資源簡介

新教材 蘇教版2019版 數(shù)學選擇性必修第二冊
第7章知識點清單
目錄
第7章　計數(shù)原理
7. 1　兩個基本計數(shù)原理
7. 2　排列
7. 3　組合
7. 4　二項式定理
第7章　計數(shù)原理
7. 1　兩個基本計數(shù)原理
一、分類計數(shù)原理（加法原理） Comment by un Y:
1. 如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法……在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.
二、分步計數(shù)原理（乘法原理）
1. 如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.
三、兩個基本計數(shù)原理的比較
1. 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的比較
分類計數(shù)原理 分步計數(shù)原理
不同點 分類完成，類類相加 分步完成，步步相乘
每類方式中的每一種方法都能獨立完成這件事 每步依次完成才算完成這件事
相同點 都可用來計算完成某件事的方法種數(shù)，最終的目的都是完成某件事
注意點 類類獨立，不重不漏 步步相依，步驟完整
四、兩個基本計數(shù)原理的選擇與應用
1. 應用分類計數(shù)原理解題的一般思路
2. 應用分步計數(shù)原理解題的一般思路
應用分步乘法原理時，要確定好順序，還要注意元素是否可以重復選取.
3. 兩個計數(shù)原理的綜合應用
(1)類中有步
從A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)種方法.
(2)步中有類
從A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5種方法.
“類”用“+”連接，“步”用“×”連接，“類”獨立，“步”連續(xù)，“類”標志一件事的完成，“步”則缺一不可.
五、解決計數(shù)問題的常用方法
1. 在計數(shù)問題中常涉及元素與位置，解題時要分析清楚要完成的事是元素選擇位置還是位置選擇元素.
2. 當涉及元素數(shù)目不大時，一般選擇用列舉法、數(shù)形圖法. 當涉及元素數(shù)目較大或情況比較復雜時，一般有兩種方法：
(1)直接法：直接應用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理解題.
(2)間接法：先去掉限制條件，計算方法總數(shù)，然后減去所有不符合條件的方法數(shù)，從
而得到正確答案.
3. 涂色(種植)問題一般是直接利用兩個基本計數(shù)原理求解，常用方法如下：
(1)根據(jù)區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步計數(shù)原理分析；
(2)以顏色(種植作物)為主分類討論，用分類計數(shù)原理分析.
7. 2　排列
一、排列、排列數(shù)與排列數(shù)公式
排列 一般地，從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
排列數(shù) 一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示
排列數(shù)公式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，其中n，m∈N*，且m≤n
二、全排列、階乘的概念及相關(guān)結(jié)論
1. 全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫作n個不同元素的一個全排列.
2. n的階乘
在排列數(shù)公式中，當m=n時，即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1，n(n-1)·(n-2)×…×3
×2×1稱為n的階乘，通常用n!表示，即=n!.
3. 階乘的相關(guān)結(jié)論
(1)規(guī)定：0!=1；
(2)排列數(shù)公式的另一種形式： = (其中n，m∈N*，且m≤n).
三、排列數(shù)及其運算
1. 排列數(shù)運算的方法與技巧
(1)拆項技巧
①n·n!=(n+1)!-n!； ②=-.
(2)化簡技巧
①n!=n·(n-1)!=n(n-1)·(n-2)!；
②=n+m=.
2. 解有關(guān)排列數(shù)的方程或不等式的步驟

四、有限制條件的排列問題
1. “在”與“不在”的問題
常見的“在”與“不在”的有限制條件的排列問題是典型的特殊元素或特殊位置問題. 解決“在”與“不在”的排列問題的原則是誰“特殊”誰優(yōu)先. 解題思路如下：
2. “相鄰”與“不相鄰”問題
限制條件 解題策略
元素相鄰 通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看成一個整體并與其他元素進行排列
元素不相鄰 通常采用“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰元素插在前面元素形成的空中
3. “定序”問題
在排列問題中，某些元素在題意中已排定了順序，對這些元素進行排列時，不再考慮其順序. 在具體的計算過程中，可采用“除階乘法”解決，即n個元素的全排列中有m(m7. 3　組合
一、組合、組合數(shù)的概念
1. 組合：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
2. 組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.
二、組合數(shù)公式與性質(zhì)
1. 公式：===. (n，m∈N*，并且m≤n)
2. 特殊組合數(shù)：=1， =n， =1.
3. 組合數(shù)的性質(zhì)：==+.
三、組合數(shù)的性質(zhì)與運算
1. 組合數(shù)公式的主要適用范圍
形式 主要適用范圍
乘積式= 含具體數(shù)字的組合數(shù)的求值
階乘式= 含字母的組合數(shù)的有關(guān)變形及證明
2. 組合數(shù)的性質(zhì)及應用
(1)性質(zhì)“=”的意義及作用
(2)性質(zhì)“=+”的順用、逆用、變形用
順用是將一個組合數(shù)拆成兩個；
逆用則是“合二為一”；
變形式=-，為某些項相互抵消提供了方便，在解題時要注意靈活運用.
四、分組與分配問題
分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者是組與組之間只要元素個數(shù)相同，就是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個數(shù)相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的.
1. 分組問題的求解策略
常見形式 處理方法
非均勻不編號分組 將n個不同元素分成m組，每組元素數(shù)目均不相同，且不考慮各組間的順序，不管是否分盡，分法種數(shù)為 A=···…·
均勻不編號分組 將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為 (其中A為非均勻不編號分組中的分法數(shù)). 如果再有k組均勻分組，則應再除以
非均勻編號分組 將n個不同元素分成m組，各組元素數(shù)目均不相等，
且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A·
均勻編號分組 將n個不同元素分成m組，其中r組元素個數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為·
2. 相同元素分配問題的處理策略
“n個相同元素分成m組(每組的任務不同)”的問題，一般可用隔板法求解.
(1)當每組至少含一個元素時，其不同分組方式有種，即給n個元素中間的(n-1)
個空隙中插入(m-1)個隔板.
(2)任意分組，可出現(xiàn)某些組含0個元素的情況，其不同分組方式有種，即將n個相同元素與(m-1)個相同隔板進行排序，在(n+m-1)個位置中選(m-1)個安排隔板.
五、排列、組合的綜合應用問題
1. 正確區(qū)分“有序”與“無序”
區(qū)分排列與組合的重要標志是“有序”和“無序”，無序的問題用組合的知識解答，有序的問題用排列的知識解答.
2. 辯證看待“元素”與“位置”
排列、組合問題中的元素與位置沒有嚴格的界定標準，哪些事件看成元素或位置，隨解題者的思維方式的變化而變化，要視具體情況而定. 有時“元素選位置”解決問題更簡捷，有時“位置選元素”效果會更好.
7. 4　二項式定理
7. 4. 1　二項式定理
一、二項式定理及相關(guān)的概念
1. 公式(a+b)n=anan-1b+…+an-r·br+…+bn(n∈N*)叫作二項式定理，右邊的多項式叫作(a+b)n的二項展開式，它一共有n+1項，其中an-rbr叫作二項展開式的第r+1項(也稱通項)，用Tr+1表示，即Tr+1=an-rbr . (r=0，1，. . . ，n)叫作第r+1項的二項式系數(shù).
二、求二項展開式中的特定項(項的系數(shù))
1. 求二項展開式的特定項的常用方法
(1)對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項).
(2)對于有理項，一般先寫出展開式的通項，然后令其所有的字母的指數(shù)都等于整數(shù). 解這類問題必須合并通項中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.
(3)對于二項展開式中的整式項，其通項中同一字母的指數(shù)合并后應是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致.
三、三項展開式問題
1. 三項式求特定項的方法
(1)因式分解法：先通過因式分解將三項式變成兩個二項式，然后用二項式定理分別展開.
(2)逐層展開法：先將三項式分成兩組(一項組和兩項組)，用二項式定理展開，再把其中的兩項組展開.
(3)利用組合知識：把三項式(a+b+c)n看成n個式子(a+b+c)的積，利用組合知識分析項的構(gòu)成，注意最后把各個同類項合并.
四、求展開式的系數(shù)和(賦值法)
“賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)問題常用的方法，根據(jù)題目要求，
靈活賦予字母不同的值. 一般地，若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則f(x)展開式中各項系
數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=.
7. 4. 2　二項式系數(shù)的性質(zhì)及應用
一、二項式系數(shù)的性質(zhì)
對稱性 在(a+b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等， 即= (m∈N，n∈N*，m≤n)
增減性與最 大值 增減性：當r<時， <；當r>時， <. 最大值：當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大； 當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且最大
各二項式系數(shù)的和 (1)二項展開式中，各二項式系數(shù)的和+++…+=2n； (2) +++…=+++…=2n-1
特殊情況 在楊輝三角中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和， 即+=
二、二項式系數(shù)與系數(shù)的最大項
1. 展開式中二項式系數(shù)最大項的確定方法
(1)當n為偶數(shù)時，中間一項（第+1項，即）的二項式系數(shù)最大；
(2)當n為奇數(shù)時，中間兩項（第項和第+1項，即和）的二項式系數(shù)
相等且最大.
2. 展開式中系數(shù)最大的項的確定方法
(1)在系數(shù)符號相同的前提下，求系數(shù)的最大(小)值只需比較兩組相鄰兩項系數(shù)的大小，根據(jù)通項正確列出不等式組即可.
(2)當各項系數(shù)正負相間時，求系數(shù)的最大值應在系數(shù)都為正的各項系數(shù)間構(gòu)造不等式組；求系數(shù)的最小值應在系數(shù)都為負的各項系數(shù)間構(gòu)造不等式組.
三、二項式定理的應用
1. 利用二項式定理解決整除或求余數(shù)問題
利用二項式定理解決整除或求余數(shù)問題，關(guān)鍵是要巧妙構(gòu)造二項式，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開，只考慮后面(或前面)一兩項就可以了.
2. 利用二項式定理進行近似計算
利用二項式定理進行近似計算，其關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當?shù)亩検?p+q)n(n∈N*，p∈Z，|q|<1)，并根據(jù)近似要求，對其展開式的項合理取舍，從而確定其近似值(p+q)n.
3. 利用二項式定理證明有關(guān)不等式
利用二項式定理證明組合數(shù)不等式，通常表現(xiàn)為二項式定理的正用或逆用，再結(jié)合不等式證明的方法進行論證. 證明不等式時，應注意運用放縮法，可將對結(jié)論不構(gòu)成影響的若干項去掉.
四、楊輝三角問題
解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路

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