資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題5.1　開普勒定律 萬有引力定律及其在天文學中的應用
1.物理觀念：萬有引力、宇宙速度。
（1）通過史實，了解萬有引力定律的發現過程。知道萬有引力定律。認識發現萬有引力定律的重要意義。認識科學定律對人類探索未知世界的作用。
（2）會計算人造地球衛星的環繞速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科學思維：萬有引力定律、開普勒定律、雙星模型、多星運動模型。
（1）理解開普勒行星運動定律和萬有引力定律，并會用來解決相關問題.。
（2）掌握雙星、多星系統，會解決相關問題、會分析天體的“追及”問題
3.科學態度與責任：萬有引力與衛星發射、變軌、回收。
會處理人造衛星的變軌和對接問題.知道牛頓力學的局限性，體會人類對自然界的探索是不斷深入的。
【知識點一】開普勒行星運動定律
定律 內容 圖示或公式
開普勒第一定律（軌道定律） 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上
開普勒第二定律（面積定律） 對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等
開普勒第三定律（周期定律） 所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一個與行星無關的常量
【技巧總結】應用開普勒行星運動定律的三點注意
（1）行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。
（2）開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動。
（3）開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同。
（2023 南通模擬）神舟十四號成功發射后，與空間站天和核心艙成功對接，航天員陳東等順利進入天和核心艙。已知地球半徑為R，空間站在距離地面高度h處做勻速圓周運動，同步衛星距離地面高度為空間站高度的90倍，地球自轉周期為T。則空間站繞地運行周期為（　　）
A． B． C． D．
（2023 貴陽模擬）2022年11月9日發生了天王星沖日現象，即天王星和太陽正好分處在地球的兩側，三者幾乎成一條直線，此時是觀察天王星的最佳時間。已知此時地球到天王星和太陽的距離分別為r1、r2，地球的公轉周期為T，則天王星公轉周期約為（　　）
A． B．
C． D．
（2023 驛城區校級二模）如圖所示，天文學家觀測到某行星和地球在同一軌道平面內繞太陽做勻速圓周運動，且行星的軌道半徑比地球的軌道半徑小，地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫做地球對該行星的觀察視角（簡稱視角）。已知該行星的最大視角為θ。則地球與行星繞太陽轉動的（　　）
A．線速度比值為 B．角速度比值為
C．向心加速度比值為sinθ D．向心力比值為sin2θ
【知識點二】萬有引力定律的理解與應用
1．萬有引力定律
公式F＝G適用于質點、均勻介質球體或球殼之間萬有引力的計算．當兩物體為勻質球體或球殼時，可
補償法的應用技巧
對于形狀不規則、缺損或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下的概念、規律的適用條件，不能直接應用公式求解，此時需要用另外一個物體和原物體組合在一起成為一個完整或對稱的簡單、規范的物理模型，整體可以應用相關規律求解，同時“補”上的物體的相關物理量也很好求，待求的物理量可以利用整體去掉“補”上的部分求得。
（2023春 蒙陰縣期中）關于萬有引力及其計算公式，下列說法正確的是（　　）
A．萬有引力只存在于質量很大的兩個物體之間
B．根據公式知，r趨近于0時，F趨近于無窮大
C．相距較遠的兩物體質量均增大為原來的2倍，他們之間的萬有引力也會增加到原來的2倍
D．地球半徑為R，將一物體從地面發射至離地面高度為h處時，物體所受萬有引力減小到原來的一半，則
（2023春 長安區期中）開普勒認為所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的焦點上。如圖所示，地球繞太陽運動的軌道就是一個橢圓，太陽處在焦點F上，OF距離為d，OB距離為R稱為長半軸，OC距離為r稱為短半軸，A點離太陽距離較近稱為近日點，B點離太陽距離較遠稱為遠日點。若已知太陽的質量為M，地球質量為m，萬有引力常量為G，當地球在遠日點B時，受到太陽的萬有引力大小為（　　）
A． B． C． D．
（2022春 成都期末）有一質量為M，半徑為R，密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質量為m的質點，現從M中挖去半徑為R的球體，如圖所示，則剩余部分對m的萬有引力F為（　　）
A． B． C． D．
【知識點三】星體表面的重力加速度
1．地球表面的重力與萬有引力
地面上的物體所受地球的吸引力產生兩個效果，其中一個分力提供了物體繞地軸做圓周運動的向心力，另一個分力等于重力．
（1）在兩極，向心力等于零，mg＝；
（2）除兩極外，物體的重力都比萬有引力小；
（3）在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和mg剛好在一條直線上，則有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.
2．地球表面附近（脫離地面）的重力與萬有引力
地球自轉，物體所受的重力近似等于地球表面處的萬有引力，即mg＝，R為地球半徑，g為地球表面附近的重力加速度，故GM＝gR2.
3．距地面一定高度處的重力與萬有引力
物體在距地面一定高度h處時，mg′＝，R為地球半徑，g′為該高度處的重力加速度，故GM＝g′（R＋h）2.
（多選）（2023 南昌二模）中國空間站是我國建成的國家級太空實驗室。下表是一些有關空間站和月球在軌運動的有關數據，兩者均可視為繞地球做勻速圓周運動。利用萬有引力常量和表中的信息可以估算出的是（　　）
物理量 空間站運動周期 空間站離地高度 月球公轉周期 地球半徑
數值 約1.5h 約為400km 約27.3天 約6400km
A．地球的質量 B．地球的平均密度
C．月球公轉的線速度 D．月球表面的重力加速度
（2020 敘州區校級模擬）宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態下的物理現象．若飛船質量為m，距地面高度為h，地球質量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為（　　）
A．0 B． C． D．
（2023 思明區二模）金星和火星均繞太陽做勻速圓周運動，金星半徑是火星半徑的n（n＜1）倍，金星質量為火星質量的k倍。忽略行星的自轉，則下列說法正確的是（　　）
A．金星表面的重力加速度是火星的
B．金星的第一宇宙速度是火星的
C．金星繞太陽運動的加速度比火星大
D．金星繞太陽運動的周期比火星大
【知識點四】天體質量和密度的估算
中心天體質量和密度常用的估算方法
質 量 的 計 算 使用方法 已知量 利用公式 表達式 備注
利用運 行天體 r、T G＝mr M＝ 只能得 到中心 天體的 質量
r、v G＝m M＝
v、T G＝m G＝mr M＝
密 度 的計 算 利用天體表面 重力加速度 g、R mg＝ M＝ －
利用運 行天體 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 當r＝R時 ρ＝ 利用近 地衛星 只需測 出其運 行周期
利用天體 表面重力 加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ —
（2023 西城區校級模擬）假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常數為G，則地球的密度為（　　）
A．10 B．
C． D．
（2023 南關區校級模擬）在天文學領域有一名詞叫洛希極限，它是一個距離，當質量分布均勻的兩球形天體M和m（M＞m）的球心間的距離小于這個距離時，m會解體分散。若M的半徑為R，M和m的平均密度分別為ρM和ρm，忽略天體可能的形變，理論上洛希極限d＝1.26R（）。已知太陽和地球的半徑之比約為100，太陽和地球間的距離約為地球和月球間距離的400倍，粗略計算取月球的平均密度等于地球的平均密度，根據以上內容和日常的天文學知識，太陽和地球的洛希距離與地球和月球的洛希距離的比值最接近于（　　）
A．200 B．160 C．120 D．80
（2023 沈河區校級模擬）我國計劃在2023年發射“嫦娥六號”，它是嫦娥探月工程計劃中嫦娥系列的第六顆人造探月衛星，主要任務是更深層次、更加全面的科學探測月球地理、資源等方面的信息，進一步完善月球檔案資料。已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，嫦娥六號的質量為m，離月球中心的距離為r。根據以上信息可求出（　　）
A．月球的第一宇宙速度為
B．“嫦娥六號”繞月運行的動能為
C．月球的平均密度為
D．“嫦娥六號”繞月運行的周期為
【知識點五】天體追及相遇問題
1．相距最近
兩衛星的運轉方向相同，且位于和中心連線的半徑上同側時，兩衛星相距最近，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足（ωA－ωB）t＝2nπ（n＝1，2，3…）．
2．相距最遠
當兩衛星位于和中心連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足（ωA－ωB）t′＝（2n－1）π（n＝1，2，3…）．
（2023 鄭州二模）太空電梯的原理與生活中的普通電梯十分相似。只需在地球同步軌道上建造一個空間站，并用某種足夠長也足夠結實的“索道”將其與地面相連。如圖所示，假設有一長度為r的太空電梯連接地球赤道上的固定基地與同步衛星軌道上的空間站a，整個太空電梯相對地面靜止。衛星b與空間站a的運行方向相同，某時刻二者距離最近，已知地球半徑為R，自轉周期為T，下列說法正確的是（　　）
A．太空電梯各點均處于完全失重狀態
B．太空電梯上各點線速度與該點離地球球心距離成反比
C．太空電梯靠近地球一端的角速度大于衛星b的角速度
D．若經過時間t之后，a、b第一次相距最遠，則衛星b的周期為2t
（2023春 天寧區校級月考）如圖所示，三顆衛星a、b、c繞地球做勻速圓周運動，其中b、c在地球的同步軌道上，a距離地球表面的高度為R，此時a、b恰好相距最近。已知地球質量為M、半徑為R、地球自轉的角速度為ω．萬有引力常量為G，則（　　）
A．衛星a和b下一次相距最近還需經過t
B．衛星c的機械能等于衛星b的機械能
C．若要衛星c與b實現對接，可讓衛星c加速
D．發射衛星b時速度要大于11.2 km/s
（多選）（2023春 香坊區校級期中）如圖所示，a是“天宮一號”飛行器、b、c是地球同步衛星，此時，a、b恰好相距最近。已知地球質量為M，半徑為R，地球自轉的角速度為ω，若“天宮一號”飛行器a和衛星b、c均沿逆時針方向轉動，“天宮一號”飛行器a的軌道半徑為r，引力常量為G，則（　　）
A．“天宮一號”飛行器a的線速度大于衛星b的線速度
B．“天宮一號”飛行器a在軌運行的周期小于24小時
C．衛星c加速就一定能追上衛星b
D．從此時起再經時間a、b相距最近
（2023 湖北）2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3：2，如圖所示。根據以上信息可以得出（　　）
A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27：8
B．當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大
C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9：4
D．下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之前
（2023 浙江）木星的衛星中，木衛一、木衛二、木衛三做圓周運動的周期之比為1：2：4。木衛三周期為T，公轉軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉周期為T0，則（　　）
A．木衛一軌道半徑為
B．木衛二軌道半徑為r
C．周期T與T0之比為
D．木星質量與地球質量之比為
（2023 遼寧）在地球上觀察，月球和太陽的角直徑（直徑對應的張角）近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為（　　）
A．k3（）2 B．k3（）2
C．（）2 D．（）2
（2023 湖南）根據宇宙大爆炸理論，密度較大區域的物質在萬有引力作用下，不斷聚集可能形成恒星。恒星最終的歸宿與其質量有關，如果質量為太陽質量的1～8倍將坍縮成白矮星，質量為太陽質量的10～20倍將坍縮成中子星，質量更大的恒星將坍縮成黑洞。設恒星坍縮前后可看成質量均勻分布的球體，質量不變，體積縮小，自轉變快。不考慮恒星與其它物體的相互作用。已知逃逸速度為第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根據萬有引力理論，下列說法正確的是（　　）
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍縮后表面兩極處的重力加速度比坍縮前的大
C．恒星坍縮前后的第一宇宙速度不變
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
（2023 全國）一月球探測器繞月球做周期為T的圓周運動，軌道距月球表面的高度為H。已知月球半徑為R，引力常量為G，則月球的平均密度為（　　）
A．（1）3 B．（1）3
C．（1）3 D．（1）3
（2023 浙江）太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表：
行星名稱 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為（　　）
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
（多選）（2022 重慶）我國載人航天事業已邁入“空間站時代”。若中國空間站繞地球近似做勻速圓周運動，運行周期為T，軌道半徑約為地球半徑的倍，已知地球半徑為R，引力常量為G，忽略地球自轉的影響，則（　　）
A．漂浮在空間站中的宇航員不受地球的引力
B．空間站繞地球運動的線速度大小約為
C．地球的平均密度約為
D．空間站繞地球運動的向心加速度大小約為地面重力加速度的倍
（2021 全國）卡文迪許用扭秤實驗測定了引力常量，以實驗驗證了萬有引力定律的正確性。應用引力常量還可以計算出地球的質量，卡文迪許也因此被稱為“能稱出地球質量的人”。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，地面上的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半徑R＝6.4×106m，則地球質量約為（　　）
A．6×1018kg B．6×1020 kg C．6×1022 kg D．6×1024 kg
（2023 荔灣區校級四模）神舟十五號載人飛船入軌后，于2022年11月30日5時42分，成功對接于空間站天和核心艙前向端口，形成的組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運動，周期約90分鐘。下列說法正確的是（　　）
A．天和艙中的宇航員處于失重狀態，不受地球的引力
B．組合體繞地球做圓周運動的速度比地球同步衛星的大
C．組合體繞地球做圓周運動的速度略大于第一宇宙速度
D．宇航員在空間站中利用單擺周期公式可以完成空間站所在位置處重力加速度的測量
（2023 衡水二模）天文學家于2022年1月6日發現了小行星2022AE1，對其跟蹤觀察并完善其軌跡發現，小行星2022AE1的直徑約為70m，質量m≈4×105t，運動軌跡為拋物線，它將會在2023年7月4日與地球擦肩而過。把地球看作半徑為R的均質球體，忽略地球的自轉，地球表面的重力加速度大小為g，預計小行星2022AE1距地心為8R時的速度大小為，方向與它和地心連線所成的角為30°，如圖所示。已知小行星2022AE1的引力勢能Ep，式中r為行星2022AE1到地心的距離，小行星2022AE1與地心的連線在任意相等時間內掃過的面積相等，忽略其他天體的影響，據此可推測出（　　）
A．小行星2022AE1與地心的連線在單位時間內掃過的面積為2R
B．小行星2022AE1距地球表面的最小距離為2R
C．小行星2022AE1的最大速度為
D．小行星2022AE1的最大加速度為
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專題5.1　開普勒定律 萬有引力定律及其在天文學中的應用
1.物理觀念：萬有引力、宇宙速度。
（1）通過史實，了解萬有引力定律的發現過程。知道萬有引力定律。認識發現萬有引力定律的重要意義。認識科學定律對人類探索未知世界的作用。
（2）會計算人造地球衛星的環繞速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
2.科學思維：萬有引力定律、開普勒定律、雙星模型、多星運動模型。
（1）理解開普勒行星運動定律和萬有引力定律，并會用來解決相關問題.。
（2）掌握雙星、多星系統，會解決相關問題、會分析天體的“追及”問題
3.科學態度與責任：萬有引力與衛星發射、變軌、回收。
會處理人造衛星的變軌和對接問題.知道牛頓力學的局限性，體會人類對自然界的探索是不斷深入的。
【知識點一】開普勒行星運動定律
定律 內容 圖示或公式
開普勒第一定律（軌道定律） 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上
開普勒第二定律（面積定律） 對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等
開普勒第三定律（周期定律） 所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一個與行星無關的常量
【技巧總結】應用開普勒行星運動定律的三點注意
（1）行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。
（2）開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動。
（3）開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k值不同。
（2023 南通模擬）神舟十四號成功發射后，與空間站天和核心艙成功對接，航天員陳東等順利進入天和核心艙。已知地球半徑為R，空間站在距離地面高度h處做勻速圓周運動，同步衛星距離地面高度為空間站高度的90倍，地球自轉周期為T。則空間站繞地運行周期為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：設同步衛星距地面的高度為H，空間站的周期為T0，則由開普勒第三定律可得：
整理可得：
代入數據解得：，故A正確，BCD錯誤；
故選：A。
（2023 貴陽模擬）2022年11月9日發生了天王星沖日現象，即天王星和太陽正好分處在地球的兩側，三者幾乎成一條直線，此時是觀察天王星的最佳時間。已知此時地球到天王星和太陽的距離分別為r1、r2，地球的公轉周期為T，則天王星公轉周期約為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根據開普勒第三定律：
解得，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2023 驛城區校級二模）如圖所示，天文學家觀測到某行星和地球在同一軌道平面內繞太陽做勻速圓周運動，且行星的軌道半徑比地球的軌道半徑小，地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫做地球對該行星的觀察視角（簡稱視角）。已知該行星的最大視角為θ。則地球與行星繞太陽轉動的（　　）
A．線速度比值為 B．角速度比值為
C．向心加速度比值為sinθ D．向心力比值為sin2θ
【解答】解：由題圖可知，當行星處于最大視角處時，地球和行星的連線應與行星軌道相切。
根據幾何關系有R行＝R地sinθ
根據開普勒第三定律有：
B、角速度比值：，故B正確；
A、線速度比值：，故A錯誤；
C、向心加速度比值：sin2θ，故C錯誤；
D、行星和地球的質量未知，則向心力無法比較，故D錯誤。
故選：B。
【知識點二】萬有引力定律的理解與應用
1．萬有引力定律
公式F＝G適用于質點、均勻介質球體或球殼之間萬有引力的計算．當兩物體為勻質球體或球殼時，可
補償法的應用技巧
對于形狀不規則、缺損或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下的概念、規律的適用條件，不能直接應用公式求解，此時需要用另外一個物體和原物體組合在一起成為一個完整或對稱的簡單、規范的物理模型，整體可以應用相關規律求解，同時“補”上的物體的相關物理量也很好求，待求的物理量可以利用整體去掉“補”上的部分求得。
（2023春 蒙陰縣期中）關于萬有引力及其計算公式，下列說法正確的是（　　）
A．萬有引力只存在于質量很大的兩個物體之間
B．根據公式知，r趨近于0時，F趨近于無窮大
C．相距較遠的兩物體質量均增大為原來的2倍，他們之間的萬有引力也會增加到原來的2倍
D．地球半徑為R，將一物體從地面發射至離地面高度為h處時，物體所受萬有引力減小到原來的一半，則
【解答】解：A．萬有引力是普遍存在于宇宙空間中所有具有質量的物體之間的相互作用，宇宙中各物體之間均存在萬有引力，故A錯誤；
B．萬有引力公式只適用于兩個可以看成質點的物體，r趨近于0時，不能看作質點，萬有引力的公式不適用，故B錯誤；
C．由萬有引力公式
當質量均變為原來的2倍，則萬有引力會增加為原來的4倍，故C錯誤；
D．在地面上，有
h處有
聯立解得
故D正確。
故選：D。
（2023春 長安區期中）開普勒認為所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的焦點上。如圖所示，地球繞太陽運動的軌道就是一個橢圓，太陽處在焦點F上，OF距離為d，OB距離為R稱為長半軸，OC距離為r稱為短半軸，A點離太陽距離較近稱為近日點，B點離太陽距離較遠稱為遠日點。若已知太陽的質量為M，地球質量為m，萬有引力常量為G，當地球在遠日點B時，受到太陽的萬有引力大小為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：當地球在遠日點B時，地球的軌道半徑為：r′＝R+d
根據萬有引力定律可得，地球在遠日點B時，
受到太陽的萬有引力大小為：
故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2022春 成都期末）有一質量為M，半徑為R，密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質量為m的質點，現從M中挖去半徑為R的球體，如圖所示，則剩余部分對m的萬有引力F為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在小球內部挖去一個半徑為R的球體，挖去小球的質量為：m′，
挖去小球前球與質點的萬有引力：F″，
被挖部分對質點的引力為：F′，
則剩余部分對m的萬有引力F＝F″﹣F′。
故選：A。
【知識點三】星體表面的重力加速度
1．地球表面的重力與萬有引力
地面上的物體所受地球的吸引力產生兩個效果，其中一個分力提供了物體繞地軸做圓周運動的向心力，另一個分力等于重力．
（1）在兩極，向心力等于零，mg＝；
（2）除兩極外，物體的重力都比萬有引力小；
（3）在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和mg剛好在一條直線上，則有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.
2．地球表面附近（脫離地面）的重力與萬有引力
地球自轉，物體所受的重力近似等于地球表面處的萬有引力，即mg＝，R為地球半徑，g為地球表面附近的重力加速度，故GM＝gR2.
3．距地面一定高度處的重力與萬有引力
物體在距地面一定高度h處時，mg′＝，R為地球半徑，g′為該高度處的重力加速度，故GM＝g′（R＋h）2.
（多選）（2023 南昌二模）中國空間站是我國建成的國家級太空實驗室。下表是一些有關空間站和月球在軌運動的有關數據，兩者均可視為繞地球做勻速圓周運動。利用萬有引力常量和表中的信息可以估算出的是（　　）
物理量 空間站運動周期 空間站離地高度 月球公轉周期 地球半徑
數值 約1.5h 約為400km 約27.3天 約6400km
A．地球的質量 B．地球的平均密度
C．月球公轉的線速度 D．月球表面的重力加速度
【解答】解：AB、已知空間站運動周期T、空間站離地高度h、地球半徑R，根據萬有引力提供向心力得：
Gm（R+h）
得地球質量為：M，可以求出地球的質量M。
由M＝ρ 可以求出地球的密度ρ，故AB正確；
C、月球繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力得：
結合月球公轉周期T月，可以求月球到地球的距離r，根據，可以求月球的公轉的線速度，故C正確；
D、在月球表面上，由可知，因為月球質量未知、月球半徑未知，無法求出月球表面的重力加速度，故D錯誤。
故選：ABC。
（2020 敘州區校級模擬）宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態下的物理現象．若飛船質量為m，距地面高度為h，地球質量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為（　　）
A．0 B． C． D．
【解答】解：飛船在距地面高度為h處，由萬有引力等于重力得：
解得：g
故選：B。
（2023 思明區二模）金星和火星均繞太陽做勻速圓周運動，金星半徑是火星半徑的n（n＜1）倍，金星質量為火星質量的k倍。忽略行星的自轉，則下列說法正確的是（　　）
A．金星表面的重力加速度是火星的
B．金星的第一宇宙速度是火星的
C．金星繞太陽運動的加速度比火星大
D．金星繞太陽運動的周期比火星大
【解答】解：A、根據天體繞太陽做勻速圓周運動，萬有引力等于重力得，得g，則金星表面和火星表面的重力加速度之比為，故A錯誤；
B、由，得第一宇宙速度表達式為v，則金星與火星的第一宇宙速度之比為，故B錯誤；
C、由公式，得行星的加速度為，由于金星軌道半徑比火星軌道半徑小，則金星繞太陽運動的加速度比火星大，故C正確；
D、金星和火星均繞太陽做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，得，得行星運行周期為
由于金星軌道半徑比火星軌道半徑小，則金星繞太陽運動的周期比火星小，故D錯誤。
故選：C。
【知識點四】天體質量和密度的估算
中心天體質量和密度常用的估算方法
質 量 的 計 算 使用方法 已知量 利用公式 表達式 備注
利用運 行天體 r、T G＝mr M＝ 只能得 到中心 天體的 質量
r、v G＝m M＝
v、T G＝m G＝mr M＝
密 度 的計 算 利用天體表面 重力加速度 g、R mg＝ M＝ －
利用運 行天體 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 當r＝R時 ρ＝ 利用近 地衛星 只需測 出其運 行周期
利用天體 表面重力 加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ —
（2023 西城區校級模擬）假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常數為G，則地球的密度為（　　）
A．10 B．
C． D．
【解答】解：在兩極地區，萬有引力等于物體的重力，則有，從而可以求得：M
在赤道處，萬有引力和重力的合力提供圓周運動向心力，則有，
聯立兩式解得：
所以地球的密度：ρ
聯立解得：ρ，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（2023 南關區校級模擬）在天文學領域有一名詞叫洛希極限，它是一個距離，當質量分布均勻的兩球形天體M和m（M＞m）的球心間的距離小于這個距離時，m會解體分散。若M的半徑為R，M和m的平均密度分別為ρM和ρm，忽略天體可能的形變，理論上洛希極限d＝1.26R（）。已知太陽和地球的半徑之比約為100，太陽和地球間的距離約為地球和月球間距離的400倍，粗略計算取月球的平均密度等于地球的平均密度，根據以上內容和日常的天文學知識，太陽和地球的洛希距離與地球和月球的洛希距離的比值最接近于（　　）
A．200 B．160 C．120 D．80
【解答】解：地球繞太陽運動的周期T1＝365天，月球繞地球的運動周期T2＝30天，太陽和地球間的距離約為地球和月球間距離的400倍，即r1≈400r2
根據萬有引力提供向心力，則有：mr，解得M
解得太陽質量與地球質量之比為：M1：M2≈432351
根據密度計算公式可得：ρ，其中V，已知太陽和地球的半徑之比約為100，則太陽和地球的密度之比：
ρ1：ρ2＝0.4323
洛希極限d＝1.26R（），月球的平均密度等于地球的平均密度，則太陽和地球的洛希距離與地球和月球的洛希距離的比值：
d1：d2≈80，故D正確、ABC錯誤。
故選：D。
（2023 沈河區校級模擬）我國計劃在2023年發射“嫦娥六號”，它是嫦娥探月工程計劃中嫦娥系列的第六顆人造探月衛星，主要任務是更深層次、更加全面的科學探測月球地理、資源等方面的信息，進一步完善月球檔案資料。已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，嫦娥六號的質量為m，離月球中心的距離為r。根據以上信息可求出（　　）
A．月球的第一宇宙速度為
B．“嫦娥六號”繞月運行的動能為
C．月球的平均密度為
D．“嫦娥六號”繞月運行的周期為
【解答】解：A、設月球的質量為M。在月球表面，忽略自轉，根據重力等于萬有引力有
解得：GM＝gR2
對于近月衛星，根據萬有引力提供向心力，有
可得月球的第一宇宙速度為：，故A錯誤；
B、“嫦娥六號”繞月運行時，根據萬有引力提供向心力，有
解得：
“嫦娥六號”繞月運行的動能為：，故B正確；
C、由得月球的質量為，月球的平均密度為，故C錯誤；
D、“嫦娥六號”繞月運行時根據萬有引力提供向心力，有
解得“嫦娥六號”繞月運行的周期為，故D錯誤。
故選：B。
【知識點五】天體追及相遇問題
1．相距最近
兩衛星的運轉方向相同，且位于和中心連線的半徑上同側時，兩衛星相距最近，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足（ωA－ωB）t＝2nπ（n＝1，2，3…）．
2．相距最遠
當兩衛星位于和中心連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足（ωA－ωB）t′＝（2n－1）π（n＝1，2，3…）．
（2023 鄭州二模）太空電梯的原理與生活中的普通電梯十分相似。只需在地球同步軌道上建造一個空間站，并用某種足夠長也足夠結實的“索道”將其與地面相連。如圖所示，假設有一長度為r的太空電梯連接地球赤道上的固定基地與同步衛星軌道上的空間站a，整個太空電梯相對地面靜止。衛星b與空間站a的運行方向相同，某時刻二者距離最近，已知地球半徑為R，自轉周期為T，下列說法正確的是（　　）
A．太空電梯各點均處于完全失重狀態
B．太空電梯上各點線速度與該點離地球球心距離成反比
C．太空電梯靠近地球一端的角速度大于衛星b的角速度
D．若經過時間t之后，a、b第一次相距最遠，則衛星b的周期為2t
【解答】解：A、對地球衛星有：mrω2，解得：ω可知，衛星軌道半徑越大，角速度越小，由于太空電梯上（除a點）各質點的角速度與同步衛星的角速度相同，即“太空電梯”各質點的角速度小于與其處于同一軌道半徑上衛星的角速度，則“太空電梯”上各質點做圓周運動所需的向心加速度小于該軌道衛星的向心加速度，衛星的向心力是全部由萬有引力題供，但是太空電梯上各質點的向心力小于其萬有引力，所以處于失重狀態，但不是處于完全失重狀態，故A錯誤；
B、根據線速度與角速度的關系有v＝ωr，由于太空電梯上各點的角速度等于地球自轉的角速度，可知，太空電梯上各點線速度與該點離地球球心距離成正比，故B錯誤；
C、根據ω可知，衛星軌道半徑越大，角速度越小，由于太空電梯上各質點的角速度與同步衛星的角速度相同，所以太空電梯靠近地球一端的角速度大于衛星b的角速度，故C正確；
D、若經過時間t之后，a、b第一次相距最遠，則有：ωat﹣ωbt＝π，即，解得：Tb，故D錯誤。
故選：C。
（2023春 天寧區校級月考）如圖所示，三顆衛星a、b、c繞地球做勻速圓周運動，其中b、c在地球的同步軌道上，a距離地球表面的高度為R，此時a、b恰好相距最近。已知地球質量為M、半徑為R、地球自轉的角速度為ω．萬有引力常量為G，則（　　）
A．衛星a和b下一次相距最近還需經過t
B．衛星c的機械能等于衛星b的機械能
C．若要衛星c與b實現對接，可讓衛星c加速
D．發射衛星b時速度要大于11.2 km/s
【解答】解：A、衛星b在地球的同步軌道上，所以衛星b和地球具有相同的周期和角速度。
由萬有引力提供向心力，即mω2r
ω
a距離地球表面的高度為R，所以衛星a的角速度ωa
此時a、b恰好相距最近，到衛星a和b下一次相距最近，
（ωa﹣ω）t＝2π
t，故A正確；
B、衛星c與衛星b的軌道相同，所以速度是相等的，但由于不知道它們的質量的關系，所以不能判斷出衛星c的機械能等于衛星b的機械能。故B錯誤；
C、讓衛星c加速，所需的向心力增大，由于萬有引力小于所需的向心力，衛星c會做離心運動，離開原軌道，所以不能與b實現對接，故C錯誤；
D、衛星b繞地球做勻速圓周運動，7.9km/s是指在地球上發射的物體繞地球飛行做圓周運動所需的最小初始速度，11.2km/s是物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度。所以發射衛星b時速度大于7.9km/s，而小于　11.2km/s，故D錯誤；
故選：A。
（多選）（2023春 香坊區校級期中）如圖所示，a是“天宮一號”飛行器、b、c是地球同步衛星，此時，a、b恰好相距最近。已知地球質量為M，半徑為R，地球自轉的角速度為ω，若“天宮一號”飛行器a和衛星b、c均沿逆時針方向轉動，“天宮一號”飛行器a的軌道半徑為r，引力常量為G，則（　　）
A．“天宮一號”飛行器a的線速度大于衛星b的線速度
B．“天宮一號”飛行器a在軌運行的周期小于24小時
C．衛星c加速就一定能追上衛星b
D．從此時起再經時間a、b相距最近
【解答】解：A、衛星繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，有：m，解得：v，由于“天宮一號”飛行器a的軌道半徑小于衛星b的軌道半徑，所以“天宮一號”飛行器a的線速度大于衛星b的線速度，故A正確；
B、由萬有引力提供向心力有mr，解得衛星的運行周期：T。由于“天宮一號”飛行器a的軌道半徑小于衛星b的軌道半徑，所以“天宮一號”飛行器a在軌運行的周期小于衛星b的周期，b、c是地球同步衛星，衛星b的周期為24小時，則“天宮一號”飛行器a在軌運行的周期小于24小時，故B正確；
C、根據衛星變軌原理可知，衛星c加速后做離心運動，將離開原軌道，則不能追上衛星b，故C錯誤；
D、由萬有引力提供向心力有：mrω2，解得：ω，可知衛星的軌道半徑越大，角速度越小，衛星a、b由相距最近至再次相距最近時，圓周運動轉過的角度差為2π，則有ωat﹣ωbt＝2π，解得t，故D正確。
故選：ABD。
（2023 湖北）2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3：2，如圖所示。根據以上信息可以得出（　　）
A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27：8
B．當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大
C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9：4
D．下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之前
【解答】解：A、根據開普勒第三定律可得k，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3：2，火星與地球繞太陽運動的周期之比約為3：2，故A錯誤；
B、當火星與地球相距最遠時，二者的速度方向相反，所以兩者的相對速度最大，故B正確；
C、根據題中條件無法求解火星與地球表面的自由落體加速度大小之比，故C錯誤；
D、根據A選項可知，火星與地球繞太陽運動的周期之比約為3：2，已知地球的公轉周期為T1＝1年，則火星的公轉周期為：T2≈1.8年。
設經過時間t出現下一次“火星沖日”，則有：（）t＝2π
解得：t＝2.25年
所以下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之后，故D錯誤。
故選：B。
（2023 浙江）木星的衛星中，木衛一、木衛二、木衛三做圓周運動的周期之比為1：2：4。木衛三周期為T，公轉軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍。月球繞地球公轉周期為T0，則（　　）
A．木衛一軌道半徑為
B．木衛二軌道半徑為r
C．周期T與T0之比為
D．木星質量與地球質量之比為
【解答】解：設木衛一、木衛二、木衛三的軌道半徑分別為r1、r2、r3，木衛三周期為T，公轉軌道半徑r3＝nr。
A、根據開普勒第三定律可得：，解得：r1，故A錯誤；
B、根據開普勒第三定律可得：，解得：r2，故B錯誤；
C、由于開普勒第三定律適用于同一個中心天體，不能根據開普勒第三定律計算周期T與T0之比；由于木星和地球質量關系不知道，無法計算T與T0之比，故C錯誤；
D、對于木衛三，根據萬有引力提供向心力，則有：mnr，解得：M木
對于月球繞地球做勻速圓周運動時，有：m′r，解得：M地
所以木星質量與地球質量之比為：，故D正確。
故選：D。
（2023 遼寧）在地球上觀察，月球和太陽的角直徑（直徑對應的張角）近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為（　　）
A．k3（）2 B．k3（）2
C．（）2 D．（）2
【解答】解：對于質量為m的衛星繞中心天體做勻速圓周運動時，設其軌道半徑為r，根據萬有引力提供向心力，則有：mr，解得M
根據密度計算公式可得：ρ，其中V
聯立解得：ρR3
所以有：
即：
其中：k，
解得：（）2，故D正確、ABC錯誤。
故選：D。
（2023 湖南）根據宇宙大爆炸理論，密度較大區域的物質在萬有引力作用下，不斷聚集可能形成恒星。恒星最終的歸宿與其質量有關，如果質量為太陽質量的1～8倍將坍縮成白矮星，質量為太陽質量的10～20倍將坍縮成中子星，質量更大的恒星將坍縮成黑洞。設恒星坍縮前后可看成質量均勻分布的球體，質量不變，體積縮小，自轉變快。不考慮恒星與其它物體的相互作用。已知逃逸速度為第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根據萬有引力理論，下列說法正確的是（　　）
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍縮后表面兩極處的重力加速度比坍縮前的大
C．恒星坍縮前后的第一宇宙速度不變
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
【解答】解：A、重力加速度是矢量，再不同地點指向不同，另外考慮恒星自轉，兩極處萬有引力等于重力，而其它地方萬有引力的一個分力等于重力，所以同一恒星表面任意位置的重力加速度不一定相同，故A錯誤；
B、根據兩極處萬有引力等于重力得：，解得：g，恒星坍縮后質量M不變，R變小，所以表面兩極處的重力加速度一定比坍縮前的大，故B正確；
C、根據星球表面萬有引力提供向心力推導第一宇宙速度，得：，v，質量M不變，R變小，所以恒星坍縮前后的第一宇宙速度變大，故C錯誤；
D、逃逸速度為第一宇宙速度的倍，又根據選項C可知：逃逸速度的表達式為v′，又質量M
聯立解得：，中子星密度大于白矮星，但是半徑不一定大于白矮星，所以不能確定中子星的逃逸速度是大于還是小于白矮星的逃逸速度，故D錯誤。
故選：B。
（2023 全國）一月球探測器繞月球做周期為T的圓周運動，軌道距月球表面的高度為H。已知月球半徑為R，引力常量為G，則月球的平均密度為（　　）
A．（1）3 B．（1）3
C．（1）3 D．（1）3
【解答】解：月球探測器繞月球做勻速圓周運動，月球對探測器的引力提供向心力，有：Gm（R+H）
解得：M
月球的體積為VπR3
則月球的平均密度ρ（1）3
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2023 浙江）太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表：
行星名稱 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為（　　）
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
【解答】解：由開普勒第三定律，其軌道半徑r的三次方與周期T的平方的比值都相等，設地球外另一行星的周期為T'，則有：
則兩次沖日時間間隔為t，則
可得：t
對火星和地球，代入數據得：t≈800天
對天王星和地球，代入數據得：t≈369天
故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
（多選）（2022 重慶）我國載人航天事業已邁入“空間站時代”。若中國空間站繞地球近似做勻速圓周運動，運行周期為T，軌道半徑約為地球半徑的倍，已知地球半徑為R，引力常量為G，忽略地球自轉的影響，則（　　）
A．漂浮在空間站中的宇航員不受地球的引力
B．空間站繞地球運動的線速度大小約為
C．地球的平均密度約為
D．空間站繞地球運動的向心加速度大小約為地面重力加速度的倍
【解答】解：A.漂浮在空間站中的宇航員依然受地球的引力，所受引力提供做勻速圓周運動的向心力，處于完全失重，視重為零，故A錯誤；
B.根據勻速圓周運動的規律，可知空間站繞地球運動的線速度大小約為
v
故B正確；
C.設空間站的質量為m，其所受萬有引力提供向心力，有
Gm
則地球的平均密度約為
ρ
聯立可得：ρ，
故C錯誤；
D.根據萬有引力提供向心力，有
Gma
則空間站繞地球運動的向心加速度大小為
a＝G
地表的重力加速度為
g
聯立可得：
即空間站繞地球運動的向心加速度大小約為地面重力加速度的倍，故D正確；
故選：BD。
（2021 全國）卡文迪許用扭秤實驗測定了引力常量，以實驗驗證了萬有引力定律的正確性。應用引力常量還可以計算出地球的質量，卡文迪許也因此被稱為“能稱出地球質量的人”。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，地面上的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半徑R＝6.4×106m，則地球質量約為（　　）
A．6×1018kg B．6×1020 kg C．6×1022 kg D．6×1024 kg
【解答】解：根據公式可得kg＝6×1024kg，故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2023 荔灣區校級四模）神舟十五號載人飛船入軌后，于2022年11月30日5時42分，成功對接于空間站天和核心艙前向端口，形成的組合體在地球引力作用下繞地球做圓周運動，周期約90分鐘。下列說法正確的是（　　）
A．天和艙中的宇航員處于失重狀態，不受地球的引力
B．組合體繞地球做圓周運動的速度比地球同步衛星的大
C．組合體繞地球做圓周運動的速度略大于第一宇宙速度
D．宇航員在空間站中利用單擺周期公式可以完成空間站所在位置處重力加速度的測量
【解答】解：A、天和艙中的宇航員處于失重狀態，地球對宇航員的引力指向地心，提供向心力，故A錯誤；
B、組合體做圓周運動的周期小于地球同步衛星的周期，根據萬有引力提供向心力得：Gmr
解得：r
則組合體做圓周運動的半徑小于地球同步衛星的半徑，根據Gm得，v
則組合體繞地球做圓周運動的速度比地球同步衛星的大，故B正確；
C、地球第一宇宙速度是衛星繞地球做圓周運動的最大速度，組合體繞地球做圓周運動時，運動半徑r大于地球半徑R，由v得，組合體繞地球做圓周運動的速度略小于第一宇宙速度，故C錯誤；
D、在空間站中處于完全失重狀態，單擺不能正常工作，則不能用單擺周期公式完成空間站所在位置處重力加速度的測量，故D錯誤。
故選：B。
（2023 衡水二模）天文學家于2022年1月6日發現了小行星2022AE1，對其跟蹤觀察并完善其軌跡發現，小行星2022AE1的直徑約為70m，質量m≈4×105t，運動軌跡為拋物線，它將會在2023年7月4日與地球擦肩而過。把地球看作半徑為R的均質球體，忽略地球的自轉，地球表面的重力加速度大小為g，預計小行星2022AE1距地心為8R時的速度大小為，方向與它和地心連線所成的角為30°，如圖所示。已知小行星2022AE1的引力勢能Ep，式中r為行星2022AE1到地心的距離，小行星2022AE1與地心的連線在任意相等時間內掃過的面積相等，忽略其他天體的影響，據此可推測出（　　）
A．小行星2022AE1與地心的連線在單位時間內掃過的面積為2R
B．小行星2022AE1距地球表面的最小距離為2R
C．小行星2022AE1的最大速度為
D．小行星2022AE1的最大加速度為
【解答】解：A、小行星與地心的連線在單位時間內掃過的面積為
，故A錯誤；
BC、小行星與地球最近時，此時加速度與速度均達到最大值，由機械能守恒定律可得：
因為小行星與地心的連線在單位時間內掃過的面積相同，則有
解得：rmin＝2R，
小行星2022AE1距地球球心的最小距離為2R，距地球表面的最小距離不等于2R，故B錯誤，C正確；
D、忽略地球自轉時，地球表面物體所受萬有引力等于重力，則有
小行星到地心的距離為2R時，根據牛頓第二定律可得：
解得：a，故D錯誤；
故選：C。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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