資源簡介

高
中
新
課
標(biāo)
理
科
數(shù)
學(xué)
(必修+選修)
所
有
知
識(shí)
點(diǎn)
總
結(jié)
引言
1.課程內(nèi)容：
必修課程由5個(gè)模塊組成：
必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對(duì)、冪函數(shù)）
必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。
必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。
必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。
以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。
上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。
此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。
選修課程有4個(gè)系列：
系列1：由2個(gè)模塊組成。
選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。
選修1—2：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖
系列2：由3個(gè)模塊組成。
選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、
空間向量與立體幾何。
選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)
選修2—3：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。
系列3：由6個(gè)專題組成。
選修3—1：數(shù)學(xué)史選講。
選修3—2：信息安全與密碼。
選修3—3：球面上的幾何。
選修3—4：對(duì)稱與群。
選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。
選修3—6：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充。
系列4：由10個(gè)專題組成。
選修4—1：幾何證明選講。
選修4—2：矩陣與變換。
選修4—3：數(shù)列與差分。
選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。
選修4—5：不等式選講。
選修4—6：初等數(shù)論初步。
選修4—7：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。
選修4—8：統(tǒng)籌法與圖論初步。
選修4—9：風(fēng)險(xiǎn)與決策。
選修4—10：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。
2．重難點(diǎn)及考點(diǎn)：
重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)
難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線
高考相關(guān)考點(diǎn)：
⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡易邏輯、充要條件
⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用 　
⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用
⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用
⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用
⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對(duì)值不等式、不等式的應(yīng)用
⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系
⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用
⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量
⑽排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用
⑾概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布
⑿導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
⒀復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算
高中數(shù)學(xué) 必修1知識(shí)點(diǎn)
第一章 集合與函數(shù)概念
〖1.1〗集合
【1.1.1】集合的含義與表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.
（2）常用數(shù)集及其記法
表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實(shí)數(shù)集.
（3）集合與元素間的關(guān)系
對(duì)象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?
②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.
③描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.
④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.
（5）集合的分類
①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
【1.1.2】集合間的基本關(guān)系
（6）子集、真子集、集合相等
名稱
記號(hào)
意義
性質(zhì)
示意圖
子集
（或
A中的任一元素都屬于B
(1)AA
(2)
(3)若且，則
(4)若且，則
或
真子集
AB
（或BA）
，且B中至少有一元素不屬于A
（1）（A為非空子集）
(2)若且，則
集合
相等
A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A
(1)AB
(2)BA
（7）已知集合有個(gè)元素，則它有個(gè)子集，它有個(gè)真子集，它有個(gè)非空子集，它有非空真子集.
【1.1.3】集合的基本運(yùn)算
（8）交集、并集、補(bǔ)集
名稱
記號(hào)
意義
性質(zhì)
示意圖
交集
且
（1）
（2）
（3）

并集
或
（1）
（2）
（3）

補(bǔ)集
1 2
【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法
（1）含絕對(duì)值的不等式的解法
不等式
解集
或
把看成一個(gè)整體，化成，型不等式來求解
（2）一元二次不等式的解法
判別式
二次函數(shù)的圖象
一元二次方程的根
（其中
無實(shí)根
的解集
或
的解集
〖1.2〗函數(shù)及其表示
【1.2.1】函數(shù)的概念
（1）函數(shù)的概念
①設(shè)、是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中任何一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合，以及到的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合到的一個(gè)函數(shù)，記作．
②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則．
③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)．
（2）區(qū)間的概念及表示法
①設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實(shí)數(shù)的集合分別記做．
注意：對(duì)于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須
．
（3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：
①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)．
②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)．
③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合．
④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1．
⑤中，．
⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．
⑦若是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．
⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域?yàn)椋鋸?fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出．
⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論．
⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義．
（4）求函數(shù)的值域或最值
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：
①觀察法：對(duì)于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．
②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．
③判別式法：若函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．
⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．
⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．
⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．
⑧函數(shù)的單調(diào)性法．
【1.2.2】函數(shù)的表示法
（5）函數(shù)的表示方法
表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．
解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
（6）映射的概念
①設(shè)、是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中任何一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合，以及到的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合到的映射，記作．
②給定一個(gè)集合到集合的映射，且．如果元素和元素對(duì)應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)
【1.3.1】單調(diào)性與最大（小）值
（1）函數(shù)的單調(diào)性
①定義及判定方法
函數(shù)的
性 質(zhì)
定義
圖象
判定方法
函數(shù)的
單調(diào)性
如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)（1）利用定義
（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性
（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖
象上升為增）
（4）利用復(fù)合函數(shù)
如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)．
（1）利用定義
（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性
（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖
象下降為減）
（4）利用復(fù)合函數(shù)
②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)．
③對(duì)于復(fù)合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減．
（2）打“√”函數(shù)的圖象與性質(zhì)
分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)．
（3）最大（小）值定義
①一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；
（2）存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作．
②一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作．
【1.3.2】奇偶性
（4）函數(shù)的奇偶性
①定義及判定方法
函數(shù)的
性 質(zhì)
定義
圖象
判定方法
函數(shù)的
奇偶性
如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)=－f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)．
（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）
（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）
如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．
（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）
（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱）
②若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則．
③奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反．
④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．
〖補(bǔ)充知識(shí)〗函數(shù)的圖象
（1）作圖
利用描點(diǎn)法作圖：
①確定函數(shù)的定義域； ②化解函數(shù)解析式；
③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）； ④畫出函數(shù)的圖象．
利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：
要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．
①平移變換
②伸縮變換

③對(duì)稱變換


（2）識(shí)圖
對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．
（3）用圖
函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．
第二章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)
〖2.1〗指數(shù)函數(shù)
【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算
（1）根式的概念
①如果，且，那么叫做的次方根．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的次方根用符號(hào)表示；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根用符號(hào)表示；0的次方根是0；負(fù)數(shù)沒有次方根．
②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．
③根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ．
（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念
①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．
②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義． 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．
（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
① ②
③
【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（4）指數(shù)函數(shù)
函數(shù)名稱
指數(shù)函數(shù)
定義
函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)
圖象
定義域
值域
過定點(diǎn)
圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，．
奇偶性
非奇非偶
單調(diào)性
在上是增函數(shù)
在上是減函數(shù)
函數(shù)值的
變化情況
變化對(duì) 圖象的影響
在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低．
〖2.2〗對(duì)數(shù)函數(shù)
【2.2.1】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算
對(duì)數(shù)的定義
①若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)．
②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)．
③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：．
（2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式
，，．
（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)
常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即（其中…）．
（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果，那么
①加法： ②減法：
③數(shù)乘： ④
⑤ ⑥換底公式：
【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（5）對(duì)數(shù)函數(shù)
函數(shù)
名稱
對(duì)數(shù)函數(shù)
定義
函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)
圖象
定義域
值域
過定點(diǎn)
圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，．
奇偶性
非奇非偶
單調(diào)性
在上是增函數(shù)
在上是減函數(shù)
函數(shù)值的
變化情況
變化對(duì) 圖象的影響
在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高．
(6)反函數(shù)的概念
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋瑥氖阶又薪獬觯檬阶樱绻麑?duì)于在中的任何一個(gè)值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成．
（7）反函數(shù)的求法
①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出；
③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域．
（8）反函數(shù)的性質(zhì)
①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．
②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域．
③若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上．
④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．
〖2.3〗冪函數(shù)
（1）冪函數(shù)的定義
一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)．
（2）冪函數(shù)的圖象
（3）冪函數(shù)的性質(zhì)
①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限．
②過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)．
③單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù)．如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸．
④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)（其中互質(zhì)，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是非奇非偶函數(shù)．
⑤圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方．
〖補(bǔ)充知識(shí)〗二次函數(shù)
（1）二次函數(shù)解析式的三種形式
①一般式：②頂點(diǎn)式：③兩根式：（2）求二次函數(shù)解析式的方法
①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．
②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式．
③若已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求更方便．
（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)
①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，．
③二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（4）一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布．
設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為，且．令，從以下四個(gè)方面來分析此類問題：①開口方向： ②對(duì)稱軸位置： ③判別式： ④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)．
①k＜x1≤x2

②x1≤x2＜k

③x1＜k＜x2 af(k)＜0

④k1＜x1≤x2＜k2

⑤有且僅有一個(gè)根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2
此結(jié)論可直接由⑤推出．
（5）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)（開口向上）
①若，則 ②若，則 ③若，則
①若，則 ②，則
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)(開口向下)
①若，則 ②若，則 ③若，則
①若，則 ②，則．
第三章 函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．
3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：
求函數(shù)的零點(diǎn)：
（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；
（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．
4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：
二次函數(shù)．
１）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
２）△＝０，方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．
３）△＜０，方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．
高中數(shù)學(xué) 必修2知識(shí)點(diǎn)
第一章 空間幾何體
1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征
（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱
幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
（2）棱錐
定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐
幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。
（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側(cè)面是梯形 ③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)
（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。
（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。
（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。
（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。
1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖
1 三視圖：
正視圖：從前往后 側(cè)視圖：從左往右 俯視圖：從上往下
2 畫三視圖的原則：
長對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等
3直觀圖：斜二測畫法
4斜二測畫法的步驟：
（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；
（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；
（3）.畫法要寫好。
5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖
1.3 空間幾何體的表面積與體積
（一 ）空間幾何體的表面積
1棱柱、棱錐的表面積： 各個(gè)面面積之和
2 圓柱的表面積 3 圓錐的表面積
4 圓臺(tái)的表面積 5 球的表面積
（二）空間幾何體的體積
1柱體的體積 2錐體的體積
3臺(tái)體的體積 4球體的體積

第二章 直線與平面的位置關(guān)系
2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.1.1
1 平面含義：平面是無限延展的
2 平面的畫法及表示
（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）
（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。
3 三個(gè)公理：
（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)
符號(hào)表示為
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)
（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。
符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個(gè)平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。
（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。
符號(hào)表示為：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)
2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：
相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；
異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。
2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線
a∥b
c∥b
強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。
公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。
3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
4 注意點(diǎn)：
① a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為簡便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；
② 兩條異面直線所成的角θ∈(0， )；
③ 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；
④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；
⑤ 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系
1、直線與平面有三種位置關(guān)系：
（1）直線在平面內(nèi) —— 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
（2）直線與平面相交 —— 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
（3）直線在平面平行 —— 沒有公共點(diǎn)
指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a α來表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
2.2.1 直線與平面平行的判定
1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
簡記為：線線平行，則線面平行。
符號(hào)表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面與平面平行的判定
1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。
符號(hào)表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判斷兩平面平行的方法有三種：
（1）用定義；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)
1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
簡記為：線面平行則線線平行。
符號(hào)表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。
2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。
符號(hào)表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行
2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
2.3.1直線與平面垂直的判定
1、定義
如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。
L

p
α
2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。
注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；
b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
2.3.2平面與平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形
A
梭 l β
B
　　 α
2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)
1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。
2性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。
本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

第三章 直線與方程
3.1直線的傾斜角和斜率
3.1傾斜角和斜率
1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí), 取x軸作為基準(zhǔn), x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), 規(guī)定α= 0°.
2、 傾斜角α的取值范圍： 0°≤α＜180°. 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), α= 90°.
3、直線的斜率:
一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα
⑴當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), α=0°, k = tan0°=0;
⑵當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直線的斜率公式:
給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2兩條直線的平行與垂直
1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即
注意: 上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即
3.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程
1、 直線的點(diǎn)斜式方程：直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為
2、、直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為
3.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程
1、直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點(diǎn)為A，與軸的交點(diǎn)為B，其中
3.2.3 直線的一般式方程
1、直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）
2、各種直線方程之間的互化。
3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式
3.3.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
1、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)
L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0
解：解方程組
得 x=-2，y=2
所以L1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，2）
兩點(diǎn)間距離
兩點(diǎn)間的距離公式
點(diǎn)到直線的距離公式
1．點(diǎn)到直線距離公式：
點(diǎn)到直線的距離為：
2、兩平行線間的距離公式：
已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，
，則與的距離為
圓與方程
4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程
2、點(diǎn)與圓的關(guān)系的判斷方法：
（1）>，點(diǎn)在圓外 （2）=，點(diǎn)在圓上
（3）<，點(diǎn)在圓內(nèi)
4.1.2 圓的一般方程
1、圓的一般方程：
2、圓的一般方程的特點(diǎn)：
(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．　②沒有xy這樣的二次項(xiàng)．
(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了．
(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。
4.2.1 圓與圓的位置關(guān)系
1、用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系．
設(shè)直線：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：
（1）當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；（2）當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；
（3）當(dāng)時(shí)，直線與圓相交；
4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系
兩圓的位置關(guān)系．
設(shè)兩圓的連心線長為，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：
（1）當(dāng)時(shí)，圓與圓相離；（2）當(dāng)時(shí)，圓與圓外切；
（3）當(dāng)時(shí)，圓與圓相交；
（4）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)含；
4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用
1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；
2、過程與方法
用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：
第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；
第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；
第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．
4.3.1空間直角坐標(biāo)系
1、點(diǎn)M對(duì)應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組，、、分別是P、Q、R在、、軸上的坐標(biāo)
2、有序?qū)崝?shù)組，對(duì)應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)
3、空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M，叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。
4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式
1、空間中任意一點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離公式
高中數(shù)學(xué) 必修3知識(shí)點(diǎn)
第一章 算法初步
算法的概念
1、算法概念：
在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.
2. 算法的特點(diǎn):
(1)有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.
(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.
(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.
(4)不唯一性：求解某一個(gè)問題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問題可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.
程序框圖
1、程序框圖基本概念：
（一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。
一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。
（二）構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用
程序框
名稱
功能
起止框
表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。
輸入、輸出框
表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。
處理框
賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。
判斷框
判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明“是”或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。
學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：
1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。
（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。
1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。
順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而
下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B
框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)
行B框所指定的操作。
2、條件結(jié)構(gòu)：
條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對(duì)條件的判斷
根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。
條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時(shí)執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。
3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：
（1）、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。
（2）、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。
當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)
注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。
輸入、輸出語句和賦值語句
1、輸入語句
（1）輸入語句的一般格式
（2）輸入語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式；（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號(hào)“；”隔開，若輸入多個(gè)變量，變量與變量之間用逗號(hào)“，”隔開。
2、輸出語句
（1）輸出語句的一般格式
（2）輸出語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。
3、賦值語句
（1）賦值語句的一般格式
（2）賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號(hào)，與數(shù)學(xué)中的等號(hào)的意義是不同的。賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式；（5）對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。
注意：①賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯(cuò)誤的。②賦值號(hào)左右不能對(duì)換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號(hào)“=”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。
1．2．2條件語句
1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IF—THEN—ELSE語句；（2）IF—THEN語句。2、IF—THEN—ELSE語句
IF—THEN—ELSE語句的一般格式為圖1，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖2。


圖1
圖2
分析：在IF—THEN—ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；END IF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。
3、IF—THEN語句
IF—THEN語句的一般格式為圖3，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖4。


注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時(shí)，結(jié)束程序；END IF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。
1．2．3循環(huán)語句
循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對(duì)應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語言中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。
1、WHILE語句
（1）WHILE語句的一般格式是 對(duì)應(yīng)的程序框圖是
（2）當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件不符合為止。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱為“前測試型”循環(huán)。
2、UNTIL語句
（1）UNTIL語句的一般格式是 對(duì)應(yīng)的程序框圖是
（2）直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOP UNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語句。
分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納）
當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；
在WHILE語句中，是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)
例題： （見課本）

( ( (

( (

(
顏老師友情提醒：
1. 一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。
2. 在具體做題時(shí)，可能好多的同學(xué)感覺先畫流程圖較為簡單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法，后畫流程圖，最后寫偽代碼。
3. 書寫程序時(shí)一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號(hào)，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學(xué)會(huì)看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時(shí)還會(huì)碰到我們沒有見過的語言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！
1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)
1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：
（1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；（2）：若＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；（3）：若＝0，則為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；…… 依次計(jì)算直至＝0，此時(shí)所得到的即為所求的最大公約數(shù)。
2、更相減損術(shù)
我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。
翻譯為：（1）：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。
例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).
分析：（略）
3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：
（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。
（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到
1.3.2秦九韶算法與排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即v1=anx+an-1
然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即
v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0
這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問題。
2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排序的思想就是讀一個(gè)，排一個(gè)。將第１個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第１個(gè)元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個(gè)位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）
2、冒泡排序
基本思想：依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)......直到比較最后兩個(gè)數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個(gè)數(shù)開始,到最后第2個(gè)數(shù)...... 由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.
1.3.3進(jìn)位制
1、概念：進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對(duì)于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。
一般地，若k是一個(gè)大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：
，
而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)
第二章 統(tǒng)計(jì)
2.1.1簡單隨機(jī)抽樣
1．總體和樣本
在統(tǒng)計(jì)學(xué)中 , 把研究對(duì)象的全體叫做總體．
把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體．
把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量．
為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：， ， ，
研究，我們稱它為樣本．其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量．
2．簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨
機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。
3．簡單隨機(jī)抽樣常用的方法：
（1）抽簽法；⑵隨機(jī)數(shù)表法；⑶計(jì)算機(jī)模擬法；⑷使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。
在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。
4．抽簽法:
（1）給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào)；
（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽
（3）對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測量或調(diào)查
例：請(qǐng)調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。
5．隨機(jī)數(shù)表法：
例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級(jí)中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)。
2.1.2系統(tǒng)抽樣
1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：
把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。
K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）
前提條件：總體中個(gè)體的排列對(duì)于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對(duì)比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。
2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘?duì)抽樣框的要求較低，實(shí)施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。
2.1.3分層抽樣
1．分層抽樣（類型抽樣）：
先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟危缓笤僭诟鱾€(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。
兩種方法：
1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。
2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。
2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。
分層標(biāo)準(zhǔn)：
（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。
（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。
（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。
3．分層的比例問題：
（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。
（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會(huì)非常少，此時(shí)采用該方法，主要是便于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對(duì)各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。
2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
1、本均值：
2、．樣本標(biāo)準(zhǔn)差：
3．用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會(huì)有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。
雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。
4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變
（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍
（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間的應(yīng)用；
“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理
2.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)
1、概念:
（1）回歸直線方程（2）回歸系數(shù)
2．最小二乘法
3．直線回歸方程的應(yīng)用
（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系
（2）利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；把預(yù)報(bào)因子（即自變量x）代入回歸方程對(duì)預(yù)報(bào)量（即因變量Y）進(jìn)行估計(jì)，即可得到個(gè)體Y值的容許區(qū)間。
（3）利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。
4．應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)
（1）做回歸分析要有實(shí)際意義；
（2）回歸分析前,最好先作出散點(diǎn)圖；
（3）回歸直線不要外延。
第三章 概 率
3.1.1 —3.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義
1、基本概念：
（1）必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的必然事件；
（2）不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的不可能事件；
（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件；
（4）隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件；
（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。
（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率
3.1.3 概率的基本性質(zhì)
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；
（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件；
（4）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A與B為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性質(zhì)：
1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；
2）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A與B為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A 與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
1、（1）古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。
（2）古典概型的解題步驟；
①求出總的基本事件數(shù)；
②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=
3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
1、基本概念：
（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；
（2）幾何概型的概率公式：
P（A）=；
幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．
高中數(shù)學(xué) 必修4知識(shí)點(diǎn)
第一章 三角函數(shù)
2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．
第一象限角的集合為
第二象限角的集合為
第三象限角的集合為
第四象限角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在軸上的角的集合為
終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為
3、與角終邊相同的角的集合為
4、長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做弧度．
5、半徑為的圓的圓心角所對(duì)弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是．
6、弧度制與角度制的換算公式：，，．
7、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．
8、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，則，，．
9、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，
第三象限正切為正，第四象限余弦為正．
10、三角函數(shù)線：，，．
11、角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；．.（3） 倒數(shù)關(guān)系：
12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限．
，．，．
口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．
13、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．
②數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)
的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．
14、函數(shù)的性質(zhì)：
①振幅：；②周期：；③頻率：；④相位：；⑤初相：．
函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為 ；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

y=cotx
圖象
定義域
值域
最值
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)
時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，．
既無最大值也無最小值
既無最大值也無最小值
周期性

奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在
上是增函數(shù)；在
上是減函數(shù)．
在上是增函數(shù)；在
上是減函數(shù)．
在
上是增函數(shù)．
對(duì)稱性
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸
對(duì)稱中心
無對(duì)稱軸
對(duì)稱中心
無對(duì)稱軸
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 數(shù)量：只有大小，沒有方向的量．
有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度． 零向量：長度為的向量．
單位向量：長度等于個(gè)單位的向量．
平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．
相等向量：長度相等且方向相同的向量．
17、向量加法運(yùn)算：
⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．
⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．
⑶三角形不等式：．
⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：；
②結(jié)合律：；③．
⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則．
18、向量減法運(yùn)算：
⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．
⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則．
設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則．
19、向量數(shù)乘運(yùn)算：
⑴實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作．
①；
②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，．
⑵運(yùn)算律：①；②；③．
⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則．
20、向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使．
設(shè)，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量、共線．
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使．（不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）
22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．（當(dāng)
23、平面向量的數(shù)量積：
⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為．
⑵性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，則①．②當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或．③．
⑶運(yùn)算律：①；②；③．
⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，，則．
若，則，或． 設(shè)，，則．
設(shè)、都是非零向量，，，是與的夾角，則．
知識(shí)鏈接：空間向量
空間向量的許多知識(shí)可由平面向量的知識(shí)類比而得.下面對(duì)空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.
1、直線的方向向量和平面的法向量
⑴．直線的方向向量： 　　若A、B是直線上的任意兩點(diǎn)，則為直線的一個(gè)方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量.⑵．平面的法向量：　　若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：
①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．
②設(shè)平面的法向量為．
③求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)．
④根據(jù)法向量定義建立方程組.
⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.
（如圖）

用向量方法判定空間中的平行關(guān)系
⑴線線平行
設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即.
　即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。⑵線面平行
①（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，只需證明，即.
即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外
②（法二）要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.
⑶面面平行
若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證.
即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系⑴線線垂直
設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.
即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。⑵線面垂直
①（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即.
②（法二）設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若
即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.
即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角
⑴求異面直線所成的角
已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，　　則
⑵求直線和平面所成的角
①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角
②求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有：
⑶求二面角
①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.
如圖：
②求法：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補(bǔ)角
根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：
◆如果是銳角，則，
即；
如果是鈍角，則，
即.
5、利用法向量求空間距離
⑴點(diǎn)Q到直線距離
若Q為直線外的一點(diǎn),在直線上，為直線的方向向量，=，則點(diǎn)Q到直線距離為
⑵點(diǎn)A到平面的距離
若點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn)，
平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對(duì)值.
即

⑶直線與平面之間的距離
當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。

即
⑷兩平行平面之間的距離
利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。
即
⑸異面直線間的距離
設(shè)向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對(duì)值。
即
6、三垂線定理及其逆定理
⑴三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直
推理模式：
概括為：垂直于射影就垂直于斜線.
⑵三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直
推理模式：
概括為：垂直于斜線就垂直于射影.
7、三余弦定理
設(shè)AC是平面內(nèi)的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內(nèi)的射影，且BD⊥AD，垂足為D.設(shè)AB與 (AD)所成的角為， AD與AC所成的角為， AB與AC所成的角為．則.
8、 面積射影定理
已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則

9、一個(gè)結(jié)論
長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有 .
（立體幾何中長方體對(duì)角線長的公式是其特例）.
第三章 三角恒等變換
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；⑵；
⑶；⑷；
⑸ （）；
⑹ （）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵
升冪公式
降冪公式，．
26、
．
27、

（后兩個(gè)不用判斷符號(hào)，更加好用）
28、合一變形把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方”的 形式。，其中．
29、三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：
（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對(duì)角的變形如：
①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；
②；問： ； ；
③；④；
⑤；等等
（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常化切為弦，變異名為同名。
（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：

（4）冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式有： ； 。降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪，如對(duì)無理式常用升冪化為有理式，常用升冪公式有： ； ；
（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。
如：； ；
；；
；；
； ；
；
= ；
= ；（其中 ；）
； ；
（6）三角函數(shù)式的化簡運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；
基本規(guī)則是：見切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。
如： ；
。
高中數(shù)學(xué) 必修5知識(shí)點(diǎn)
第一章 解三角形
（一）解三角形：
1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，，則有
(為的外接圓的半徑)
2、正弦定理的變形公式：①，，；
②，，；③；
3、三角形面積公式：．
4、余弦定理：在中，有，推論：
第二章 數(shù)列
1、數(shù)列中與之間的關(guān)系：
注意通項(xiàng)能否合并。
2、等差數(shù)列：
⑴定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N），
那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。
⑵等差中項(xiàng)：若三數(shù)成等差數(shù)列
⑶通項(xiàng)公式：
或
⑷前項(xiàng)和公式：
⑸常用性質(zhì)：
①若，則；
②下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)，仍組成等差數(shù)列；
③數(shù)列（為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；
④若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、、，…也成等差數(shù)列。
⑤單調(diào)性：的公差為，則：
ⅰ）為遞增數(shù)列；
ⅱ）為遞減數(shù)列；
ⅲ）為常數(shù)列；
⑥數(shù)列{}為等差數(shù)列（p,q是常數(shù)）
⑦若等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、… 是等差數(shù)列。
3、等比數(shù)列
⑴定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。
⑵等比中項(xiàng)：若三數(shù)成等比數(shù)列（同號(hào)）。反之不一定成立。
⑶通項(xiàng)公式：
⑷前項(xiàng)和公式：
⑸常用性質(zhì)
①若，則；
②為等比數(shù)列，公比為(下標(biāo)成等差數(shù)列,則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列)
③數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列；則是公差為的等差數(shù)列；
④若是等比數(shù)列，則
是等比數(shù)列，公比依次是
⑤單調(diào)性：
為遞增數(shù)列；為遞減數(shù)列；
為常數(shù)列；
為擺動(dòng)數(shù)列；
⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。
⑦若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、… 是等比數(shù)列.
4、非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法
類型Ⅰ 觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。
類型Ⅱ 公式法：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 構(gòu)造兩式作差求解。
用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）。
類型Ⅲ 累加法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：
①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;
② 若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;
③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和;
④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和.
類型Ⅳ 累乘法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：
有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。
類型Ⅴ 構(gòu)造數(shù)列法：
㈠形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列;
（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列;
（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法有如下兩種：
法一：設(shè),展開移項(xiàng)整理得,與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得,即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的遞推式：
⑴當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出 ，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q, r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決。
⑶當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：
在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得.
類型Ⅵ 對(duì)數(shù)變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）。
類型Ⅶ 倒數(shù)變換法：
形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求.
類型Ⅷ 形如型的遞推式：
用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解。方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型。
總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式
5、非等差、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的求法
⑴錯(cuò)位相減法
①若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列的求和就要采用此法.
②將數(shù)列的每一項(xiàng)分別乘以的公比，然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列的前項(xiàng)和.
此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法.
⑵裂項(xiàng)相消法
一般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng) 時(shí)，往往可將變成兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)相消法求和.
可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng)：
設(shè)，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得，從而可得
常見的拆項(xiàng)公式有：
①
②
③
④
⑤
⑶分組法求和
有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：①找通向項(xiàng)公式②由通項(xiàng)公式確定如何分組.
⑷倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：
⑸記住常見數(shù)列的前項(xiàng)和：
①
②
③
第三章 不等式
§3.1、不等關(guān)系與不等式
1、不等式的基本性質(zhì)
①（對(duì)稱性）
②（傳遞性）
③（可加性）
（同向可加性）
（異向可減性）
④（可積性）
⑤（同向正數(shù)可乘性）
（異向正數(shù)可除性）
⑥（平方法則）
⑦（開方法則）
⑧（倒數(shù)法則）
2、幾個(gè)重要不等式
①,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）. 變形公式：
②（基本不等式） ,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.
變形公式：
用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.
③（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.
④
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.
⑤
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）.
⑥（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）
（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）
⑦
其中
規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.
⑧
⑨絕對(duì)值三角不等式
3、幾個(gè)著名不等式
①平均不等式：
,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）.
（即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均）.
變形公式：

②冪平均不等式：
③二維形式的三角不等式：
④二維形式的柯西不等式： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
⑤三維形式的柯西不等式：
⑥一般形式的柯西不等式：
⑦向量形式的柯西不等式：
設(shè)是兩個(gè)向量，則當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)，使時(shí)，等號(hào)成立.
⑧排序不等式（排序原理）：設(shè)為兩組實(shí)數(shù).是的任一排列，則（反序和亂序和順序和）
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，反序和等于順序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）
若定義在某區(qū)間上的函數(shù),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)有
則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).
4、不等式證明的幾種常用方法
常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；
其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.
常見不等式的放縮方法：
①舍去或加上一些項(xiàng)，如
②將分子或分母放大（縮小），如

等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
解集的步驟：
一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).
二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.
三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.
四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.
五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.
規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則
（時(shí)同理）
規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.
8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
規(guī)律：把無理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.
9、指數(shù)不等式的解法：
⑴當(dāng)時(shí),
⑵當(dāng)時(shí),
規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.
10、對(duì)數(shù)不等式的解法
⑴當(dāng)時(shí),
⑵當(dāng)時(shí),
規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.
11、含絕對(duì)值不等式的解法：
⑴定義法：
⑵平方法：
⑶同解變形法，其同解定理有：
①
②
③
④
規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).
12、含有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）絕對(duì)值的不等式的解法：
規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含參數(shù)的不等式的解法
解形如且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：
⑴討論與0的大小；
⑵討論與0的大小；
⑶討論兩根的大小.
14、恒成立問題
⑴不等式的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：
①當(dāng)時(shí)
②當(dāng)時(shí)
⑵不等式的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：
①當(dāng)時(shí)
②當(dāng)時(shí)
⑶恒成立
恒成立
⑷恒成立
恒成立
15、線性規(guī)劃問題
⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：
法一：取點(diǎn)定域法：
由于直線的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以，在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)（如原點(diǎn)），由的正負(fù)即可判斷出或表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.
即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).
法二：根據(jù)或，觀察的符號(hào)與不等式開口的符號(hào)，若同號(hào)，或表示直線上方的區(qū)域；若異號(hào)，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號(hào)上方，異號(hào)下方.
⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：
不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
⑶利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)為常數(shù)）的最值：
法一：角點(diǎn)法：
如果目標(biāo)函數(shù) （即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對(duì)應(yīng)值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最小值
法二：畫——移——定——求：
第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線 ，平移直線（據(jù)可行域，將直線平行移動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解；第四步，將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值 .
第二步中最優(yōu)解的確定方法：
利用的幾何意義：,為直線的縱截距.
①若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，取得最小值；
②若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，取得最大值.
⑷常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：
①“截距”型：
②“斜率”型：或
③“距離”型：或
或
在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.
數(shù)學(xué)選修2－1
第一章：命題與邏輯結(jié)構(gòu)
知識(shí)點(diǎn)：
1、命題：用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.
真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.
2、“若，則”形式的命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結(jié)論.
3、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆命題。若原命題為“若，則”，它的逆命題為“若，則”.
4、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱為互否命題.中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的否命題.若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.
5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱為互為逆否命題。其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆否命題。若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”。
6、四種命題的真假性：
原命題
逆命題
否命題
逆否命題
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
四種命題的真假性之間的關(guān)系：
兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．
7、若，則是的充分條件，是的必要條件．
若，則是的充要條件（充分必要條件）．
8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作．
當(dāng)、都是真命題時(shí)，是真命題；當(dāng)、兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，是假命題．
用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作．
當(dāng)、兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，是真命題；當(dāng)、兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，是假命題．
對(duì)一個(gè)命題全盤否定，得到一個(gè)新命題，記作．若是真命題，則必是假命題；若是假命題，則必是真命題．
9、短語“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．
含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．
全稱命題“對(duì)中任意一個(gè)，有成立”，記作“，”．
短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．
特稱命題“存在中的一個(gè)，使成立”，記作“，”．
10、全稱命題：，，它的否定：，。全稱命題的否定是特稱命題。
特稱命題：，，它的否定：，。特稱命題的否定是全稱命題。
第二章：圓錐曲線
知識(shí)點(diǎn)：
1、求曲線的方程（點(diǎn)的軌跡方程）的步驟：建、設(shè)、限、代、化
①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；
②設(shè)動(dòng)點(diǎn)及其他的點(diǎn)；
③找出滿足限制條件的等式；
④將點(diǎn)的坐標(biāo)代入等式；
⑤化簡方程，并驗(yàn)證（查漏除雜）。
2、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距。
3、橢圓的幾何性質(zhì)：
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
第一定義
到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）
第二定義
與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)，即
范圍
且
且
頂點(diǎn)
、
、
、
、
軸長
長軸的長 短軸的長
對(duì)稱性
關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
焦點(diǎn)
、
、
焦距
離心率

準(zhǔn)線方程
焦半徑
左焦半徑：
右焦半徑：
下焦半徑：
上焦半徑：
焦點(diǎn)三角形面積
通徑
過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：
（焦點(diǎn)）弦長公式
，
4、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則。
5、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距。
6、雙曲線的幾何性質(zhì)：
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
第一定義
到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)，即（）
第二定義
與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)，即
范圍
或，
或，
頂點(diǎn)
、
、
軸長
實(shí)軸的長 虛軸的長
對(duì)稱性
關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
焦點(diǎn)
、
、
焦距
離心率
準(zhǔn)線方程
漸近線方程
焦半徑
在右支
在左支
在上支
在下支
焦點(diǎn)三角形面積
通徑
過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：
7、實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。
8、設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則。
9、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線．定點(diǎn)稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線稱為拋物線的準(zhǔn)線．
10、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱為拋物線的“通徑”，即．
11、焦半徑公式：
若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則；、
若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則；
若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則；
若點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為，則．
拋物線的幾何性質(zhì)：
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
定義
與一定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)不在定直線上)
頂點(diǎn)
離心率
對(duì)稱軸
軸
軸
范圍
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線方程
焦半徑
通徑
過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑：
焦點(diǎn)弦長
公式
參數(shù)的幾何意義
參數(shù)表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，越大，開口越闊
關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論：
設(shè)為過拋物線焦點(diǎn)的弦，，直線的傾斜角為，則
⑴ ⑵
⑶ 以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
⑷ 焦點(diǎn)對(duì)在準(zhǔn)線上射影的張角為
⑸
第三章：
空間向量知識(shí)點(diǎn)：
1、空間向量的概念：
（1）在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．
（2）向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．
（3）向量的大小稱為向量的模（或長度），記作．
（4）模（或長度）為的向量稱為零向量；模為的向量稱為單位向量．
（5）與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作．
（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量．
2、空間向量的加法和減法：
（1）求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則．即：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則．
（2）求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則．即：在空間任取一點(diǎn)，作，，則．
3、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，為零向量，記為．的長度是的長度的倍．
4、設(shè)，為實(shí)數(shù)，，是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律．
分配律：；結(jié)合律：．
5、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．
6、向量共線的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．
7、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量．
8、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，，使；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，，，共面，則．
9、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，，則稱為向量，的夾角，記作．兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：．
10、對(duì)于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作．
11、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作．即．零向量與任何向量的數(shù)量積為．
12、等于的長度與在的方向上的投影的乘積．
13若，為非零向量，為單位向量，則有
；；
，，；；．
14量數(shù)乘積的運(yùn)算律：
； ； ．
15、空間向量基本定理：若三個(gè)向量，，不共面，則對(duì)空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得．
16、三個(gè)向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是．這個(gè)集合可看作是由向量，，生成的，稱為空間的一個(gè)基底，，，稱為基向量．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
17、設(shè)，，為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝裕墓财瘘c(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則對(duì)于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量．存在有序?qū)崝?shù)組，使得．把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作．此時(shí)，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．
18、設(shè)，，則
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）若、為非零向量，則．
（6）若，則．
（7）．
（8）．
（9），，則．
19、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量來表示．向量稱為點(diǎn)的位置向量．
20、空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定．點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量表示直線的方向向量，則對(duì)于直線上的任意一點(diǎn)，有，這樣點(diǎn)和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點(diǎn)．
21、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為，．為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面的位置．
22、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量．
23、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，
則，．
24、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，
則，．
25、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，，則，．
26、設(shè)異面直線，的夾角為，方向向量為，，其夾角為，則有．
27、設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有．
28、設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量，的夾角（或其補(bǔ)角）就是

展開更多......

收起↑