資源簡介

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專題4.2　拋體運(yùn)動
1.物理觀念：平拋運(yùn)動、斜拋運(yùn)動。
(1)掌握平拋運(yùn)動的規(guī)律，會用運(yùn)動的合成與分解方法分析平拋運(yùn)動。
(2)會處理平拋運(yùn)動中的臨界、極值問題。
(3)能定性分析斜拋運(yùn)動。
2.科學(xué)思維：平拋斜面、圓弧面模型。
(1)知道常見的四類斜面平拋模型并能區(qū)分不同類型的斜面傾角的物理含義。
(2)會利用運(yùn)動合成與分解的思想分析幾種常見的平拋圓弧組合模型。
3.科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：平拋運(yùn)動在生活實際中的應(yīng)用。
能將具體問題情景通過構(gòu)建物理模型轉(zhuǎn)化為物理問題進(jìn)而應(yīng)用物理規(guī)律來解決，以此提升分析推理能力和模型構(gòu)建能力。
【知識點一】平拋運(yùn)動基本規(guī)律的應(yīng)用
1．飛行時間
由t＝知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)．
2．水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素?zé)o關(guān)．
3．落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度與水平正方向的夾角，有tan θ＝＝，落地速度與初速度v0和下落高度h有關(guān)．
4．速度改變量
因為平拋運(yùn)動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運(yùn)動的物體在任意相等時間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示．
5．兩個重要推論
(1)做平拋運(yùn)動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖所示，即xB＝.
推導(dǎo)：
→xB＝
(2)做平拋運(yùn)動的物體在任意時刻任意位置處，有
tan θ＝2tan α.
推導(dǎo)：
→tan θ＝2tan α
（2023 贛州二模）一般的曲線運(yùn)動可以分成很多小段，每小段都可以看作圓周運(yùn)動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，這樣，在分析質(zhì)點經(jīng)過曲線上某位置的運(yùn)動時，就可以采用圓周運(yùn)動的分析方法來處理了。將一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球（可視為質(zhì)點）從空中O點以速度v0＝3m/s水平拋出，經(jīng)過軌跡上的P點時速度方向與水平方向夾角為53°，如圖甲所示。現(xiàn)沿小球運(yùn)動軌跡鋪設(shè)一條光滑軌道，如圖乙所示，讓小球從O點由靜止釋放開始沿軌道下滑，不計一切阻力，重力加速度g取10m/s2，則（　　）
A．小球下滑到P處時的速度大小為4m/s
B．小球從O點下滑到P點的時間為0.4s
C．O、P兩點的水平距離為0.8m
D．在P點處，小球?qū)壍赖膲毫镹
【解答】解：AC、根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律可知：
vy＝v0tan53°＝3m/s＝4m/s
在豎直方向上：
根據(jù)幾何關(guān)系可得：
聯(lián)立解得：y＝0.8m；x＝1.2m；t＝0.4s；
即op間的水平距離為1.2m，豎直距離為0.8m，
小球沿光滑軌道下滑到P點，根據(jù)動能定理可得：
解得：v＝4m/s，故A正確，C錯誤；
B、若OP軌道為光滑傾斜軌道，由勻加速直線運(yùn)動的規(guī)律可得：
解得：t'，由于軌道為圓形軌道，所以所以小球從O點下滑到P點的時間大于0.4s，故B錯誤；
D、在P點對小球進(jìn)行受力分析，如圖所示：
當(dāng)小球平拋時：
當(dāng)小球滑到P點時，根據(jù)牛頓第二定律可得：
解得在P點處，小球?qū)壍赖膲毫椋?br/>，故D錯誤。
故選：A。
（2023 五華區(qū)校級模擬）為迎接2022年北京冬奧會，運(yùn)動員都進(jìn)行了刻苦的訓(xùn)練。某滑雪運(yùn)動員在訓(xùn)練過程中，從傾角為37°的傾斜直雪道頂端以4.00m/s的速度水平飛出，落在雪道上，然后繼續(xù)沿雪道下滑。若空氣阻力忽略不計，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則他在空中運(yùn)動的時間為（　　）
A．0.4s B．0.6s C．0.8s D．1.0s
【解答】解：根據(jù)斜面上平拋運(yùn)動特點
可得t＝0.6s，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2023 浙江模擬）某天，小陳同學(xué)放學(xué)經(jīng)過一座石拱橋，他在橋頂A處無意中把一顆小石子水平沿橋面向前踢出，他驚訝地發(fā)現(xiàn)小石子竟然幾乎貼著橋面一直飛到橋的底端D處，但是又始終沒有與橋面接觸。他一下子來了興趣，跑上跑下量出了橋頂高OA＝3.2m，橋頂?shù)綐虻椎乃骄嚯xOD＝6.4m。這時小陳起一顆小石，在A處，試著水平拋出小石頭，欲擊中橋面上兩塊石板的接縫B處（B點的正下方B'是OD的中點），小陳目測小石頭拋出點離A點高度為1.65m，下列說法正確的是（　　）
A．石拱橋為圓弧形石拱橋
B．小陳踢出的小石頭速度約為6.4m/s
C．小陳拋出的小石頭速度約為4.6m/s
D．先后兩顆小石子在空中的運(yùn)動時間之比為2：1
【解答】解：A、石頭做平拋運(yùn)動，石子幾乎貼著橋面一直飛到橋的底端D處，且始終沒有與橋面接觸，則石拱橋為拋物線形石拱橋，故A錯誤；
B、石頭做平拋運(yùn)動，水平方向為勻速直線運(yùn)動，豎直方向為自由落體運(yùn)動，水平方向：OD＝v1t1
豎直方向：OA
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：t1＝0.8s
v1＝8m/s
故B錯誤；
C、小陳踢出的石子經(jīng)過B點時，水平方向的位移為總位移的，則時間為總時間的，A和B豎直方向的距離為hABg（t1）2OA3.2m＝0.8m
小陳拋出的小石頭做平拋運(yùn)動，水平方向的位移為：OD＝v2t2
豎直方向位移為：h+hAB
代入數(shù)據(jù)解得：t2＝0.7s
v2m/s≈4.6m/s
故C正確；
D、先后兩顆小石子在空中的運(yùn)動時間之比為：t1：t2＝0.8：0.7＝8：7
故D錯誤。
故選：C。
【知識點二】斜拋運(yùn)動
1.定義：將物體以初速度v0斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運(yùn)動.
2.性質(zhì)：斜拋運(yùn)動是加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是拋物線.
3.研究方法：運(yùn)動的合成與分解
(1)水平方向：勻速直線運(yùn)動；
(2)豎直方向：勻變速直線運(yùn)動.
4.基本規(guī)律(以斜上拋運(yùn)動為例，如圖所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cosθ，F(xiàn)合x＝0；
(2)豎直方向：v0y＝v0sinθ，F(xiàn)合y＝mg.
【方法總結(jié)】斜上拋運(yùn)動解決思路
1. 采用運(yùn)動的分解法研究斜上拋運(yùn)動，根據(jù)斜上拋運(yùn)動過程中加速度不變是分析問題的基礎(chǔ)題。
2.不計空氣阻力，在空中做斜上拋運(yùn)動，水平方向做勻速直線運(yùn)動，根據(jù)水平方向的運(yùn)動規(guī)律求解。
3.斜上拋運(yùn)動到最高點時只有水平速度，豎直速度為零。
（2023 沈陽三模）某籃球運(yùn)動員正在進(jìn)行投籃訓(xùn)練，若將籃球視為質(zhì)點，忽略空氣阻力，籃球的運(yùn)動軌跡可簡化如圖，其中A是籃球的投出點，B是運(yùn)動軌跡的最高點，C是籃球的投入點。已知籃球在A點的速度與水平方向的夾角為45°，在C點的速度大小為v0且與水平方向夾角為30°，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（　　）
A．籃球在B點的速度為零
B．從B點到C點，籃球的運(yùn)動時間為
C．A、B兩點的高度差為
D．A、C兩點的水平距離為
【解答】解：A．因為B是籃球運(yùn)動軌跡的最高點，籃球在B點，豎直速度為零，只有水平速度。則有
故A錯誤；
B．從B點到C點，籃球的運(yùn)動時間為
故B錯誤；
C．vAy＝vAsin45°
vAx＝vAcos45°
所以：vAy＝vAx＝vx
A、B兩點的高度差為
h
故C正確；
D．A、C兩點的水平距離為：
故D錯誤。
故選：C。
（2023 雁塔區(qū)校級模擬）某同學(xué)練習(xí)推鉛球，在如圖所示的某次投擲中，設(shè)鉛球的出手點為A，運(yùn)動中的最高點為B，落地點為C。若鉛球在A、B、C三點的速度大小之比為2：1：3。不計一切阻力，則鉛球上升和下降的時間之比為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得設(shè)vA＝2v，vB＝v，vC＝3v，鉛球的初速度方向與水平方向的夾角為θ，則2vcosθ＝v，解得θ＝60°，
鉛球上升的時間t1，鉛球下降的時間t2，解得故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2023 潮州二模）圖甲是北京冬奧會單板滑雪大跳臺比賽項目中運(yùn)動員在空中姿態(tài)的合成圖。比賽場地分為助滑區(qū)、起跳臺、著陸坡和終點區(qū)域四個部分。運(yùn)動員進(jìn)入起跳臺后的運(yùn)動可簡化成如圖乙所示，先以水平初速度v0從A點沖上圓心角為a的圓弧跳臺，從B點離開跳臺，C點為運(yùn)動軌跡最高點，之后落在著陸坡上的E點。若忽略運(yùn)動過程中受到的一切阻力并將運(yùn)動員及其裝備看成質(zhì)點，則下列說法正確的是（　　）
A．運(yùn)動員在C點速度為0
B．運(yùn)動員下降過程中的加速度不變
C．a(chǎn)越大，運(yùn)動員落在著陸坡上的速度越大
D．運(yùn)動員離開B點后的上升過程中處于超重狀態(tài)
【解答】解：A，曲線的最高點時，物體還有水平方向的分速度，故A錯誤；
B，在下降過程中，只受重力作用，故加速度的大小方向都不變，故B正確；
C，因為在AB弧上運(yùn)動時，沒有能量損失，故a的大小不影響著陸的速度大小，故C錯誤；
D，離開B點后，有豎直向下的加速度，應(yīng)處在失重狀態(tài)，故D錯誤。
故選：B。
【知識點三】平拋運(yùn)動的臨界和極值問題
常見的“三種”臨界特征
(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這個極值點往往是臨界點。
【方法總結(jié)】極限法在平拋運(yùn)動臨界問題中的應(yīng)用
分析平拋運(yùn)動中的臨界問題時一般運(yùn)用極限分析的方法，即把要求的物理量設(shè)定為極大或極小，讓臨界問題突現(xiàn)出來，找到產(chǎn)生臨界的條件。
（2023 雨花區(qū)校級一模）如圖示，半圓軌道固定在水平面上，一小球（小球可視為質(zhì)點）從半圓軌道上B點沿切線斜向左上方拋出，到達(dá)半圓軌道左端A點正上方某處小球的速度剛好水平，O為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R，OB與水平方向的夾角為60°，重力加速度為g，不計空氣阻力，則小球在A點正上方的水平速度為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：小球做斜拋運(yùn)動，由于到達(dá)半圓軌道左端A點正上方某處小球的速度剛好水平，根據(jù)逆向思維，可知小球從一半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運(yùn)動，運(yùn)動過程中恰好與半圓軌道相切于B點，小球運(yùn)動過程中恰好與半圓軌道相切于B點，則速度與水平方向的夾角為30°，設(shè)位移與水平方向的夾角為θ，則：，因為，則豎直位移：，而：，所以：，解得小球在A點正上方的水平速度為：，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2023 貴陽模擬）如圖所示，一網(wǎng)球運(yùn)動員用球拍先后將兩只球從O點水平擊出。第一只球落在自己一方場地上A處彈跳起來剛好擦網(wǎng)而過，落在對方場地B處。第二只球直接擦網(wǎng)而過，也落在B處。球與地面的碰撞是完全彈性的，且空氣阻力不計。則第一只球與第二只球被擊出時的速度之比為（　　）
A．1：2 B．1：3 C．3：4 D．2：3
【解答】解：由題可知，兩種情況下，球都做平拋運(yùn)動，由豎直方向的位移—時間公式可得：
得：
因此可知，球兩次平拋運(yùn)動的時間相等，
第一只球之后從A點反彈，由于球與地面的碰撞時彈性的，故此時小球會做向右上方的斜拋運(yùn)動（豎直方向的運(yùn)動上可視為豎直上拋運(yùn)動），
由對稱性可知，A處碰撞的小球上升到高度h再落地，運(yùn)動的總時間為3t，
故可知兩次運(yùn)動時間之比為3：1。
又因為球在水平方向做勻速直線運(yùn)動，則有：
水平位移相等，則第一只球與第二只球被擊出時的速度之比為1：3。
故ACD錯誤，B正確。
故選：B。
（2023 青羊區(qū)校級模擬）如圖所示，某次排球比賽中，球員A在離水平地面3m的高處將排球以30m/s的速度垂直球網(wǎng)水平擊出，此時排球與球網(wǎng)的水平距離為9m。球網(wǎng)的高度為2m，對方的球員B站立在球網(wǎng)處，直立伸直手臂可攔到離地高度為2.3m的排球，起跳攔網(wǎng)可攔到離地高度為2.75m的排球，取重力加速度大小g＝10m/s2。已知球員A、B的連線與球網(wǎng)垂直，不計空氣阻力，下列關(guān)于球員B攔排球的說法，正確的是（　　）
A．排球運(yùn)動到球網(wǎng)正上方的時間為0.3s
B．球員B站在球網(wǎng)前直立伸直手臂可攔到排球
C．若球員B未攔到排球則排球不會出界
D．若球員B未攔到排球，則排球落地點到球網(wǎng)的距離約為2.6m
【解答】解：A、排球做平拋運(yùn)動，水平方向為勻速直線運(yùn)動，則排球運(yùn)動到球員B位置的時間
故A正確；
B、排球豎直方向做自由落體運(yùn)動，該段時間排球下落的高度
此時排球離地高度h3＝H﹣h＝3m﹣0.45m＝2.55m＞h1＝2.3m
故球員B在球網(wǎng)前直立伸直手臂攔不到排球，故B錯誤；
CD、豎直方向，由位移—時間公式得：
代入數(shù)據(jù)解得，排球從被擊出到落地的時間
排球運(yùn)動的水平距離x＝vt2＝30m＝6m＞18m
排球?qū)⒊鼋纾蔆D錯誤。
故選：A。
【知識點四】有約束條件的平拋運(yùn)動問題
【問題1】　對著豎直墻壁平拋
（2023 湛江二模）如圖所示，某同學(xué)在籃筐前某位置跳起投籃。籃球出手點離水平地面的高度h＝1.8m。籃球離開手的瞬間到籃筐的水平距離為5m，水平分速度大小v＝10m/s，要使籃球到達(dá)籃筐時，豎直方向的分速度剛好為零。將籃球看成質(zhì)點，籃筐大小忽略不計，忽略空氣阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。籃筐離地面的高度為（　　）
A．2.85m B．3.05m C．3.25m D．3.5m
【解答】解：籃球做斜拋運(yùn)動，逆過程處理，上升階段看作平拋運(yùn)動，水平方向做勻速直線運(yùn)動，則有：x＝vt，可得籃球從拋出運(yùn)動到籃筐的時間：，籃球到籃筐時豎直方向的速度為零，豎直方向則有：，代入數(shù)據(jù)，解得H＝3.05m，故ACD錯誤，B正確。
故選：B。
（2023 上饒模擬）如圖所示，某同學(xué)從O點對準(zhǔn)前方的一塊豎直放置的擋板將小球水平拋出，O與A在同一高度，小球的水平初速度分別為v1、v2，不計空氣阻力，小球打在擋板上的位置分別是B、C，且AB＝BC，則v1：v2為（　　）
A．2：1 B． C． D．
【解答】解：小球在空中做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動規(guī)律得，豎直方向：
水平方向：x＝v0t
聯(lián)立解得：
所以
又因為
所以
故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2023 福州二模）如圖，某次小明同學(xué)在家中對著豎直墻壁打乒乓球，將球從A點斜向上擊出，球垂直在墻上的O點后，反向彈回正好落在A點正下方的B點。忽略球的旋轉(zhuǎn)及空氣阻力，則下列說法中正確的是（　　）
A．球在上升階段和下降階段的加速度不同
B．球從A點到O點的運(yùn)動時間等于從O點到B點的運(yùn)動時間
C．球剛離開A點時的水平速度大小大于剛到達(dá)B點時的水平速度大小
D．球剛離開A點時的速度大小一定大于剛到達(dá)B點時的速度大小
【解答】解：A．球在上升階段和下降階段只受重力，加速度均為重力加速度g，故A錯誤；
B．將球從A到O點逆過程看作平拋運(yùn)動，根據(jù)
則球從A點到O點運(yùn)動時間小，故B錯誤；
C．反彈后水平位移等于反彈之前水平位移，
反彈之前水平速度大于反彈后水平速度，球剛離開A點時水平速度大，故C正確；
D．
球在離開A點豎直速度小于剛到達(dá)B點時豎直速度，則球剛離開A點時速度大小不一定大于剛到達(dá)B點時速度大小，故D錯誤。
故選：C。
【問題2】　曲面內(nèi)的平拋問題
（2022 懷化一模）如圖所示，在豎直的平面直角坐標(biāo)系xOy中，一無阻擋的拋物線邊界y＝x2把平面分為兩部分，在y軸上A處有一質(zhì)點小球以v0＝2m/s的初速度垂直于y軸射出，已知OA＝5m，不計空氣阻力，g＝10m/s2，則（　　）
A．小球到達(dá)邊界的時間為
B．小球到達(dá)邊界的位置為（，2m）
C．小球到達(dá)x軸時速度方向與x軸負(fù)方向成30°
D．經(jīng)過足夠長的時間，小球速度方向可能和y軸平行
【解答】解：AB．小球做平拋運(yùn)動，則其坐標(biāo)分別為x＝﹣v0t，，其中y0＝5
聯(lián)立解得：，又由于：y＝x2
可得：x＝﹣2m，y＝4m，故與邊界交點坐標(biāo)為（﹣2m，4m），
達(dá)到邊界的時間為：，故A正確，B錯誤；
C．小球下落OA高度時，豎直方向的速度大小為m/s＝10m/s
到達(dá)x軸時速度方向與水平方向的夾角，即θ不為30°，故C錯誤；
D．根據(jù)可知，由于有初速度，故小球速度不可能與y軸平行，故D錯誤。
故選：A。
（2022 咸陽一模）如圖所示，同一豎直平面內(nèi)有四分之一圓環(huán)AC和傾角為θ＝60°的斜面BC相接于C點，A、B兩點與圓環(huán)AC的圓心O等高。現(xiàn)將甲、乙小球同時從A、B兩點以一定大小的初速度沿水平方向同時拋出，兩球恰好在C點相碰（不計空氣阻力）。則下列說法正確的是（　　）
A．甲、乙兩球初速度大小之比為：1
B．若僅增大兩球質(zhì)量，則兩球不再相碰
C．若乙球速度大小變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑒t恰能落在斜面的中點D
D．若乙球速度大小變?yōu)樵瓉淼膬杀叮瑒t可能垂直擊中圓環(huán)AC
【解答】解：A、甲乙兩球從等高處做平拋運(yùn)動恰好在C點相碰，則時間相等，水平方向有，x1＝v1t＝R，
所以甲、乙兩球初速度大小之比為：1，故A正確；
B、兩球運(yùn)動時間與質(zhì)量無關(guān)，故改變質(zhì)量，兩球仍會相碰，故B錯誤；
C、若v2大小變?yōu)樵瓉淼囊话耄跁r間不變的情況下水平位移會變?yōu)樵瓉淼囊话耄捎谝仪驎龅叫泵妫侣涓叨葴p小，時間減小，所以乙球的水平位移小于原來的一半，不會落在斜面的中點，故C錯誤；
D、若乙球垂直擊中圓環(huán)AC，則落點時速度的反向延長線過圓心O，由幾何關(guān)系有，
（落點和圓心連線與OC夾角為α），解得v2'≠2v2，故D錯誤。
故選：A。
（多選）（2022 云南二模）如圖，一半徑為R的圓環(huán)固定于豎直平面內(nèi)，圓心為O。現(xiàn)從圓環(huán)上距離圓心O豎直高度為0.5R的A點以水平初速度v0向右拋出一個質(zhì)量為m的小球，一段時間后，小球落在圓環(huán)上的B點（圖中未畫出）；當(dāng)v0大小不同時，小球的落點B也不同．重力加速度為g，不計空氣阻力，小球可視為質(zhì)點。以下說法正確的是（　　）
A．當(dāng)v0大小不同時，小球從A點運(yùn)動到B點的時間可能相同
B．當(dāng)時，小球可以經(jīng)過O點
C．當(dāng)時，A、B兩點位于一條直徑上
D．當(dāng)時，小球從A到B的運(yùn)動過程中速度變化量最大
【解答】解：A、當(dāng)v0大小不同時，小球的落點B可能位于同一水平面上，所以運(yùn)動時間可能相同，故A正確；
B、運(yùn)動過程中經(jīng)過O點，滿足豎直方向，水平方向，解得，故B錯誤；
C、若A、B兩點位于一條直徑上，滿足：，解得，故C正確；
D、當(dāng)B點位于O點正下方時，滿足，解得，此時小球運(yùn)動的時間最長，則由Δv＝gt，可知此時速度變化量最大，故D正確。
故選：ACD。
【知識點五】斜面平拋模型
1．斜面上的平拋運(yùn)動問題是一種常見的題型，解答這類問題的關(guān)鍵：
(1)靈活運(yùn)用平拋運(yùn)動的位移和速度規(guī)律；
(2)充分運(yùn)用斜面傾角，找出斜面傾角與位移偏向角、速度偏向角的關(guān)系。
2．常見的模型及處理方法如下：
圖示 方法 基本規(guī)律 運(yùn)動時間
分解速度，構(gòu)建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 豎直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得t＝
分解位移，構(gòu)建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 豎直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝
在運(yùn)動起點同時分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v＝－2a1d得t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝
（2023 黃山一模）如圖所示，可視為質(zhì)點的小球A、B分別同時從傾角為37°的光滑斜面頂端水平拋出和沿斜面下滑，平拋初速度大小為vA＝5m/s，下滑初速度vB未知，兩小球恰好在斜面底端相遇，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則（　　）
A．斜面長5m
B．B球初速度
C．相遇前，A、B兩球始終在同一高度
D．相遇前兩小球最遠(yuǎn)相距
【解答】解：A．設(shè)斜面長為L，小球A做平拋運(yùn)動
小球A的豎直位移，
水平位移Lcos37°＝vAt
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得A球在空中運(yùn)動的時間，
斜面的長度，故A錯誤；
B．小球B沿斜面做勻加速運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律mgsin37°＝ma
解得小球B的加速度a＝6m/s2
根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式，小球B的位移
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得B球的初速度vB＝4m/s，故B錯誤；
C．經(jīng)歷時間t1，A球的豎直分位移
經(jīng)歷時間t1，B球體的豎直分位移
代入數(shù)據(jù)化簡得
若兩球始終在同一高度，則有y1＝y(tǒng)2，即
解得
由于t1＝t，因此在相遇前，A、B兩不在同一高度，C錯誤；
D．將小球A的初速度和加速度沿斜面方向分解
沿斜面方向的初速度vA0＝vAcos37°＝5×0.8m/s＝4m/s
沿斜面方向的加速度
由于，可見小球A、B沿斜面方向的運(yùn)動情況始終相同，這就將A、B兩球相距最遠(yuǎn)的問題轉(zhuǎn)化為小球A離斜面最遠(yuǎn)的問題
小球A垂直與斜面方向的初速度vA1＝vAsin37°＝5×0.6m/s＝3m/s
小球A垂直斜面方向的加速度
根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式，小球A離斜面的最遠(yuǎn)距離
即相遇前兩小球最遠(yuǎn)相距，故D正確。
故選：D。
（多選）（2023 湖北模擬）如圖所示，某次空中投彈的軍事演習(xí)中，戰(zhàn)斗機(jī)以恒定速度v0沿水平方向飛行，先后釋放A、B兩顆炸彈，分別擊中傾角為θ的山坡上的M點和N點，釋放A、B兩顆炸彈的時間間隔為Δt1，此過程中飛機(jī)飛行的距離為s1；擊中M、N的時間間隔為Δt2，M、N兩點間水平距離為S2，且A炸彈到達(dá)山坡的M點位移垂直斜面，B炸彈是垂直擊中山坡N點的。不計空氣阻力，下列正確的是（　　）
A．A炸彈在空中飛行的時間為
B．
C．
D．
【解答】解：A、A炸彈到達(dá)山坡的M點位移垂直斜面，將位移分解到水平和豎直方向如圖所示：
由幾何關(guān)系得：
解得：t1
故A正確；
BD、釋放A、B兩顆炸彈的時間間隔為Δt1，此過程中飛機(jī)飛行的距離為s1，該過程飛機(jī)做勻速直線運(yùn)動，即
擊中M、N的時間間隔為Δt2，炸彈水平方向的運(yùn)動與飛機(jī)運(yùn)動相同，M、N兩點間水平距離為s2，即飛機(jī)飛行的距離為s2，則滿足
所以
故B錯誤，D正確；
C、B炸彈垂直擊中山坡N點，將速度分解到水平和豎直方向如上圖
由幾何關(guān)系得：tanθ
解得：t1
由時間關(guān)系得t1﹣Δt1＝t2﹣Δt2
解得：Δt1＝Δt2
故C錯誤；
故選：AD。
（多選）（2023 上饒模擬）如圖所示，將兩小球A、B從直角三角形斜面（足夠長）的頂端分別向左、向右水平拋出，兩小球分別落在兩個斜面上，三角形的兩底角分別為α，β，不計空氣阻力，下列說法正確的是（　　）
A．將A球先后以v0A與2v0A的速度向左水平拋出，A球兩次落在斜面上的時間之比為1：2
B．將A球先后以v0A與2v0A的速度向左水平拋出，A球兩次落在斜面上的速度方向不同
C．將A、B兩小球分別以v0的速度水平向左、向右拋出，兩小球落在斜面上的時間之比為tanβ：tanα
D．將A、B兩小球分別以v0的速度水平向左、向右拋出，兩小球落在斜面上的下落高度之比為tan2α：tan2β
【解答】解：AC、將A球先后以v0A與2v0A的速度向左水平拋出，A球兩次都落在斜面上，根據(jù)合位移與水平方向夾角的正切表達(dá)式有：，可得，所以兩次A球落在斜面上的時間之比為t1：t2＝v0A：2v0A＝1：2；同理，將A、B兩小球分別以v0的速度水平向左、向右拋出，兩小球落在斜面上的時間之比為：；故A正確，C錯誤；
B、將A球先后以v0A與2v0A的速度向左水平拋出，A球兩次落在斜面上，設(shè)合速度與水平方向夾角為θ，根據(jù)平拋運(yùn)動的推論可知，合位移方向與合速度方向的關(guān)系，有tanθ＝2tanα，所以，A球兩次落在斜面上的速度方向相同；故B錯誤；
D、將A、B兩小球分別以v0的速度水平向左、向右拋出，兩小球落在斜面上的下落高度之比為；故D正確。
故選：AD。
（2023 湖南）如圖（a），我國某些農(nóng)村地區(qū)人們用手拋撒谷粒進(jìn)行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運(yùn)動軌跡如圖（b）所示，其軌跡在同一豎直平面內(nèi)，拋出點均為O，且軌跡交于P點，拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空氣阻力，關(guān)于兩谷粒在空中的運(yùn)動，下列說法正確的是（　　）
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高點的速度小于v1
C．兩谷粒從O到P的運(yùn)動時間相等
D．兩谷粒從O到P的平均速度相等
【解答】解：A、兩谷粒均做拋體運(yùn)動，故加速度均相同，故A錯誤，
BC、根據(jù)圖b可知谷粒2從最高點到P點的運(yùn)動時間大于谷粒1從O點到P點的運(yùn)動時間，又因為谷粒2從最高點到P點水平位移小于谷粒1從O到P點的水平位移，所以谷粒2在最高點的速度小于v1，故B正確，C錯誤，
D、兩谷粒從O到P的位移相同，飛行時間不同，所以平均速度不相等，故D錯誤。
故選：B。
（2022 廣東）如圖所示，在豎直平面內(nèi)，截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處，一玩具槍的槍口與小積木上P點等高且相距為L。當(dāng)玩具子彈以水平速度v從槍口向P點射出時，小積木恰好由靜止釋放，子彈從射出至擊中積木所用時間為t。不計空氣阻力。下列關(guān)于子彈的說法正確的是（　　）
A．將擊中P點，t大于 B．將擊中P點，t等于
C．將擊中P點上方，t大于 D．將擊中P點下方，t等于
【解答】解：當(dāng)玩具子彈以水平速度v從槍口向P點射出時，小積木恰好由靜止釋放，子彈和小積木在豎直方向上都做自由落體，在豎直方向上保持相對靜止，因此子彈將擊中P點，子彈在水平方向上做勻速直線運(yùn)動，故擊中的時間為t，故B正確，ACD錯誤；
故選：B。
（多選）（2022 山東）如圖所示，某同學(xué)將離地1.25m的網(wǎng)球以13m/s的速度斜向上擊出，擊球點到豎直墻壁的距離4.8m．當(dāng)網(wǎng)球豎直分速度為零時，擊中墻壁上離地高度為8.45m的P點，網(wǎng)球與墻壁碰撞后，垂直墻面速度分量大小變?yōu)榕銮暗?.75倍，平行墻面的速度分量不變，重力加速度g取10m/s2，網(wǎng)球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為（　　）
A．v＝5m/s B．v＝3m/s C．d＝3.6m D．d＝3.9m
【解答】解：設(shè)網(wǎng)球飛出時的速度為v0，
根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式可知豎直方向2g （H﹣h）
代入數(shù)據(jù)得
v0y＝12m/s
運(yùn)動時間t
根據(jù)速度的分解有：v0x
排球水平方向到P點的距離
x0x＝v0xt
根據(jù)幾何關(guān)系可得打在墻面上時，垂直墻面的速度分量
v0x1v0x
平行墻面的速度分量
v0x2v0x
反彈后，垂直墻面的速度分量
v0x3＝0.75v0x1
則反彈后的網(wǎng)球速度大小為
vx
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得：vx＝3m/s
網(wǎng)球落到地面的時間t'
著地點到墻壁的距離d＝v0x3t'
代入數(shù)據(jù)解得：d＝3.9m
故BD正確，AC錯誤；
故選：BD。
（多選）（2022 河北）如圖，廣場水平地面上同種盆栽緊密排列在以O(shè)為圓心，R1和R2為半徑的同心圓上，圓心處裝有豎直細(xì)水管、其上端水平噴水嘴的高度、出水速度及轉(zhuǎn)動的角速度均可調(diào)節(jié)，以保障噴出的水全部落入相應(yīng)的花盆中，依次給內(nèi)圈和外圈上的盆栽澆水時，噴水嘴的高度、出水速度及轉(zhuǎn)動的角速度分別用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半徑遠(yuǎn)小于同心圓半徑，出水口截面積保持不變，忽略噴水嘴水平長度和空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．若h1＝h2，則v1：v2＝R2：R1
B．若v1＝v2，則h1：h2＝R12：R22
C．若ω1＝ω2，v1＝v2，噴水嘴各轉(zhuǎn)動一周，則落入每個花盆的水量相同
D．若h1＝h2，噴水嘴各轉(zhuǎn)動一周且落入每個花盆的水量相同，則ω1＝ω2
【解答】解：A、若h1＝h2，根據(jù)豎直方向上自由落體的運(yùn)動特點可知，水的運(yùn)動時間相等，在水平方向上，x＝vt，則v1：v2＝R1：R2，故A錯誤；
B、若v1＝v2，根據(jù)水平方向的運(yùn)動特點可知，t1：t2＝R1：R2，結(jié)合豎直方向自由落體的公式可知，h1：h2＝R12：R22，故B正確；
C、若ω1＝ω2，v1＝v2，噴水嘴各轉(zhuǎn)動一周，因為旋轉(zhuǎn)的時間相同，則噴出的水量相等，但因為外圈的花盆數(shù)量比內(nèi)圈數(shù)量多，則落入每個花盆的水量不相同，故C錯誤；
D、若h1＝h2，噴水嘴各轉(zhuǎn)動一周且落入每個花盆的水量相同的話，應(yīng)該這樣解釋：設(shè)每澆一個花盆經(jīng)歷時間t，出水口截面積為S，噴嘴轉(zhuǎn)過的角度為θ，轉(zhuǎn)動的角速度為ω，水柱掃過的弧長為l，則：出水量V＝Svt，根據(jù)A選項的解析，若h1＝h2，則v1：v2＝R1：R2。所以要保證落入每個花盆的水量（V）相同的話，必有ω1＝ω2。故D正確；
故選：BD。
（2023 南昌二模）如圖所示，運(yùn)動員將排球以速度v從M點水平擊出，排球飛到P點時，被對方運(yùn)動員擊回，球又斜向上飛出后落到M點正下方的N點。已知N點與P點等高，軌跡的最高點Q與M等高，且NP＝2MN。排球在運(yùn)動過程中不計空氣阻力，則排球擊回時的速度大小為（　　）
A．v B． C． D．
【解答】解：排球從M到P做平拋運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t，則有
水平方向：NP＝vt
豎直方向：MNgt2
又有：NP＝2MN
聯(lián)立方程，解得：t
排球從P到Q過程，因為Q與M等高，所以從P到Q所用時間等于從M到P所用時間t，則有
水平方向：NP＝vPxt
豎直方向：MN
聯(lián)立上述方程，解得：vPx，vPy＝v
P點初速度為：vP
代入數(shù)據(jù)，解得：vPv
故ABD錯誤，C正確。
故選：C。
（多選）（2023 南通模擬）在無風(fēng)的環(huán)境里將一塑料球以一定的初速度v0水平拋出，球受到的空氣阻力與速度大小成正比，該球運(yùn)動過程中水平方向的速度vx隨時間t、水平方向的位移x的變化規(guī)律，豎直方向的速度vy隨時間t、豎直方向的位移y的變化規(guī)律可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：AB、塑料球水平方向受空氣阻力作用，由牛頓第二定律有：
塑料球水平方向速度逐漸減小，則其水平方向加速度逐漸減小，所以vx﹣t圖像的斜率逐漸減小。結(jié)合vx﹣t圖像中圖線與時間軸所圍面積表示位移，易知vx隨水平位移x的變化率也是逐漸變小的，故A錯誤，B正確；
CD、塑料球豎直方向受空氣阻力作用，由牛頓第二定律有：
塑料球豎直方向速度逐漸增大，則其豎直方向加速度逐漸減小，所以vy﹣t圖像的斜率逐漸減小。結(jié)合vy﹣t圖像中圖線與坐標(biāo)軸所圍面積表示位移，易知vy隨豎直位移y的變化率也是逐漸變小的，故C錯誤，D正確。
故選：BD。
（2023 福州模擬）如圖在某次投籃表演中，運(yùn)動員在空中一個漂亮的投籃，籃球以與水平面成45°的傾角準(zhǔn)確落入籃筐，這次跳起投籃時，投球點和籃筐正好在同一水平面上，設(shè)投球點到籃筐距離為10m，不考慮空氣阻力，g取10m/s2。籃球（　　）
A．在空中做變加速曲線運(yùn)動
B．在最高點時動能為零
C．投出后在空中飛行時間為1s
D．進(jìn)筐的速度大小是10m/s
【解答】解：A、籃球在空中只受重力的作用，所以籃球的運(yùn)動是勻變速曲線運(yùn)動，故A錯誤；
B、斜拋運(yùn)動在最高點的速度方向沿水平方向，速度不為零，動能也不為零，故B錯誤；
C、將籃球的運(yùn)動看成逆向的平拋運(yùn)動，則
x＝vxt
x＝10m
聯(lián)立解得：s；，故C錯誤；
D、進(jìn)筐的速度大小為：
代入數(shù)據(jù)解得：v＝10m/s，故D正確；
故選：D。
（2023 荔灣區(qū)校級四模）投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，《禮記傳》中提到：“投壺，射之細(xì)也．宴飲有射以樂賓，以習(xí)容而講藝也．”如圖所示，甲、乙兩人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壺中時與水平面的夾角分別為53°和37°；已知兩支箭質(zhì)量相同，忽略空氣阻力、箭長，壺口大小等因素的影響，下列說法正確的是（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（　　）
A．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，甲所投箭的初速度比乙的大
B．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，乙所投的箭在空中運(yùn)動時間比甲的長
C．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲投壺位置距壺的水平距離比乙大
D．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲所射箭落入壺口時速度比乙小
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)位移與水平方向的夾角為θ，速度與水平方向的夾角為α，
則由平拋運(yùn)動規(guī)律有：
AB．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，則有：h甲＞h乙
根據(jù)，可得：
則可知，甲所投的箭在空中運(yùn)動時間長，
又根據(jù)x＝v0t可知，兩人的水平距離相同，甲所投的箭在空中運(yùn)動時間長，則甲所投箭的初速度較小，故AB錯誤；
CD．若箭在豎直方向下落的高度相等，則箭在空中運(yùn)動時間相等，且有：x甲＜x乙
根據(jù)x＝v0t可知，則甲所投箭的初速度較小，
又根據(jù)v＝gt可知，甲、乙所射箭落入壺口時豎直速度相等，
則由可得，甲所射箭落入壺口時速度比乙小，故C錯誤，D正確。
故選：D。
（2023 張家口二模）如圖所示，一個傾角為45°的斜面與一個圓弧對接，斜面的底端在圓心O的正下方。從斜面頂點以一定的初速度向右水平拋出一小球，則下列說法正確的是（　　）
A．小球初速度不同，則運(yùn)動時間一定不同
B．小球落到斜面上時，其速度方向一定相同
C．小球落到圓弧面上時，其速度方向可能與該處圓的切線垂直
D．小球落到圓弧面上時位置越高，末速度越大
【解答】解：A、平拋運(yùn)動的時間由下落的高度決定。若小球落到斜面與圓弧面上時的下落高度相同，則小球平拋運(yùn)動的時間相同，故A錯誤；
B、設(shè)斜面傾角為θ，小球落到斜面上時速度與水平方向夾角為α，則，；故tanα＝2tanθ，只要是小球落在斜面上時，其速度方向一定相同，故B正確；
C、小球落到圓弧面上時，若落點速度方向與該處圓的切線垂直，則速度的反向延長線通過圓心，但由平拋運(yùn)動規(guī)律知，速度的反向延長線應(yīng)通過水平位移的中點，又因為水平位移的中點不可能是圓心，所以小球落到圓弧面上時，其速度方向不可能與該處圓的切線垂直，故C錯誤；
D．設(shè)小球的初速度為v0運(yùn)動時間為t，則小球落到圓弧面上時速度大小為，當(dāng)v0越大時落點位置越高，但t越小，v不一定大，故D錯誤。
故選：B。
（2023 河南模擬）近年來，國家大力開展冰雪運(yùn)動進(jìn)校園活動，目前已有多所冰雪特色學(xué)校，蹬冰踏雪深受學(xué)生喜愛。如圖所示，現(xiàn)有兩名滑雪運(yùn)動員（均視為質(zhì)點）從跳臺a處先后沿水平方向向左飛出，其速度大小之比為v1：v2＝2：1，不計空氣阻力，則兩名運(yùn)動員從飛出至落到斜坡（可視為斜面）上的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．他們飛行時間之比為t1：t2＝1：2
B．他們飛行的水平位移之比為x1：x2＝2：1
C．他們速度變化之比為Δv1：Δv2＝2：1
D．他們在空中離坡面的最大距離之比為s1：s2＝2：1
【解答】解：A、運(yùn)動員從跳臺a處水平飛出后，在空中做平拋運(yùn)動，設(shè)初速度為v0，飛行時間為t，斜坡的傾角為θ。
運(yùn)動員在空中做平拋運(yùn)動，落到斜坡上時則有，解得，可得他們飛行時間之比為t1：t2＝v1：v2＝2：1，故A錯誤；
B、運(yùn)動員飛行的水平位移為x＝v0t，則他們飛行的水平位移之比為，故B錯誤；
C、運(yùn)動員的速度變化為Δvy＝gt，因為他們飛行時間之比為t1：t2＝2：1，則他們速度變化之比為Δv1：Δv2＝t1：t2＝2：1，故C正確；
D、將運(yùn)動員的運(yùn)動沿斜坡方向和垂直斜坡方向分解，可知運(yùn)動員在空中離坡面的最大距離為，則他們在空中離坡面的最大距離之比為，故D錯誤。
故選：C。
（2023 新課標(biāo)）將扁平的石子向水面快速拋出，石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠(yuǎn)方，俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產(chǎn)生“水漂”效果，石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”，一同學(xué)將一石子從距水面高度為h處水平拋出，拋出速度的最小值為多少？（不計石子在空中飛行時的空氣阻力，重力加速度大小為g）
【解答】解：根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律可知豎直方向有
2gh
結(jié)合題意石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ，可知拋出速度的最小值滿足，如圖：
tanθ
解得
v0
答：拋出速度的最小值為。
（2022 甲卷）將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機(jī)對運(yùn)動的小球進(jìn)行拍攝，頻閃儀每隔0.05s發(fā)出一次閃光。某次拍攝時，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光，拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像，每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像，所標(biāo)出的兩個線段的長度s1和s2之比為3：7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空氣阻力。求在拋出瞬間小球速度的大小。
【解答】解：因為每相鄰兩個小球之間被刪去了3個影像，所以每相鄰兩個小球之間有4次閃光間隔，即相鄰兩個小球之間的時間為：
t＝4×0.05s＝0.2s
因為第一個小球為拋出點，所以第一段運(yùn)動對應(yīng)的豎直位移大小為：
第二段運(yùn)動對應(yīng)的豎直位移大小為：
0.6m
設(shè)小球拋出時的初速度大小為v，則s1可以表示為：
同理s2可以表示為：
因為s1：s2＝3：7，聯(lián)立解得：
v
答：拋出瞬間小球的速度大小為。
（2022 北京）體育課上，甲同學(xué)在距離地面高h(yuǎn)1＝2.5m處將排球擊出，球的初速度沿水平方向，大小為v0＝8.0m/s；乙同學(xué)在離地h2＝0.7m處將排球墊起，墊起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球質(zhì)量m＝0.3kg，取重力加速度g＝10m/s2。不計空氣阻力。求：
（1）排球被墊起前在水平方向飛行的距離x；
（2）排球被墊起前瞬間的速度大小v及方向；
（3）排球與乙同學(xué)作用過程中所受沖量的大小I。
【解答】解：（1）排球做平拋運(yùn)動，則在豎直方向上：
水平方向上：x＝v0t
聯(lián)立解得：x＝4.8m
（2）在豎直方向上，vy＝gt
則排球被墊起前瞬間的速度大小為
聯(lián)立解得：v＝10m/s
tanθ
即θ＝37°
即方向與水平方向的夾角為37°
（3）根據(jù)動量定理得：
I＝Ft＝mv′﹣mv
其中，v'＝10m/s，方向與排球墊起前的速度方向相反
聯(lián)立解得：
I＝6N s
答：（1）排球被墊起前在水平方向飛行的距離為4.8m；
（2）排球被墊起前瞬間的速度大小為10m/s，方向與水平方向的夾角為37°；
（3）排球與乙同學(xué)作用過程中所受沖量的大小為6N s。
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專題4.2　拋體運(yùn)動
1.物理觀念：平拋運(yùn)動、斜拋運(yùn)動。
(1)掌握平拋運(yùn)動的規(guī)律，會用運(yùn)動的合成與分解方法分析平拋運(yùn)動。
(2)會處理平拋運(yùn)動中的臨界、極值問題。
(3)能定性分析斜拋運(yùn)動。
2.科學(xué)思維：平拋斜面、圓弧面模型。
(1)知道常見的四類斜面平拋模型并能區(qū)分不同類型的斜面傾角的物理含義。
(2)會利用運(yùn)動合成與分解的思想分析幾種常見的平拋圓弧組合模型。
3.科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：平拋運(yùn)動在生活實際中的應(yīng)用。
能將具體問題情景通過構(gòu)建物理模型轉(zhuǎn)化為物理問題進(jìn)而應(yīng)用物理規(guī)律來解決，以此提升分析推理能力和模型構(gòu)建能力。
【知識點一】平拋運(yùn)動基本規(guī)律的應(yīng)用
1．飛行時間
由t＝知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)．
2．水平射程
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素?zé)o關(guān)．
3．落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度與水平正方向的夾角，有tan θ＝＝，落地速度與初速度v0和下落高度h有關(guān)．
4．速度改變量
因為平拋運(yùn)動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運(yùn)動的物體在任意相等時間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示．
5．兩個重要推論
(1)做平拋運(yùn)動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖所示，即xB＝.
推導(dǎo)：
→xB＝
(2)做平拋運(yùn)動的物體在任意時刻任意位置處，有
tan θ＝2tan α.
推導(dǎo)：
→tan θ＝2tan α
（2023 贛州二模）一般的曲線運(yùn)動可以分成很多小段，每小段都可以看作圓周運(yùn)動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替，這樣，在分析質(zhì)點經(jīng)過曲線上某位置的運(yùn)動時，就可以采用圓周運(yùn)動的分析方法來處理了。將一質(zhì)量為m＝0.5kg的小球（可視為質(zhì)點）從空中O點以速度v0＝3m/s水平拋出，經(jīng)過軌跡上的P點時速度方向與水平方向夾角為53°，如圖甲所示。現(xiàn)沿小球運(yùn)動軌跡鋪設(shè)一條光滑軌道，如圖乙所示，讓小球從O點由靜止釋放開始沿軌道下滑，不計一切阻力，重力加速度g取10m/s2，則（　　）
A．小球下滑到P處時的速度大小為4m/s
B．小球從O點下滑到P點的時間為0.4s
C．O、P兩點的水平距離為0.8m
D．在P點處，小球?qū)壍赖膲毫镹
（2023 五華區(qū)校級模擬）為迎接2022年北京冬奧會，運(yùn)動員都進(jìn)行了刻苦的訓(xùn)練。某滑雪運(yùn)動員在訓(xùn)練過程中，從傾角為37°的傾斜直雪道頂端以4.00m/s的速度水平飛出，落在雪道上，然后繼續(xù)沿雪道下滑。若空氣阻力忽略不計，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則他在空中運(yùn)動的時間為（　　）
A．0.4s B．0.6s C．0.8s D．1.0s
（2023 浙江模擬）某天，小陳同學(xué)放學(xué)經(jīng)過一座石拱橋，他在橋頂A處無意中把一顆小石子水平沿橋面向前踢出，他驚訝地發(fā)現(xiàn)小石子竟然幾乎貼著橋面一直飛到橋的底端D處，但是又始終沒有與橋面接觸。他一下子來了興趣，跑上跑下量出了橋頂高OA＝3.2m，橋頂?shù)綐虻椎乃骄嚯xOD＝6.4m。這時小陳起一顆小石，在A處，試著水平拋出小石頭，欲擊中橋面上兩塊石板的接縫B處（B點的正下方B'是OD的中點），小陳目測小石頭拋出點離A點高度為1.65m，下列說法正確的是（　　）
A．石拱橋為圓弧形石拱橋
B．小陳踢出的小石頭速度約為6.4m/s
C．小陳拋出的小石頭速度約為4.6m/s
D．先后兩顆小石子在空中的運(yùn)動時間之比為2：1
【知識點二】斜拋運(yùn)動
1.定義：將物體以初速度v0斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運(yùn)動.
2.性質(zhì)：斜拋運(yùn)動是加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是拋物線.
3.研究方法：運(yùn)動的合成與分解
(1)水平方向：勻速直線運(yùn)動；
(2)豎直方向：勻變速直線運(yùn)動.
4.基本規(guī)律(以斜上拋運(yùn)動為例，如圖所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cosθ，F(xiàn)合x＝0；
(2)豎直方向：v0y＝v0sinθ，F(xiàn)合y＝mg.
【方法總結(jié)】斜上拋運(yùn)動解決思路
1. 采用運(yùn)動的分解法研究斜上拋運(yùn)動，根據(jù)斜上拋運(yùn)動過程中加速度不變是分析問題的基礎(chǔ)題。
2.不計空氣阻力，在空中做斜上拋運(yùn)動，水平方向做勻速直線運(yùn)動，根據(jù)水平方向的運(yùn)動規(guī)律求解。
3.斜上拋運(yùn)動到最高點時只有水平速度，豎直速度為零。
（2023 沈陽三模）某籃球運(yùn)動員正在進(jìn)行投籃訓(xùn)練，若將籃球視為質(zhì)點，忽略空氣阻力，籃球的運(yùn)動軌跡可簡化如圖，其中A是籃球的投出點，B是運(yùn)動軌跡的最高點，C是籃球的投入點。已知籃球在A點的速度與水平方向的夾角為45°，在C點的速度大小為v0且與水平方向夾角為30°，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（　　）
A．籃球在B點的速度為零
B．從B點到C點，籃球的運(yùn)動時間為
C．A、B兩點的高度差為
D．A、C兩點的水平距離為
（2023 雁塔區(qū)校級模擬）某同學(xué)練習(xí)推鉛球，在如圖所示的某次投擲中，設(shè)鉛球的出手點為A，運(yùn)動中的最高點為B，落地點為C。若鉛球在A、B、C三點的速度大小之比為2：1：3。不計一切阻力，則鉛球上升和下降的時間之比為（　　）
A． B． C． D．
（2023 潮州二模）圖甲是北京冬奧會單板滑雪大跳臺比賽項目中運(yùn)動員在空中姿態(tài)的合成圖。比賽場地分為助滑區(qū)、起跳臺、著陸坡和終點區(qū)域四個部分。運(yùn)動員進(jìn)入起跳臺后的運(yùn)動可簡化成如圖乙所示，先以水平初速度v0從A點沖上圓心角為a的圓弧跳臺，從B點離開跳臺，C點為運(yùn)動軌跡最高點，之后落在著陸坡上的E點。若忽略運(yùn)動過程中受到的一切阻力并將運(yùn)動員及其裝備看成質(zhì)點，則下列說法正確的是（　　）
A．運(yùn)動員在C點速度為0
B．運(yùn)動員下降過程中的加速度不變
C．a(chǎn)越大，運(yùn)動員落在著陸坡上的速度越大
D．運(yùn)動員離開B點后的上升過程中處于超重狀態(tài)
【知識點三】平拋運(yùn)動的臨界和極值問題
常見的“三種”臨界特征
(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這個極值點往往是臨界點。
【方法總結(jié)】極限法在平拋運(yùn)動臨界問題中的應(yīng)用
分析平拋運(yùn)動中的臨界問題時一般運(yùn)用極限分析的方法，即把要求的物理量設(shè)定為極大或極小，讓臨界問題突現(xiàn)出來，找到產(chǎn)生臨界的條件。
（2023 雨花區(qū)校級一模）如圖示，半圓軌道固定在水平面上，一小球（小球可視為質(zhì)點）從半圓軌道上B點沿切線斜向左上方拋出，到達(dá)半圓軌道左端A點正上方某處小球的速度剛好水平，O為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R，OB與水平方向的夾角為60°，重力加速度為g，不計空氣阻力，則小球在A點正上方的水平速度為（　　）
A． B． C． D．
（2023 貴陽模擬）如圖所示，一網(wǎng)球運(yùn)動員用球拍先后將兩只球從O點水平擊出。第一只球落在自己一方場地上A處彈跳起來剛好擦網(wǎng)而過，落在對方場地B處。第二只球直接擦網(wǎng)而過，也落在B處。球與地面的碰撞是完全彈性的，且空氣阻力不計。則第一只球與第二只球被擊出時的速度之比為（　　）
A．1：2 B．1：3 C．3：4 D．2：3
（2023 青羊區(qū)校級模擬）如圖所示，某次排球比賽中，球員A在離水平地面3m的高處將排球以30m/s的速度垂直球網(wǎng)水平擊出，此時排球與球網(wǎng)的水平距離為9m。球網(wǎng)的高度為2m，對方的球員B站立在球網(wǎng)處，直立伸直手臂可攔到離地高度為2.3m的排球，起跳攔網(wǎng)可攔到離地高度為2.75m的排球，取重力加速度大小g＝10m/s2。已知球員A、B的連線與球網(wǎng)垂直，不計空氣阻力，下列關(guān)于球員B攔排球的說法，正確的是（　　）
A．排球運(yùn)動到球網(wǎng)正上方的時間為0.3s
B．球員B站在球網(wǎng)前直立伸直手臂可攔到排球
C．若球員B未攔到排球則排球不會出界
D．若球員B未攔到排球，則排球落地點到球網(wǎng)的距離約為2.6m
【知識點四】有約束條件的平拋運(yùn)動問題
【問題1】　對著豎直墻壁平拋
（2023 湛江二模）如圖所示，某同學(xué)在籃筐前某位置跳起投籃。籃球出手點離水平地面的高度h＝1.8m。籃球離開手的瞬間到籃筐的水平距離為5m，水平分速度大小v＝10m/s，要使籃球到達(dá)籃筐時，豎直方向的分速度剛好為零。將籃球看成質(zhì)點，籃筐大小忽略不計，忽略空氣阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。籃筐離地面的高度為（　　）
A．2.85m B．3.05m C．3.25m D．3.5m
（2023 上饒模擬）如圖所示，某同學(xué)從O點對準(zhǔn)前方的一塊豎直放置的擋板將小球水平拋出，O與A在同一高度，小球的水平初速度分別為v1、v2，不計空氣阻力，小球打在擋板上的位置分別是B、C，且AB＝BC，則v1：v2為（　　）
A．2：1 B． C． D．
（2023 福州二模）如圖，某次小明同學(xué)在家中對著豎直墻壁打乒乓球，將球從A點斜向上擊出，球垂直在墻上的O點后，反向彈回正好落在A點正下方的B點。忽略球的旋轉(zhuǎn)及空氣阻力，則下列說法中正確的是（　　）
A．球在上升階段和下降階段的加速度不同
B．球從A點到O點的運(yùn)動時間等于從O點到B點的運(yùn)動時間
C．球剛離開A點時的水平速度大小大于剛到達(dá)B點時的水平速度大小
D．球剛離開A點時的速度大小一定大于剛到達(dá)B點時的速度大小
【問題2】　曲面內(nèi)的平拋問題
（2022 懷化一模）如圖所示，在豎直的平面直角坐標(biāo)系xOy中，一無阻擋的拋物線邊界y＝x2把平面分為兩部分，在y軸上A處有一質(zhì)點小球以v0＝2m/s的初速度垂直于y軸射出，已知OA＝5m，不計空氣阻力，g＝10m/s2，則（　　）
A．小球到達(dá)邊界的時間為
B．小球到達(dá)邊界的位置為（，2m）
C．小球到達(dá)x軸時速度方向與x軸負(fù)方向成30°
D．經(jīng)過足夠長的時間，小球速度方向可能和y軸平行
（2022 咸陽一模）如圖所示，同一豎直平面內(nèi)有四分之一圓環(huán)AC和傾角為θ＝60°的斜面BC相接于C點，A、B兩點與圓環(huán)AC的圓心O等高。現(xiàn)將甲、乙小球同時從A、B兩點以一定大小的初速度沿水平方向同時拋出，兩球恰好在C點相碰（不計空氣阻力）。則下列說法正確的是（　　）
A．甲、乙兩球初速度大小之比為：1
B．若僅增大兩球質(zhì)量，則兩球不再相碰
C．若乙球速度大小變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑒t恰能落在斜面的中點D
D．若乙球速度大小變?yōu)樵瓉淼膬杀叮瑒t可能垂直擊中圓環(huán)AC
（多選）（2022 云南二模）如圖，一半徑為R的圓環(huán)固定于豎直平面內(nèi)，圓心為O。現(xiàn)從圓環(huán)上距離圓心O豎直高度為0.5R的A點以水平初速度v0向右拋出一個質(zhì)量為m的小球，一段時間后，小球落在圓環(huán)上的B點（圖中未畫出）；當(dāng)v0大小不同時，小球的落點B也不同．重力加速度為g，不計空氣阻力，小球可視為質(zhì)點。以下說法正確的是（　　）
A．當(dāng)v0大小不同時，小球從A點運(yùn)動到B點的時間可能相同
B．當(dāng)時，小球可以經(jīng)過O點
C．當(dāng)時，A、B兩點位于一條直徑上
D．當(dāng)時，小球從A到B的運(yùn)動過程中速度變化量最大
【知識點五】斜面平拋模型
1．斜面上的平拋運(yùn)動問題是一種常見的題型，解答這類問題的關(guān)鍵：
(1)靈活運(yùn)用平拋運(yùn)動的位移和速度規(guī)律；
(2)充分運(yùn)用斜面傾角，找出斜面傾角與位移偏向角、速度偏向角的關(guān)系。
2．常見的模型及處理方法如下：
圖示 方法 基本規(guī)律 運(yùn)動時間
分解速度，構(gòu)建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 豎直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得t＝
分解位移，構(gòu)建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 豎直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝
在運(yùn)動起點同時分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v＝－2a1d得t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝
（2023 黃山一模）如圖所示，可視為質(zhì)點的小球A、B分別同時從傾角為37°的光滑斜面頂端水平拋出和沿斜面下滑，平拋初速度大小為vA＝5m/s，下滑初速度vB未知，兩小球恰好在斜面底端相遇，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，則（　　）
A．斜面長5m
B．B球初速度
C．相遇前，A、B兩球始終在同一高度
D．相遇前兩小球最遠(yuǎn)相距
（多選）（2023 湖北模擬）如圖所示，某次空中投彈的軍事演習(xí)中，戰(zhàn)斗機(jī)以恒定速度v0沿水平方向飛行，先后釋放A、B兩顆炸彈，分別擊中傾角為θ的山坡上的M點和N點，釋放A、B兩顆炸彈的時間間隔為Δt1，此過程中飛機(jī)飛行的距離為s1；擊中M、N的時間間隔為Δt2，M、N兩點間水平距離為S2，且A炸彈到達(dá)山坡的M點位移垂直斜面，B炸彈是垂直擊中山坡N點的。不計空氣阻力，下列正確的是（　　）
A．A炸彈在空中飛行的時間為
B．
C．
D．
（多選）（2023 上饒模擬）如圖所示，將兩小球A、B從直角三角形斜面（足夠長）的頂端分別向左、向右水平拋出，兩小球分別落在兩個斜面上，三角形的兩底角分別為α，β，不計空氣阻力，下列說法正確的是（　　）
A．將A球先后以v0A與2v0A的速度向左水平拋出，A球兩次落在斜面上的時間之比為1：2
B．將A球先后以v0A與2v0A的速度向左水平拋出，A球兩次落在斜面上的速度方向不同
C．將A、B兩小球分別以v0的速度水平向左、向右拋出，兩小球落在斜面上的時間之比為tanβ：tanα
D．將A、B兩小球分別以v0的速度水平向左、向右拋出，兩小球落在斜面上的下落高度之比為tan2α：tan2β
（2023 湖南）如圖（a），我國某些農(nóng)村地區(qū)人們用手拋撒谷粒進(jìn)行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運(yùn)動軌跡如圖（b）所示，其軌跡在同一豎直平面內(nèi)，拋出點均為O，且軌跡交于P點，拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空氣阻力，關(guān)于兩谷粒在空中的運(yùn)動，下列說法正確的是（　　）
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高點的速度小于v1
C．兩谷粒從O到P的運(yùn)動時間相等
D．兩谷粒從O到P的平均速度相等
（2022 廣東）如圖所示，在豎直平面內(nèi)，截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處，一玩具槍的槍口與小積木上P點等高且相距為L。當(dāng)玩具子彈以水平速度v從槍口向P點射出時，小積木恰好由靜止釋放，子彈從射出至擊中積木所用時間為t。不計空氣阻力。下列關(guān)于子彈的說法正確的是（　　）
A．將擊中P點，t大于 B．將擊中P點，t等于
C．將擊中P點上方，t大于 D．將擊中P點下方，t等于
（多選）（2022 山東）如圖所示，某同學(xué)將離地1.25m的網(wǎng)球以13m/s的速度斜向上擊出，擊球點到豎直墻壁的距離4.8m．當(dāng)網(wǎng)球豎直分速度為零時，擊中墻壁上離地高度為8.45m的P點，網(wǎng)球與墻壁碰撞后，垂直墻面速度分量大小變?yōu)榕銮暗?.75倍，平行墻面的速度分量不變，重力加速度g取10m/s2，網(wǎng)球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為（　　）
A．v＝5m/s B．v＝3m/s C．d＝3.6m D．d＝3.9m
（多選）（2022 河北）如圖，廣場水平地面上同種盆栽緊密排列在以O(shè)為圓心，R1和R2為半徑的同心圓上，圓心處裝有豎直細(xì)水管、其上端水平噴水嘴的高度、出水速度及轉(zhuǎn)動的角速度均可調(diào)節(jié)，以保障噴出的水全部落入相應(yīng)的花盆中，依次給內(nèi)圈和外圈上的盆栽澆水時，噴水嘴的高度、出水速度及轉(zhuǎn)動的角速度分別用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半徑遠(yuǎn)小于同心圓半徑，出水口截面積保持不變，忽略噴水嘴水平長度和空氣阻力。下列說法正確的是（　　）
A．若h1＝h2，則v1：v2＝R2：R1
B．若v1＝v2，則h1：h2＝R12：R22
C．若ω1＝ω2，v1＝v2，噴水嘴各轉(zhuǎn)動一周，則落入每個花盆的水量相同
D．若h1＝h2，噴水嘴各轉(zhuǎn)動一周且落入每個花盆的水量相同，則ω1＝ω2
（2023 南昌二模）如圖所示，運(yùn)動員將排球以速度v從M點水平擊出，排球飛到P點時，被對方運(yùn)動員擊回，球又斜向上飛出后落到M點正下方的N點。已知N點與P點等高，軌跡的最高點Q與M等高，且NP＝2MN。排球在運(yùn)動過程中不計空氣阻力，則排球擊回時的速度大小為（　　）
A．v B． C． D．
（多選）（2023 南通模擬）在無風(fēng)的環(huán)境里將一塑料球以一定的初速度v0水平拋出，球受到的空氣阻力與速度大小成正比，該球運(yùn)動過程中水平方向的速度vx隨時間t、水平方向的位移x的變化規(guī)律，豎直方向的速度vy隨時間t、豎直方向的位移y的變化規(guī)律可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 福州模擬）如圖在某次投籃表演中，運(yùn)動員在空中一個漂亮的投籃，籃球以與水平面成45°的傾角準(zhǔn)確落入籃筐，這次跳起投籃時，投球點和籃筐正好在同一水平面上，設(shè)投球點到籃筐距離為10m，不考慮空氣阻力，g取10m/s2。籃球（　　）
A．在空中做變加速曲線運(yùn)動
B．在最高點時動能為零
C．投出后在空中飛行時間為1s
D．進(jìn)筐的速度大小是10m/s
（2023 荔灣區(qū)校級四模）投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，《禮記傳》中提到：“投壺，射之細(xì)也．宴飲有射以樂賓，以習(xí)容而講藝也．”如圖所示，甲、乙兩人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壺中時與水平面的夾角分別為53°和37°；已知兩支箭質(zhì)量相同，忽略空氣阻力、箭長，壺口大小等因素的影響，下列說法正確的是（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（　　）
A．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，甲所投箭的初速度比乙的大
B．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，乙所投的箭在空中運(yùn)動時間比甲的長
C．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲投壺位置距壺的水平距離比乙大
D．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲所射箭落入壺口時速度比乙小
（2023 張家口二模）如圖所示，一個傾角為45°的斜面與一個圓弧對接，斜面的底端在圓心O的正下方。從斜面頂點以一定的初速度向右水平拋出一小球，則下列說法正確的是（　　）
A．小球初速度不同，則運(yùn)動時間一定不同
B．小球落到斜面上時，其速度方向一定相同
C．小球落到圓弧面上時，其速度方向可能與該處圓的切線垂直
D．小球落到圓弧面上時位置越高，末速度越大
（2023 河南模擬）近年來，國家大力開展冰雪運(yùn)動進(jìn)校園活動，目前已有多所冰雪特色學(xué)校，蹬冰踏雪深受學(xué)生喜愛。如圖所示，現(xiàn)有兩名滑雪運(yùn)動員（均視為質(zhì)點）從跳臺a處先后沿水平方向向左飛出，其速度大小之比為v1：v2＝2：1，不計空氣阻力，則兩名運(yùn)動員從飛出至落到斜坡（可視為斜面）上的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．他們飛行時間之比為t1：t2＝1：2
B．他們飛行的水平位移之比為x1：x2＝2：1
C．他們速度變化之比為Δv1：Δv2＝2：1
D．他們在空中離坡面的最大距離之比為s1：s2＝2：1
（2023 新課標(biāo)）將扁平的石子向水面快速拋出，石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠(yuǎn)方，俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產(chǎn)生“水漂”效果，石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”，一同學(xué)將一石子從距水面高度為h處水平拋出，拋出速度的最小值為多少？（不計石子在空中飛行時的空氣阻力，重力加速度大小為g）
（2022 甲卷）將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機(jī)對運(yùn)動的小球進(jìn)行拍攝，頻閃儀每隔0.05s發(fā)出一次閃光。某次拍攝時，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光，拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像，每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像，所標(biāo)出的兩個線段的長度s1和s2之比為3：7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空氣阻力。求在拋出瞬間小球速度的大小。
（2022 北京）體育課上，甲同學(xué)在距離地面高h(yuǎn)1＝2.5m處將排球擊出，球的初速度沿水平方向，大小為v0＝8.0m/s；乙同學(xué)在離地h2＝0.7m處將排球墊起，墊起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排球質(zhì)量m＝0.3kg，取重力加速度g＝10m/s2。不計空氣阻力。求：
（1）排球被墊起前在水平方向飛行的距離x；
（2）排球被墊起前瞬間的速度大小v及方向；
（3）排球與乙同學(xué)作用過程中所受沖量的大小I。
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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