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周期問題
★挑戰(zhàn)錦囊★
在日常生活中，有一些現(xiàn)象是按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的，如人的十二生肖，一年有春、夏、秋、冬四個(gè)季節(jié)，一個(gè)星期有七天，等等。這種會重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律性問題被統(tǒng)稱為周期問題。
這類問題一般要利用余數(shù)的知識來解答。在解決周期問題時(shí)，我們首先要仔細(xì)審題，判斷其不斷重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律，也就是找出循環(huán)的固定數(shù)，然后利用除法算式求出余數(shù)，最后根據(jù)余數(shù)得出正確的結(jié)果。
★基礎(chǔ)挑戰(zhàn)一
例1：有同樣大小的黑白珠子若干顆，它們按照2顆黑珠子、1顆白珠子、3顆黑珠子的順序依次排列（如下圖），請你算一算，第32顆珠子是什么顏色的？
●●○●●●●●○●●●···
分析：根據(jù)“它們按照2顆黑珠子、1顆白珠子、3顆黑珠子的順序依次排列”，可知6顆珠子為一個(gè)周期。32÷6＝5（組）……2（顆），32顆珠子中含有5個(gè)周期多2顆，所以第32顆珠子就是重復(fù)5個(gè)周期后的第2顆珠子，是黑色的。
解答：32÷6＝5（組）…2（顆）
答：第32顆珠子是黑色的。
挑戰(zhàn)自己,我能行
練習(xí)1：“數(shù)學(xué)趣味題數(shù)學(xué)趣味題……”依次重復(fù)排列，第2001個(gè)字是什么？
練習(xí)2： 把38顆小珠子按下圖排列，其中有多少顆白珠子？
○○○●○○○●○○○···
基礎(chǔ)挑戰(zhàn)二
例2：2001年10月1日是星期一，那么2001年10月25日是星期幾？
分析：我們知道，每星期有7天，也就是說星期數(shù)是以7天為一個(gè)周期不斷重復(fù)出現(xiàn)的。從10月1日到10月25日（連頭帶尾）一共有25天，25÷7＝3（星期）…4（天），余數(shù)是4，說明25天中包括3星期還多4天。因?yàn)?001年10月1日是星期一，所以2001年10月25日是第4個(gè)星期的第4天，是星期四。
解答：從10月1日到10月25日（連頭帶尾）一共有25天。
25÷7＝3（星期）…4（天）
2001年10月25日是第4個(gè)星期的第4天，是星期四。
答：2001年10月25日是星期四。
挑戰(zhàn)自己,我能行
練習(xí)1：2007年5月3日是星期四，那么2007年5月20日是星期幾？
練習(xí)2：2016年6月1日是星期三，那么2016年9月1日是星期幾？
★★基礎(chǔ)挑戰(zhàn)三
例3：100個(gè)3相乘，積的個(gè)位數(shù)字是幾？
分析：這道題我們只需考慮積的個(gè)位數(shù)字的排列規(guī)律。1個(gè)3是3；2個(gè)3相乘，積是9；3個(gè)3相乘，積的個(gè)位數(shù)字是7；4個(gè)3相乘，積的個(gè)位數(shù)字是1；5個(gè)3相乘，積的個(gè)位數(shù)字是3…可以發(fā)現(xiàn)，積的個(gè)位數(shù)字以3，9，7，1不斷重復(fù)出現(xiàn)，即從第一個(gè)3開始，每4個(gè)為一組，積的個(gè)位數(shù)字為一個(gè)周期。100÷4＝25（組）因此100個(gè)3相乘，積的個(gè)位數(shù)字是第25個(gè)周期中的最后一個(gè)是1。
解答：積的個(gè)位數(shù)字以3，9，7，1不斷重復(fù)出現(xiàn)。
100÷4＝25（組）
答：100個(gè)3相乘，積的個(gè)位數(shù)字是1。
挑戰(zhàn)自己,我能行
練習(xí)1：100個(gè)2相乘，積的個(gè)位數(shù)字是幾？
練習(xí)2：50個(gè)7相乘，積的個(gè)位數(shù)字是幾？
★目標(biāo)挑戰(zhàn)四
例4：如果一列數(shù)按“4，3，6，7，4，3，6，7，4，3，6，7”排列，那么前54個(gè)數(shù)字之和是多少？
分析：這列數(shù)中，從第1個(gè)數(shù)字開始重復(fù)出現(xiàn)的部分是“4，3，6，7”，4數(shù)字為一個(gè)周期。要求出這列數(shù)的前54個(gè)數(shù)字之和，就要先求出這列數(shù)里共有多少組“4，3，6，7”。54÷4＝13（組）……2（個(gè)）。前13組數(shù)字之和是（4＋13＋6＋7）×13＝260，余下2個(gè)數(shù)字之和是4＋3＝7。因此，這列數(shù)中前54個(gè)數(shù)字之和是260＋7＝267。
解答：54÷4＝13（組）…2（個(gè)）
（4＋3＋6＋7）×13＝260
260＋4＋3＝267
答：前54個(gè)數(shù)字之和是267。
挑戰(zhàn)自己,我能行
練習(xí)1：如果一列數(shù)按“9，4，5，3，6，7，2，9，4，5，3，6，7，2，9，4…”排列，那么前50個(gè)數(shù)字之和是多少？
練習(xí)2：有一列數(shù)按“7，2，3，1，6，5，2，3，1，6，5，2，3，1，6，5…”排列，請問從左起第2個(gè)數(shù)字到第25個(gè)數(shù)字之間（含第2個(gè)與第25個(gè)數(shù)字）的所有數(shù)字之和是多少？
★★目標(biāo)挑戰(zhàn)五
例5：小紅買了一本故事書，每2頁文字之間有3頁插圖，也就是說3頁插圖前后各有1頁文字。如果這本故事書有128頁，而第1頁是文字，這本故事書共有插圖多少頁？
分析：已知這本故事書3頁插圖前后各有1頁文字，也就是說這本故事書按“1頁文字3頁插圖”的規(guī)律重復(fù)排列，把“1頁文字3頁插圖”看作一個(gè)周期，128頁中含128÷（1＋3）＝32（個(gè)）周期，所以這本故事書共有插圖3×32＝96（頁）。
解答：這本故事書按“1頁文字3頁插圖”的規(guī)律重復(fù)排列。
128÷（1＋3）＝32（個(gè)）
3×32＝96（頁）
答：這本故事書共有插圖96頁。
挑戰(zhàn)自己,我能行
練習(xí)1：1.36名同學(xué)排成一列做早操，每2名女生中間是2名男生，第一個(gè)是女生，這列隊(duì)伍中男生有多少人？
練習(xí)2：婷婷買了一本故事書，每2頁文字之間有4頁插圖，也就是說4頁插圖前后各有1頁文字。如果這本故事書第1頁是文字，那么第48頁是插圖還是文字？
★終極挑戰(zhàn)六
例6：我國農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬這12種動(dòng)物按順序輪流代表年號。例如，第一年如果是鼠年，第二年就是牛年，第三年就是虎年。如果公元1年是雞年，那么公元2001年是什么年？
分析：如果公元1年是雞年，則12種動(dòng)物的排列順序?yàn)殡u、狗、豬、鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴。一個(gè)周期以雞年開始，猴年結(jié)束。從公元1年到公元2001年一共是2001年，每12年為一個(gè)循環(huán)。因?yàn)楣?年是雞年，2001÷12＝166（組）……9（年），所以公元2001年是蛇年。
解答：2001÷12＝166（組）……9（年）
因?yàn)楣?年是雞年，所以公元2001年是蛇年。
答：公元2001年是蛇年。
挑戰(zhàn)自己,我能行
練習(xí)1：我國農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬這12種動(dòng)物按順序輪流代表年號。如果公元2001年是蛇年，那么公元2年是什么年？
練習(xí)2：我國農(nóng)歷用鼠、牛、虎兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬這12種動(dòng)物按順序輪流代表年號。如果公元6年是虎年，那么公元21世紀(jì)（公元21世紀(jì)的第一年是2001年）的第一個(gè)虎年是哪一年？
★★終極挑戰(zhàn)七
例7：如下表所示，每列由一個(gè)字母和一個(gè)漢字組成一組，例如，第一組“A萬”，第二組“B事”……那么第20組是什么？
分析：根據(jù)題意，我們分別求出第20組的上、下兩行是什么字母和漢字。上面一行的字母是按“ABC"為一個(gè)周期排列的，20÷3＝6（組）……2（個(gè)），所以第20組上面的字母是“B”；下面一行的漢字是按“萬事如意”為一個(gè)周期排列的，20÷4＝5（組），所以第20組下面的漢字是“意”，因此第20組是“B意”。
解答：20÷3＝6（組）……2（個(gè)）
第20組上面一行的字母是“B”。
20÷4＝5（組）
第20組下面一行的漢字是“意”
答：第20組是“B意”。
挑戰(zhàn)自己,我能行
練習(xí)1：下表中每列由一個(gè)字母和一個(gè)數(shù)字組成一組，例如第一組為“a1”，第二組為“b2”……那么第25組是什么？

練習(xí)2：如下表所示，每列由一個(gè)數(shù)字、一個(gè)字母和一個(gè)漢字組成一組，例如，第一組是“1，A，我”，第二組是“2，B，們”，第三組是“3，C，愛”……那么第46組是什么？
★★★終極挑戰(zhàn)八
例8：在一根繩子上依次穿4顆紅珠子、2顆白珠子、1顆黑珠子，并按此方式重復(fù)。如果從頭開始數(shù)，一共穿了75顆珠子，那么這75顆珠子中紅珠子比白珠子多多少顆？
分析：根據(jù)題意，我們知道珠子的順序按“4紅2白1黑”重復(fù)，每重復(fù)一次就有4顆紅珠子和2顆白珠子，75÷7＝10（組）……5（顆），所以剩下的5顆珠子的顏色依次是“紅紅紅紅白”，所以紅珠子有4×10＋4＝44（顆），白珠子有2x10＋1＝21（顆），紅珠子比白珠子多44－21＝23（顆）。
解答：75÷7＝10（組）……5（顆）
4×10＋4＝44（顆）
2×10＋1＝21（顆）
44－21＝23（顆）
答：這75顆珠子中紅珠子比白珠子多23顆。
挑戰(zhàn)自己,我能行
練習(xí)1：將一些自然數(shù)排成一列，其中任意相鄰的5個(gè)數(shù)字之和都等于15。已知第1個(gè)數(shù)字是1，第2個(gè)數(shù)字是2，第3個(gè)數(shù)字是3，第4個(gè)數(shù)字是4。那么前52個(gè)數(shù)字之和是多少？
練習(xí)2：柯柯和其他5個(gè)小朋友圍成一個(gè)圓圈，圓圈中央放著50個(gè)乒乓球，小朋友們從柯柯開始按順序依次拿乒乓球，每人每次拿4個(gè)，直到把乒乓球拿完為止（最后剩下的球不足4個(gè)就全拿）。柯柯總共拿了多少個(gè)乒乓球？
課后練習(xí)：
1、有兩種珠子共22顆，如下圖穿成一串。
○●○○●○○●○○●○…
請問這串珠子的最后一顆是什么珠子？其中一共有多少顆○？
有一列數(shù)：1、8、7、0、1、8、7、0…第38個(gè)數(shù)是幾？這38個(gè)數(shù)的和是
多少？
3、有一列數(shù)：1、5、2、1、1、5、2、1…依次排序，問前20個(gè)數(shù)的和是多少？
4、今年“五一”是星期六，再過19天是星期幾？
5、13個(gè)4相乘，積末位數(shù)字是幾？

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