資源簡介 新教材人教A版2019版數學必修第一冊第四章知識點清單目錄第四章 指數函數與對數函數4. 1 指數4. 2 指數函數4. 3 對數4. 4 對數函數4. 5 函數的應用(二)第四章 指數函數與對數函數4. 1 指數一、根式1. n次方根(1)定義:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.(2)表示:n的奇偶性 a的n次方根的表示 a的取值范圍n為奇數 Rn為偶數 ± [0,+∞)注意:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作=0.2. 根式(1)定義:式子叫做根式,這里n叫做根指數,a叫做被開方數.(2)性質(其中n>1,且n∈N*):①()n=a.②當n為奇數時, =a;當n為偶數時, =|a|=二、分數指數冪1. 正數的正分數指數冪: = (a>0,m,n∈N*,n>1).2. 正數的負分數指數冪: == (a>0,m,n∈N*,n>1).規定:0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義.三、實數指數冪1. 一般地,無理數指數冪aα(a>0,α為無理數)是一個確定的實數. 這樣,指數冪ax(a>0)中指數x的取值范圍就從整數逐步拓展到了實數. 實數指數冪是一個確定的實數.四、實數指數冪的運算性質1. aras= ar+s(a>0,r,s∈R);2. (ar)s=ars(a>0,r,s∈R);3. (ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).4. 拓展:=ar-s(a>0,r,s∈R).五、根式與分數指數冪的化簡、求值1. 運用根式的性質解題時的注意點(1)分清根式是奇次根式還是偶次根式:n>1,且n為奇數時,( )n==a,a為任意實數;n>1,且n為偶數,a≥0時,()n才有意義,且()n=a;n>1,且n為偶數,a為任意實數時, 均有意義,且=|a|.(2)注意變式、整體代換,以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式的運用,必要時要進行分類討論.2. 根式與分數指數冪化簡、求值的技巧(1)將根式化為冪的形式,小數指數冪化為分數指數冪,負指數冪化為正指數冪的倒數.(2)底數是小數的,要先化成分數;底數是帶分數的,要先化成假分數,然后要盡可能用冪的形式表示,便于利用指數冪的運算性質.注意:化簡的結果不能同時含有根式和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數.六、指數冪的條件求值問題解決指數冪的條件求值問題的一般方法——整體代換法1. 將已知條件或所求代數式進行恰當變形,從而通過“整體代換法”求出代數式的值. 整體代換法是數學變形與計算常用的方法,分析觀察條件與所求代數式的結構特點,靈活運用恒等式是關鍵.2. 常用的變形公式如下:(1)a±2+b=(±)2;(2)( +)(-)=a-b;(3) +=( +)(a-+b);(4) -=( -)(a++b).4. 2 指數函數一、指數函數的概念1. 一般地,函數y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數函數,其中指數x是自變量,定義域是R.二、指數函數的圖象和性質指數函數 y=ax(a>0,且a≠1)01圖象 定義域 R值域 (0,+∞)性質 過定點 過定點(0,1),即x=0時,y=1單調性 在R上是減函數 在R上是增函數函數值 的變化 當x>0時,01 當x>0時,y>1; 當x<0時,0對稱性 y=ax與y=的圖象關于y軸對稱三、與指數函數有關的函數的定義域、值域問題1. 與指數函數有關的函數的定義域、值域的求法(1)函數y=af(x)的定義域與f(x)的定義域相同;(2)求函數y=af(x)的值域,需先確定f(x)的值域,再根據指數函數y=ax的單調性確定函數y=af(x)的值域;(3)求函數y=f(ax)的定義域,需先確定y=f(u)的定義域,即u的取值范圍,亦即ax的取值范圍,由此構造關于x的不等式(組),確定x的取值范圍,即y=f(ax)的定義域;(4)求函數y=f(ax)的值域,需先利用函數u=ax的單調性確定其值域,即u的取值范圍,再確定函數y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域. (以上a均滿足a>0,且a≠1)四、與指數函數有關的函數的單調性問題1. 形如y=a f(x)(a>0,且a≠1)的函數的單調性的判斷方法:當a>1時,函數u=f(x)的單調遞增(減)區間即為函數y=a f(x)的單調遞增(減)區間;當02. 形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函數的單調性的判斷方法:通過內層函數u=ax的值域確定外層函數y=f(u)的定義域,在此定義域內討論外層函數的單調區間,再根據復合函數“同增異減”的規律確定復合函數的單調性.五、指數冪的大小比較1. 比較指數冪大小的方法(1)底數形同,指數不同:利用指數函數的單調性來判斷(2)底數不同,指數相同:利用冪函數的單調性來判斷(3)底數不同,指數不同:通過中間量來比較六、指數方程與不等式的解法1. 指數方程的解法(1)對于af(x)=b(a>0,且a≠1)型的指數方程,通常將方程兩邊化為同底數冪的形式,用指數相等進行求解.(2)解復雜的指數方程時,常用換元法轉化為解一元二次方程. 用換元法時要特別注意“元”的范圍,用一元二次方程求解時,要注意對二次方程根的取舍.2. 簡單指數不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0,且a≠1)的單調性求解;(2)形如af(x)>b的不等式,可將b化成以a為底數的冪的形式,再借助y=ax(a>0,且a≠1)的單調性求解;(3)形如ax>bx的不等式,可借助函數y=ax與y=bx(a,b>0,且a,b≠1)的圖象求解.4. 3 對數一、對數的概念1. 對數的概念:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN,其中a叫做對數的底數,N叫做真數.2. 常用對數與自然對數(1)以10為底的對數叫做常用對數,并把log10N記為lg N;(2)以e(e=2. 718 28…)為底的對數稱為自然對數,并把logeN記為ln N.3. 對數與指數的關系 當a>0,a≠1時,ax=N x=logaN,這是指數式與對數式互化的依據. 相關結論如下:(1)負數和0沒有對數;(2)loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1);(3) =N,logaaN=N(a>0,且a≠1,N>0).二、對數的運算性質1. 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM (n∈R).三、對數換底公式1. 對數換底公式:logab= (a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).2. 相關結論:logab=bm=logab(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;n≠0).四、對數的運算1. 利用對數的運算性質求值的關鍵是化異為同,先使各項底數相同,再找真數間的關系2. 對于復雜的算式,可先化簡再計算. 化簡的常用方法:①“拆”,將積(商)的對數拆成兩對數之和(差);②“收”,將同底對數的和(差)收成積(商)的對數.3. 在利用換底公式進行化簡、求值時,一般情況下是根據題中所給對數式的具體特點選擇恰當的底數進行換底,一般可以選擇以10為對數式的底數進行換底.4. 利用換底公式化簡與求值的思路:(1)用對數的運算性質進行部分運算→換成同一底數.(2)統一換為常用對數(或自然對數、指定底的對數) →化簡、求值.五、對數運算性質的綜合應用1. 在對數式、指數式的互化運算中,要注意靈活運用定義和運算性質,尤其要注意條件和待求式之間的關系.2. 解決對數應用問題時,首先要理解題意,弄清關鍵詞及字母的含義,然后恰當設未知數,建立數學模型,最后轉化為對數問題求解.4. 4 對數函數一、對數函數的概念1. 一般地,函數y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數函數,其中x是自變量,定義域是(0,+∞).二、對數函數的圖象與性質對數函數 y=logax(a>0,且a≠1)01圖象 定義域 (0,+∞)值域 R性質 過定點 過定點(1,0),即x=1時,y=0單調性 在(0,+∞)上是減函數 在(0,+∞)上是增函數函數值 的變化 當x>1時,y<0; 當00 當x>1時,y>0; 當0對稱性 y=logax與y=x的圖象關于x軸對稱三、反函數1. 一般地,指數函數y=ax(a>0,且a≠1)與對數函數y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數. 它們的定義域與值域正好互換.2. 拓展:(1)互為反函數的兩個函數的單調性相同,但單調區間不一定相同.當a>1時,函數y=ax在R上是增函數,函數y=logax在(0,+∞)上是增函數;當0(2)互為反函數的兩個函數圖象關于直線y=x對稱.四、不同函數增長的差異y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0)在(0,+∞)上的單調性 單調遞增 單調遞增 單調遞增圖象 隨x的增大逐漸變“陡” 隨x的增大逐漸變“緩” 直線上升增長速度 y=ax(a>1)的增長速度遠遠快于y=kx(k>0)的增長速度,y=kx(k>0)的增長速度快于y=logax(a>1)的增長速度結果 存在一個x0,當x>x0時,有ax>kx>logax五、對數函數的圖象及其應用1. 對數型函數圖象過定點問題:求函數y=m+loga f(x)(a>0,且a≠1, f(x)>0)的圖象所過定點時,只需令f(x)=1,求出x,即得定點為(x,m).2. 根據對數函數圖象判斷底數大小的方法 作直線y=1與所給圖象相交,比較交點的橫坐標即得各個底數的大小關系.3. 函數圖象的變換規律(1)一般地,函數y=f(x+a)+b(a,b為實數)的圖象是由函數y=f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個單位長度后,再沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度得到的.(2)含有絕對值的函數的圖象一般是經過對稱變換得到的.六、與對數函數有關的函數的定義域、值域問題1. 對數型函數的定義域(1)求對數型函數的定義域,要注意真數大于0,即在y=loga f(x)(a>0,且a≠1)中應首先保證f(x)>0;(2)若底數中也含有變量,則底數應大于0且不等于1.2. 求對數型函數值域的常用方法(1)直接法:根據函數解析式的特征,從函數自變量的范圍出發,通過對函數定義域、性質的觀察,結合解析式,直接得出函數的值域.(2)配方法:當所給的函數可化為二次函數形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0,a>0,且a≠1))時,可以用配方法求函數的值域.(3)單調性法:根據所給函數在其定義域(或定義域的某個子集)上的單調性,求出函數的值域.(4)換元法:求形如y=loga f(x)(a>0,且a≠1, f(x)>0)的函數的值域的步驟:①換元,令u=f(x),利用函數的圖象和性質求出u的范圍;②利用y=logau的單調性、圖象求出y的取值范圍.七、與對數函數有關的函數的單調性1. 求與對數函數有關的函數的單調性的要點(1)單調區間是定義域的子集.(2)若a>1,則y=loga f(x)的單調性與y=f(x)的單調性相同;若0八、比較對數值的大小1. 比較對數值大小常用的四種方法(1)同底數的利用對數函數的單調性進行比較.(2)同真數的利用對數函數的圖象或用換底公式轉化進行比較.(3)底數和真數都不同的,找中間量比較.(4)若底數為同一參數,則根據底數對對數函數單調性的影響,對底數進行分類討論.九、解對數不等式1. 對數不等式的常見類型及解題方法(1)形如loga f(x)>logab的不等式,借助函數y=logax的單調性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0(2)形如loga f(x)>b的不等式,應將b化成以a為底數的對數式的形式(即b=logaab),再借助函數y=logax的單調性求解;(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用換底公式化為同底的對數進行求解,或利用圖象求解.十、幾種常見的函數模型的選擇1. 常見的函數模型及增長特點(1)線性函數模型y=kx+b(k>0)的增長特點是增長速度不變,可稱為“直線上升”.(2)指數函數模型y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越快,即增長速度急劇,形象地稱為“指數爆炸”.(3)對數函數模型y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越慢,即增長速度平緩,可稱為“對數增長”.2. 不同的函數模型能刻畫現實生活中不同的變化規律(1)線性函數模型適合描述增長速度不變的變化規律;(2)指數函數模型適合描述增長速度急劇的變化規律;(3)對數函數、冪函數模型適合描述增長速度平緩的變化規律. 因此,需抓住題中蘊含的數學信息,恰當、準確地建立相應變化規律的函數模型來解決實際問題.4. 5 函數的應用(二)4. 5. 1 函數的零點與方程的解4. 5. 2 用二分法求方程的近似解一、函數的零點1. 函數的零點的概念:對于一般函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.2. 方程、函數、函數圖象之間的關系:方程f(x)=0有實數解 函數y=f(x)有零點 函數y=f(x)的圖象與x軸有公共點.二、函數零點存在定理1. 如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區間(a,b)內至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的解.三、用二分法求函數y=f(x)零點的近似值1. 二分法:對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區間一分為二,使所得區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.2. 用二分法求函數y=f(x)零點近似值的步驟 給定精確度ε,用二分法求函數y=f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下:(1)確定零點x0的初始區間[a,b],驗證f(a)f(b)<0.(2)求區間(a,b)的中點c.(3)計算f(c),并進一步確定零點所在的區間:①若f(c)=0(此時x0=c),則c就是函數的零點;②若f(a)f(c)<0 (此時x0∈(a,c)),則令b=c;③若f(c)f(b)<0(此時x0∈(c,b)),則令a=c.(4)判斷是否達到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b);否則重復步驟2~4.四、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布問題1. 設x1,x2是實系數一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的兩個實數根,,令f(x)=ax2+bx+c(a>0),則x1,x2的分布情況如下表:根的分布 圖象 等價條件x1kmx1,x2∈(k1,k2)只有一根在(k1,k2)內 或f(k1)·f(k2)<0五、函數零點個數的判斷及應用1. 判斷函數f(x)的零點個數的主要方法(1)轉化為解相應的方程,根據方程的解進行判斷.(2)畫出函數y=f(x)的圖象,判斷它與x軸的交點個數,從而判斷零點的個數.(3)利用函數零點存在定理進行判斷,若函數f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線,且在區間(a,b)上單調,滿足f(a)·f(b)<0,則函數f(x)在區間(a,b)上有且僅有一個零點.(4)轉化成兩個函數圖象的交點個數問題.2. 已知函數f(x)的零點個數求參數范圍,通常要對已知條件進行變形,變形的方向:(1)化為常見的基本初等函數;(2)盡量使參數與變量分離,實在不能分離,也要使含參數的函數解析式盡可能簡單.六、用二分法求方程的近似解1. 二分法求方程近似解的適用條件(1)在初始區間內函數圖象是連續不斷的;(2)函數在初始區間的兩個端點的函數值異號,即是變號零點.2. 利用二分法求方程近似解的步驟(1)構造函數,選好計算的初始區間,這個區間既要包含函數的零點,又要使其長度盡量小.(2)用列表法清晰地表達函數零點所在的區間,依次進行計算.(3)求出滿足精確度的方程的解所在的區間M.(4)區間M內的任一實數均是方程的近似解,通常取區間M的一個端點.4. 5. 3 函數模型的應用一、常見的函數模型常見 的函 數模 型 一次函數模型 y=kx+b(k,b為常數,k≠0)二次函數模型 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)指數函數模型 y=bax+c(a,b,c為常數,b≠0,a>0且a≠1)對數函數模型 y=mlogax+n(m,a,n為常數,m≠0,a>0且a≠1)冪函數模型 y=axn+b(a,n,b為常數,a≠0)二、利用函數模型解決實際問題的基本過程三、利用函數模型解決實際問題1. 利用函數模型解決實際問題的步驟(1)審題——弄清題意,分清條件和要求的結論,理順數量關系;(2)建模——將自然語言轉化為數學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用數學知識建立相應的函數模型;(3)求模——推理并求解函數模型;(4)還原——用得到的函數模型描述實際問題的變化規律.2. 建立擬合函數模型解決實際問題函數擬合與預測的一般步驟(1)根據原始數據、表格,繪制散點圖;(2)通過觀察散點圖,畫出擬合直線或擬合曲線;(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式;(4)利用函數關系式,根據條件對所給問題進行預測,為決策和管理提供依據. 展開更多...... 收起↑ 資源預覽 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫