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練習
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點,P為AA1的中點,
則異面直線PO與A1D所成的角的余弦值是 。
2.在下列四個正方體中,能得出AB⊥CD的是 (　 )
3.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,
E是AD的中點,F是BB1的中點,
則直線EF與平面ABCD所成角的正切值為　　　　.
4.如圖,四邊形ABCD為菱形,四邊形CEFB為正方形,
平面ABCD⊥平面CEFB,∠BCD=60°,
若二面角D-CE-F的大小為α,則tanα=
5.(多選題)如圖,四棱錐S-ABCD的底面為矩形,SD⊥底面ABCD,
AD=a,DC=b,SD=2,且a+b=2,則下列結論中不正確的是(　 )
A.P為棱SC上的點,則存在點P,使得SA∥平面BDP
B.A到平面SBC的距離有可能等于
C.SB與平面ABCD所成的角的大小有可能為
D.四棱錐的外接球的表面積的最小值是π
6.(多選題)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,
BC=CD=,AB=1,E為AB中點,以DE為折痕把△ADE折起,
使點A到達點P的位置,得到四棱錐P-EBCD,且PC=,
則( 　 )
A.平面PED⊥平面EBCD
B.PC⊥ED
C.二面角P-DC-B的大小為45°
D.PC與平面PED所成角的正切值為
參考答案：
1.
提示：要求異面直線所成角，可以先想到定義：“如果a,b是異面直線，過空間中任意一點，分別作與a,b 平行或重合的直線a1,b1,則a1與b1所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大小。”
根據定義，結合題中條件P,O分別是AA1和AC的中點，
連接A1C, ∴PO∥A1C,
∴∠CA1D是異面直線PO與A1D所成的角。
設正方體棱長為1，在三角形CA1D中，CD=1，A1D=，CA1=，
由余弦定理得，cos∠CA1D=.
2.A
提示：對于選項A,如圖①,連接BE,則在正方形BDEC中,CD⊥BE,
又AE⊥平面BCED,CD 平面BCED,∴AE⊥CD,∵AE∩BE=E,
∴CD⊥平面ABE,∵AB 平面ABE,∴CD⊥AB.
結論：正方體的體對角線與面對角線是異面直線時，它們互相垂直。
對于選項B,如圖②,連接AE,BE,易得CD∥AE,則∠BAE為異面直線
AB,CD所成的角,易知△BAE為等邊三角形,∴∠BAE=60°。
結論：正方體相鄰的兩個面的面對角線相交或異面時所成角總等于60°。
對于選項C,如圖③,CD∥BE,則∠ABE為異面直線AB,CD所成的角,
易得∠ABE=45°。
對于選項D,如圖④,CD∥BE,
則∠ABE為異面直線AB,CD所成的角,顯然∠ABE≠90°,
3.　
提示：要求直線EF與平面ABCD所成角的正切值，
應該先想到定義：“如果直線AC是平面α的一條斜線，
C是斜足，AB垂直平面α于B,∠ACB稱為直線AC和
平面α所成的角。”
根據直線與平面所成角的定義，需要找直線EF在平面ABCD內的射影(即找過點F與平面ABCD垂直的直線)，
在正方體中，BB1⊥平面ABCD,
∴FB⊥平面ABCD于B，連結EB,
∴∠FEB即為直線EF與平面ABCD所成的角.
在Rt△FBE中,可求BF=1,BE=,∴tan∠FEB=.
4.
提示： 要求二面角D-CE-F的正切值，應該先想到二面角
平面角的定義：“在二面角α-l-β的棱上任取一點O,以O為垂足，
在兩個半平面α,β內作垂直于棱的射線OA,OB,∠AOB稱為二面角α-l-β的平面角。”
本題中的半平面是EC-D和EC-F,(EC-F就是EC-B)棱是EC,
根據“平面ABCD⊥平面CEFB”已知條件應該想到面面垂直的性質定理：“如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。”
本題平面ABCD和平面CEFB的交線是CB,而剛好CEFB是正方形，即平面CEFB內的直線EC垂直于CB，∴ EC⊥平面CEFB.
分別在兩個半平面內的射線DC,BC都與EC垂直。
∠DCB二面角D-CE-F的平面角。
由題意可知∠DCB=60°,即α=60°.
5.CD
提示：學到現在，對于四棱錐S-ABCD的底面為矩形,SD⊥底面ABCD,應該是比較熟悉的。它的四個側面都是直角三角形(比如，
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AB，又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面SAD,
∴SA⊥AB.)，SDB也是直角三角形。同時這個四棱錐是變化的
(∵AD,CD的長度是變化的)，但高SD是定長2.
對于選項A,記BD和AC的交點為O,當點P為SC的中點時,連接OP,則SA∥OP,易得SA∥平面BDP,故選項A結論正確;
對于選項B,因為A到平面SBC的距離是三棱錐A-SBC的高,記為h，于是可以考慮體積法求高。
三角形SBC面積為
∴
∴, ∴當b=1時，符合題意。故選項B結論正確;
對于選項C,已知“SD⊥底面ABCD”，∴DB是SB在平面ABCD內的射影，∴∠SBD是SB與平面ABCD所成的角,在三角形ABD中，AB+AD>BD,而AB+AD=a+b=2, ∴BD<2, ∴∠SBD>,故選項C結論錯誤;
對于選項D,由于⊿SAB,⊿SDB,⊿SCB都是以SB為斜邊的直角三角形，∴四棱錐S-ABCD的外接球的直徑為SB=,∵a+b=2,∴SB=
∴SB的最小值是,∴外接球的半徑最小值是.故選項D結論錯誤.
6.ACD
提示：在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=,AB=1,E為AB中點,
BCDE是正方形，且AD=, 以DE為折痕把△ADE折起, 得到四棱錐P-EBCD,且PC=,∴PD2+CD2=PC2,∴PD⊥CD,CD⊥平面PDE,∴CD⊥PE,∴EB,ED,EP兩兩垂直.
PE⊥平面BCDE,.
對于選項A,顯然正確;
對于選項B,若PC⊥ED,則由ED⊥CD,PC∩CD=C,可得ED⊥平面PDC,則ED⊥PD,
而∠EDP=45°,矛盾,故B錯誤;
對于選項C,二面角P-DC-B的平面角為∠PDE,且∠PDE=∠ADE=45°,故C正確;
對于選項D,∠CPD為直線PC與平面PED所成的角,在直角三角形PCD中,
tan∠CPD==,故D正確.
附1：
用定義解題
在高中數學的學習過程中，用定義解題是很常見途徑。
在現階段立體幾何的求角問題(包括異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角)都是利用定義解題。
比如，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點,P為AA1的中點,
則異面直線PO與A1D所成的角的余弦值是 。
本題是依據異面直線所成角定義找到異面直線PO與A1D所成的角，
然后再計算。連結A1C，∵A1C∥PO，∴∠CA1D是異面直線PO與A1D所成的角。
然后，在三角形CA1D中，求出∠CA1D的余弦。
再比如，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,
E是AD的中點,F是BB1的中點,
則直線EF與平面ABCD所成角的正切值為 .
本題是依據直線與平面所成角定義找到直線EF與平面ABCD所成的角，
然后再計算。
∵FB⊥平面ABCD于B，連結EB,
∴∠FEB即為直線EF與平面ABCD所成的角.
在Rt△FBE中,求∠FEB的正切值。
再比如，如圖,四邊形ABCD為菱形,四邊形CEFB為正方形,
平面ABCD⊥平面CEFB,∠BCD=60°,
若二面角D-CE-F的大小為α,則tanα=
本題是依據二面角的度量的定義先找二面角的平面角，
然后再計算。
∵BC⊥CE,CD⊥CE,BC在半平面CEB內，CD在半平面CED內，∴∠DCB二面角D-CE-F的平面角.
在菱形ABCD中，求∠DCB。
定義是最基礎的基礎知識。“記住基礎知識，用基礎知識做題”很重要！

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