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2024屆高考數學復習專題 ★★中學數學常用結論
1.任意的簡單n面體內切球半徑R=(V是簡單n面體的體積，是簡單n面體的表面積)
2.棱長為的正方體的內切球、棱切球和外接球的半徑分別為：，其比值為：
3.棱長為的正四面體的棱切球是棱長為的正方體的內切球.
4.棱長為的正四面體的高為：，其外接球的半徑為，其內切球的半徑為，
（簡記為高三外四內十二），其外接球和內切球半徑比為：3:1.
5.設正棱錐的側棱長為b，高為h，其外接球半徑為R,則.
6.斜二測畫法直觀圖面積為原圖形面積的倍.
7.點關于點的對稱點的坐標為，
8.曲線關于點的對稱曲線的方程為.
9.點關于直線的對稱點的坐標滿足：
，其中
10.點關于直線的對稱點的坐標的求法是：求橫代縱，求縱代橫.
11.直線關于直線的對稱直線的方程為：
12. 橢圓的面積為
13.圓錐曲線的切線方程求法（隱函數求導）：
①過圓上任意一點的切線方程為
②過橢圓上任意一點的切線方程為
③過雙曲線上任意一點的切線方程為
④過拋物線上任意一點的切線方程為
記憶方法：平方項，留一半、換一半；一次項，中點公式去代換
14.切點弦方程：過平面內一點引曲線的兩條切線，兩切點所在直線的方程叫做曲線的切點弦方程
①圓的切點弦方程為
②橢圓的切點弦方程為
③雙曲線的切點弦方程為
④拋物線的切點弦方程為
15.①橢圓與直線相切的條件是
②雙曲線與直線相切的條件是
16.若A、B、C、D是圓錐曲線(二次曲線)上順次四點,則四點共圓(常用相交弦定理)的一個充要條件是:直線AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分別表示AC和BD的斜率)
17.過橢圓的一個焦點F（不分左右）的直線交橢圓于AB兩點，直線AB的傾斜角為，則焦半徑，(若為銳角，長則減，短則加：若為鈍角角，長則加，短則減；若焦點在y軸上，把余弦換成正弦，可以在焦點三角形中用余弦定理來證明).
18.橢圓的焦半徑滿足.
19.雙曲線的焦半徑滿足
20.雙曲線和橢圓的焦點弦長
21.過雙曲線的一個焦點F（不分左右）的直線交雙曲線的同一支于AB兩點，直線AB的傾斜角為，則焦半徑，(若為銳角，長則減，短則加：若為鈍角角，長則加，短則減；若焦點在y軸上，把余弦換成正弦，可以在焦點三角形中用余弦定理來證明).
22．蒙日圓：曲線的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是一個圓，其方程為.這個結論中的圓稱為蒙日圓.
23．垂徑定理：(1)AB是橢圓（a＞b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，
則.
AB是雙曲線的不平行
于對稱軸的弦，M為AB的中點，則.
24.周角定理：(1)AB是過橢圓（a＞b＞0）中心O的一條弦，與橢圓交于A、B兩點，點P是橢圓上異于A、B的一點，則.
(2) AB是過雙曲線中心O的一條弦，與雙曲線交于A、B兩點，點P是雙曲線上異于A、B的一點，則.
25.已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.
已知雙曲線，O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.則;
26.橢圓、雙曲線的通徑長為，拋物線的通徑長.+=.
27.橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F 2，點P為橢圓上任意一點，則
橢圓的焦點三角形的面積為 .相應的雙曲線的焦點三角形的面積.
28.阿波羅尼奧斯圓：在平面上給定兩點A、B，設P點在同一平面上且滿足：，則點P的軌跡是一個圓，稱之為阿波羅尼奧斯圓.其半徑為
29.分離比定理：設F是圓錐曲線的一個一個焦點，過焦點 F的直線和曲線交于兩點A 、B，且,則離心率.其中為直線AB的傾斜角，當焦點在y軸上時，只需將公式中的即可.
30.極化恒等式：(1)如圖在△ABC中，點M是BC邊的中點，則.
(2)一般形式：
31.差比數列速算公式：若，則其前n項和,其中.
32.圓錐曲線硬解定理：聯立消元整理后所得一元二次方程中，，
弦長或者
33.超級韋達定理：聯立消元整理得：則，
34.在△ABC中，.
35.期望和方差的性質：
36.二項分布的特點：（1）.做n次獨立重復試驗，每次試驗只有“發生”和“不發生”兩種結果.
（2）.隨機變量表示在n次獨立重復實驗中，時間發生的次數. =0,1,2,3n.
（3）
（4）若
37.超幾何分布：產品抽樣檢查中經常遇到一類實際問題，從含有M件不合格品的N件產品中，隨機抽取n件做檢查，設X為所得的次品數，則（）,此時我們稱隨機變量X服從超幾何分布，記作X~H(n,M,N)。
超幾何分布的模型是不放回抽樣，對超幾何分布X~H(N,M,n) ，隨機變量X的數學期望
38.如圖：橢圓、雙曲線、拋物線的內接直角三角形的斜邊必過一定點.
推論：若圓錐曲線中內接直角三角形的直角頂點與圓錐曲線的頂點重合,則斜邊所在直線過定點.
(1)對于橢圓+=1(a>b>0)上異于右頂點的兩動點A,B,以AB為直徑的圓經過右頂點(a,0),則直線lAB過定點.同理,當以AB為直徑的圓過左頂點(-a,0)時,直線lAB過定點.
(2)對于雙曲線-=1(a>0,b>0)上異于右頂點的兩動點A,B,以AB為直徑的圓經過右頂點(a,0),則直線lAB過定點.同理,對于左頂點(-a,0),則定點為.
(3)對于拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩動點A,B,若·=0,則弦AB所在直線過點(2p,0).同理,拋物線x2=2py(p>0)上異于頂點的兩動點A,B,若⊥,則直線AB過定點(0,2p).
39.拋物線中的一類相切問題：AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦(焦點弦),過A,B分別作準線l:x=-的垂線,垂足分別為A1,B1,E為A1B1的中點.
(1)如圖①所示,以AB為直徑的圓與準線l相切于點E.
(2)如圖②所示,以A1B1為直徑的圓與弦AB相切于點F,且EF2=A1A·BB1.
(3)如圖③所示,以AF為直徑的圓與y軸相切.
40.拋物線焦點弦的幾個常用結論：設AB是過拋物線 (p>0)焦點F的一條弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則
(1)x1x2=,y1y2=-p2. (2)弦長|AB|=x1+x2+p= (α為弦AB的傾斜角). (3)+=.
（4）（5）(若焦點在y軸上，cos換成sin).
41.復數的模的運算性質：
42．設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有.
設雙曲線的兩個焦點為F1、F2,P（異于實軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記, ,，則有.
43．橢圓與直線有公共點的充要條件是.你能證明嗎？
44．設橢圓（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過M引一條直線與橢圓相交于P、Q兩點，則直線A1P、A2Q(A1 ,A2為對稱軸上的兩頂點)的交點N在直線：(或)上.
45．過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.
46．橢圓（a＞b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時，A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.
47. 雙曲線的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時，A1P1與A2P2交點的軌跡方程是（a＞b＞0）.
48.導數題常用放縮、、
49. 設平面上三點O,A,B不共線,則平面上任意一點P與A,B共線的充要條件是存在實數λ與μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特別地,當P為線段AB的中點時,=+.
50.函數f(x)具有對稱軸，，則f(x)為周期函數且一個正周期為
51.面積射影定理：如圖，設平面α外的△ABC在平面α內的射影為△ABO，分別記△ABC的面積和△ABO的面積為S和S′ ，記△ABC所在平面和平面α所成的二面角為θ，則cos θ = S′ : S
52,角平分線定理：三角形一個角的平分線分其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例
角平分線定理逆定理：如果三角形一邊上的某個點分這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應成比例，那么該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分線
53.三余弦定理：設A為面上一點，過A的斜線AO在面上的射影為AB，AC為面上的一條直線，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦關系為：cos∠OAC=cos∠BAC·cos∠OAB(∠BAC和∠OAB只能是銳角)
54.立方差公式：
立方和公式：
55.
推論：
56.推論：①②
57.向量與三角形四心：
A.四心的概念介紹：
（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（關注：中點中線+1:1:1）
（2）垂心——高線的交點：高線與對應邊垂直；
（3）內心——角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊距離相等；
（關注：角平分線+a:b:c）
外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。
（關注：向量的數量積+投影）
B.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c
(1)是的重心
(2)為的垂心
(3)為的內心
(4)為的外心（向量的投影+點差法）
C.若O是三角形ABC的內心，存在實數，使得角平分線上的動點:。
D.是的重心. =1:1:1
E.O為的內心.
F.(投影模型）.
58.對任意圓錐曲線，過其上任意一點作兩直線，若兩射線斜率之積為定值，則兩交點連線所在直線過定點
59.若圓的直徑端點，則圓的方程為
60.過橢圓上一點做斜率互為相反數的兩條直線交橢圓于A、B兩點，則直線AB的斜率為定值
61. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則
62.面積比模型：在△ABC所在平面內，存在一點O，滿足，則
，若同號，則O在△ABC內部，否則，點O在△ABC外部.
奇函數的最值性質
已知函數f(x)是定義在區間D上的奇函數,則對任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特別地,若奇函數f(x)在D上有最值,則f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,則f(0)=0.
64.函數周期性問題（差為常數周期性）
　　已知定義在R上的函數f(x),若對任意x∈R,總存在非零常數T,使得f(x+T)=f(x),則稱f(x)是周期函數,T為其一個周期.除周期函數的定義外,還有一些常見的與周期函數有關的結論如下:
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函數,其中的一個周期T=2a.
(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函數,其中的一個周期T=2a.
(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函數,其中的一個周期T=2a.
(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函數,其中的一個周期T=6a.
65.函數的對稱性（和為常數對稱性）
　　已知函數f(x)是定義在R上的函數.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關于直線x=對稱,特別地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱;
(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,則y=f(x)的圖象關于點對稱.特別地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,則y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱.
66.等差數列（記自己能理解的即可）
　　設Sn為等差數列{an}的前n項和.
(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).
(2)ap=q,aq=p(p≠q) ap+q=0.
(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構成的數列是等差數列.
(4)=n+是關于n的一次函數或常函數,數列也是等差數列.
(5)Sn====….
(6)若等差數列{an}的項數為偶數2m,公差為d,所有奇數項之和為S奇,所有偶數項之和為S偶,則所有項之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.
(7)若等差數列{an}的項數為奇數2m-1,所有奇數項之和為S奇,所有偶數項之和為S偶,則所有項之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.
(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),則Sm+n=-(m+n).
(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.
　67.等比數列（記自己能理解的即可）
　　已知等比數列{an},公比為q,前n項和為Sn.
(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).
(2)若m+n=p+q,則am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.
(3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比數列(m∈N*).
(4)公比q≠-1時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比數列(n∈N*).
(5)若等比數列的項數為2n(n∈N*),公比為q,奇數項之和為S奇,偶數項之和為S偶,則=q.
(6){an},{bn}是等比數列,則{λan},,{anbn},也是等比數列(λ≠0,n∈N*).
(7)通項公式an=a1qn-1=·qn.從函數的角度來看,它可以看作是一個常數與一個關于n的指數函數的積,其圖象是指數函數圖象上一群孤立的點.
(8)與等差中項不同,只有同號的兩個數才能有等比中項;兩個同號的數的等比中項有兩個,它們互為相反數.
(9)三個數成等比數列,通常設為,x,xq;四個數成等比數列,通常設為,,xq,xq3.
68.圓錐曲線中的一類定值問題
　　在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中,曲線上的一定點P(非頂點)與曲線上的兩動點A,B滿足直線PA與PB的斜率互為相反數(傾斜角互補),則直線AB的斜率為定值.
圖示 條件 結論
已知橢圓+=1(a>b>0),定點P(x0,y0)(x0y0≠0)在橢圓上,設A,B是橢圓上的兩個動點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0. 直線AB的斜率kAB為定值 .
已知雙曲線-=1(a,b>0),定點P(x0,y0)(x0y0≠0)在雙曲線上,設A,B是雙曲線上的兩個動點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0. 直線AB的斜率kAB為定值-.
已知拋物線y2=2px(p>0),定點P(x0,y0)(x0y0≠0)在拋物線上,設A,B是拋物線上的兩個動點,直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB=0. 直線AB的斜率kAB為定值-.
若橢圓（a＞b＞0）與雙曲線有共同的焦點F1、F2，點P是兩曲線的一個交點，記.
ln2=0.69,ln3=1.09,ln5=1.609
網格最短路徑問題：從A點到B點的最短路徑需要向右行走m個網格，向上行走n個網格，那么從A點到B點的不同最短路徑共有種.
編號為1,2,3，...，n的n個不同小球放入編號為1,2,3，...，n的n個不同盒子中，每個盒子放一球，球的編號和盒子的編號都不同的放法共有種.
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