蘭縣校級(jí)月考）如圖所示，當(dāng)汽車通過拱橋頂點(diǎn)的速度為10m/s時(shí)，車對(duì)橋頂?shù)膲毫檐囍氐模绻蛊囋诖植诘臉蛎嫘旭傊翗蝽敃r(shí)，不受摩擦力作用，則汽車通過橋頂?shù)乃俣葢?yīng)為（　　）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s
【解答】解：如果要使汽車在粗糙的橋面行駛至橋頂時(shí)，不受摩擦力作用，即汽車只受重力作用，則有
當(dāng)汽車通過拱橋頂點(diǎn)的速度為10m/s時(shí)，車對(duì)橋頂?shù)膲毫檐囍氐模粗С至椋瑒t有
聯(lián)立解得：v′＝20m/s，故B正確，ACD錯(cuò)誤。
故選：B。
（2023春 豐臺(tái)區(qū)期中）汽車過拱橋時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以看成圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，汽車以速度v通過半徑為R的拱形橋最高點(diǎn)時(shí)，以下說法正確的是（　　）
A．汽車處于超重狀態(tài)
B．汽車對(duì)橋的壓力小于橋?qū)ζ嚨闹С至?br/>C．無論汽車速度多大，汽車對(duì)橋始終有壓力
D．橋?qū)ζ嚨闹С至Υ笮?br/>【解答】解：ABD、對(duì)汽車，根據(jù)牛頓第二定律有，解得橋?qū)ζ嚨闹С至Υ笮。簃g，汽車處于失重狀態(tài)，根據(jù)牛頓第三定律可知汽車對(duì)橋的壓力等于橋?qū)ζ嚨闹С至Γ蔄B錯(cuò)誤，D正確；
C、由上述表達(dá)式可知當(dāng)時(shí)，汽車對(duì)橋無壓力，故C錯(cuò)誤；
故選：D。
（2023 濱海新區(qū)校級(jí)模擬）石拱橋是中國(guó)傳統(tǒng)橋梁的四大基本形式之一。假設(shè)某拱形橋?yàn)閳A的一部分，半徑為R。一輛質(zhì)量為m的汽車以速度v勻速率通過該橋，圖中Q為拱形橋的最高點(diǎn)，圓弧PQS所對(duì)的圓心角為90°，PS關(guān)于QO對(duì)稱，汽車運(yùn)動(dòng)過程中所受阻力大小恒定，重力加速度為g。下列說法正確的是 （　　）
A．汽車運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)對(duì)橋面的壓力大于mgcos45°
B．汽車運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)牽引力大于阻力
C．汽車運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，橋面對(duì)汽車的支持力等于汽車重力
D．汽車從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)過程中，其牽引力一定一直減小
【解答】解：A、汽車運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，重力垂直于橋面的分力等于mgcos45°，由于汽車在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，沿半徑方向有向心加速度，所以汽車對(duì)橋面的壓力小于mgcos45°，故A錯(cuò)誤；
B、汽車在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)牽引力等于阻力，故B錯(cuò)誤；
C、由于汽車在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以汽車運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)橋面對(duì)汽車的支持力小于汽車重力，故C錯(cuò)誤；
D、汽車從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)過程中，重力沿圓弧切線方向的分力一直減小，設(shè)汽車與Q之間圓弧所對(duì)圓心角為θ，其牽引力F＝mgsinθ+f，一直減小，汽車從Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)過程中，重力沿圓弧切線方向的分力一直增大，其牽引力F＝f﹣mgsinθ一直減小，所以汽車從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)過程中，其牽引力一定一直減小，故D正確；
故選：D。
[課時(shí)訓(xùn)練]
一．選擇題（共10小題）
1．（2023 汕頭一模）汽車的制動(dòng)安全和制動(dòng)舒適性是考量制動(dòng)性能的兩大標(biāo)準(zhǔn)，ABS系統(tǒng)能讓車輛在緊急制動(dòng)時(shí)保有理想的抓地力而讓制動(dòng)依然可控，車速平穩(wěn)下降從而化解險(xiǎn)情。檢測(cè)人員在某直線路段測(cè)試，如圖為當(dāng)ABS啟動(dòng)時(shí)車身速度—時(shí)間圖像和車輪的轉(zhuǎn)速—時(shí)間圖像，則制動(dòng)后，以下判斷正確的是（　　）
A．車輪轉(zhuǎn)速不斷減小
B．車身的加速度不斷減小
C．車身做勻減速直線運(yùn)動(dòng)
D．車身速度大小始終與車輪轉(zhuǎn)速大小相等
【解答】解：A．從車輪的轉(zhuǎn)速—時(shí)間圖像可知，車輪做減速—加速—減速—加速……的變速運(yùn)動(dòng)，直到速度減小為零，所以說車輪的轉(zhuǎn)速并不是不斷減小的，故A錯(cuò)誤；
BC．從車身的速度—時(shí)間圖像可知，速度與時(shí)間的圖像關(guān)系為斜率恒定的直線，直線斜率表示加速度，因此車身做的是加速度恒定的勻減速運(yùn)動(dòng)，故B錯(cuò)誤，C正確；
D．車身的速度—時(shí)間圖像與車輪轉(zhuǎn)速—時(shí)間圖像不重疊，因此車身速度大小與車輪轉(zhuǎn)速大小并不相等，故D錯(cuò)誤。
故選：C。
2．（2023 沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，中國(guó)航天員葉光富進(jìn)行太空授課時(shí)，用細(xì)繩系住小瓶并使小瓶繞細(xì)繩另一端做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，瓶中混合的水和油將分層。則（　　）
A．分層的原因是水和油受到重力
B．密度較大的水集中于小瓶的底部
C．水和油做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小相等
D．水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由瓶底對(duì)水的彈力提供
【解答】解：AB．水的密度大于油的密度，在混合液體中取半徑相同處體積相等的水和油的液體小球，水球的質(zhì)量大，根據(jù)向心力公式：
可知，水球需要的向心力更大，故當(dāng)向心力不足時(shí)，將會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，水會(huì)向瓶底移動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)讓試管里的水和油都發(fā)生了離心現(xiàn)象，密度較大的水將集中于試管的底部，故A錯(cuò)誤，B正確；
C．水和油都繞著同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，具有相同的角速度，根據(jù)線速度、角速度和半徑的公式：v＝ωr
可知，水和油做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不相等，故C錯(cuò)誤；
D．水對(duì)油有指向圓心的作用力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，而水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由瓶底對(duì)水的彈力和油對(duì)水的作用力的合力提供，故D錯(cuò)誤。
故選：B。
3．（2023 郴州模擬）如圖所示。質(zhì)量均為m的a、b兩小球用不可伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩懸掛起來，使小球a在豎直平面內(nèi)來回?cái)[動(dòng)，小球b在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，連接小球b的繩子與豎直方向的夾角和小球a擺動(dòng)時(shí)繩子偏離豎直方向的最大夾角都為θ，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
A．小球b在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝2π
B．小球a擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力為2mg（1﹣cosθ）
C．a(chǎn)、b兩小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為cosθ
D．小球a運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)受到的繩子拉力為mgsinθ
【解答】解：A、小球b在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力和拉力的合力提供向心力，有：mgtanθ＝mLsinθ
解得：T＝2π
故A正確；
B、小球a擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)球受力分析，由牛頓第二定律得：F﹣mg＝m
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得：mg（L﹣Lcosθ）mv2
聯(lián)立解得：F＝（3﹣2cosθ）mg
故B錯(cuò)誤；
C、a、b兩小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為Ra：Rb＝L：Lsinθ＝1：sinθ
故C錯(cuò)誤；
D、小球a運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為0，所需要的向心力為0，將重力分解到沿繩方向和垂直于繩方向，拉力為F′＝mgcosθ
故D錯(cuò)誤。
故選：A。
4．（2023 武漢模擬）剪紙藝術(shù)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，經(jīng)久不衰，是中國(guó)民間藝術(shù)中的瑰寶。將如圖所示具有對(duì)稱性的剪紙平放并固定在水平圓盤上，剪紙中心與圓盤中心重合，圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在暗室中用每秒閃光10次的頻閃光源照射圓盤，暗室中靜止不動(dòng)的觀察者觀察到剪紙相對(duì)靜止，則圓盤的轉(zhuǎn)速至少為（　　）
A．0.02r/s B．2r/s C．4r/s D．4πr/s
【解答】解：每秒閃光10次的頻閃光源的閃光周期Ts＝0.1s，也等于兩次閃光的時(shí)間間隔，在這個(gè)間隔時(shí)間內(nèi)，圓盤轉(zhuǎn)過2π弧度的，或者這個(gè)角度的整數(shù)倍，使圖案重合，就會(huì)使暗室中靜止不動(dòng)的觀察者觀察到剪紙相對(duì)靜止。設(shè)圓盤轉(zhuǎn)速至少為n，則n，再根據(jù)角速度的定義得：，代入上式得n＝2r/s，故B正確，ACD錯(cuò)誤。
故選：B。
5．（2023 嘉定區(qū)二模）2022年我國(guó)航天員在空間站太空艙開設(shè)“天宮課堂”，課堂演示了“水油分離”實(shí)驗(yàn)。如圖所示，用細(xì)繩系住裝有水和油的瓶子，手持細(xì)繩的另一端，使瓶子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則（　　）
A．只要瓶子有速度，就能通過圓周的最高點(diǎn)水油分離后，水在外側(cè)
B．只要瓶子有速度，就能通過圓周的最高點(diǎn)水油分離后，油在外側(cè)
C．瓶子的速度需大于某一值才能通過圓周的最高點(diǎn)水油分離后，水在外側(cè)
D．瓶子的速度需大于某一值才能通過圓周的最高點(diǎn)水油分離后，油在外側(cè)
【解答】解：瓶子隨空間站做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，處于完全失重狀態(tài)，由繩子拉力提供向心力，只要瓶子有速度，就能通過圓周的最高點(diǎn)。
水的密度比油大，單位體積水的質(zhì)量大。瓶子中的油和水做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，根據(jù)F＝mrω2，水做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力大，當(dāng)合力F不足以提供向心力時(shí)，水先做離心運(yùn)動(dòng)，所以瓶子通過圓周的最高點(diǎn)水油分離后，水在外側(cè)，油在內(nèi)側(cè)，故A正確，BCD錯(cuò)誤。
故選：A。
6．（2023 湖北模擬）明朝的《天工開物》記載了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧。如圖所示，可轉(zhuǎn)動(dòng)的把手上a點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為2R，轆轤邊緣b點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為R。甲轉(zhuǎn)動(dòng)把手，把井底的乙加速拉起來，則此過程中（　　）
A．繩對(duì)乙的拉力大于乙對(duì)繩的拉力
B．繩對(duì)乙的拉力做功大于乙克服重力做功
C．a(chǎn)點(diǎn)的角速度大于b點(diǎn)的角速度
D．a(chǎn)點(diǎn)的線速度小于b點(diǎn)的線速度
【解答】解：A、繩對(duì)乙的拉力與乙對(duì)繩的拉力是一對(duì)相互作用力，大小相等，方向相反，即繩對(duì)乙的拉力大小等于乙對(duì)繩的拉力，故A錯(cuò)誤；
B、由于乙被加速拉起，其加速度方向向上，即繩對(duì)乙的拉力大于重力，可知繩對(duì)乙的拉力做功大于乙克服重力做功，故B正確；
C、a、b兩點(diǎn)屬于同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相同，即a點(diǎn)的角速度等于b點(diǎn)的角速度，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)va＝2ωR，vb＝ωR可知，a點(diǎn)的線速度大于b點(diǎn)的線速度，故D錯(cuò)誤。
故選：B。
7．（2023 遼寧模擬）圖（a）為航天員“負(fù)荷”訓(xùn)練的載人水平旋轉(zhuǎn)離心機(jī)，離心機(jī)旋轉(zhuǎn)臂的旋轉(zhuǎn)半徑為R＝8m，圖（b）為在離心機(jī)旋轉(zhuǎn)臂末端模擬座艙中質(zhì)量為m的航天員。一次訓(xùn)練時(shí)，離心機(jī)的轉(zhuǎn)速為，航天員可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g取10m/s2。下列說法正確的是（　　）
A．航天員處于完全失重狀態(tài)
B．航天員運(yùn)動(dòng)的線速度大小為12m/s
C．航天員做勻速圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力為72N
D．航天員承受座艙對(duì)他的作用力大于7.2mg
【解答】解：A、航天員隨離心機(jī)旋轉(zhuǎn)臂在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在豎直方向受力平衡，不會(huì)處于完全失重狀態(tài)，故A錯(cuò)誤；
B、航天員在旋轉(zhuǎn)臂末端的座艙中，轉(zhuǎn)速為，線速度大小為v＝2πRn＝2π×8m/s＝24m/s，故B錯(cuò)誤；
C、航天員做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小為，由于不知道航天員質(zhì)量的具體數(shù)值，故不能求出向心力的具體數(shù)值，故C錯(cuò)誤；
D、對(duì)航天員受力分析，在水平方向座艙對(duì)他的作用力提供向心力，可知座艙對(duì)航天員的水平作用力為Fx＝mm72m＝7.2mg
豎直方向座艙對(duì)航天員的作用力為Fy＝mg，因此座艙對(duì)航天員的作用力為FFx＝7.2mg，故D正確。
故選：D。
8．（2023 通遼模擬）如圖，一質(zhì)量為m的小球從豎直光滑圓軌道的最低點(diǎn)P以v0開始運(yùn)動(dòng)，圓軌道的圓心為O，半徑為R，圓軌道上有一點(diǎn)Q，OQ與OP間夾角為θ，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．若小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小球做一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間小于
B．小球經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為mgcosθ+m
C．只有當(dāng)v0時(shí)，小球才不會(huì)脫離圓軌道
D．小球完成次完整的圓周運(yùn)動(dòng)的過程，小球重力的平均功率不為零
【解答】解：A、小球進(jìn)入圓形軌道后先做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，再做加速度逐漸增大的加速運(yùn)動(dòng)，回到最低點(diǎn)時(shí)速度又變成了v0，所以小球的平均速率小于v0，因此小球做一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間t，故A錯(cuò)誤；
B、設(shè)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，由機(jī)械能守恒定律有
mgR（1﹣cosθ）
在Q點(diǎn)，對(duì)小球，由向心力公式有：FN﹣mgcosθ＝m
解得：FN＝mgcosθ+m
根據(jù)牛頓第三定律可知小球經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為mgcosθ+m，故B正確；
C、當(dāng)小球能過最高點(diǎn)時(shí)，滿足mg≤m
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：mg 2R
解得v0
當(dāng)小球不能到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，滿足：mgR，解得v0，故C錯(cuò)誤；
D、完成一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力做功為0，重力的平均功率也為0，故D錯(cuò)誤。
故選：B。
9．（2023 遼寧模擬）如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩拉著質(zhì)量為m的小球保持靜止。現(xiàn)在給小球一個(gè)水平初速度，使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則下列判斷正確的是（　　）
A．小球在最高點(diǎn)的速度可以等于0
B．小球獲得的初速度大小為
C．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的過程中僅有一處合力指向圓心
D．小球過最低點(diǎn)與最高點(diǎn)時(shí)受到繩的拉力大小之差等于6mg
【解答】解：A．小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，若小球恰好能通過最高點(diǎn)，則由重力提供向心力，可得
mg＝m
解得
v
可知小球能通過最高點(diǎn)的最小速度是，因此小球在最高點(diǎn)的速度不可以等于0，故A錯(cuò)誤；
B．若小球恰好能通過最高點(diǎn)，設(shè)小球獲得的初速度大小為v'，則從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理，則有
2mgLmv′2mv2
解得
v′
由以上計(jì)算可知，是小球獲得的初速度大小的最小值，有可能比這個(gè)速度要大，故B錯(cuò)誤；
C．小球在豎直面內(nèi)做完整的變速圓周運(yùn)動(dòng)，由以上分析可知，小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)處合力指向圓心，故C錯(cuò)誤；
D．設(shè)小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度為v0，在最低點(diǎn)時(shí)的速度為v″，由動(dòng)能定理可得
2mgLmv″2
小球在最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可得
F+mg＝m
小球在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可得
F′﹣mg＝m
聯(lián)立以上各式解得
ΔF＝F′﹣F，ΔF＝6mg
故D正確。
故選：D。
10．（2023 青島二模）如圖，高速公路上一輛速度為90km/h的汽車緊貼超車道超車道的路基行駛。駕駛員在A點(diǎn)發(fā)現(xiàn)剎車失靈，短暫反應(yīng)后，控制汽車通過圖中兩段弧長(zhǎng)相等的圓弧從B點(diǎn)緊貼避險(xiǎn)車道左側(cè)駛?cè)搿Ｒ阎囁俾什蛔儯珹、B兩點(diǎn)沿道路方向距離為105m，超車道和行車道寬度均為3.75m，應(yīng)急車道寬度為2.5m，路面提供的最大靜摩擦力是車重的0.5倍，汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)恰好不與路面發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，重力加速度g＝10m/s2，估算駕駛員反應(yīng)時(shí)間為（　　）
A．1.6s B．1.4s C．1.2s D．1.0s
【解答】解：v＝90km/h＝25m/s
汽車做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)由摩擦力提供向心力，有
0.5mg＝m
解得
R＝125m
AB兩點(diǎn)間垂直道路方向距離為10m，由幾何關(guān)系可得兩段圓弧沿道路方向距離為
l＝2
解得
l＝70m
則駕駛員反應(yīng)時(shí)間通過的路程為
s＝105m﹣70m＝35m
駕駛員反應(yīng)時(shí)間為
ts＝1.4s
故ACD錯(cuò)誤，B正確；
故選：B。
二．計(jì)算題（共2小題）
11．（2022 泰州模擬）如圖所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半徑R的大圓弧和r的小圓弧，直道與彎道相切，直道長(zhǎng)度L。賽車沿彎道路線行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的K倍，假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在圓心角為120°彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若R＝4r，要使賽車安全且繞賽道一圈時(shí)間最短（發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度為g）。求：
（1）賽車行駛的最大速率；
（2）賽車?yán)@賽道一圈的最短時(shí)間。
【解答】解：（1）根據(jù)牛頓第二定律：kmg＝m，
最大速率為
（2）賽車在直道的時(shí)間為
賽車在小圓弧彎道的時(shí)間為t2
賽車在大圓弧彎道的時(shí)間為t3
所以賽車?yán)@賽道一圈的最短時(shí)間tz＝t1+t2+t3
聯(lián)立解得：
答：（1）賽車行駛的最大速率為；
（2）賽車?yán)@賽道一圈的最短時(shí)間為。
12．（2021 房山區(qū)一模）如圖1所示，把一個(gè)小球用一根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線懸掛起來，就成為一個(gè)擺，擺長(zhǎng)L＝1m，最大擺角為θ＝37°，小球質(zhì)量m＝0.2kg，重力加速度g＝10m/s2。（sin37°＝0.6；cos37°＝0.8）求：
（1）小球擺到最低位置O時(shí)，小球速度v的大小；
（2）小球擺到最低位置O時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力F的大小；
（3）如圖2所示，若在O點(diǎn)的正下方釘一個(gè)釘子B。當(dāng)細(xì)線與釘子相碰時(shí)，釘子的位置越靠近小球，細(xì)線就越容易被拉斷。請(qǐng)解釋這一現(xiàn)象。
【解答】解：（1）對(duì)A到O過程運(yùn)用動(dòng)能定理得：，
解得：vm/s＝2m/s；
（2）在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：，
解得：F2.8N；
（3）繩子與釘子碰撞前后瞬間，小球的線速度大小不變，根據(jù)得，F(xiàn)，釘子的位置越靠近小球，r越小，繩子的拉力越大，細(xì)線越容易被拉斷。
答：（1）小球擺到最低位置O時(shí)，小球速度v的大小為2m/s；
（2）小球擺到最低位置O時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力F的大小為2.8N；
（3）繩子與釘子碰撞前后瞬間，小球的線速度大小不變，根據(jù)得，F(xiàn)，釘子的位置越靠近小球，r越小，繩子的拉力越大，細(xì)線越容易被拉斷。
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第10講　圓周運(yùn)動(dòng)
目錄
[考試標(biāo)準(zhǔn)] 1
[課時(shí)訓(xùn)練] 2
一、圓周運(yùn)動(dòng)、向心加速度、向心力 2
二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力 2
三、生活中的圓周運(yùn)動(dòng) 3
[命題點(diǎn)研究] 3
命題點(diǎn)一　描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量間的關(guān)系 3
命題點(diǎn)二　水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng) 6
命題點(diǎn)三　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題 8
[課時(shí)訓(xùn)練] 14
[考試標(biāo)準(zhǔn)]
知識(shí)內(nèi)容 考試要求 說明
圓周運(yùn)動(dòng)、向心加速度、向心力 d 1.不要求分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度問題． 2.不要求掌握向心加速度公式的推導(dǎo)方法． 3.不要求用“等效圓”處理一般曲線運(yùn)動(dòng)． 4.變速圓周運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)的切向分力和切向加速度不作定量計(jì)算要求． 5.不要求求解提供向心力的各力不在同一直線上的圓周運(yùn)動(dòng)問題． 6.不要求對(duì)離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)行定量計(jì)算． 7.不要求分析與計(jì)算兩個(gè)物體聯(lián)結(jié)在一起(包括不接觸)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的問題.
生活中的圓周運(yùn)動(dòng) c
[基礎(chǔ)過關(guān)]
一、圓周運(yùn)動(dòng)、向心加速度、向心力
1．勻速圓周運(yùn)動(dòng)
(1)定義：物體沿著圓周運(yùn)動(dòng)，并且線速度的大小處處相等．
(2)性質(zhì)：加速度大小不變，方向總是指向圓心的變加速曲線運(yùn)動(dòng)．
2．描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理量
(1)線速度：描述物體圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理量．
v＝＝.單位：m/s.
(2)角速度：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量．
ω＝＝.單位：rad/s.
(3)周期和頻率：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量．
T＝.
(4)轉(zhuǎn)速：物體單位時(shí)間內(nèi)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)．符號(hào)為n，單位：r/s(或r/min)．
(5)相互關(guān)系：v＝ωr＝r＝2πrf＝2πnr.
3．向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量．
an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力
1．作用效果
向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始終沿半徑方向指向圓心，時(shí)刻在改變，即向心力是一個(gè)變力．
4．來源
向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，還可以由一個(gè)力的分力提供．
三、生活中的圓周運(yùn)動(dòng)
1．火車轉(zhuǎn)彎
特點(diǎn)：重力與支持力的合力提供向心力．(火車應(yīng)按設(shè)計(jì)速度轉(zhuǎn)彎，否則將擠壓內(nèi)軌或外軌)
2．豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
(1)汽車過弧形橋
特點(diǎn)：重力和橋面支持力的合力提供向心力．
(2)水流星、繩模型、內(nèi)軌道
最高點(diǎn)：當(dāng)v≥時(shí)，能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)v<時(shí)，不能到達(dá)最高點(diǎn)．
3．離心運(yùn)動(dòng)定義
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受的合外力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力的情況下，就會(huì)做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)，即離心運(yùn)動(dòng)．
4．受力特點(diǎn)
當(dāng)F合＝mω2r時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)F合＝0時(shí)，物體沿切線方向飛出；
當(dāng)F合當(dāng)F合＞mω2r時(shí)，物體做近心運(yùn)動(dòng)．
[命題點(diǎn)研究]
命題點(diǎn)一　描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量間的關(guān)系
1．對(duì)公式v＝ωr的理解
當(dāng)r一定時(shí)，v與ω成正比；
當(dāng)ω一定時(shí)，v與r成正比；
當(dāng)v一定時(shí)，ω與r成反比．
2．對(duì)a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定時(shí)，a與r成反比；在ω一定時(shí)，a與r成正比．
3．常見的傳動(dòng)方式及特點(diǎn)
(1)皮帶傳動(dòng)：如圖2甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
圖2
(2)摩擦傳動(dòng)和齒輪傳動(dòng)：如圖3甲、乙所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
圖3
(3)同軸轉(zhuǎn)動(dòng)：如圖4甲、乙所示，繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比．
圖4
（2022 浙江模擬）今年第10號(hào)超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“海神“于2020年9月5日8點(diǎn)在西北太平洋洋面形成，上午8點(diǎn)10分到12分，形成階段的臺(tái)風(fēng)以幾乎不變的形狀在原地高速旋轉(zhuǎn)。圖中O點(diǎn)為臺(tái)風(fēng)眼，ω代表角速度，v代表線速度，T代表周期、a代表向心加速度，下列說法正確的是（　　）
A．ωA＞ωB B．a(chǎn)A＜aB C．TA＜TB D．vA＞vB
（2022 義烏市模擬）吉利英倫TX5是一款義烏制造的新能源汽車，用戶可以選裝可連續(xù)變換速度的無級(jí)變速器。如圖所示的是這種變速器的結(jié)構(gòu)示意圖，兩個(gè)錐輪之間有一個(gè)滾輪，主動(dòng)輪、滾動(dòng)輪、從動(dòng)輪之間靠著彼此之間的摩擦力帶動(dòng)，且沿轉(zhuǎn)動(dòng)的切線方向無相對(duì)滑動(dòng)，圖示位置主動(dòng)輪的直徑為D1，從動(dòng)輪的直徑為D2。下列說法中正確的是（　　）
A．若主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速不變，滾輪從右向左移動(dòng)時(shí)從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速將減小
B．無論滾輪怎樣移動(dòng)，滾輪、主動(dòng)輪、從動(dòng)輪的線速度大小都相等
C．圖示位置，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速之比為D1：D2
D．圖示位置，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的向心加速度之比為D1：D2
（2022 鹿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，帶車牌自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)的直桿道閘，離地面高為1m的細(xì)直桿可繞O在豎直面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。汽車從自動(dòng)識(shí)別線ab處到達(dá)直桿處的時(shí)間為2.3s，自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)的反應(yīng)時(shí)間為0.3s；汽車可看成高1.6m的長(zhǎng)方體，其左側(cè)面底邊在aaˊ直線上，且O到汽車左側(cè)面的距離為0.6m，要使汽車安全通過道閘，直桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度至少為（　　）
A．rad/s B．rad/s C．rad/s D．rad/s
（2022 寧波二模）如圖所示為“行星減速機(jī)”的工作原理圖。“行星架”為固定件，中心“太陽(yáng)輪”為從動(dòng)件，其半徑為R1；周圍四個(gè)“行星輪”的半徑為R2，“齒圈”為主動(dòng)件，其中R1＝2R2。A、B、C分別是“太陽(yáng)輪”“行星輪”“齒圈”邊緣上的點(diǎn)。則在該狀態(tài)下（　　）
A．A點(diǎn)與B點(diǎn)的角速度相同
B．A點(diǎn)與C點(diǎn)的轉(zhuǎn)速相同
C．B點(diǎn)與C點(diǎn)的周期相同
D．A點(diǎn)與C點(diǎn)的線速度大小相同
（2021 浙江模擬）兩級(jí)皮帶傳動(dòng)裝置如圖所示，輪1和輪2的半徑相同，輪2和輪3兩個(gè)同心輪固定在一起，輪3和輪4的半徑相同，且為輪1和輪2半徑的一半，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)皮帶和輪子之間均不打滑，則輪1邊緣的a點(diǎn)和輪4邊緣的c點(diǎn)相比（　　）
A．線速度大小之比為1：4
B．向心加速度大小之比為8：1
C．周期之比為4：1
D．角速度大小之比為1：8
命題點(diǎn)二　水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
解決圓周運(yùn)動(dòng)問題的主要步驟：
1．審清題意，確定研究對(duì)象，明確物體做圓周運(yùn)動(dòng)的平面是至關(guān)重要的一環(huán)；
2．分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，軌道平面、圓心位置、半徑大小以及物體的線速度是否變化；
3．分析物體的受力情況，畫出受力分析圖，確定向心力的來源；
4．根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律及向心力公式列方程．
（2023春 溫州期中）如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的物體A、B隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B的質(zhì)量分別為3m、2m，A與B、B與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，A和B離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離都為r，重力加速度為g，設(shè)本題中的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。下列說法正確的是（　　）
A．A對(duì)B的摩擦力沿水平方向指向圓心O點(diǎn)
B．物塊B對(duì)物塊A的摩擦力一定為3μmg
C．轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物塊B的摩擦力的大小一定為5mω2r
D．轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度一定滿足：
（2023 高新區(qū)模擬）如圖所示，半徑分別為rA、rB的兩圓盤水平放置，圓盤的邊緣緊密接觸，當(dāng)兩圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓盤的邊緣不打滑，質(zhì)量分別為mA、mB的物塊A、B（均視為質(zhì)點(diǎn)）分別放置在兩圓盤的邊沿，與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μA、μB，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，現(xiàn)讓圓盤繞過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)起來，A比B先滑動(dòng)的條件是（　　）
A．μArA＜μBrB B．μArB＜μBrA
C． D．
（2023春 房山區(qū)期中）如圖所示，餐桌中心是一個(gè)可以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)、半徑R為1米的圓盤。圓盤與餐桌在同一水平面內(nèi)且兩者之間的間隙可忽略不計(jì)。放置在圓盤邊緣的質(zhì)量為m＝0.1kg的物體與圓盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1＝0.4，與餐桌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2＝0.2，餐桌高h(yuǎn)＝0.8米。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g取m/s2。
（1）為使物體不滑到餐桌上，求圓盤的角速度的最大值ω；
（2）緩慢增大圓盤的角速度，物體將從圓盤上滑出。
a、為使物體不滑落到地面，求餐桌半徑的最小值R1；
b、若餐桌半徑R2＝1.25m，求物體離開圓盤后水平方向總位移x。
（2022秋 清江浦區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對(duì)稱軸OO′重合。轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω0勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)罐壁靜止，此時(shí)小物塊受到的摩擦力恰好為0，且它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度為g。
（1）求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω0；
（2）若改變轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度，當(dāng)ω＝1.4ω0時(shí)，小物塊仍與罐壁相對(duì)靜止，求此時(shí)小物塊受到的摩擦力的大小和方向。
（2023 漳州二模）如圖甲為生產(chǎn)流水維上的皮帶轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)，由一段直線形水平傳送帶和一段圓弧形水平傳送帶平滑連接而成，其俯視圖如圖乙所示，虛線ABC是皮帶的中線，AB段（直線）長(zhǎng)度L＝3.2m，BC段（圓弧）半徑R＝2.0m，中線上各處的速度大小均為1.0m/s。某次轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)傳送一個(gè)質(zhì)量m＝0.5kg的小物件時(shí)，將小物件輕放在直線旋帶的起點(diǎn)A處，被傳送至B處，滑上圓弧皮帶上時(shí)速度大小不變。已知小物件與兩皮帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝0.5，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）求小物件在直線皮帶上加速過程的位移大小s；
（2）計(jì)算說明小物件在圓弧皮帶上是否打滑？并求出摩擦力大小。
命題點(diǎn)三　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題
繩、桿模型涉及的臨界問題
繩模型 桿模型
常見類型 均是沒有支撐的小球 均是有支撐的小球
過最高點(diǎn)的臨界條件 由mg＝m得v臨＝ 由小球恰能做圓周運(yùn)動(dòng)得v臨＝0
討論分析 (1)能過最高點(diǎn)時(shí)，v≥，F(xiàn)N＋mg＝m，繩、圓軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力FN(FN≥0) (2)不能過最高點(diǎn)時(shí)，v<，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道 (1)當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心 (2)當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大
模型1　輕繩模型
（2023 全國(guó)）如圖，水平地面上放有一質(zhì)量為M的⊥形支架。一質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為l的輕繩連接在支架頂端，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g。已知小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度大小為v，此時(shí)地面受到的正壓力大小為（　　）
A．Mg B．（M+m）g
C．（M+m）g+m D．（M+m）g﹣m
（2022秋 龍港區(qū)校級(jí)期末）某教師受兒童娛樂場(chǎng)過山車與彩色滑道項(xiàng)目的啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置，豎直放置的光滑曲線軌道AM、水平軌道MN與光滑圓軌道O在M點(diǎn)平滑連接，在B點(diǎn)安裝有壓力傳感器并與計(jì)算機(jī)連接（B為圓軌道的最高點(diǎn)），已知圓O的半徑為R。一質(zhì)量為m的小物塊從距水平軌道高h(yuǎn)處的A點(diǎn)無初速度滑下，經(jīng)過圓軌道O后到達(dá)水平軌道MN，壓力傳感器顯示小物塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為。下列說法正確的是（　　）
A．h＝3R
B．小物塊滑過M點(diǎn)時(shí)加速度大小a＝5.5g
C．減小h，小物塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力增大
D．減小h，小物塊經(jīng)過M點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力差一定減小
（多選）（2023 廣州二模）如圖為某種秋千椅的示意圖，“”形輕質(zhì)鋼制支架O1A1A2O2固定在豎直面內(nèi)，A1A2沿水平方向，四根等長(zhǎng)輕質(zhì)硬桿通過光滑鉸鏈O1、O2懸掛長(zhǎng)方形勻質(zhì)椅板B1C1C2B2，豎直面內(nèi)的O1B1C1、O2C2B2為等邊三角形，并繞O1、O2沿圖中虛線來回?cái)[動(dòng)。已知重力 加速度為g，椅板的質(zhì)量為m，則椅板擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)（　　）
A．B1、C1兩點(diǎn)角速度相等
B．B2、C2兩點(diǎn)線速度相同
C．O1A1受到的拉力等于mg
D．O2A2受到的拉力大于mg
（多選）（2022秋 煙臺(tái)期末）如圖所示，一水平固定硬桿的a、b兩點(diǎn)分別拴有兩根長(zhǎng)為l＝0.625m的輕繩，兩輕繩均可繞拴接點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，兩輕繩的下端拴接在一質(zhì)量為m＝1kg的小球上，此時(shí)兩輕繩與豎直方向的夾角均為37°，開始時(shí)小球在最低點(diǎn)保持靜止，現(xiàn)給小球一個(gè)垂直于紙面向里的水平初速度v0，已知cos37°＝0.8，重力加速度g＝10m/s2，不計(jì)一切摩擦阻力，則在小球運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．若小球在最高點(diǎn)時(shí)速度為4m/s，則v0＝6m/s
B．若v0＝5m/s，則小球在最低點(diǎn)時(shí)輕繩的張力為37.5N
C．要使小球能完成圓周運(yùn)動(dòng)，小球過圓周最高點(diǎn)時(shí)速度不能小于m/s
D．若小球能完成圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)輕繩的張力之差為60N
模型2　輕桿模型
（多選）（2021春 廣元期末）如圖甲所示，輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，其FN﹣v2圖像如圖乙所示。則（　　）
A．小球的質(zhì)量為
B．當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?br/>C．v2＝3b時(shí)，在最高點(diǎn)桿對(duì)小球的彈力大小為2a
D．v2＝c時(shí)，在最高點(diǎn)桿對(duì)小球的彈力方向向上
（2023春 越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿一端固定在水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一質(zhì)量為m的小球。輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度g。
（1）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，求桿對(duì)球的拉力大小；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到水平位置A時(shí)，求桿對(duì)球的向心力大小；
（3）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，求桿對(duì)球的作用力。
（2023春 深圳期中）如圖所示為風(fēng)靡小朋友界的風(fēng)火輪賽車競(jìng)速軌道的部分示意圖。一質(zhì)量為m＝0.5 kg的賽車（視為質(zhì)點(diǎn)）從A處出發(fā)，以速率v1＝0.1 m/s駛過半徑R1＝0.1 m的凸形橋B的頂端，經(jīng)CD段直線加速后從D點(diǎn)進(jìn)入半徑為R2＝0.2 m的豎直圓軌道，并以某速度v2駛過圓軌的最高點(diǎn)E，此時(shí)賽車對(duì)軌道的作用力恰好為零。重力加速度g取10 m/s2，試計(jì)算：
（1）賽車在B點(diǎn)受到軌道支持力的大小；
（2）若賽車以2v2的速率經(jīng)過E點(diǎn)，求軌道受到來自賽車的彈力；
（3）已知賽車經(jīng)直線加速后從D點(diǎn)進(jìn)入豎直軌道的速度為vD＝4 m/s，求賽車從D點(diǎn)到E點(diǎn)的過程中克服阻力做的功。
模型3　凹形橋與拱形橋模型
FN－mg＝ 概述 如圖所示為凹形橋模型．當(dāng)汽車通過凹形橋的最低點(diǎn)時(shí)，向心力Fn＝FN－mg＝m
規(guī)律 橋?qū)嚨闹С至N＝mg＋m＞mg，汽車處于超重狀態(tài)
mg－FN＝ 概述 如圖所示為拱形橋模型．當(dāng)汽車通過拱形橋的最高點(diǎn)時(shí)，向心力Fn＝mg－FN＝m
規(guī)律 橋?qū)嚨闹С至N＝mg－m＜mg，汽車處于失重狀態(tài)．若v＝，則FN＝0，汽車將脫離橋面做平拋運(yùn)動(dòng)
（2023春 賀蘭縣校級(jí)月考）如圖所示，當(dāng)汽車通過拱橋頂點(diǎn)的速度為10m/s時(shí)，車對(duì)橋頂?shù)膲毫檐囍氐模绻蛊囋诖植诘臉蛎嫘旭傊翗蝽敃r(shí)，不受摩擦力作用，則汽車通過橋頂?shù)乃俣葢?yīng)為（　　）
A．15m/s B．20m/s C．25m/s D．30m/s
（2023春 豐臺(tái)區(qū)期中）汽車過拱橋時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以看成圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，汽車以速度v通過半徑為R的拱形橋最高點(diǎn)時(shí)，以下說法正確的是（　　）
A．汽車處于超重狀態(tài)
B．汽車對(duì)橋的壓力小于橋?qū)ζ嚨闹С至?br/>C．無論汽車速度多大，汽車對(duì)橋始終有壓力
D．橋?qū)ζ嚨闹С至Υ笮?br/>（2023 濱海新區(qū)校級(jí)模擬）石拱橋是中國(guó)傳統(tǒng)橋梁的四大基本形式之一。假設(shè)某拱形橋?yàn)閳A的一部分，半徑為R。一輛質(zhì)量為m的汽車以速度v勻速率通過該橋，圖中Q為拱形橋的最高點(diǎn)，圓弧PQS所對(duì)的圓心角為90°，PS關(guān)于QO對(duì)稱，汽車運(yùn)動(dòng)過程中所受阻力大小恒定，重力加速度為g。下列說法正確的是 （　　）
A．汽車運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)對(duì)橋面的壓力大于mgcos45°
B．汽車運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)牽引力大于阻力
C．汽車運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，橋面對(duì)汽車的支持力等于汽車重力
D．汽車從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)過程中，其牽引力一定一直減小
[課時(shí)訓(xùn)練]
一．選擇題（共10小題）
1．（2023 汕頭一模）汽車的制動(dòng)安全和制動(dòng)舒適性是考量制動(dòng)性能的兩大標(biāo)準(zhǔn)，ABS系統(tǒng)能讓車輛在緊急制動(dòng)時(shí)保有理想的抓地力而讓制動(dòng)依然可控，車速平穩(wěn)下降從而化解險(xiǎn)情。檢測(cè)人員在某直線路段測(cè)試，如圖為當(dāng)ABS啟動(dòng)時(shí)車身速度—時(shí)間圖像和車輪的轉(zhuǎn)速—時(shí)間圖像，則制動(dòng)后，以下判斷正確的是（　　）
A．車輪轉(zhuǎn)速不斷減小
B．車身的加速度不斷減小
C．車身做勻減速直線運(yùn)動(dòng)
D．車身速度大小始終與車輪轉(zhuǎn)速大小相等
2．（2023 沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，中國(guó)航天員葉光富進(jìn)行太空授課時(shí)，用細(xì)繩系住小瓶并使小瓶繞細(xì)繩另一端做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，瓶中混合的水和油將分層。則（　　）
A．分層的原因是水和油受到重力
B．密度較大的水集中于小瓶的底部
C．水和油做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小相等
D．水做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由瓶底對(duì)水的彈力提供
3．（2023 郴州模擬）如圖所示。質(zhì)量均為m的a、b兩小球用不可伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩懸掛起來，使小球a在豎直平面內(nèi)來回?cái)[動(dòng)，小球b在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，連接小球b的繩子與豎直方向的夾角和小球a擺動(dòng)時(shí)繩子偏離豎直方向的最大夾角都為θ，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
A．小球b在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝2π
B．小球a擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力為2mg（1﹣cosθ）
C．a(chǎn)、b兩小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為cosθ
D．小球a運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)受到的繩子拉力為mgsinθ
4．（2023 武漢模擬）剪紙藝術(shù)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，經(jīng)久不衰，是中國(guó)民間藝術(shù)中的瑰寶。將如圖所示具有對(duì)稱性的剪紙平放并固定在水平圓盤上，剪紙中心與圓盤中心重合，圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在暗室中用每秒閃光10次的頻閃光源照射圓盤，暗室中靜止不動(dòng)的觀察者觀察到剪紙相對(duì)靜止，則圓盤的轉(zhuǎn)速至少為（　　）
A．0.02r/s B．2r/s C．4r/s D．4πr/s
5．（2023 嘉定區(qū)二模）2022年我國(guó)航天員在空間站太空艙開設(shè)“天宮課堂”，課堂演示了“水油分離”實(shí)驗(yàn)。如圖所示，用細(xì)繩系住裝有水和油的瓶子，手持細(xì)繩的另一端，使瓶子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則（　　）
A．只要瓶子有速度，就能通過圓周的最高點(diǎn)水油分離后，水在外側(cè)
B．只要瓶子有速度，就能通過圓周的最高點(diǎn)水油分離后，油在外側(cè)
C．瓶子的速度需大于某一值才能通過圓周的最高點(diǎn)水油分離后，水在外側(cè)
D．瓶子的速度需大于某一值才能通過圓周的最高點(diǎn)水油分離后，油在外側(cè)
6．（2023 湖北模擬）明朝的《天工開物》記載了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧。如圖所示，可轉(zhuǎn)動(dòng)的把手上a點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為2R，轆轤邊緣b點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為R。甲轉(zhuǎn)動(dòng)把手，把井底的乙加速拉起來，則此過程中（　　）
A．繩對(duì)乙的拉力大于乙對(duì)繩的拉力
B．繩對(duì)乙的拉力做功大于乙克服重力做功
C．a(chǎn)點(diǎn)的角速度大于b點(diǎn)的角速度
D．a(chǎn)點(diǎn)的線速度小于b點(diǎn)的線速度
7．（2023 遼寧模擬）圖（a）為航天員“負(fù)荷”訓(xùn)練的載人水平旋轉(zhuǎn)離心機(jī)，離心機(jī)旋轉(zhuǎn)臂的旋轉(zhuǎn)半徑為R＝8m，圖（b）為在離心機(jī)旋轉(zhuǎn)臂末端模擬座艙中質(zhì)量為m的航天員。一次訓(xùn)練時(shí)，離心機(jī)的轉(zhuǎn)速為，航天員可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g取10m/s2。下列說法正確的是（　　）
A．航天員處于完全失重狀態(tài)
B．航天員運(yùn)動(dòng)的線速度大小為12m/s
C．航天員做勻速圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力為72N
D．航天員承受座艙對(duì)他的作用力大于7.2mg
8．（2023 通遼模擬）如圖，一質(zhì)量為m的小球從豎直光滑圓軌道的最低點(diǎn)P以v0開始運(yùn)動(dòng)，圓軌道的圓心為O，半徑為R，圓軌道上有一點(diǎn)Q，OQ與OP間夾角為θ，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．若小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小球做一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間小于
B．小球經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為mgcosθ+m
C．只有當(dāng)v0時(shí)，小球才不會(huì)脫離圓軌道
D．小球完成次完整的圓周運(yùn)動(dòng)的過程，小球重力的平均功率不為零
9．（2023 遼寧模擬）如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩拉著質(zhì)量為m的小球保持靜止。現(xiàn)在給小球一個(gè)水平初速度，使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則下列判斷正確的是（　　）
A．小球在最高點(diǎn)的速度可以等于0
B．小球獲得的初速度大小為
C．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的過程中僅有一處合力指向圓心
D．小球過最低點(diǎn)與最高點(diǎn)時(shí)受到繩的拉力大小之差等于6mg
10．（2023 青島二模）如圖，高速公路上一輛速度為90km/h的汽車緊貼超車道超車道的路基行駛。駕駛員在A點(diǎn)發(fā)現(xiàn)剎車失靈，短暫反應(yīng)后，控制汽車通過圖中兩段弧長(zhǎng)相等的圓弧從B點(diǎn)緊貼避險(xiǎn)車道左側(cè)駛?cè)搿Ｒ阎囁俾什蛔儯珹、B兩點(diǎn)沿道路方向距離為105m，超車道和行車道寬度均為3.75m，應(yīng)急車道寬度為2.5m，路面提供的最大靜摩擦力是車重的0.5倍，汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)恰好不與路面發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，重力加速度g＝10m/s2，估算駕駛員反應(yīng)時(shí)間為（　　）
A．1.6s B．1.4s C．1.2s D．1.0s
二．計(jì)算題（共2小題）
11．（2022 泰州模擬）如圖所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半徑R的大圓弧和r的小圓弧，直道與彎道相切，直道長(zhǎng)度L。賽車沿彎道路線行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的K倍，假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在圓心角為120°彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若R＝4r，要使賽車安全且繞賽道一圈時(shí)間最短（發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度為g）。求：
（1）賽車行駛的最大速率；
（2）賽車?yán)@賽道一圈的最短時(shí)間。
12．（2021 房山區(qū)一模）如圖1所示，把一個(gè)小球用一根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線懸掛起來，就成為一個(gè)擺，擺長(zhǎng)L＝1m，最大擺角為θ＝37°，小球質(zhì)量m＝0.2kg，重力加速度g＝10m/s2。（sin37°＝0.6；cos37°＝0.8）求：
（1）小球擺到最低位置O時(shí)，小球速度v的大小；
（2）小球擺到最低位置O時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力F的大小；
（3）如圖2所示，若在O點(diǎn)的正下方釘一個(gè)釘子B。當(dāng)細(xì)線與釘子相碰時(shí)，釘子的位置越靠近小球，細(xì)線就越容易被拉斷。請(qǐng)解釋這一現(xiàn)象。
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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