資源簡介

新教材人教A版2019版數學必修第一冊
第五章知識點清單
目錄
第五章　三角函數
5. 1　任意角和弧度制
5. 2　三角函數的概念
5. 3 誘導公式
5. 4 三角函數的圖像與性質
5. 5 三角恒等變換
5. 6 函數
5. 7 三角函數的應用
第五章　三角函數
5. 1　任意角和弧度制
5. 1. 1　任意角
一、角的相關概念
1. 角的概念：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.
2. 任意角
（1）正角：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角
（2）負角：一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角
（3）零角：一條射線沒有做任何旋轉，就稱它形成了一個零角
3. 角的加法與減法
(1)如果角α和角β的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱α=β.
(2)設α，β是任意兩個角，把角α的終邊旋轉角β，這時終邊所對應的角是α+β.
(3)相反角：把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角，角α的相反角記為-α，于是有α-β=α+(-β).
二、終邊相同的角
1. 所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},
即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.
三、象限角和軸線角
1. 象限角、軸線角的概念
　　在平面直角坐標系內，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重
合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角. 如果角的終邊在坐標軸
上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限，我們稱其為軸線角.
2. 象限角的集合表示
象限角 角的集合
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°-90°<α3. 軸線角的集合表示
角的終邊的位置 角的集合
在x軸的非負半軸上 {α|α=k·360°，k∈Z}
在x軸的非正半軸上 {α|α=180°+k·360°，k∈Z}
在y軸的非負半軸上 {α|α=90°+k·360°，k∈Z}
在y軸的非正半軸上 {α|α=270°+k·360°，k∈Z}
在x軸上 {α|α=k·180°，k∈Z}
在y軸上 {α|α=90°+k·180°，k∈Z}
在坐標軸上 {α|α=k·90°，k∈Z}
四、角的對稱和垂直問題
1. 角的終邊是一條射線，當兩個角的終邊具有對稱或垂直關系時，這兩個角也具有一定的關系.
角α，β的終邊位置關系 角α，β的關系
關于x軸對稱 β=-α+k·360°(k∈Z)
關于y軸對稱 β=180°-α+k·360°(k∈Z)
關于原點對稱 β=α+180°+k·360°(k∈Z)
垂直 β=α±90°+k·360°(k∈Z)
五、終邊相同的角的表示
1. 求在某個范圍內與已知角終邊相同的角的步驟
(1)先將已知角表示成一般形式α+k·360°(k∈Z)，其中0°≤α<360°；
(2)采用賦值法或不等式法求解，確定k的值；
(3)寫出適合條件的角.
2. 求終邊在某條射線或直線上的角的集合的策略
(1)若所求角的終邊在某條射線上，則角之間相差360°的整數倍，所求角的集合為
{β|β=α+k·360°，k∈Z}；
(2)若所求角的終邊在某條直線上，則角之間相差180°的整數倍，所求角的集合為
{β|β=α+k·180°，k∈Z}.
六、區域角的表示
1. 區域角是指終邊在坐標系的某個區域內的角. 表示時可分為三步：
(1)按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界；
(2)由小到大分別標出起始和終止邊界對應的在-360°到360°范圍內的角α和β，并將該范圍內的區域角表示為{x|α(3)起始、終止邊界對應的角α、β再加上360°的整數倍，即得區域角的范圍.
七、象限角的判斷
1. 角α所在象限的判斷方法：根據終邊相同的角的概念，把角α轉化到0°~360° 范圍內，則轉化后的角的終邊落在第幾象限，角α就是第幾象限角.
2. 角nα所在象限的判斷方法：由角α的范圍求出角nα 的范圍，再利用終邊相同的角所在象限的判斷方法進行判斷即可.
【注意】不要忽略nα為軸線角的情況.
3. 角 (n≠0)所在象限的判斷方法
(1)分類討論法：根據角α所在象限，寫出角α的范圍(用含有k的式子表示)，由此求出角的范圍，然后對k進行分類討論，從而判斷角的終邊所在象限.
(2)幾何法：先把各象限分為n等份，再從x 軸非負半軸的上方起，按逆時針方向把這
4n個區域依次循環標上一、二、三、四. 角α是第幾象限角，則標號為幾的區域即
為角的終邊所在區域.
5. 1. 2　弧度制
一、角度制與弧度制
1. 角度制與弧度制的定義
角度制 用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，規定1度的角等于周角的
弧度制 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度. 用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制
【注意】(1)用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”或“rad”可以省略不寫；用角度為單位表示角的大小時，“度”或“°”不可以省略.
(2)不管是用弧度制還是用角度制為單位表示的角，其大小都是一個與半徑的大小無關的定值.
2. 弧度數：在半徑為r的圓中，弧長為的弧所對的圓心角為α rad，那么|α|=.
其中，α的正負由角α的終邊的旋轉方向決定. 一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.
3. 弧度制建立的意義
角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立起一一對應的關系.
二、角度制與弧度制的換算
1. 角度與弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°=2π rad 2π rad=360°
180°=π rad π rad=180°
1°=rad≈0. 017 45 rad 1 rad=≈57. 30°=57°18'
角度數×=弧度數 弧度數×=角度數
2. 一些特殊角的度數與弧度數的對應關系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
三、扇形的弧長及面積公式
1. 設扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為n°(α為其圓心角的弧度數)，則
角度制 弧度制
扇形的弧長 l= l=αR
扇形的面積 S= S=αR2=lR
四、求扇形的弧長和面積
1. 涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關鍵是先分析題目中已知哪些量，求哪些量，然后靈活運用扇形的弧長公式l=αR，面積公式S=αR2=lR直接求解或列方程(組)求解.
2. 扇形的周長及面積的最值問題
(1)當扇形的周長一定時，扇形的面積有最大值. 其求法是把面積S轉化為關于半徑
R的二次函數，但要注意R的取值范圍，還要注意扇形的弧長l必須滿足0(2)當扇形的面積一定時，扇形的周長有最小值. 其求法是把周長C轉化為關于半徑
R的函數，但要注意R的取值范圍.
5. 2　三角函數的概念
5. 2. 1　三角函數的概念
一、三角函數的概念
1. 利用單位圓定義任意角的三角函數
前提 設α是一個任意角，它的始邊與x軸非負半軸重合，終邊與圓心為坐標原點的單位圓交于點P(x，y)
概 念 正弦函數 點P的縱坐標y叫做α的正弦函數，記作sin α，即y=sin α
余弦函數 點P的橫坐標x叫做α的余弦函數，記作cos α，即x=cos α
正切與 正切函數 點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做α的正切，記作tan α，即=tan α(x≠0)，以此比值為函數值的函數叫做α的正切函數
三角函數 正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為： 正弦函數y=sin x，定義域為R； 余弦函數y=cos x，定義域為R； 正切函數y=tan x，定義域為
2. 利用角α的終邊上任意一點的坐標定義三角函數：如圖，α為一個任意角，其始邊與x軸非負半軸重合，在角α的終邊上任取一點P(異于原點O)，其坐標為(x，y)，且|OP|=r=，則sin α=，cos α=，tan α= (x≠0).

二、三角函數值在各象限的符號
1. 三角函數值在各象限的符號如圖.

2. 記憶口訣：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，即第一象限各三角函數值均為正，第二象限只有正弦值為正，第三象限只有正切值為正，第四象限只有余弦值為正.
三、公式一
sin(α+k·2π)=sin α，cos(α+k·2π)=cos α，tan(α+k·2π)=tan α，其中k∈Z.
四、特殊角的三角函數值
α 0 π
sin α 0 1 0 -1
cos α 1 0 -1 0
tan α 0 1 — -1 0 —
五、利用三角函數的定義求值
1. 利用三角函數的定義求一個角的三角函數值的幾種情況
(1)若已知角α的大小，只需確定出角α的終邊與以坐標原點為圓心的單位圓的交點坐標，即可求出角α的各三角函數值.
(2)若已知角α的終邊上一點P(x，y)(x≠0)是以坐標原點為圓心的單位圓上的一點，則sin α=y，cos α=x，tan α=
(3)已知角α終邊上任意一點P(x，y)(x≠0)的坐標時，求出r=，則sin α=，cos α=，tan α=. 當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論.
(4)角的終邊在直線上時，注意到角的終邊為射線，所以應分兩種情況進行處理，分
別取兩條射線上異于原點的任意一點的坐標，再利用三角函數的定義求解.
六、判斷三角函數值在各象限的符號
1. 判斷三角函數值符號的兩個步驟
(1)確定角所在的象限；
(2)利用三角函數值的符號規律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來判斷符號.
七、公式一的應用
1. 公式一的實質是終邊相同的角的同一三角函數值相等.
利用公式一化簡求值的步驟：
(1)定形：將已知的任意角寫成2kπ+α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.
(2)轉化：根據公式一，轉化為求角α的某個三角函數值.
(3)求值：求出角α的三角函數值.
5. 2. 2　同角三角函數的基本關系
一、同角三角函數的基本關系
1. 平方關系：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α+cos2α=1.
2. 商數關系：同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切，
即=tan α{α≠kπ+，k∈Z}.
二、已知一個三角函數值求其余兩個三角函數值
1. 利用同角三角函數的平方關系sin2α+cos2α=1和商數關系 =tan α，可以實現在sin α，cos α，tan α三個值之間“知一求二”，即知道其中一個可以求其余兩個.
2. 若題目中沒有指出α是第幾象限角，則必須根據題設條件推斷α可能是第幾象限的角，再分象限加以討論.
三、關于sin α，cos α的齊次式的求值問題
1. 已知tan α=m， 可以求 的值，方法是將
分子、分母同時除以cos α (或cos2α)，將其化成關于tan α 的式子，再求值.
2. 已知tan α=m，求asin2α+bsin αcos α+ccos2α 的值，可將其看成分母是1的分式，利用1=sin2α+cos2α 進行代替后，分子、分母同時除以cos2α，得到關于tan α 的式子，再求值.
四、利用sin α±cos α與sin αcos α之間的關系求值
1. 若已知sin α±cos α，sin α·cos α 中的一個，則可以利用方程思想進一步求得sin α，cos α 的值，從而解決相關問題. 涉及的三角恒等式有：
(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；
(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α；
(3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2；
(4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α.
五、利用同角三角函數的基本關系化簡或證明
1. 利用同角三角函數的基本關系化簡或證明時常用的方法
(1)化切為弦，即把正切函數化成正弦、余弦函數，從而減少函數名稱,達到化簡的目的.
(2)對于含有根號的，常把根號下的式子化成完全平方式，然后去根號,達到化簡的目的.
(3)對于含高次的三角函數式，往往借助因式分解，或構造出sin2α+cos2α=1，以降低次數，達到化簡的目的.
5. 3 誘導公式
一、誘導公式
公式一：sin(α+k·2π)=sin α，cos(α+k·2π)=cos α，tan(α+k·2π)=tan α，其中k∈Z.
公式二：sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α.
公式三：sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α，tan(-α)=-tan α.
公式四：sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α，tan(π-α)=-tan α.
公式五：sin =cos α，cos =sin α.
公式六：sin =cos α，cos =-sin α.
說明：誘導公式可以根據角的終邊的對稱性，結合三角函數的定義進行推導和理解.
二、利用誘導公式解決給角求值問題
1. 誘導公式記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限.
　　誘導公式可以統一概括為“k·±α(k∈Z)”的各三角函數值的化簡公式.
(1) “奇”“偶”是對k·±α(k∈Z)中的倍數k來講的.
(2)“變”與“不變”是針對三角函數名稱而言的. 當k為奇數時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數時，函數名不變.
(3)“象限”是指k·±α(k∈Z)中，將α看成銳角時，k·±α(k∈Z)所在的象限，根據“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符號規律確定角k·±α對應三角函數值的符號.
2. 誘導公式的應用
　　利用誘導公式解決給角求值問題的步驟：

誘導公式的應用非常靈活，做題時方法不唯一.
如：cos=coscos=cos
-cos=-或cos=coscos=cos-sin=-
三、利用誘導公式解決條件求值問題
1. 解決條件求值問題時，首先要仔細觀察條件中的已知式與所求式的角、函數名稱及有關運算之間的差異及聯系，再將已知式向所求式轉化，或將所求式向已知式轉化.
2. 當角比較復雜時，要注意分析兩個角之間是否具有互余、互補關系，或分析兩個角的和、差是不是特殊角等. 常見的互余關系： -α與+α， +α與-α 等；常見的互補關系： +α與-α， +α與-α等.
四、利用誘導公式化簡、證明三角函數式
1. 化簡三角函數式的方法和技巧
(1)方法：化簡三角函數式的關鍵是抓住函數名稱之間的關系和角之間的關系，靈活應用相關的公式及變形解決問題.
(2)技巧：①異名化同名；②異角化同角；③切化弦.
2. 證明三角函數式的常用方法
(1)由左邊推至右邊或由右邊推至左邊，遵循的是化繁為簡的原則.
(2)證明左邊=A，右邊=A，則左邊=右邊，這里的A起著橋梁的作用.
(3)通過作差或作商證明，即左邊-右邊=0或=1(右邊≠0).
5. 4 三角函數的圖像與性質
5. 4. 1　正弦函數、余弦函數的圖象
一、正弦函數、余弦函數的圖象
函數 y=sin x(x∈R) y=cos x(x∈R)
圖象
圖象名稱 正弦曲線 余弦曲線
函數 y=sin x(x∈R) y=cos x(x∈R)
圖象畫法 五點法
五個 關鍵點 (0，0)， ， (π，0)， ， (2π，0) (0，1)，，(π，-1)， ，(2π，1)
曲線 的關系 余弦曲線可以看作是將正弦曲線向左平移個單位長度得到的 或向右平移個單位長度得到的
二、用“五點法”作正弦(型)函數、余弦(型)函數的圖象
1. “五點法”是作正弦(型)函數、余弦(型)函數圖象最常用的方法，作形如y=asin x+b
(或y=a cos x+b)，x∈[0，2π]的圖象的三個步驟：列表、描點、連線. 使用“五點法”作函數圖象時，應注意以下兩點：
(1)“五點”是指在一個周期內，函數圖象的最高點、最低點以及圖象與坐標軸的交點.
(2)作圖時要注意圖象的對稱性和凹凸方向.
三、正、余弦(型)函數的圖象的應用
1. 用三角函數圖象解三角不等式的步驟
(1)作出相應的正弦函數或余弦函數在[0，2π]上的圖象；
(2)寫出不等式在區間[0，2π]上的解集；
(3)根據公式一寫出不等式在定義域內的解集.
2. 對于含三角函數的方程的解的個數問題，一般無法直接求解，常把它轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，通過圖象可以比較直觀地解決問題，這正是數形結合思想方法的應用.
5. 4. 1　正弦函數、余弦函數的性質
一、周期函數
1. 設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T 叫做這個函數的周期.
2. 如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.
【注意】(1)如果T是函數f(x)的一個周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.
(2)并非所有的周期函數都有最小正周期，如f(x)=C(C為常數，x∈R)，所有的非零實數T都是它的周期，不存在最小正周期.
(3)今后本書中涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數的最小正周期.
二、正弦函數、余弦函數的性質
函數 y=sin x y=cos x
圖象
定義域 R
值域 [-1，1]
周期 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期 2π
奇偶性 奇函數 偶函數
函數 y=sin x y=cos x
圖象的對稱軸 直線x=kπ+，k∈Z 直線x=kπ，k∈Z
圖象的對稱中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z
單調性 在，k∈Z上單調遞增， 在，k∈Z上單調遞減 在[2kπ-π，2kπ]，k∈Z上單調遞增， 在[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z上單調遞
減
最值 x=+2kπ，k∈Z時，ymax=1； x=-+2kπ，k∈Z時，ymin=-1 x=2kπ，k∈Z時，ymax=1； x=π+2kπ，k∈Z時，ymin=-1
三、三角函數的周期性
1. 求三角函數周期的方法
(1)定義法：緊扣周期函數的定義，尋求對定義域內的任意實數x都滿足f(x+T)=f(x)的非零常數T. 該方法主要適用于抽象函數.
(2)公式法：對形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常數，且A≠0，ω≠0)的函數，可利用T=來求周期. 特別注意：y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T=.
(3)圖象法：可畫出函數的圖象，借助圖象判斷函數的周期. 求含絕對值的函數的周期時一般采用此法.
四、與正、余弦函數有關的函數的奇偶性、對稱性
1. 判斷與正、余弦函數有關的函數的奇偶性時，先判斷其定義域是否關于原點對稱，有時需要運用誘導公式將函數式化簡，然后驗證f(-x)是否等于-f(x)或f(x).
2. 函數y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象的對稱軸過其最高點或最低點，對稱中心為圖象與x軸的交點，可按照求正、余弦曲線的對稱軸和對稱中心的方法，把ωx+φ作為一個整體進行求解.
五、與正、余弦函數有關的函數的單調性
1. 研究與正、余弦函數有關的函數的單調性的策略及注意點
(1)結合正、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間.
(2)求函數y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的單調區間，應采用“換元法”整體代換，將“ωx+φ”看作一個整體“z”，即通過求y=Asin z或y=Acos z的增(減)區間得到原函數的增(減)區間.
【注意】當x的系數ω<0時，一般用誘導公式將x的系數轉化為正數后求解；若A<0，則單調性與A>0時相反.
六、利用單調性比較三角函數值的大小
1. 利用單調性比較三角函數值的大小的步驟
(1)依據誘導公式把三角函數化為同名函數；
(2)依據誘導公式把角化到同一個單調遞增(減)區間內，對于正弦函數來說，一般將兩個角轉化到或內，對于余弦函數來說，一般將兩個角轉化到[-π，0]
或[0，π]內；
(3)依據三角函數的單調性比較大小.
七、與正、余弦函數有關的函數的值域或最值
1. 常見的求與正、余弦函數有關的函數的值域(最值)的類型及解法
(1)形如y=asin x(或y=acos x)的函數，可利用正弦函數、余弦函數的有界性求解，要
注意對a 的正負的討論.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+B (或y=Acos(ωx+φ)+B)的函數，可先由定義域求得ωx+φ 的
范圍，然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ)) 的范圍，最后求得值域(最值).
(3)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函數，可利用換元思想，設t=sin x，轉化為二次函
數y=at2+bt+c求值域(最值). 注意t的范圍需要根據定義域來確定.
(4)形如y= (ac≠0)的函數的值域(最值)，可以用分離常量法求解，也可以利
用正弦函數的有界性建立關于y的不等式反解出y.
5. 4. 3　正切函數的性質與圖象
一、正切函數的圖象與性質
函數 y=tan x
圖象
定義域
周期性 最小正周期是π
奇偶性 奇函數
單調性 在每一個區間(k∈Z)上都單調遞增
值域 R
圖象的對稱性 正切曲線是中心對稱圖形，對稱中心的坐標為 (k∈Z)， 沒有對稱軸
二、與正切函數有關的函數的定義域、對稱性、奇偶性、周期性
1. 定義域、對稱性
（1）研究函數的性質時，首先要確定函數的定義域，求與正切函數有關的函數的定義域時，除了滿足函數定義域的一般要求外，還要注意y=tanx有意義時，x≠+kπ，k∈Z
（2）對于正切型函數y=Atan(ωx+φ)(A≠0，ω>0)的定義域、對稱性問題，解題時一
般將“ωx+φ”視為一個整體. 令ωx+φ≠kπ+，k∈Z，求解x即可得其定義域；令ωx+
φ=，k∈Z，求解x即可得其圖象的對稱中心.
2. 奇偶性：y=tan x是奇函數，其圖象關于原點對稱. 若y=tan(ωx+φ)是奇函數，
則φ= (k∈Z).
3. 周期性：函數y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的最小正周期為T=，常常利用此公式來求與正切函數有關的函數的周期. 解與正切函數有關的三角不等式時，先確定在一個周期內使不等式成立的ωx+φ的范圍，再根據正切函數的周期性，得出ωx+φ滿足的不等式并求解.
三、正切函數的單調性及應用
1. 正切型函數y=Atan(ωx+φ)(A>0，ω≠0，φ是常數)的單調區間的求法
(1)若ω>0，由于y=tan x在每一個單調區間上都是增函數，故可用“整體代換”的思想，令kπ-<ωx+φ(2)若ω<0,可利用誘導公式先把y=Atan(ωx+φ)轉化為y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-
φ)，即把x的系數化為正值，再利用“整體代換”的思想求解，求得x的取值范圍，即
得原函數的減區間.
2. 利用正切函數的單調性比較大小的步驟
(1)運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內；
(2)運用單調性比較大小.
5. 5 三角恒等變換
5. 5. 1　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
一、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
S(α+β)：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
S(α-β)：sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
C(α+β)：cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β，
C(α-β)：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
T(α+β)：tan(α+β)= ，
T(α-β)：tan(α-β)= .
【記憶技巧】C(α+β)，C(α-β)：“同名相乘，符號反”. S(α+β)，S(α-β)：“異名相乘，符號同”
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式
S2α：sin 2α=2sin αcos α.
C2α：cos 2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1.
T2α：tan 2α=
三、兩角和與差的正弦、余弦公式的應用
1. 給角求值
　　此類題目涉及兩角和與差公式的正用和逆用，sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β
即為正用， sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)即為逆用. 公式的逆用是三角函數式變形
的重要手段，有時還需把三角函數式中的系數0， ， ， 等視為某個特殊角的三
角函數值，從而將常數換為三角函數使用. 例如： cos α- sin α=sin cos α-cos sin α=sin .
2. 給值求值
（1）解決給值求值的問題時，應先分析已知角與所求角間的關系，再考慮三角函數名稱的聯系，最后選擇合適的公式求值.
（2）解題關鍵是將所求角用已知角表示出來，即角的代換. 常見的角的代換的形式：α=(α+β)-β，α=β-(β-α)，α= [(α+β)+(α-β)]= [(α+β)-(β-α)]， =-，α+β=(2α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等.
3. 給值求角
（1）解決此類題目的關鍵是求出所求角的某一三角函數值，而三角函數的選取一般要根據所求角的范圍來確定， 最好是角的取值范圍在該函數的單調區間內. 當所求角的范圍是(0，π)或(π，2π)時，一般求余弦值；當所求角的范圍是或時，一般求正弦值.
四、兩角和與差的正切公式的應用
1. “1”的代換
　　在T(α±β)中，若分子中出現“1”，則常利用1=tan 來代換，以達到化簡求值的
目的，如=tan=tan等.
2. 整體意識
　　若化簡的式子中出現了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”兩個整體，常考慮T(α±β)的變形公式：①tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)，②1 tan α·tan β= .
五、利用二倍角公式進行化簡、求值
1. 二倍角公式的變形
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
1+cos 2α=2cos2α；cos2α= .
1-cos 2α=2sin2α；sin2α=
2. 化簡、求值的技巧
(1)注意公式的靈活應用，如：
①sin 2x=-cos =-cos =1-2cos2 =2sin2 -1.
②cos 2x=sin =sin =2sin cos .
(2)注意特殊角的三角函數與特殊值的互化.
(3)對于含分式的式子，應分別對分子、分母進行變形處理，有公因式的提取公因式后進行約分.
(4)對于含二次根式的式子，要注意二倍角公式的逆用.
(5)注意角與角之間的隱含關系，如互余、互補等.
(6)注意“1”的恒等變形，如tan 45°=1，sin2α+cos2α=1等.
5. 5. 2　簡單的三角恒等變換
一、三角變換公式
名稱 內容
半角公式 sin =±；cos =±；tan =±==
升冪公式 cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； tan 2α=
降冪公式 cos2α=； sin2α=
積化和差公式 sin θcos φ= [sin(θ+φ)+sin(θ-φ)]； cos θsin φ= [sin(θ+φ)-sin(θ-φ)]； cos θcos φ= [cos(θ+φ)+cos(θ-φ)]； sin θsin φ=- [cos(θ+φ)-cos(θ-φ)]
和差化積公式 sin θ+sin φ=2sincos； sin θ-sin φ=2cossin； cos θ+cos φ=2coscos； cos θ-cos φ=-2sinsin
輔助角公式 asin x+bcos x=sin(x+φ)，其中tan φ=
二、半角公式的應用
1. 利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角與待求角的二倍關系.
(2)明范圍：求出相應半角的范圍，為定符號做準備.
(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常利用tan==計算，涉及半角公式的正、余弦值時，常利用sin2=，cos2=計算.
三、三角函數式的化簡與三角恒等式的證明
1. 化簡三角函數式的基本思路
　　三角函數式的化簡是三角恒等變換的一個重要方面，其基本方法是統一角，統一三角函數的名稱.
常用方法：異名函數化為同名函數，異角化為同角，異次化為同次，弦切互化，特殊角的三角函數與特殊值互化等. 化簡的結果應滿足以下幾點：
①能求值的盡量求值；②函數名稱盡量少；③項數盡量少；④次數盡量低；⑤分母、
根號下盡量不含三角函數.
2. 證明三角恒等式的思路
　　觀察、分析等式兩端的結構，從兩端角的差異、三角函數名稱及結構的差異入手，尋求證明途徑，左右歸一或消除等式兩端的差異，達到證明的目的.
四、輔助角公式及其應用
輔助角公式對三角函數式的化簡具有重大意義，基本形式為y=asin x+bcos x=
sin(x+φ)，其中tan φ= . 運用輔助角公式的前提條件有三個：
① 同角(均為x)，②齊一次(均為一次的)，③正余全(一個是sin x，一個是cos x).
　　輔助角公式的應用從易到難有三個層次：
　　第一個層次：同角，齊一次. 舉例：y=sin x- cos x=2sin .
第二個層次：不同角，齊一次. 舉例：y=sin x+cos .
分析：由題目可確定研究對象為x，需要把cos 展開.
y=sin x+cos=sin x+cos x-sin x=sin x+cos x=sin.
第三個層次：不同角，非齊一次. 舉例：y=4sin xcos-.
分析：需要先把y=4sin xcos-中cos展開，再降冪，轉化為齊一次.
y=4sin x-=2sin x·cos x+2sin2x-=sin 2x-cos 2x=
2sin.
5. 6 函數
一、參數A，ω，φ對函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響
1. φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響：把函數y=sin x圖象上的所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位長度，就得到函數y=sin(x+φ)的圖象.
2. ω(ω>0)對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響
一般地，函數y=sin(ωx+φ)(ω>0)的周期是，把y=sin(x+φ)圖象上所有點的橫坐標縮短 (當ω>1時)或伸長 (當0<ω<1時)到原來的倍(縱坐標不變)，就得到y=sin(ωx+φ)的圖象.
3. A(A>0)對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響
　　一般地，函數y=Asin(ωx+φ)的圖象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)圖象上所有點的縱坐標伸長 (當A>1時)或縮短 (當0二、通過圖象變換得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象的過程
1. 先平移后伸縮
　 y=sin x的圖象 y=sin(x+φ)的圖象
y=sin(ωx+φ)的圖象 y=Asin(ωx+φ)的圖象.
2. 先伸縮后平移
　 y=sin x的圖象 y=sin ωx的圖象
y=sin(ωx+φ)的圖象 y=Asin(ωx+φ)的圖象.
　　圖象變換的注意點：(1)橫向伸縮中的倍數變化. (2)先平移后伸縮與先伸縮后平移中平移長度的區別.
三、函數圖象的平移變換
1. 一般地，函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，x∈R)的圖象可以由y=sin x的圖象經過平移變換和伸縮變換得到. 在圖象變換中要注意變換的次序：可以先平移后伸縮，也可以先伸縮后平移，但是兩種變換次序中，平移的量是不同的. 先平移后伸縮，平移的量是|φ|個單位長度；先伸縮后平移，平移的量是個單位長度，這是容易出錯的地
方，應特別注意.
2. 不同名三角函數之間的變換方法
(1)利用誘導公式，尋找不同名三角函數之間的關系，主要利用±α化簡.
(2)用誘導公式將不同名三角函數化為同名三角函數，再根據平移、伸縮變換得出最終結果.
四、由圖象求三角函數的解析式
1. 根據三角函數的圖象求y=Asin(ωx+φ)的解析式的思路
(1)A的確定：一般可由圖象上的最高點、最低點的縱坐標來確定|A|.
(2)ω的確定：因為T= ，所以往往通過求周期T來確定ω. 圖象上相鄰的兩個對稱中心間的距離為，相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為.
(3)φ的確定：以“五點法”中的第一個點 (也叫初始點)作為突破口來確定φ，注意要根據圖象的升降情況找準第一個點的位置.
　　依據“五點法”作圖，點的序號與式子的對應關系如下：
　　“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)：ωx+φ=0；
　　“第二點”(即圖象的“峰點”)：ωx+φ=；
　　“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)：ωx+φ=π；
　　“第四點”(即圖象的“谷點”)：ωx+φ=；
　　“第五點”(即圖象第二次上升時與x軸的交點)：ωx+φ=2π.
五、三角函數圖象與性質的綜合應用
1. 用“五點法”作函數y=Asin(ωx+φ)圖象的步驟
(1)列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
y 0 A 0 -A 0
(2)描點.
(3)連線得函數在一個周期內的圖象.
(4)通過左右平移得到y=Asin(ωx+φ)，x∈R的圖象.
2. 研究函數y=Asin(ωx+φ)性質的基本策略
(1)將所給函數的解析式轉化為y=Asin(ωx+φ)的形式；
(2)熟記正弦函數y=sin x的圖象與基本性質；
(3)充分利用整體代換思想解決問題；
(4)熟記有關y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、單調性及其圖象的對稱性等重要結論.
5. 7 三角函數的應用
一、描述簡諧運動的物理量
1. 簡諧運動可以用函數y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0.
(1)A是簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；
(2)周期T=，它是做簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；
(3)頻率由公式 f==給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內往復運動的次數；
(4)ωx+φ稱為相位；
(5)x=0時的相位φ稱為初相.
二、三角函數模型的應用
1. 勻速圓周運動、簡諧運動和交變電流都是理想化的運動變化現象，可以用三角函數模型準確地描述它們的運動變化規律.
2. 用函數模型解決實際問題的一般步驟
　　收集數據→畫散點圖→選擇函數模型→求解函數模型→檢驗.
三、三角函數模型在物理中的應用
　　常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性. 處理物理學問題時，要明確物理概念的意義，此類問題往往涉及頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題.
四、三角函數模型在實際生活中的應用
1. 解與三角函數有關的應用問題的基本步驟
(1)審清題意：讀懂題目中的“文字”“圖象”“符號”等語言，理解所反映的實
際問題的背景，提煉出相應的數學問題.
(2)建立函數模型：整理數據，引入變量，找出變化規律，運用已掌握的三角函數知
識、物理知識及其他相關知識建立關系式，即建立三角函數模型.
(3)求解函數模型：利用所學過的三角函數知識求解建立的三角函數模型.
(4)得出結論：將所得結果翻譯成實際問題的答案，并檢驗.
五、求形如y=Asin(ωx+φ)(其中ω>0)的單調區間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通
過列不等式求解；研究y=asin x+bcos x的單調性時，要先利用輔助角公式把函數化
為y=sin(x+φ)的形式，再進行研究；研究y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x+d的單調性時，要先利用sin2x=，cos2x=降冪，然后利用輔助角公式把函數
化為y=Asin(2x+φ)+B的形式，再進行研究.

展開更多......

收起↑