資源簡介

新教材 蘇教版2019版 數學選擇性必修第二冊
第6章知識點清單
目錄
第6章　空間向量與立體幾何
6. 1　空間向量及其運算
6. 2　空間向量的坐標表示
6. 3　空間向量的應用
第6章　空間向量與立體幾何
6. 1　空間向量及其運算
一、空間向量的線性運算
1. 空間向量線性運算的意義
=+=a+b，
=-=a-b，
=λa(λ∈R).

2. 空間向量的加法和數乘運算滿足的運算律
(1)a+b=b+a；
(2)(a+b)+c=a+(b+c)；
(3)λ(a+b)=λa+λb(λ∈R).
3. 共線向量定理
對空間任意兩個向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實數λ，使b=λa.
二、空間向量的數量積
1. 空間向量的數量積
設a，b是空間兩個非零向量，我們把數量|a||b|cos叫作向量a，b的數量積,記作a·b，即a·b=|a||b|cos.
其中為向量a與向量b的夾角，且0≤≤π. 如果=0，那么向量a與b同向；如果=π，那么向量a與b反向；如果=，那么稱a與b互相垂直，并記作a⊥b.
規定：零向量與任一向量的數量積為0.
2. 空間向量的數量積滿足的運算律
(1)a·b=b·a；
(2)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)；
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
3. 投影向量
(1)對于空間任意兩個非零向量a，b，設向量=a， =b(如圖)，過點A作AA1⊥OB，垂足為A1. 上述由向量a得到向量的變換稱為向量a向向量b投影，向量稱為向量a在向量b上的投影向量.

與平面向量的情形類似，我們有a·b=·b，即向量a，b的數量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數量積.
(2)如圖，設向量m=，過C，D分別作平面α的垂線，垂足分別為C1，D1，得向量. 我們將上述由向量m得到向量的變換稱為向量m向平面α投影，向量稱為向量m在平面α上的投影向量.

對于平面α內的任一向量n，有m·n=·n，也就是說，空間向量m，n的數量積就是向量m在平面α上的投影向量與向量n的數量積.
三、共面向量定理
1. 共面向量：一般地，能平移到同一平面內的向量叫作共面向量. 任意兩個空間向量都是共面向量.
2. 共面向量定理
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序實數組(x，y)，使得p=xa+yb.
推論1：空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數組(x，y)，使=x+y，或對空間任意一點O，有=+x+y.
推論2：空間中的一點P與不共線的三點A，B，C共面的充要條件是存在唯一的有序實數組(x，y，z)使得=x+y+z且x+y+z=1，其中O為空間任意一點.
四、用已知向量表示其他向量
1. 用已知向量來表示其他向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.
2. 要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之
和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.
3. 在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.
五、空間向量的數量積及其應用
1. 求空間向量的數量積的方法
(1)利用定義求解：a·b=|a||b|cos；
(2)利用a在b上的投影向量m或a在b所在平面上的投影向量n求解，
即a·b=m·b=n·b.
2. 空間向量的數量積的應用
(1)求模：|a|=；
(2)求夾角：cos=；
(3)證明兩向量垂直：a⊥b a·b=0.
六、共面向量定理的應用
1. 判定空間向量共面和空間四點共面的方法
判定向量共面或空間四點共面，可以利用共面向量定理及其推論(詳見知識點3)，
也可直接利用定義，通過線面平行或直線在平面內進行判定.
2. 利用共面向量定理證明線面平行
證明AB∥平面α，即證明可由平面α內兩個不共線的向量a，b線性表示，即=xa+yb.
6. 2　空間向量的坐標表示
一、空間向量基本定理
1. 空間向量基本定理
如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使p=xe1+ye2+ze3.
2. 基底
如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1，e2，e3線性表示.
我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個基底，e1，e2，e3叫作基向量.
如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作正交基底. 特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i，j，k}表示.
3. 推論
設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得=x+y+z.
二、空間向量的坐標表示
1. 空間直角坐標系
如圖(1)，在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}. 以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫作坐標軸. 這時我們說建立了一個空間直角坐標系O-xyz，點O叫作坐標原點，三條坐標軸中的每兩條確定一個坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面.

如圖(2)，在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.
2. 空間向量的坐標
在空間直角坐標系O-xyz中，對于空間任意一個向量a，根據空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(a1，a2，a3)，使a=a1i+a2j+a3k.
有序實數組(a1，a2，a3)叫作向量a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，
記作a=(a1，a2，a3).
3. 如圖，在空間直角坐標系O-xyz中，對于空間任意一點P，我們稱向量為點P的位置向量. 于是，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得=xi+yj+zk. 因此，向量的坐標為=(x，y，z). 此時，我們把與向量對應的有序實數組(x，y，z)叫作點P的坐標，記作P(x，y，z).
4. 空間向量的坐標運算
設a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則
(1)a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)；
(2)a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)；
(3)λa=(λx1，λy1，λz1)，λ∈R；
(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
5. 空間向量的平行、垂直、模及夾角
(1)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).
A，B間的距離AB=.
線段AB的中點M的坐標為().
(2)設a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則
名稱 滿足條件
向量表示形式 坐標表示形式
a∥b(a≠0) b=λa(λ∈R) x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R)
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0
模 |a|= |a|=
夾角 cos= cos=
三、空間向量基本定理
1. 用基底表示向量的步驟
(1)定基底：根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底.
(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據向量加法的三角形
法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形和化簡，從
而求出結果.
(3)下結論：利用空間的一個基底可以表示出空間中所有向量，且表示要徹底，表示
的結果中只能含有基向量，不能含有其他的向量.
四、空間向量的坐標表示及其運算
1. 確定空間任意一點P的坐標的常用方法
(1)垂面法：即找到點P在三條坐標軸上的投影. 方法是過點P作三個平面分別垂直x
軸，y軸，z軸于A，B，C三點(A，B，C即為點P在三條坐標軸上的投影)，點A，B，C在x軸，y軸，z軸上分別對應a，b，c，則(a，b，c)就是點P的坐標.
(2)垂線段法：先將P投射(沿與z軸平行的方向)到xOy平面上的一點P1，由的長度及方向確定豎坐標z，再在xOy平面上同平面直角坐標系中一樣的方法確定P1的橫坐標x、縱坐標y，最后得出點P的坐標(x，y，z).
2. 用坐標表示空間向量的步驟
3. 空間向量的坐標運算
空間向量的坐標運算實質是平面向量坐標運算的推廣，其運算法則僅是在平面向量運算法則的基礎上增加了豎坐標的運算.
空間向量的坐標運算法則與平面向量的坐標運算法則基本一樣，應注意一些計算公式的應用.
五、利用空間向量的坐標運算解決空間中的平行、垂直問題
1. 求解此類問題要抓住兩個核心關系式
設a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，則
(1)a∥b(a≠0) b=λa x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1；
(2)a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
2. 利用空間向量的坐標運算解決空間中的平行、垂直問題的方法
（1）建坐標系：根據題目中的幾何圖形建立適當的空間直角坐標系
（2）定坐標：通過點的坐標確定相關向量的坐標
（3）譯語言：將立體幾何問題中的幾何語言“翻譯”成向量中的對應語言
（4）用運算：借助向量的運算和性質完成幾何問題的證明
（5）得結論：得出正確的結論
六、利用空間向量的坐標運算求夾角、長度
1. 求異面直線夾角的步驟
(1)建立適當的空間直角坐標系，求出相應點的坐標；
(2)求出異面直線a，b的方向向量的坐標a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)；
(3)利用公式cos=進行求解；
(4)設異面直線a，b的夾角為θ，則cos θ=|cos|.
2. 求空間中兩點間的距離的步驟
(1)建立適當的空間直角坐標系，求出相應點的坐標A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)；
(2)利用公式|AB|=||= =求A，B間的距離.
6. 3　空間向量的應用
6. 3. 1　直線的方向向量與平面的法向量
6. 3. 2　空間線面關系的判定
一、直線的方向向量
1. 我們把直線l上的向量e(e≠0)以及與e共線的非零向量叫作直線l的方向向量.
二、平面的法向量
1. 平面的法向量
如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面
α，記作n⊥α. 此時，我們把向量n叫作平面α的法向量.
2. 幾個常用結論
(1)平面的法向量一定是非零向量；
(2)如果直線l垂直于平面α，則直線l的任意一個方向向量都是平面α的一個法向量
(3)如果向量n是平面α的一個法向量，則λn(λ≠0)也是平面α的一個法向量，而且平面α的所有法向量都互相平行；
(4)若向量n是平面α的一個法向量，表示非零向量m的有向線段所在直線與平面α
平行或在平面α內，則有n·m=0.
三、空間線面的平行和垂直關系
1. 設空間兩條直線l1，l2的方向向量分別為e1，e2，兩個平面α1，α2的法向量分別為n1，n2，則有下表：
平行 垂直
l1與l2 e1∥e2 e1⊥e2
l1與α1 e1⊥n1 e1∥n1
α1與α2 n1∥n2 n1⊥n2
四、三垂線定理
1. 在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.
五、求平面的法向量
1. 求平面的法向量的步驟
六、利用空間向量證明空間中的平行關系
1. 證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量.
2. 證明線面平行的方法
(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；
(2)在平面內找到一個用有向線段表示的向量與直線的方向向量是共線向量；
(3)利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內兩個不共線向量線性表示.
3. 證明面面平行的方法
(1)證明兩個平面的法向量平行；
(2)轉化為線面平行、線線平行來證明.
七、利用空間向量證明空間中的垂直關系
1. 證明線線垂直只需證明兩直線的方向向量垂直.
2. 利用空間向量證明線面垂直的方法
(1)用線面垂直的定義，證明直線的方向向量與平面內的任意一條直線的方向向量垂直；
(2)用線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量分別與平面內的兩條相交直線的方向向量垂直；
(3)證明直線的方向向量與平面的法向量平行.
3. 利用空間向量證明面面垂直通常有兩種途徑
(1)利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直來證明；
(2)直接求解兩個平面的法向量，由兩個平面的法向量垂直，得到面面垂直.
八、利用空間向量解決探索性問題
1. 空間向量最適用于解決立體幾何中的探索性問題，無須進行復雜的作圖、論證、推理，只需建立適當的空間直角坐標系，寫出相關向量的坐標，通過坐標運算就可進行判斷.
2. 用向量法解決與垂直、平行有關的探索性問題的步驟
(1)根據題設條件中的垂直關系，建立適當的空間直角坐標系，將相關點、相關向量用坐標表示出來.
(2)假設所求的點或參數存在，用相關參數表示相關點的坐標，根據線、面滿足的
垂直或平行關系，構建方程(組)求解，若能求出參數的值且符合限定的范圍，則存
在，否則不存在.
6. 3. 3　空間角的計算
一、用空間向量研究空間角
空間角 向量求法
異面直線所成的角 若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v， 則cos θ=|cos|=，θ∈
直線與平面所成的角 設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ=|cos|= ，θ∈
兩個平面的夾角 若平面α，β的法向量分別是n1，n2，則平面α與平面β 的夾角即為向量n1，n2的夾角或其補角. 設平面α與平面β的夾角為θ， 則cos θ=|cos|=，θ∈
二、用向量法求異面直線所成的角
1. 用向量求異面直線所成的角的兩種方法
(1)基向量法
基向量法的一般步驟：
①確定空間的一個基底，進而確定空間兩直線的方向向量.
②求出兩個方向向量夾角的余弦值.
③根據直線夾角與其方向向量夾角的關系，得到兩異面直線所成的角.
(2)坐標法
利用坐標法求異面直線所成的角的一般步驟：
①建立適當的空間直角坐標系并寫出相應點的坐標.
②求出兩條異面直線的方向向量.
③利用向量夾角的余弦公式得出結論.
2. 注意向量的夾角與異面直線所成角的區別
當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，此角就是異面直線所成的角；當
異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線所成的角.
三、用向量法求線面角
1. 利用向量法求空間中線面角的一般步驟
(1)建立適當的空間直角坐標系并寫出相應點的坐標；
(2)求出直線的方向向量a的坐標以及平面的法向量b的坐標；
(3)設線面角為θ，利用sin θ=，結合θ∈得出結論.
四、用向量法求二面角的大小
1. 利用向量法求二面角的平面角
(1)如圖1，， 是二面角α-l-β的兩個半平面內分別與l垂直的向量，則二面角α-l-β的大小θ=<， >.
圖1 圖2 圖3
(2)如圖2，3，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角α-l-β的大小θ=或θ=π-.
2. 利用法向量求二面角的大小(或其某個三角函數值)的步驟
(1)建立適當的空間直角坐標系，寫出相應點的坐標.
(2)求出兩個半平面的法向量n1，n2
(3)設二面角的平面角為θ，則|cos θ|=|cos|.
(4)根據圖形判斷θ為鈍角還是銳角，從而求出θ(或其某個三角函數值).
6. 3. 4　空間距離的計算
一、點到平面的距離
1. 如圖所示，P是平面α外一點，PO⊥α，垂足為O，A為平面α內任意一點，設n為平面α的法向量，則點P到平面α的距離d=.

二、點到直線的距離
1. 如圖所示，P為直線l外一點，A是l上任意一點，在點P和直線l所確定的平面內，取一個與直線l垂直的向量n，則點P到直線l的距離d=.

2. 如圖所示，P是直線l外一點，PO⊥l，O為垂足，A是l上任意一點，設e是直線l的方向向量，記φ=<，e>，則點P到直線l的距離d=||sin φ.

三、異面直線間的距離
如圖，設A，P分別為異面直線a，b上的點，向量n與直線a，b都垂直，則異面直線a，b間的距離d=，即為向量在平面α的法向量n上的投影向量的模.

四、用向量法求點到平面的距離
1. 用向量求點到平面的距離的方法與步驟
利用向量法求點到平面的距離時，不必作出該點到平面的垂線段，而是將其轉化
為求已知點與平面內一點的連線對應的向量在平面法向量上的投影的長度，具體
求解過程如下：
(1)建立空間直角坐標系；
(2)求出已知點P與平面α內任一點A所連直線的方向向量；
(3)求出平面α的法向量n；
(4)利用公式d=求解.
五、用向量法求點到直線的距離
1. 用向量法求點到直線的距離的兩種思路
(1)將求點到直線的距離問題轉化為求向量模的問題，即利用待定系數法求出垂足的坐標，然后求出向量的模，這是求各種距離的通法.
(2)直接套用點到直線的距離公式求解.
2. 利用點到直線的距離公式時的注意點：
①不必找點在直線上的垂足以及垂線段；
②在直線上可以任意選點，但一般選較易求得坐標的特殊點；
③直線的方向向量可以任取，但必須保證計算的準確性.
六、用向量法求線面距與面面距
1. 直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離均相等；平面與平面平行時，
一個平面內任意一點到另一個平面的距離均相等，故可將線面距、面面距轉化為點面距. 求線面距、面面距實質上都是求點面距，求直線與平面、平面與平面的距離的前提是線面、面面平行.
2. 用向量求直線與平面、平面與平面之間距離的方法
(1)如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個法向量，A，B分別是l上和α內的點，則直線l與平面α之間的距離d=；
(2)如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個法向量(當然也是平面α的一個法向
量)，A和B分別是平面α和平面β內的點，則平面α與平面β之間的距離d=.

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