資源簡介

高中物理必修知識點匯總（附例題講解）
第一章 運動的描述 勻變速直線運動的研究 2
第1單元 直線運動的基本概念 2
第2單元 勻變速直線運動規律 3
第3單元 自由落體與豎直上拋運動 5
第4單元 直線運動的圖象 6
第二章 相互作用 7
第1單元 力 重力和彈力 摩擦力 7
第2單元 力的合成和分解 9
第3單元 共點力作用下物體的平衡 11
第三章 牛頓運動定律 18
第1單元 牛頓運動三定律 18
第2單元 牛頓運動定律的應用 23
第3單元 解析典型問題 27
第四章 機械能 35
第1單元 功和功率 35
第2單元 動能 勢能 動能定理 40
第3單元 機械能守恒定律 47
第4單元 功能關系 動量能量綜合 52
第五章 曲線運動 58
第1單元 運動的合成與分解 平拋物體的運動 58
第2單元 圓周運動 62
第3單元 萬有引力定律 人造衛星 68
第一章 運動的描述 勻變速直線運動的研究
第1單元 直線運動的基本概念
機械運動：一個物體相對于另一物體位置的改變（平動、轉動、直線、曲線、圓周）
(
直線運動
直線運動的條件：
a
、
v
0
共線
參考系、質點、
時間和時刻、
位移和路程
速度、速率、平均速度
加速度
運動的描述
典型的直線運動
勻速直線運動 s=
t ，
s-t
圖，（
a
＝0）
勻變速直線運動
特例
自由落體（
a
＝
g
）
豎直上拋（
a
＝
g
）
v - t
圖
規律
,
,
)參考系：假定為不動的物體
參考系可以任意選取,一般以地面為參考系
同一個物體，選擇不同的參考系，觀察的結果可能不同
一切物體都在運動，運動是絕對的，而靜止是相對的
質點：在研究物體時，不考慮物體的大小和形狀，而把物體看成是有質量的點，或者說用一個有質量的點來代替整個物體，這個點叫做質點。
質點忽略了無關因素和次要因素，是簡化出來的理想的、抽象的模型，客觀上不存在。
大的物體不一定不能看成質點，小的物體不一定就能看成質點。
轉動的物體不一定不能看成質點，平動的物體不一定總能看成質點。
某個物體能否看成質點要看它的大小和形狀是否能被忽略以及要求的精確程度。
3、時刻：表示時間坐標軸上的點即為時刻。例如幾秒初，幾秒末。
時間：前后兩時刻之差。時間坐標軸線段表示時間，第n秒至第n+3秒的時間為3秒
（對應于坐標系中的線段）
4、位移：由起點指向終點的有向線段，位移是末位置與始位置之差，是矢量。
路程：物體運動軌跡之長，是標量。路程不等于位移大小
（坐標系中的點、線段和曲線的長度）
5、速度：描述物體運動快慢和運動方向的物理量， 是矢量。
平均速度：在變速直線運動中，運動物體的位移和所用時間的比值，υ=s/t（方向為位移的方向）
平均速率：為質點運動的路程與時間之比,它的大小與相應的平均速度之值可能不相同（粗略描述運動的快慢）
即時速度：對應于某一時刻（或位置）的速度，方向為物體的運動方向。（）
即時速率：即時速度的大小即為速率；
6、平動：物體各部分運動情況都相同。 轉動：物體各部分都繞圓心作圓周運動。
7、加速度：描述物體速度變化快慢的物理量，a=△v/△t （又叫速度的變化率），是矢量。a的方向只與△v的方向相同（即與合外力方向相同）。
（1）加速度與速度沒有直接關系：加速度很大，速度可以很小、可以很大、也可以為零（某瞬時）；加速度很小，速度可以很小、可以很大、也可以為零（某瞬時）；
（2）加速度與速度的變化量沒有直接關系：加速度很大，速度變化量可以很小、也可以很大；加速度很小，速度變化量可以很大、也可以很小。加速度是“變化率”——表示變化的快慢，不表示變化的大小。
（3）當加速度方向與速度方向相同時，物體作加速運動，速度增大；若加速度增大，速度增大得越來越快；若加速度減小，速度增大得越來越慢（仍然增大）。當加速度方向與速度方向相反時，物體作減速運動，速度減小；若加速度增大，速度減小得越來越快；若加速度減小，速度減小得越來越慢（仍然減小）。
8、勻速直線運動：，即在任意相等的時間內物體的位移相等．它是速度為恒矢量的運動，加速度為零的直線運動．
勻速s - t圖像為一直線：圖線的斜率在數值上等于物體的速度。
第2單元 勻變速直線運動規律
勻變速直線運動公式
1．常用公式有以下四個
2．勻變速直線運動中幾個常用的結論
①Δs=aT 2，即任意相鄰相等時間內的位移之差相等。可以推廣到sm-sn=(m-n)aT 2
②，某段時間的中間時刻的即時速度等于該段時間內的平均速度。
，某段位移的中間位置的即時速度公式（不等于該段位移內的平均速度）。
可以證明，無論勻加速還是勻減速，都有。
3．初速度為零（或末速度為零）的勻變速直線運動
做勻變速直線運動的物體，如果初速度為零，或者末速度為零，那么公式都可簡化為：
， ， ，
4．初速為零的勻變速直線運動
①前1秒、前2秒、前3秒……內的位移之比為1∶4∶9∶……
②第1秒、第2秒、第3秒……內的位移之比為1∶3∶5∶……
③前1米、前2米、前3米……所用的時間之比為1∶∶∶……
④第1米、第2米、第3米……所用的時間之比為1∶∶（）∶……
對末速為零的勻變速直線運動，可以相應的運用這些規律。
5．一種典型的運動
經常會遇到這樣的問題：物體由靜止開始先做勻加速直線運動，緊接著又做勻減速直線運動到靜止。用右圖描述該過程，可以得出以下結論：
(
A B C
a
1、
s
1
、
t
1
a
2、
s
2
、
t
2
)① ②
6、解題方法指導：
解題步驟：
（1）確定研究對象。（2）明確物體作什么運動，并且畫出運動示意圖。（3）分析研究對象的運動過程及特點，合理選擇公式，注意多個運動過程的聯系。（4）確定正方向，列方程求解。（5）對結果進行討論、驗算。
解題方法：
（1）公式解析法：假設未知數，建立方程組。本章公式多，且相互聯系，一題常有多種解法。要熟記每個公式的特點及相關物理量。
（2）圖象法：如用v—t圖可以求出某段時間的位移大小、可以比較vt/2與vS/2，以及追及問題。用s—t圖可求出任意時間內的平均速度。
（3）比例法：用已知的討論，用比例的性質求解。
（4）極值法：用二次函數配方求極值，追趕問題用得多。
（5）逆向思維法：如勻減速直線運動可視為反方向的勻加速直線運動來求解。
第3單元 自由落體與豎直上拋運動
自由落體運動：物體僅在重力作用下由靜止開始下落的運動
重快輕慢”――非也
亞里斯多德――Y
伽利略――――N
（1）特點：只受重力作用，即υ0=0、a=g（由赤道向兩極，g增加由地面向高空，g減小一般認為g不變）
（2）運動規律： V = g t H = g t2. / 2 V2 = 2 g H
對于自由落體運動，物體下落的時間僅與高度有關，與物體受的重力無關。
（3）符合初速度為零的勻加速直線運動的比例規律
豎直上拋運動：物體上獲得豎直向上的初速度υ0后僅在重力作用下的運動。
特點：只受重力作用且與初速度方向反向，以初速方向為正方向則---a=-g
運動規律：
（1） V＝V0－g t t＝V0 / g
（2） H＝V0 t－g t2 / 2
（3） V02－V2＝2gH H＝V02 / 2g
（4） = ( V0 +V) / 2
例：豎直上拋，V0＝100m / s 忽略空氣阻力
（1）、多長時間到達最高點？
0＝V0－g t t＝V0 / g=10秒 500米
理解加速度
（2）、最高能上升多高？（最大高度） 100m/s
0－V02＝－2g H H= V02/2g＝500米
（3）、回到拋出點用多長時間？
H＝g t2. / 2 t＝10秒 時間對稱性
（4）、回到拋出點時速度＝？
V＝g t V＝100m / s 方向向下 速度大小對稱性
（5）、接著下落10秒，速度＝？
v＝100＋10×10＝200m/s 方向向下
（6）、此時的位置？
s＝100×10＋0.5×10×102＝1500米
（7）、理解前10秒、20秒 v（m/s）
30秒 內的位移
100
0 10 20 30 t (s)
－100
－200
結論：時間對稱性
速度大小對稱性
注意：若物體在上升或下落中還受有恒空氣阻力，則物體的運動不再是自由落體和豎直上拋運動，分別計算上升a上與下降a下的加速度，利用勻變速公式問題同樣可以得到解決。
第4單元 直線運動的圖象
知識要點：
勻速直線運動
對應于實際運動
位移～時間圖象，某一時刻的位移
S＝v t
⑴截距的意義：出發點距離標準點的距離和方向
⑵圖象水平表示物體靜止
斜率絕對值 = v的大小
⑶，交叉點表示兩個物體相遇 (
V（某時刻的快慢）
t
)
速度～時間圖象，某一時刻的速度
陰影面積 ＝ 位移數值（大小）上正下負
勻變速直線運動的速度——時間圖象（υ—t圖）
(
△V
) Vt
VO α
0 t
截距表示初速度
比較速度變化的快慢，即加速度
交叉點表示速度相等
面積 = 位移 上正下負
第二章 相互作用
第1單元 力 重力和彈力 摩擦力
一、力：是物體對物體的作用
施力物體與受力物體是同時存在、同時消失的；力是相互的
力是矢量（什么叫矢量——滿足平行四邊形定則）
力的大小、方向、作用點稱為力的三要素
力的圖示和示意圖
力的分類：根據產生力的原因即根據力的性質命名有重力、彈力、分子力、電場力、磁場力等；根據力的作用效果命名即效果力如拉力、壓力、向心力、回復力等。(提問：效果相同，性質一定相同嗎？性質相同效果一定相同嗎？大小方向相同的兩個力效果一定相同嗎？)
力的效果：1、加速度或改變運動狀態 2、形變
力的拓展：1、改變運動狀態的原因 2、產生加速度 3、牛頓第二定律 4、牛頓第三定律
二、常見的三種力
1重力
產生：由于地球的吸引而使物體受到的力，是萬有引力的一個分力
方向：豎直向下或垂直于水平面向下
大小：G=mg，可用彈簧秤測量
兩極 引力 = 重力 （向心力為零）
赤道 引力 = 重力 + 向心力 （方向相同）
由兩極到赤道重力加速度減小，由地面到高空重力加速度減小
作用點：重力作用點是重心，是物體各部分所受重力的合力的作用點。 重心的測量方法：均勻規則幾何體的重心在其幾何中心，薄片物體重心用懸掛法；重心不一定在物體上。
2、彈力
（1）產生：發生彈性形變的物體恢復原狀，對跟它接觸并使之發生形變的另一物體產生的力的作用。
（2）產生條件：兩物體接觸；有彈性形變。
（3）方向：彈力的方向與物體形變的方向相反，具體情況有：輕繩的彈力方向是沿著繩收縮的方向；支持力或壓力的方向垂直于接觸面，指向被支撐或被壓的物體；彈簧彈力方向與彈簧形變方向相反。
（4）大小：彈簧彈力大小F=kx（其它彈力由平衡條件或動力學規律求解）
K是勁度系數，由彈簧本身的性質決定
X是相對于原長的形變量
力與形變量成正比
作用點：接觸面或重心
3、摩擦力
（1）產生：相互接觸的粗糙的物體之間有相對運動（或相對運動趨勢）時，在接觸面產生的阻礙相對運動（相對運動趨勢）的力；
（2）產生條件：接觸面粗糙；有正壓力；有相對運動（或相對運動趨勢）；
（3）摩擦力種類：靜摩擦力和滑動摩擦力。
靜摩擦力
（1）產生：兩個相互接觸的物體，有相對滑動趨勢時產生的摩擦力。
（2）作用效果：總是阻礙物體間的相對運動趨勢。
（3）方向：與相對運動趨勢的方向一定相反（**與物體的運動方向可能相反、可能相同、還可能成其它任意夾角）
(
V = 2
V = 3
)（4）方向的判定：由靜摩擦力方向跟接觸面相切，跟相對運動趨勢方向相反來判定；由物體的平衡條件來確定靜摩擦力的方向；由動力學規律來確定靜摩擦力的方向。
(5) 作用點
滑動摩擦力
（1）產生：兩個物體發生相對運動時產生的摩擦力。
（2）作用效果：總是阻礙物體間的相對運動。
（3）方向：與物體的相對運動方向一定相反（**與物體的運動方向可能相同；可能相反；也可能成其它任意夾角）
（4）大小：f=μN（μ是動摩擦因數，只與接觸面的材料有關，與接觸面積無關）
(
V
f =
μ
mg
f =
μ
(
mg +ma)
a
f =
μ
mg cos
θ
)
第2單元 力的合成和分解
標量和矢量
矢量：滿足平行四邊行定則（力、位移、速度、加速度、動量、沖量、電場強度、磁感應強度）
標量：不滿足平行四邊行定則（路程、時間、質量、體積、密度、功和功率、電勢、能量、磁通量、振幅）
1．矢量和標量的根本區別在于它們遵從不同的運算法則：標量用代數法；矢量用平行四邊形定則或三角形定則。
矢量的合成與分解都遵從平行四邊形定則（可簡化成三角形定則）。平行四邊形定則實質上是一種等效替換的方法。一個矢量（合矢量）的作用效果和另外幾個矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用這一個矢量代替那幾個矢量，也可以用那幾個矢量代替這一個矢量，而不改變原來的作用效果。
2．同一直線上矢量的合成可轉為代數法，即規定某一方向為正方向。與正方向相同的物理量用正號代入．相反的用負號代入，然后求代數和，最后結果的正、負體現了方向，但有些物理量雖也有正負之分，運算法則也一樣．但不能認為是矢量，最后結果的正負也不表示方向如：功、重力勢能、電勢能、電勢等。
二、力的合成與分解
力的合成與分解體現了用等效的方法研究物理問題。
合成與分解是為了研究問題的方便而引人的一種方法．用合力來代替幾個力時必須把合力與各分力脫鉤，即考慮合力則不能考慮分力，同理在力的分解時只考慮分力而不能同時考慮合力。
1．力的合成
（1）力的合成的本質就在于保證作用效果相同的前提下，用一個力的作用代替幾個力的作用，這個力就是那幾個力的“等效力”（合力）。力的平行四邊形定則是運用“等效”觀點，通過實驗總結出來的共點力的合成法則，它給出了尋求這種“等效代換”所遵循的規律。
(
F
1
F
2
F
O
F
1
F
2
F
O
)（2）平行四邊形定則可簡化成三角形定則。由三角形定則還可以得到一個有用的推論：如果n個力首尾相接組成一個封閉多邊形，則這n個力的合力為零。
（3）共點的兩個力合力的大小范圍是
|F1－F2| ≤ F合≤ F1＋F2
（4） 共點的三個力合力的最大值為三個力的大小之和，最小值可能為零。
2．力的分解
（1）力的分解遵循平行四邊形法則，力的分解相當于已知對角線求鄰邊。
（2）兩個力的合力惟一確定，一個力的兩個分力在無附加條件時，從理論上講可分解為無數組分力，但在具體問題中，應根據力實際產生的效果來分解。
（3）幾種有條件的力的分解?
①已知兩個分力的方向，求兩個分力的大小時，有唯一解。
②已知一個分力的大小和方向，求另一個分力的大小和方向時，有唯一解。
③已知兩個分力的大小，求兩個分力的方向時，其分解不惟一。
④已知一個分力的大小和另一個分力的方向，求這個分力的方向和另一個分力的大小時，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。
（4）用力的矢量三角形定則分析力最小值的規律：
①當已知合力F的大小、方向及一個分力F1的方向時，另一個分力F2取最小值的條件是兩分力垂直。如圖所示，F2的最小值為：F2min=F sinα
②當已知合力F的方向及一個分力F1的大小、方向時，另一個分力F2取最小值的條件是：所求分力F2與合力F垂直，如圖所示，F2的最小值為：F2min=F1sinα?
③當已知合力F的大小及一個分力F1的大小時，另一個分力F2取最小值的條件是：已知大小的分力F1與合力F同方向，F2的最小值為｜F－F1｜
（5）正交分解法：?
把一個力分解成兩個互相垂直的分力，這種分解方法稱為正交分解法。
用正交分解法求合力的步驟：
①首先建立平面直角坐標系，并確定正方向
②把各個力向x軸、y軸上投影，但應注意的是：與確定的正方向相同的力為正，與確定的正方向相反的為負，這樣，就用正、負號表示了被正交分解的力的分力的方向
③求在x軸上的各分力的代數和Fx合和在y軸上的各分力的代數和Fy合
④求合力的大小
合力的方向：tanα=（α為合力F與x軸的夾角）
第3單元 共點力作用下物體的平衡
一、物體的受力分析
1．明確研究對象
在進行受力分析時，研究對象可以是某一個物體，也可以是保持相對靜止的若干個物體。在解決比較復雜的問題時，靈活地選取研究對象可以使問題簡潔地得到解決。研究對象確定以后，只分析研究對象以外的物體施予研究對象的力（即研究對象所受的外力），而不分析研究對象施予外界的力。
2．按順序找力
先場力（重力、電場力、磁場力），后接觸力；接觸力中必須先彈力，后摩擦力（只有在有彈力的接觸面之間才可能有摩擦力）。
3．只畫性質力，不畫效果力
畫受力圖時，只能按力的性質分類畫力，不能按作用效果（拉力、壓力、向心力等）畫力，否則將出現重復。
4．需要合成或分解時，必須畫出相應的平行四邊形（或三角形）
二、物體的平衡
物體的平衡有兩種情況：一是質點靜止或做勻速直線運動，物體的加速度為零；二是物體不轉動或勻速轉動（此時的物體不能看作質點）。
理解：對于共點力作用下物體的平衡，不要認為只有靜止才是平衡狀態，勻速直線運動也是物體的平衡狀態．因此，靜止的物體一定平衡，但平衡的物體不一定靜止．還需注意，不要把速度為零和靜止狀態相混淆，靜止狀態是物體在一段時間內保持速度為零不變，其加速度為零，而物體速度為零可能是物體靜止，也可能是物體做變速運動中的一個狀態，加速度不為零。由此可見，靜止的物體速度一定為零，但速度為零的物體不一定靜止．因此，靜止的物體一定處于平衡狀態，但速度為零的物體不一定處于靜止狀態。
總之，共點力作用下的物體只要物體的加速度為零，它一定處于平衡狀態，只要物體的加速度不為零，它一定處于非平衡狀態
三、共點力作用下物體的平衡
1．共點力——幾個力作用于物體的同一點，或它們的作用線交于同一點（該點不一定在物體上），這幾個力叫共點力。
2．共點力的平衡條件
在共點力作用下物體的平衡條件是合力為零，即F合＝0或Fx合＝0，Fy合＝0
3．判定定理
物體在三個互不平行的力的作用下處于平衡，則這三個力必為共點力。（表示這三個力的矢量首尾相接，恰能組成一個封閉三角形）
四、綜合應用舉例
1．靜平衡問題的分析方法
【例3如圖甲所示，一個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的。一根細線跨在碗口上，線的兩端分別系有質量為m1和m2的小球，當它們處于平衡狀態時，質量為m1的小球與O點的連線與水平線的夾角為α=60°。兩小球的質量比為A
A． B． C． D． (
F
1
F
2
G
G
F
2
F
1
)
2．動態平衡類問題的分析方法
【例4】 重G的光滑小球靜止在固定斜面和豎直擋板之間。若擋板逆時針緩慢轉到水平位置，在該過程中，斜面和擋板對小球的彈力的大小F1、F2各如何變化？
（F1逐漸變小，F2先變小后變大。當F2⊥F1，即擋板與斜面垂直時，F2最小）
3．平衡中的臨界、極值問題
當某種物理現象（或物理狀態）變為另一種物理現象（或另一物理狀態）時的轉折狀態叫臨界狀態。可理解成“恰好出現”或“恰好不出現”。
極限分析法：通過恰當地選取某個物理量推向極端（“極大”、“極小”、“極左”、“極右”）從而把比較隱蔽的臨界現象（“各種可能性”）暴露出來，便于解答。
例題分析：1、三塊質量均為m的相同物塊A、B、C疊放在水平面上，如圖所示。已知各接觸面間的動摩擦因數均相等。若水平拉力F作用于物塊C上，當F=mg時三物塊一起在水平面上勻速運動。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，那么( )
A.若水平拉力F作用于物塊A上，則當F=mg時，三物塊一定在水平面上勻速運動
B.若水平拉力F作用于物塊B上，并將B從A、C中抽出，則F=mg
C.若水平拉力F作用于物塊C上，并將C從B下抽出，則F必須大于2mg
D若水平拉力F作用于物塊A上，并且三物塊均靜止在水平面上，則物塊C受到地面的摩擦力為mg
【解析】整體受拉力、重力、支持力和滑動摩擦力，根據平衡條件，有:F=μ·3mg;
根據題意，有:F=mg;解得:μ=;故AB間最大靜摩擦力為mg，BC間最大靜摩擦力為mg;
A、若水平拉力F作用于物塊A上，則當F=mg時，假設不相對滑動，對A運用平衡條件可以得到AB間靜摩擦力達到mg，超過最大靜摩擦力，矛盾，故A錯誤;
B、若水平拉力F作用于物塊B上，并將B從AC中抽出，此時B受到兩個向后的滑動摩擦力，分別為mg、mg;對C研究，受向右的mg的滑動摩擦力，小于最大靜摩擦力，平衡;對A研究，受mg的向右的滑動摩擦力，根據牛頓第二定律，有:mg=ma，解得a=g;再對B研究，根據牛頓第二定律，有:F-mg-mg=ma>mg，故F>mg，即拉力F必須大于mg，故 B錯誤;
C、但F=2mg時，假設三個滑塊不相對滑動，對整體，有:F-f=2mg-mg=3m*a，解得a=g;對AB整體，有:fB=2ma=mg，達到最大靜摩擦力；對A，有:fA=ma=mg，達到最大靜摩擦力;故若水平拉力F作用于物塊C上，并將C從B下抽出，則 F必須大于2mg，故C正確;
D、若水平拉力F作用于物塊A上，并且三物塊均靜止在水平面上，對整體運用平衡條件可得物塊C受到地面的摩擦力等于F，故D錯誤;故選C.
4．整體法與隔離法的應用
對于連結體問題，如果能夠運用整體法，我們優先采用整體法，這樣涉及的研究對象少，未知量少，方程少；不計物體間相互作用的內力，或物體系內的物體的運動狀態相同，一般首先考慮整體法，對于大多數動力學問題，單純采用整體法并不一定能解決，通常采用整體法和隔離法相結合的方法。
隔離法：物體之間總是相互作用的，為了使研究的問題得到簡化，常將研究對象從相互作用的物體中隔離出來，而其它物體對研究對象的影響一律以力來表示的研究方法叫隔離法。
整體法：在研究連接體一類的問題時，常把幾個相互作用的物體作為一個整體看成一個研究對象的方法叫整體法。
5．“穩態速度”類問題中的平衡
【例12】物體從高空下落時，空氣阻力隨速度的增大而增大，因此經過一段距離后將勻速下落，這個速度稱為此物體下落的穩態速度。已知球形物體速度不大時所受的空氣阻力正比于速度v，且正比于球半徑r，即阻力f=krv，k是比例系數。對于常溫下的空氣，比例系數k=3.4×10-4Ns/m2。已知水的密度kg/m3，重力加速度為m/s2。求半徑r=0.10mm的球形雨滴在無風情況下的穩態速度。
解析：雨滴下落時受兩個力作用：重力，方向向下；空氣阻力，方向向上。當雨滴達到穩態速度后，加速度為0，二力平衡，用m表示雨滴質量，有mg-krv=0，，求得，v=1.2m/s。
6．繩中張力問題的求解
(
F
2
) (
α
F
1
A
B
G
/2
F
1
F
2
α
G
/2
C
P
O
O
)【例13】重G的均勻繩兩端懸于水平天花板上的A、B兩點。靜止時繩兩端的切線方向與天花板成α角。求繩的A端所受拉力F1和繩中點C處的張力F2。
解：以AC段繩為研究對象，根據判定定理，雖然AC所受的三個力分別作用在不同的點（如圖中的A、C、P點），但它們必為共點力。設它們延長線的交點為O，用平行四邊形定則作圖可得：
7 解答平衡問題時常用的數學方法
根據平衡條件解答平衡問題，往往要進行一定的數學運算才能求得結果，在選擇數學方法可針對如下幾種情況進行：
1、物體受三力作用而平衡，且三力成一定的夾角，一般將三力平衡化為二力平衡，對應數學方法：
（1）正弦定理：如圖6-1所示，則有F1/sinα=F2/sinβ=F3/sinγ
（2）三角形相似：這種方法應用廣泛，具體應用時先畫出力的
三角形，再尋找與力的三角形相似的空間三角形，（即具有物理
意義的三角形和具有幾何意義的三角形相似）由相似三角形建立
比例關系求解。
2、多力合成時為了便于計算，往往把這些力先正交分解，根據：∑FX=0 ∑FY=0 求解。
3、動態平衡問題：解析法和圖象法。
解析法：對研究對象形的任一狀態進行受力分析，建立平衡方程，求出因變量與自變量的一般函數關系，然后根據自變量變化情況而確定因變量的變化情況。
圖象法：對研究對象在狀態變化過程中的若干狀態進行受力分析，依據某一參量的變化，在同一圖中作出若干狀態下的平衡圖，再由邊角變化關系確定某些力的大小及方向的變化情況。
【例14】如圖所示，在半徑為R的光滑半球面正上方距球心h處懸掛一定滑輪，重為G的小球A用繞過滑輪的繩子被站在地面上的人拉住。人拉動繩子，在與球面相切的某點緩慢運動到接近頂點的過程中，試分析半球對小球的支持力N和繩子拉力F如何變化。
解析：小球在重力G，球面的支持力N，繩子的拉力F作用下，處于動態平衡。任選一狀態，受力如圖4所示。不難看出，力三角形ΔFAG’與幾何關系三角形ΔBAO相似，從而有：
，
（其中G’與G等大，L為繩子AB的長度）
由于在拉動過程中，R、h不變，繩長L在減小，可見：球面的支持力大小不變，繩子的拉力在減小。
例15圖6-2所示，小圓環重G，固定的豎直大環半徑為R，輕彈簧原長為L（L﹤R）其倔強系數為K，接觸面光滑，求小環靜止時彈簧與豎直方向的夾角θ？
提示：可利用正弦定律求解或三角形相似法求解
例34、如圖6-3所示，一輕桿兩端固結兩個小物體A、B，mA=4mB
跨過滑輪連接A和B的輕繩長為L，求平衡時OA和OB分別多長？
針對訓練
1．把重20N的物體放在傾角為30°的粗糙斜面上，物體右端與固定在斜面上的輕彈簧相連接，如圖所示，若物體與斜面間的最大靜摩擦力為 12 N，則彈簧的彈力為（ ）
A．可以是22N，方向沿斜面向上
B．可以是2N．方向沿斜面向上
C．可以是2N，方向沿斜面向下
D．可能為零
2兩個物體A和B，質量分別為M和m，用跨過定滑輪的輕繩相連， A靜止于水平地面上，如圖所示，不計摩擦力，A對繩的作用力的大小與地面對A的作用力的大小分別為（）
A．mg，（M－m）g B．mg，Mg
C．（M－m）g， M g D．（M+m）g，（M－m）g
3如圖所示，當傾角為45°時物體m處于靜止狀態，當傾角θ再增大一些，物體m仍然靜止（繩子質量、滑輪摩擦不計）下列說法正確的是（ ）
A．繩子受的拉力增大
B．物林m對斜面的正壓力減小
C．物體m受到的靜摩擦力可能增大
D．物體m受到的靜摩擦力可能減小
4．如圖所示，兩光滑硬桿AOB成θ角，在兩桿上各套上輕環P、Q，兩環用細繩相連，現用恒力F沿OB方向拉環Q ，當兩環穩定時細繩拉力為（ ）
A．Fsinθ B．F/sinθ
C．Fcosθ D．F/cosθ
5．如圖所示，一個本塊A放在長木板B上，長木板B放在水平地面上．在恒力F作用下，長木板B以速度v勻速運動，水平彈簧秤的示數為T．下列關于摩擦力正確的是（ ）
A．木塊A受到的滑動摩擦力的大小等于T
B．木塊A受到的靜摩擦力的大小等于T
C．若長木板B以2v的速度勻速運動時，木塊A受到的摩擦力大小等于2T
D．若用2F的力作用在長木板上，木塊A受到的摩擦力的大小等于T
6．如圖所示，玻璃管內活塞P下方封閉著空氣，P上有細線系住，線上端懸于O點，P的上方有高h的水銀柱，如不計水銀、活塞P與玻璃管的摩擦，大氣壓強為p0保持不變，則當氣體溫度升高時（水銀不溢出）（ ）
A．管內空氣壓強恒為（p0十ρgh）(ρ為水銀密度）
B．管內空氣壓強將升高
C．細線上的拉力將減小
D．玻璃管位置降低
7．如圖（甲）所示，將一條輕而柔軟的細繩一端拴在天花板上的A點．另一端拴在豎直墻上的B點，A和B到O點的距離相等，繩的長度是OA的兩倍。圖（乙）所示為一質量可忽略的動滑輪K，滑輪下懸掛一質量為m的重物，設摩擦力可忽略，現將動滑輪和重物一起掛到細繩上，在達到平衡時，繩所受的拉力是多大？
8．長L的繩子，一端拴著半徑為r，重為G的球，另一端固定在傾角為θ的光滑斜面的A點上，如圖所示，試求繩子中的張力
參考答案：
1．ABCD 2．A 3．BCD 4．B 5．AD 6．D
7． 8．
第三章 牛頓運動定律
知識網絡：
第1單元 牛頓運動三定律
一、牛頓第一定律(內容)：
（1）保持勻速直線運動或靜止是物體的固有屬性；物體的運動不需要用力來維持
（2）要使物體的運動狀態（即速度包括大小和方向）改變，必須施加力的作用，力是改變物體運動狀態的原因
1.牛頓第一定律導出了力的概念
力是改變物體運動狀態的原因。（運動狀態指物體的速度）又根據加速度定義：，有速度變化就一定有加速度，所以可以說：力是使物體產生加速度的原因。（不能說“力是產生速度的原因”、“力是維持速度的原因”，也不能說“力是改變加速度的原因”。）
2.牛頓第一定律導出了慣性的概念
慣性：物體保持原來勻速直線運動狀態或靜止狀態的性質。慣性應注意以下三點：
（1）慣性是物體本身固有的屬性，跟物體的運動狀態無關，跟物體的受力無關，跟物體所處的地理位置無關
（2）質量是物體慣性大小的量度，質量大則慣性大，其運動狀態難以改變
（3）外力作用于物體上能使物體的運動狀態改變，但不能認為克服了物體的慣性
3.牛頓第一定律描述的是理想化狀態
牛頓第一定律描述的是物體在不受任何外力時的狀態。而不受外力的物體是不存在的。物體不受外力和物體所受合外力為零是有區別的，所以不能把牛頓第一定律當成牛頓第二定律在F=0時的特例。
4、不受力的物體是不存在的，牛頓第一定律不能用實驗直接驗證，但是建立在大量實驗現象的基礎之上，通過思維的邏輯推理而發現的。它告訴了人們研究物理問題的另一種方法，即通過大量的實驗現象，利用人的邏輯思維，從大量現象中尋找事物的規律。
5、牛頓第一定律是牛頓第二定律的基礎，不能簡單地認為它是牛頓第二定律不受外力時的特例，牛頓第一定律定性地給出了力與運動的關系，牛頓第二定律定量地給出力與運動的關系。
【例1】在一艘勻速向北行駛的輪船甲板上，一運動員做立定跳遠，若向各個方向都用相同的力，則 （ D ）
A．向北跳最遠 B．向南跳最遠
C．向東向西跳一樣遠，但沒有向南跳遠 D．無論向哪個方向都一樣遠
【例2】某人用力推原來靜止在水平面上的小車，使小車開始運動，此后改用較小的力就可以維持小車做勻速直線運動，可見（ ）
A．力是使物體產生運動的原因 B．力是維持物體運動速度的原因
C．力是使物體速度發生改變的原因 D．力是使物體慣性改變的原因
【例3】如圖中的甲圖所示，重球系于線DC下端，重球下再系一根同樣的線BA，下面說法中正確的是（ ）
A．在線的A端慢慢增加拉力，結果CD線拉斷
B．在線的A端慢慢增加拉力，結果AB線拉斷
C．在線的A端突然猛力一拉，結果AB線拉斷
D．在線的A端突然猛力一拉，結果CD線拉斷
解析：如圖乙，在線的A端慢慢增加拉力，使得重球有足夠的時間發生向下的微小位移，以至拉力T2逐漸增大，這個過程進行得如此緩慢可以認為重球始終處于受力平衡狀態，即 T2＝T1＋mg，隨著T1增大，T2也增大，且總是上端繩先達到極限程度，故CD繩被拉斷，A正確。若在A端突然猛力一拉，因為重球質量很大，力的作用時間又極短，故重球向下的位移極小，以至于上端繩未來得及發生相應的伸長，T1已先達到極限強度，故AB繩先斷，選項C也正確。
二、牛頓第三定律(12個字——等值、反向、共線 同時、同性、兩體、)
1.區分一對作用力反作用力和一對平衡力
一對作用力反作用力和一對平衡力的共同點有：大小相等、方向相反、作用在同一條直線上。不同點有：作用力反作用力作用在兩個不同物體上，而平衡力作用在同一個物體上；作用力反作用力一定是同種性質的力，而平衡力可能是不同性質的力；作用力反作用力一定是同時產生同時消失的，而平衡力中的一個消失后，另一個可能仍然存在。
2.一對作用力和反作用力的沖量和功
一對作用力和反作用力在同一個過程中（同一段時間或同一段位移）的總沖量一定為零，但作的總功可能為零、可能為正、也可能為負。這是因為作用力和反作用力的作用時間一定是相同的，而位移大小、方向都可能是不同的。
3、效果不能相互抵消
【例4】汽車拉著拖車在水平道路上沿直線加速行駛，根據牛頓運動定律可知（B C ）
A．汽車拉拖車的力大于拖車拉汽車的力
B．汽車拉拖車的力等于拖車拉汽車的力
C．汽車拉拖車的力大于拖車受到的阻力
D．汽車拉拖車的力等于拖車受到的阻力
【例5】甲、乙二人拔河，甲拉動乙向左運動，下面說法中正確的是AC
A．做勻速運動時，甲、乙二人對繩的拉力大小一定相等
B．不論做何種運動，根據牛頓第三定律，甲、乙二人對繩的拉力大小一定相等
C．繩的質量可以忽略不計時，甲乙二人對繩的拉力大小一定相等
D．繩的質量不能忽略不計時，甲對繩的拉力一定大于乙對繩的拉力
【例6】物體靜止在斜面上，以下幾種分析中正確的是D
A．物體受到的靜摩擦力的反作用力是重力沿斜面的分力
B．物體所受重力沿垂直于斜面的分力就是物體對斜面的壓力
C．物體所受重力的反作用力就是斜面對它的靜摩擦力和支持力這兩個力的合力
D．物體受到的支持力的反作用力，就是物體對斜面的壓力
【例7】物體靜止于水平桌面上，則
Ａ．桌面對物體的支持力的大小等于物體的重力，這兩個力是一對平衡力
Ｂ．物體所受的重力和桌面對它的支持力是一對作用力與反作用力
Ｃ．物體對桌面的壓力就是物體的重力，這兩個力是同一種性質的力
Ｄ．物體對桌面的壓力和桌面對物體的支持力是一對平衡的力
三、牛頓第二定律
1．定律的表述
物體的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合力的方向相同，即F=ma （其中的F和m、a必須相對應）
特別要注意表述的第三句話。因為力和加速度都是矢量，它們的關系除了數量大小的關系外，還有方向之間的關系。明確力和加速度方向，也是正確列出方程的重要環節。
若F為物體受的合外力，那么a表示物體的實際加速度；若F為物體受的某一個方向上的所有力的合力，那么a表示物體在該方向上的分加速度；若F為物體受的若干力中的某一個力，那么a僅表示該力產生的加速度，不是物體的實際加速度。
2．對定律的理解：
（1）瞬時性：加速度與合外力在每個瞬時都有大小、方向上的對應關系，這種對應關系表現為：合外力恒定不變時，加速度也保持不變。合外力變化時加速度也隨之變化。合外力為零時，加速度也為零
（2）矢量性：牛頓第二定律公式是矢量式。公式只表示加速度與合外力的大小關系.矢量式的含義在于加速度的方向與合外力的方向始終一致.
（3）同一性：加速度與合外力及質量的關系，是對同一個物體（或物體系）而言，即 F與a均是對同一個研究對象而言.
（4）相對性；牛頓第二定律只適用于慣性參照系
3．牛頓第二定律確立了力和運動的關系
牛頓第二定律明確了物體的受力情況和運動情況之間的定量關系。聯系物體的受力情況和運動情況的橋梁或紐帶就是加速度。
4．應用牛頓第二定律解題的步驟
①明確研究對象。可以以某一個物體為對象，也可以以幾個物體組成的質點組為對象。設每個質點的質量為mi，對應的加速度為ai，則有：F合=m1a1+m2a2+m3a3+……+mnan
對這個結論可以這樣理解：先分別以質點組中的每個物體為研究對象用牛頓第二定律：∑F1=m1a1，∑F2=m2a2，……∑Fn=mnan，將以上各式等號左、右分別相加，其中左邊所有力中，凡屬于系統內力的，總是成對出現并且大小相等方向相反的，其矢量和必為零，所以最后得到的是該質點組所受的所有外力之和，即合外力F。
②對研究對象進行受力分析。同時還應該分析研究對象的運動情況（包括速度、加速度），并把速度、加速度的方向在受力圖旁邊畫出來。
③若研究對象在不共線的兩個力作用下做加速運動，一般用平行四邊形定則（或三角形定則）解題；若研究對象在不共線的三個以上的力作用下做加速運動，一般用正交分解法解題（注意靈活選取坐標軸的方向，既可以分解力，也可以分解加速度）。
④當研究對象在研究過程的不同階段受力情況有變化時，那就必須分階段進行受力分析，分階段列方程求解。
(
F
θ
)例9：如圖，質量m=4kg的物體與地面間的動摩擦因數為μ=0.5，在與水平成θ=37°角的恒力F作用下，從靜止起向右前進t1=2.0s后撤去F，又經過t2=4.0s物體剛好停下。 求：F的大小、最大速度vm、總位移s。 (54.5 20 60 )
四、超重和失重問題
升降機中人m =50kg，a=2 m/s向上或向下，求秤的示數
N
1、 靜止或勻速直線
N＝mg
視重＝重力 平衡
a = 0
2、 向上加速或向下減速，a向上 N
N－mg＝ma a
∴N＝mg＋ma
視重＞重力 超重 mg
3、 N
向下加速或向上減速，a向下
mg－N＝ma
∴N＝mg－ma
視重＜重力 失重
4， 如果a＝g向下，
則N＝0 臺秤無示數
完全失重
注意：
物體處于“超重”或“失重”狀態，地球作用于物體的重力始終存在，大小也無變化；
發生“超重”或“失重”現象與物體速度方向無關，只決定于物體的加速度方向；
在完全失重狀態，平常一切由重力產生的物理現象完全消失。如單擺停擺、浸在水中的物體不受浮力等。
五、牛頓定律的適用范圍：
只適用于研究慣性系中運動與力的關系，不能用于非慣性系；
只適用于解決宏觀物體的低速運動問題，不能用來處理高速運動問題；
只適用于宏觀物體，一般不適用微觀粒子。
例10、如圖所示，升降機內質量為m的小球用輕彈簧系住，懸在升降機內，當升降機以a=加速度減速上升時，秤系數為（ A ）
A、2mg/3 B、mg/3 C、4mg/3 D、mg
例10、如圖所示，電梯中有一桶水，水面上漂浮一木塊，其質量為m，靜止時木塊一部分浸在水中，當電梯以a加速上升時，問木塊浸在水中的深度如何變化？（不變）
注意：
電梯加速運動時，水也處在超重狀態；
物體所受浮力是物體上、下表面受到的水的壓力差f=m（ga）V排
第2單元 牛頓運動定律的應用
一、牛頓運動定律在動力學問題中的應用
1．運用牛頓運動定律解決的動力學問題常常可以分為兩種類型
（1）已知受力情況，要求物體的運動情況．如物體運動的位移、速度及時間等．
（2）已知運動情況，要求物體的受力情況（求力的大小和方向）．
但不管哪種類型，一般總是先根據已知條件求出物體運動的加速度，然后再由此得出問題的答案．
常用的運動學公式為勻變速直線運動公式，等.
2．應用牛頓運動定律解題的一般步驟
（1）認真分析題意，明確已知條件和所求量，搞清所求問題的類型.
（2）選取研究對象.所選取的研究對象可以是一個物體，也可以是幾個物體組成的整體.同一題目，根據題意和解題需要也可以先后選取不同的研究對象.
（3）分析研究對象的受力情況和運動情況.
（4）當研究對象所受的外力不在一條直線上時：如果物體只受兩個力，可以用平行四邊形定則求其合力；如果物體受力較多，一般把它們正交分解到兩個方向上去分別求合力；如果物體做直線運動，一般把各個力分解到沿運動方向和垂直運動的方向上.
（5）根據牛頓第二定律和運動學公式列方程，物體所受外力、加速度、速度等都可根據規定的正方向按正、負值代入公式，按代數和進行運算.
（6）求解方程，檢驗結果，必要時對結果進行討論.
3．應用例析
【例1】一斜面AB長為10m，傾角為30°，一質量為2kg的小物體（大小不計）從斜面頂端A點由靜止開始下滑，如圖所示（g取10 m/s2）若斜面與物體間的動摩擦因數為0.5，求小物體下滑到斜面底端B點時的速度及所用時間．
解析：根據牛頓第二定律可知，mgsin30°-μmgcos30°=ma′,解得a′=0.67m/s2
根據，解得，獲得的速度
∴小物體下滑到斜面底端B點時的速度及所用時間分別為3.7m/s和5.5s.
【例2】如圖所示，一高度為h=0.8m粗糙的水平面在B點處與一傾角為θ=30°光滑的斜面BC連接，一小滑塊從水平面上的A點以v0=3m/s的速度在粗糙的水平面上向右運動。運動到B點時小滑塊恰能沿光滑斜面下滑。已知AB間的距離s=5m，求：
（1）小滑塊與水平面間的動摩擦因數；
（2）小滑塊從A點運動到地面所需的時間；
解析：（1）依題意得vB1=0，設小滑塊在水平面上運動的加速度大小為a，則據牛頓第二定律可得f=μmg=ma，所以a=μg，由運動學公式可得得，t1=3.3s
（2）在斜面上運動的時間t2=，t=t1+t2=4.1s
【例3】靜止在水平地面上的物體的質量為2 kg，在水平恒力F推動下開始運動，4 s末它的速度達到4m/s，此時將F撤去，又經6 s物體停下來，如果物體與地面的動摩擦因數不變，求F的大小。
解析：物體的整個運動過程分為兩段，前4 s物體做勻加速運動，后6 s物體做勻減速運動。
前4 s內物體的加速度為 ①
設摩擦力為，由牛頓第二定律得 ②
后6 s內物體的加速度為 ③
物體所受的摩擦力大小不變，由牛頓第二定律得 ④
由②④可求得水平恒力F的大小為
二、整體法與隔離法
1．整體法：在研究物理問題時，把所研究的對象作為一個整體來處理的方法稱為整體法。采用整體法時不僅可以把幾個物體作為整體，也可以把幾個物理過程作為一個整體，采用整體法可以避免對整體內部進行繁鎖的分析，常常使問題解答更簡便、明了。
運用整體法解題的基本步驟：
①明確研究的系統或運動的全過程.
②畫出系統的受力圖和運動全過程的示意圖.
③尋找未知量與已知量之間的關系，選擇適當的物理規律列方程求解
2．隔離法：把所研究對象從整體中隔離出來進行研究，最終得出結論的方法稱為隔離法。可以把整個物體隔離成幾個部分來處理，也可以把整個過程隔離成幾個階段來處理，還可以對同一個物體，同一過程中不同物理量的變化進行分別處理。采用隔離物體法能排除與研究對象無關的因素，使事物的特征明顯地顯示出來，從而進行有效的處理。
運用隔離法解題的基本步驟：
①明確研究對象或過程、狀態，選擇隔離對象.選擇原則是：一要包含待求量，二是所選隔離對象和所列方程數盡可能少.
②將研究對象從系統中隔離出來；或將研究的某狀態、某過程從運動的全過程中隔離出來.
③對隔離出的研究對象、過程、狀態分析研究，畫出某狀態下的受力圖或某階段的運動過程示意圖.
④尋找未知量與已知量之間的關系，選擇適當的物理規律列方程求解.
3．整體和局部是相對統一的，相輔相成的。
隔離法與整體法，不是相互對立的，一般問題的求解中，隨著研究對象的轉化，往往兩種方法交叉運用，相輔相成.
4．應用例析
【例4】如圖所示，A、B兩木塊的質量分別為mA、mB，在水平推力F作用下沿光滑水平面勻加速向右運動，求A、B間的彈力FN。
解析：這里有a、FN兩個未知數，需要要建立兩個方程，要取兩次研究對象。比較后可知分別以B、（A+B）為對象較為簡單（它們在水平方向上都只受到一個力作用）。可得
點評：這個結論還可以推廣到水平面粗糙時（A、B與水平面間μ相同）；也可以推廣到沿斜面方向推A、B向上加速的問題，有趣的是，答案是完全一樣的。
【例5】如圖所示，質量為M的木箱放在水平面上，木箱中的立桿上套著一個質量為m的小球，開始時小球在桿的頂端，由靜止釋放后，小球沿桿下滑的加速度為重力加速度的，即a=g，則小球在下滑的過程中，木箱對地面的壓力為多少？
解法一：（隔離法）
mg-Ff=ma ① FN -Ff′-Mg=0 ②
且Ff=Ff′ ③ 由①②③式得FN=g
由牛頓第三定律知，木箱對地面的壓力大小為 FN′=FN =g.
解法二：（整體法）
對于“一動一靜”連接體，也可選取整體為研究對象，依牛頓第二定律列式：
（mg+Mg）-FN = ma+M×0
故木箱所受支持力：FN=g，由牛頓第三定律知：
木箱對地面壓力FN′=FN=g.
第3單元 解析典型問題
問題1：必須弄清牛頓第二定律的矢量性。
牛頓第二定律F=ma是矢量式，加速度的方向與物體所受合外力的方向相同。在解題時，可以利用正交分解法進行求解。
(
30
0
a
F
N
mg
F
f
圖
1
x
yx
a
x
a
yx
)例1、如圖1所示，電梯與水平面夾角為300,當電梯加速向上運動時，人對梯面壓力是其重力的6/5，則人與梯面間的摩擦力是其重力的多少倍？
分析與解：對人受力分析，他受到重力mg、支持力FN和摩擦力Ff作用，如圖1所示.取水平向右為x軸正向，豎直向上為y軸正向，此時只需分解加速度，據牛頓第二定律可得：
Ff=macos300, FN-mg=masin300
因為，解得.
(
α
)另例： 如圖所示，在箱內傾角為α的固定光滑斜面上用平行于斜面的細線固定一質量為m的木塊。求：⑴箱以加速度a勻加速上升，⑵箱以加速度a向左勻加速運動時，線對木塊的拉力F1和斜面對箱的壓力F2各多大？
(
F
F
2
F
1
a v
G
v
a
a
x
a
y
F
2
F
1
G
G
x
G
y
x
y
)解：⑴a向上時，由于箱受的合外力豎直向上，重力豎直向下，所以F1、F2的合力F必然豎直向上。可先求F，再由F1=Fsinα和F2=Fcosα求解，得到： F1=m(g+a)sinα，F2=m(g+a)cosα
顯然這種方法比正交分解法簡單。
⑵a向左時，箱受的三個力都不和加速度在一條直線上，必須用正交分解法。可選擇沿斜面方向和垂直于斜面方向進行正交分解，（同時正交分解a），然后分別沿x、y軸列方程求F1、F2：
F1=m(gsinα-acosα)，F2=m(gcosα+asinα)
還應該注意到F1的表達式F1=m(gsinα-acosα)顯示其有可能得負值，這意味這繩對木塊的力是推力，這是不可能的。這里又有一個臨界值的問題：當向左的加速度a≤gtanα時F1=m(gsinα-acosα)沿繩向斜上方；當a>gtanα時木塊和斜面不再保持相對靜止，而是相對于斜面向上滑動，繩子松弛，拉力為零。
問題2：必須弄清牛頓第二定律的瞬時性。
牛頓第二定律是表示力的瞬時作用規律，描述的是力的瞬時作用效果—產生加速度。物體在某一時刻加速度的大小和方向，是由該物體在這一時刻所受到的合外力的大小和方向來決定的。當物體所受到的合外力發生變化時，它的加速度隨即也要發生變化，F=ma對運動過程的每一瞬間成立，加速度與力是同一時刻的對應量，即同時產生、同時變化、同時消失。
例2、如圖2（a）所示，一質量為m的物體系于長度分別為L1、L2的兩根細線上，L1的一端懸掛在天花板上，與豎直方向夾角為θ，L2水平拉直，物體處于平衡狀態。現將L2線剪斷，求剪斷瞬時物體的加速度。
(
L
1
L
2
θ
圖
2(a)
)（l）下面是某同學對該題的一種解法：
分析與解：設L1線上拉力為T1，L2線上拉力為T2，重力為mg，物體在三力作用下保持平衡,有
T1cosθ＝mg， T1sinθ＝T2， T2＝mgtanθ
剪斷線的瞬間，T2突然消失，物體即在T2反方向獲得加速度。因為mg tanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向。
(
L
1
L
2
θ
圖
2(b)
)你認為這個結果正確嗎？請對該解法作出評價并說明理由。
（2）若將圖2(a)中的細線L1改為長度相同、質量不計的輕彈簧，如圖2(b)所示，其他條件不變，求解的步驟和結果與（l）完全相同，即 a＝g tanθ，你認為這個結果正確嗎？請說明理由。
分析與解：（1）錯。因為L2被剪斷的瞬間，L1上的張力大小發生了變化。剪斷瞬時物體的加速度a=gsinθ.
（2）對。因為L2被剪斷的瞬間，彈簧L1的長度來不及發生變化，其大小和方向都不變。
問題3：必須弄清牛頓第二定律的獨立性。
當物體受到幾個力的作用時，各力將獨立地產生與其對應的加速度（力的獨立作用原理），而物體表現出來的實際加速度是物體所受各力產生加速度疊加的結果。那個方向的力就產生那個方向的加速度。
例3、如圖3所示，一個劈形物體M放在固定的斜面上，上表面水平，在水平面上放有光滑小球m，劈形物體從靜止開始釋放，則小球在碰到斜面前的運動軌跡是：C
A．沿斜面向下的直線 B．拋物線
C．豎直向下的直線 D.無規則的曲線。
問題4：必須弄清牛頓第二定律的同體性。
加速度和合外力(還有質量)是同屬一個物體的，所以解題時一定要把研究對象確定好，把研究對象全過程的受力情況都搞清楚。
(
圖
4
)例4、一人在井下站在吊臺上，用如圖4所示的定滑輪裝置拉繩把吊臺和自己提升上來。圖中跨過滑輪的兩段繩都認為是豎直的且不計摩擦。吊臺的質量m=15kg,人的質量為M=55kg,起動時吊臺向上的加速度是a=0.2m/s2,求這時人對吊臺的壓力。(g=9.8m/s2)
(
a
F
F
N
Mg
圖
6
) (
(m+M)g
F
F
圖
5
)分析與解：選人和吊臺組成的系統為研究對象，受力如圖5所示，F為繩的拉力,由牛頓第二定律有：2F-(m+M)g=(M+m)a
則拉力大小為：
再選人為研究對象，受力情況如圖6所示，其中FN是吊臺對人的支持力。由牛頓第二定律得：F+FN-Mg=Ma,故FN=M(a+g)-F=200N.
由牛頓第三定律知，人對吊臺的壓力與吊臺對人的支持力大小相等，方向相反，因此人對吊臺的壓力大小為200N，方向豎直向下。
問題5：必須弄清面接觸物體分離的條件及應用。
(
圖
7
)相互接觸的物體間可能存在彈力相互作用。對于面接觸的物體，在接觸面間彈力變為零時，它們將要分離。
例5、一根勁度系數為k,質量不計的輕彈簧，上端固定,下端系一質量為m的物體,有一水平板將物體托住,并使彈簧處于自然長度。如圖7所示。現讓木板由靜止開始以加速度a(a＜g＝勻加速向下移動。求經過多長時間木板開始與物體分離。
分析與解：設物體與平板一起向下運動的距離為x時，物體受重力mg，彈簧的彈力F=kx和平板的支持力N作用。據牛頓第二定律有：
mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma
(
F
圖
9
)當N=0時，物體與平板分離，所以此時
因為，所以。
例6、一彈簧秤的秤盤質量m1=1．5kg，盤內放一質量為m2=10．5kg的物體P，彈簧質量不計，其勁度系數為k=800N/m，系統處于靜止狀態，如上圖9所示。現給P施加一個豎直向上的力F，使P從靜止開始向上做勻加速直線運動，已知在最初0．2s內F是變化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s2）
分析與解：因為在t=0.2s內F是變力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s時，P離開秤盤。此時P受到盤的支持力為零，由于盤的質量m1=1．5kg，所以此時彈簧不能處于原長，這與例2輕盤不同。設在0_____0.2s這段時間內P向上運動的距離為x,對物體P據牛頓第二定律可得： F+N-m2g=m2a
對于盤和物體P整體應用牛頓第二定律可得：
令N=0，并由述二式求得，而，所以求得a=6m/s2.
當P開始運動時拉力最小，此時對盤和物體P整體有Fmin=(m1+m2)a=72N.
當P與盤分離時拉力F最大，Fmax=m2(a+g)=168N.
(
圖
10
)問題6：必須會分析臨界問題。
例7、如圖10，在光滑水平面上放著緊靠在一起的ＡＢ兩物體，Ｂ的質量是Ａ的2倍，Ｂ受到向右的恒力ＦB=2N，Ａ受到的水平力ＦA=(9-2t)N，(t的單位是s)。從t＝0開始計時，則：
A．Ａ物體3s末時的加速度是初始時的5／11倍；
B．t＞４s后,Ｂ物體做勻加速直線運動；
C．t＝4.5s時,Ａ物體的速度為零；
D．t＞4.5s后,ＡＢ的加速度方向相反。
分析與解：對于A、B整體據牛頓第二定律有：FA+FB=(mA+mB)a,設A、B間的作用為N，則對B據牛頓第二定律可得： N+FB=mBa
解得
(
a
A
P
45
0
圖
11
)當t=4s時N=0，A、B兩物體開始分離，此后B做勻加速直線運動，而A做加速度逐漸減小的加速運動，當t=4.5s時A物體的加速度為零而速度不為零。t＞4.5s后,Ａ所受合外力反向，即A、B的加速度方向相反。當t<４s時，A、B的加速度均為。
綜上所述，選項A、B、D正確。
例8、如圖11所示，細線的一端固定于傾角為450的光滑楔形滑塊A的頂端P處，細線的另一端拴一質量為m的小球。當滑塊至少以加速度a= 向左運動時，小球對滑塊的壓力等于零，當滑塊以a=2g的加速度向左運動時，線中拉力T= 。
分析與解：當滑塊具有向左的加速度a時，小球受重力mg、繩的拉力T和斜面的支持力N作用，如圖12所示。
(
mg
a
T
N
45
0
圖
12
)在水平方向有Tcos450-Ncos450=ma; 在豎直方向有Tsin450-Nsin450-mg=0.
由上述兩式可解出：
(
mg
a
T
α
圖
13
)由此兩式可看出，當加速度a增大時，球受支持力N減小，繩拉力T增加。當a=g時，N=0，此時小球雖與斜面有接觸但無壓力，處于臨界狀態。這時繩的拉力T=mg/cos450=.
當滑塊加速度a>g時，則小球將“飄”離斜面，只受兩力作用，如圖13所示，此時細線與水平方向間的夾角α<450.由牛頓第二定律得：Tcosα=ma,Tsinα=mg,解得。
問題7：必須會用整體法和隔離法解題。
在應用牛頓第二定律解題時，有時為了方便，可以取一組物體（一組質點）為研究對象。這一組物體一般具有相同的速度和加速度，但也可以有不同的速度和加速度。以質點組為研究對象的好處是可以不考慮組內各物體間的相互作用.
(
圖
14
F
m
M
)例9、用質量為m、長度為L的繩沿著光滑水平面拉動質量為M的物體，在繩的一端所施加的水平拉力為F， 如圖14所示，求：
(1)物體與繩的加速度；
(2)繩中各處張力的大小(假定繩的質量分布均勻，下垂度可忽略不計。)
(
圖
15
F
x
m
x
M
)分析與解：(1)以物體和繩整體為研究對象，根據牛頓第二定律可得：F=（M+m）a,解得a=F/(M+m).
(2)以物體和靠近物體x長的繩為研究對象，如圖15所示。根據牛頓第二定律可得：Fx=(M+mx/L)a=(M+) .
(
A
B
L
m
θ
圖
16
)由此式可以看出：繩中各處張力的大小是不同的，當x=0時，繩施于物體M的力的大小為。
例10、如圖16所示，AB為一光滑水平橫桿，桿上套一輕環，環上系一長為L質量不計的細繩，繩的另一端拴一質量為m的小球，現將繩拉直，且與AB平行，由靜止釋放小球，則當細繩與AB成θ角時，小球速度的水平分量和豎直分量的大小各是多少？輕環移動距離d是多少？
分析與解：本題是“輕環”模型問題。由于輕環是套在光滑水平橫桿上的，在小球下落過程中，由于輕環可以無摩擦地向右移動，故小球在落到最低點之前，繩子對小球始終沒有力的作用，小球在下落過程中只受到重力作用。因此，小球的運動軌跡是豎直向下的，這樣當繩子與橫桿成θ角時，小球的水平分速度為Vx=0,小球的豎直分速度。可求得輕環移動的距離是d=L-Lcosθ.
(
A
B F
)例11. 如圖所示，mA=1kg，mB=2kg，A、B間靜摩擦力的最大值是5N，水平面光滑。用水平力F拉B，當拉力大小分別是F=10N和F=20N時，A、B的加速度各多大？
解：先確定臨界值，即剛好使A、B發生相對滑動的F值。當A、B間的靜摩擦力達到5N時，既可以認為它們仍然保持相對靜止，有共同的加速度，又可以認為它們間已經發生了相對滑動，A在滑動摩擦力作用下加速運動。這時以A為對象得到a =5m/s2；再以A、B系統為對象得到 F =（mA+mB）a =15N
⑴當F=10N<15N時， A、B一定仍相對靜止，所以
⑵當F=20N>15N時，A、B間一定發生了相對滑動，用質點組牛頓第二定律列方程：，而a A =5m/s2，于是可以得到a B =7.5m/s2
問題8：必須會分析與斜面體有關的問題。（系統牛頓第二定律）
例12. 如圖，傾角為α的斜面與水平面間、斜面與質量為m的木塊間的動摩擦因數均為μ，木塊由靜止開始沿斜面加速下滑時斜面始終保持靜止。求水平面給斜面的摩擦力大小和方向。
(
α
)解：以斜面和木塊整體為研究對象，水平方向僅受靜摩擦力作用，整體法：
(
x
y
V
0
M
m
θ
圖
17
)FN=Mg+mg(cosα+μsinα)sinα
例13、（難）如圖17所示，水平粗糙的地面上放置一質量為M、傾角為θ的斜面體，斜面體表面也是粗糙的有一質量為m的小滑塊以初速度V0由斜面底端滑上斜面上經過時間t到達某處速度為零，在小滑塊上滑過程中斜面體保持不動。求此過程中水平地面對斜面體的摩擦力與支持力各為多大？
分析與解：取小滑塊與斜面體組成的系統為研究對象，系統受到的外力有重力(m+M)g/地面對系統的支持力N、靜摩擦力f(向下)。建立如圖17所示的坐標系，對系統在水平方向與豎直方向分別應用牛頓第二定律得：
－f=0－mV0cosθ/t, [N－(m+M)g]=0－mV0sinθ/t
所以，方向向左；。
問題9：必須會分析傳送帶有關的問題。
(
圖
1
8
S
P
Q
V
)例14、如圖18所示，某工廠用水平傳送帶傳送零件，設兩輪子圓心的距離為S，傳送帶與零件間的動摩擦因數為μ，傳送帶的速度恒為V，在P點輕放一質量為m的零件，并使被傳送到右邊的Q處。設零件運動的后一段與傳送帶之間無滑動，則傳送所需時間為
，摩擦力對零件做功為 .
分析與解：
由于f=μmg=ma,所以a=μg.
加速時 加速位移
通過余下距離所用時間
共用時間 摩擦力對零件做功
例15、（難）如圖19所示，傳送帶與地面的傾角θ=37ｏ，從A到B的長度為16ｍ，傳送帶以V0=10m/s的速度逆時針轉動。在傳送帶上端無初速的放一個質量為0.5㎏的物體，它與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.5，求物體從A運動到B所需的時間是多少？(sin37ｏ=0.6,cos37ｏ=0.8)
(
A N
a
1
N
f
2
B
a
2
f
1
圖
19
圖
20
(a)
(b)
)
分析與解：物體放在傳送帶上后，開始階段，傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿斜面向下的滑動摩擦力，物體由靜止開始加速下滑，受力分析如圖20（a）所示；當物體加速至與傳送帶速度相等時，由于μ＜tanθ，物體在重力作用下將繼續加速，此后物體的速度大于傳送帶的速度，傳送帶給物體沿傳送帶向上的滑動摩擦力，但合力沿傳送帶向下，物體繼續加速下滑，受力分析如圖20(b)所示。綜上可知，滑動摩擦力的方向在獲得共同速度的瞬間發生了“突變” 。
開始階段由牛頓第二定律得:ｍｇsinθ＋μｍｇcosθ=ｍa1;
所以:a1=ｇsinθ＋ ｇcosθ=10m/s2;
物體加速至與傳送帶速度相等時需要的時間ｔ1＝ｖ／a1＝1s;發生的位移：
ｓ＝a1ｔ12/2＝5ｍ＜16ｍ;物體加速到10m/s 時仍未到達B點。
第二階段，有：ｍｇsinθ－ ｍｇcosθ＝ｍa2 ;所以：a2＝2m/s 2;設第二階段物體滑動到B 的時間為t2 則：LAB－S＝ｖｔ2＋a２ｔ22/2 ；解得：t2＝1s , ｔ2/=-11s （舍去）。故物體經歷的總時間ｔ=t1＋t 2 =2s .
第四章 機械能
第1單元 功和功率
一、功
1．功：力對空間積累效應,和位移相對應（也和時間相對應）。功等于力和沿該力方向上的位移的乘積。求功必須指明是“哪個力”“在哪個過程中”做的
2、功的正負
①0≦θ≦900時， W＞0 正功 利于物體運動，動力
②、 θ＝900 時， W＝0 零功 不做功
③、 900≦θ≦1800 時 W＜0 負功 阻礙物體運動，阻力
【例1】質量為m的物體，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上運動，下列說法中正確的是（A、C、D ） [注意功是怎樣改變能量的]
A．如果物體做加速直線運動，F一定做正功
B．如果物體做減速直線運動，F一定做負功
C．如果物體做減速直線運動，F可能做正功
D．如果物體做勻速直線運動，F一定做正功
3、功是標量
符合代數相加法則，功的正負不具有方向意義，只能反映出該力是有利于物體運動，還是阻礙物體運動，是動力還是阻力。
4、合力功的計算
①w合 = F合×S COSθ
②w合 = 各個力的功的代數和
③用動能定理W =ΔEk 或功能關系
5、變力做功的計算
①動能定理
②用平均值代替公式中的F。如果力隨位移是均勻變化的，則平均值 F =
③F～S圖象中面積＝功
④W = Pt
【例2】用力將重物豎直提起，先是從靜止開始勻加速上升，緊接著勻速上升。如果前后兩過程的運動時間相同，不計空氣阻力，則（ D ）
A．加速過程中拉力做的功比勻速過程中拉力做的功大
B．勻速過程中拉力做的功比加速過程中拉力做的功大
C．兩過程中拉力做的功一樣大
D．上述三種情況都有可能
解析： ①

②
比較①、②知：當a>g時，；當a=g時，；當a6．一對作用力和反作用力做功的特點
（1）一對作用力和反作用力在同一段時間內，可以都做正功、或者都做負功，或者一個做正功、一個做負功，或者都不做功。
（2）一對作用力和反作用力在同一段時間內做總功可能為正、可能為負、可能為零。
（3）一對互為作用反作用的摩擦力做的總功可能為零（靜摩擦力）、可能為負（滑動摩擦力），但不可能為正。
拓展：作用力和反作用力在同一段時間內的沖量一定大小相等，方向相反，矢量和為零。
7．功的物理含義
關于功不僅要從定義式W=Fs cos α 進行理解和計算， 還應理解它的物理含義． 功是能量轉化的量度，即：做功的過程是能量的一個轉化過程，這個過程做了多少功，就有多少能量發生了轉化．對物體做正功，物體的能量增加．做了多少正功，物體的能量就增加了多少；對物體做負功，也稱物體克服阻力做功，物體的能量減少，做了多少負功，物體的能量就減少多少．因此功的正、負表示能的轉化情況，表示物體是輸入了能量還是輸出了能量．
8、區別保守力和非保守力做功的不同:與路徑有無關系
二、功率 ——功率是描述做功快慢的物理量。
⑴功率的定義式：，所求出的功率是時間t內的平均功率。
⑵功率的計算式：P=Fvcosθ，其中θ是力與速度間的夾角。該公式有兩種用法：①求某一時刻的瞬時功率。這時F是該時刻的作用力大小，v取瞬時值，對應的P為F在該時刻的瞬時功率；②當v為某段位移（時間）內的平均速度時，則要求這段位移（時間）內F必須為恒力，對應的P為F在該段時間內的平均功率。P的正負取決于cosθ的正負，即功的正負
【例3】 質量為0.5kg的物體從高處自由下落，在下落的前2s內重力對物體做的功是多少？這2s內重力對物體做功的平均功率是多少？2s末，重力對物體做功的即時功率是多少？（g取）
解析：前2s，m，，
平均功率W， 2s末速度，
2s末即時功率W。
⑶重力的功率可表示為PG=mgvy，即重力的瞬時功率等于重力和物體在該時刻的豎直分速度之積。
(
v
a
f
F
)⑷汽車的兩種加速問題。當汽車從靜止開始沿水平面加速運動時，有兩種不同的加速過程，但分析時采用的基本公式都是P=Fv和F-f = ma
①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，隨著v的增大，F必將減小，a也必將減小，汽車做加速度不斷減小的加速運動，直到F=f，a=0，這時v達到最大值。可見恒定功率的加速一定不是勻加速。這種加速過程發動機做的功只能用W=Pt計算，不能用W=Fs計算（因為F為變力）。
②恒定牽引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽車做勻加速運動，而隨著v的增大，P也將不斷增大，直到P達到額定功率Pm，功率不能再增大了。這時勻加速運動結束，其最大速度為，此后汽車要想繼續加速就只能做恒定功率的變加速運動了。可見恒定牽引力的加速時功率一定不恒定。這種加速過程發動機做的功只能用W=Fs計算，不能用W=Pt計算（因為P為變功率）。
要注意兩種加速運動過程的最大速度的區別。
【例4】質量為m、額定功率為P的汽車在平直公路上行駛。若汽車行駛時所受阻力大小不變，并以額定功率行駛，汽車最大速度為v1，當汽車以速率v2（v2解析：F-f=ma 其中， 得
【例5】質量是2000kg、額定功率為80kW的汽車，在平直公路上行駛中的最大速度為20m/s。若汽車從靜止開始做勻加速直線運動，加速度大小為2m/s2，運動中的阻力不變。求：①汽車所受阻力的大小。②汽車做勻加速運動的時間。③3s末汽車的瞬時功率。④汽車在勻加速運動中牽引力所做的功。
解析：①所求的是運動中的阻力，若不注意“運動中的阻力不變”，則阻力不易求出。以最大速度行駛時，根據P =Fv，可求得F =4000N。而此時牽引力和阻力大小相等。
②設勻加速運動的時間為t，則t時刻的速度為v =a t =2t，這時汽車的功率為額定功率。由P =Fv，將F =8000N和v =2 t代入得t =5s。
③由于3s時的速度v =at =6m/s，而牽引力由F—Ff =m a得F = 8000N，故此時的功率為P = Fv = 4.8×104W。
④雖然功率在不斷變化，但功率卻與速度成正比，故平均功率為額定功率的一半，從而得牽引力的功為W = Pt = 40000×5J=2×105J.
三、針對訓練
1．一質量為m的木塊靜止在光滑的水平面上，從t=0開始，將一個大小為F的水平恒力作用在該木塊上，在t=T時刻F的功率是（ B ）
A． B． C． D．
2．火車從車站開出作勻加速運動，若阻力與速率成正比，則（ACD ）
A．火車發動機的功率一定越來越大，牽引力也越來越大
B．火車發動機的功率恒定不變，牽引力也越來越小
C．當火車達到某一速率時，若要保持此速率作勻速運動，發動機的功率這時應減小
D．當火車達到某一速率時，若要保持此速率作勻速運動，則發動機的功率一定跟此時速率的平方成正比
解析：A、C、D 根據P=Fv，F-f=ma，f=kv，∴。這表明，在題設條件下，火車發動機的功率和牽引力都隨速率v的增大而增大，∴A正確。當火車達到某一速率時，欲使火車作勻速運動，則a=0，∴此時，減小mav，∴C、D對。
3．同一恒力按同樣方式施于物體上，使它分別沿著粗糙水平地面和光滑水平拋面移動相同一段距離時，恒力的功和平均功率分別為、和、，則二者的關系（B ）
A．、 B．、
C．、 D．、
4．如圖甲所示，滑輪質量、摩擦均不計，質量為2kg的物體在F作用下由靜止開始向上做勻加速運動，其速度隨時間的變化關系如圖乙所示，由此可知（ C ）
A．物體加速度大小為2 m/s2
B．F的大小為21N
C．4s末F的功率大小為42W
D．4s內F做功的平均功率為42W
5．物體靜止在光滑水平面上，先對物體施一水平向右的恒力F1，經時間t后撤去F1，立即再對它施加一水平向左的恒力F2，又經時間t后物體回到原出發點，在這一過程中，F1、F2分別對物體做的功W1、W2之比為多少？
解：經t時間的位移 ①
此時速度，之后受恒力向左，與v方向相反，則物體做勻減速直線運動：F2＝ma2，加速度a2＝F2／m，經t時間又回到原出發點，此過程位移為s，方向向左，則力做正功。因位移與v的方向相反，則有
即 ②
②與①式聯立可得，
則力F2做的功。 所以
6．如圖所示，在光滑的水平面上，物塊在恒力F=100N作用下從A點運動到B點，不計滑輪的大小，不計繩、滑輪間摩擦，H=2.4m，α=37°，β=53°，求拉力F所做的功
解： J
第2單元 動能 勢能 動能定理
一、動能
1．動能：物體由于運動而具有的能，叫動能。其表達式為：。
2．對動能的理解
（1）動能是一個狀態量，它與物體的運動狀態對應．動能是標量．它只有大小，沒有方向，而且物體的動能總是大于等于零，不會出現負值．
（2）動能是相對的，它與參照物的選取密切相關．如行駛中的汽車上的物品，對汽車上的乘客，物品動能是零；但對路邊的行人，物品的動能就不為零。
3．動能與動量的比較
（1）動能和動量都是由質量和速度共同決定的物理量，
＝ 或
（2）動能是標量，動量是矢量。物體的動能變化，則其動量一定變化；物體的動量變化，則其動量不一定變化。
（4）動能決定了物體克服一定的阻力能運動多么遠；動量則決定著物體克服一定的阻力能運動多長時間。動能的變化決定于合外力對物體做多少功，動量的變化決定于合外力對物體施加的沖量。
二、勢能（位能）
1、重力勢能（Ep）舉高。物體由于受到重力的作用，而具有的與其相對位置有關的能量叫做重力勢能。 Ep＝m g h （h是重心相對于零勢能面的高度）
（1）、相對性 ①“零高度”或“零勢能面”，（大地或最低點）
②勢能的正負和大小是相對于零勢能面的
③勢能的正負和大小于零勢能面的選取有關
（2）重力勢能變化量的絕對性——
①跟物體的初位置的高度和末位置的高度有 關，跟物體運動的路徑無關。
②重力勢能改變量與零勢能面的選取無關
③重力勢能的改變量與路徑無關
（3）重力勢能的改變——重力做正功，重力勢能減 小，重力做負功，重力勢能增大（等值變化）
2、彈性勢能（Ep）彈性形變
發生形變的物體，在恢復原狀時能夠對外做功，因而具有能量，叫彈性勢能，跟物體形變和材料有關。
三、動能定理
動能定理的推導
物體只在一個恒力作用下，做直線運動
w＝FS＝m a × 即 w＝
推廣： 物體在多個力的作用下、物體在做曲線運動、物體在變力的作用下
結論： 合力所做的功等于動能的增量 合力做正功動能增加，合力做負功動能減小
注：動能定理表達式是一個標量式，不能在某一個方向上應用動能定理。
【例1】 一個質量為m的物體靜止放在光滑水平面上，在互成60°角的大小相等的兩個水平恒力作用下，經過一段時間，物體獲得的速度為v，在力的方向上獲得的速度分別為v1、v2，那么在這段時間內，其中一個力做的功為
A． B． C． D．
錯解：在分力F1的方向上，由動動能定理得，故A正確。
正解：在合力F的方向上，由動動能定理得，，某個分力的功為，故B正確。
2．對外力做功與動能變化關系的理解：
外力對物體做正功，物體的動能增加，這一外力有助于物體的運動，是動力；外力對物體做負功，物體的動能減少，這一外力是阻礙物體的運動，是阻力，外力對物體做負功往往又稱物體克服阻力做功． 功是能量轉化的量度，外力對物體做了多少功；就有多少動能與其它形式的能發生了轉化．所以外力對物體所做的功就等于物體動能的變化量．即 ．
3．應用動能定理解題的步驟
（1）確定研究對象和研究過程。和動量定理不同，動能定理的研究對象只能是單個物體，如果是系統，那么系統內的物體間不能有相對運動。（原因是：系統內所有內力的總沖量一定是零，而系統內所有內力做的總功不一定是零）。
（2）對研究對象受力分析。（研究對象以外的物體施于研究對象的力都要分析，含重力）。
（3）寫出該過程中合外力做的功，或分別寫出各個力做的功（注意功的正負）
（4）寫出物體的初、末動能。按照動能定理列式求解。
【例2】 將小球以初速度v0豎直上拋，在不計空氣阻力的理想狀況下，小球將上升到某一最大高度。由于有空氣阻力，小球實際上升的最大高度只有該理想高度的80%。設空氣阻力大小恒定，求小球落回拋出點時的速度大小v。
解：有空氣阻力和無空氣阻力兩種情況下分別在上升過程對小球用動能定理：
和，可得H=v02/2g，
再以小球為對象，在有空氣阻力的情況下對上升和下落的全過程用動能定理。全過程重力做的功為零，所以有：，解得
【例3】如圖所示，質量為m的鋼珠從高出地面h處由靜止自由下落，落到地面進入沙坑h/10停止，則
（1）鋼珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？
（2）若讓鋼珠進入沙坑h/8，則鋼珠在h處的動能應為多少？設鋼珠在沙坑中所受平均阻力大小不隨深度改變。
解析：（1）取鋼珠為研究對象，對它的整個運動過程，由動能定理得W=WF+WG=△EK =0。取鋼珠停止處所在水平面為重力勢能的零參考平面，則重力的功WG=mgh，阻力的功WF= Ff h， 代入得mghFf h=0，故有Ff /mg=11。即所求倍數為11。
（2）設鋼珠在h處的動能為EK，則對鋼珠的整個運動過程，由動能定理得W=WF+WG=△EK =0，進一步展開為9mgh/8—Ff h/8= —EK，得EK=mgh/4。
【例4】 質量為M的木塊放在水平臺面上，臺面比水平地面高出h=0.20m，木塊離臺的右端L=1.7m。質量為m=0.10M的子彈以v0=180m/s的速度水平射向木塊，并以v=90m/s的速度水平射出，木塊落到水平地面時的落地點到臺面右端的水平距離為s=1.6m，求木塊與臺面間的動摩擦因數為μ。
解：本題的物理過程可以分為三個階段，在其中兩個階段中有機械能損失：子彈射穿木塊階段和木塊在臺面上滑行階段。所以本題必須分三個階段列方程：
子彈射穿木塊階段，對系統用動量守恒，設木塊末速度為v1，mv0= mv+Mv1……①
木塊在臺面上滑行階段對木塊用動能定理，設木塊離開臺面時的速度為v2，
有：……②
木塊離開臺面后平拋階段，…③ ， 由①、②、③可得μ=0.50
四、動能定理的綜合應用
1．應用動能定理巧求變力的功
如果我們所研究的問題中有多個力做功，其中只有一個力是變力，其余的都是恒力，而且這些恒力所做的功比較容易計算，研究對象本身的動能增量也比較容易計算時，用動能定理就可以求出這個變力所做的功。
【例5】一輛車通過一根跨過定滑輪的繩PQ提升井中質量為m的物體，如圖所示．繩的P端拴在車后的掛鉤上，Q端拴在物體上．設繩的總長不變，繩的質量、定滑輪的質量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計．開始時，車在A點，左右兩側繩都已繃緊并且是豎直的，左側繩長為H．提升時，車加速向左運動，沿水平方向從A經過B駛向C．設A到B的距離也為H，車過B點時的速度為vB．求在車由A移到B的過程中，繩Q端的拉力對物體做的功．
解析：設繩的P端到達B處時，左邊繩與水平地面所成夾角為θ，物體從井底上升的高度為h，速度為v，所求的功為W，則據動能定理可得：
因繩總長不變，所以：
根據繩聯物體的速度關系得：v=vBcosθ 由幾何關系得：
由以上四式求得：
2．應用動能定理簡解多過程問題。
物體在某個運動過程中包含有幾個運動性質不同的過程（如加速、減速的過程），此時可以分段考慮，也可以對全過程考慮。
【例7】 如圖所示，斜面足夠長，其傾角為α，質量為m的滑塊，距擋板P為s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑塊與斜面間的動摩擦因數為μ，滑塊所受摩擦力小于滑塊沿斜面方向的重力分力，若滑塊每次與擋板相碰均無機械能損失，求滑塊在斜面上經過的總路程為多少？
解析：滑塊在滑動過程中，要克服摩擦力做功，其機械能不斷減少；又因為滑塊所受摩擦力小于滑塊沿斜面方向的重力分力，所以最終會停在斜面底端。
在整個過程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。設其經過和總路程為L，對全過程，由動能定理得：
得
3．利用動能定理巧求動摩擦因數
【例8】 如圖所示，小滑塊從斜面頂點A由靜止滑至水平部分C點而停止。已知斜面高為h，滑塊運動的整個水平距離為s，設轉角B處無動能損失，斜面和水平部分與小滑塊的動摩擦因數相同，求此動摩擦因數。
解析：滑塊從A點滑到C點，只有重力和摩擦力做功，設滑塊質量為m，動摩擦因數為，斜面傾角為，斜面底邊長s1，水平部分長s2，由動能定理得：
由以上兩式得
從計算結果可以看出，只要測出斜面高和水平部分長度，即可計算出動摩擦因數。
4．利用動能定理巧求機車脫鉤問題
【例9】總質量為M的列車，沿水平直線軌道勻速前進，其末節車廂質量為m，中途脫節，司機發覺時，機車已行駛L的距離，于是立即關閉油門，除去牽引力。設運動的阻力與質量成正比，機車的牽引力是恒定的。當列車的兩部分都停止時，它們的距離是多少？
解：對車頭，脫鉤后的全過程用動能定理得：
對車尾，脫鉤后用動能定理得：

而，由于原來列車勻速，所以F=kMg，以上方程解得。
五、針對訓練
1．質量為m的物體，在距地面h高處以g/3 的加速度由靜止豎直下落到地面.下列說法中正確的是B
A.物體的重力勢能減少mgh B.物體的動能增加mgh
C.物體的機械能減少mgh D.重力做功mgh
2．質量為m的小球用長度為L的輕繩系住，在豎直平面內做圓周運動，運動過程中小球受空氣阻力作用.已知小球經過最低點時輕繩受的拉力為7mg，經過半周小球恰好能通過最高點，則此過程中小球克服空氣阻力做的功為C
A.mgL/4 B.mgL/3 C.mgL/2 D.mgL
3．如圖所示，木板長為l，板的A端放一質量為m的小物塊，物塊與板間的動摩擦因數為μ。開始時板水平，在繞O點緩慢轉過一個小角度θ的過程中，若物塊始終保持與板相對靜止。對于這個過程中各力做功的情況，下列說法正確的是 ( C )
A、摩擦力對物塊所做的功為mglsinθ(1-cosθ)
B、彈力對物塊所做的功為mglsinθcosθ
C、木板對物塊所做的功為mglsinθ
D、合力對物塊所做的功為mgl cosθ
4．質量為m的飛機以水平速度v0飛離跑道后逐漸上升，若飛機在此過程中水平速度保持不變，同時受到重力和豎直向上的恒定升力(該升力由其他力的合力提供，不含重力)，今測得當飛機在水平方向的位移為l時，它的上升高度為h，求：(1)飛機受到的升力大小;?(2)從起飛到上升至h高度的過程中升力所做的功及在高度h處飛機的動能.
解析：（1）飛機水平速度不變
l=v0t y方向加速度恒定 h=at2 即得a=
由牛頓第二定律 F=mg+ma=mg(1+v02)
(2)升力做功W=Fh=mgh(1+v02)
在h處vt=at=
Ek=m(v02+vt2) =mv02(1+)
5．如圖所示，質量m=0.5kg的小球從距地面高H=5m處自由下落，到達地面恰能沿凹陷于地面的半圓形槽壁運動，半圓槽半徑R=0.4m。小球到達槽最低點時速率為10m/s，并繼續沿槽壁運動直到從槽右端邊緣飛出……，如此反復幾次，設摩擦力恒定不變，求：（設小球與槽壁相碰時不損失能量）
（1）小球第一次離槽上升的高度h；
（2）小球最多能飛出槽外的次數（取g=10m/s2）。
解析：（1）小球落至槽底部的整個過程中，由動能定理得 得J
由對稱性知小球從槽底到槽左端口摩擦力的功也為J，則小球第一次離槽上升的高度h，由得＝4.2m
（2）設小球飛出槽外n次，則由動能定理得
∴
即小球最多能飛出槽外6次。
第3單元 機械能守恒定律
一、機械能守恒定律
條件
⑴在只有重力做功的情形下，物體的動能和重力勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持不變。（和只受到重力不同）
⑵只有系統內的彈力做功，動能和彈性勢能相互轉化，機械能的總量保持不變。
(3) 其它力的總功為零,機械能守恒（舉例：木塊壓縮彈簧）
2、對機械能守恒定律的理解：
①“守恒”是時時刻刻都相等。 ② “守恒”是“進出相等” ③要分清“誰”、“什么時候”守恒 ④、是否守恒與系統的選擇有關 ⑤、⑴機械能守恒定律的研究對象一定是系統，至少包括地球在內。通常我們說“小球的機械能守恒”其實一定也就包括地球在內，因為重力勢能就是小球和地球所共有的。另外小球的動能中所用的v，也是相對于地面的速度。
3、機械能守恒定律的各種表達形式
⑴初狀態 = 末狀態 ⑵ 增加量 = 減少量
用⑴時，需要規定重力勢能的參考平面。用⑵時則不必規定重力勢能的參考平面，因為重力勢能的改變量與參考平面的選取沒有關系。尤其是用ΔE增=ΔE減，只要把增加的機械能和減少的機械能都寫出來，方程自然就列出來了。
4、解題步驟
⑴確定研究對象和研究過程。⑵判斷機械能是否守恒。⑶選定一種表達式，列式求解。
5、動能定理與機械能守恒的聯系
動能定理適用于任何物體（質點），機械能守恒定律適用于系統
動能定理沒有條件，機械能守恒定理有條件限制
(
B
O
)動能定理有時可改寫成守恒定律
二、機械能守恒定律的綜合應用
例1、如圖所示，質量分別為2 m和3m的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點O處有光滑的固定轉動軸。AO、BO的長分別為2L和L。開始時直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方。讓該系統由靜止開始自由轉動，求：⑴當A到達最低點時，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶開始轉動后B球可能達到的最大速度vm。
解析：以直角尺和兩小球組成的系統為對象，由于轉動過程不受摩擦和介質阻力，所以該系統的機械能守恒。
(
v
1
/2
A
B
O
v
1
O
A
B
α
B
O
θ
α
θ
A
⑴ ⑵ ⑶
)
⑴過程中A的重力勢能減少， A、B的動能和B的重力勢能增加，A的即時速度總是B的2倍。，解得
⑵B球不可能到達O的正上方，它到達最大高度時速度一定為零，設該位置比OA豎直位置向左偏了α角。2mg2Lcosα=3mgL（1+sinα），此式可化簡為4cosα-3sinα=3，解得sin（53°-α）=sin37°，α=16°
⑶B球速度最大時就是系統動能最大時，而系統動能增大等于系統重力做的功WG。設OA從開始轉過θ角時B球速度最大，
=2mg2Lsinθ-3mgL（1-cosθ）
=mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mgL，解得
例2、如圖所示，半徑為的光滑半圓上有兩個小球，質量分別為，由細線掛著，今由靜止開始無初速度自由釋放，求小球升至最高點時兩球的速度？
解析：球沿半圓弧運動，繩長不變，兩球通過的路程相等，上升的高度為；球下降的高度為；對于系統，由機械能守恒定律得： ；
例3、如圖所示，均勻鐵鏈長為，平放在距離地面高為的光滑水平面上，其長度的懸垂于桌面下，從靜止開始釋放鐵鏈，求鐵鏈下端剛要著地時的速度？
解：選取地面為零勢能面： 得：
(
K
)例4、如圖所示，粗細均勻的U形管內裝有總長為4L的水。開始時閥門K閉合，左右支管內水面高度差為L。打開閥門K后，左右水面剛好相平時左管液面的速度是多大？（管的內部橫截面很小，摩擦忽略不計）
解析：由于不考慮摩擦阻力，故整個水柱的機械能守恒。從初始狀態到左右支管水面相平為止，相當于有長L/2的水柱由左管移到右管。系統的重力勢能減少，動能增加。該過程中，整個水柱勢能的減少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力勢能的減少。不妨設水柱總質量為8m，則，得。
點評：需要注意的是研究對象仍然是整個水柱，到兩個支管水面相平時，整個水柱中的每一小部分的速率都是相同的。
例5、如圖所示，游樂列車由許多節車廂組成。列車全長為L，圓形軌道半徑為R，（R遠大于一節車廂的高度h和長度l，但L>2πR）.已知列車的車輪是卡在導軌上的光滑槽中只能使列車沿著圓周運動，在軌道的任何地方都不能脫軌。試問：在沒有任何動力的情況下，列車在水平軌道上應具有多大初速度v0，才能使列車通過圓形軌道而運動到右邊的水平軌道上？
解析：當游樂車灌滿整個圓形軌道時，游樂車的速度最小，設此時速度為v，游樂車的質量為m，則據機械能守恒定律得：
要游樂車能通過圓形軌道，則必有v>0，所以有　　　　　
例6、小球在外力作用下，由靜止開始從A點出發做勻加速直線運動，到B點時消除外力。然后，小球沖上豎直平面內半徑為R的光滑半圓環，恰能維持在圓環上做圓周運動，到達最高點C后拋出，最后落回到原來的出發點A處，如圖所示，試求小球在AB段運動的加速度為多大？　
解析：要題的物理過程可分三段：從A到孤勻加速直線運動過程；從B沿圓環運動到C的圓周運動，且注意恰能維持在圓環上做圓周運動，在最高點滿足重力全部用來提供向心力；從C回到A的平拋運動。
根據題意，在C點時，滿足①
從B到C過程，由機械能守恒定律得②
由①、②式得 從C回到A過程，滿足③
水平位移s=vt，④ 由③、④式可得s=2R
從A到B過程，滿足⑤ ∴
例7、如圖所示，半徑分別為R和r的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，軌道之間有一條水平軌道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲軌道，通過動摩擦因數為μ的CD段，又滑上乙軌道，最后離開兩圓軌道。若小球在兩圓軌道的最高點對軌道壓力都恰好為零，試求水平CD段的長度。
解析：（1）小球在光滑圓軌道上滑行時，機械能守恒，設小球滑過C點時的速度為，通過甲環最高點速度為v′，根據小球對最高點壓力為零，由圓周運動公式有①
取軌道最低點為零勢能點，由機械守恒定律②
由①、②兩式消去v′，可得
同理可得小球滑過D點時的速度，設CD段的長度為l，對小球滑過CD段過程應用動能定理，
將、代入，可得
三、針對訓練
1．將一球豎直上拋，若該球所受的空氣阻力大小不變，則其力大小不變，則其上升和下降兩過程的時間及損失的機械能的關系是（ Ｃ ）
A．>，> B．<，<
C．<，= D．=，=
2．如圖所示，質量、初速度大小都相同的A、B、C三個小球，在同一水平面上，A球豎直上拋，B球以傾斜角θ斜和上拋，空氣阻力不計，C球沿傾角為θ的光滑斜面上滑，它們上升的最大高度分別為、、，則（ Ｃ ）
A． B．
C． D．
3．質量相同的兩個小球，分別用長為l和2 l的細繩懸掛在天花板上，如圖所示，分別拉起小球使線伸直呈水平狀態，然后輕輕釋放，當小球到達最低位置時（ ＣＤ ）
A．兩球運動的線速度相等 B．兩球運動的角速度相等
C．兩球運動的加速度相等 D．細繩對兩球的拉力相等
4．一個人站在陽臺上，以相同的速率v0，分別把三個球豎直向上拋出，豎直向下拋出，水平拋出，不計空氣阻力，則三球落地時的速率（ Ｄ ）
A．上拋球最大 B．下拋球最大 C．平拋球最大 D．三球一樣大
質量為m的人造地球衛星，在環繞地球的橢圓軌道上運行，在運行過程中它的速度最大值為，當衛星由遠地點運行到近地點的過程中，地球引力對它做的功為W，則衛星在近地點處的速度為________，在遠地點處的速度為______。（， ）
第4單元 功能關系 動量能量綜合
一、功能關系
功是一種過程量，它和一段位移（一段時間）相對應；而能是一種狀態量，它個一個時刻相對應。兩者的單位是相同的（都是J），但不能說功就是能，也不能說“功變成了能”。 做功的過程是能量轉化的過程，功是能量轉化的量度。
⑴物體動能的增量由外力做的總功來量度：W外=ΔEk

展開更多......

收起↑