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專題2 圓相關的概念及性質
（一）圓的定義
1.圓的描述概念
如圖，在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．　　　　
2.圓的集合概念
圓心為O，半徑為r的圓是平面內到定點O的距離等于定長r的點的集合.
注：
　 ①確定圓需要兩個因素，一是圓心，二是半徑。圓心確定位置，半徑確定其大小。
　②圓是一條封閉曲線，曲線是圓周，而不能認為是圓面.
③“圓上的點”指圓周上的點。
（二）點與圓的位置關系
點和圓的位置關系有三種：點在圓內，點在圓上，點在圓外.
若⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，那么：
點P在圓內 d ＜ r ；
點P在圓上 d = r ；
點P在圓外 d ＞r.
說明：符號“”讀作“等價于”，它表示從左端可以推出右端，從右端也可以推出左端.
注：點在圓上是指點在圓周上，而不是點在圓面上；
（三）與圓有關的概念
1.弦
弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.
　 　直徑：經過圓心的弦叫做直徑.
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.
2.弧
弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
　　 半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
　　 優弧：大于半圓的弧叫做優弧；
　 　劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.
注：①半圓是弧，而弧不一定是半圓；
　　 ②無特殊說明時，弧指的是劣弧.
3.等弧
　　 在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
注：①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；
②圓中兩平行弦所夾的弧相等.
4.同心圓與等圓
　　 圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.
　　 圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.
注：同圓或等圓的半徑相等.
5.圓心角
頂點在圓心且角的兩邊與圓相交的角叫做圓心角.
注：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，反之也成立.
6.弧、弦、圓心角的關系
（1）圓心角與弧的關系：
　　 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
（2）圓心角、弧、弦的關系：
　　在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
注：一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征；
　　 注意關系中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.
（四）確定圓的條件
（1）經過一個已知點能作無數個圓；
（2）經過兩個已知點A、B能作無數個圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上；
（3）不在同一直線上的三個點確定一個圓.
（4）經過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形.
如圖：⊙O是△ABC的外接圓， △ABC是⊙O的內接三角形，點O是△ABC的外心.
外心的性質：外心是△ABC三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等.
注：（1）不在同一直線上的三個點確定一個圓.“確定”的含義是“存在且唯一”.
（2）只有確定了圓心和圓的半徑，這個圓的位置和大小才唯一確定.
（五）圓的對稱性
圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸。圓有無數條對稱軸．
圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．
注：圓具有旋轉不變的特性．即一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合。
（六）垂徑定理
1.垂徑定理
　　 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
2.推論
　　 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.　　　　　
注：
(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即
　　
　 (2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
（七）垂徑定理的拓展
根據圓的對稱性及垂徑定理還有如下結論：
平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；
平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
考點一：圓的相關概念
例1.1下列三個命題：①圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；②直徑是弦；③半徑相等的兩個半圓是等弧；其中正確的是（　 ）
A.①② 　　 　B. ②③ 　　 C. ①③ 　　　 D. ①②③
例1.2過圓上一點可以作出圓的最長的弦有（ ）條.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例1.3如圖，在5×5正方形網格中，一條圓弧經過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（ ）
A.點P B.點Q C.點R D.點M
例1.4以已知點O為圓心，已知線段a為半徑作圓，可以作（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個
如圖，△ABC中，∠A=50°，O是BC的中點，以O為圓心，OB長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E，連接OD，OE，測量∠DOE的度數是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
考點二：垂徑定理
例2.1AB為⊙O的弦，OC⊥AB，C為垂足，若OA＝2，OC＝l，則AB的長為( )．
A． B． C． D．
例2.2如圖所示，矩形ABCD與⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，則MN的長為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例2.3已知⊙O的直徑AB=12cm，P為OB中點，過P作弦CD與AB相交成30°角，則弦CD的長為（ ）．
A． B． C． D．
例2.4如圖，⊙O的弦AB垂直半徑OC于點D，∠CBA=30°，OC=3cm，則弦AB的長為（　　）
A．9cm B．3cm C．cm D．cm
例2.5如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC＝5cm，CD＝8cm，則AE＝（　　）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
例2.6如圖所示，⊙O的直徑AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA＝30°，求CD的長.
考點三：弧，弦，圓心角之間的關系
例3.1在⊙O中，圓心O到弦AB的距離為AB長度的一半，則弦AB所對圓心角的大小為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
例3.2下列說法中正確的是（ ）
①圓心角是頂點在圓心的角；②兩個圓心角相等，它們所對的弦相等；③兩條弦相等，圓心到這兩弦的距離相等；④在等圓中，圓心角不變，所對的弦也不變．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
例3.3如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，∠BCD=25°，則下列結論錯誤的是（　　）
A．AE=BE B．OE=DE C．∠AOD=50° D．D是的中點
例3.4如圖，以的邊為直徑的分別交于點，連結，若，則___________.
例3.5如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．
（1）求∠BOC的度數；
（2）求證：四邊形AOBC是菱形．
例3.6如圖，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上的任意一點，則PA+PC的最小值為（　　）
練習
1.下列說法中，錯誤的是（ ）
經過點p的圓有無數個；以點p為圓心的圓有無數個；
半徑為3cm且經過點p的圓有無數個；④以點p為圓心，3cm為半徑的圓有無數個.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.以下命題：①半圓是弧，但弧不一定是半圓；②過圓上任意一點只能作一條弦，且這條弦是直徑；③弦是直徑；④直徑是圓中最長的弦；⑤直徑不是弦；⑥優弧大于劣弧；⑦以○為圓心可以畫無數個圓.正確的個數為（ ）
A.1 B、2 C、3 D、4
3.若圓O所在平面內一點P到圓O上的一點的最大距離為a，最小距離為b（a＞b），則此圓的半徑為（ ）
A. B. C.或 D.或
4.已知圓O的半徑為3，一弦長為的一個根，則該弦所對的圓心角的度數為_________.
5.如圖，以△ABC的邊BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點D、E，連結OD、OE，若∠A=65°，則∠DOE=_____．
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以點B為圓心，BC為半徑作圓B，問:點A、C及AB、AC的中點D、E與圓B有怎樣的位置關系？
7.如圖所示，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點。
（1）連結AB、AD、AF，求證：AB+AF=AD；
（2）若P是圓周上異于已知六等分點的動點，連結PB、PD、PF，寫出這三條線段長度的數量關系。（不必說明理由）
8.如圖，平面直角坐標系中，以點C為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于A，B兩點．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）若二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A，B，試確定此二次函數的解析式．

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