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保密★啟用前
2023年普通高等學校招生全國統一模擬考試數學
2023.5
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知為實數集，全集，集合，則（ ）
A. B.或
C. D.或
2.已知為虛數單位，若為實數，則實數（ ）
A.-1 B.4 C.2 D.-2
3.函數在處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，則（ ）
A. B. C. D.
5.風箏又稱為“紙鳶”，由中國古代勞動人民發明于距今2000多年的東周春秋時期，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風箏起源.如圖，是某高一年上級學生制作的一個風箏模型的多面體為的中點，四邊形為矩形，且，當時，多面體的體積為（ ）
A. B. C. D.
6.已知為拋物線的焦點，過的直線與拋物線交于兩點，若，則（ ）
A.1 B. C.3 D.4
7.已知是邊長為2的等邊三角形，是邊上的兩個動點，若線段將分成面積相等的兩部分，則線段長度的最小值為（ ）
A. B. C. D.1
8.已知函數，若，則（ ）
A. B.
C. D.
二 多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.一組互不相等的樣本數據，其平均數為，方差為，極差為，中位數為，去掉其中的最小值和最大值后，余下數據的平均數為，方差為，極差為，中位數為，則下列選項一定正確的有（ ）
A. B.
C. D.
10.已知是數列的前項和，，則下列遞推關系中能使存在最大值的有（ ）
A. B.
C. D.
11.關于函數，下列選項正確的有（ ）
A.為偶函數
B.在區間上單調遞增
C.的最小值為2
D.在區間上有兩個零點
12.已知是圓上不同的兩點，橢圓的右頂點和上頂點分別為，直線分別是圓的兩條切線，為橢圓的離心率.下列選項正確的有（ ）
A.直線與橢圓相交
B.直線與圓相交
C.若橢圓的焦距為兩直線的斜率之積為，則
D.若兩直線的斜率之積為，則
三 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知向量均為單位向量，，向量與向量的夾角為，則__________.
14.展開式中的系數是__________.
15.已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，，則四棱錐外接球的表面積為__________；若點是線段上的動點，則的最小值為__________.（第一空2分，第二空3分）
16.已知，若關于的方程無解，則實數的取值范圍是__________.
四 解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分10分）
已知數列滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）記數列的前項和為，證明：.
18.（本小題滿分12分）
在中，內角的對邊分別為.
（1）若，求的面積；
（2）求的值.
19.（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱中，側面為菱形，.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
20.（本小題滿分12分）
甲 乙兩人進行象棋比賽，賽前每人發3枚籌碼.一局后負的一方，需將自己的一枚籌碼給對方；若平局，雙方的籌碼不動，當一方無籌碼時，比賽結束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結果可知，在一局中甲勝的概率為0.3 乙勝的概率為0.2.
（1）第一局比賽后，甲的籌碼個數記為，求的分布列和期望；
（2）求四局比賽后，比賽結束的概率；
（3）若表示“在甲所得籌碼為枚時，最終甲獲勝的概率”，則.證明：為等比數列.
21.（本小題滿分12分）
已知點為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.
22.（本小題滿分12分）
已知函數為函數的導函數.
（1）討論函數的單調性；
（2）已知函數，存在，證明：.對于D選項，由a1己8=-7a=,1=名，。
1
118a4÷1
7
17=8,得數列{a}是以3為周期的
周海數列，一個周期的和為正教，日8-合>0，？分>0，所以S,不存在最大值放選BC
11.【答案】ABD
解新打因為水-=sn(-十n=s如2十女=)，所以了)為偶函數，
1
故A正確；
當e(經x時，fa=sinx+品2eosx<0,0所以f(）=6osx-蘭=cosx(1-z）>0,放f(x)在區間（登上單調遞增，故B
sin'x
正確；
因為∫()=1-1=0<2，故C錯誤；
當xe0,受)時，fx）=sinx十dos>0,0則(x)=osx-0=osx1-0,
所以f(x)在區間(o,受)上單調遞減.又f(x)在區間(x)上單調遞增，
所以在區間(0，π)上f(x)≥f()=.又f(x)為偶函數，所以f(x)在區間(-，)上無
零點.
同瑤，在X間(2,3r)上了a)=inx+也無受點。
在區間(x,2x)止f(x）-sinx+z則fx)-osz一2-cosz1+z)}
sin'x
當x∈(x,3)時，cosx<0,00,f(x)單調遞增，
當xE(,2x)時，cos>0,0所以f(x)在區間(x,2x)上有一個零點.
同理，在區何(3x讓fa)=一加z葉品也有-個零點，所以fc)在區間(-，)上有
兩個零點，故D正確.故選ABD.
數學參考答案及評分標準第3頁（共9頁）
12.【答案】BCD
1
【佛折于A透項，當@3,6-時，點P坐標可為侵9》，直袋要+-1為
4
3
23y
2=1,即x+2V3y=8.由
管+苦
=1,
得字-8w5y+15=0,因為△=(85}-4×7×
x+2w3y=8,
15=一18<0，所以直線x+2√3y=8與橢圓C無交點，所以A錯誤；
對于B選項，因為a>b>1,所以a2十b>1.設原點到直線ax十by=1的距離為d,由點到直線
的距離公式，得4元1所以直線az+by1與圓2牛y=】相交，所以B正確
對于C選項，橢圓C的熊距為2，則2=2，即c=1.不妨設<0，如>0，則如=√后氣'
0=V,所以加加=哥=號藏a=25-1.又a-護=1，舞得e=8,所
a2-I
以一后后停所以C正豫，
對于D選項，不設如>0，k≥0，則e心。=VB1,所以k如·如=Y伊
1
a2-1
名版e=w-s所以-1-要=1-w寫13又61，廝以0<<導這
2
0三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.【答案】號
折10-侶+：2局臺
14.【答案】104
【解析】(z+是)112z)°的展亦式中含x的項為xC(2z)+是cC(2z)5=(4C2C)x
=104x3,所以x3的系數是104.
數學參考答案及評分標準第4頁（共9頁）

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