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專(zhuān)題6.3　機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用
1.物理觀念：重力勢(shì)能、機(jī)械能。
（1）理解功和功率。了解生產(chǎn)生活中常見(jiàn)機(jī)械的功率大小及其意義。
（2）理解動(dòng)能和動(dòng)能定理。能用動(dòng)能定理解釋生產(chǎn)生活中的現(xiàn)象。
2.科學(xué)思維：機(jī)械能守恒定律。
（1）理解重力勢(shì)能，知道重力勢(shì)能的變化與重力做功的關(guān)系。定性了解彈性勢(shì)能。。
（2）知道機(jī)械能的含義會(huì)判斷研究對(duì)象在某一過(guò)程機(jī)械能是否守恒.
（3）.能應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解決具體問(wèn)題．
3.科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：
（1）理解機(jī)械能守恒定律，體會(huì)守恒觀念對(duì)認(rèn)識(shí)物理規(guī)律的重要性。
（2）.能用機(jī)械能守恒定律分析生產(chǎn)生活中的有關(guān)問(wèn)題。
【知識(shí)點(diǎn)一】機(jī)械能守恒定律的判斷
1．重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系
（1）重力做功的特點(diǎn)：重力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān)；重力做功不引起物體機(jī)械能的變化。
（2）重力勢(shì)能：重力勢(shì)能是物體和地球所共有的，重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)，但重力勢(shì)能的變化與參考平面的選取無(wú)關(guān)；重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能減小；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能增大．即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
（3）重力勢(shì)能表達(dá)式：Ep＝mgh.
2．彈性勢(shì)能
（1）定義：發(fā)生彈性形變的物體之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能．
（2）彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系：彈力做正功，彈性勢(shì)能減小；彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加．即W＝－ΔEp.
3．機(jī)械能守恒定律
（1）內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變．
（2）表達(dá)式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.
4．機(jī)械能守恒定律的判斷
（1）利用機(jī)械能的定義判斷：分析動(dòng)能和勢(shì)能的和是否變化．
（2）利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力（或彈簧的彈力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒．
（3）利用能量轉(zhuǎn)化來(lái)判斷：若物體或系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化而無(wú)機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體或系統(tǒng)機(jī)械能守恒．
（2023 浙江模擬）2022年2月15日，蘇翊鳴在北京冬奧會(huì)單板滑雪男子大跳臺(tái)比賽中奪得冠軍，成為首位贏得冬奧會(huì)單板滑雪金牌的中國(guó)運(yùn)動(dòng)員。大跳臺(tái)主要由助滑道，起跳臺(tái)和著陸坡組成，如圖所示，運(yùn)動(dòng)員在助滑道下滑后在起跳臺(tái)起跳，在空中做拋體運(yùn)動(dòng)后落在著陸坡上。某次比賽蘇翊鳴在距離起跳點(diǎn)34m高處從靜止下滑，在空中最高點(diǎn)時(shí)距起跳點(diǎn)12.8m，在空中飛躍的總時(shí)間為4s，已知起跳臺(tái)斜面傾角為37°，蘇翊鳴的質(zhì)量為70kg，不考慮空氣阻力，g取10m/s2，以下說(shuō)法正確的是（　　）
A．起跳速度為16m/s
B．在最高點(diǎn)速度為0
C．下滑過(guò)程機(jī)械能守恒
D．從下滑到著陸重力做功35000J
（2023 虹口區(qū)二模）在空中懸停的無(wú)人機(jī)因突然失去動(dòng)力而下墜。在此過(guò)程中，其所受空氣阻力與下墜速度成正比，則無(wú)人機(jī)下墜過(guò)程中（　　）
A．機(jī)械能守恒
B．可能一直在加速
C．必做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
D．所受合外力先做正功后做負(fù)功
（2023 青羊區(qū)校級(jí)模擬）蹦床運(yùn)動(dòng)深受人們喜愛(ài)，如圖為小明同學(xué)在杭州某蹦床館，利用傳感器測(cè)得蹦床彈力隨時(shí)間的變化圖。假設(shè)小明僅在豎直方向運(yùn)動(dòng)，忽略空氣阻力，依據(jù)圖像給出的物理信息，可得（　　）
A．7.5s至8.3s內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員先處于失重狀態(tài)再處于超重狀態(tài)
B．小明的最大加速度為50m/s2
C．小明上升的最大高度為20m
D．小明在整個(gè)蹦床過(guò)程中機(jī)械能守恒
【知識(shí)點(diǎn)二】單物體機(jī)械能守恒問(wèn)題
1．機(jī)械能守恒的三種表達(dá)式
守恒角度 轉(zhuǎn)化角度 轉(zhuǎn)移角度
表達(dá)式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA增＝ΔEB減
物理意義 系統(tǒng)初狀態(tài)機(jī)械能的總和與末狀態(tài)機(jī)械能的總和相等 系統(tǒng)減少（或增加）的重力勢(shì)能等于系統(tǒng)增加（或減少）的動(dòng)能 系統(tǒng)內(nèi)A部分物體機(jī)械能的增加量等于B部分物體機(jī)械能的減少量
注意事項(xiàng) 選好重力勢(shì)能的參考平面，且初、末狀態(tài)必須用同一參考平面計(jì)算勢(shì)能 分清重力勢(shì)能的增加量或減少量，可不選參考平面而直接計(jì)算初、末狀態(tài)的勢(shì)能差 常用于解決兩個(gè)或多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒問(wèn)題
2.解題的一般步驟
（1）選取研究對(duì)象；
（2）進(jìn)行受力分析，明確各力的做功情況，判斷機(jī)械能是否守恒；
（3）選取參考平面，確定初、末狀態(tài)的機(jī)械能或確定動(dòng)能和勢(shì)能的改變量；
（4）根據(jù)機(jī)械能守恒定律列出方程；
（5）解方程求出結(jié)果，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的討論和說(shuō)明．
（2023 樂(lè)清市校級(jí)模擬）如圖所示，輕桿的一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一個(gè)小球，小球隨輕桿在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。則（　　）
A．小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒
B．小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度大小不變
C．小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)小球作用力方向指向圓心
D．小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)小球的作用力不可能為0
（2023 河南二模）如圖所示，水平地面上的木板中央豎直固定一根輕桿，輕桿頂端用輕繩連接一可看作質(zhì)點(diǎn)的小球，初始時(shí)把小球拉至水平，由靜止釋放，小球向下擺動(dòng)的過(guò)程中木板恰好沒(méi)有滑動(dòng)。已知小球與木板的質(zhì)量相等，則木板與地面間的靜摩擦因數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
（2023 遂寧三模）“神舟十三號(hào)”飛船開(kāi)始在半徑為r1的圓軌道Ⅰ上運(yùn)行，運(yùn)行周期為T(mén)1，在A點(diǎn)通過(guò)變軌操作后進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)，沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)C時(shí)正好與處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ上的核心艙對(duì)接，A為橢圓軌道Ⅱ的近地點(diǎn)，BD為橢圓軌道Ⅱ的短軸。假設(shè)飛船質(zhì)量始終不變，關(guān)于飛船的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．沿軌道Ⅰ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能等于沿軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能
B．沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A時(shí)的速率大于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到C時(shí)的速率
C．沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為
D．沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的加速度小于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的加速度
【知識(shí)點(diǎn)三】多物體機(jī)械能守恒問(wèn)題
1．解決多物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒的注意點(diǎn)
（1）對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。
（2）注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
（3）列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．幾種實(shí)際情景的分析
（1）速率相等情景
用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。
（2）角速度相等情景
桿對(duì)物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒。
（3）關(guān)聯(lián)速度情景
兩物體速度的關(guān)聯(lián)實(shí)質(zhì)：沿繩（或沿桿）方向的分速度大小相等。
（2023 懷仁市模擬）如圖所示，可繞固定轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性輕質(zhì)支架兩端分別固定質(zhì)量為5m、6m的小球A、B，支架兩條邊的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，用手將B球托起至與轉(zhuǎn)軸O等高，此時(shí)連接A球的細(xì)桿與豎直方向的夾角為θ，sinθ＝0.6，重力加速度大小為g，現(xiàn)突然松手，兩小球在擺動(dòng)的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．A球與轉(zhuǎn)軸O等高時(shí)的動(dòng)能為
B．B球下降的最大高度為L(zhǎng)
C．A球的最大動(dòng)能為
D．B球的最大動(dòng)能為
（2023 邢臺(tái)一模）如圖所示，固定的水平長(zhǎng)桿上套有質(zhì)量為m的小物塊A，跨過(guò)輕質(zhì)定滑輪（可視為質(zhì)點(diǎn)O）的細(xì)線(xiàn)一端連接A，另一端懸掛質(zhì)量為m的小物塊B（B靠近定滑輪），滑輪到桿的距離OCh，開(kāi)始時(shí)A位于P點(diǎn)，PO與水平方向的夾角為30°，重力加速度為g，不計(jì)一切摩擦。現(xiàn)將A、B由靜止釋放，則當(dāng)A，O間的細(xì)線(xiàn)與水平方向的夾角為60°時(shí)，小物塊B的速度大小為（　　）
A． B． C． D．
（2023 銀川一模）如圖所示，質(zhì)量m1＝0.2kg的物體P穿在一固定的光滑水平直桿上，直桿右端固定一光滑定滑輪。一繞過(guò)兩光滑定滑輪的細(xì)線(xiàn)的一端與物體P相連，另一端與質(zhì)量m2＝0.45kg的物體Q相連。開(kāi)始時(shí)物體P在外力作用下靜止于A點(diǎn)，繩處于伸直狀態(tài)，已知OA＝0.3m，AB＝0.4m，取重力加速度大小g＝10m/s2，兩物體均視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。某時(shí)刻撤去外力、同時(shí)給P一水平向左的速度v，物體P恰能運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，則v的大小為（　　）
A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s
【知識(shí)點(diǎn)四】含“彈簧類(lèi)”機(jī)械能守恒問(wèn)題
1.由于彈簧的形變會(huì)具有彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的總動(dòng)能將發(fā)生變化，若系統(tǒng)所受的外力（除重力外）和除彈簧彈力以外的內(nèi)力不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
2.彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(zhǎng)（或壓縮至最短）時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能最大。
3.如果系統(tǒng)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零，當(dāng)彈簧為自然長(zhǎng)度時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一端的物體具有最大速度（如繃緊的彈簧由靜止釋放）。
（2023 海淀區(qū)校級(jí)三模）取一支按壓式圓珠筆，將筆的按壓式小鋼帽朝下按壓在桌面上，如圖所示．將手放開(kāi)后，筆會(huì)向上彈起一定的高度，忽略一切阻力．下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．當(dāng)筆剛要離開(kāi)桌面時(shí)，筆的速度達(dá)到最大
B．從筆開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，筆做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
C．從筆外殼與內(nèi)芯碰撞結(jié)束到筆運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，筆的機(jī)械能守恒
D．從筆開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到筆剛要離開(kāi)桌面，桌面對(duì)筆的作用力對(duì)筆做正功
（多選）（2023 廈門(mén)模擬）如圖所示，一個(gè)以O(shè)為圓心、半徑為R的光滑圓環(huán)固定在豎直平面，O點(diǎn)正上方固定一根豎直的光滑細(xì)桿。輕質(zhì)彈簧套在光滑細(xì)桿上，上端固定在M點(diǎn)，下端連接套在細(xì)桿上的滑塊。小球穿在圓環(huán)上，通過(guò)一根長(zhǎng)為2R的兩端有鉸鏈的輕質(zhì)細(xì)桿與滑塊連接。初始時(shí)小球處于圓環(huán)最高點(diǎn)，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)。小球受微小擾動(dòng)（初速度視為0）后沿圓環(huán)順時(shí)針滑下。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的Q點(diǎn)時(shí)，滑塊速度達(dá)到最大值。已知滑塊和小球的質(zhì)量均為m，彈簧的勁度系數(shù)，彈性勢(shì)能（x為彈簧的形變量），重力加速度為g，滑塊和小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，則（　　）
A．小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中，滑塊、小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
B．小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)速度大小與滑塊相等
C．小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)受到細(xì)桿的彈力為
D．小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最低點(diǎn)P時(shí)向心加速度大小為
（多選）（2023 渭南二模）如圖甲所示，一光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一輕質(zhì)彈簧，將質(zhì)量為m的物塊從斜面頂端由靜止釋放，物塊運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，其加速度隨位移變化的規(guī)律如圖乙所示，則（　　）
A．彈簧的勁度系數(shù)為
B．從位置x＝x1到x＝x3物塊速度先減小后增大
C．物塊的最大動(dòng)能為
D．彈簧的最大彈性勢(shì)能為ma1（x3﹣x1）
（2023 浙江）鉛球被水平推出后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不計(jì)空氣阻力，下列關(guān)于鉛球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小a、速度大小v、動(dòng)能Ek和機(jī)械能E隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化關(guān)系中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 甲卷）一同學(xué)將鉛球水平推出，不計(jì)空氣阻力和轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，鉛球在平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（　　）
A．機(jī)械能一直增加 B．加速度保持不變
C．速度大小保持不變 D．被推出后瞬間動(dòng)能最大
（2023 浙江）一位游客正在體驗(yàn)蹦極，綁上蹦極專(zhuān)用的橡皮繩后從跳臺(tái)縱身而下。游客從跳臺(tái)下落直到最低點(diǎn)過(guò)程中（　　）
A．彈性勢(shì)能減小
B．重力勢(shì)能減小
C．機(jī)械能保持不變
D．繩一繃緊動(dòng)能就開(kāi)始減小
（多選）（2023 湖南）如圖，固定在豎直面內(nèi)的光滑軌道ABC由直線(xiàn)段AB和圓弧段BC組成，兩段相切于B點(diǎn)，AB段與水平面夾角為θ，BC段圓心為O，最高點(diǎn)為C，A與C的高度差等于圓弧軌道的直徑2R。小球從A點(diǎn)以初速度v0沖上軌道，能沿軌道運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá)C點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．小球從B到C的過(guò)程中，對(duì)軌道的壓力逐漸增大
B．小球從A到C的過(guò)程中，重力的功率始終保持不變
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能從B點(diǎn)脫離軌道
（2021 重慶）如圖所示，豎直平面內(nèi)有兩個(gè)半徑為R，而內(nèi)壁光滑的圓弧軌道，固定在豎直平面內(nèi)，地面水平，O、O′為兩圓弧的圓心，兩圓弧相切于N點(diǎn)。一小物塊從左側(cè)圓弧最高處?kù)o止釋放，當(dāng)通過(guò)N點(diǎn)時(shí)，速度大小為（重力加速度為g）（　　）
A． B． C． D．
（2021 重慶）質(zhì)量相同的甲、乙兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）以不同的初速度豎直上拋，某時(shí)刻兩球發(fā)生正碰。圖中實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)分別表示甲、乙兩球位置隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)，其中虛線(xiàn)關(guān)于t＝t1左右對(duì)稱(chēng)，實(shí)線(xiàn)兩個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，若小球運(yùn)動(dòng)中除碰撞外僅受重力，則（　　）
A．t＝0時(shí)刻，甲的速率大于乙的速率
B．碰撞前后瞬間，乙的動(dòng)量不變
C．碰撞前后瞬間，甲的動(dòng)能不變
D．碰撞后甲的機(jī)械能大于乙的機(jī)械能
（2021 全國(guó)）如圖，一質(zhì)量為m的小球從高度為H的地方以初速度v0水平拋出。不計(jì)空氣阻力，當(dāng)小球在豎直方向上下降的距離為h時(shí)，其動(dòng)能為（　　）
A．mmgH B．mmgh
C．mgH﹣mgh D．mmg（H﹣h）
（2021 海南）水上樂(lè)園有一末段水平的滑梯，人從滑梯頂端由靜止開(kāi)始滑下后落入水中。如圖所示，滑梯頂端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，將人視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)摩擦和空氣阻力。則人的落水點(diǎn)到滑梯末端的水平距離為（　　）
A．4.0m B．4.5m C．5.0m D．5.5m
（2021 浙江）某一滑雪運(yùn)動(dòng)員從滑道滑出并在空中翻轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)多次曝光得到的照片如圖所示，每次曝光的時(shí)間間隔相等。若運(yùn)動(dòng)員的重心軌跡與同速度不計(jì)阻力的斜拋小球軌跡重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D處于同一水平高度。下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．相鄰位置運(yùn)動(dòng)員重心的速度變化相同
B．運(yùn)動(dòng)員在A、D位置時(shí)重心的速度相同
C．運(yùn)動(dòng)員從A到B和從C到D的時(shí)間相同
D．運(yùn)動(dòng)員重心位置的最高點(diǎn)位于B和C中間
（2023 甲卷）如圖，光滑水平桌面上有一輕質(zhì)彈簧，其一端固定在墻上。用質(zhì)量為m的小球壓彈簧的另一端，使彈簧的彈性勢(shì)能為EP。釋放后，小球在彈簧作用下從靜止開(kāi)始在桌面上運(yùn)動(dòng)，與彈簧分離后，從桌面水平飛出。小球與水平地面碰撞后瞬間，其平行于地面的速度分量與碰撞前瞬間相等；垂直于地面的速度分量大小變?yōu)榕鲎睬八查g的。小球與地面碰撞后，彈起的最大高度為h。重力加速度大小為g，忽略空氣阻力。求：
（1）小球離開(kāi)桌面時(shí)的速度大小；
（2）小球第一次落地點(diǎn)距桌面上其飛出點(diǎn)的水平距離。
（2022 上海）如圖所示，AB為平直導(dǎo)軌，長(zhǎng)為L(zhǎng)，物塊與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，BC為光滑曲面。A與地面間高度差為h1，BC間高度差為h2，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊在水平恒力作用下，從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)撤去恒力，物塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后落地，已知重力加速度為g。
（1）若物塊落地時(shí)動(dòng)能為E1，求其經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能EkB；
（2）若要物塊落地時(shí)動(dòng)能小于E1，求恒力必須滿(mǎn)足的條件。
（2021 浙江）如圖所示，豎直平面內(nèi)由傾角α＝60°的斜面軌道AB、半徑均為R的半圓形細(xì)圓管軌道BCDE和圓周細(xì)圓管軌道EFG構(gòu)成一游戲裝置固定于地面，B、E兩處軌道平滑連接，軌道所在平面與豎直墻面垂直。軌道出口處G和圓心O2的連線(xiàn)，以及O2、E、O1和B等四點(diǎn)連成的直線(xiàn)與水平線(xiàn)間的夾角均為θ＝30°，G點(diǎn)與豎直墻面的距離dR。現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球從斜面的某高度h處?kù)o止釋放。小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞，不計(jì)小球大小和所受阻力。
（1）若釋放處高度h＝h0，當(dāng)小球第一次運(yùn)動(dòng)到圓管最低點(diǎn)C時(shí)，求速度大小vC及在此過(guò)程中所受合力的沖量I的大小和方向；
（2）求小球在圓管內(nèi)與圓心O1點(diǎn)等高的D點(diǎn)所受彈力FN與h的關(guān)系式；
（3）若小球釋放后能從原路返回到出發(fā)點(diǎn)，高度h應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？
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專(zhuān)題6.3　機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用
1.物理觀念：重力勢(shì)能、機(jī)械能。
（1）理解功和功率。了解生產(chǎn)生活中常見(jiàn)機(jī)械的功率大小及其意義。
（2）理解動(dòng)能和動(dòng)能定理。能用動(dòng)能定理解釋生產(chǎn)生活中的現(xiàn)象。
2.科學(xué)思維：機(jī)械能守恒定律。
（1）理解重力勢(shì)能，知道重力勢(shì)能的變化與重力做功的關(guān)系。定性了解彈性勢(shì)能。。
（2）知道機(jī)械能的含義會(huì)判斷研究對(duì)象在某一過(guò)程機(jī)械能是否守恒.
（3）.能應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解決具體問(wèn)題．
3.科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：
（1）理解機(jī)械能守恒定律，體會(huì)守恒觀念對(duì)認(rèn)識(shí)物理規(guī)律的重要性。
（2）.能用機(jī)械能守恒定律分析生產(chǎn)生活中的有關(guān)問(wèn)題。
【知識(shí)點(diǎn)一】機(jī)械能守恒定律的判斷
1．重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系
（1）重力做功的特點(diǎn)：重力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān)；重力做功不引起物體機(jī)械能的變化。
（2）重力勢(shì)能：重力勢(shì)能是物體和地球所共有的，重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)，但重力勢(shì)能的變化與參考平面的選取無(wú)關(guān)；重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能減小；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能增大．即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
（3）重力勢(shì)能表達(dá)式：Ep＝mgh.
2．彈性勢(shì)能
（1）定義：發(fā)生彈性形變的物體之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能．
（2）彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系：彈力做正功，彈性勢(shì)能減小；彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加．即W＝－ΔEp.
3．機(jī)械能守恒定律
（1）內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變．
（2）表達(dá)式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.
4．機(jī)械能守恒定律的判斷
（1）利用機(jī)械能的定義判斷：分析動(dòng)能和勢(shì)能的和是否變化．
（2）利用做功判斷：若物體或系統(tǒng)只有重力（或彈簧的彈力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒．
（3）利用能量轉(zhuǎn)化來(lái)判斷：若物體或系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化而無(wú)機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體或系統(tǒng)機(jī)械能守恒．
（2023 浙江模擬）2022年2月15日，蘇翊鳴在北京冬奧會(huì)單板滑雪男子大跳臺(tái)比賽中奪得冠軍，成為首位贏得冬奧會(huì)單板滑雪金牌的中國(guó)運(yùn)動(dòng)員。大跳臺(tái)主要由助滑道，起跳臺(tái)和著陸坡組成，如圖所示，運(yùn)動(dòng)員在助滑道下滑后在起跳臺(tái)起跳，在空中做拋體運(yùn)動(dòng)后落在著陸坡上。某次比賽蘇翊鳴在距離起跳點(diǎn)34m高處從靜止下滑，在空中最高點(diǎn)時(shí)距起跳點(diǎn)12.8m，在空中飛躍的總時(shí)間為4s，已知起跳臺(tái)斜面傾角為37°，蘇翊鳴的質(zhì)量為70kg，不考慮空氣阻力，g取10m/s2，以下說(shuō)法正確的是（　　）
A．起跳速度為16m/s
B．在最高點(diǎn)速度為0
C．下滑過(guò)程機(jī)械能守恒
D．從下滑到著陸重力做功35000J
【解答】解：AB、運(yùn)動(dòng)員從起跳臺(tái)跳出后做斜上拋運(yùn)動(dòng)，有，，解得vy＝16m/s，，所以運(yùn)動(dòng)員在最高點(diǎn)的速度為m/s；
運(yùn)動(dòng)員的起跳速度為，代入數(shù)據(jù)解得v，故AB錯(cuò)誤；
C、下滑過(guò)程中需要克服阻力做功，所以機(jī)械能不守恒，故C錯(cuò)誤；
D、運(yùn)動(dòng)員從起跳臺(tái)起跳到著陸豎直方向的位移為，代入數(shù)據(jù)解得h2＝16m
所以從下滑到著陸重力做功為W＝mg（h0+h2）＝70×10×（34+16）J＝35000J，故D正確。
故選：D。
（2023 虹口區(qū)二模）在空中懸停的無(wú)人機(jī)因突然失去動(dòng)力而下墜。在此過(guò)程中，其所受空氣阻力與下墜速度成正比，則無(wú)人機(jī)下墜過(guò)程中（　　）
A．機(jī)械能守恒
B．可能一直在加速
C．必做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
D．所受合外力先做正功后做負(fù)功
【解答】解：A．在此過(guò)程中，空氣阻力做功，根據(jù)機(jī)械能的定義可知，整個(gè)過(guò)程中機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；
BCD．在此過(guò)程中，若空氣阻力一直小于重力，則一直在加速，所受合外力做正功，故B正確，CD錯(cuò)誤。
故選：B。
（2023 青羊區(qū)校級(jí)模擬）蹦床運(yùn)動(dòng)深受人們喜愛(ài)，如圖為小明同學(xué)在杭州某蹦床館，利用傳感器測(cè)得蹦床彈力隨時(shí)間的變化圖。假設(shè)小明僅在豎直方向運(yùn)動(dòng)，忽略空氣阻力，依據(jù)圖像給出的物理信息，可得（　　）
A．7.5s至8.3s內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員先處于失重狀態(tài)再處于超重狀態(tài)
B．小明的最大加速度為50m/s2
C．小明上升的最大高度為20m
D．小明在整個(gè)蹦床過(guò)程中機(jī)械能守恒
【解答】解：A、7.5s至8.3s內(nèi)，蹦床彈力由0增加到2400N再減小到0，運(yùn)動(dòng)員先處于失重狀態(tài)后處于超重狀態(tài)再處于失重狀態(tài)，故A錯(cuò)誤；
B、由圖可知，運(yùn)動(dòng)員的重力為400N，質(zhì)量為mkg＝40kg，運(yùn)動(dòng)員的加速度最大為amm/s2＝50m/s2，故B正確；
C、由圖可知，運(yùn)動(dòng)員在空中時(shí)間為T(mén)＝7.5s﹣5.5s＝2s，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知，下落時(shí)間為t＝1s，運(yùn)動(dòng)員上升的最高高度為h10×12m＝5m，故C錯(cuò)誤；
D、小明在整個(gè)蹦床過(guò)程中，蹦床對(duì)小明做功，機(jī)械能不守恒，故D錯(cuò)誤。
故選：B。
【知識(shí)點(diǎn)二】單物體機(jī)械能守恒問(wèn)題
1．機(jī)械能守恒的三種表達(dá)式
守恒角度 轉(zhuǎn)化角度 轉(zhuǎn)移角度
表達(dá)式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA增＝ΔEB減
物理意義 系統(tǒng)初狀態(tài)機(jī)械能的總和與末狀態(tài)機(jī)械能的總和相等 系統(tǒng)減少（或增加）的重力勢(shì)能等于系統(tǒng)增加（或減少）的動(dòng)能 系統(tǒng)內(nèi)A部分物體機(jī)械能的增加量等于B部分物體機(jī)械能的減少量
注意事項(xiàng) 選好重力勢(shì)能的參考平面，且初、末狀態(tài)必須用同一參考平面計(jì)算勢(shì)能 分清重力勢(shì)能的增加量或減少量，可不選參考平面而直接計(jì)算初、末狀態(tài)的勢(shì)能差 常用于解決兩個(gè)或多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒問(wèn)題
2.解題的一般步驟
（1）選取研究對(duì)象；
（2）進(jìn)行受力分析，明確各力的做功情況，判斷機(jī)械能是否守恒；
（3）選取參考平面，確定初、末狀態(tài)的機(jī)械能或確定動(dòng)能和勢(shì)能的改變量；
（4）根據(jù)機(jī)械能守恒定律列出方程；
（5）解方程求出結(jié)果，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的討論和說(shuō)明．
（2023 樂(lè)清市校級(jí)模擬）如圖所示，輕桿的一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一個(gè)小球，小球隨輕桿在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。則（　　）
A．小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒
B．小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度大小不變
C．小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)小球作用力方向指向圓心
D．小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)小球的作用力不可能為0
【解答】解：A、小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度不變，則動(dòng)能不變，小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中重力勢(shì)能變化，則機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；
B、小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心加速度大小不變，方向時(shí)刻改變，故B正確；
C、當(dāng)小球在A點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)小球作用力豎直方向分量應(yīng)等于重力，水平方向分量提供向心力，則桿對(duì)小球作用力方向并非指向圓心，故C錯(cuò)誤；
D、若v，則小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)小球的作用力為0，故D錯(cuò)誤；
故選：B。
（2023 河南二模）如圖所示，水平地面上的木板中央豎直固定一根輕桿，輕桿頂端用輕繩連接一可看作質(zhì)點(diǎn)的小球，初始時(shí)把小球拉至水平，由靜止釋放，小球向下擺動(dòng)的過(guò)程中木板恰好沒(méi)有滑動(dòng)。已知小球與木板的質(zhì)量相等，則木板與地面間的靜摩擦因數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)輕繩與水平方向的夾角為θ時(shí)，小球的速度大小為v，輕繩中的張力大小為T(mén)，由機(jī)械能守恒定律有
由牛頓第二定律有
聯(lián)立解得：T＝3mgsinθ
要使木板不滑動(dòng)，則輕繩中的拉力在水平方向的分力不大于對(duì)應(yīng)木板受到的最大靜摩擦力，則有Tcosθ≤μ（mg+Tsinθ）
整理可得
顯然上式右邊為第一象限內(nèi)單位圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率的相反數(shù)，如圖所示
可知，當(dāng)，即有時(shí)，函數(shù)式存在最大值，解得：，故ABD錯(cuò)誤，C正確。
故選：C。
（2023 遂寧三模）“神舟十三號(hào)”飛船開(kāi)始在半徑為r1的圓軌道Ⅰ上運(yùn)行，運(yùn)行周期為T(mén)1，在A點(diǎn)通過(guò)變軌操作后進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)，沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)C時(shí)正好與處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ上的核心艙對(duì)接，A為橢圓軌道Ⅱ的近地點(diǎn)，BD為橢圓軌道Ⅱ的短軸。假設(shè)飛船質(zhì)量始終不變，關(guān)于飛船的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．沿軌道Ⅰ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能等于沿軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能
B．沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A時(shí)的速率大于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到C時(shí)的速率
C．沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為
D．沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的加速度小于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的加速度
【解答】解：A、飛船從軌道Ⅰ轉(zhuǎn)移到軌道Ⅱ，需要在A點(diǎn)加速，機(jī)械能增加，則沿軌道Ⅰ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能小于沿軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能，故A錯(cuò)誤；
B、飛船在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有Gm，解得v，則知vⅠ＞vⅢ。
飛船從軌道Ⅱ轉(zhuǎn)移到軌道Ⅲ，需要在C點(diǎn)加速，則沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到C時(shí)的速率vⅡC＜vⅢ，則vⅠ＞vⅡC，即知沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A時(shí)的速率大于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到C時(shí)的速率，故B正確；
C、根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有：，解得沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為T(mén)2＝T1，故C錯(cuò)誤；
D、由牛頓第二定律有Gma，得加速度a，A點(diǎn)到地心的距離比B點(diǎn)的小，所以沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的加速度大于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的加速度，故D錯(cuò)誤。
故選：B。
【知識(shí)點(diǎn)三】多物體機(jī)械能守恒問(wèn)題
1．解決多物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒的注意點(diǎn)
（1）對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。
（2）注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
（3）列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．幾種實(shí)際情景的分析
（1）速率相等情景
用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。
（2）角速度相等情景
桿對(duì)物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒。
（3）關(guān)聯(lián)速度情景
兩物體速度的關(guān)聯(lián)實(shí)質(zhì)：沿繩（或沿桿）方向的分速度大小相等。
（2023 懷仁市模擬）如圖所示，可繞固定轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性輕質(zhì)支架兩端分別固定質(zhì)量為5m、6m的小球A、B，支架兩條邊的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，用手將B球托起至與轉(zhuǎn)軸O等高，此時(shí)連接A球的細(xì)桿與豎直方向的夾角為θ，sinθ＝0.6，重力加速度大小為g，現(xiàn)突然松手，兩小球在擺動(dòng)的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．A球與轉(zhuǎn)軸O等高時(shí)的動(dòng)能為
B．B球下降的最大高度為L(zhǎng)
C．A球的最大動(dòng)能為
D．B球的最大動(dòng)能為
【解答】解：由于sinθ＝0.6，可得cosθ＝0.8
A．根據(jù)題意知A、B兩球共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，無(wú)論何時(shí)兩球的角速度均相同，二者的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑相同則線(xiàn)速度大小也相等，設(shè)A球與轉(zhuǎn)軸O等高時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理有
解得
則A球與轉(zhuǎn)軸O等高時(shí)的動(dòng)能為，故A錯(cuò)誤；
B．根據(jù)題意，當(dāng)小球B下降到最低點(diǎn)時(shí)，小球A、B的速度為零，設(shè)小球B向下轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為α，則小球A向上轉(zhuǎn)動(dòng)的角度也為α，如圖所示
由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律有6mgLsinα﹣5mgL[cosθ+sin（α+θ﹣90°）]＝0
解得sinα
則小球B下降的最大高度為，故B錯(cuò)誤；
CD．根據(jù)題意，當(dāng)小球B向下轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為β時(shí)，即小球A向上轉(zhuǎn)動(dòng)的角度也為β，則由動(dòng)能定理有6mgLsinβ﹣5mgL[cosθ+sin（β+θ﹣90°）]＝EkA+EkB
由數(shù)學(xué)知識(shí)解得，當(dāng)β＝37°時(shí)，小球A、B的動(dòng)能之和有最大值為Ekm＝mgL
由于小球A、B速度的大小相等，則有；，故C錯(cuò)誤，D正確。
故選：D。
（2023 邢臺(tái)一模）如圖所示，固定的水平長(zhǎng)桿上套有質(zhì)量為m的小物塊A，跨過(guò)輕質(zhì)定滑輪（可視為質(zhì)點(diǎn)O）的細(xì)線(xiàn)一端連接A，另一端懸掛質(zhì)量為m的小物塊B（B靠近定滑輪），滑輪到桿的距離OCh，開(kāi)始時(shí)A位于P點(diǎn)，PO與水平方向的夾角為30°，重力加速度為g，不計(jì)一切摩擦。現(xiàn)將A、B由靜止釋放，則當(dāng)A，O間的細(xì)線(xiàn)與水平方向的夾角為60°時(shí)，小物塊B的速度大小為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：將A、B由靜止釋放，當(dāng)A、O間的細(xì)線(xiàn)與水平方向的夾角為60°時(shí)，B下落的高度H2（1）h
由A和B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：mgH
根據(jù)A沿繩子方向的分速度與B的速度大小相等，得：vB＝vAcos60°
聯(lián)立解得vB，故ABC錯(cuò)誤，D正確。
故選：D。
（2023 銀川一模）如圖所示，質(zhì)量m1＝0.2kg的物體P穿在一固定的光滑水平直桿上，直桿右端固定一光滑定滑輪。一繞過(guò)兩光滑定滑輪的細(xì)線(xiàn)的一端與物體P相連，另一端與質(zhì)量m2＝0.45kg的物體Q相連。開(kāi)始時(shí)物體P在外力作用下靜止于A點(diǎn)，繩處于伸直狀態(tài)，已知OA＝0.3m，AB＝0.4m，取重力加速度大小g＝10m/s2，兩物體均視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。某時(shí)刻撤去外力、同時(shí)給P一水平向左的速度v，物體P恰能運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，則v的大小為（　　）
A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s
【解答】解：根據(jù)幾何關(guān)系可得：
則當(dāng)P從A到B的過(guò)程中，Q的位移x＝OB﹣OA＝0.5m﹣0.3m＝0.2 m
由系統(tǒng)機(jī)械能守恒可得：
解得：v＝3 m/s，故A正確，BCD錯(cuò)誤；
故選：A。
【知識(shí)點(diǎn)四】含“彈簧類(lèi)”機(jī)械能守恒問(wèn)題
1.由于彈簧的形變會(huì)具有彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的總動(dòng)能將發(fā)生變化，若系統(tǒng)所受的外力（除重力外）和除彈簧彈力以外的內(nèi)力不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
2.彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(zhǎng)（或壓縮至最短）時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能最大。
3.如果系統(tǒng)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零，當(dāng)彈簧為自然長(zhǎng)度時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一端的物體具有最大速度（如繃緊的彈簧由靜止釋放）。
（2023 海淀區(qū)校級(jí)三模）取一支按壓式圓珠筆，將筆的按壓式小鋼帽朝下按壓在桌面上，如圖所示．將手放開(kāi)后，筆會(huì)向上彈起一定的高度，忽略一切阻力．下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．當(dāng)筆剛要離開(kāi)桌面時(shí)，筆的速度達(dá)到最大
B．從筆開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，筆做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
C．從筆外殼與內(nèi)芯碰撞結(jié)束到筆運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，筆的機(jī)械能守恒
D．從筆開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到筆剛要離開(kāi)桌面，桌面對(duì)筆的作用力對(duì)筆做正功
【解答】解：A、圓珠筆開(kāi)始時(shí)向上做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng)；在加速階段，當(dāng)筆受到的合力為零，即加速度為零時(shí)，筆的速度達(dá)到最大，顯然筆剛要離開(kāi)桌面時(shí)，筆的加速度不為零，速度不是最大值，故A錯(cuò)誤；
B、從筆開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，筆除受重力之外，還受到彈簧的彈力和桌面的支持力，可知筆受到的合力在改變，則筆做的是非勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，故B錯(cuò)誤；
C、從筆外殼與內(nèi)芯碰撞結(jié)束到筆運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，筆只受到自身重力的作用，則筆的機(jī)械能守恒，故C正確；
D、從筆開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到筆剛要離開(kāi)桌面，由于桌面對(duì)比的作用力未發(fā)生位移，所以桌面對(duì)筆不做功，故D錯(cuò)誤；
故選：C。
（多選）（2023 廈門(mén)模擬）如圖所示，一個(gè)以O(shè)為圓心、半徑為R的光滑圓環(huán)固定在豎直平面，O點(diǎn)正上方固定一根豎直的光滑細(xì)桿。輕質(zhì)彈簧套在光滑細(xì)桿上，上端固定在M點(diǎn)，下端連接套在細(xì)桿上的滑塊。小球穿在圓環(huán)上，通過(guò)一根長(zhǎng)為2R的兩端有鉸鏈的輕質(zhì)細(xì)桿與滑塊連接。初始時(shí)小球處于圓環(huán)最高點(diǎn)，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)。小球受微小擾動(dòng)（初速度視為0）后沿圓環(huán)順時(shí)針滑下。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的Q點(diǎn)時(shí)，滑塊速度達(dá)到最大值。已知滑塊和小球的質(zhì)量均為m，彈簧的勁度系數(shù)，彈性勢(shì)能（x為彈簧的形變量），重力加速度為g，滑塊和小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，則（　　）
A．小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中，滑塊、小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
B．小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)速度大小與滑塊相等
C．小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)受到細(xì)桿的彈力為
D．小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最低點(diǎn)P時(shí)向心加速度大小為
【解答】解：A、小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)滑塊做負(fù)功，根據(jù)功能關(guān)系可知，滑塊、小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能減少，故A錯(cuò)誤；
B、小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可知，此時(shí)輕桿與豎直方向的夾角滿(mǎn)足：，可得此時(shí)輕桿與豎直方向的夾角θ＝30°。此時(shí)滑塊的速度方向豎直向下，小球的速度方向剛好也豎直向下，滑塊與小球兩者沿桿子方向的分速度大小相等，則有v滑cos30°＝v球cos30°，可得v滑＝v球，即小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)速度大小與滑塊相等，故B正確；
C、由于小球運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的Q點(diǎn)時(shí)，滑塊速度達(dá)到最大值，所以可知此時(shí)滑塊的加速度為零，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為
彈簧彈力大小為
F彈＝kx1 （3）R＝2mg
以滑塊為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件可得：F彈＝mg+F桿cos30°
解得：，則知小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)受到細(xì)桿的彈力為，故C錯(cuò)誤；
D、小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最低點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)滑塊運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，滑塊的速度為零，設(shè)此時(shí)小球的速度為v，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x2＝4R﹣2R＝2R
彈簧的彈性勢(shì)能為
根據(jù)小球、滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知
mg 2R+mg 2REP
小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最低點(diǎn)P時(shí)向心加速度大小為，聯(lián)立解得：，故D正確。
故選：BD。
（多選）（2023 渭南二模）如圖甲所示，一光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一輕質(zhì)彈簧，將質(zhì)量為m的物塊從斜面頂端由靜止釋放，物塊運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，其加速度隨位移變化的規(guī)律如圖乙所示，則（　　）
A．彈簧的勁度系數(shù)為
B．從位置x＝x1到x＝x3物塊速度先減小后增大
C．物塊的最大動(dòng)能為
D．彈簧的最大彈性勢(shì)能為ma1（x3﹣x1）
【解答】解：A．設(shè)斜面傾角為θ，由牛頓第二定律得：
mgsinθ＝ma1
當(dāng)位移為x2時(shí)，由圖可知加速度為零，則物體的合外力為零
k（x2﹣x1）＝mgsinθ
聯(lián)立解得：，故A正確；
B．由圖可知，從x＝x1到x＝x2物體加速度方向與速度方向相同，速度變大，到x＝x2處時(shí)加速度為零，速度達(dá)到最大，x＝x2到x＝x3加速度方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，速度減小，所以從位置x＝x1到x＝x3物塊速度先增大后減小，故B錯(cuò)誤；
C．當(dāng)位移為x2時(shí)，動(dòng)能最大，最大動(dòng)能為
聯(lián)立解得：Ekmma1（x1+x2）
故C正確；
D．根據(jù)能量守恒，彈簧的最大彈性勢(shì)能為Epm＝mgx3sinθ＝ma1x3
故D錯(cuò)誤。
故選：AC。
（2023 浙江）鉛球被水平推出后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不計(jì)空氣阻力，下列關(guān)于鉛球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小a、速度大小v、動(dòng)能Ek和機(jī)械能E隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化關(guān)系中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、鉛球做平拋運(yùn)動(dòng)，在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度為重力加速度，大小不變，a﹣t圖像應(yīng)為水平直線(xiàn)，故A錯(cuò)誤；
B、鉛球豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，豎直分速度vy＝gt
水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，水平分速度vx＝v0
鉛球的速度大小v
速度隨時(shí)間變化的關(guān)系不是線(xiàn)性關(guān)系，故B錯(cuò)誤；
C、鉛球的動(dòng)能Ekmv2m（g2t2）
則動(dòng)能與時(shí)間的關(guān)系為二次函數(shù)關(guān)系，圖像為拋物線(xiàn)，故C錯(cuò)誤；
D、鉛球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只受重力，機(jī)械能守恒，E﹣t圖像為水平直線(xiàn)，故D正確。
故選：D。
（2023 甲卷）一同學(xué)將鉛球水平推出，不計(jì)空氣阻力和轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，鉛球在平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（　　）
A．機(jī)械能一直增加 B．加速度保持不變
C．速度大小保持不變 D．被推出后瞬間動(dòng)能最大
【解答】解：A、鉛球在平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，僅受重力，機(jī)械能守桓，故A錯(cuò)誤；
B、鉛球在平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度為重力加速度，保持不變，故B正確；
CD、運(yùn)動(dòng)過(guò)程中減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，鉛球的動(dòng)能越來(lái)越大，速度也越來(lái)越大，故CD錯(cuò)誤。
故選：B。
（2023 浙江）一位游客正在體驗(yàn)蹦極，綁上蹦極專(zhuān)用的橡皮繩后從跳臺(tái)縱身而下。游客從跳臺(tái)下落直到最低點(diǎn)過(guò)程中（　　）
A．彈性勢(shì)能減小
B．重力勢(shì)能減小
C．機(jī)械能保持不變
D．繩一繃緊動(dòng)能就開(kāi)始減小
【解答】解：A、繩繃緊前，彈性勢(shì)能不變。繩繃緊后，隨著伸長(zhǎng)量的增大，彈性勢(shì)能增大，故A錯(cuò)誤；
B、游客從跳臺(tái)下落直到最低點(diǎn)過(guò)程中，重力一直做正功，重力勢(shì)能一直減小，故B正確；
C、繩繃緊前，只有重力做功，游客的機(jī)械能保持不變。繩繃緊后，繩對(duì)游客做負(fù)功，游客的機(jī)械能減小，故C錯(cuò)誤；
D、繩繃緊后，游客受到重力和繩的拉力兩個(gè)力作用，繩的拉力先小于重力，后大于重力，游客的合力先向下后向上，先加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能先增大后減小，當(dāng)繩的拉力與重力大小相等時(shí)動(dòng)能最大，故D錯(cuò)誤。
故選：B。
（多選）（2023 湖南）如圖，固定在豎直面內(nèi)的光滑軌道ABC由直線(xiàn)段AB和圓弧段BC組成，兩段相切于B點(diǎn)，AB段與水平面夾角為θ，BC段圓心為O，最高點(diǎn)為C，A與C的高度差等于圓弧軌道的直徑2R。小球從A點(diǎn)以初速度v0沖上軌道，能沿軌道運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá)C點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．小球從B到C的過(guò)程中，對(duì)軌道的壓力逐漸增大
B．小球從A到C的過(guò)程中，重力的功率始終保持不變
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能從B點(diǎn)脫離軌道
【解答】解：A、小球從B到C的過(guò)程中，根據(jù)牛頓第二定律有
mgcosθ﹣N＝m
其中θ逐漸減小，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，v也逐漸減小，所以N逐漸增大，根據(jù)牛頓第三定律可知小球?qū)壍赖膲毫χ饾u增大，故A正確；
B、小球從A到C的過(guò)程中，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，速度逐漸減小，重力的功率逐漸減小，故B錯(cuò)誤；
C、小球從A點(diǎn)以初速度v0沖上軌道，能沿軌道運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá)C點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
mg 2R
解得
故C錯(cuò)誤；
D、在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有
mgcosθ﹣N＝m
解得
N＝mgcosθ﹣m
當(dāng)N＝0時(shí)，v，當(dāng)若小球初速度v＝v0增大，小球有可能從B點(diǎn)脫離軌道，故D正確；
故選：AD。
（2021 重慶）如圖所示，豎直平面內(nèi)有兩個(gè)半徑為R，而內(nèi)壁光滑的圓弧軌道，固定在豎直平面內(nèi)，地面水平，O、O′為兩圓弧的圓心，兩圓弧相切于N點(diǎn)。一小物塊從左側(cè)圓弧最高處?kù)o止釋放，當(dāng)通過(guò)N點(diǎn)時(shí)，速度大小為（重力加速度為g）（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：圖中NO連線(xiàn)與水平方向的夾角θ，由幾何關(guān)系可得，可得θ＝30°
設(shè)小物塊通過(guò)N點(diǎn)時(shí)速度為v，小物塊從左側(cè)圓弧最高點(diǎn)靜止釋放，
由機(jī)械能守恒定律可得解得：，故D正確，ABC錯(cuò)誤。
故選：D。
（2021 重慶）質(zhì)量相同的甲、乙兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）以不同的初速度豎直上拋，某時(shí)刻兩球發(fā)生正碰。圖中實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)分別表示甲、乙兩球位置隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)，其中虛線(xiàn)關(guān)于t＝t1左右對(duì)稱(chēng)，實(shí)線(xiàn)兩個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，若小球運(yùn)動(dòng)中除碰撞外僅受重力，則（　　）
A．t＝0時(shí)刻，甲的速率大于乙的速率
B．碰撞前后瞬間，乙的動(dòng)量不變
C．碰撞前后瞬間，甲的動(dòng)能不變
D．碰撞后甲的機(jī)械能大于乙的機(jī)械能
【解答】解：A．根據(jù)位移—時(shí)間圖像斜率表示速度可知，t＝0時(shí)刻，甲的速率小于乙的速率，故A錯(cuò)誤；
BC．根據(jù)甲乙兩球位移圖像可知，碰撞前后瞬間，兩球交換速度，方向反向。根據(jù)題述，虛線(xiàn)（乙的位移圖像）關(guān)于t＝t1左右對(duì)稱(chēng)，所以碰撞前后瞬間，乙的動(dòng)量大小不變，方向變化，甲的動(dòng)能不變，故B錯(cuò)誤，C正確；
D．根據(jù)題述，實(shí)線(xiàn)兩個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，可知碰撞后甲的機(jī)械能與乙的機(jī)械能相等，故D錯(cuò)誤。
故選：C。
（2021 全國(guó)）如圖，一質(zhì)量為m的小球從高度為H的地方以初速度v0水平拋出。不計(jì)空氣阻力，當(dāng)小球在豎直方向上下降的距離為h時(shí)，其動(dòng)能為（　　）
A．mmgH B．mmgh
C．mgH﹣mgh D．mmg（H﹣h）
【解答】解：由機(jī)械能守恒得：mgHmg（H﹣h）
解得
故B正確，ACD錯(cuò)誤。
故選：B。
（2021 海南）水上樂(lè)園有一末段水平的滑梯，人從滑梯頂端由靜止開(kāi)始滑下后落入水中。如圖所示，滑梯頂端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，將人視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)摩擦和空氣阻力。則人的落水點(diǎn)到滑梯末端的水平距離為（　　）
A．4.0m B．4.5m C．5.0m D．5.5m
【解答】解：人從滑梯由靜止滑到滑梯末端速度為v，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知mgHmv2，
代入數(shù)據(jù)解得v＝4m/s
從滑梯末端水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)hgt2可知落水時(shí)間為
t
水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則人的落水點(diǎn)距離滑梯末端的水平距離為
x＝vt＝4m＝4.0m，故A正確，BCD錯(cuò)誤；
故選：A。
（2021 浙江）某一滑雪運(yùn)動(dòng)員從滑道滑出并在空中翻轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)多次曝光得到的照片如圖所示，每次曝光的時(shí)間間隔相等。若運(yùn)動(dòng)員的重心軌跡與同速度不計(jì)阻力的斜拋小球軌跡重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D處于同一水平高度。下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．相鄰位置運(yùn)動(dòng)員重心的速度變化相同
B．運(yùn)動(dòng)員在A、D位置時(shí)重心的速度相同
C．運(yùn)動(dòng)員從A到B和從C到D的時(shí)間相同
D．運(yùn)動(dòng)員重心位置的最高點(diǎn)位于B和C中間
【解答】解：A、因每次曝光的時(shí)間間隔相等，設(shè)為Δt，而運(yùn)動(dòng)員在空中只受重力作用，加速度為g，則相鄰位置運(yùn)動(dòng)員重心的速度變化均為gΔt，故A正確；
B、A和D處于同一水平高度，根據(jù)機(jī)械能守恒知運(yùn)動(dòng)員在A、D位置時(shí)重心的速度大小相同，但是方向不同，所以速度不同，故B錯(cuò)誤；
C、由圖可知，運(yùn)動(dòng)員從A到B為5Δt，從C到D的時(shí)間6Δt，時(shí)間不相同，故C錯(cuò)誤；
D、由圖知A到C的時(shí)間等于C到D的時(shí)間，根據(jù)斜拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知運(yùn)動(dòng)員重心位置的最高點(diǎn)位于C點(diǎn)，故D錯(cuò)誤。
故選：A。
（2023 甲卷）如圖，光滑水平桌面上有一輕質(zhì)彈簧，其一端固定在墻上。用質(zhì)量為m的小球壓彈簧的另一端，使彈簧的彈性勢(shì)能為EP。釋放后，小球在彈簧作用下從靜止開(kāi)始在桌面上運(yùn)動(dòng)，與彈簧分離后，從桌面水平飛出。小球與水平地面碰撞后瞬間，其平行于地面的速度分量與碰撞前瞬間相等；垂直于地面的速度分量大小變?yōu)榕鲎睬八查g的。小球與地面碰撞后，彈起的最大高度為h。重力加速度大小為g，忽略空氣阻力。求：
（1）小球離開(kāi)桌面時(shí)的速度大小；
（2）小球第一次落地點(diǎn)距桌面上其飛出點(diǎn)的水平距離。
【解答】解：（1）設(shè)小球離開(kāi)桌面時(shí)速度大小為v0，對(duì)小球和彈簧組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得：EP
解得：v0
（2）設(shè)小球從離開(kāi)桌面到第一次落地所用時(shí)間為t，則落地點(diǎn)距飛出點(diǎn)的水平距離x＝v0t
落地瞬間豎直分速度vy＝gt
與地面撞擊后瞬間，豎直速度大小為vy′vygt
小球豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，有：0﹣vy′2＝﹣2gh
聯(lián)立解得：x
答：（1）小球離開(kāi)桌面時(shí)的速度大小為；
（2）小球第一次落地點(diǎn)距桌面上其飛出點(diǎn)的水平距離為。
（2022 上海）如圖所示，AB為平直導(dǎo)軌，長(zhǎng)為L(zhǎng)，物塊與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，BC為光滑曲面。A與地面間高度差為h1，BC間高度差為h2，一個(gè)質(zhì)量為m的物塊在水平恒力作用下，從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)撤去恒力，物塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后落地，已知重力加速度為g。
（1）若物塊落地時(shí)動(dòng)能為E1，求其經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能EkB；
（2）若要物塊落地時(shí)動(dòng)能小于E1，求恒力必須滿(mǎn)足的條件。
【解答】解：（1）從B到落地過(guò)程中機(jī)械能守恒，設(shè)地面為零勢(shì)能面，則
mgh1+EkB＝E1
化簡(jiǎn)得：EkB＝E1﹣mgh1
（2）整個(gè)過(guò)程中根據(jù)動(dòng)能定理得：
FmaxL﹣μmgL+mgh1＝E1
所以Fmax
若物體恰能達(dá)到C點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：
FminL﹣μmgL﹣mgh2＝0
解得：Fmin
綜上所述可得：F
答：（1）若物塊落地時(shí)動(dòng)能為E1，求其經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E1﹣mgh1；
（2）若要物塊落地時(shí)動(dòng)能小于E1，求恒力必須滿(mǎn)足的條件為F。
（2021 浙江）如圖所示，豎直平面內(nèi)由傾角α＝60°的斜面軌道AB、半徑均為R的半圓形細(xì)圓管軌道BCDE和圓周細(xì)圓管軌道EFG構(gòu)成一游戲裝置固定于地面，B、E兩處軌道平滑連接，軌道所在平面與豎直墻面垂直。軌道出口處G和圓心O2的連線(xiàn)，以及O2、E、O1和B等四點(diǎn)連成的直線(xiàn)與水平線(xiàn)間的夾角均為θ＝30°，G點(diǎn)與豎直墻面的距離dR。現(xiàn)將質(zhì)量為m的小球從斜面的某高度h處?kù)o止釋放。小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞，不計(jì)小球大小和所受阻力。
（1）若釋放處高度h＝h0，當(dāng)小球第一次運(yùn)動(dòng)到圓管最低點(diǎn)C時(shí)，求速度大小vC及在此過(guò)程中所受合力的沖量I的大小和方向；
（2）求小球在圓管內(nèi)與圓心O1點(diǎn)等高的D點(diǎn)所受彈力FN與h的關(guān)系式；
（3）若小球釋放后能從原路返回到出發(fā)點(diǎn)，高度h應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？
【解答】解：（1）對(duì)小球，從釋放點(diǎn)到圓管最低點(diǎn)C的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
mgh0
代入數(shù)據(jù)解得速度大小vC為：vC
在此過(guò)程中，對(duì)小球由動(dòng)量定理得：I＝mvC
代入數(shù)據(jù)解得所受合力的沖量I的大小：I＝m，方向水平向左。
（2）對(duì)小球從釋放點(diǎn)到D點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
mg（h﹣R）
在D點(diǎn)，對(duì)小球由牛頓第二定律得：
FN
聯(lián)立解得D點(diǎn)所受彈力FN與h的關(guān)系式為：FN＝2mg（1）
滿(mǎn)足的條件為：h≥R
（3）第1種情況：不滑離軌道原路返回，條件為：h
第2種情況：與墻面垂直碰撞后原路返回，在進(jìn)入G之前做平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：d＝vxt
豎直方向上，由速度﹣時(shí)間公式得：t
對(duì)小球在G點(diǎn)，由速度的分解得：vx＝vGsinθ，vy＝vGcosθ
聯(lián)立解得：vG＝2
對(duì)小球從釋放點(diǎn)到G點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
mg（hR）
聯(lián)立解得h滿(mǎn)足的條件為：h
答：（1）小球第一次運(yùn)動(dòng)到圓管最低點(diǎn)C時(shí)，速度大小vC為，在此過(guò)程中所受合力的沖量I大小為m，方向水平向左；
（2）小球在圓管內(nèi)與圓心O1點(diǎn)等高的D點(diǎn)所受彈力FN與h的關(guān)系式為FN＝2mg（1）；
（3）小球釋放后能從原路返回到出發(fā)點(diǎn)，高度h應(yīng)該：不滑離軌道原路返回，條件為h，與墻面垂直碰撞后原路返回，條件為h。
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