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練習
1.判斷題：
①平面α,β及直線l滿足α⊥β,l∥α,則l∥β
②若直線m∥平面α, 直線n⊥平面β,m⊥n,則α⊥β
③若直線m∥平面α, 直線n⊥平面β, m∥n,則α⊥β
④直線m⊥直線n, m∥平面α, 平面α∥平面β則n⊥β
⑤直線m⊥平面α, 直線n∥平面β,α∥β則m⊥n
⑥直線m⊥平面α, 直線m∥直線n, 平面α∥平面β則n⊥β
2.如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中,則下列結論中
正確的是　　　　.(把所有正確結論的序號都填上)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1;
③過點A1與異面直線AD和CB1成90°角的直線有2條
3. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,
且底面ABCD為矩形,則下列結論中錯誤的是(　 )
A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD D.平面PCD⊥平面PAD
4. 如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,
且PA=PB=PC,則△ABC是　　　　三角形.
5. 如圖,四棱錐S-ABCD中,底面正方形ABCD的邊長為2,
SD⊥平面ABCD,SD=AD,點E是棱SD上任意一點.
求證:AC⊥BE.
6. 如圖,把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB所在直線旋轉
至△ABD的位置,使CD=AC.
求證:平面ABD⊥平面ABC.
參考答案：
1. ①×②×③√④×⑤√⑥√
提示：①在正方體中，平面ABCD⊥平面ABB1A1,B1C1∥平面ABCD,
但是，B1C1⊥平面ABB1A1.
②在正方體中，BC∥平面A1B1C1D1,BB1⊥平面ABCD,BC⊥BB1,
但是，平面A1B1C1D1∥平面ABCD.
③在平面α內取一點A，由A和m確定的平面記為γ，平面α和平面γ的交線記為l，∴m∥l, 已知m∥n，∴l∥n, 已知n⊥平面β, ∴l⊥平面β, ∴α⊥β.
④在正方體中，AB⊥B1C1,AB∥平面A1B1C1D1, 平面A1B1C1D1∥平面ABCD，
但是，B1C1∥平面ABCD.
⑤∵直線m⊥平面α, α∥β，∴m⊥β,垂足記為A,由A和n確定的平面記為γ，平面β和平面γ的交線記為l，根據直線與平面平行的性質定理得，l∥n,∵l在平面β內，∴m⊥l,∴m⊥n.
⑥∵直線m⊥平面α, 直線m∥直線n,∴直線n⊥平面α,又∵平面α∥平面β,
∴直線n⊥平面β
2.①②　
提示：① 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BD∥B1D1,
B1D1 平面CB1D1,BD 平面CB1D1。
②連接A1C1,BC1(自己畫圖),由A1B1C1D1是正方形，
得B1D1⊥A1C1,又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1,又A1C1∩AA1=A1,∴B1D1⊥平面AC1A1,故B1D1⊥AC1.
同理可得B1C⊥AC1.(自己嘗試證明一下，如果不會證，那么一定要重新學習一下前面證明B1D1⊥AC1的過程)又B1D1∩B1C=B1,∴AC1⊥平面CB1D1.
③∵AD∥BC,點A1與直線AD成90°角的直線必和BC也垂直,又過點A1的直線和CB1垂直,BC∩CB1=C,∴該直線必和平面B1C1CB垂直,滿足條件的只有直線A1B1,故③不正確.
3.C
提示：從選項上看都是面面垂直的問題，因此應該想到面面垂直的判定定理：“如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直。”
由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥AD,PA⊥AB,又∵ABCD為矩形,
∴AD⊥AB,而AD∩PA=A, ∴AB⊥平面PAD，平面PAB經過AB，
∴平面PAB⊥平面PAD, 選項A正確；∵CD∥AB,
∴CD⊥平面PAD，平面PCD經過CD，∴平面PCD⊥平面PAD,
選項D正確；
同理BC⊥平面PAB,∴選項B正確.
如果是考試，那么選C.
如果是學習，那么我們要知道為什么選項C不正確。
假如C正確，即平面PBC⊥平面PCD，交線是PC，在直角三角形PBC中，過B點作斜邊PC的垂線，垂足記為M,則BM⊥平面PCD,∴BM⊥CD,已知CD⊥BC,∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥PC與CD⊥PD相矛盾。
4. 直角
提示：由條件“平面PAB⊥平面ABC”，應該想到面面垂直的性質定理：“如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。”
根據前述的性質定理，平面PAB和平面ABC的交線是AB，那么是在平面PAB內還是在平面CAB內作AB的垂線呢？結合題中另一個條件PA=PB=PC，我們應該在平面PAB內作，這樣與條件聯系起來更方便(至少有一個相同的點P).
在三角形PAB中，過點P作AB的垂線，
垂足為O,根據面面垂直性質定理，
PO⊥平面ABC.連接OC, ∴PO⊥OA, PO⊥OB, PO⊥OC.
已知PA=PB=PC,∴Rt⊿POA≌Rt⊿POB≌=Rt⊿POC,
∴OA=OB=OC,
∴△ABC是直角三角形.
5. 提示：根據題目信息“點E是棱SD上任意一點”，且要求證明“AC⊥BE.”這說明直線AC⊥平面SBD。所以應該想到直線與平面垂直的判定定理：“如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線與這個平面垂直。”
因此，需要證明直線AC與平面SBD內的兩條相交直線垂直。
已知四邊形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.又∵SD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥SD，又SD∩BD=D,∴AC⊥平面SBD.
6. 提示：為了證明面面垂直，應該想到面面垂直的判定定理：“如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直。”
即，在平面ABD內找一條與平面ABC垂直的直線或者在平面ABC內找一條與平面ABD垂直的直線.本題是“把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB所在直線旋轉至△ABD的位置,使CD=AC.”因此，在哪個平面內找是一樣的。
在等腰直角三角形ABC中，AB是斜邊，
所以，BC(AC)與AB都不垂直，
因此，需要在平面ABC內作一條直線，
證明所作的直線與平面ABD垂直。
取AB的中點O,連接OD,OC.
∵△ABC和△ABD均是以AB為斜邊的等腰直角三角形,∴OC⊥AB,OD⊥AB,
設等腰直角三角形ABC的腰長為2a,則OD=OC=a,已知CD=AC, ∴OD2+OC2=CD2,
∴CO⊥OD.
OD,AB是平面ABD內兩條相交直線，∴CO⊥平面ABD,
CO在平面ABC內，∴平面ABD⊥平面ABC.
附1：
怎么想
很多學生有這樣的困惑，基礎知識都掌握了，但還是用不上。
下面以第5題為例說明一下數學中的“怎么想”。
如圖,四棱錐S-ABCD中,底面正方形ABCD的邊長為2,
SD⊥平面ABCD,SD=AD,點E是棱SD上任意一點.
求證:AC⊥BE.
我們要知道想證明兩條直線垂直的方法之一是證明一條直線垂直經過另一條直線的平面。
根據題目信息“點E是棱SD上任意一點”，所以直線BE在平面SBD內，(平面SBD是確定的平面)，因此只需證明直線AC⊥平面SBD。所以應該想到直線與平面垂直的判定定理：“如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線與這個平面垂直。”
因此，需要證明直線AC與平面SBD內的兩條相交直線垂直。
圖中平面SBD內的兩條相交直線只有直線SD,SB，連結BD,(連結BD時要考慮考慮BD是否容易證明和AC垂直，根據ABCD是正方形，所以可證直線AC⊥BD)。另一條與AC垂直的直線是選SD還是SB呢？要結合題中的其它條件。題中有條件“SD⊥平面ABCD”于是應該選擇證明AC⊥SD(如果你知道“當SD⊥平面ABCD時，SD垂直平面ABCD內的任意直線。”這個基礎知識，當然也會選擇證明AC⊥SD。)
從中可以看出，只有在基礎知識都記牢、記熟后運用才會得心應手。
比如你對基礎知識“如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直平面內的任意一條直線”很熟悉，那么你在讀題的過程中，讀到條件“SD⊥平面ABCD”時，就會想到SD與AB,BC,CD,DA,AC這五條直線都垂直。所以思路就容易暢通。
解答高中數學題目時，不要只滿足于該題目怎么做，更要清楚怎么想到的這么做，根據題目哪個信息聯想到相關基礎知識。
多總結，大有益處！

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