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高考數學專題圓的方程考點考題考向高分透析（解析版）
考點一 求圓的方程
考點二 圓的對稱問題
考點三 點、直線與圓位置關系的判斷
考點四 切線和切線長問題
考點五 弦長問題
考點六 與圓有關的最值問題
考點七 圓與圓的位置關系
考點八 圓的公共弦和公共切線
一、圓的方程
圓的標準方程 圓的一般方程
定義 在平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓，確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑
方程
圓心
半徑
注：當時，方程表示一個點；
當時，方程沒有意義，不表示任何圖形．
二、直線與圓的位置關系的判斷方法
判斷方法 幾何法 由圓心到直線的距離與半徑長的大小關系來判斷 代數法 聯立直線與圓的方程，消元后得到關于（或）的一元二次方程，根據一元二次方程的解的個數來判斷
相離
相切
相交
三、圓與圓位置關系的兩種判斷方法
（1）幾何法：由兩圓的圓心距d與半徑長的關系來判斷（如下圖，其中）．
圖示
d與的關系
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
（2）代數法：設圓①，圓②，
聯立①②，
如果該方程組沒有實數解，那么兩圓相離；
如果該方程組有兩組相同的實數解，那么兩圓相切；
如果該方程組有兩組不同的實數解，那么兩圓相交．
四、兩圓相交時公共弦所在直線的方程
設圓①，圓②，
若兩圓相交，則有一條公共弦，由，得③．
方程③表示圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程．
考點一 求圓的方程
例1．（2023春·上海楊浦·高二統考期末）以為圓心，且經過的圓的方程是____________.
【答案】
【分析】設出圓的標準方程，把代入圓方程即可求出參數，從而得圓的標準方程.
【詳解】因為圓心，故可設圓的標準方程為，
因為點在圓上，所以，
所以所求圓的方程為.
故答案為：
例2．（2022秋·高三課時練習）圓過點、，求面積最小的圓的一般方程為________________．
【答案】
【分析】求出以線段為直徑的圓的方程，即可得解.
【詳解】當為圓的直徑時，過、的圓的半徑最小，從而面積最小．
因為點、，線段的中點為，
，故所求圓的半徑為，
所以，所求圓的方程為，即.
故答案為：.
例3．（2022秋·高三課時練習）若圓的圓心到直線的距離為，則實數a的值為（ ）
A．0或2 B．0或-2
C．0或 D．-2或2
【答案】A
【分析】將圓的方程化為標準方程得出圓心，進而表示出圓心到直線的距離，結合已知條件，列出關系式，求解即可得出答案.
【詳解】將圓的方程化為標準方程為：，
所以，圓心為，半徑.
因為圓心到直線的距離為，
所以，，即，
所以，所以或.
故選：A.
例4．（2022秋·高三課時練習）過三點的圓交于軸于兩點，則＝（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【分析】由題意可得，則為直角三角形，所以可得圓心為的中點，半徑為，從而可求出圓的方程，則可求出圓與軸的交點，進而可求出結果.
【詳解】因為，所以，
所以，
所以，所以為直角三角形，
所以過三點的圓的圓心，半徑為，
所以過三點的圓的方程為，
令，則，得，
所以，
故選：C.
例5．（2022秋·高三校考課時練習）已知圓經過點和，該圓與兩坐標軸的四個截距之和為，求圓的方程.
【答案】.
【分析】利用待定系數法設出圓的方程，然后利用圓與兩坐標軸的四個截距之和為，即可求解.
【詳解】設圓的一般方程為，由圓經過點和，
代入圓的一般方程，得(*)
設圓在軸上的截距為、，則它們是方程的兩個根，得.
設圓在軸上的截距為、，則它們是方程的兩個根，得.
由已知，得，即.　③
由(*)③聯立解得.
故所求圓的方程為.
考點二 圓的對稱問題
例6．（2021秋·高三課時練習）（多選）已知圓關于直線對稱，則下列結論正確的是（ ）
A．圓的圓心是
B．圓的半徑是2
C．
D．的取值范圍是
【答案】ABCD
【分析】將圓的方程化為標準方程，即可得出A、B；根據已知可知圓心在直線上，代入即可得出C；根據C的結論得，代入根據二次函數的性質，即可得出D項.
【詳解】對于A、B，將圓的方程化為標準方程可得，
所以，圓心為，半徑為，故A、B正確；
對于C項，由已知可得，直線經過圓心，
所以，整理可得，故C項正確；
對于D項，由C知，所以，
所以的取值范圍是，故D項正確.
故選：ABCD.
例7．（2022秋·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學校校考期中）已知圓與圓關于直線對稱，則直線方程______．
【答案】
【分析】求得兩圓的圓心，可得過兩圓心直線的斜率和中點坐標，根據對稱性可得直線斜率，從而求得直線的方程.
【詳解】解：圓，圓心為，半徑
圓，經整理為，其圓心為，半徑；
故中點為， ，
由對稱性知，
，整理得直線l的方程為.
故答案為：
例8．（2022秋·廣東東莞·高二統考期末）曲線圍成的圖形的面積為___________.
【答案】/
【分析】曲線圍成的圖形關于軸，軸對稱，故只需要求出第一象限的面積即可.
【詳解】將或代入方程，方程不發生改變，故曲線關于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可.
當，時，曲線可化為：，表示的圖形為一個半圓，圍成的面積為，
故曲線圍成的圖形的面積為.
故答案為：.
例9．（2022秋·河北滄州·高三統考階段練習）已知點M的坐標為（2，0），AB是圓O：的一條直徑，則______．
【答案】3
【分析】設出，則可得，根據數量積的坐標運算可得到的表達式，結合可得答案.
【詳解】設 ，則,且，
則，
故答案為：3
例10．（2023春·河北唐山·高三開灤第一中學校考階段練習）已知圓關于直線對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】求出圓心坐標，進而求出a，b的關系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.
【詳解】圓的圓心為，依題意，點在直線上，
因此，即，
，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
考點三 點、直線與圓位置關系的判斷
例11．（2022秋·高三課時練習）(多選)下列各點中，不在圓的外部的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用給定的圓方程，把各選項中的點的坐標代入判斷作答.
【詳解】對于A，，點在圓內；
對于B，，點在圓外；
對于C，，在圓上；
對于D，，在圓內.
故選：ACD
例12．（2023秋·高三課時練習）若直線與圓相交，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化簡直線方程為一般式，結合直線與圓相交，列出不等式，即可求解.
【詳解】由直線，可化為，
因為直線與圓相交，可得，
整理得，所以.
故選：B.
例13．（2022秋·河北邯鄲·高二校考階段練習）若點在圓內，則實數的取值范圍為________.
【答案】
【分析】由關于的二次方程表示圓可得或，又由點在圓內可得，取交集即可.
【詳解】解：由題可知，
解得或，
又因為點在圓內，所以，
解得.
所以實數的取值范圍為.
故答案為：.
例14．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）已知 ，直線 ，若l與⊙O相離，則（ ）
A．點 在l上 B．點在上
C．點在 內 D．點在外
【答案】C
【分析】根據l與相離,可知圓心到直線的距離大于半徑，由此列不等式，即可推出，即可得答案.
【詳解】由已知l與相離,可知圓心到直線的距離大于半徑，
不妨設為的半徑，即有，
故，由于，則，所以,
則點在內，
故選：C．
例15．（2023春·廣西柳州·高三柳州市第三中學校考開學考試）已知圓及直線，則直線l與圓C的位置關系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【答案】A
【分析】求出動直線過的定點，再判斷定點與圓的位置關系作答.
【詳解】直線，即，
由解得，于是得直線l恒過定點，
而當時，，因此點在圓C內，
所以直線l與圓C的位置關系是相交.
故選：A
考點四 切線和切線長問題
例16．（2023·天津武清·天津市武清區楊村第一中學校考模擬預測）已知點，，經過點作圓的切線與軸交于點，則________．
【答案】
【分析】由直線與圓的位置關系作出切線，求得，即可得解.
【詳解】如圖所示，設圓心為點，則，
，則點在圓上，且，
由與圓相切可得，所以切線方程為，
令，解得，故，
所以
故答案為：.
例17．（2023屆高三上學期12月期末數學試題）已知圓與直線相切，且與軸切于點，則圓的方程為__________．
【答案】或
【分析】設出，根據點到直線距離公式列出方程，求出圓心和半徑，得到圓的方程.
【詳解】因為圓與軸切于點，故圓心的橫坐標為3，
設，則圓心到直線的距離為，
則，解得或2，
故圓心坐標為或，
當時，半徑為8，當時，半徑為2，
故圓的方程為或.
故答案為：或
例18．（2023秋·高三課時練習）從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】根據銳角三角函數，結合二倍角公式即可求解.
【詳解】由得，所以圓心為，半徑為，設切點分別為,連接,則為兩切線的夾角，
由于,所以,
由二倍角公式可得，
故選:B

例19．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學校考期末）由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為______.
【答案】
【分析】切點與圓心的連線垂直切線，利用勾股定理，切線段長轉化為直線上點與圓心連線和半徑關系，求圓心與直線上點距離的最小值，即可求解.
【詳解】圓的圓心為，
在直線上取一點P，過P向圓引切線，設切點為A．連接．
在中，．要使最小，則應最小．
又當PC與直線垂直時，最小，其最小值為．
故的最小值為．

故答案為：.
例20．（2023秋·浙江麗水·高三統考期末）已知圓經過點和，且圓關于直線對稱．
(1)求圓的方程；
(2)過點作直線與圓相切，求直線的方程．
【答案】(1)；
(2)和.
【分析】（1）由題意可知圓心為AB中垂線與的交點，計算圓心再求半徑，由圓的標準方程表示即可；
（2）分類討論，設切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑計算即可.
【詳解】（1）∵，，故AB的中點坐標為，，
∴AB的垂直平分線為：，
由解得圓心，半徑
故圓的方程為；
（2）若直線的斜率存在，方程可設為，即
圓心到直線的距離為，解得，
所求的一條切線為；
當直線的斜率不存在時，圓心到的距離為4，即與圓相切，
所以直線的方程為和．
考點五 弦長問題
例21．（2022秋·廣東江門·高三江門市培英高級中學校考期中）直線與圓C：相交于A，B兩點，若∠ACB＝120°，則_____．
【答案】/
【分析】求得圓心和半徑r，在中，由余弦定理計算可得，由圓和直線相交的弦長公式可得C到直線的距離d，再由點到直線的距離公式，解方程可得a的值．
【詳解】，即，
所以圓C的圓心C（1，1），半徑為r＝2.
由中，，，可得.
設圓心C到直線的距離為d，可得222，即d＝1，
則1，解得a.
故答案為：．
例22．（2022-2023學年福建省福州市八縣（市）協作校高三下學期期中聯考數學試題）（多選）已知圓，直線，則（ ）
A．直線與圓C相交
B．直線過定點（2，1）
C．圓C被y軸截得的弦長為
D．圓C被直線截得的弦長最短時，直線的方程為x=1
【答案】ACD
【分析】先考慮直線過定點，再判斷該點在圓的內部，故可判斷AB，利用弦長公式結合圓心到直線的距離可判斷D的正誤，在圓的方程中令后可求圓C被y軸截得的弦長，故可判斷B的正誤.
【詳解】可整理為，
令，則，故直線過定點，故B錯誤.
因為，故定點在圓的內部，故直線與圓C相交，
故A正確.
在圓的方程中令，則即，
故圓C被y軸截得的弦長為，故C正確.
因為直線過定點，該定點與圓心的距離為，
故圓心到直線的距離，
故圓C被直線截得的弦長為，
當且僅當時等號成立，此時定點與圓心連線的斜率為0，
該連線垂直于直線，故直線的方程為，故D正確.
故選：ACD.
例23．（2023秋·浙江嘉興·高三統考期末）已知圓經過點、，圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)若直線與圓相交于、兩點，，求實數的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直線的中垂線方程聯立直線方程即可得圓心坐標，進而可求半徑，即可求出圓的方程；
（2）由可得點到直線的距離為1，由點到直線的距離公式即可列方程求解.
【詳解】（1）的中點為，斜率，
則直線的中垂線為
聯立，解得，
即，
圓的方程為.
（2）由于，點到直線的距離，
即，解得
例24．（2023·全國·高三對口高考）已知圓，M是y軸上的動點，MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點，
(1)如果點M的坐標為，求直線MA、MB的方程；
(2)求面積的最大值．
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【分析】（1）利用直線MA、MB到圓心距離為半徑可求出相應直線方程；
（2）設M，利用兩圓方程相減可得直線方程，后利用其分別得到，AB邊上高關于的表達式，即可得答案.
【詳解】（1）由題意可知顯然切線斜率存在，故設過點的圓C的切線方程為，則圓心C到切線距離等于半徑1，即或.
則直線MA方程為，MB的方程為.或直線MA方程為，MB的方程為.
（2）設M，因MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點，
則，則以M為圓心，為半徑的圓的方程為：，將其與圓C方程相減得直線AB方程：.則中，AB邊上的高，即C到直線AB距離為：，
則由垂徑定理，，
則，注意到函數在上單調遞增，，則，當且僅當時取等號.
則面積的最大值為.
例25．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學校考期末）若直線與圓交于，兩點，當最小時，劣弧的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化簡直線方程化為，得到直線恒過定點，結合圓的性質和圓的弦長公式，即可求解.
【詳解】由題意，直線可化為，
當且，即且時，等式恒成立，
所以直線恒過定點，
由圓的方程知，圓心為，半徑，
當直線時，取得最小值，且最小值為，
如圖，
此時弦長對的圓心角一半的正切值為，故圓心角為，
所以劣弧長為.
故選：B.
考點六 與圓有關的最值問題
例26．（2023·河北·校聯考一模）直線與圓相切，則的最大值為（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
【答案】C
【分析】利用圓與直線的位置關系得出的方程，根據方程分析利用表示的幾何意義求解即可.
【詳解】由直線與圓相切可得：
圓心到直線的距離等于圓的半徑，
即，
故，即點在圓O上，
的幾何意義為圓上的點與點之間距離的平方，
由圓心為，
因為，
所以點在圓外，
所以點到點的距離的最大值為圓心到的距離與圓半徑之和，
即，
所以的最大值為.
故選：C.
例27．（2022·全國·高三專題練習）已知實數x，y滿足方程，則
（1）的最大值和最小值分別為________和________；
（2）y－x的最大值和最小值分別為________和________；
（3）的最大值和最小值分別為_______和_______．
【答案】 / / / /
【分析】將圓的方程化為標準形式，得圓心坐標和半徑，利用設＝k，利用的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，可求出的最大值和最小值；將y－x看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距．利用直線與圓相切可求出y－x的最大值和最小值；將x2＋y2看成圓上的一點與原點距離的平方，利用平面幾何知識知可求出的最大值和最小值.
【詳解】原方程可化為，表示以（2，0）為圓心，為半徑的圓．
（1）的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設＝k，即y＝kx，
當直線y＝kx與圓相切時（如圖），斜率k取最大值或最小值，此時，解得k＝±.
所以的最大值為，最小值為－.
（2）y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距．如圖所示，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b＝－2±，
所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
（3）表示圓上的一點與原點距離的平方．由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．
又圓心到原點的距離為2，所以的最大值是，的最小值是.
故答案為：（1）；（2）；（3）；.
例28．（2023·山西太原·太原五中校考一模）直線分別與軸 軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】首先由直線方程求得坐標，得到；利用點到直線距離公式求得圓心到直線的距離，從而得到點到直線距離的范圍，利用三角形面積公式可求得結果.
【詳解】因為直線分別與軸 軸交于兩點，
所以，
所以
圓的圓心的坐標為，半徑，
所以圓心到直線距離，
所以到直線距離，即，
.
故答案為：.
例29．（2023春·上海徐匯·高三上海民辦南模中學校考階段練習）若，則的最小值為______.
【答案】
【分析】由方程表示的圖形的幾何意義以及所求代數式的幾何意義畫出圖形可求出最小值.
【詳解】解：曲線表示的是以點為圓心，以為半徑的圓，
表示點到點的距離，
表示點到直線的距離，設點在直線上的射影點為，
則，
當且僅當、、三點共線且點為線段與圓的交點時，等號成立，

故的最小值為.
故答案為：.
例30．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設切點為，若線段長度的最小值為，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，則，可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實數m的值.
【詳解】圓，設，
則，則，，
則，所以圓心到直線的距離是，
，得，．
故選：A．
考點七 圓與圓的位置關系
例31．（2023秋·浙江嘉興·高三統考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意得到，再解不等式即可.
【詳解】由題知：，，，，
.
因為和有公共點，所以，
解得.
故選：C
例32．（2022秋·福建寧德·高三統考期中）圓與圓的位置關系是（ ）
A．相切 B．相交 C．內含 D．外離
【答案】B
【分析】根據給定條件，求出兩圓的圓心和半徑，并計算兩圓的圓心距即可判斷作答.
【詳解】圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
于是，
所以兩圓相交.
故選：B
例33．（2023·山東濰坊·三模）已知圓，與圓總相切的圓的方程是_________．
【答案】
【分析】根據圓標準方程可知圓心軌跡，由圓心軌跡與圓軌跡可確定圓上總有點與原點距離為4即可求出圓的方程.
【詳解】圓標準方程為，
圓的圓心為，半徑為2，
由圓心坐標可知圓心軌跡是以原點為圓心，半徑為2的圓，
故圓上總有點與原點距離為4，由圓的標準方程可知圓的方程是：.
故答案為：.
例34．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學校校考開學考試）已知圓O：與圓相交于M，N兩點，點P的坐標為．若圓經過M，N，P三點，則的方程為________．
【答案】
【分析】聯立方程求M，N兩點的坐標，法一：根據幾何性質可得圓心C2在x軸上，設結合圓的定義運算求解；法二：設圓，代入點，列方程求解.
【詳解】聯立方程，解得或，
故M，N兩點的坐標為．
法一：可得關于軸對稱，即線段的中垂線為軸，故所求的圓的圓心C2在x軸上，
設，點P的坐標為，
∵，即，求得m＝5，
故要求的圓的圓心，半徑為，
故要求的圓的方程為．
法二：設圓，且點P的坐標為，
代入點，可得，解得，
故要求的圓的方程為，即．
故答案為：.
例35．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圓和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】根據條件，將問題轉化成圓與圓C有公共交點，再利用圓與圓的位置關系即可求出結果.
【詳解】由，得點P在圓上，故點P在圓上，又點P在圓C上，所以，兩圓有交點，
因為圓的圓心為原點O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為1，
所以，又，所以，
解得，所以a的最小值為4.
故選：C.
考點八 圓的公共弦和公共切線
例36．（2022秋·河南·高三校聯考階段練習）已知圓與圓相交于兩點，點位于軸上方，且兩圓在點處的切線相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直線與圓 圓分別切于兩點，求的最大值.
【答案】(1)
(2)最大值為3
【分析】（1）根據切線的性質構造直角三角形，結合勾股定理求解；
（2）平移公切線構造直角三角形，由勾股定理結合基本不等式求解的最大值.
（1）
如圖，由題意可知與圓相切，與圓相切，
且，
故，
即.
（2）
作于點H，連接PQ，
在中，，
其中，
故，
又，當且僅當時取等號，
故，
即的最大值為3.
例37．（2021秋·廣東深圳·高三深圳中學校考期中）已知圓C的圓心為，且與直線相切．
(1)求圓C的方程；
(2)求圓C與圓的公共弦的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意求得圓的半徑，即可求得答案；
（2）將兩圓方程相減，求出兩圓的公共弦方程，根據弦長、弦心距以及圓的半徑之間的關系即可求得答案.
【詳解】（1）由題意得圓C的半徑為，
故圓C的方程為；
（2）圓和的圓心距為，
而，即兩圓相交，
將和相減得，
圓的圓心到的距離為，
故兩圓的公共弦長為.
例38．（2022-2023學年江蘇省鹽城市高三下學期6月期末數學試題）在坐標平面內，與點距離為，且與點距離為的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】A
【分析】判斷以點為圓心，為半徑的圓與以點為圓心，為半徑的圓的位置關系，即可判斷.
【詳解】當直線的斜率不存在時，直線滿足與點距離為，且與點距離為，
以點為圓心，為半徑的圓的方程為，
以點為圓心，為半徑的圓的方程為，
因為，則兩圓相內切，
故兩圓的公切線有且僅有條，即，
故在坐標平面內，與點距離為，且與點距離為的直線共有條.
故選：A
例39．（2022秋·高三單元測試）（多選）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】在同一坐標系內畫出兩圓圖象，由兩圓相離可知共有4條切線，再利用對稱性設出直線方程，由點到直線距離公式即可求得切線方程.
【詳解】根據題意可知，兩圓心關于原點對稱，
在同一坐標系內畫出兩圓圖象，如下圖所示：

顯然，圓心距，即兩圓外離，共有4條切線；
又兩圓心到軸的距離都等于其半徑，所以軸是其中一條公切線，即A正確；
利用對稱性可知，其中一條切線過原點，設其方程為，
又到切線的距離為1，即，解得或；
當時，切線即為軸，當時，切線方程為，即，B正確；
由對稱性可知，切線與直線平行，
易知，所以直線的方程為，
可設的方程分別為，
由兩平行線間距離公式可得，解得，
即切線的方程分別為，；
整理可得兩切線方程為和，故C正確，D錯誤；
故選：ABC
例40．（2022秋·廣東惠州·高三惠州市惠陽高級中學實驗學校校考期中）（多選）圓與圓相交于，兩點，則（ ）
A．的直線方程為 B．公共弦的長為
C．圓與圓的公切線長為 D．線段的中垂線方程為
【答案】ACD
【分析】對于A，兩圓方程相減可求出直線的方程，對于B，利用弦心距、弦和半徑的關系可求公共弦的長，對于C，求出，再由可求得結果，對于D，線段的中垂線就是直線，求出直線的方程即可.
【詳解】由，得，則，半徑，
由，得，則，半徑，
對于A，公共弦所在的直線方程為，
即，所以A正確，
對于B，到直線的距離，
所以公共弦的長為，所以B錯誤，
對于C，因為，，，
所以圓與圓的公切線長為，所以C正確，
對于D，根據題意可知線段的中垂線就是直線，因為，
所以直線為，即，所以D正確，
故選：ACD
一、單選題
1．（2023春·廣西·高三統考階段練習）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據直線過圓心代入求解即可.
【詳解】由題意得，圓心為，
因為直線是圓的一條對稱軸，
所以直線過圓心，即，解得.
故選：D
2．（2023秋·浙江麗水·高二統考期末）若圓與圓外切，則實數（ ）
A．－1 B．1 C．1或4 D．4
【答案】D
【分析】由兩圓的位置關系計算即可.
【詳解】由條件化簡得，即兩圓圓心為，
設其半徑分別為，，所以有.
故選：D
3．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學校考期末）方程表示一個圓，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】運用配方法，結合圓的標準方程的特征進行求解即可.
【詳解】由，得，
解得.
故選：B
4．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖（單位：）所示，四邊形為矩形，均與圓相切，為切點，零件的截面段為圓的一段弧，已知，則該零件的截面的周長為（ ）cm（結果保留）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以A為原點，建立直角坐標系，根據圓心到直線、直線、直線距離均相等,利用點到直線的距離公式列式，計算出的長，即得.
【詳解】以A為原點，為x軸正方向建立平面直角坐標系如圖所示：
則，又，
所以直線的方程為：即，直線的方程為：即，直線的方程為：，
設圓心為O，則圓心到直線、直線、直線的距離均相等且等于，則，
解得：，，，
所以，，，
由題可知，即，
所以可得，，對應弧長為圓的周長，
故該零件的截面的周長為（cm）
故選：A.
5．（2022·高三課時練習）已知在某濱海城市A附近的海面出現臺風活動，據監測，目前臺風中心位于城市A的東偏南60°方向，距城市A300km的海面點P處，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移動．已知該臺風影響的范圍是以臺風中心為圓心的圓形區域，半徑為km．則城市A受臺風影響的時間為（ ）
A．5h B．h C．h D．4h
【答案】B
【分析】先求得臺風中心距離城市A的最短距離，再利用直線截圓的弦長即可求得城市A受臺風影響的時間
【詳解】如圖，，，臺風中心沿方向以的速度移動，
臺風中心距離城市A的最短距離為
又臺風中心為圓心的圓形區域，半徑為km．
則臺風中心在以城市A為圓心半徑為km的圓內時，城市A受臺風影響
以城市A為圓心半徑為km的圓截直線所得弦長為
km
則城市A受臺風影響的時間為
故選：B
6．（2023·浙江·校聯考三模）在平面直角坐標系上，圓，直線與圓交于兩點，，則當的面積最大時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用點到直線距離公式表示出圓心到直線距離，并由的范圍確定的范圍；利用垂徑定理表示出，由，根據基本不等式取等條件可構造方程求得結果.
【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，
則圓心到直線的距離，
，，，
，
（當且僅當時取等號），
則當的面積最大時，，又，解得：.
故選：C.
7．（2022秋·高三單元測試）過點，且與兩坐標軸同時相切的圓的方程是（ ）
A．或
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根據題意可知，圓心橫縱坐標的絕對值相等即為半徑，再由兩點間距離公式解方程即可求得結果.
【詳解】由題意可得，圓心到兩坐標軸的距離相等，且為半徑，
所以圓心一定在直線或上；
當圓心在上時，不妨設圓心坐標為，半徑為，則，
且圓心到的距離為，即
解得或，
所以圓心為時，半徑，圓的方程為；
圓心為時，半徑為，圓的方程為；
當圓心在上時，不妨設圓心坐標為，半徑為，
且，即，此時方程無解；
所以圓的方程為或.如下圖所示：

故選：A
8．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末）已知方程有兩個不等的實根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據據題意轉化為有兩個不相等的實數解，結合圓的性質，即可求解.
【詳解】關于的方程有兩個不等的實數解，即有兩個不相等的實數解，
即函數與的圖象有兩個交點，
因為是以為圓心，1為半徑的上半圓（除去點），
又因為是過定點的直線，
由圖可知，當直線在和之間時符合要求，
當直線為時，，
當直線為時，由點到直線的距離等于半徑可得（正值舍去），
所以實數的取值范圍是.
故選：D．
二、多選題
9．（2023·湖南·校聯考二模）已知點在圓上，點在圓上，則（ ）
A．兩圓外離 B．的最大值為9
C．的最小值為1 D．兩個圓的一條公切線方程為
【答案】ABC
【分析】將兩圓的方程化為標準方程，求出兩圓的圓心和半徑，再逐項分析.
【詳解】圓的圓心坐標，半徑，
圓，即的圓心坐標，半徑，
所以圓心距，
因為，所以兩圓外離．故A正確；
因為在圓上，在圓上，所以，故B、C正確；
因為圓心到直線的距離，所以不是兩圓公切線，故D錯誤；
故選：ABC．
10．（2022秋·福建寧德·高三統考期中）已知點在圓上，點分別為直線 與軸，軸的交點，則下列結論正確的是 （ ）
A．直線與圓相切 B．圓截軸所得的弦長為
C．的最大值為 D．的面積的最小值為
【答案】ACD
【分析】求得圓的圓心，半徑，以及，根據，可判定A正確；由圓的弦長公式，可判定B不正確；求得，得到的最大值為，可判定C正確；求得圓心到直線的距離為，求得最小距離，結合面積公式，可判定D正確.
【詳解】由圓，可得，可得圓心，半徑為，
因為點分別為直線與軸、軸的交點，可得，
對于A中，因為圓心到直線的距離為，所以A正確；
對于B中，由圓截軸的弦長為，所以B不正確；
對于C中，點在圓上，且，其中，所以的最大值為，所以C正確；
對于D中，因為圓心到直線的距離為，
則圓上點到直線的最小距離為，
因為，所以的面積的最小值為，所以D正確.
故選：ACD.
11．（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）設，過定點的直線與過定點的直線相交于點，線段是圓的一條動弦，且，給出下列四個結論：其中所有正確結論的序號是（ ）
A．一定垂直
B．的最大值為4
C．點的軌跡方程為
D．的最小值為
【答案】AB
【分析】A選項，根據兩直線垂直滿足的關系式進行判斷；B選項，求出和，由⊥，得到，再結合基本不等式得到答案；C選項，分析得到，點的軌跡為以為直徑的圓，求出軌跡方程；D選項，設的中點為，求出，得到點軌跡方程，進而得到的最小值為圓心距減去兩半徑，結合求出答案.
【詳解】A選項，因為，所以一定垂直，A正確；
B選項，變形得到，從而，
變形得到，從而，
由⊥，由勾股定理得，
由基本不等式可得，故，
當且僅當時，等號成立，故B正確；
C選項，由B可知，點的軌跡為以為直徑的圓，其中線段的中點坐標為，半徑為，
故軌跡方程為，C錯誤；
D選項，的圓心為，半徑為2，
設的中點為，由垂徑定理得，

故點的軌跡方程為，
因為點軌跡方程為，
則的最小值為圓心距減去兩半徑，即，
其中，
所以的最小值為，D錯誤.
故選：AB
12．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）點是直線上的一個動點，，是圓上的兩點．則（ ）
A．存在，，，使得
B．若，均與圓相切，則弦長的最小值為
C．若，均與圓相切，則直線經過一個定點
D．若存在，，使得，則點的橫坐標的取值范圍是
【答案】BCD
【分析】根據幾何知識得到當直線，與圓相切且最小時最大，然后求的最大值即可判斷A選項；利用等面積的思路得到，然后求的最小值即可得到弦長的最小值，即可判斷B選項；根據圓的定義得到，是以為直徑的圓上的兩點又是圓上的兩點，然后讓兩圓的方程相減得到直線的方程即可得到直線過定點，即可判斷C選項；根據存在，，使得得到，然后求時點的橫坐標，即可得到點的橫坐標的取值范圍，即可判斷D選項.
【詳解】
由圖可知，當直線，與圓相切且點在軸上時最大，
此時，，，，
所以最大時是銳角，故A錯；
，所以，
則當最小時，弦長最小，，所以，故B正確；
設點，，是以為直徑的圓上的兩點，圓的方程為，
即①，又，是圓②上的兩點，
所以直線的方程為②-①：，過定點，故C正確；
若存在，，使得，則，
當直線，與圓相切時，最大，對應的余弦值最小，
當直線，與圓相切，且時，，，
因為，所以，則，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
13．（2023春·江蘇揚州·高三統考開學考試）若直線與圓相交于兩點，則弦的長為______．
【答案】
【分析】由圓的方程可得圓心和半徑，利用垂徑定理可求得結果.
【詳解】由圓的方程得：圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
.
故答案為：.
14．（2023秋·河北滄州·高三統考期末）已知，圓的圓心為，過點的圓的切線長是半徑的2倍，則圓截直線所得的弦長為__________．
【答案】
【分析】設半徑為，再根據得，進而結合圓中的弦長公式求解即可.
【詳解】解：由題知，設半徑為，因為過點的圓的切線長是半徑的2倍，
所以，，解得，
所以，圓心到直線的距離，
所以弦長為．
故答案為：
15．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）過直線上的任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則點到直線距離的最大值為_____________.
【答案】/
【分析】設，分析得到，，，四點在以為直徑的圓上，求出圓方程和方程，再利用數形結合分析求解.
【詳解】設，則，所以.
由幾何性質知,
所以，，，四點在以為直徑的圓上，
設圓上任意一點坐標為，則，
所以，當時，也成立.
即圓方程為，即，
把圓和圓方程相減得.
故直線的方程為.
所以是以原點為圓心、1為半徑的圓上的點，
故點到直線的距離的最大值為.
（當時取等）
故答案為：

16．（2023春·上海浦東新·高三上海市進才中學校考階段練習）已知平面向量中，且．則的最大值為_____________．
【答案】/
【分析】根據題意可設，再利用可得，寫出的表達式利用幾何意義即可求得.
【詳解】由且，
不妨設，又因為，
不妨設，則，
又，即；
所以的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
而表示與之間的距離，
顯然圓心與之間的距離為，
所以可得，即的最大值為.
故答案為：
四、解答題
17．（2022秋·福建漳州·高三統考期末）如圖，已知圓和點，由圓外一點向圓引切線，切點為，且有.
(1)求點的軌跡方程；
(2)若以點為圓心所作的圓與圓有公共點，試求出其中半徑最小的圓的方程；
(3)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設，根據切線性質與勾股定理列式，結合已知即可得出，整理即可得出答案；
（2）設圓的半徑為，根據圓與圓的位置關系得出與的不等關系式，結合小問一點的軌跡方程即可得出，得出其最小值，即可得出點坐標與半徑最小值，即可得出答案；
（3）設關于直線的對稱點為，根據點關于直線對稱點的求法得出，根據已知結合幾何關系得出，即可計算得出答案.
【詳解】（1）設，
為切點，
，
由勾股定理有，
又，
，整理得.
點的軌跡方程為：；
（2）設圓的半徑為，圓與圓有公共點，圓的半徑為1，，即且，
而，
故當時，. （也可以通過求點到直線的距離得到）
此時，，
故半徑取最小值時圓的方程為：.
（3）
設關于直線的對稱點為，
解，
，（也可以利用是的中點，得到）
，
當三點共線時，取得等號.
則的最大值為.
18．（2022秋·江西贛州·高三統考期末）已知圓A的圓心為，且__________.在下列所給的三個條件中任選一個，填在橫線上，并完成解答（注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.①與直線相切；②與圓相外切；③經過直線與直線的交點.
(1)求圓A的方程；
(2)設直線，試求k為何值時，直線l截圓A所得弦的弦長最小，并求弦長最小值.
【答案】(1)
(2)時，直線l截圓A所得弦的弦長最小，且最小值為.
【分析】（1）根據所選條件求得圓的半徑，進而求得圓的方程.
（2）根據直線l截圓A所得弦的弦長最小求得，進而求得弦長的最小值.
【詳解】（1）設圓的半徑為，
若選條件①，圓與直線相切，
所以到直線的距離是圓的半徑，
所以半徑，
所以圓的方程為.
若選條件②，與圓相外切，
圓的圓心為，半徑為，
所以，所以，
所以圓的方程為.
若選條件③，經過直線與直線的交點，
，
所以，
所以圓的方程為.
（2）直線恒過定點，
由于，所以在圓內部，所以直線與圓相交，
根據圓的幾何性質可知，當直線時，直線截圓所得弦的弦長最小，
，所以.
圓心到直線的距離，
所以當時，直線截圓所得弦長為.
19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考階段練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：“平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，，點滿足.
(1)求的軌跡方程；
(2)設圓是以為直徑的圓，求證圓與圓相交，并求公共弦所在的直線方程.
【答案】(1)
(2)證明見解析；公共弦所在直線方程為.
【分析】（1）根據阿波羅尼斯圓的定義，利用兩點間距離公式代入整理變形即可得的軌跡方程為；
（2）易知圓心距，且滿足，即可證明兩圓相交，將兩圓方程相減即可得公共弦所在直線方程為.
【詳解】（1）設點的坐標為，
又，，且，即
整理可得；
所以的軌跡方程為.
（2）易知的中點，，
所以圓的圓心為，半徑為，
即圓的方程為.
由（1）可知，圓是以為圓心，半徑的圓；
圓與圓的圓心距，
易知，
根據兩圓位置關系即可知圓與圓相交；
將的方程與圓的方程相減即可得公共弦方程，
即；
所以圓與圓的公共弦所在的直線方程為.
20．（2023秋·山西晉中·高三統考期末）如圖，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形（長、寬分別為、）和圓弧構成，截面總高度為，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在堅直方向上高度之差至少要有米，已知行車道總寬度.

(1)試建立恰當的坐標系，求出圓弧所在圓的一般方程；
(2)車輛通過隧道的限制高度為多少米？
【答案】(1)答案見解析
(2)米
【分析】（1）以拋物線的頂點為坐標原點，的方向為軸的正方向建立平面直角坐標系，分析可知點在圓上，求出的等式，解之即可；
（2）將的方程代入圓的方程，求出值，結合題意可求得車輛通過隧道的限制高度.
【詳解】（1）解：以拋物線的頂點為坐標原點，的方向為軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，

故圓心在軸上，原點在圓上，可設圓的一般方程為
易知，點在圓上，將的坐標代入圓的一般方程得，
則該圓弧所在圓的一般方程為.
（2）解：令代入圓的方程得，得或（舍），
由于隧道的總高度為米，且（米），
因此，車輛通過隧道的限制高度為米.
21．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學校考期末）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.
(1)求圓的方程；
(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出圓心的坐標和圓的半徑，即得解；
（2）設點，，由得，代入圓的方程即得解.
【詳解】（1）由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，
它與軸的交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；
（2）設，，由，得，
所以，又點在圓上，故，
所以，化簡得的軌跡方程為
22．（廣西壯族自治區河池市2022-2023學年高三上學期2月期末數學試題）已知圓與圓關于直線對稱.
(1)求圓的標準方程；
(2)直線與圓相交于兩點，且的外接圓的圓心在內部，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，由題意可得，解方程即可得出答案.
（2）由題意可得是銳角三角形，令到的距離為，則，由點到直線的距離公式代入求解即可得出答案.
【詳解】（1）設，則，
解得
所以圓的標準方程為；
（2）因為的外接圓的圓心在內部，
所以是銳角三角形，
又是以為腰的等腰三角形，
，
令到的距離為，則，
，
解得：.
高考數學專題圓的方程考點考題考向高分透析（原卷版）
考點一 求圓的方程
考點二 圓的對稱問題
考點三 點、直線與圓位置關系的判斷
考點四 切線和切線長問題
考點五 弦長問題
考點六 與圓有關的最值問題
考點七 圓與圓的位置關系
考點八 圓的公共弦和公共切線
一、圓的方程
圓的標準方程 圓的一般方程
定義 在平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓，確定一個圓最基本的要素是_____和_____
方程
圓心 _____
半徑 _____
注：當時，方程表示一個點；
當_____時，方程沒有意義，不表示任何圖形．
二、直線與圓的位置關系的判斷方法
判斷方法 幾何法 由圓心到直線的距離與半徑長的大小關系來判斷 代數法 聯立直線與圓的方程，消元后得到關于（或）的一元二次方程，根據一元二次方程的解的個數來判斷
相離 _____
相切 _____
_____
三、圓與圓位置關系的兩種判斷方法
（1）幾何法：由兩圓的圓心距d與半徑長的關系來判斷（如下圖，其中）．
圖示
d與的關系 _____ _____
位置關系 外離 外切 相交 _____ 內含
（2）代數法：設圓①，圓②，
聯立①②，
如果該方程組沒有實數解，那么兩圓相離；
如果該方程組有兩組相同的實數解，那么兩圓_____；
如果該方程組有兩組_____的實數解，那么兩圓相交．
四、兩圓相交時公共弦所在直線的方程
設圓①，圓②，
若兩圓相交，則有一條公共弦，由，得_____③．
方程③表示圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程．
考點一 求圓的方程
例1．（2023春·上海楊浦·高二統考期末）以為圓心，且經過的圓的方程是____________.
例2．（2022秋·高三課時練習）圓過點、，求面積最小的圓的一般方程為________________．
例3．（2022秋·高三課時練習）若圓的圓心到直線的距離為，則實數a的值為（ ）
A．0或2 B．0或-2
C．0或 D．-2或2
例4．（2022秋·高三課時練習）過三點的圓交于軸于兩點，則＝（ ）
A． B．8 C． D．10
例5．（2022秋·高三校考課時練習）已知圓經過點和，該圓與兩坐標軸的四個截距之和為，求圓的方程.
考點二 圓的對稱問題
例6．（2021秋·高三課時練習）（多選）已知圓關于直線對稱，則下列結論正確的是（ ）
A．圓的圓心是
B．圓的半徑是2
C．
D．的取值范圍是
例7．（2022秋·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學校校考期中）已知圓與圓關于直線對稱，則直線方程______．
例8．（2022秋·廣東東莞·高二統考期末）曲線圍成的圖形的面積為___________.
例9．（2022秋·河北滄州·高三統考階段練習）已知點M的坐標為（2，0），AB是圓O：的一條直徑，則______．
例10．（2023春·河北唐山·高三開灤第一中學校考階段練習）已知圓關于直線對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．2
考點三 點、直線與圓位置關系的判斷
例11．（2022秋·高三課時練習）(多選)下列各點中，不在圓的外部的是（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2023秋·高三課時練習）若直線與圓相交，則（ ）
A． B． C． D．
例13．（2022秋·河北邯鄲·高二校考階段練習）若點在圓內，則實數的取值范圍為________.
例14．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）已知 ，直線 ，若l與⊙O相離，則（ ）
A．點 在l上 B．點在上
C．點在 內 D．點在外
例15．（2023春·廣西柳州·高三柳州市第三中學校考開學考試）已知圓及直線，則直線l與圓C的位置關系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
考點四 切線和切線長問題
例16．（2023·天津武清·天津市武清區楊村第一中學校考模擬預測）已知點，，經過點作圓的切線與軸交于點，則________．
例17．（2023屆高三上學期12月期末數學試題）已知圓與直線相切，且與軸切于點，則圓的方程為__________．
例18．（2023秋·高三課時練習）從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．6
例19．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學校考期末）由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為______.
例20．（2023秋·浙江麗水·高三統考期末）已知圓經過點和，且圓關于直線對稱．
(1)求圓的方程；
(2)過點作直線與圓相切，求直線的方程．
考點五 弦長問題
例21．（2022秋·廣東江門·高三江門市培英高級中學校考期中）直線與圓C：相交于A，B兩點，若∠ACB＝120°，則_____．
例22．（2022-2023學年福建省福州市八縣（市）協作校高三下學期期中聯考數學試題）（多選）已知圓，直線，則（ ）
A．直線與圓C相交
B．直線過定點（2，1）
C．圓C被y軸截得的弦長為
D．圓C被直線截得的弦長最短時，直線的方程為x=1
例23．（2023秋·浙江嘉興·高三統考期末）已知圓經過點、，圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)若直線與圓相交于、兩點，，求實數的值.
例24．（2023·全國·高三對口高考）已知圓，M是y軸上的動點，MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點，
(1)如果點M的坐標為，求直線MA、MB的方程；
(2)求面積的最大值．
例25．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學校考期末）若直線與圓交于，兩點，當最小時，劣弧的長為（ ）
A． B． C． D．
考點六 與圓有關的最值問題
例26．（2023·河北·校聯考一模）直線與圓相切，則的最大值為（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
例27．（2022·全國·高三專題練習）已知實數x，y滿足方程，則
（1）的最大值和最小值分別為________和________；
（2）y－x的最大值和最小值分別為________和________；
（3）的最大值和最小值分別為_______和_______．
例28．（2023·山西太原·太原五中校考一模）直線分別與軸 軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是___________.
例29．（2023春·上海徐匯·高三上海民辦南模中學校考階段練習）若，則的最小值為______.
例30．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設切點為，若線段長度的最小值為，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．
考點七 圓與圓的位置關系
例31．（2023秋·浙江嘉興·高三統考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例32．（2022秋·福建寧德·高三統考期中）圓與圓的位置關系是（ ）
A．相切 B．相交 C．內含 D．外離
例33．（2023·山東濰坊·三模）已知圓，與圓總相切的圓的方程是_________．
例34．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學校校考開學考試）已知圓O：與圓相交于M，N兩點，點P的坐標為．若圓經過M，N，P三點，則的方程為________．
例35．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圓和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
考點八 圓的公共弦和公共切線
例36．（2022秋·河南·高三校聯考階段練習）已知圓與圓相交于兩點，點位于軸上方，且兩圓在點處的切線相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直線與圓 圓分別切于兩點，求的最大值.
例37．（2021秋·廣東深圳·高三深圳中學校考期中）已知圓C的圓心為，且與直線相切．
(1)求圓C的方程；
(2)求圓C與圓的公共弦的長．
例38．（2022-2023學年江蘇省鹽城市高三下學期6月期末數學試題）在坐標平面內，與點距離為，且與點距離為的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
例39．（2022秋·高三單元測試）（多選）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
例40．（2022秋·廣東惠州·高三惠州市惠陽高級中學實驗學校校考期中）（多選）圓與圓相交于，兩點，則（ ）
A．的直線方程為 B．公共弦的長為
C．圓與圓的公切線長為 D．線段的中垂線方程為
一、單選題
1．（2023春·廣西·高三統考階段練習）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·浙江麗水·高二統考期末）若圓與圓外切，則實數（ ）
A．－1 B．1 C．1或4 D．4
3．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學校考期末）方程表示一個圓，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習）某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖（單位：）所示，四邊形為矩形，均與圓相切，為切點，零件的截面段為圓的一段弧，已知，則該零件的截面的周長為（ ）cm（結果保留）
A． B． C． D．
5．（2022·高三課時練習）已知在某濱海城市A附近的海面出現臺風活動，據監測，目前臺風中心位于城市A的東偏南60°方向，距城市A300km的海面點P處，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移動．已知該臺風影響的范圍是以臺風中心為圓心的圓形區域，半徑為km．則城市A受臺風影響的時間為（ ）
A．5h B．h C．h D．4h
6．（2023·浙江·校聯考三模）在平面直角坐標系上，圓，直線與圓交于兩點，，則當的面積最大時，（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·高三單元測試）過點，且與兩坐標軸同時相切的圓的方程是（ ）
A．或
B．
C．
D．
8．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末）已知方程有兩個不等的實根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2023·湖南·校聯考二模）已知點在圓上，點在圓上，則（ ）
A．兩圓外離 B．的最大值為9
C．的最小值為1 D．兩個圓的一條公切線方程為
10．（2022秋·福建寧德·高三統考期中）已知點在圓上，點分別為直線 與軸，軸的交點，則下列結論正確的是 （ ）
A．直線與圓相切 B．圓截軸所得的弦長為
C．的最大值為 D．的面積的最小值為
11．（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）設，過定點的直線與過定點的直線相交于點，線段是圓的一條動弦，且，給出下列四個結論：其中所有正確結論的序號是（ ）
A．一定垂直
B．的最大值為4
C．點的軌跡方程為
D．的最小值為
12．（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）點是直線上的一個動點，，是圓上的兩點．則（ ）
A．存在，，，使得
B．若，均與圓相切，則弦長的最小值為
C．若，均與圓相切，則直線經過一個定點
D．若存在，，使得，則點的橫坐標的取值范圍是
三、填空題
13．（2023春·江蘇揚州·高三統考開學考試）若直線與圓相交于兩點，則弦的長為______．
14．（2023秋·河北滄州·高三統考期末）已知，圓的圓心為，過點的圓的切線長是半徑的2倍，則圓截直線所得的弦長為__________．
15．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）過直線上的任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則點到直線距離的最大值為_____________.
16．（2023春·上海浦東新·高三上海市進才中學校考階段練習）已知平面向量中，且．則的最大值為_____________．
四、解答題
17．（2022秋·福建漳州·高三統考期末）如圖，已知圓和點，由圓外一點向圓引切線，切點為，且有.
(1)求點的軌跡方程；
(2)若以點為圓心所作的圓與圓有公共點，試求出其中半徑最小的圓的方程；
(3)求的最大值.
18．（2022秋·江西贛州·高三統考期末）已知圓A的圓心為，且__________.在下列所給的三個條件中任選一個，填在橫線上，并完成解答（注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.①與直線相切；②與圓相外切；③經過直線與直線的交點.
(1)求圓A的方程；
(2)設直線，試求k為何值時，直線l截圓A所得弦的弦長最小，并求弦長最小值.
19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考階段練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：“平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，，點滿足.
(1)求的軌跡方程；
(2)設圓是以為直徑的圓，求證圓與圓相交，并求公共弦所在的直線方程.
20．（2023秋·山西晉中·高三統考期末）如圖，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形（長、寬分別為、）和圓弧構成，截面總高度為，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在堅直方向上高度之差至少要有米，已知行車道總寬度.

(1)試建立恰當的坐標系，求出圓弧所在圓的一般方程；
(2)車輛通過隧道的限制高度為多少米？
21．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學校考期末）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.
(1)求圓的方程；
(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.
22．（廣西壯族自治區河池市2022-2023學年高三上學期2月期末數學試題）已知圓與圓關于直線對稱.
(1)求圓的標準方程；
(2)直線與圓相交于兩點，且的外接圓的圓心在內部，求的取值范圍.

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