資源簡介

新教材 湘教版2019版數學必修第一冊
第1章知識點清單
目錄
第1章　集合與邏輯
1.1　集合
1. 1. 1　集合
1. 1. 2　子集和補集
1. 1. 3　集合的交與并
1.2　常用邏輯用語
1. 2. 1　命題
1. 2. 2　充分條件和必要條件
1. 2. 3　全稱量詞和存在量詞
1. 1　集合
1. 1. 1　集合
一、集合與元素
1. 集合與元素
在數學語言中，把一些對象放在一起考慮時，就說這些對象組成了一個集合或集.
這些對象中的每一個，都叫作這個集合的一個元素.
2. 集合具有的基本屬性
(1)互異性：同一集合中的元素是互不相同的.
(2)確定性：集合中的元素是確定的.
(3)無序性：集合中的元素沒有順序.
3. 元素與集合的關系
關系 語言表達 符號表示 讀法
屬于 a是集合S的一個元素 a∈S a屬于S
不屬于 a不是集合S的元素 a S(或a S) a不屬于S
(1)a∈S與a S取決于a是不是集合S中的元素，在a∈S與a S這兩種情況中，必有一種且只有一種成立.
(2)符號“∈”“ ”只能用在元素與集合之間，表示元素與集合之間的歸屬關系.
二、常用數集與集合的分類
1. 常用數集及其記法
常用的數集 自然數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N Z Q R
通常用R+表示全體正實數組成的集合；類似的有R-，Z+，N+，Q-，…
2. 集合的分類
(1)有限集：元素個數有限的集合.
(2)無限集：元素無限多的集合.
注意：沒有元素的集合叫空集，記作 ；空集也是有限集.
三、表示集合的方法
1. 列舉法
把集合中的元素一一列舉出來的方法叫作列舉法. 列舉法表示的集合的結構如下：
2. 描述法
　　把集合中元素共有的，也只有該集合中元素才有的屬性描述出來，以確定這個集合的方法叫作描述法. 描述法表示的集合的一般結構如下：
四、區間的概念及表示
1. 設a，b是兩個實數，a名稱 符號 數軸表示
閉區間 [a，b]
開區間 (a，b)
左閉右開區間 [a，b)
左開右閉區間 (a，b]
2. 實數集R可以用區間表示為(-∞，+∞)，滿足條件x≥a，x>a，x≤b，x五、集合中元素的特性及應用
1. 確定性. 它是確定一些對象能否構成集合的重要依據，構成集合的元素需有明確
的標準，不能模棱兩可.
2. 互異性. 它是決定集合中元素互不相同的依據，意味著集合中不能有重復元素.
在含參數的集合問題中，尤其要注意應用互異性檢驗所求得的參數的值是否合理.
3. 無序性. 集合中的元素可以交換順序，解題過程中僅改變元素順序并沒有改變集
合.
4. 由集合中元素的特性求解參數的值的步驟：
六、集合的表示方法
集合的表示方法有列舉法和描述法，它們各有優缺點，應根據具體問題進行選擇，一般遵循最簡原則.
1. 列舉法的適用范圍
(1)元素個數少時，一般可全部列舉出來，如{1，2，3，4}.
(2)元素個數多且有限時，若可以將元素按某種規律排列，則可采用列舉部分元素，
中間用省略號表示的方法，如“從1到1 000的所有自然數”可以表示為{1,2,3,…,1000}
(3)元素個數無限但有規律時，也可以結合省略號采用列舉法，如自然數集N可以
表示為{0，1，2，3，…}.
2. 用描述法表示集合時的注意點
(1)寫清楚集合中的代表元素，如數或點等.
(2)說明該集合中元素所具有的共同特征.
(3)不能出現未經說明的字母.
(4)所有描述的內容都要寫在大括號內，語言要力求簡潔、準確.
(5)“{}”有“所有”“全體”的含義，如{x|x為自然數}即代表自然數集N，不能表示為{x|x為所有自然數}或{N}.
七、與方程有關的集合問題
1. 與方程有關的集合問題中，往往用集合表示方程的解，集合中的元素就是方程的實數根.
(1)當方程中含有參數時，一般需對參數進行分類討論，如在研究方程ax2+bx+c=0
(a，b不同時為0)的解時，需分a=0和a≠0兩種情況討論.
(2)在根據方程根的情況確定參數的值或取值范圍時，還需要對集合中元素的互異性進行檢驗.
1. 1. 2　子集和補集
一、子集、集合相等、真子集
二、全集與補集
1. 全集
　　如果在某個特定的場合，要討論的對象都是集合U的元素和子集，就可以約定
把集合U叫作全集(或基本集).
2. 補集
自然語言 若A是全集U的子集，U中不屬于A的元素組成的子集叫作A的補集，記作 UA
符號語言 UA={x|x∈U，且x A}
圖形語言
運算性質 UU= ， U =U， U( UA)=A
(1)研究一個集合A的補集須有兩個前提條件：一是全集U是確定的，二是A U. 不能脫離這兩個條件研究補集.
(2)補集不僅體現了集合間的關系，還是集合的一種基本運算. 有些數學問題，當正
面解決比較困難時，可以考慮先解決其對立情形，再反過來便可解決原問題，即
“正難則反”，這種思想就是補集思想.
三、集合間的關系
1. 判定兩集合間基本關系的方法和關鍵

四、探究已知集合的子集個數
1. 若集合A中含有n(n∈N+)個元素，則：
(1)A的子集個數是2n；
(2)A的非空子集個數是2n-1；
(3)A的真子集個數是2n-1；
(4)A的非空真子集個數是2n-2.
2. 若有限集合A，B中分別含有m個，n個元素(m，n∈N+，m≤n)，且A C B，則符合條件的有限集C的個數為2n-m.
3. 寫出給定集合的子集的兩個注意點：
(1)按子集中元素個數的多少，以一定的順序來寫，以免重復或遺漏.
(2)要注意空集和集合本身也是該集合的子集.
五、已知集合間的關系求參數
1. 根據集合間的關系求參數的值或取值范圍的方法
(1)若集合是用列舉法表示的，則根據集合間元素的關系，列方程(組)求解，同時注
意考慮集合中元素的互異性；若集合是結合不等式描述的，則利用數軸列不等式
(組)求解，同時還要注意驗證端點值的取舍.
(2)涉及“A B”或“A B”的問題，若集合A中含有參數，通常要分A= 和A≠ 兩種情況進行討論，其中A= 的情況容易被忽略，應引起足夠的重視.
六、“補集思想”的運用
“正難則反”策略在集合中運用的就是補集思想，即已知全集U，求其子集A時，若直接求A較困難，則可先求 UA，再利用 U( UA)=A求A.
1. 運用補集思想解題的方法一般適用于正面考慮的情況較多、問題較復雜時，或含有至多、至少、存在唯一、不存在等詞的問題中.
2. 用補集思想解含參問題的步驟：
(1)確定問題的反面；
(2)求問題的反面對應的參數的取值集合；
(3)取問題的反面對應的參數取值集合的補集，此時應特別注意全集的范圍.
1. 1. 3　集合的交與并
一、交集
在數學里，把所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”，即A∩B={x|x∈A且x∈B}. 用韋恩圖表示為：
二、并集
把集合A，B中的元素放在一起組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B}. 用韋恩圖表示為：
三、交集與并集的運算性質
交集的運算性質 并集的運算性質
A∩A=A A∪A=A
A∩ = A∪ =A
A∩B=B∩A A∪B=B∪A
四、集合的綜合運算
1. 解決集合交、并、補運算的技巧
(1)如果所給集合是有限集，那么可先把集合中的元素一一列舉出來，然后結合交集、并集、補集的定義來求解. 在解答過程中常常借助于韋恩圖.
(2)如果所給集合是無限集，那么常借助于數軸，把已知集合均表示在數軸上，然后
進行交集、并集、補集的運算. 解答過程中要注意端點值的取舍.
2. 德·摩根定律
　　德·摩根定律包含集合運算中的兩個重要等式.
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB).
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
五、集合中元素的個數問題
　　我們將有限集合A所含元素的個數用card(A)表示，并規定card( )=0. 一般地，
對任意兩個有限集合A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
對任意三個有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A
∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).

六、利用集合的運算性質求參數的值或取值范圍
1. 利用解方程(組)或解不等式(組)來確定參數的值或取值范圍時，需注意兩點：
(1)涉及A∪B=A或A∩B=B的問題，可利用集合的運算性質，轉化為集合之間的包
含關系求解，此時要注意空集的特殊性.
(2)在求解參數的取值范圍時，要特別注意取值范圍的邊界值能否取到.
1. 2　常用邏輯用語
1. 2. 1　命題
一、命題
定義 一般說來，命題就是一個陳述句. 這些陳述句的共同特征是作出了判斷，這種判斷可能成立，也可能不成立，兩者必居其一且僅居其一
分類 真命題：成立的命題
假命題：不成立的命題
命題的否定 如果p是一個命題，則“p不成立”也是一個命題，
叫作p的否定，記作 p，讀作“非p”
命題的結構 在數學中，命題都可以寫成“若p，則q”的形式，
其中p叫作命題的條件，q叫作命題的結論
逆命題 將命題的條件和結論互換位置后，稱其中一個命題是另一個命題的逆命題
二、命題真假的判斷
1. 真命題：判斷一個命題為真命題時，必須經過嚴格科學的推理論證，才能得出結
論，常會涉及學習過的概念、定理、公理、法則、公式等.
2. 假命題：判斷一個命題為假命題時，只要舉出一個反例即可.

三、命題的否定
　　對于命題的否定，要注意一些常見否定詞語的使用，下面是常用的正面敘述
詞語及對應的否定詞語.
原詞語 等于(=) 小于(<) 有 是 都是
否定詞語 不等于(≠) 不小于(≥) 沒有 不是 不都是
原詞語 至少有一個 至多有一個 至多有n個
否定詞語 一個也沒有 至少有兩個 至少有(n+1)個
1. 2. 2　充分條件和必要條件
一、充分條件和必要條件
　當“若p，則q”成立，即p q時，把p叫作q的充分條件，q叫作p的必要條件.
　若pq，則p不是q的充分條件，q也不是p的必要條件.
(1)p q可以理解為若p成立，則q一定也成立，即p對于q的成立是充分的；反過來，若q不成立，則p必不成立，即q對于p的成立是必要的.
(2)五種等價表述形式：①p q；②p是q的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p的必要條件；⑤p的必要條件是q.
二、充要條件
　　如果既有p q，又有q p，就記作p q. 即p既是q的充分條件，又是q的必要條件，此時我們稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件. 當然，此時q也是p的充分必要條件.
　　換句話說，如果一個命題和它的逆命題都成立，則此命題的條件和結論互為充分必要條件.
一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件；每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件；每一條數學定義都給出了相應數學結論成立的一個充要條件.
三、充分條件、必要條件和充要條件的判斷
1. 充分條件、必要條件和充要條件判斷的常用方法
(1)定義法：直接利用定義進行判斷.
(2)利用集合間的包含關系進行判斷. 若設p對應的集合為A，q對應的集合為B，則：
記法 A={x|p(x)}，B={x|q(x)}
關系 A B B A A=B A B且B A
圖示
結論 p是q的充分而不必要條件 p是q的必要而不充分條件 p，q互為充要條件 p是q的既不充分又不必要條件
四、充分條件、必要條件的證明與探究
1. 充要條件的證明
(1)證明p是q的充要條件時，既要證明命題“p q”為真，又要證明命題“q p”為真，前者證明的是充分性，后者證明的是必要性. (注意與“p的充要條件是q”的區別)
(2)證明充要條件也可以利用等價轉化法，即把條件和結論進行等價轉化，注意轉
化過程中必須保證前后是能互相推出的.
2. 探求充分條件、必要條件的注意點
(1)分清條件和結論，明確探求的方向.
(2)分析題目中的已知條件和隱含條件，進行等價轉化，得到使結論成立的充要條件.
(3)利用集合之間的包含關系，探求使結論成立的必要而不充分條件或充分而不必要條件等.
五、利用充分條件、必要條件確定參數的值(取值范圍)
　　應用充分條件、必要條件求解參數問題時，一般結合充分條件、必要條件將問題轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的方程(組)或不等式(組)求解即可. 最后確定范圍時為避免漏解或多解，要注意對解集端點值進行檢驗.
1. 2. 3　全稱量詞和存在量詞
一、全稱量詞與全稱命題
全稱量詞 “任意”“所有”“每一個”等在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“ ”表示
全稱命題 語句“對M的任一個元素x，有p(x)成立”叫作全稱命題，用符號簡記為 x∈M，p(x)
二、存在量詞與特稱命題
存在量詞 “存在某個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“ ”表示
特稱命題 語句“存在M的某個元素x，使p(x)成立”叫作特稱命題，用符號簡記為 x∈M，p(x)
　　注意：涉及量詞的命題必須指出量詞的作用范圍.
三、含量詞命題的否定
命題的類型 命題的符號表示 命題的否定的符號表示 命題的否定的類型
全稱命題 x∈I，p(x) x∈I， p(x) 特稱命題
特稱命題 x∈I，p(x) x∈I， p(x) 全稱命題
四、全稱命題與特稱命題真假判定的技巧

五、含量詞命題的否定及其真假判斷
1. 全稱(特稱)命題的否定是將其全稱量詞(存在量詞)改為存在量詞(全稱量詞)，并把結論否定，即“改量詞，否結論”.
2. 命題與命題的否定的真假相反. 當命題的否定的真假不易判斷時，可以通過判斷
原命題的真假來得出命題的否定的真假.
六、全稱命題和特稱命題及其否定中的求參問題
1. 全稱命題的求參問題常以一次函數、二次函數等為載體進行考查，一般為“恒成立”問題. 解決此類問題時，可構造函數，利用數形結合思想求參數的取值范圍，也可用分離參數法求參數的取值范圍.
2. 特稱命題求參數范圍的問題中常出現“存在”等詞語，對于此類問題，通常是假設存在滿足條件的參數，然后利用條件求參數范圍. 若能求出參數范圍，則假設成立；否則，假設不成立. 解決有關特稱命題的參數的取值范圍問題時，一般轉化為“有解”問題，求解時應盡量分離參數. 有以下常見結論：
(1) x∈R，y=0等價于方程y=0有實數根；
(2) x∈R，y>0就是不等式y>0恒成立，等價于ymin>0；
(3) x∈R，y>0就是不等式y>0有解，等價于ymax>0；
(4) x∈R，y<0就是不等式y<0恒成立，等價于ymax<0；
(5) x∈R，y<0就是不等式y<0有解，等價于ymin<0.

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