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高中數學必修 1 知識點
第一章 集合與函數概念
一、集合有關概念：
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：
（1）元素的確定性； （2）元素的互異性； （3）元素的無序性
說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的
元素。
(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。
(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，
不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。
（Ⅰ）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。
（Ⅱ）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示
某些對象是否屬于這個集合的方法。
①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②數學式子描述法：例：不等式 x-3>2 的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
（3）圖示法（文氏圖）：
4、常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集）記作：N
正整數集 N*或 N+ 整數集 Z 有理數集 Q 實數集 R
5、“屬于”的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就說 a 屬于集合 A 記作 a∈A ，相反，
a 不屬于集合 A 記作 a A
6、集合的分類：
1．有限集 含有有限個元素的集合 2．無限集 含有無限個元素的集合 3．空集 不含任何元素的集合
二、集合間的基本關系
1.“包含”關系———子集
對于兩個集合 A 與 B，如果集合 A 的任何一個元素都是集合 B 的元素，我們就說兩集合有包含關系，稱
集合 A 為集合 B 的子集，記作 A B
注意： 有兩種可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 與 B 是同一集合。
反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,記作 A B 或 B A
集合 A 中有 nn 個元素,則集合 A 子集個數為 2 .
2．“相等”關系(5≥5，且 5≤5，則 5=5)
實例：設 2 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同”
結論：對于兩個集合 A 與 B，如果集合 A 的任何一個元素都是集合 B 的元素，同時,集合 B 的任何一個元
素都是集合 A 的元素，我們就說集合 A 等于集合 B，即：A=B A B且B A
① 任何一個集合是它本身的子集。A A
②真子集:如果 A B,且 A B 那就說集合 A 是集合 B 的真子集，記作 A B(或 B A)
③如果 A B, B C ,那么 A C
④ 如果 A B 同時 B A 那么 A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1．交集的定義：一般地，由所有屬于 A 且屬于 B 的元素所組成的集合,叫做 A,B 的交集．
記作 A∩B(讀作”A 交 B”)，即 A∩B={x|x∈A，且 x∈B}．
2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合 A 或屬于集合 B 的元素所組成的集合，叫做 A,B 的并集。記作：
A∪B(讀作”A 并 B”)，即 A∪B={x|x∈A，或 x∈B}．
3、交集與并集的性質：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.
4、全集與補集
（1）全集：如果集合 S 含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常
用 U 來表示。
（2）補集：設 S 是一個集合，A 是 S 的一個子集（即 A S），由 S 中 S
所有不屬于 A 的元素組成的集合，叫做 S 中子集 A 的補集（或余集）。 A
記作： CSA ，即 CSA ={x | x S 且 x A}
（3）性質：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U CsA
(4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)
二、函數的有關概念
1．函數的概念：設 A、B 是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系 f，使對于集合 A 中的任意一個數
x，在集合 B 中都有唯一確定的數 f(x)和它對應，那么就稱 f：A→B 為從集合 A 到集合 B 的一個函數．記
作： y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數的定義域；與 x 的值相對應的 y 值叫
做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．
注意：1、如果只給出解析式 y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義
的實數的集合；2、函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．
定義域補充：
能使函數式有意義的實數 x 的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)
分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零； (3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數
式的底必須大于零且不等于 1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義
域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等于零 (7)實際問題中的函數的定義
域還要保證實際問題有意義.
(注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)
2、構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域
注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，
如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）。
（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。
相同函數的判斷方法：①定義域一致；②表達式相同 (兩點必須同時具備)
值域補充
(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.
(2)、應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基
礎。
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的 x 為橫坐標，函數值 y 為縱坐標的點 P(x，y)
的集合 C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象．
C 上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系 y=f(x)，反過來，以滿足 y=f(x)的每一組有序實數對 x、y 為
坐標的點(x，y)，均在 C 上 . 即記為 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點
的若干條曲線或離散點組成。
(2) 畫法：
A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出 x,y 的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相
應的點 P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.
B、圖象變換法：
常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換
Ⅰ、對稱變換:
（1）將 y= f(x)在 x 軸下方的圖象向上翻得到 y=∣f(x)∣的圖象如：書上 P21 例 5
x
1
（2） y= f(x)和 y= f(-x)的圖象關于 y 軸對稱。如 y ax與y a x
a
（3） y= f(x)和 y= -f(x)的圖象關于 x 軸對稱。如 y loga x與y loga x log1 x
a
Ⅱ、平移變換: 由 f(x)得到 f(x a) 左加右減； 由 f(x)得到 f(x) a 上加下減
(3)作用：A、直觀的看出函數的性質；B、利用數形結合的方法分析解題的思路；C、提高解題的速度；發
現解題中的錯誤。
4．區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示．
5．映射
定義：一般地，設 A、B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則 f，使對于集合 A 中的任意一
個元素 x，在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應，那么就稱對應 f：A B 為從集合 A 到集合 B 的
一個映射。記作“f：A B”
給定一個集合 A 到 B 的映射，如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 對應，那么，我們把元素 b 叫做元素 a
的象，元素 a 叫做元素 b 的原象
說明:函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合 A、B 及對應法則 f 是確定的；②對應法則
有“方向性”，即強調從集合 A 到集合 B 的對應，它與從 B 到 A 的對應關系一般是不同的；
③對于映射 f：A→B 來說，則應滿足：（Ⅰ）集合 A 中的每一個元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一
的；（Ⅱ）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合 B 中的每一個元
素在集合 A 中都有原象。
6、函數的表示法：
常用的函數表示法及各自的優點：
1 函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖
象的依據：作垂直于 x 軸的直線與曲線最多有一個交點。
2 解析法：必須注明函數的定義域；
3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；
4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．
注意：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值
補充一：分段函數
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相
應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函數值幾種不同的表達式并用一個左
大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．注意：（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認
為是幾個函數；（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．
補充二：復合函數
如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為 f 是 g 的復合函數。
7．函數單調性
（1）．增函數
設函數 y=f(x)的定義域為 I，如果對于定義域 I 內的某個區間 D 內的任意兩個自變量 x1，x2，當 x1都有 f(x1)單調增區間； u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]
如果對于區間 D 上的任意兩個自變量的值 x1，x2，當 x1＞f(x2)，那么就說 f(x)在這個區間上是減函數.區間 D 稱為 y=f(x)的單調減區 增 減 減
間. 減 增 減
注意：1、函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部 減 減 增
性質；
2、必須是對于區間 D 內的任意兩個自變量 x1，x2；當 x1（2） 圖象的特點
如果函數 y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數 y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單
調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：
1 任取 x1，x2∈D，且 x1f(x1)－f(x2)的正負）；5 下結論（指出函數 f(x)在給定的區間 D 上的單調性）．
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)復合函數的單調性：復合函數 f[g(x)]的單調性與構成它的函數 u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規
律如下：
復合函數單調性：口訣：同增異減
注意：1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.
（4）判斷函數的單調性常用的結論
①函數 y f (x) 與 y f (x)的單調性相反；
1
y
②當函數 y f (x)恒為正或恒有負時， f (x) 與函數 y f (x) 的單調性相反；
③函數 y f (x)與函數 y f (x) C （C 為常數）的單調性相同；
④當 C > 0（C 為常數）時， y f (x) 與 y C f (x)的單調性相同；
當 （ 為常數）時， y f (x)與 y C f (x)C < 0 C 的單調性相反；
⑤函數 f (x)、 g(x)都是增（減）函數，則 f (x) g(x) 仍是增（減）函數；
⑥若 f (x) 0, g(x) 0且 f (x) 與 g(x)都是增（減）函數，則 f (x) g(x)也是增（減）函數；
若 f (x) 0, g(x) 0且 f (x) 與 g(x)都是增（減）函數，則 f (x) g(x)也是減（增）函數；
⑦設 f (x) 0，若 f (x)
n f (x) n
在定義域上是增函數，則 、 k f (x)(k 0) 、 f (x)(n 1)都是增函數，
1
而 f (x) 是減函數.
8．函數的奇偶性
（1）偶函數
一般地，對于函數 f(x)的定義域內的任意一個 x，都有 f(－x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函數．
（2）奇函數
一般地，對于函數 f(x)的定義域內的任意一個 x，都有 f(－x)=—f(x)，那么 f(x)就叫做奇函數．
注意：1、 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；
函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。
2、 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個 x，
則－x 也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）．
（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征
偶函數的圖象關于 y 軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．
總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：1 首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對
稱；2 確定 f(－x)與 f(x)的關系；3 作出相應結論：若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則 f(x)是偶函數；
若 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則 f(x)是奇函數．
注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關于原點對稱，
若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定 f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根
據是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .
函數奇偶性的性質
① 奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；
偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.
②奇函數的圖象關于原點對稱,偶函數的圖象關于 y 軸對稱.
③若 f (x)為偶函數，則 f ( x) f (x) f (| x |).
④若奇函數 f (x) 定義域中含有 0，則必有 f (0) 0.
⑤定義在關于原點對稱區間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數F(x)與一個偶函數G(x)的和（或
f (x) f ( x) f (x) f ( x)
差）”.如設 f (x) 是定義域為 R的任一函數， 則F(x) ，G(x) .
2 2
⑥復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.
⑦既奇又偶函數有無窮多個（ f (x) 0，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）.
9、函數的解析表達式
（1）函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對
應法則，二是要求出函數的定義域.
（2）求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，A、如果已知函數解析式的構造時，
可用待定系數法；B、已知復合函數 f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知
表達式較簡單時，也可用湊配法；C、若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出 f(x)
10．函數最大（小）值（定義見課本 p30 頁）
（1） 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；
（2） 利用圖象求函數的最大（小）值；
（3） 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數 y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，
c]上單調遞減則函數 y=f(x)在 x=b 處有最大值 f(b)；如果函數 y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，
c]上單調遞增則函數 y=f(x)在 x=b 處有最小值 f(b)；
第二章 基本初等函數
一、指數函數
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：
負數沒有偶次方根；0 的任何次方根都是 n0，記作 0 =0。
n
注意：(1) ( n a) a
a,a 0n n
(2)當 n 是奇數時， a a n n ，當 n 是偶數時， a | a |
a,a 0
2．分數指數冪
m
正數的正分數指數冪的意義，規定：a n n am (a 0,m,n N ,且n 1)
m
_ 1
正數的正分數指數冪的意義：a n (a 0,m,n N ,且n 1)
m
a n
0 的正分數指數冪等于 0，0 的負分數指數冪沒有意義
3．實數指數冪的運算性質
aras（1） ar s (a 0,r,s R)
（2） (ar )s ars (a 0,r, s R)
（3） (ab)r arbr (a 0,b 0,r R)
1
注意：在化簡過程中，偶數不能輕易約分；如[(1 2)2]2 1 2而應= 2 1
（二）指數函數及其性質
x
1、指數函數的概念：一般地，函數 y a 叫做指數函數，其中 x 是自變量，函數的定義域為 R．
注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和 1．即 a>0 且 a≠1
2、指數函數的圖象和性質
01
圖
像
定義域 R , 值域（0，+∞）
（1）過定點（0，1）,即 x=0 時，y=1
(2)在 R 上是減函數 (2)在 R 上是增函數
性質
（3）當 x>0 時,00 時,y>1;
當 x<0 時,y>1 當 x<0 時,0圖象特征 函數性質
向 x 軸正負方向無限延伸 函數的定義域為 R
函數圖象都在 x 軸上方 函數的值域為 +R
共性 圖象關于原點和 y 軸不對稱 非奇非偶函數
函數圖象都過定點（0，1） 過定點（0，1）
自左向右看，圖象逐漸下降 減函數
在第一象限內的圖象縱坐標都小于 1 當 x>0 時,001
圖象上升趨勢是越來越緩 函數值開始減小極快，
到了某一值后減小速度較慢；
自左向右看，圖象逐漸上升 增函數
在第一象限內的圖象縱坐標都大于 1 當 x>0 時,y>1;
a>1 在第二象限內的圖象縱坐標都小于 1 當 x<0 時,0圖象上升趨勢是越來越陡 函數值開始增長較慢，
到了某一值后增長速度極快；
注意： 指數增長模型： x x y=N(1+p) 指數型函數： y=ka
3 考點：（1） ba =N, 當 b>0 時，a,N 在 1 的同側；當 b<0 時，a,N 在 1 的 異側。
（2）指數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行討論。掌握利用單調性比較冪的大小，
同底找對應的指數函數，底數不同指數也不同插進 01(=a )進行傳遞或者利用（1）的知識。
（3）求指數型函數的定義域可將底數去掉只看指數的式子，值域求法用單調性。
（4）分辨不同底的指數函數圖象利用 1a =a，用 x=1 去截圖象得到對應的底數。
(5)指數型函數： x xy=N(1+p) 簡寫：y=ka
二、對數函數
（一）對數
x
1．對數的概念：一般地，如果a N ，那么數 x 叫做以 a 為底 N 的對數，記作： x loga N
（ a— 底數， N— 真數， loga N — 對數式）
說明：1. 注意底數的限制，a>0 且 a≠1；2. 真數 N>0 3. 注意對數的書寫格式．
2、兩個重要對數：
（1）常用對數：以 10 為底的對數, log10 N記為lg N ；
（2）自然對數：以無理數 e 為底的對數的對數 , loge N記為ln N ．
3、對數式與指數式的互化
x loga N a
x N
對數式 指數式
對數底數← a → 冪底數
對數← x → 指數
真數← N → 冪
結論：（1）負數和零沒有對數
（2）logaa=1, loga1=0 特別地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0
log N
(3) 對數恒等式：a a N
（二）對數的運算性質
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
1、 log（a M N） loga M loga N 兩個正數的積的對數等于這兩個正數的對數和
M
2 、 log a log a M log a N 兩個正數的商的對數等于這兩個正數的對數差
N
n
3 、 loga M n loga M（n R） 一個正數的 n 次方的對數等于這個正數的對數 n 倍
說明:
1) 簡易語言表達:”積的對數=對數的和”……
2) 有時可逆向運用公式
3) 真數的取值必須是(0,＋∞)
4) 特別注意： log a MN log a M loga N
log a M N log a M log a N
log
注意：換底公式 log c
b lgb
a b a 0,a 1,c 0,c 1,b 0
logc a lg a
利用換底公式推導下面的結論
1 n
① log a b ② loga b logb c logc d loga d ③ log
n
am
b loga b
log b a m
（二）對數函數
1、對數函數的概念：函數 y loga x (a>0，且 a≠1) 叫做對數函數，其中 x 是自變量，函數的定義域是
（0，+∞）．
注意：（1） 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。
如： y loga x 1， y loga x 2 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．
（2） 對數函數對底數的限制：a>0，且 a≠1
2、對數函數的圖像與性質：對數函數 y loga x (a>0，且 a≠1)
0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1
y y
圖
像 0 (1,0) x
0 (1,0) x
定義域：（0，＋∞） 值域：R
過點(1 ,0), 即當 x ＝1 時,y＝0
性 在(0,+∞)上是減函數 在(0,+∞)上是增函數
質 當 x>1 時，y<0 當 x>1 時，y>0
當 x=1 時，y=0 當 x=1 時，y=0
當 00 當 0重要結論：在 log b 中，當 a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)內時，有 log b>0;
a a
當 a,b 不同在(0,1) 內，或不同在(1,+∞) 內時,有 log b<0.
a
口訣：底真同大于 0（底真不同小于 0）.
（其中，底指底數，真指真數，大于 0 指 log b 的值）
a
3、如圖，底數 a 對函數 y log a x 的影響。
規律: 底大枝頭低, 頭低尾巴翹。
4 考點：
Ⅰ、logab, 當 a,b 在 1 的同側時, logab >0；當 a,b 在 1 的異側時, logab <0
Ⅱ、對數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行討論。掌握利用單調性比較對數的大
小，同底找對應的對數函數，底數不同真數也不同利用（1）的知識不能解決的插進 1(=logaa)進行
傳遞。
Ⅲ、求指數型函數的定義域要求真數>0，值域求法用單調性。
Ⅳ、分辨不同底的對數函數圖象利用 1=logaa ，用 y=1 去截圖象得到對應的底數。
Ⅴ、 xy=a (a>0 且 a ≠1) 與 y=logax(a>0 且 a ≠1) 互為反函數，圖象關于 y=x 對稱。
5 比較兩個冪的形式的數大小的方法:
(1) 對于底數相同指數不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函數的單調性來判斷.
(2) 對于底數不同指數相同的兩個冪的大小比較,可以利用比商法來判斷.
(3) 對于底數不同也指數不同的兩個冪的大小比較,則應通過中間值來判斷.常用 1 和 0.
6 比較大小的方法
(1) 利用函數單調性(同底數)；(2) 利用中間值（如:0,1.）；(3) 變形后比較；(4) 作差比較
（三）冪函數

1、冪函數定義：一般地，形如 y x 的函數稱為冪函數，其中 x 是自變量，α為常數．
2、冪函數性質歸納．
（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；
（2）α>0 時，冪函數的圖象通過原點，并且在[0,+ ∞）上是增函數．特
別地，當α>1 時，冪函數的圖象下凸；當 0<α<1 時，冪函數的圖象
上凸；
（3）α<0 時，冪函數的圖象在（0，+∞）上是減函數．在第一象限
內，當 x 從右邊趨向原點時，圖象在 y 軸右方無限地逼近 y 軸正半軸，
當 x 趨于+∞時，圖象在 x 軸上方無限地逼近 x 軸正半軸．
第三章 函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對于函數 y=f(x),使 f(x)=0 的實數 x 叫做函數的零點。（實質上是函數 y=f(x)與 x 軸交
點的橫坐標）
2、函數零點的意義：方程 f(x)=0 有實數根 函數 y=f(x)的圖象與 x 軸有交點 函數 y=f(x)有零點
3、零點定理：函數 y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的，并且有 f(a)f(b)<0,那么函數 y=f(x)在區間（a,b）
至少有一個零點 c，使得 f( c)=0,此時 c 也是方程 f(x)=0 的根。
4、函數零點的求法：求函數 y=f(x)的零點：
（1） （代數法）求方程 f(x)=0 的實數根；
（2） （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 y=f(x)的圖象聯系起來，并利用函數的性
質找出零點．
5、二次函數的零點：二次函數 2f(x)=ax +bx+c(a≠0)．
1）△＞0，方程 f(x)=0 有兩不等實根，二次函數的圖象與 x 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．
2）△＝0，方程 f(x)=0 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 x 軸有一個交點，二次函數有一個二
重零點或二階零點．
3）△＜0，方程 f(x)=0 無實根，二次函數的圖象與 x 軸無交點，二次函數無零點．
二、二分法
1、概念：對于在區間[a,b]上連續不斷且 f(a)f(b)<0 的函數 y=f(x),通過不斷地把函數 f(x)的零點所在的區間
一分為二,使區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法。
2、用二分法求方程近似解的步驟:
⑴確定區間[a,b],驗證 f(a)f(b)<0，給定精確度ε；
⑵求區間(a,b)的中點 c;
⑶計算 f(c),
①若 f(c)=0,則 c 就是函數的零點；
②若 f(a)f(c)<0,則令 b=c（此時零點 x0∈(a,c)）
③若 f(c)f(b)<0,則令 a=c（此時零點 x0∈(c,b)）
(4)判斷是否達到精確度ε：即若|a-b|<ε,則得到零點近似值為 a(或 b);否則重復⑵~⑷
三、函數的應用：
（1）評價模型： 給定模型利用學過的知識解模型驗證是否符合實際情況。
（2）幾個增長函數模型：一次函數：y=ax+b(a>0)
指數函數： x xy=a (a>1) 指數型函數： y=ka (k>0,a>1)
冪函數： n y=x （ n N*) 對數函數：y=logax(a>1)
二次函數： 2y=ax +bx+c(a>0)
增長快慢： x nV(a )>V(x )>V(logax)
解不等式 x 2 2 x (1) log2x< 2 < x (2) log2x< x < 2
（3）分段函數的應用：注意端點不能重復取，求函數值先判斷自變量所在的區間。
（4）二次函數模型： 2 y=ax +bx+c(a≠0) 先求函數的定義域，在求函數的對稱軸，看它在不在定義域內，
在的話代進求出最值，不在的話，將定義域內離對稱軸最近的點代進求最值。
（5）數學建模：
(6)一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
兩個根都在（m,n )內 兩個有且僅有一個在（m,n)內 x1∈(m,n) x2∈(p,q)
y
m n
m
n p q
n x m
0 f (m) 0

b
m n f (n) 0
2a f(m)f(n)<0
f (m) 0 f ( p) 0

f (n) 0 f (q) 0
兩個根都小于 K 兩個根都大于 K 一個根小于 K，一個根大于 K
y
k
k x k
0 0
f(k)<0
b b
k k
2a 2a
f (k) 0 f (k) 0

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