資源簡介

新教材人教A版2019版數學必修第二冊
第七章知識點清單
目錄
第七章　復數
7. 1　復數的概念
7. 2 復數的四則運算
7. 3　復數的三角表示
第七章　復數
7. 1　復數的概念
7. 1. 1　數系的擴充和復數的概念
一、復數的相關概念及代數表示
1. 復數
(1)定義：我們把形如a+bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.
(2)表示：復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部.
2. 復數集：全體復數構成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做復數集.
二、兩個復數相等的充要條件
1. 我們規定：a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d(a，b，c，d∈R).
三、復數的分類
1. 復數z=a+bi(a，b∈R)的分類：復數
2. 復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系如圖所示
四、對復數概念的理解
1. 處理復數相關概念的問題時，首先要把復數化為z=a+bi(a，b∈R)的形式，確定復數的實部和虛部，再根據復數表示實數、虛數、純虛數的充要條件構造關系式求解.
五、復數相等的充要條件的應用
1. 復數相等的充要條件是復數問題實數化的主要依據，多用來求參數，其步驟是：
(1)分別確定兩個復數的實部與虛部；
(2)利用實部與實部、虛部與虛部分別相等，列方程(組)求解.
7. 1. 2　復數的幾何意義
一、復平面
1. 建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸. 顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.
二、復數的幾何意義
三、復數的模
1. 復數z=a+bi(a，b∈R，i為虛數單位)對應的向量為，則向量的模叫做復數
z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|. 即|z|=|a+bi|= .
四、共軛復數
1. 一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數. 虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數. 復數z的共軛復數用表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么=a-bi. 　　
2. 特別地，實數a的共軛復數仍為a.
五、復數幾何意義的應用
1. 復數與復平面內點的關系的應用
(1)復數與復平面內點的對應關系的實質：復數的實部就是其對應點的橫坐標，復數的虛部就是其對應點的縱坐標.
(2)已知復數在復平面內對應點滿足的條件求參數值(范圍)時，可根據復數與點的對應關系，找到復數實部與虛部滿足的條件，列方程(組)或不等式(組)求解即可.
2. 復數與復平面內向量的關系的應用
　　解決此類問題時一般先寫出向量或點的坐標，根據向量的坐標運算求出所求向量的坐標，從而得到向量所對應的復數.
六、復數模的計算
1. 復數模的計算一般有以下兩種方法
(1)根據復數模的計算公式|a+bi|= (a，b∈R)可把復數模的問題轉化為實數問題解決；
(2)根據復數模的幾何意義，即復數z=a+bi(a，b∈R)的模就是復數z在復平面內對應
的點Z(a，b)到坐標原點的距離，可以把復數模的問題轉化為距離問題解決.
2. 重要結論：復數z在復平面內對應的點為Z，r表示大于0的常數，則|z|=r表示點Z的軌跡是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|r表示圓的外部.
7. 2 復數的四則運算
7. 2. 1　復數的加、減運算及其幾何意義
一、復數的加法與減法
1. 復數的加、減法法則
　　設z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
2. 復數加法的運算律：對任意z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
二、復數加、減法的幾何意義
1. 設復數z1，z2在復平面內對應的向量分別為， (O為坐標原點)，則
復數加法的幾何意義 以OZ1，OZ2為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則z1+z2所對應的向量為+=
復數減法的幾何意義 z1-z2所對應的向量為-=
2. 復平面內兩點間的距離公式
設復數z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)在復平面內對應的點分別為Z1(a，b)，Z2(c，d)，則|z1-z2|=|Z1Z2|，即|z1-z2|表示復數z1，z2在復平面內對應的點之間的距離.
三、復數代數形式的加、減運算
1. 復數的加、減運算類似于多項式的合并同類項，即實部與虛部分別合并，計算過程中注意加法運算律的靈活應用.
四、復數加、減運算的幾何意義
1. 利用復數加、減運算的幾何意義解題的常用技巧
(1)形轉化為數：利用幾何意義可以把幾何圖形有關的問題轉化成復數的運算問題進行求解.
(2)數轉化為形：對于一些復數運算給予幾何解釋，將復數作為工具運用于幾何之中.
2. 利用復數的幾何意義解題的常見結論
　　在復平面內，z1，z2對應的點分別為A，B，z1+z2對應的點為C，O為坐標原點(點O，A，B不共線).
(1)四邊形OACB為平行四邊形；
(2)若|z1+z2|=|z1-z2|，則四邊形OACB為矩形；
(3)若|z1|=|z2|，則四邊形OACB為菱形；
(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|，則四邊形OACB為正方形.
7. 2. 2　復數的乘、除運算
一、復數的乘法運算
1. 復數的乘法法則
（1）設z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
（2）兩個復數的積是一個確定的復數. 特別地，當z1，z2都是實數時，把它們看作復數時的積就是這兩個實數的積.
2. 復數乘法的運算律
　　對于任意z1，z2，z3∈C，有
①交換律：z1z2=z2z1；
②結合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)；
③分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
二、復數的除法運算
1. 復數的除法法則：(a+bi)÷(c+di)= +i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0).
2. 兩個復數相除(除數不為0)，所得的商是一個確定的復數.
三、共軛復數的性質
1. 若記z=a+bi(a，b∈R)的共軛復數為，則=a-bi. 對于z與有如下性質：
(1)z·=|z|2=||2；
(2)如果z=，則z， 為實數；
(3)共軛復數的和為實數，即z+=2a；
(4) =+；
(5) = .
四、復數代數形式的乘、除運算
1. 復數代數形式的乘法運算可按照多項式乘多項式的方法進行，注意在計算過程中把i2換成-1，然后實部與虛部分別合并，最后化簡為復數的代數形式.
常用結論：(a±bi)2=a2-b2±2abi(a，b∈R)；(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a，b∈R)；(1±i)2=±2i；=1.
2. 在進行復數代數形式的除法運算時通常先將除法寫成分式形式，然后將分子、分母同乘分母的共軛復數，即分母“實數化”，最后整理化簡為復數的代數形式.
常用結論： =-i； =i； =-i.
五、in(n∈N)的周期性及其應用
虛數單位i的乘方具有周期性，最小正周期為4，有以下結論
(1)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N)，其中i0=1，i-n= (n∈N).
(2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
六、復數范圍內實系數一元二次方程根的問題
1. 復數范圍內實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
(1)當Δ≥0時，x=；
(2)當Δ<0時，x=.
2. 如果實系數一元二次方程有虛根，那么虛根以共軛復數的形式“成對”出現.
3. 根與系數的關系在復數范圍內仍然成立.
7. 3　復數的三角表示
一、復數的三角表示式
1. 一般地，任何一個復數z=a+bi(a，b∈R)都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式. 其中，r是復數z的模；θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量所在射線(射線OZ)為終邊的
角，叫做復數z=a+bi的輻角. r(cos θ+isin θ)叫做復數z=a+bi的三角表示式，簡稱三角形式. 為了與三角形式區分開來，a+bi叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式.
2. 規定在0≤θ<2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值. 通常記作arg z，即0≤arg z<2π.
二、復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義
1. 復數乘、除運算的三角表示
（1）設z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cos θ2+isin θ2)，
則z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，即兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.
（2） == [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z2≠0)，即兩個復數相除，商的模
等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.
2. 復數乘、除運算的幾何意義
(1)復數乘法的幾何意義
兩個復數z1，z2相乘時，如圖1，先分別畫出與z1，z2對應的向量，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉角θ2(如果θ2<0，就要把繞點O按順時針方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變為原來的r2倍，得到向量， 表示的復數就是積z1z2.
圖1 圖2
(2)復數除法的幾何意義
兩個復數z1，z2相除時，如圖2，先分別畫出與z1，z2對應的向量，然后把向量繞點O按順時針方向旋轉角θ2(如果θ2<0，就要把繞點O按逆時針方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變為原來的，得到向量表示的復數就是.
三、復數的代數形式與三角形式的轉化
1. 復數z=a+bi(a，b∈R，i為虛數單位)的代數形式轉化為三角形式的兩個關鍵
(1)確定復數的模：利用公式r=；
(2)確定輻角：①先利用cos θ=求出cos θ，再由復數在復平面內對應點的坐標(a，b)
確定輻角θ的終邊所在象限，進而求出輻角θ；②先利用sin θ=或tan θ=求出sin θ
或tan θ，再由復數在復平面內對應點的坐標(a，b)確定輻角θ的終邊所在象限，進而
求出輻角θ.
2. 復數的三角形式轉化為代數形式
　　求出三角形式中的三角函數值，并使之與模相乘并化簡即可.
四、三角形式下的復數的乘、除運算
1. 復數乘除運算的三角形式的兩個注意點
(1)轉化：將兩個復數均轉化為復數的三角形式的標準形式；
(2)運算特點：乘法法則的特點為“模數相乘，輻角相加”；乘方法則的特點為“模
數乘方，輻角n倍”；除法法則的特點為“模數相除，輻角相減”.

展開更多......

收起↑