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北師大版數學（2019）必修第二冊常考知識點（全）
考點01：三角函數
一、任意角的概念與弧度制
1、將沿軸正向的射線，圍繞原點旋轉所形成的圖形稱作角.
逆時針旋轉為正角，順時針旋轉為負角，不旋轉為零角
2、同終邊的角可表示為
軸上角：
軸上角：
3、第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
4、區分第一象限角、銳角以及小于的角
第一象限角：
銳角： 小于的角：
若為第二象限角，那么為第幾象限角？
所以在第一、三象限
弧度制：弧長等于半徑時，所對的圓心角為弧度的圓心角，記作.
7、角度與弧度的轉化：
8、角度與弧度對應表：
角度
弧度
9、弧長與面積計算公式
弧長：；面積：，注意：這里的均為弧度制.
二、任意角的三角函數
1、正弦：；余弦；正切
其中為角終邊上任意點坐標，.
2、三角函數值對應表：
度
弧度
無 無
3、三角函數在各象限中的符號
口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（簡記為“全s t c”）
第一象限： sin0,cos0,tan0,
第二象限： sin0,cos0,tan0,
第三象限： sin0,cos0,tan0,
第四象限： sin0,cos0,tan0,
4、同角三角函數基本關系式
(，，，三式之間可以互相表示)
5.誘導公式
口訣：奇變偶不變,符號看象限(所謂奇偶指的是中整數的奇偶性，把看作銳角)
；.
①.公式（一）：與
；；
②.公式（二）：與
；；
③.公式（三）：與
；；
④.公式（四）：與
；；
⑤.公式（五）：與
；；
⑥.公式（六）：與
；；
⑦.公式（七）：與
；；
⑧.公式（八）：與
；；
三角函數的圖像與性質
1、將函數的圖象上所有的點，向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象。
2、函數的性質：
①振幅：；②周期：；③頻率：；④相位：；⑤初相：。
周期函數：一般地，對于函數，如果存在一個非零常數，使得定義域內的每一個值，都滿足，那么函數就叫做周期函數，叫做該函數的周期.
4、⑴ 對稱軸：令，得
對稱中心：，得，；
⑵ 對稱軸：令，得；
對稱中心：，得，；
⑶周期公式:
①函數及的周期 (A、ω、為常數，且A≠0).
②函數的周期 (A、ω、為常數，且A≠0).
5、三角函數的圖像與性質表格
(
函
數
性
質
)
圖像
定義域
值域
最值 當時，； 當時，． 當時， ；當 時，． 既無最大值也無最小值
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
單調性 在 上是增函數； 在 上是減函數． 在上是增函數； 在 上是減函數． 在 上是增函數．
對稱性 對稱中心 對稱軸 對稱中心 對稱軸 對稱中心 無對稱軸
6. 五點法作的簡圖，設，取0、、、、來求相應的值以及對應的y值再描點作圖。
7. 的的圖像
8. 函數的變換：
（1）函數的平移變換
① 將圖像沿軸向左（右）平移個單位
（左加右減）
② 將圖像沿軸向上（下）平移個單位
（上加下減）
（2）函數的伸縮變換：
① 將圖像縱坐標不變，橫坐標縮到原來的倍（縮短， 伸長）
② 將圖像橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的A倍（伸長，縮短）
考點02：平面向量
1．向量的有關概念
名稱 定義 備注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量
零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0
單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線
共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量
相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小
相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0
2.向量的線性運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b)
數乘 求實數λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使b＝λa.
11．如圖，，不共線，且，用，表示．
4．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
5．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
6．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0.
7．平面向量的數量積
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數量|a||b|cos θ叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b＝|a||b|cos θ.
規定：零向量與任一向量的數量積為__0__.
兩個非零向量a與b垂直的充要條件是 a·b＝0，兩個非零向量a與b平行的充要條件是 a·b＝±|a||b|.
8．平面向量數量積的幾何意義
數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積．
9．平面向量數量積的重要性質
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b a·b＝0；
(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；
(4)cos θ＝； (5)|a·b|__≤__|a||b|.
10．平面向量數量積滿足的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實數)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
11．平面向量數量積有關性質的坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點間的距離|AB|＝||＝.
(3)設兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
12．向量在平面幾何中的應用
(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：
問題類型 所用知識 公式表示
線平行、點共線等問題 共線向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
垂直問題 數量積的運算性質 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0， a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b為非零向量
夾角問題 數量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角)
長度問題 數量積的定義 |a|＝＝，其中a＝(x，y)
考點03：三角恒等變換
1. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：
=(其中,輔助角所在象限由點所在的象限決定, ，該法也叫合一變形).
二倍角公式
（2）
（3）
3. 降冪公式：
（2）
4. 升冪公式
（2）
（4）
5. 半角公式（符號的選擇由所在的象限確定）
（1）， （2） ，
（3）
6. 萬能公式（用的不多，了解一下）:
（1）, （2）,（3）
7，輔角公式
其中，比如：
8、積化和差公式
9、和差化積公式
10. 常見數據：，
, ,
考點04：解三角形
一．正弦定理：
1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，并且都等于外接圓的直徑，即 （其中R是三角形外接圓的半徑）
2.變形：1）．
2）化邊為角：；
3）化邊為角：
4）化角為邊：
5）化角為邊：
二.三角形面積
1.
三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即
2.變形：
注意整體代入，如：
利用余弦定理判斷三角形形狀：
設、、是的角、、的對邊，則：
①若，，所以為銳角
②若
③若， 所以為鈍角，則是鈍角三角形
四．三角形中常見的結論
三角形三角關系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
三角形三邊關系：
兩邊之和大于第三邊：，，；
兩邊之差小于第三邊：，，；
在同一個三角形中大邊對大角：
4) 三角形內的誘導公式：
五．三角形的五心：
垂心——三角形的三邊上的高相交于一點
重心——三角形三條中線的相交于一點
外心——三角形三邊垂直平分線相交于一點
內心——三角形三內角的平分線相交于一點
旁心——三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點
考點05：復數
復數的定義：設為方程的根，稱為虛數單位，形如的數，稱為復數.所有復數構成的集合稱復數集,通常用來表示.
a為實部，b為虛部
2．復數集
復數的幾何意義
對任意復數z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數形式，它由實部、虛部兩部分構成；若將(a,b)作為坐標平面內點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數集與坐標平面內所有的點構成的集合之間的一一映射。因此復數可以用點來表示，表示復數的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數z又對應唯一一個向量。
(
復數
復平面
內的點
Z
（
a,b
）
平面向量
)
兩個復數相等的定義：且（其中）特別地，.
復數的四則運算
設，
（1）加法：，即實部與實部相加，虛部與虛部相加；
（2）減法：，即實部與實部相減，虛部與虛部相減；
（3）乘法： ， 特別；
（4）除法（是均不為0的實數）的化簡就是通過分母實數化的方法將分母化為實數，即分子分母同時乘以分母的共軛復數，然后再化簡：；
（5）四則運算的交換率、結合率；分配率都適合于復數的情況。即對有:
, ,
6 共軛復數
若兩個復數的實部相等，而虛部是互為相反數時，這兩個復數叫互為共軛復數；特別地，虛部不為的兩個共軛復數也叫做共軛虛數；【注：兩個共軛復數之差是純虛數.（×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]】
若z=a+bi，則的共軛復數記作；
為實數，為純虛數(b≠0).
共軛復數的性質：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，則.
7 復數的摸
若向量表示復數，則稱的模為復數的模，
考點06： 空間幾何體知識點總結
一.空間幾何體的直觀圖
斜二測畫法的基本步驟：①建立適當直角坐標系（盡可能使更多的點在坐標軸上）
②建立斜坐標系，使=450（或1350）
③畫對應圖形
在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X‘軸，且長度保持不變；
在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y‘軸，且長度變為原來的一半；
直觀圖與原圖形的面積關系：
二.空間幾何體的表面積與體積
⑴圓柱側面積； ⑵圓錐側面積：
⑶圓臺側面積：
球的表面積和體積 .
正三棱錐是底面是等邊三角形，三個側面是全等的等腰三角形的三棱錐。 　
正四面體是每個面都是全等的等邊三角形的三棱錐。
三、平面基本性質即三條公理
公理1 公理2 公理3
圖形語言
文字語言 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內. 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面. 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
符號語言
作用 判斷線在面內 確定一個平面 證明多點共線
公理2的三條推論：
推論1 經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面.
二．直線與直線的位置關系
共面直線： 相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；
平行直線：同一平面內，沒有公共點；
異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。（既不平行，也不相交）
三．直線與平面的位置關系有三種情況：
在平面內——有無數個公共點 ． 符號 a α
相交——有且只有一個公共點 符號 a∩α= A
平行——沒有公共點 符號 a∥α
說明：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用a α來表示
1．直線和平面平行的判定
(1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面；
(2)判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
簡記為：線線平行，則線面平行。 符號：
2．直線和平面平行的性質定理：
一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
簡記為：線面平行，則線線平行. 符號:
3．直線與平面垂直
⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。
⑵判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。
簡記為：線線垂直，則線面垂直.
符號：
4.直線與平面垂直
性質Ⅰ：垂直于同一個平面的兩條直線平行。
符號：
性質Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行
符號：
推論：如果兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．
符號語言：a∥b, a⊥α， b⊥α
四．平面與平面的位置關系：
平行——沒有公共點： 符號 α∥β
相交——有一條公共直線: 符號 α∩β=a
1．平面與平面平行的判定
(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行；
(2)判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。
簡記為：線面平行，則面面平行. 符號：
2．平面與平面平行的性質定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。
簡記為：面面平行，則線線平行. 符號：
補充：平行于同一平面的兩平面平行； 夾在兩平行平面間的平行線段相等；
兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行；
3．平面與平面垂直的判定
⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。
⑵判定定理：一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直。
簡記為：線面面垂直，則面面垂直. 符號：
推論：如果一個平面平行于另一個平面的一條垂線，則這個平面與另一個平面垂直。
4.平面與平面垂直的性質定理：兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。
簡記為：面面垂直，則線面垂直.
證明線線平行的方法
①三角形中位線 ②平行四邊形 ③線面平行的性質 ④平行線的傳遞性
⑤面面平行的性質 ⑥垂直于同一平面的兩直線平行；
證明線線垂直的方法
①定義：兩條直線所成的角為90°；（特別是證明異面直線垂直）； ②線面垂直的性質
③利用勾股定理證明兩相交直線垂直；
④利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；
五：三種成角
1.異面直線成角
步驟：1、平移，轉化為相交直線所成角；2、找銳角（或直角）作為夾角；3、求解
注意：取值范圍：（0。,90。].
2.線面成角：斜線與它在平面上的射影成的角，取值范圍：（0。,90。].
如圖：PA是平面的一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面上射影，為線面角。
3.二面角：從一條直線出發的兩個半平面形成的圖形
取值范圍：（0。,180。）
六.點到平面的距離：定義法和等體積法

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