資源簡介

新教材 蘇教版2019版 數學選擇性必修第二冊
第8章知識點清單
目錄
第8章　概率
8. 1　條件概率
8. 2　離散型隨機變量及其分布列
8. 3　正態分布
第8章　概率
8. 1　條件概率
8. 1. 1　條件概率
一、條件概率
1. 一般地，設A，B為兩個事件，P(A)>0，我們稱為事件A發生的條件下事件B發生的條件概率，記為P(B|A)，讀作“A發生的條件下B發生的概率”，即P(B|A)= (P(A)>0).
二、概率的乘法公式
1. 由條件概率公式可知P(AB)=P(B|A)·P(A).
說明：假設Ai表示事件，i=1，2，3，且P(Ai)>0，P(A1A2)>0，
則P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發生時A3發生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同時發生的概率.
三、條件概率的性質
(1)P(Ω|A)=1(Ω為樣本空間)；
(2)P( |A)=0；
(3)若B1，B2互斥，則P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A).
四、條件概率的計算方法
1. 計算條件概率的方法一般有兩種
(1)利用定義計算，先分別計算概率P(AB)和P(A)，然后代入公式P(B|A)= 計算.
(2)利用縮小樣本空間法計算(局限在古典概型內)，即P(B|A)= .
五、求較復雜事件的概率
1. 當所求事件的概率比較復雜時，往往把該事件分成兩個(或多個)互斥的較簡單的事件，求出這些簡單事件的概率，再利用公式便可求得較復雜事件的概率.
2. 求較復雜事件的概率的一般步驟
(1)列出題中涉及的各個事件，并且用適當的符號表示；
(2)厘清事件之間的關系(兩個事件是互斥事件還是對立事件)，列出關系式；
(3)根據事件之間的關系準確選取概率公式進行計算；
(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接計算其對立事件的概
率，再求出符合條件的事件的概率.
六、乘法公式及其應用
1. 乘法公式的特點及注意事項
(1)知二求一：若P(A)>0，P(B)>0，則①已知P(A)，P(B|A)，P(AB)中的兩個值就可以求
得第三個值；②已知P(B)，P(A|B)，P(BA)中的兩個值就可以求得第三個值.
(2)P(B)與P(B|A)的區別在于兩者發生的條件不同，它們是兩個不同的概念，在數值
上一般也不同.
8. 1. 2　全概率公式
8. 1. 3　貝葉斯公式*
一、全概率公式
1. 一般地，若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，且它們的和Ai=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n，則對于Ω中的任意事件B，有P(B)= . 這個公式稱為全概率公式.
二、貝葉斯公式
1. 一般地，若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，且A1∪A2∪…∪An=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則對于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有P(Ai|B)·P(B)=P(B|Ai)P(Ai). 因此P(Ai|B)=
. 再由全概率公式得P(Ai|B)= . 這個公式稱為貝葉斯公式.
2. 特別地，當00時，有P(A|B)= =.
三、全概率公式及其應用
1. 全概率公式的意義在于，當直接計算事件B發生的概率P(B)較為困難時，可以先找到樣本空間Ω的一個劃分Ω=A1∪A2∪…∪An，A1，A2，…，An兩兩互斥，將A1，A2，…，
An看成是導致B發生的一組原因，這樣事件B就被分解成了n個部分，分別計算P(B|
A1)，P(B|A2)，…，P(B|An)，再利用全概率公式求解.
2. 運用全概率公式計算事件B發生的概率P(B)時，一般步驟如下：
(1)求劃分后的每個小事件的概率，即P(Ai)， i =1，2，…，n；
(2)求每個小事件發生的條件下，事件B發生的概率，即P(B|Ai)， i =1，2，…，n；
(3)利用全概率公式計算P(B)，即P(B)=
四、貝葉斯公式及其應用
1. 貝葉斯公式是在條件概率的基礎上尋找事件發生的原因，在運用貝葉斯公式時，一般已知和未知的條件如下：
(1)A的多種情況中到底哪種情況發生是未知的，但是每種情況發生的概率已知，即
P(Ai)已知；
(2)事件B是已經發生的確定事實，且A的每種情況發生的條件下B發生的概率已
知，即P(B|Ai)已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；
(4)求解的目標是用A的某種情況Ai的無條件概率求其在B發生的條件下的有條件
概率P(Ai|B).
8. 2　離散型隨機變量及其分布列
8. 2. 1　隨機變量及其分布列
一、隨機變量
1. 隨機變量的概念
一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數X(ω)與之對應，則稱X為隨機變量.
2. 隨機變量的表示
隨機變量通常用大寫英文字母X，Y，Z(或小寫希臘字母ξ，η，ζ)等表示，而用小寫英文字母x，y，z(加上適當下標)等表示隨機變量的取值.
3. 隨機變量的分類
離散型隨機變量 取值為離散的數值的隨機變量
連續型隨機變量 取值為連續的實數區間的隨機變量
二、隨機變量的概率分布
1. 概率分布列
一般地，隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1，x2，…，xn，且P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，稱上式為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.
2. 概率分布表
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
將上表稱為隨機變量X的概率分布表，概率分布列和概率分布表都叫作隨機變量X的概率分布.
3. 概率分布的性質
概率分布里的pi(i=1，2，…，n)滿足條件：
(1)pi≥0； (2)p1+p2+…+pn=1.
三、兩點分布
1. 隨機變量X只取兩個可能值0和1，我們把這一類概率分布稱為0-1分布或兩點分布.
四、兩個相關的隨機變量的概率分布問題
1. 一般地，若X是隨機變量，則Y=f(X)也是隨機變量.
2. 已知隨機變量X的概率分布，求隨機變量Y=f(X)的概率分布，其關鍵是弄清X取每
一個值時相對應的Y的值，若f(X)的取值出現重復，則需要把它們的相應概率相加，
所求即為Y的取值概率.
五、求離散型隨機變量的概率分布
1. 求離散型隨機變量的概率分布的步驟(其中i=1，2，…，n)
2. 求離散型隨機變量概率分布時應注意的問題
(1)確定離散型隨機變量X的概率分布的關鍵是要弄清X取每一個值對應的隨機事件，進一步利用排列、組合知識求出X取每一個值時的概率. 當隨機變量X取值較多時，應由簡單情況先導出一般的通式，從而簡化過程.
(2)在求離散型隨機變量X的概率分布時，要充分利用概率分布的性質，這樣不但可
以減少運算量，還可以驗證概率分布是否正確.
8. 2. 2　離散型隨機變量的數字特征
一、離散型隨機變量的均值
1. 一般地，隨機變量X的概率分布如下表所示，
X x1 x2 … xn
概率p p1 p2 … pn
其中pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+…+pn=1，我們將p1x1+p2x2+…+pnxn稱為隨機變量X的均值或數學期望，記為E(X)或μ.
2. 離散型隨機變量X的均值或數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
3. 若X與Y都是隨機變量，且Y=aX+b(a≠0)，則由X與Y之間概率分布的關系可知
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
二、離散型隨機變量的方差與標準差
1. 一般地，若離散型隨機變量X的概率分布如下表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+…+pn=1，則(xi-μ)2(μ=E(X))描述了xi(i=1，2，…，n)相對于均值μ的偏離程度，故(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn刻畫了隨機變量X與其均值μ的平均偏離程度，我們將其稱為離散型隨機變量X的方差，記為D(X)或σ2，即
D(X)=σ2=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn.
2. 隨機變量X的方差也稱為X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算術平方根稱為
X的標準差，即σ=.
3. 隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度. 方差或標準差越小，隨機變量偏離于均值的平均程度就越小.
4. 若X和Y都是離散型隨機變量，且Y=aX+b(a≠0)，則由X和Y之間概率分布和均值的關系可知D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).
三、兩點分布的均值和方差
1. 隨機變量X的概率分布如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
則E(X)=p，D(X)=p(1-p)，σ=.
四、求離散型隨機變量的均值與方差
1. 求離散型隨機變量的均值與方差的類型及解決方法
(1)已知概率分布型：直接利用定義求解.
(2)未知概率分布型：求解時可先借助已知條件等求得概率分布，然后利用定義求解.
(3)已知E(X)，D(X)，求E(aX+b)，D(aX+b)型：利用E(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a2D(X)求解.
五、實際生活中的離散型隨機變量的數字特征
1. 求實際生活中離散型隨機變量X的均值與方差的步
六、數學期望與方差在實際生活中的應用
1. 在實際生活中存在許多決策問題，在確定性現象中，我們決策和優化的目的通常是使損失最小或利益最大.
2. 離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差反映了離散型隨機變量的取值相對于均值的離散程度(或波動大小). 因此，在利用均值和方差的意義去分析、解決實際問題時，兩者都要考慮.
(1)若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量X1，X2的均值，當E(X1)=E(X2)時，不應認為它們一樣好，還需要用D(X1)，D(X2)來比較這兩個隨機變量的偏離程度，偏離程度越小越好.
(2)若我們希望隨機變量的取值比較穩定時，則應先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近.
8. 2. 3　二項分布
一、二項分布
1. 伯努利試驗
我們把只包含兩個可能結果的試驗叫作伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.
2. 二項分布
若隨機變量X的分布列為P(X=k)= pkqn-k，其中0X 0 1 2 … n
P p0qn pqn-1 p2qn-2 … pnq0
二、二項分布的數學期望與方差
一般地，當X~B(n，p)時，E(X)=np，D(X)=np(1-p)，σ=.
三、二項分布的實際應用
1. 利用二項分布模型解決實際問題的一般步驟
(1)根據題意設出隨機變量；
(2)分析隨機變量是否服從二項分布；
(3)若服從二項分布，則求出參數n和p的值；
(4)根據需要列出相關式子并解決問題.
2. 解決二項分布問題的兩個關注點
(1)公式P(X=k)= pkqn-k(0(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，
事件發生與否，二者必居其一；二是重復性，即試驗是否獨立重復地進行了n次
四、二項分布中的最大值
1. 求二項分布中的最大值的步驟
(1)由X~B(n，p)，得P(X=k)= pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n.
(2)令P(X=k)-P(X=k-1)≥0或≥1，求出k的取值區間，此區間即為P(X=k)
的單調遞增區間，它的補集區間為單調遞減區間.
(3)結合P(X=k)的單調性確定P(X=k)的最大值和對應的k值.
8. 2. 4　超幾何分布
一、超幾何分布
1. 對一般情形，一批產品共N件，其中有M件不合格品，隨機取出的n件產品中，不合格品數X的概率分布如表所示.
X 0 1 2 … l
P …
其中l=min{n，M}.
2. 一般地，若一個隨機變量X的分布列為P(X=r)= ，其中r=0，1，2，3，…，l，l=min{n，M}，則稱X服從超幾何分布，記為X~H(n，M，N)，并將P(X=r)= 記為H(r；n，M， N).
二、超幾何分布的均值
1. 當X~H(n，M，N)時，E(X)=kPk=，其中l=min{n，M}.
三、超幾何分布的應用
1. 解決超幾何分布問題的關鍵點
(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶.
(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同值時的概率，從而求出X的概率分布.
四、二項分布與超幾何分布的區別
1. 判斷是不是二項分布就是看它是不是n次獨立重復試驗，隨機變量是不是在這n
次獨立重復試驗中某事件發生的次數，滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布，否則不服從二項分布.
2. 超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.
超幾何分布的特征是：
①對象分兩類；
②已知各類對象的個數；
③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數X的概率分布. 超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型.
8. 3　正態分布
一、正態密度曲線
1. 概率密度曲線
在頻率直方圖中，如果數據無限增多且組距無限縮小，那么頻率直方圖上的折線將趨于一條光滑的曲線，將此曲線稱為概率密度曲線.
2. 正態密度曲線
將函數P(x)= (x∈R)的圖象稱為正態密度曲線. 這里有兩個參數μ和σ，其中σ>0，μ∈R.
3. 正態密度曲線的特征
(1)當x<μ時，曲線上升；當x>μ時，曲線下降；當曲線向左右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線.
(2)曲線關于直線x=μ對稱.
(3)σ越大，曲線越扁平；σ越小，曲線越尖陡.
(4)在曲線下方和x軸上方范圍內的區域面積為1.
二、正態分布
1. 正態分布
　　設X是一個隨機變量，若對任給區間(a，b]，P(a軸上(a，b]上方所圍成的圖形的面積(如圖所示)，則稱隨機變量X服從參數為μ和σ2
的正態分布，簡記為X~N(μ，σ2).

2. 標準正態分布
μ=0且σ=1的正態分布稱為標準正態分布，記作X~N(0，1).
若X~N(μ，σ2)，則~N(0，1).
三、正態總體在三個特殊區間內的取值
如圖，隨機變量X的取值
落在區間(μ-σ，μ+σ)內的概率約為68. 3%；
落在區間(μ-2σ，μ+2σ)內的概率約為95. 4%；
落在區間(μ-3σ，μ+3σ)內的概率約為99. 7%.
事實上，μ就是隨機變量X的均值，σ2就是隨機變量X的方差，它們分別反映X取值的平均大小和穩定程度.

四、正態分布的概率問題
1. 利用正態分布求概率的三種方法
(1)對稱法：由于正態曲線是關于直線x=μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x=μ
對稱的區間上概率相等. 如：
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)轉化法：若X~N(μ，σ2)，則~N(0，1).
(3)“3σ”法：利用隨機變量X取值落在區間(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ，μ+2σ)，(μ-3σ，μ+3σ)內的概率分別約是68. 3%，95. 4%，99. 7%求解.
五、正態分布的實際應用
利用服從正態分布N(μ，σ2)的隨機變量X取值落在三個特殊區間內的概率，可以解決兩類實際問題：
一類是估計在某一范圍內的數量. 具體方法是先確定隨機變量的取值在該范圍內的概率，再乘樣本容量即可；
另一類是利用3σ原則作決策. 決策步驟如下：①確定一次試驗中取值a是否落入范圍(μ-3σ，μ+3σ)；②作出判斷，若a∈(μ-3σ，μ+3σ)，則接受統計假設，若a (μ-3σ，μ+3σ)，則拒絕統計假設.

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