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專題05 用空間向量研究直線、平面的平行、垂直問題
10種常見考法歸類
1．空間中點、直線和平面的向量表示
點P的位置向量 在空間中，取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P可以用向量表示，我們把向量稱為點P的位置向量.
空間直線的向量表示式 a是直線l的方向向量，在直線l上?。絘，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使＝＋ta，也可以表示為＝＋t.這兩個式子稱為空間直線的向量表示式.
空間平面ABC的向量表示式 設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面內任意一點，則存在唯一的有序實數對(x，y)，使得＝xa＋yb.那么取定空間任意一點O，可以得到，空間一點P在平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使＝＋x＋y，這就是空間平面ABC的向量表示式.
2.直線的方向向量與平面的法向量
(1)直線的方向向量的定義
直線的方向向量是指和這條直線_平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量有無數個．
(2)平面的法向量的定義
直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
思考：直線的方向向量(平面的法向量)是否唯一？
注：不唯一，直線的方向向量(平面的法向量) 有無數個，它們分別是共線向量．
3．空間中平行關系的向量表示
線線平行 設兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2 u1∥u2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
線面平行 設l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)，則l∥α u·n＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行 設α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
4．空間中有關垂直的向量關系
一般地，直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量垂直；直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行；平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直．
5．空間中垂直關系的向量表示
線線垂直 設直線l1的方向向量為u＝(a1，a2，a3)，直線l2的方向向量為v＝(b1，b2，b3)，則l1⊥l2 u·v＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
線面垂直 設直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，則l⊥α u∥n u＝λn (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)
面面 垂直 設平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，則α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
思考：若一個平面內一條直線的方向向量與另一個平面的法向量共線，則這兩個平面是否垂直？
注：垂直．
對直線方向向量的三點說明
(1)方向向量的選?。涸谥本€上任取兩點P，Q，可得到直線的一個方向向量.
(2)方向向量的不唯一性：直線的方向向量不是唯一的，可以分為方向相同和相反兩類，它們都是共線向量．解題時，可以選取坐標最簡的方向向量．
(3)非零性：直線的方向向量是非零向量．
直線的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有無數個，且直線的方向向量都是共線向量，平面的法向量也都是共線向量．
7．在用向量法處理問題時，若幾何體的棱長未確定，應如何處理？
注：可設幾何體的棱長為1或a，再求點的坐標．
8．依據待定系數法求出的平面法向量唯一嗎？
注：不唯一．利用待定系數法求平面法向量時，由于方程組有無數組解，因此法向量有無數個．求解時，只需取一個較簡單的非零向量作為法向量即可．
9．求平面法向量的坐標時，為什么只構建兩個方程求解？
注：根據線面垂直的判定定理可知，只要直線垂直于該平面內的任意兩條相交直線，它就垂直于該平面，也就垂直于該平面內的任意一條直線，因此，求法向量的坐標只要滿足兩個方程就可以了．
10．求平面法向量的步驟
(1)設法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面內找兩個不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程組
(4)解方程組：用一個未知量表示其他兩個未知量，然后對用來表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個法向量．
(5)賦非零值：取其中一個為非零值(常取±1)．
(6)得結論：得到平面的一個法向量．
11．求平面法向量的三個注意點
(1)選向量：在選取平面內的向量時，要選取不共線的兩個向量．
(2)取特值：在求n的坐標時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個坐標為某特定值時一定要注意這個坐標不為0.
12．向量法處理空間平行問題的兩個應用
(1)求字母的值：通過線線、線面、面面平行轉化為向量的共線、垂直的關系，再利用向量關系構造關于字母的等量關系，進而求出字母的值．
(2)求點的坐標：可設出對應點的坐標，再利用點與向量的關系，寫出對應向量，利用空間中點、線、面的位置關系，轉化為向量的位置關系，進而建立與所求點的坐標有關的等式．
13．證明兩直線平行的方法
法一：平行直線的傳遞性
法二：基向量法，分別取兩條直線的方向向量m，n，證明m∥n，即m＝λn.
法三：坐標法，建立空間直角坐標系，把直線的方向向量用坐標表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即證明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
14．向量法證明線面平行的三個思路
(1)設直線l的方向向量是a，平面α的法向量是u，則要證明l∥α，只需證明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根據線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行，要證明一條直線和一個平面平行，在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可．
(3)根據共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個向量與這兩個不共線的向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可．
15．應用向量法證明線面平行問題的方法
(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．
(2)證明直線的方向向量與平面內的某一直線的方向向量共線．
(3)證明直線的方向向量可用平面內的任意兩個不共線的向量表示．即用平面向量基本定理證明線面平行．
16．向量法證明線面平行的兩個關注點
(1)明確理論依據
如果一條直線與一個平面的垂線垂直，那么，這條直線在平面內或與平面平行．
(2)區分有關概念
直線與平面平行，直線一定在平面外，向量與平面平行，向量對應的直線可在平面內.
17．證明面面平行的方法
設平面α的法向量為n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
18．利用向量法證明線線垂直的方法
用向量法證明空間中兩條直線l1，l2相互垂直，其主要思路是證明兩條直線的方向向量a，b相互垂直，只需證明a·b＝0即可，具體方法如下：
(1)坐標法：根據圖形的特征，建立適當的空間直角坐標系，準確地寫出相關點的坐標，表示出兩條直線的方向向量，計算出其數量積為0即可．
(2)基向量法：利用向量的加減運算，結合圖形，將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來，利用數量積運算說明兩向量的數量積為0.
19．利用空間向量證明線面垂直時，一般有哪幾種思路？
注：利用基向量的辦法和建立空間坐標系的方法，但往往都是求直線的方向向量與平面的法向量共線．
20．證明線面垂直，能否不求平面的法向量？
注：可以，這時只需證明直線的方向向量分別與平面內兩個不共線的向量的數量積為零即可．
21．應用線線垂直求點的坐標的策略
(1)設出點的坐標．
(2)利用點滿足的條件建立與坐標有關的方程．
(3)通過解方程的方法求出點的坐標．
22．坐標法證明線面垂直的兩種方法
法一：(1)建立空間直角坐標系；
(2)將直線的方向向量用坐標表示；
(3)找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；
(4)分別計算兩組向量的數量積，得到數量積為0.
法二：(1)建立空間直角坐標系；
(2)將直線的方向向量用坐標表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．
注：使用坐標法證明時，如果平面的法向量很明顯，可以用法二，否則常常選用法一解決．
23．利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑：
一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直．
24．向量法證明面面垂直的優越性
主要體現在不必考慮圖形的位置關系，恰當建系或用基向量表示后，只需經過向量運算就可得到要證明的結果，思路方法“公式化”，降低了思維難度．
25.空間垂直關系的解決策略
幾何法 向量法
線線 垂直 (1)證明兩直線所成的角為90°. (2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內所有直線垂直 兩直線的方向向量互相垂直
線面 垂直 對于直線l，m，n和平面α (1)若l⊥m，l⊥n，m α，n α，m與n相交，則l⊥α. (2)若l∥m，m⊥α，則l⊥α (1)證明直線的方向向量分別與平面內兩條相交直線的方向向量垂直． (2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量
面面垂直 對于直線l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l β，則α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β. (3)若平面α與β相交所成的二面角為直角，則α⊥β 證明兩個平面的法向量互相垂直
26.探索性問題的解決方法
(1)猜測法：猜測滿足的條件，然后以此為基礎結合題目中的其他條件進行證明結論成立，或者利用題目條件用變量設出條件，再結合結論逆向推導出變量的取值．
(2)逆推法：利用結論探求條件；如果是存在型問題，那么先假設結論存在，若推證無矛盾，則結論存在；若推證出矛盾，則結論不存在．
27．解決空間平行、垂直關系的兩個策略
（1）關注解決空間平行、垂直關系的依據
平行、垂直關系的向量表示是解題依據，是解題的前提和根本，也是避免無謂丟分的關鍵，如本例利用向量平行證明線線平行；通過證明兩個平面的法向量互相垂直，得兩個平面互相垂直．
（2）準確計算，避免失誤
利用向量法解決空間平行垂直問題的最大特點是通過計算證明位置關系，這也是向量法與幾何法的主要區別．因此，準確計算是此類問題的關鍵，如本例中兩個平面的法向量坐標必須計算準確.
考點一 求直線的方向向量
考點二 求平面的法向量
考點三 利用空間向量證明線線平行
考點四 利用空間向量證線面平行
考點五 利用空間向量證面面平行
考點六 利用空間向量證明線線垂直
考點七 用空間向量證明線面垂直
考點八 利用空間向量證明面面垂直
考點九 利用空間向量解決平行、垂直的綜合問題
考點十 探索性問題
考點一 求直線的方向向量
1．（2023·江蘇·高二專題練習）已知點，都在直線上，寫出一個直線的方向向量： .
2．（2023·江蘇·高二專題練習）若向量都是直線的方向向量，則 .
3．（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線的一個方向向量，且直線過點和兩點，則（　?。?br/>A．0 B．1 C． D．3
4．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求直線PC的一個方向向量．
考點二 求平面的法向量
5．（2023·江蘇·高二專題練習）若是平面的一個法向量，則下列向量能作為平面的法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·江蘇鎮江·高二江蘇省鎮江中學?？计谀┮阎蛄浚瑒t平面的一個法向量（ ）
A． B． C． D．
7．【多選】（2023·江蘇·高二專題練習）在如圖所示的坐標系中，為正方體，則下列結論中正確的是 （ ）

A．直線 的一個方向向量為
B．直線的一個方向向量為
C．平面的一個法向量為
D．平面的一個法向量為
8．（2023·江蘇·高二專題練習）《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標系，則平面的一個法向量為（ ）

A． B． C． D．
9．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD為正方形，E為PC的中點，點F在PB上，問點F在何位置時，為平面DEF的一個法向量

10．（2023·江蘇·高二專題練習）已知平面α內兩向量，且.若為平面α的法向量，則m，n的值分別為（　?。?br/>A．-1，2 B．1，-2
C．1，2 D．-1，-2
11．（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線的方向向量為，平面的法向量為.若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．4
12．（2023秋·高二課時練習）四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求平面SCD和平面SAB的法向量.
考點三 利用空間向量證明線線平行
13．（2023春·高二課時練習）已知直線的方向向量分別為和，若，則 .
14．（2023春·高二課時練習）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.證明：PQ∥RS.
15．（2023春·高二課時練習）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為DD1和BB1的中點.求證：四邊形AEC1F是平行四邊形.
考點四 利用空間向量證線面平行
16．（福建省廈門市2022-2023學年高二下學期期末質量檢測數學試題）已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則 .
17．（2023·全國·高三專題練習）設是平面的一個法向量，是直線l的一個方向向量，則直線l與平面的位置關系是（ ）
A．平行或直線在平面內B．不能確定 C．相交但不垂直 D．垂直
18．（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點.分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz.

(1)求點E、F的坐標；
(2)求證：EF∥平面ACD1.
20．（2023·全國·高一專題練習）如圖，四棱錐中，側面PAD為等邊三角形，線段AD的中點為O且底面，，，E是PD的中點．證明：平面.
21．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.
22．（2023·全國·高二專題練習）如圖，設P為長方形ABCD所在平面外一點，M在PD上，N在AC上，若，用向量法證明：直線MN∥平面PAB.

23．（2023春·江西贛州·高二江西省龍南中學?？计谀┮阎忾L為的正方體中，點P滿足，其中，．當平面時，的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
24．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習）如圖， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面，則（ ）
A． B． C． D．1
考點五 利用空間向量證面面平行
25．（2023秋·高二課時練習）若平面，則下面選項中可以是這兩個平面法向量的是（　　）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
26．（2023·江蘇·高二專題練習）若平面與的法向量分別是，，則平面與的位置關系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．無法判斷
27．（2023春·高二課時練習）若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且，則 .
28．（2023·江蘇·高二專題練習）已知平面α和平面β的法向量分別為，，則（　?。?br/>A．α⊥β B．α∥β
C．α與β相交但不垂直 D．以上都不對
29．【多選】（2023秋·海南·高三校聯考期末）如圖，在正方體中，，，，均是所在棱的中點，則下列說法正確的是（ ）

A． B．平面
C．平面平面 D．
30．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，正四棱的底面邊長1，側棱長4，中點為，中點為．求證：平面平面.

31．（2023春·高一課時練習）如圖，從所在平面外一點O作向量，，，.求證：
(1)，，，四點共面；
(2)平面平面.
考點六 利用空間向量證明線線垂直
32．（2023春·高二課時練習）設的一個方向向量為，的一個方向向量為，若，則m等于（ ）
A．1 B． C． D．3
33．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在直棱柱中，，，分別是，，的中點．求證：；
34．（2023春·四川樂山·高二期末）如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023春·江西吉安·高二寧岡中學校考期末）如圖，已知空間幾何體的底面ABCD是一個直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD與底面成角．

(1)若，求該幾何體的體積；
(2)若AE垂直PD于E，證明：；
(3)在（2）的條件下，PB上是否存在點F，使得，若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由．
考點七 用空間向量證明線面垂直
36．（2023·江蘇·高二專題練習）設直線的方向向量為，，，為平面的三點，則直線與平面的位置關系是（ ）
A． B． C． D．或
37．（2023春·高二課時練習）已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為，若l⊥α，則實數λ的值為 ．
38．（2023秋·廣東陽江·高二陽江市陽東區第一中學?？计谥校┮阎侵本€l的方向向量，是平面的法向量.若，則實數a，b的值是（ ）
A．a=1，b=7 B．a=5，b=1 C．a=-5，b=1 D．a=5，b=-1
39．（2023·全國·高二專題練習）四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，.
(1)求證：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的長.
40．（2023秋·河南南陽·高二?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，底面，且底面為直角梯形，，， ，，為的中點.
(1)求證：BE//平面PAD
(2)求證：平面PCD
41．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.
(1)求證：.
(2)求證：平面.
考點八 利用空間向量證明面面垂直
42．【多選】（2023春·甘肅白銀·高二校考期中）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中，正確的有（ ）
A．若兩條不重合的直線，的方向向量分別是，，則
B．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則
C．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則
D．若兩個不同的平面，的法向量分別是，，則
43．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求證：平面DEA⊥平面ECA.
44．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，面，在四邊形中，，點在上，.求證：
(1)CM面；
(2)面面.
45．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在五面體ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若.
(1)求五面體ABCDEF的體積；
(2)若M為EC的中點，求證：平面平面AMD.
考點九 利用空間向量解決平行、垂直的綜合問題
46．（2023春·內蒙古呼和浩特·高一?？计谀┤鐖D，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，為的中點．

(1)求證：平面；
(2)求證：平面．
47．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在多面體中，，，都是邊長為2的等邊三角形，平面平面，平面平面．

(1)判斷，，，四點是否共面，并說明理由；
(2)在中，試在邊的中線上確定一點，使得平面．
48．（2023春·福建漳州·高二統考期末）如圖所示的幾何體中，平面平面為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點滿足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
49．（2023秋·高二課時練習）如圖所示，在直三棱柱中，側面和側面都是正方形且互相垂直，為的中點，為的中點.求證：

(1)平面；
(2)平面平面.
考點十 探索性問題
50．（2023秋·遼寧大連·高二大連市第二十三中學?？茧A段練習）在多面體中，正方形和矩形互相垂直， 分別是和的中點，.
（1）求證：平面.
（2）試問在邊所在的直線上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.
51．（2023·高二課時練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，．
(1)求證：平面．
(2)在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
52．（2023秋·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體中，點E為BC的中點．
(1)在B1B上是否存在一點P，使平面？
(2)在平面上是否存在一點N，使平面？
53．（2023·高二課時練習）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，底面ABCD，垂足為A，，點M在棱PD上，平面ACM．

(1)試確定點M的位置；
(2)計算直線PB與平面MAC的距離；
(3)設點E在棱PC上，當點E在何處時，使得平面PBD？
54．（2023春·廣東汕尾·高二陸豐市龍山中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，是的中點．
(1)求證：平面．
(2)若，線段上是否存在一點，使平面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．
55．（2023春·四川成都·高一石室中學校考期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，為中點.

(1)求證：平面；
(2)在棱上是否存在點，使得 若存在，求的值；若不存在，說明理由.專題05 用空間向量研究直線、平面的平行、垂直問題
10種常見考法歸類
1．空間中點、直線和平面的向量表示
點P的位置向量 在空間中，取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P可以用向量表示，我們把向量稱為點P的位置向量.
空間直線的向量表示式 a是直線l的方向向量，在直線l上?。絘，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使＝＋ta，也可以表示為＝＋t.這兩個式子稱為空間直線的向量表示式.
空間平面ABC的向量表示式 設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面內任意一點，則存在唯一的有序實數對(x，y)，使得＝xa＋yb.那么取定空間任意一點O，可以得到，空間一點P在平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使＝＋x＋y，這就是空間平面ABC的向量表示式.
2.直線的方向向量與平面的法向量
(1)直線的方向向量的定義
直線的方向向量是指和這條直線_平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量有無數個．
(2)平面的法向量的定義
直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
思考：直線的方向向量(平面的法向量)是否唯一？
注：不唯一，直線的方向向量(平面的法向量) 有無數個，它們分別是共線向量．
3．空間中平行關系的向量表示
線線平行 設兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2 u1∥u2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
線面平行 設l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)，則l∥α u·n＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行 設α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
4．空間中有關垂直的向量關系
一般地，直線與直線垂直，就是兩直線的方向向量垂直；直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行；平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直．
5．空間中垂直關系的向量表示
線線垂直 設直線l1的方向向量為u＝(a1，a2，a3)，直線l2的方向向量為v＝(b1，b2，b3)，則l1⊥l2 u·v＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
線面垂直 設直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，則l⊥α u∥n u＝λn (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)
面面 垂直 設平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，則α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
思考：若一個平面內一條直線的方向向量與另一個平面的法向量共線，則這兩個平面是否垂直？
注：垂直．
對直線方向向量的三點說明
(1)方向向量的選取：在直線上任取兩點P，Q，可得到直線的一個方向向量.
(2)方向向量的不唯一性：直線的方向向量不是唯一的，可以分為方向相同和相反兩類，它們都是共線向量．解題時，可以選取坐標最簡的方向向量．
(3)非零性：直線的方向向量是非零向量．
直線的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有無數個，且直線的方向向量都是共線向量，平面的法向量也都是共線向量．
7．在用向量法處理問題時，若幾何體的棱長未確定，應如何處理？
注：可設幾何體的棱長為1或a，再求點的坐標．
8．依據待定系數法求出的平面法向量唯一嗎？
注：不唯一．利用待定系數法求平面法向量時，由于方程組有無數組解，因此法向量有無數個．求解時，只需取一個較簡單的非零向量作為法向量即可．
9．求平面法向量的坐標時，為什么只構建兩個方程求解？
注：根據線面垂直的判定定理可知，只要直線垂直于該平面內的任意兩條相交直線，它就垂直于該平面，也就垂直于該平面內的任意一條直線，因此，求法向量的坐標只要滿足兩個方程就可以了．
10．求平面法向量的步驟
(1)設法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面內找兩個不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程組
(4)解方程組：用一個未知量表示其他兩個未知量，然后對用來表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個法向量．
(5)賦非零值：取其中一個為非零值(常取±1)．
(6)得結論：得到平面的一個法向量．
11．求平面法向量的三個注意點
(1)選向量：在選取平面內的向量時，要選取不共線的兩個向量．
(2)取特值：在求n的坐標時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個坐標為某特定值時一定要注意這個坐標不為0.
12．向量法處理空間平行問題的兩個應用
(1)求字母的值：通過線線、線面、面面平行轉化為向量的共線、垂直的關系，再利用向量關系構造關于字母的等量關系，進而求出字母的值．
(2)求點的坐標：可設出對應點的坐標，再利用點與向量的關系，寫出對應向量，利用空間中點、線、面的位置關系，轉化為向量的位置關系，進而建立與所求點的坐標有關的等式．
13．證明兩直線平行的方法
法一：平行直線的傳遞性
法二：基向量法，分別取兩條直線的方向向量m，n，證明m∥n，即m＝λn.
法三：坐標法，建立空間直角坐標系，把直線的方向向量用坐標表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即證明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
14．向量法證明線面平行的三個思路
(1)設直線l的方向向量是a，平面α的法向量是u，則要證明l∥α，只需證明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根據線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行，要證明一條直線和一個平面平行，在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可．
(3)根據共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個向量與這兩個不共線的向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可．
15．應用向量法證明線面平行問題的方法
(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．
(2)證明直線的方向向量與平面內的某一直線的方向向量共線．
(3)證明直線的方向向量可用平面內的任意兩個不共線的向量表示．即用平面向量基本定理證明線面平行．
16．向量法證明線面平行的兩個關注點
(1)明確理論依據
如果一條直線與一個平面的垂線垂直，那么，這條直線在平面內或與平面平行．
(2)區分有關概念
直線與平面平行，直線一定在平面外，向量與平面平行，向量對應的直線可在平面內.
17．證明面面平行的方法
設平面α的法向量為n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
18．利用向量法證明線線垂直的方法
用向量法證明空間中兩條直線l1，l2相互垂直，其主要思路是證明兩條直線的方向向量a，b相互垂直，只需證明a·b＝0即可，具體方法如下：
(1)坐標法：根據圖形的特征，建立適當的空間直角坐標系，準確地寫出相關點的坐標，表示出兩條直線的方向向量，計算出其數量積為0即可．
(2)基向量法：利用向量的加減運算，結合圖形，將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來，利用數量積運算說明兩向量的數量積為0.
19．利用空間向量證明線面垂直時，一般有哪幾種思路？
注：利用基向量的辦法和建立空間坐標系的方法，但往往都是求直線的方向向量與平面的法向量共線．
20．證明線面垂直，能否不求平面的法向量？
注：可以，這時只需證明直線的方向向量分別與平面內兩個不共線的向量的數量積為零即可．
21．應用線線垂直求點的坐標的策略
(1)設出點的坐標．
(2)利用點滿足的條件建立與坐標有關的方程．
(3)通過解方程的方法求出點的坐標．
22．坐標法證明線面垂直的兩種方法
法一：(1)建立空間直角坐標系；
(2)將直線的方向向量用坐標表示；
(3)找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；
(4)分別計算兩組向量的數量積，得到數量積為0.
法二：(1)建立空間直角坐標系；
(2)將直線的方向向量用坐標表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．
注：使用坐標法證明時，如果平面的法向量很明顯，可以用法二，否則常常選用法一解決．
23．利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑：
一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直．
24．向量法證明面面垂直的優越性
主要體現在不必考慮圖形的位置關系，恰當建系或用基向量表示后，只需經過向量運算就可得到要證明的結果，思路方法“公式化”，降低了思維難度．
25.空間垂直關系的解決策略
幾何法 向量法
線線 垂直 (1)證明兩直線所成的角為90°. (2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內所有直線垂直 兩直線的方向向量互相垂直
線面 垂直 對于直線l，m，n和平面α (1)若l⊥m，l⊥n，m α，n α，m與n相交，則l⊥α. (2)若l∥m，m⊥α，則l⊥α (1)證明直線的方向向量分別與平面內兩條相交直線的方向向量垂直． (2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量
面面垂直 對于直線l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l β，則α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β. (3)若平面α與β相交所成的二面角為直角，則α⊥β 證明兩個平面的法向量互相垂直
26.探索性問題的解決方法
(1)猜測法：猜測滿足的條件，然后以此為基礎結合題目中的其他條件進行證明結論成立，或者利用題目條件用變量設出條件，再結合結論逆向推導出變量的取值．
(2)逆推法：利用結論探求條件；如果是存在型問題，那么先假設結論存在，若推證無矛盾，則結論存在；若推證出矛盾，則結論不存在．
27．解決空間平行、垂直關系的兩個策略
（1）關注解決空間平行、垂直關系的依據
平行、垂直關系的向量表示是解題依據，是解題的前提和根本，也是避免無謂丟分的關鍵，如本例利用向量平行證明線線平行；通過證明兩個平面的法向量互相垂直，得兩個平面互相垂直．
（2）準確計算，避免失誤
利用向量法解決空間平行垂直問題的最大特點是通過計算證明位置關系，這也是向量法與幾何法的主要區別．因此，準確計算是此類問題的關鍵，如本例中兩個平面的法向量坐標必須計算準確.
考點一 求直線的方向向量
考點二 求平面的法向量
考點三 利用空間向量證明線線平行
考點四 利用空間向量證線面平行
考點五 利用空間向量證面面平行
考點六 利用空間向量證明線線垂直
考點七 用空間向量證明線面垂直
考點八 利用空間向量證明面面垂直
考點九 利用空間向量解決平行、垂直的綜合問題
考點十 探索性問題
考點一 求直線的方向向量
1．（2023·江蘇·高二專題練習）已知點，都在直線上，寫出一個直線的方向向量： .
【答案】(答案不唯一)
【分析】由方向向量的定義求解即可.
【詳解】，
因為點，都在直線上，
所以都是直線的方向向量，
則可取.
故答案為：.
2．（2023·江蘇·高二專題練習）若向量都是直線的方向向量，則 .
【答案】/
【分析】根據題意可知，再根據空間向量共線定理即可得解.
【詳解】根據題意可知，
故存在唯一實數，使，即，
則，解得，
所以.
故答案為：.
3．（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線的一個方向向量，且直線過點和兩點，則（　?。?br/>A．0 B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】首先求出，依題意，則，根據空間向量共線的坐標表示計算可得.
【詳解】因為直線過點和兩點，所以，
又直線的一個方向向量，所以，
所以，所以，
所以，解得，所以.
故選：D
4．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求直線PC的一個方向向量．
【答案】
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，根據方向向量的定義可得．
【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系A－xyz，則，，
所以即為直線PC的一個方向向量.
考點二 求平面的法向量
5．（2023·江蘇·高二專題練習）若是平面的一個法向量，則下列向量能作為平面的法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據平面法向量的性質判斷即可.
【詳解】因為，所以，所以也為平面的法向量，
其它選項中的向量都不合題意，
故選：D．
6．（2023春·江蘇鎮江·高二江蘇省鎮江中學?？计谀┮阎蛄?，則平面的一個法向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據法向量的定義逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：若，則，
可得，所以可以是平面的一個法向量，故A正確；
對于選項B：若，則，
可得與不垂直，所以不是平面的一個法向量，故B錯誤；
對于選項C：若，則，
可得與不垂直，所以不是平面的一個法向量，故C錯誤；
對于選項D：若，則，
可得與不垂直，所以不是平面的一個法向量，故D錯誤；
故選：A.
7．【多選】（2023·江蘇·高二專題練習）在如圖所示的坐標系中，為正方體，則下列結論中正確的是 （ ）

A．直線 的一個方向向量為
B．直線的一個方向向量為
C．平面的一個法向量為
D．平面的一個法向量為
【答案】ABD
【分析】寫出點的坐標，AB選項，得到，，AB正確；CD選項，根據求平面法向量的方法進行求解.
【詳解】設正方體棱長為，
則，
A選項，，故選項A正確；
B選項，，故選項B正確；
C選項，因為平面即為坐標平面，所以與軸平行的向量均為它的法向量，故選項C錯誤；
D選項，．設平面的一個法向量， 則
，取，得，
所以是平面的一個法向量．
故選項D正確．
故選：ABD．
8．（2023·江蘇·高二專題練習）《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標系，則平面的一個法向量為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，設，可得、、的坐標，由此可得向量、的坐標，由此可得關于、、的方程組，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．
【詳解】根據題意，設，則，，，
則，，
設平面的一個法向量為，
則有，令，可得，則.
故選：B．
9．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD為正方形，E為PC的中點，點F在PB上，問點F在何位置時，為平面DEF的一個法向量

【答案】F為線段PB的一個三等分點（靠近P點）．
【分析】以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設DA＝2，求出點的坐標，由，可得，設，，得，由＝0即可求得F的位置．
【詳解】以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

設DA＝2，則，
∴，,
∵，∴，
設，，∴，∴
∴，∴
∵＝0，∴，∴，
∴F為線段PB的一個三等分點(靠近P點)．
10．（2023·江蘇·高二專題練習）已知平面α內兩向量，且.若為平面α的法向量，則m，n的值分別為（　　）
A．-1，2 B．1，-2
C．1，2 D．-1，-2
【答案】A
【分析】求出向量的坐標后，利用向量是平面的法向量，得，利用坐標運算列出方程組，求解即可.
【詳解】
，
由為平面α的法向量，得,即
解得
故選：A.
11．（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線的方向向量為，平面的法向量為.若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】根據題意得到，進而得到方程組，求得的值，即可求解.
【詳解】由直線的方向向量為，平面的法向量為，
因為，可得，所以，
即，解得，所以.
故選：A.
12．（2023秋·高二課時練習）四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求平面SCD和平面SAB的法向量.
【答案】=（1，0，0）是平面SAB的法向量，即為平面SCD的法向量.
【分析】建坐標系，寫出坐標，利用向量數量積為零求得法向量.
【詳解】因為AD∥BC，∠ABC=90°，所以,
因為SA⊥平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，
所以AD，AB，AS是三條兩兩垂直的線段，以A為原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示，則A（0，0，0），D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），
于是，，.

所以是平面SAB的法向量.
設平面SCD的一個法向量為，
則，解得.
又，解得.
所以即為平面SCD的法向量.
考點三 利用空間向量證明線線平行
13．（2023春·高二課時練習）已知直線的方向向量分別為和，若，則 .
【答案】
【分析】利用兩直線平行法向量的關系及向量共線定理即可求解.
【詳解】因為，
所以，即
所以，解得，
故答案為：.
14．（2023春·高二課時練習）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.證明：PQ∥RS.
【答案】證明見試題解析．
【分析】方法一：以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得，即可得到.
方法二：建立空間直角坐標系，利用向量的運算，求得-+,+-，從而得到，即可得到.
【詳解】方法一：以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.
則P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),
=(-3,2,1),=(-3,2,1),∴,∴∥,即PQ∥RS.
方法二：+-+,
++-,∴,
∴∥,即RS∥PQ.
【點睛】本題主要考查了空間向量在線面位置關系中的應用，對于空間向量判定兩條直線平行時，通常建立適當的空間直角坐標系，利用向量的運算得到兩條直線的方向向量平行（共線），進而得到兩直線平行，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.
15．（2023春·高二課時練習）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為DD1和BB1的中點.求證：四邊形AEC1F是平行四邊形.
【答案】證明見解析.
【分析】建立合適的空間直角坐標系，計算得出并結合即可得證.
【詳解】如下圖，以點D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
不妨設正方體的棱長為1，則,
所以,
所以，
所以，
又因為,
所以，
所以四邊形AEC1F是平行四邊形.
考點四 利用空間向量證線面平行
16．（福建省廈門市2022-2023學年高二下學期期末質量檢測數學試題）已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則 .
【答案】
【分析】依題意可得，則，根據數量積的坐標表示得到方程，即可得解.
【詳解】因為直線的一個方向向量，平面的一個法向量且，
所以，所以，即，
所以.
故答案為：
17．（2023·全國·高三專題練習）設是平面的一個法向量，是直線l的一個方向向量，則直線l與平面的位置關系是（ ）
A．平行或直線在平面內B．不能確定 C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】A
【分析】判斷兩個向量的位置關系即可得解.
【詳解】因為，所以，
所以直線l與平面的位置關系是平行或直線在平面內.
故選：A.
18．（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，可得，再利用空間向量垂直的坐標表示求解作答.
【詳解】因為，則，而，，
因此，解得.
故選：D
19．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點.分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz.

(1)求點E、F的坐標；
(2)求證：EF∥平面ACD1.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據坐標系，利用坐標的定義，可得結論；
（2）求出、的坐標，可得，從而可得線線平行，即可得到線面平行．
【詳解】（1）由題意，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點，
∴，
（2），，
，，
∴，∴AC∥EF，
∵EF 平面ACD1，AC 平面ACD1，
∴EF∥平面ACD1．
20．（2023·全國·高一專題練習）如圖，四棱錐中，側面PAD為等邊三角形，線段AD的中點為O且底面，，，E是PD的中點．證明：平面.
【答案】證明見解析
【分析】建立空間直角坐標系，求出的方向向量和平面的法向量即可證明.
【詳解】因為在底面 內，，所以，
連接，因為為的中點，，所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因為，所以，
因為底面，底面，所以，
所以以為原點，分別以為軸建立如圖空間直角坐標系，
因為側面PAD為等邊三角形，，
所以，，，，，
因為E是PD的中點，所以，
所以，，，
設平面的法向量為，則
，令，得，
因為，所以，
又因為平面，所以平面.
21．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.
【答案】證明見解析
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明即可.
【詳解】如圖所示，以點為坐標原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
則，
若，則，，
因為平面，平面，所以，
又因為，，平面，
所以平面
平面的其中一個法向量為，
所以，即，
又因為平面，
所以平面.
22．（2023·全國·高二專題練習）如圖，設P為長方形ABCD所在平面外一點，M在PD上，N在AC上，若，用向量法證明：直線MN∥平面PAB.

【答案】證明見解析
【分析】建立空間坐標系，設A，C，P三點坐標，用此三點的坐標表示出，，，然后觀察能否用表示出即可判斷線面是否平行．
【詳解】建立如圖所示的空間坐標系，

設，則，
∴，
，
∵，∴，設λ，
則λ ，．
∴，
∴．
∵BP 平面PAB，BA 平面PAB，MN 平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
23．（2023春·江西贛州·高二江西省龍南中學?？计谀┮阎忾L為的正方體中，點P滿足，其中，．當平面時，的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根據給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量結合線面平行求出的關系，再借助二次函數求出向量模的最小值作答.
【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
，于是，
即有，向量是平面的一個法向量，
，則，而，
于是，因為平面，則，
即，化簡得，即，
因此，當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故選：C
24．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習）如圖， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】如圖所示，以為坐標原點， 的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，求得平面EFC的一個法向量為，設，得，根據平面EFC，即可求解.
【詳解】
如圖所示，以為坐標原點， 的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，
由題意可得 ,，
則,
所以，
設平面EFC的法向量為，
則，解得， 令，則，
所以平面EFC的一個法向量為.
因為平面EFC，則，
設，則，所以，
解得，所以，即.
故選：C
考點五 利用空間向量證面面平行
25．（2023秋·高二課時練習）若平面，則下面選項中可以是這兩個平面法向量的是（　?。?br/>A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】D
【分析】平面，則兩個平面的法向量平行，即可得答案.
【詳解】因為平面，所以兩個平面的法向量應該平行，即存在，，只有D項符合.
故選： D.
26．（2023·江蘇·高二專題練習）若平面與的法向量分別是，，則平面與的位置關系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．無法判斷
【答案】A
【分析】利用平面法向量的位置關系，即可判斷兩平面的位置關系.
【詳解】因為，是平面與的法向量，
則，所以兩法向量平行，則平面與平行.
故選：A
27．（2023春·高二課時練習）若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且，則 .
【答案】
【分析】利用兩平面平行法向量的關系及向量共線定理即可求解.
【詳解】因為，
所以，
所以，即，
所以，解得，
所以.
故答案為：.
28．（2023·江蘇·高二專題練習）已知平面α和平面β的法向量分別為，，則（　?。?br/>A．α⊥β B．α∥β
C．α與β相交但不垂直 D．以上都不對
【答案】B
【分析】根據兩個平面法向量的關系即可判斷兩個平面的位置關系，從而得出結果.
【詳解】因為平面的法向量為，平面的法向量為，可得，所以，即平面平面，
故選：B.
29．【多選】（2023秋·海南·高三校聯考期末）如圖，在正方體中，，，，均是所在棱的中點，則下列說法正確的是（ ）

A． B．平面
C．平面平面 D．
【答案】ABC
【分析】根據已知條件建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，分別求出直線的方向向量和平面和平面的法向量，利用空間直線的方向向量與平面的法向量的關系即可求解.
【詳解】依題意，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示

不妨設正方體的棱長為，則
所以，
所以，即，亦即，故A正確；
所以，
設平面的一個法向量為，則
，即，令，則，
所以，
所以，即，
又平面，
所以平面，故B正確；
所以，
設平面的一個法向量為，則
，即，令，則，
所以，
所以，即，
所以平面平面，故C正確；
所以,
所以和不平行，故D錯誤.
故選：ABC.
30．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，正四棱的底面邊長1，側棱長4，中點為，中點為．求證：平面平面.

【答案】證明見解析
【分析】以為原點，，，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證，同理，再結合面面平行判定定理即可證明結論.
【詳解】以為原點，，，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖

則,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，
，，同理，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又平面
平面與平面平行．
31．（2023春·高一課時練習）如圖，從所在平面外一點O作向量，，，.求證：
(1)，，，四點共面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用共面向量定理證明，由可得四點共面；
（2）利用共線向量定理，可得：，，從而利用面面平行的判定定理即可證明.
【詳解】（1）證明：因為從所在平面外一點O作向量，，，，
所以，
所以
，
故，，，四點共面，證畢.
（2）證明：，從而，
∵平面，平面，
∴平面，
由（1）知，
∵平面，平面，
∴平面，
因為，平面，
所以平面平面.
考點六 利用空間向量證明線線垂直
32．（2023春·高二課時練習）設的一個方向向量為，的一個方向向量為，若，則m等于（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【分析】由，可得其兩直線的方向向量垂直，結合空間向量的坐標運算求解.
【詳解】因為，即，
可得，解得.
故選：B.
33．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在直棱柱中，，，分別是，，的中點．求證：；
【答案】證明見解析
【分析】根據直棱柱的幾何性質建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.
【詳解】因為三棱柱是直三棱柱，
所以面，又面，故，
因為，所以，則兩兩垂直，
故以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，
則，
故，所以，
所以，故.
34．（2023春·四川樂山·高二期末）如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】如圖建立以A為原點的空間直角坐標系.依次判斷各選項是否滿足即可.
【詳解】如圖建立以A為原點的空間直角坐標系，設正方體邊長為.
A選項，，
則，則，故A錯誤；

B選項，，
，則，故B錯誤；

C選項，，
，則，即，故C正確；

D選項，
，則，故D錯誤.

故選：C
35．（2023春·江西吉安·高二寧岡中學校考期末）如圖，已知空間幾何體的底面ABCD是一個直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD與底面成角．

(1)若，求該幾何體的體積；
(2)若AE垂直PD于E，證明：；
(3)在（2）的條件下，PB上是否存在點F，使得，若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)存在．
【分析】建立空間直角坐標系，
（1）求出，利用可得，再求體積即可；
（2）求出坐標，可得答案；
（3）由，求出E點的豎坐標、點的豎坐標，設，由，得可得答案．
【詳解】（1）如圖，建立空間直角坐標系，則，，
，
，
此時；
（2），
，
；
（3）由，E點的豎坐標為，點的豎坐標為，
設，由，得，存在．

考點七 用空間向量證明線面垂直
36．（2023·江蘇·高二專題練習）設直線的方向向量為，，，為平面的三點，則直線與平面的位置關系是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根據線面垂直的向量法即可判斷.
【詳解】依題意，，所以，．
因此，，即，．又，所以．
故選：C．
37．（2023春·高二課時練習）已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為，若l⊥α，則實數λ的值為 ．
【答案】/
【分析】根據題意可得與共線，結合空間向量共線的坐標關系分析運算.
【詳解】因為l⊥α，所以與共線，
則存在實數m使得，且，
可得，解得，
故答案為：.
38．（2023秋·廣東陽江·高二陽江市陽東區第一中學校考期中）已知是直線l的方向向量，是平面的法向量.若，則實數a，b的值是（ ）
A．a=1，b=7 B．a=5，b=1 C．a=-5，b=1 D．a=5，b=-1
【答案】D
【分析】根據給定條件，可得，再利用共線向量列式求解作答.
【詳解】依題意，，而，，
于是，即，解得，
所以.
故選：D
39．（2023·全國·高二專題練習）四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，.
(1)求證：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據兩個向量的數量積為0，可以判斷出AP⊥AB且AP⊥AD，進而根據線面垂直的判定定理得到PA⊥底面ABCD；
（2）根據向量加法的三角形法則，可以求出向量PC的坐標，進而代入向量模的計算公式，得到答案．
【詳解】（1）∵，
∴，，
∴，，
即AP⊥AB且AP⊥AD，
又∵AB∩AD＝A，平面ABCD
∴AP⊥平面ABCD.
（2）∵，
∴，，
∴．
40．（2023秋·河南南陽·高二?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，底面，且底面為直角梯形，，， ，，為的中點.
(1)求證：BE//平面PAD
(2)求證：平面PCD
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）取的中點，連接,先利用平行四邊形性質證明，再利用線面平行的判定定理即可求解；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量垂直關系即可求解.
【詳解】（1）如圖所示：,
取的中點，連接,則有，
又，，，
,
,
四邊形為平行四邊形，
，
又
BE//平面PAD.
（2）由題知，三條直線兩兩垂直，
以為空間直角坐標系的原點，射線所在的方向分別為
的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示：
則有：，，
所以，，，，
所以，，
，
所以，，
即，，又，
所以，平面PCD.
41．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.
(1)求證：.
(2)求證：平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用面面垂直性質定理證明平面，然后以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標法證明線線垂直；
（2）先求出平面的法向量，然后利用直線AM的方向向量與法向量共線即可證明線面垂直.
【詳解】（1）因為四邊形為矩形，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又四邊形為正方形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，
建立空間直角坐標系，
由，，得，，，，
，，.
所以，，
所以，所以，
所以
（2）由（1）知，，，.
設是平面的法向量，則，，
所以，得，
取，得，，則.
因為，所以，即與共線.
所以平面.
考點八 利用空間向量證明面面垂直
42．【多選】（2023春·甘肅白銀·高二?？计谥校┫铝欣梅较蛳蛄?、法向量判斷線、面位置關系的結論中，正確的有（ ）
A．若兩條不重合的直線，的方向向量分別是，，則
B．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則
C．若直線的方向向量是，平面的法向量是，則
D．若兩個不同的平面，的法向量分別是，，則
【答案】BD
【分析】根據向量與不平行，可判定A錯誤；由，可判定B正確；由，可判定C不正確；由，可判定D正確.
【詳解】對于A中，由直線，的方向向量分別是，，
設，可得，此時方程組無解，即與不平行，
所以與不平行，所以A錯誤；
對于B中，由直線的方向向量是，平面的法向量是，
可得，所以，所以，所以B正確；
對于C中， 由直線的方向向量是，平面的法向量是，
可得，可得，所以或，所以C不正確；
對于D中，由兩個不同的平面，的法向量分別是，，
可得，所以，則，所以D正確.
故選：BD.
43．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求證：平面DEA⊥平面ECA.
【答案】證明見解析
【分析】建系，分別求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空間向量證明面面垂直.
【詳解】證明：建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，不妨設CA＝2，則CE＝2，BD＝1，
則，
所以，
設平面ECA的一個法向量是，
則，
取，則，即，
設平面DEA的一個法向量是，
則，
取，則，即，
因為，所以，
所以平面DEA⊥平面ECA.
44．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，面，在四邊形中，，點在上，.求證：
(1)CM面；
(2)面面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）建立空間直角坐標系，根據向量的坐標運算，由法向量與方向向量的關系即可證明線面平行，
（2）根據空間向量垂直可證明線面垂直，進而根據面面垂直的判斷定理即可求證.
【詳解】（1）以點為坐標原點，所在直線分別為軸 軸 軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.
設為平面的一個法向量，
由 得 令，得，
，則，又平面，
平面.
（2）如圖，取的中點，連接，
則.
.
又，
，又平面,
平面，又平面，
平面平面
45．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在五面體ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若.
(1)求五面體ABCDEF的體積；
(2)若M為EC的中點，求證：平面平面AMD.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）取AD中點N，連接EN，，易證得EN⊥平面ABCD，五面體的體積棱柱的體積棱錐的體積，分別求出棱柱的體積和棱錐的體積即可得出答案.
（2）證法1：以A為坐標原點，以，，為軸正半軸建立空間直角坐標系.由垂直向量的坐標運算可證得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可證明；證法2：由題意證得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可證明；
【詳解】（1）因為，取AD中點N，連接EN，，
因為，所以，
又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，，
所以EN⊥平面ABCD，又因為，即，，
平面，所以平面，
所以為底面是等腰直角三角形的直棱柱，
高等于1，三棱錐是高等于1底面是等腰直角三角形.
五面體的體積棱柱的體積棱錐的體積.
即：
（2）證法1：以A為坐標原點，以，，為軸正半軸建立空間直角坐標系.
點，，，，
所以
得到：
所以，，平面AMD，
所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD.
證法2：因為，所以為等腰三角形，M為EC的中點，所以；
同理在中，，（N為AD中點）又AM、MN平面AMD，
，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，
平面⊥平面AMD.
考點九 利用空間向量解決平行、垂直的綜合問題
46．（2023春·內蒙古呼和浩特·高一?？计谀┤鐖D，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，為的中點．

(1)求證：平面；
(2)求證：平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）通過中位線得到線線平行，利用判定定理可證或利用法向量證明線面平行；
（2）利用面面垂直的性質得到線面垂直，結合線面垂直的判定可證或利用直線的方向向量與平面的法向量平行可證.
【詳解】（1）解法一：證明：取中點，連結，，
由三角形中位線性質可得且，
又因為且，所以且，
所以是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面．

解法二：證明：因為平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以．
如圖，以為原點，以，， 的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，則
．
因為，易知為平面的一個法向量．

因此，所以．
又平面，所以平面．
（2）解法一：證明：因為，，，
所以，所以．
因為平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以．
又，平面，所以平面．
解法二：由（1）可得，，．
設平面的一個法向量， 則
，取，得，
所以是平面的一個法向量．
因此，所以平面．
47．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在多面體中，，，都是邊長為2的等邊三角形，平面平面，平面平面．

(1)判斷，，，四點是否共面，并說明理由；
(2)在中，試在邊的中線上確定一點，使得平面．
【答案】(1)，，，四點共面，理由見解析
(2)為中點
【分析】（1）取的中點，取的中點，連接，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，設，由，求得，得到向量，得出，即可得到，，，四點共面；
（2）設，得到，根據平面，列出方程，求得，即可求解.
【詳解】（1）答案：四點共面.
證明：取的中點，連接，，取的中點，連接，
則在等邊三角形中，，
又因為平面平面，所以平面，
同理，得平面，平面，
所以，，兩兩垂直，且，
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標系，如圖所示，
則，，，，，
設，由，即，
解得，，，所以，所以，
又由，，所以，
所以，，共面，
因為為公共點，所以，，，四點共面.
（2）解：設，故，
若平面，則，即，解得，
所以為中點時，平面．

48．（2023春·福建漳州·高二統考期末）如圖所示的幾何體中，平面平面為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點滿足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2)存在，.
【分析】（1）通過求證，由線面平行的判定定理即可求證；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解.
【詳解】（1）四邊形是平行四邊形，
.
平面平面
平面.
（2）取的中點為.
平面平面平面，平面平面,
平面.
以點為坐標原點，分別以直線為軸，軸建立空間直角坐標系，則軸在平面內,

，
，，
.
設平面的法向量為
即
令，則.
，
.
又平面的法向量為平面，
∴.
∴在線段上存在點，使平面，且的值是.
49．（2023秋·高二課時練習）如圖所示，在直三棱柱中，側面和側面都是正方形且互相垂直，為的中點，為的中點.求證：

(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意建立空間直角坐標系，利用線面垂直的判定得到平面.然后利用向量的數量積為零得到，進而得證；
（2）分別求出平面與平面的法向量，利用向量的數量積為零得到，進而得到平面平面.
【詳解】（1）由題意，知兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設正方形的邊長為2，則，，，，，，， .
由題意知，，
又因為，平面，
所以平面.
因為，，所以，即.
又因為平面，故平面.
（2）設平面與平面的法向量分別為，.因為，，
所以，即，
令，則平面的一個法向量為.
因為，
可得，即，
令，則平面的一個法向量為.
因為，
所以，所以平面平面.
考點十 探索性問題
50．（2023秋·遼寧大連·高二大連市第二十三中學校考階段練習）在多面體中，正方形和矩形互相垂直， 分別是和的中點，.
（1）求證：平面.
（2）試問在邊所在的直線上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且.
【分析】（1）結合面面垂直的性質定理來證得平面.
（2）建立空間直角坐標系，設出點坐標，利用向量法，結合平面來求得點的坐標，進而求得的長.
【詳解】（1）由于正方形和矩形互相垂直，且交線為，
，根據面面垂直的性質定理可知平面.
（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
，設.
，
設平面的法向量為，
則，故可設,
若平面，則，
所以存在使平面，
所以，.
51．（2023·高二課時練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，．
(1)求證：平面．
(2)在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析；(2)存在，的值為.
【分析】(1)首先利用面面垂直的性質證明，然后結合已知條件利用線面垂直的判定定理即可證明；(2)首先假設存在點，根據已知條件和(1)中結論，建立空間直角坐標系，利用平面的法向量與垂直求解即可.
【詳解】(1)因為平面平面，且平面平面，，
平面，所以平面，
因為平面，所以，
又因為，，
所以平面.
(2)假設在棱上是否存在點，使得平面，
取中點，連接，，如下圖：
因為，，
所以，，
從而，故平面，
又因為平面平面，且平面平面，
所以平面，
以為坐標原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，如下圖：
由題意可知，，，，，
設，因為點在棱上，故，，
所以，故，
設平面的法向量為，
故，令，則，，
從而平面的法向量可以取，
因為平面，
所以，解得，，
故假設成立，存在這樣的點，使得平面，此時，
即，從而.
52．（2023秋·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體中，點E為BC的中點．
(1)在B1B上是否存在一點P，使平面？
(2)在平面上是否存在一點N，使平面？
【答案】(1)不存在
(2)存在
【分析】（1）如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設點，由可得答案；
（2）設，由可得答案.
【詳解】（1）如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則點A(1，0，0)，E，，
，＝．
假設存在點滿足題意，于是，
所以 ，所以，
解得與矛盾，
故在上不存在點使平面．
（2）假設在平面上存在點N，使平面．
設，
則，因為，
所以，解得，
故平面AA1B1B上存在點N，使平面．
53．（2023·高二課時練習）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，底面ABCD，垂足為A，，點M在棱PD上，平面ACM．

(1)試確定點M的位置；
(2)計算直線PB與平面MAC的距離；
(3)設點E在棱PC上，當點E在何處時，使得平面PBD？
【答案】(1)點M為PD中點
(2)
(3)點E為PC中點
【分析】（1）設，則O這BD的中點，設點M為PD中點，在△PBD中，，由此能夠確定M的位置使平面ACM．
（2）設，則，由底面ABCD是正方形，底面ABCD，知，，，，故，利用等積法能夠求出直線PB與平面MAC的距離．
（3）以A為原點，AB、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出當點E為PC中點時，平面PBD．
【詳解】（1）連，則O為BD的中點，連接，
因為平面，平面平面，
又平面PBD，于是，
所以點M為PD中點．
（2）因為，則，
底面ABCD是正方形，有，底面ABCD，，
而，則平面，又平面，
因此，∴，，，
∴，∴，
取AD的中點F，連接MF，
則，平面ABCD，且，
∵平面ACM，M為PD的中點，
∴直線PB與平面MAC的距離為點D到平面MCA的距離，設為h，
∵，
∴，解得h．
（3）以A為原點，AB、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則，
∴，，
設平面PBD的法向量，則，
∴，∴，
設，設，則，
則，則，
即，
∵平面PBD，
∴，∴，解得，∴E為PC中點．
故當點E為PC中點時，平面PBD．

54．（2023春·廣東汕尾·高二陸豐市龍山中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，是的中點．
(1)求證：平面．
(2)若，線段上是否存在一點，使平面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，理由見解析.
【分析】（1）連結交于點，可知.然后根據線面平行的判定定理，即可得出平面；
（2）先證明平面．以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，設，求出點的坐標，然后得到.求出平面的法向量，根據得出的值，根據數乘向量的模，即可得出答案.
【詳解】（1）
如圖1，連結交于點.
因為是正方形，所以是的中點，
又是的中點，所以.
因為平面，平面，
所以平面.
（2）存在，理由如下：
因為平面，平面，所以．
因為為正方形，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
以點為坐標原點，過點作的平行線為軸，分別以為軸，
建立空間直角坐標系，如圖2，
則，，，，，，
所以.
令，
則,
所以，所以.
因為，，
設是平面的一個法向量，
則，所以，
取，則是平面的一個法向量.
因為平面，所以，
所以有，解得，所以.
因為，
所以.
55．（2023春·四川成都·高一石室中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，為中點.

(1)求證：平面；
(2)在棱上是否存在點，使得 若存在，求的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)在棱上存在點，使得，.
【分析】（1）根據線面平行的判定定理即可證明結論；
（2）建立空間直角坐標系，求得相關點和向量的坐標，設點M坐標并用參數表示，利用向量垂直的坐標表示可求得參數的值，即可得出結論，求得答案.
【詳解】（1）設交與點F，連接，

因為底面為矩形，所以F為的中點，
又為中點，故，
而平面，平面，
故平面；
（2）在棱上存在點，使得；
取的中點為O，連接,
因為底面為矩形，故，
，故O為的中點，則，而F為的中點，
故；
又平面平面，平面，平面平面，
故平面，
故以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
設，則，
即，則，可得，
故，
因為，故，即，
解得，
即在棱上存在點，使得，此時.

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