資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.3簡諧運動的回復力和能量
考點一、回復力 1
考點二、簡諧運動的能量 5
考點三、簡諧運動中各物理量的變化 5
【鞏固練習】 9
考點一、回復力
(1)回復力的方向總是指向平衡位置，回復力為零的位置就是平衡位置．
(2)回復力的性質
回復力是根據力的效果命名的，可能由合力、某個力或某個力的分力提供．它一定等于振動物體在振動方向上所受的合力．例如：如圖甲所示，水平方向的彈簧振子，彈力充當回復力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子，彈力和重力的合力充當回復力；如圖丙所示，m隨M一起振動，m的回復力由靜摩擦力提供．
2．回復力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系數，不一定是彈簧的勁度系數．其值由振動系統決定，與振幅無關．
(2)“－”號表示回復力的方向與偏離平衡位置的位移的方向相反．
3．簡諧運動的加速度
由F＝－kx及牛頓第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a與位移x的大小成正比，方向與位移方向相反．
4．物體做簡諧運動的判斷方法
(1)簡諧運動的回復力滿足F＝－kx；
(2)簡諧運動的振動圖像是正弦曲線．
（2023春 南海區校級期中）對于簡諧運動的回復力和位移的關系，下列圖中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根據F＝﹣kx可知，回復力F與位移x的大小成正比，方向與位移方向相反，回復力F與位移x的關系圖像為一條直線，斜率為負值，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2023春 大興區期中）如圖是彈簧振子做簡諧運動的圖像，下列說法正確的是（　　）
A．1s時，回復力最大
B．1s末，機械能最小，2s末機械能最大
C．1s末、3s末、5s末回復力均相同
D．0～6s是一個完整的周期
【解答】解：A、由圖可知在第1秒末，振子的位移最大，離平衡位置最遠且沿x正方向，故A正確；
B、由圖可知在第1秒末，振子的位移最大，勢能最大，動能為零。由于簡諧運動系統的機械能守恒，所以t＝1s和t＝2s振動系統的機械能相等，故B錯誤；
C、根據回復力的公式F＝﹣kx，即回復力的大小與位移成正比，但方向始終與位移方向相反，t＝1、5s時回復力為負，t＝3s時回復力為正，故C錯誤；
D、完成一次全振動所需的時間稱為周期，從圖象可以看出周期T＝4s，故D錯誤。
故選：A。
（2022秋 慈溪市期末）在科幻電影《全面回憶》中有一種地心車，無需額外動力就可以讓人在幾十分鐘內到達地球的另一端，不考慮地球自轉的影響、車與軌道及空氣之間的摩擦，乘客和車的運動為簡諧運動，則（　　）
A．乘客達到地心時的速度最大，加速度最大
B．乘客只有在地心處才處于完全失重狀態
C．乘客在地心處的回復力最小
D．乘客所受地球的萬有引力大小與到地心的距離的平方成反比
【解答】解：AC、乘客做簡諧運動，地心是簡諧運動的平衡位置，此時回復力最小為零，乘客到達地心即到達平衡位置時速度最大，加速度最小為零，故A錯誤，C正確；
B、乘客在地心時位于平衡位置，所受合力為零，處于平衡狀態，不是完全失重狀態，故B錯誤；
D、地心是簡諧運動的平衡位置，乘客做簡諧運動，萬有引力提供回復力，回復力與相對于平衡位置的位移大小，即相對于地心的距離成正比，即乘客所受地球的萬有引力大小與到地心的距離的成正比，故D錯誤。
故選：C。
（2023 電白區校級模擬）如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，在C、D兩點之間做簡諧運動，O點為平衡位置。振子到達D點時開始計時，以豎直向上為正方向，一個周期內的振動圖像如圖乙所示，下列說法正確的是（　　）
A．振子在O點受到的彈簧彈力等于零
B．振子在C點和D點的回復力相同
C．t＝0.3s時，振子的速度方向為豎直向上
D．t＝0.75s到t＝1.25s的時間內，振子通過的路程為cm
【解答】解：A.O點為平衡位置，回復力為0，重力和彈簧彈力提供回復力，彈簧的彈力不為0，故A錯誤；
B.振子在C、D的回復力大小相同，方向不同，故B錯誤；
C.t＝0.3s時，振子的速度方向豎直向上，故C正確；
D.簡諧運動位移表達式為：，t＝0.75s時，；當t＝1.25時，
在0.75s到1.25s內，振子通過的路程為：，故D錯誤。
故選：C。
（2023春 新會區校級期中）如圖甲所示，彈簧振子在水平方向上做簡諧運動，其振動圖像如圖乙所示．已知彈簧的勁度系數為0.5N/cm.則（　　）
A．在t＝2.75s時，振子的位移和速度方向相同
B．在t0時，振子所受的回復力大小為0.5N
C．在t＝1.5s時，彈簧振子的彈性勢能最大
D．振子的振動方程為x＝5sin（2πt）cm
【解答】解：A、在t＝2.75s時，振子的位移為正，但向平衡位置運動，即速度方向為負，故振子的位移和速度方向相反，故A錯誤；
B、根據胡克定律F＝kx可知在t0時，振子所受的回復力大小為2N，故B錯誤；
C、在t＝1.5s時，彈簧振子的位移大小最大，彈性勢能最大，故C正確；
D、根據圖像可知彈簧振子的周期為T＝2s，故振子的振動方程為x＝5sin（）cm＝5sin（πt）cm，故D錯誤。
故選：C。
考點二、簡諧運動的能量
簡諧運動的能量是指物體在經過某一位置時所具有的勢能和動能之和．在振動過程中，勢能和動能相互轉化，機械能守恒．
1．簡諧運動的能量由振動系統和振幅決定，對同一個振動系統，振幅越大，能量越大．
2．在簡諧運動中，振動的能量保持不變，所以振幅保持不變，只要沒有能量損耗，它將永不停息地振動下去．
3．在振動的一個周期內，動能和勢能完成兩次周期性變化．物體的位移減小，勢能轉化為動能，位移增大，動能轉化為勢能．
4．能量特點
在簡諧運動中，振動系統的機械能守恒，而在實際運動中都有一定的能量損耗，因此簡諧運動是一種理想化的模型．
考點三、簡諧運動中各物理量的變化
1．如圖所示為水平的彈簧振子示意圖，振子運動過程中各物理量的變化情況如下表．
振子的運動 A→O O→A′ A′→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 減小 增大 減小 增大
回復力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 減小 增大 減小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 減小 增大 減小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 減小 增大 減小
振子的動能 增大 減小 增大 減小
彈簧的勢能 減小 增大 減小 增大
系統總能量 不變 不變 不變 不變
2.說明：(1)簡諧運動中各個物理量對應關系不同．位置不同，則位移不同，加速度、回復力不同，但是速度、動能、勢能可能相同，也可能不同．
(2)簡諧運動中的最大位移處，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置處，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
(3)位移增大時，回復力、加速度和勢能增大，速度和動能減小；位移減小時，回復力、加速度和勢能減小，速度和動能增大．
（2022秋 嶗山區校級期末）如圖是單擺做阻尼振動的位移﹣時間圖象，下列說法正確的是（　　）
A．阻尼振動是一種受迫振動
B．擺球在P與N時刻的勢能相等
C．擺球在P與N時刻的動能相等
D．擺球在P與N時刻的機械能相等
【解答】解：A、阻尼振動是由于受到阻力而做的運動，受迫振動是由于受到驅動力而做的運動，故A錯誤；
BCD、由于單擺在運動過程中要克服阻力做功，振幅逐漸減小，擺球的機械能逐漸減少，所以擺球在P點所對應時刻的機械能大于在N點所對應的機械能，擺球的勢能是由擺球相對于零勢能點的高度h和擺球的質量m共同決定的（Ep＝mgh）。單擺擺球的質量是定值，由于PN兩時刻擺球的位移大小相同，故在這兩個時刻擺球相對零勢能點的高度相同，勢能也相同，但由于P點的機械能大于N點的機械能，所以P點對應時刻的動能大于在N點對應時刻的動能，故B正確，CD錯誤；
故選：B。
（多選）（2023春 南海區校級期中）如圖所示，彈簧振子在a、b兩點間做簡諧運動，在振子從平衡位置O點向a點運動的過程中（　　）
A．回復力在增大 B．速度在減小
C．位移方向向右 D．加速度方向向左
【解答】解：振子從平衡位置O點向a點運動的過程中，由F回＝﹣kx可知振子受到的回復力向右且不斷增大，故A正確；
振子從平衡位置O點向a點運動的過程中，彈性勢能逐漸增大，動能逐漸減小，速度在減小，故B錯誤；
位移由平衡位置指向振子所處位置，方向向左，故C錯誤；
回復力指向平衡位置，加速度方向向右，故D錯誤；
故選：AB。
（多選）（2023春 呈貢區校級期中）如圖所示，質量為m的小球放在勁度系數為k的輕彈簧上（不拴接），小球上下振動而又始終未脫離彈簧。則（　　）
A．小球的振幅可以大于
B．在最大振幅下彈簧對小球的最大彈力是2mg
C．小球在振動過程中機械能守恒
D．彈簧的最大彈性勢能為
【解答】解：A、小球向上到達最高點時，相對平衡位置的位移大小等于振幅，彈簧處于原長是臨界狀態，在平衡位置時彈簧的彈力：kA＝mg，解得：A，故A錯誤；
B、小球在最高點和最低點所受回復力大小相同，故有：Fm﹣mg＝mg，解得：Fm＝2mg，故B正確；
C、在振動過程中小球和彈簧組成的系統機械能守恒，但小球的機械能不守恒，故C錯誤；
D、彈力最大時，彈性勢能最大，由Fm＝2mg＝kxm得最大形變量xm，最大彈性勢能E彈，故D正確。
故選：BD。
（多選）（2023 浙江模擬）如圖，一端固定于天花板上的一輕彈簧，下端懸掛了質量均為m的A、B兩物體，正在豎直方向做振幅為x0的簡諧運動，當達到最高點時彈簧恰好為原長。當系統振動到某個位置時，剪斷A、B間細繩，此后A繼續做簡諧運動。則下列說法中正確的是（　　）
A．如果在平衡位置剪斷繩子，A依然可以到達原來的最低位置
B．如果在最高點剪斷繩子，則B帶走的能量最多
C．無論在什么地方剪斷繩子，此后A振動的振幅一定增大，周期一定減小
D．如果在最低點剪斷繩子，此后A振動過程中，振幅為
【解答】解：A、如果在平衡位置剪斷繩子，振子質量減小，假設依然可以到達剪斷前的最低點，則與剪斷前比較，彈簧彈性勢能的增加量大于振子動能和重力勢能的減小量，機械能不守恒了，所以假設錯誤，所以A到不了原來的最低點，故A錯誤；
B、由于在上升過程中，AB間的繩子拉力一直對B做正功，所以到達最高點時，B的機械能最大，則如果在最高點剪斷繩子，則B帶走的機械能最多，帶走的能量也最多，故B正確；
C、當在最高點剪斷繩子時，此時A的速度為0，彈簧處于原長，回復力等于mg，而原來沒有剪斷繩子時，在最高點回復力等于2mg，振幅為x0，最大位移處的回復力和振幅成正比，所以在最高點剪斷繩子時，此后A的振幅為，振幅比剪斷繩子前變小了，故C錯誤；
D、剪斷繩子后，根據A平衡得出新的平衡位置在彈簧原長下端處，如果在最低點剪斷繩子，不難得出此后A的振幅為，故D正確。
故選：BD。
（2023春 蘭州期中）如圖所示，傾角為α的斜面體（光滑且足夠長）固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為l0的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的小球，開始時，小球靜止于O點。壓縮彈簧使其長度為時將小球由靜止開始釋放，重力加速度為g，彈簧彈性勢能的表達式，Δx為彈簧形變量。
（1）證明小球所做運動為簡諧運動；
（2）小球振動到最低點時彈簧的彈性勢能。
【解答】解：（1）設小球在斜面上平衡時，設彈簧伸長量為Δl，有mgsinα﹣kΔl＝0
當小球離開平衡位置向下的位移為x時，彈簧伸長量為x+Δl，小球所受合力為F合＝mgsinα﹣k（x+Δl）
聯立以上各式可得F合＝﹣kx可知小球做簡諧運動；
（2）小球做簡諧運動的振幅為
小球振動最低點時伸長量為Δx＝A+Δl
彈性勢能
答：（1）見解析；
（2）小球振動到最低點時彈簧的彈性勢能為。
【鞏固練習】
（2022春 徐匯區校級期末）做機械振動的彈簧振子到達最大位移處時，下列物理量數值為零的是（　　）
A．振幅 B．速度 C．回復力 D．加速度
【解答】解：簡諧運動的最大位移處，速度最小為零，加速度、位移最大，而簡諧運動的振幅保持不變．故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2022秋 吳江區校級月考）下列關于簡諧運動回復力的說法正確的是（　　）
A．回復力是使物體回到平衡位置的力
B．回復力可以是恒力
C．回復力的方向總是跟物體離開平衡位置的位移方向相同
D．回復力的方向總是跟物體的速度方向相反
【解答】解：A、回復力是做簡諧運動的物體所受到的指向平衡位置的合力，方向總是指向平衡位置，故A正確；
BC、回復力的方向總是指向平衡位置，回復力的方向總是跟物體離開平衡位置的位移方向相反，滿足F＝﹣kx，所以不是恒力，故BC錯誤；
D、回復力的方向總是指向平衡位置，可能跟物體的速度方向相反，也可能跟物體的速度方向相同。故D錯誤。
故選：A。
（2022秋 德州期中）一質點做簡諧運動的位移x與時間t的關系如圖所示，由圖可知（　　）
A．頻率是1Hz
B．振幅是10m
C．在t＝1.8s時，質點的加速度方向與速度方向相反
D．在t＝1s時，質點所受合外力為零
【解答】解：A、由圖可知，質點運動的周期T＝2s
則頻率fHz＝0.5Hz
故A錯誤；
B、由圖可知，該質點的振幅為A＝5m
故B錯誤；
C、由圖像可知，1.5s～2s時間內質點位移為負值，速度為負值，根據F＝﹣kx可知，回復力為正值，根據牛頓第二定律得，加速度為正值，所以1.8s時質點的加速度方向與速度方向相反，故C正確；
D、t＝1s時質點振動到正向最大位移處，質點所受的合外力最大，故D錯誤。
故選：C。
（2022 南京模擬）如圖所示是彈簧振子在0～0.4s時間內做簡諧運動的圖像，由圖像可知（　　）
A．在0.25～0.3s時間內，回復力越來越小
B．t＝0.7s時刻，振子的速度最大
C．振子的動能和勢能相互轉化的周期為0.4s
D．振子的動能和勢能相互轉化的周期為0.2s
【解答】解：A．在0.25～0.3s時間內，振子的位移增大，根據F回＝﹣kx可知回復力越來越大。故A錯誤；
B．由圖可知，該振子的周期為0.4s，且t＝0.3s時，振子位移最大，可知在t＝0.7s＝0.4s+0.3s＝T+0.3s時刻振子的位移最大，而做簡諧運動的振子在位移最大時速度為零。故B錯誤；
CD．動能與勢能相互轉化的周期等于簡諧運動周期的一半，即0.2s。故C錯誤，D正確。
故選：D。
（2022秋 江蘇月考）如圖所示，輕質彈簧的上端固定，下端連接一質量為m的金屬小球，托住小球使彈簧處于原長，在t＝0時由靜止釋放，一段時間內小球在豎直方向做周期為T的簡諧運動。已知彈簧的勁度系數為k，重力加速度為g，則（　　）
A．小球做簡諧運動的表達式為xsin（t）
B．小球做簡諧運動的表達式為xsin（t﹣π）
C．小球相鄰兩次加速度大小等于的時間為
D．小球相鄰兩次加速度大小等于g的時間為
【解答】解：AB．小球處于平衡位置時，彈簧的伸長量為，托住小球使彈簧處于原長，在t＝0時由靜止釋放，可知此時小球處于最大位移處，小球做簡諧運動的振幅為
設小球做簡諧運動的表達式為
若以向上為正方向，則t＝0時刻，小球的位移為
解得
則小球做簡諧運動的表達式為
若以向下為正方向，則t＝0時刻，小球的位移為
解得
則小球做簡諧運動的表達式為
故AB錯誤；
CD．托住小球使彈簧處于原長，在t＝0時由靜止釋放，可知此時小球處于最大位移處，小球的加速度最大，且大小為
可知小球加速度大小等于g的位置分別位于正、負最大位移處，故小球相鄰兩次加速度大小等g的時間為，根據簡諧運動特點，小球相鄰兩次加速度大小等于的時間一定不等于，故C錯誤，D正確。
故選：D。
（2022秋 常熟市月考）如圖所示，一根固定在墻上的水平光滑直桿，兩端分別固定著相同的輕彈簧，兩彈簧自由端相距x。套在桿上的小球從中點以初速度v向右運動，小球將做周期為T的往復運動，則（　　）
A．小球做簡諧運動
B．小球動量的變化周期為
C．兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為
D．小球的初速度為時，其運動周期為2T
【解答】解：A、物體做簡諧運動的條件是在運動過程中所受回復力與位移成正比，且方向始終指向平衡位置，可知小球在桿中點到接觸彈簧過程中，所受合力為零，故小球不是做簡諧運動，故A錯誤；
B、假設桿中點為O，小球向右壓縮彈簧至最大壓縮量時的位置為A，小球向左壓縮彈簧至最大壓縮量時的位置為B，可知小球做周期為T的往復運動，運動過程為O→A→O→B→O，結合動量既有大小，又有方向可知小球的動量變化的周期等于小球運動的周期T，故B錯誤；
C、根據對稱性可知小球從O→A→O與O→B→O，這兩個過程的動能變化完全一致，兩根彈簧的總彈性勢能的變化完全一致，故小球動能的變化周期為，結合能量守恒定律可知兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為，故C正確；
D、小球的沿桿做勻速運動時，初速度發生變化，小球在勻速階段的時間也發生變化，小球的初速度為時，小球在勻速階段的時間變成2倍；接觸彈簧過程，根據彈簧振子的周期公式T可知小球與彈簧接觸的時間不變，所以小球運動周期大于T小于2T，故D錯誤；
故選：C。
（2022春 富縣校級期中）一單擺振動過程中離開平衡位置的位移隨時間變化的規律如圖所示，取向右為正方向．則下列說法正確的是（　　）
A．第1s末和第5s末擺球位于同一位置
B．0～1s的時間內，擺球的回復力逐漸減小
C．t＝3s時，擺球的位移為振幅的
D．t＝3s時，擺球的速度方向與加速度方向相反
【解答】解：A、第1s末和第5s末擺球位于關于平衡位置對稱的兩個位置，故A錯誤；
B、0～1s的時間內，位移x逐漸增大，由F＝﹣kx知擺球的回復力逐漸增大，故B錯誤；
C、設振幅為A，則t＝3s時，擺球的位移為x＝AsinπA，故C正確；
D、t＝3s時，擺球在做加速運動，擺球的速度方向與加速度方向相同，故D錯誤。
故選：C。
（2022春 鼓樓區期末）如圖所示，質量可以忽略的彈簧上端固定，下端懸掛一質量為m的物體，物體沿斜面方向做振一幅較小的簡諧振動。取平衡位置處為坐標原點，位移x向下為正，則下列分別是物體的回復力F、加速度a、彈簧彈性勢能Ep、速度v與位移x變化關系。其中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、設斜面傾角為θ，小球處于平衡位置時，有kx0＝mgsinθ
設小球在平衡位置處再向下運動x，合外力為F＝mgsinθ﹣k（x+x0）＝﹣kx
故F﹣x圖像是過原點的直線，且斜率為負，故A錯誤；
B、物體的加速度為ax
故a﹣x圖像是過原點的直線，且斜率為負，故B錯誤；
C、當物塊位移x＝0時，彈簧處于伸長狀態，彈性勢能不為0，故C錯誤；
D、物體做簡諧振動的位移表達式為x＝Asin（ωt+φ）
速度表達式為v＝ωAcos（ωt+φ）
聯立可得：
可知v﹣x函數為橢圓方程，故D正確；
故選：D。
（2022秋 嘉定區校級月考）如圖所示，物體A與滑塊B一起在光滑水平面上做簡諧運動，A、B之間無相對滑動，已知輕質彈簧的勁度系數為k，A、B的質量分別為m和M，下列說法不正確的是（　　）
A．物體A的回復力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供
B．滑塊B的回復力是由彈簧的彈力提供
C．物體A與滑塊B看成一個振子，其回復力大小跟位移大小之比為k
D．若A、B之間的動摩擦因數為μ，則A、B間無相對滑動的最大振幅為
【解答】解：A、物體A做簡諧運動時，回復力是由滑塊B對物體A的靜摩擦力提供，故A正確；
B、物體B做簡諧運動的回復力是彈簧的彈力和A對B的靜摩擦力的合力提供，故B錯誤；
C、物體A與滑塊B看成一個振子在做簡諧運動，其回復力大小滿足F＝﹣kx，則回復力大小跟位移大小之比為k，故C正確；
D、物體間有最大靜摩擦力時，其振幅最大，設為A，以整體為研究對象有：kA＝（M+m）a
以物體A為研究對象，由牛頓第二定律得：μmg＝ma
聯立解得A、B間無相對滑動的最大振幅為，故D正確。
本題選擇不正確的，
故選：B。
（2022秋 鹽亭縣校級月考）某彈簧振子沿x軸的簡諧運動圖像如圖所示，下列描述正確的是（　　）
A．t＝1s時，振子的速度為零，加速度為正的最大值
B．t＝3s時，振子的速度為零，位移為負的最大值
C．t＝4s時，振子的速度為正，加速度為負的最大值
D．t＝1s和t＝5s時都是勢能為零，動能最大
【解答】解：A、t＝1s時，振子的速度為零，加速度為負的最大值，故A錯誤；
B、t＝3s時，振子的速度為零，位移為負的最大值，故B正確；
C、t＝4s時，振子的速度為正，加速度為零，故C錯誤；
D、t＝1s和t＝5s時速度都為零，勢能最大，故D錯誤；
故選：B。
（2022秋 城陽區期末）如圖，光滑水平面上質量為2m的物體A緊靠豎直墻壁，通過一勁度系數為k的輕質彈簧與物體B連接，質量均為m的B、C靠在一起但不粘連，開始時A、B、C均靜止。現給C施加一水平向左的恒力F，使B、C一起運動。當彈簧某次壓縮到最短時撤去恒力F，設彈簧始終沒超出彈性限度，重力加速度為g。
（1）試證明恒力F作用過程中，B、C的運動為簡諧運動，并計算出平衡位置；
（2）撤去恒力F后，求彈簧的最大彈性勢能。
【解答】解：（1）在平衡位置，有：
規定向左為正，當BC向左偏離平衡位置為x時，回復力（即合外力）：
F回＝F﹣k（x+x0）＝﹣kx，
因此得證。
（2）由簡諧振動的知識可知：彈簧壓縮到最短時，BC前進的位移s＝2x0
設撤去F后，B、C回到彈簧原長處的速度大小為v1，由功能關系得：
Fs，解得：
到彈簧最長時AB共速，A、B組成的系統動量守恒，以v1的方向為正方向，由動量守恒定律得：
mv1＝3mv2
根據能量守恒定律得：
解得：
答：（1）證明過程如上所述。處于平衡位置時彈簧的壓縮量是；
（2）撤去恒力F后，彈簧的最大彈性勢能是。
（2022春 船山區校級期中）如圖所示，傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長）固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為L的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊。壓縮彈簧使其長度為時將物塊由靜止開始釋放（物塊做簡諧運動），重力加速度為g。
（1）物塊做簡諧運動的振幅是多少？
（2）選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標系，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動。（已知做簡諧運動的物體所受的回復力需要滿足：F＝﹣kx）
【解答】解：（1）物塊平衡時，受重力、支持力和彈簧的彈力
根據平衡條件，有：mgsinα＝k Δx
解得：
則物塊做簡諧運動的振幅為：
（2）物塊到達平衡位置下方x位置時，彈力為：k（x+Δx）＝k（x）
故合力為：F＝mgsinα﹣k（x）＝﹣kx，故物塊做簡諧運動。
答：（1）物塊做簡諧運動的振幅是（）；
（2）證明過程如上述。
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2.3簡諧運動的回復力和能量
考點一、回復力 1
考點二、簡諧運動的能量 3
考點三、簡諧運動中各物理量的變化 4
【鞏固練習】 6
考點一、回復力
(1)回復力的方向總是指向平衡位置，回復力為零的位置就是平衡位置．
(2)回復力的性質
回復力是根據力的效果命名的，可能由合力、某個力或某個力的分力提供．它一定等于振動物體在振動方向上所受的合力．例如：如圖甲所示，水平方向的彈簧振子，彈力充當回復力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子，彈力和重力的合力充當回復力；如圖丙所示，m隨M一起振動，m的回復力由靜摩擦力提供．
2．回復力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系數，不一定是彈簧的勁度系數．其值由振動系統決定，與振幅無關．
(2)“－”號表示回復力的方向與偏離平衡位置的位移的方向相反．
3．簡諧運動的加速度
由F＝－kx及牛頓第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a與位移x的大小成正比，方向與位移方向相反．
4．物體做簡諧運動的判斷方法
(1)簡諧運動的回復力滿足F＝－kx；
(2)簡諧運動的振動圖像是正弦曲線．
（2023春 南海區校級期中）對于簡諧運動的回復力和位移的關系，下列圖中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023春 大興區期中）如圖是彈簧振子做簡諧運動的圖像，下列說法正確的是（　　）
A．1s時，回復力最大
B．1s末，機械能最小，2s末機械能最大
C．1s末、3s末、5s末回復力均相同
D．0～6s是一個完整的周期
（2022秋 慈溪市期末）在科幻電影《全面回憶》中有一種地心車，無需額外動力就可以讓人在幾十分鐘內到達地球的另一端，不考慮地球自轉的影響、車與軌道及空氣之間的摩擦，乘客和車的運動為簡諧運動，則（　　）
A．乘客達到地心時的速度最大，加速度最大
B．乘客只有在地心處才處于完全失重狀態
C．乘客在地心處的回復力最小
D．乘客所受地球的萬有引力大小與到地心的距離的平方成反比
（2023 電白區校級模擬）如圖甲所示，懸掛在豎直方向上的彈簧振子，在C、D兩點之間做簡諧運動，O點為平衡位置。振子到達D點時開始計時，以豎直向上為正方向，一個周期內的振動圖像如圖乙所示，下列說法正確的是（　　）
A．振子在O點受到的彈簧彈力等于零
B．振子在C點和D點的回復力相同
C．t＝0.3s時，振子的速度方向為豎直向上
D．t＝0.75s到t＝1.25s的時間內，振子通過的路程為cm
（2023春 新會區校級期中）如圖甲所示，彈簧振子在水平方向上做簡諧運動，其振動圖像如圖乙所示．已知彈簧的勁度系數為0.5N/cm.則（　　）
A．在t＝2.75s時，振子的位移和速度方向相同
B．在t0時，振子所受的回復力大小為0.5N
C．在t＝1.5s時，彈簧振子的彈性勢能最大
D．振子的振動方程為x＝5sin（2πt）cm
考點二、簡諧運動的能量
簡諧運動的能量是指物體在經過某一位置時所具有的勢能和動能之和．在振動過程中，勢能和動能相互轉化，機械能守恒．
1．簡諧運動的能量由振動系統和振幅決定，對同一個振動系統，振幅越大，能量越大．
2．在簡諧運動中，振動的能量保持不變，所以振幅保持不變，只要沒有能量損耗，它將永不停息地振動下去．
3．在振動的一個周期內，動能和勢能完成兩次周期性變化．物體的位移減小，勢能轉化為動能，位移增大，動能轉化為勢能．
4．能量特點
在簡諧運動中，振動系統的機械能 ，而在實際運動中都有一定的能量損耗，因此簡諧運動是一種 的模型．
考點三、簡諧運動中各物理量的變化
1．如圖所示為水平的彈簧振子示意圖，振子運動過程中各物理量的變化情況如下表．
振子的運動 A→O O→A′ A′→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 減小 增大 減小 增大
回復力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 減小 增大 減小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 減小 增大 減小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 減小 增大 減小
振子的動能 增大 減小 增大 減小
彈簧的勢能 減小 增大 減小 增大
系統總能量 不變 不變 不變 不變
2.說明：(1)簡諧運動中各個物理量對應關系不同．位置不同，則位移不同，加速度、回復力不同，但是速度、動能、勢能可能相同，也可能不同．
(2)簡諧運動中的最大位移處，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置處，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
(3)位移增大時，回復力、加速度和勢能增大，速度和動能減小；位移減小時，回復力、加速度和勢能減小，速度和動能增大．
（2022秋 嶗山區校級期末）如圖是單擺做阻尼振動的位移﹣時間圖象，下列說法正確的是（　　）
A．阻尼振動是一種受迫振動
B．擺球在P與N時刻的勢能相等
C．擺球在P與N時刻的動能相等
D．擺球在P與N時刻的機械能相等
（多選）（2023春 南海區校級期中）如圖所示，彈簧振子在a、b兩點間做簡諧運動，在振子從平衡位置O點向a點運動的過程中（　　）
A．回復力在增大 B．速度在減小
C．位移方向向右 D．加速度方向向左
（多選）（2023春 呈貢區校級期中）如圖所示，質量為m的小球放在勁度系數為k的輕彈簧上（不拴接），小球上下振動而又始終未脫離彈簧。則（　　）
A．小球的振幅可以大于
B．在最大振幅下彈簧對小球的最大彈力是2mg
C．小球在振動過程中機械能守恒
D．彈簧的最大彈性勢能為
（多選）（2023 浙江模擬）如圖，一端固定于天花板上的一輕彈簧，下端懸掛了質量均為m的A、B兩物體，正在豎直方向做振幅為x0的簡諧運動，當達到最高點時彈簧恰好為原長。當系統振動到某個位置時，剪斷A、B間細繩，此后A繼續做簡諧運動。則下列說法中正確的是（　　）
A．如果在平衡位置剪斷繩子，A依然可以到達原來的最低位置
B．如果在最高點剪斷繩子，則B帶走的能量最多
C．無論在什么地方剪斷繩子，此后A振動的振幅一定增大，周期一定減小
D．如果在最低點剪斷繩子，此后A振動過程中，振幅為
（2023春 蘭州期中）如圖所示，傾角為α的斜面體（光滑且足夠長）固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為l0的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的小球，開始時，小球靜止于O點。壓縮彈簧使其長度為時將小球由靜止開始釋放，重力加速度為g，彈簧彈性勢能的表達式，Δx為彈簧形變量。
（1）證明小球所做運動為簡諧運動；
（2）小球振動到最低點時彈簧的彈性勢能。
【鞏固練習】
（2022春 徐匯區校級期末）做機械振動的彈簧振子到達最大位移處時，下列物理量數值為零的是（　　）
A．振幅 B．速度 C．回復力 D．加速度
（2022秋 吳江區校級月考）下列關于簡諧運動回復力的說法正確的是（　　）
A．回復力是使物體回到平衡位置的力
B．回復力可以是恒力
C．回復力的方向總是跟物體離開平衡位置的位移方向相同
D．回復力的方向總是跟物體的速度方向相反
（2022秋 德州期中）一質點做簡諧運動的位移x與時間t的關系如圖所示，由圖可知（　　）
A．頻率是1Hz
B．振幅是10m
C．在t＝1.8s時，質點的加速度方向與速度方向相反
D．在t＝1s時，質點所受合外力為零
（2022 南京模擬）如圖所示是彈簧振子在0～0.4s時間內做簡諧運動的圖像，由圖像可知（　　）
A．在0.25～0.3s時間內，回復力越來越小
B．t＝0.7s時刻，振子的速度最大
C．振子的動能和勢能相互轉化的周期為0.4s
D．振子的動能和勢能相互轉化的周期為0.2s
（2022秋 江蘇月考）如圖所示，輕質彈簧的上端固定，下端連接一質量為m的金屬小球，托住小球使彈簧處于原長，在t＝0時由靜止釋放，一段時間內小球在豎直方向做周期為T的簡諧運動。已知彈簧的勁度系數為k，重力加速度為g，則（　　）
A．小球做簡諧運動的表達式為xsin（t）
B．小球做簡諧運動的表達式為xsin（t﹣π）
C．小球相鄰兩次加速度大小等于的時間為
D．小球相鄰兩次加速度大小等于g的時間為
（2022秋 常熟市月考）如圖所示，一根固定在墻上的水平光滑直桿，兩端分別固定著相同的輕彈簧，兩彈簧自由端相距x。套在桿上的小球從中點以初速度v向右運動，小球將做周期為T的往復運動，則（　　）
A．小球做簡諧運動
B．小球動量的變化周期為
C．兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為
D．小球的初速度為時，其運動周期為2T
（2022春 富縣校級期中）一單擺振動過程中離開平衡位置的位移隨時間變化的規律如圖所示，取向右為正方向．則下列說法正確的是（　　）
A．第1s末和第5s末擺球位于同一位置
B．0～1s的時間內，擺球的回復力逐漸減小
C．t＝3s時，擺球的位移為振幅的
D．t＝3s時，擺球的速度方向與加速度方向相反
（2022春 鼓樓區期末）如圖所示，質量可以忽略的彈簧上端固定，下端懸掛一質量為m的物體，物體沿斜面方向做振一幅較小的簡諧振動。取平衡位置處為坐標原點，位移x向下為正，則下列分別是物體的回復力F、加速度a、彈簧彈性勢能Ep、速度v與位移x變化關系。其中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
（2022秋 嘉定區校級月考）如圖所示，物體A與滑塊B一起在光滑水平面上做簡諧運動，A、B之間無相對滑動，已知輕質彈簧的勁度系數為k，A、B的質量分別為m和M，下列說法不正確的是（　　）
A．物體A的回復力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供
B．滑塊B的回復力是由彈簧的彈力提供
C．物體A與滑塊B看成一個振子，其回復力大小跟位移大小之比為k
D．若A、B之間的動摩擦因數為μ，則A、B間無相對滑動的最大振幅為
（2022秋 鹽亭縣校級月考）某彈簧振子沿x軸的簡諧運動圖像如圖所示，下列描述正確的是（　　）
A．t＝1s時，振子的速度為零，加速度為正的最大值
B．t＝3s時，振子的速度為零，位移為負的最大值
C．t＝4s時，振子的速度為正，加速度為負的最大值
D．t＝1s和t＝5s時都是勢能為零，動能最大
（2022秋 城陽區期末）如圖，光滑水平面上質量為2m的物體A緊靠豎直墻壁，通過一勁度系數為k的輕質彈簧與物體B連接，質量均為m的B、C靠在一起但不粘連，開始時A、B、C均靜止。現給C施加一水平向左的恒力F，使B、C一起運動。當彈簧某次壓縮到最短時撤去恒力F，設彈簧始終沒超出彈性限度，重力加速度為g。
（1）試證明恒力F作用過程中，B、C的運動為簡諧運動，并計算出平衡位置；
（2）撤去恒力F后，求彈簧的最大彈性勢能。
（2022春 船山區校級期中）如圖所示，傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長）固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為L的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊。壓縮彈簧使其長度為時將物塊由靜止開始釋放（物塊做簡諧運動），重力加速度為g。
（1）物塊做簡諧運動的振幅是多少？
（2）選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標系，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動。（已知做簡諧運動的物體所受的回復力需要滿足：F＝﹣kx）
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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