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第二章 勻速圓周運動
第4節(jié)　圓周運動與人類文明(選學)
素養(yǎng)拓展課(二)　圓周運動問題
欄目索引
知識方法 探究
隨堂達標 訓練
知識方法 探究
續(xù)表
續(xù)表
隨堂達標 訓練
章末強化練(二)
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米第4節(jié)　圓周運動與人類文明(選學)　略
素養(yǎng)拓展課(二)　圓周運動問題
學習目標 1．鞏固圓周運動相關(guān)的物理概念、物理規(guī)律．2．能建立圓周運動模型，分析水平面內(nèi)和豎直面內(nèi)的圓周運動問題．3．掌握圓周運動問題的分析方法．
[對應學生用書P36]
1．v＝＝rω，ω＝＝，T＝＝＝.
2．F＝m＝mrω2，a＝＝rω2＝vω.
(多選)甲、乙兩名溜冰運動員，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，面對面拉著彈簧測力計做圓周運動的溜冰表演，如圖所示，兩人相距0.9 m，彈簧測力計的示數(shù)為24 N．不計一切摩擦，下列判斷正確的是(　　)
A．兩人的線速度相同，約為40 m/s
B．兩人的角速度相同，均為1 rad/s
C．兩人的運動半徑相同，均為0.45 m
D．兩人的運動半徑不同，甲的為0.3 m，乙的為0.6 m
BD　[甲、乙兩人繞共同的圓心做勻速圓周運動，他們間的拉力互為向心力，他們的角速度相同，半徑之和為兩人的距離．設甲、乙兩人所需向心力為F向，角速度為ω，半徑分別為r甲、r乙，則F向＝m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙＝24 N，r甲＋r乙＝0.9 m，解得r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m，ω＝1 rad/s，故B、D正確．由v＝ωr可知兩人的線速度不相等，故A錯誤．]
[訓練1]　如圖所示，在光滑水平面上，兩個相同的小球A、B固定在同一桿上，以O點為圓心做勻速圓周運動．A、B兩球在運動過程中，下列物理量時刻相等的是(　　)
A．角速度　　　　　　　　 B．線速度
C．向心加速度 D．向心力
A　[A、B兩球共軸轉(zhuǎn)動，角速度相等，故A正確；由v＝ωr可知，角速度相等，半徑不等，則線速度不等，故B錯誤；由a＝ω2r可知，角速度相等，半徑不等，則向心加速度不等，故C錯誤；由F＝mω2r可知，角速度相等，半徑不等，則向心力不等，故D錯誤．]
1．靜摩擦力產(chǎn)生的臨界情況
在水平轉(zhuǎn)臺上做圓周運動的物體，若有靜摩擦力參與，則當轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)速變化時，靜摩擦力也會隨之變化，當f靜達到最大值時，對應有臨界角速度和臨界線速度．解決這類問題一定要牢記“靜摩擦力大小有個范圍、方向可以改變”這一特點．
2．彈簧連接物體的臨界情況
用彈簧連接的物體做圓周運動，當運動狀況發(fā)生改變時，往往伴隨著運動半徑的改變，從而導致彈簧彈力發(fā)生變化．處理該類問題的關(guān)鍵是分析彈力的大小和方向的改變，特別是有摩擦力參與的問題更需要和靜摩擦力的特點相結(jié)合，明確運動半徑是否改變、什么情況下改變、彈簧是伸長還是縮短等．
如圖所示，有一個水平放置的圓盤，上面放有一根勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧的一端固定于圓心O點，另一端拴一個質(zhì)量為m的物體，物體與盤面間的最大靜摩擦力為其重力的μ倍，開始時彈簧處于自然長度，長為R.
(1)圓盤的轉(zhuǎn)速n0為多大時，物體開始滑動？
(2)當轉(zhuǎn)速達到2n0時，彈簧的伸長量Δx是多大？(結(jié)果用μ、m、R、k、g表示)
解析　(1)當圓盤開始轉(zhuǎn)動時，物體隨圓盤一起轉(zhuǎn)動，當未滑動時，由靜摩擦力提供向心力，設最大靜摩擦力對應的角速度為ω0，則
μmg＝mRω
又ω0＝2πn0
所以物體開始滑動時的轉(zhuǎn)速n0＝ .
(2)轉(zhuǎn)速增大到2n0時，由最大靜摩擦力和彈簧彈力的合力提供向心力
由牛頓第二定律有μmg＋kΔx＝mω2r
此時r＝R＋Δx，ω＝4πn0
由以上各式解得Δx＝.
答案　(1) 　(2)
[訓練2]　隨著北京三環(huán)東路快速路的正式通車，城北到城南的通行時間將大幅縮減，大大提升出行效率．該段公路有一個大圓弧形彎道，公路外側(cè)路基比內(nèi)側(cè)路基高．當汽車以理論時速vc行駛時，汽車恰好沒有向公路內(nèi)、外兩側(cè)滑動的趨勢．則(　　)
A．車速只要低于vc，車輛便會向內(nèi)側(cè)滑動
B．要求汽車在轉(zhuǎn)彎過程中不打滑，車速不能大于vc
C．當路面結(jié)冰時與未結(jié)冰時相比，vc的值變小
D．當路面結(jié)冰時與未結(jié)冰時相比，vc的值不變
D　[車速低于vc，所需的向心力減小，此時車輛有向內(nèi)側(cè)滑動的趨勢，摩擦力可以指向外側(cè)，車輛不會向內(nèi)側(cè)滑動，故A錯誤．車速高于vc，所需的向心力增加，此時車輛有向外側(cè)滑動的趨勢，摩擦力可以指向內(nèi)側(cè)，車輛不一定會打滑，故B錯誤．當路面結(jié)冰時與未結(jié)冰時相比，由于支持力和重力不變，路面的傾角不變，由mg tan θ＝m eq \f(v,r) 可知vc的值不變，故C錯誤，D正確．]
物理情境 示意圖 在最高點的臨界特征 做圓周運動的條件
細繩拉著小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動 T＝0mg＝m v＝ 在最高點時速度應不小于
小球在豎直放置的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動 N＝0mg＝m v＝ 在最高點時速度應不小于
小球固定在輕桿上，在豎直平面內(nèi)做圓周運動 v＝0F向＝0 N＝mg 在最高點時速度應大于或等于零
小球在豎直放置的光滑管中做圓周運動 v＝0F向＝0 N＝mg 在最高點時速度應大于或等于零
如圖所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和球B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點．外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力．忽略空氣阻力，則球B在最高點時(　　)
A．球B的速度為零
B．球A的速度大小為
C．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mg
D．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg
C　[球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得v＝，故A錯誤；由于A、B兩球的角速度相等，rA＝rB，則球A的速度大小v′＝，故B錯誤；球B到最高點時，對桿無彈力，此時球A由其所受的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得F＝1.5mg，故C正確，D錯誤．]
[訓練3]　模擬過山車的實驗裝置如圖所示，小球從左側(cè)的最高點釋放后能夠通過豎直圓軌道而到達右側(cè)．若豎直圓軌道的半徑為R，要使小球能順利通過豎直圓軌道，則小球通過豎直圓軌道的最高點時的最小角速度為(　　)
A．　　　　　　　 B．2
C． D．
C　[小球能通過豎直圓軌道的最高點的臨界狀態(tài)為重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，故C正確．]
[對應學生用書P38]
1．(描述圓周運動的物理量)如圖所示，風力發(fā)電機葉片上有a和b兩點，在葉片轉(zhuǎn)動時，a、b的角速度分別為ωa、ωb，線速度大小為va、vb，則(　　)
A．ωa<ωb，va＝vB　　　　　 B．ωa>ωb，va＝vb
C．ωa＝ωb，vavb
D　[a和b兩點都隨葉片的轉(zhuǎn)動而做角速度相同的圓周運動，a點的半徑較大，由v＝ωr可知，a點的線速度較大，故D正確．]
2．(水平面內(nèi)的圓周運動)有一豎直轉(zhuǎn)軸以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)軸上的A點固定一根長為l的細繩，繩上系有質(zhì)量為m的小球．要使小球在隨轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動的同時又不離開光滑的水平面，則A點到水平面的高度h最大為(　　)
A．　　　　B．ω2g　　　　C．　　　　D．
A　[以小球為研究對象，小球受三個力的作用，即重力mg、水平面支持力N、繩子拉力F，在豎直方向上合力為零，在水平方向上所需向心力為mω2R，設繩子與豎直方向的夾角為θ，則有：R＝h tan θ，那么F cos θ＋N＝mg，F(xiàn) sin θ＝mω2h tan θ；當球即將離開水平面時，N＝0，此時F cos θ＝mg，F(xiàn) sin θ＝mg tan θ＝mω2h tan θ，即h＝.故A正確．]
3．(豎直面內(nèi)的圓周運動)(2020·全國卷Ⅰ)一名同學在蕩秋千，已知秋千的兩根繩長均為10 m，該同學和秋千踏板的總質(zhì)量約為50 kg.繩的質(zhì)量忽略不計．當該同學蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為 8 m/s，此時每根繩子平均承受的拉力約為(　　)
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
B　[取該同學與踏板為研究對象，到達最低點時，受力如圖所示，設每根繩子平均受力為F.由牛頓第二定律有2F－mg＝，代入數(shù)據(jù)解得F＝405 N，故B正確．]
4．(圓周運動實際問題)(多選)在我國某些地方的群眾現(xiàn)在還要依靠滑鐵索過江(如圖甲所示)，可把滑鐵索過江簡化成圖乙的模型，鐵索的兩個固定點A、B在同一水平面內(nèi)，AB間的距離為L＝80 m，鐵索的最低點離AB間的垂直距離為h＝8 m．若把鐵索看作是圓弧，已知一個質(zhì)量m＝52 kg的人借助滑輪(滑輪質(zhì)量不計)滑到最低點的速度為10 m/s(g取10 m/s2)，那么(　　)
甲　　　　　　乙
A．人在整個鐵索上的運動可看成勻速圓周運動
B．可求得鐵索的圓弧半徑為104 m
C．人在滑到最低點時對鐵索的壓力為570 N
D．在滑到最低點時人處于失重狀態(tài)
BC　[根據(jù)題意，R2＝()2＋(R－h(huán))2，解得R＝104 m．在最低點有F－mg＝m，解得F＝570 N，此時人處于超重狀態(tài)，故B、C正確．]
章末強化練(二)　勻速圓周運動
[對應學生用書P115]
(時間：90分鐘　滿分：100分)
一、選擇題(本題共12小題，共48分，1～7題為單選題，每小題4分，8～12題為多選題，全都選對的得4分，有選對但不全的得2分，有選錯或不選的得0分)
1．一質(zhì)點做圓周運動，在時間t內(nèi)轉(zhuǎn)過n周．已知圓周半徑為R，則該質(zhì)點的線速度大小為(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
B　[質(zhì)點做圓周運動的周期T＝，由公式v＝得v＝＝，故B正確．]
2．如圖所示，質(zhì)量相等的汽車甲和汽車乙以相等的速率沿同一水平彎道做勻速圓周運動，汽車甲在汽車乙的外側(cè)．兩車沿半徑方向受到的摩擦力分別為f甲和f乙．以下說法正確的是(　　)
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均與汽車速率無關(guān)
A　[汽車在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，摩擦力提供做勻速圓周運動的向心力，即f＝F向＝m，由于r甲>r乙，則f甲3．如圖所示，在較大的平直木板上相隔一定距離釘幾個釘子，將三合板彎曲成拱橋形卡入釘子內(nèi)形成拱形橋，三合板上表面事先鋪上一層牛仔布以增加摩擦，這樣玩具車就可以在橋面上跑起來了．把這套系統(tǒng)放在電子秤上做實驗，玩具車靜止在拱形橋頂端時電子秤的示數(shù)為m，下列說法正確的是(　　)
A．玩具車運動通過拱形橋頂端時的示數(shù)小于m
B．玩具車運動通過拱形橋頂端時的示數(shù)等于m
C．玩具車運動通過拱形橋頂端時處于超重狀態(tài)
D．玩具車運動通過拱形橋頂端時速度越大(未離開拱形橋)，示數(shù)越小
D　[當玩具車靜止在拱形橋頂端時，臺秤的示數(shù)等于整套系統(tǒng)的重力；玩具車運動通過拱形橋的頂端時加速度方向向下，處于失重狀態(tài)，臺秤的示數(shù)(N′＝N＝mg－)變小，且速度越大，示數(shù)越小．]
4. 如圖所示，當一輛汽車通過拱形橋頂點的速度為10 m/s時，橋?qū)ζ嚨闹С至槠囍亓Φ?若要使該輛汽車能安全地通過此拱形橋(不脫離橋面)，則汽車通過橋頂?shù)淖畲笏俣缺仨毿∮?　　)
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
B　[當汽車通過拱形橋頂點的速度是10 m/s時，由牛頓第二定律得mg－mg＝m，解得r＝40 m．當汽車通過拱形橋頂點對橋恰無壓力時，由mg＝m eq \f(v,r) 得v1＝＝20 m/s，故B正確．]
5. 如圖所示，在高速轉(zhuǎn)動的洗衣機脫水桶內(nèi)壁上，有一件濕衣服隨桶一起轉(zhuǎn)動，在保證衣服不滑動的情況下(　　)
A．桶轉(zhuǎn)速增大時，衣服對桶壁的壓力不變
B．桶轉(zhuǎn)速增大時，衣服對桶壁的壓力減小
C．桶轉(zhuǎn)速足夠大時，衣服上的水滴將做離心運動
D．桶轉(zhuǎn)速足夠大時，衣服上的水滴將做向心運動
C　[衣服隨桶一起轉(zhuǎn)動，所需向心力由桶壁的支持力提供，轉(zhuǎn)速越大，支持力越大，衣服對桶壁的壓力也越大，故A、B均錯誤；當水滴的附著力不足以提供向心力時，水滴做離心運動，故C正確，D錯誤．]
6．(2021·廣東卷)由于高度限制，車庫出入口采用如圖所示的曲桿道閘，道閘由轉(zhuǎn)動桿OP與橫桿PQ連接而成，P、Q為橫桿的兩個端點．在道閘抬起過程中，桿PQ始終保持水平．桿OP繞O點從與水平方向成30°勻速轉(zhuǎn)動到60°的過程中，下列說法正確的是(　　)
A．P點的線速度大小不變
B．P點的加速度方向不變
C．Q點在豎直方向做勻速運動
D．Q點在水平方向做勻速運動
A　[由題意知桿OP繞O點從與水平方向成30°勻速轉(zhuǎn)動到60°，則P點繞O點做勻速圓周運動，P點的加速度方向時刻指向O點，則P點的線速度大小不變，故A正確，B錯誤；Q點在豎直方向的運動與P點相同，相對于O點在豎直方向的位置y關(guān)于時間t的關(guān)系為
y＝lOP·sin (＋ωt)
則可看出Q點在豎直方向不是勻速運動，故C錯誤；Q點相對于O點在水平方向的位置x關(guān)于時間t的關(guān)系為
x＝lOP·cos (＋ωt)＋lPQ
則可看出Q點在水平方向也不是勻速運動，故D錯誤．]
7．如圖所示是兩種不同的過山車過最高點時的情形，圖甲情形中，乘客經(jīng)過軌道最高點時頭朝上，圖乙情形中，乘客經(jīng)過軌道最高點時頭朝下．假設兩種圓軌道的半徑均為R，下列說法正確的是(　　)
A．圖甲中，乘客經(jīng)過軌道最高點時，若v＜，則座椅對乘客的作用力方向豎直向下
B．圖甲中，乘客經(jīng)過軌道最高點時，若v＜，則座椅對乘客的作用力方向豎直向上
C．圖乙中，乘客經(jīng)過軌道最高點時，若v＝，則座椅對乘客的作用力方向豎直向下
D．圖乙中，乘客經(jīng)過軌道最高點時，若v＞，則座椅對乘客的作用力方向豎直向上
B　[題圖甲中，若乘客過最高點時只有重力提供向心力，則mg＝m，得速度為v＝，若v＜，則合力小于重力，所以人受到座椅施加向上的支持力，故A錯誤，B正確．題圖乙中，乘客經(jīng)過軌道最高點時，若只有重力提供向心力，則mg＝m，得速度為v＝，此時座椅對人沒有作用力，故C錯誤；若v＞，則合力大于重力，所以人受到座椅施加的向下的壓力，故D錯誤．]
8．(2021·河北卷)如圖所示，矩形金屬框MNQP豎直放置，其中MN、PQ足夠長，且PQ桿光滑，一根輕彈簧一端固定在M點，另一端連接一個質(zhì)量為m的小球，小球穿過PQ桿，金屬框繞MN軸分別以角速度ω和ω′勻速轉(zhuǎn)動時，小球均相對PQ桿靜止．若ω′＞ω，則與以ω勻速轉(zhuǎn)動時相比，以ω′勻速轉(zhuǎn)動時(　　)
A．小球的高度一定降低
B．彈簧彈力的大小一定不變
C．小球?qū)U壓力的大小一定變大
D．小球所受合外力的大小一定變大
BD　[對小球受力分析，設彈力為T，彈簧與水平方向的夾角為θ，則小球在豎直方向上有
T sin θ＝mg
而T＝k(－l0)
可知θ為定值，T不變，則當轉(zhuǎn)速增大后，小球的高度不變，彈簧的彈力不變，故A錯誤，B正確；
水平方向當轉(zhuǎn)速較小時，桿對小球的彈力FN背離轉(zhuǎn)軸，則
T cos θ－FN＝mω2r
即FN＝T cos θ－mω2r
當轉(zhuǎn)速較大時，F(xiàn)N指向轉(zhuǎn)軸
T cos θ＋F＝mω′2r
即F＝mω′2r－T cos θ
則因ω′＞ω，根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)U的壓力不一定變大，故C錯誤；
根據(jù)F合＝mω2r
可知，因角速度變大，則小球受合外力變大，故D正確．]
9．(2022·山東卷)無人配送小車某次性能測試路徑如圖所示，半徑為3 m的半圓弧BC與長8 m的直線路徑AB相切于B點，與半徑為4 m的半圓弧CD相切于C點．小車以最大速度從A點駛?cè)肼窂剑竭m當位置調(diào)整速率運動到B點，然后保持速率不變依次經(jīng)過BC和CD.為保證安全，小車的速率最大為4 m/s，在ABC段的加速度最大為2 m/s2，CD段的加速度最大為1 m/s2.小車視為質(zhì)點，小車從A到D所需最短時間t及在AB段做勻速直線運動的最長距離l為(　　)
A．t＝(2＋)s，l＝8 m
B．t＝(＋)s，l＝5 m
C．t＝(2＋＋)s，l＝5.5 m
D．t＝[2＋＋]s，l＝5.5 m
B　[依題意知小車在BC段運動的最大速率為v1＝＝ m/s，在CD段運動的最大速率為v2＝＝2 m/s，所以經(jīng)過BC段和CD段的最大速率為v2＝2 m/s，因此在BC段和CD段運動的最短時間t3＝ s＝ s，在B點的速率最大為v2＝2 m/s，設在AB段小車以最大加速度減速的距離為x，則根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律得v＝v－2a1x，解得x＝3 m，t2＝＝1 s，所以勻速運動的最大距離l＝8 m－x＝5 m，運動時間t1＝ s，最短時間t＝t1＋t2＋t3＝(＋) s，B正確．]
10．如圖甲所示，在光滑水平轉(zhuǎn)臺上放一木塊A，用細繩的一端系住木塊A，另一端穿過轉(zhuǎn)臺中心的光滑小孔O懸掛另一木塊B.當轉(zhuǎn)臺以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，A恰能隨轉(zhuǎn)臺一起做勻速圓周運動，圖乙為其俯視圖，則(　　)
A．當轉(zhuǎn)臺的角速度變?yōu)?.5ω時，木塊A將沿圖乙中的 a方向運動
B．當轉(zhuǎn)臺的角速度變?yōu)?.5ω時，木塊A將沿圖乙中的 b方向運動
C．當轉(zhuǎn)臺的角速度變?yōu)?.5ω時，木塊A將沿圖乙中的 b方向運動
D．當轉(zhuǎn)臺的角速度變?yōu)?.5ω時，木塊A將沿圖乙中的 c方向運動
BD　[木塊A以角速度ω做勻速圓周運動時的向心力由細繩的拉力提供，大小等于木塊B所受的重力，而木塊B所受重力不變，所以轉(zhuǎn)臺角速度增大時，木塊A需要的向心力大于木塊B所受的重力，A做離心運動，故B正確；轉(zhuǎn)臺角速度減小時，木塊A需要的向心力小于木塊B所受的重力，A做向心運動，故D正確．]
11．如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動．小球運動到最高點時，桿與小球間的彈力大小為FN，小球在最高點的速度大小為v，其FN v2圖像如圖乙所示，則(　　)
A．小球的質(zhì)量為
B．當?shù)氐闹亓铀俣却笮?br/>C．當v2＝c時，在最高點桿對小球的彈力方向向上
D．當v2＝2b時，在最高點桿對小球的彈力大小為2a
A　[由題圖乙可知，當小球運動到最高點時，若v2＝b，則FN＝0，輕桿既不向上推小球也不向下拉小球，這時由小球受到的重力提供向心力，即mg＝，得v2＝gR＝b，故g＝，B錯誤；當v2>b時，輕桿向下拉小球，C錯誤；當v2＝0時，輕桿對小球的彈力等于小球的重力，即a＝mg，將g＝代入式中得小球的質(zhì)量m＝，故A正確；當v2＝2b時，由牛頓第二定律得F＋mg＝，得桿的拉力大小F＝mg，即F＝a，故D錯誤．]
12．如圖所示，水平桿兩端有擋板，質(zhì)量為m的小木塊A穿在水平桿上，輕質(zhì)彈簧一端與水平桿左側(cè)擋板連接，另一端與A連接．初始時彈簧處于伸長狀態(tài)，彈力恰好等于A與桿間的最大靜摩擦力，A與桿間的動摩擦因數(shù)為μ.最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，A到豎直軸OO′的距離為L.現(xiàn)使桿繞豎直軸OO′由靜止緩慢加速轉(zhuǎn)動，角速度為ω.若A不與擋板接觸，則下列說法正確的是(　　)
A．彈簧伸長量先保持不變后逐漸增大
B．彈簧伸長量保持不變
C．當ω＝ 時，摩擦力為零
D．當ω＝ 時，彈簧彈力為零
AC　[初始時，彈簧彈力大小為μmg.ω較小時，摩擦力f背離豎直軸OO′，μmg－f＝mLω2，ω越大，f越小；當ω＝ 時，f為零；ω較大時，摩擦力f指向豎直軸OO′，μmg＋f＝mLω2，當ω> 時，A將沿遠離OO′方向移動，彈簧彈力增大，伸長量增大．綜上分析可知，B、D錯誤，A、C正確．]
二、非選擇題(本題共4小題，共52分)
13．(10分)我們可以用如圖所示的實驗裝置來探究影響向心力大小的因素．長槽上的擋板B到轉(zhuǎn)軸的距離是擋板A的2倍，長槽上的擋板A和短槽上的擋板C到各自轉(zhuǎn)軸的距離相等．轉(zhuǎn)動手柄使長槽和短槽分別隨變速輪塔勻速轉(zhuǎn)動，槽內(nèi)的球就做勻速圓周運動．橫臂的擋板對球的壓力提供了向心力，球?qū)醢宓姆醋饔昧νㄟ^橫臂的杠桿作用使彈簧測力筒下降，從而露出標尺，標尺上的紅白相間的等分格顯示出兩個球所受向心力的比值．
(1)當傳動皮帶套在兩輪塔半徑不同的輪盤上時，輪塔邊緣處的________(選填“線速度”或“角速度”)相等．
(2)探究向心力和角速度的關(guān)系時，應將傳動皮帶套在兩輪塔半徑不同的輪盤上，將質(zhì)量相同的小球分別放在擋板________和擋板________處．(均選填“A”“B”或“C”)
解析　(1)當傳動皮帶套在兩輪塔半徑不同的輪盤上時，它們是皮帶傳動，輪塔邊緣處的線速度大小相等．
(2) 探究向心力和角速度的關(guān)系時，利用控制變量法，根據(jù)F＝mω2r可知控制質(zhì)量相同和半徑相同，所以將質(zhì)量相同的小球分別放在擋板A和擋板C處．
答案　(1)線速度　(2)A　C
14．(10分)如圖所示為發(fā)動機的曲軸，發(fā)動機的曲軸每分鐘轉(zhuǎn)3 600周，求：
(1)曲軸轉(zhuǎn)動的周期與角速度；
(2)曲軸上距轉(zhuǎn)軸r＝0.1 m的點的線速度大小．
解析　(1)由于曲軸每秒鐘轉(zhuǎn)＝60(周)，周期T＝ s，因此曲軸轉(zhuǎn)動的角速度為
ω＝＝2π×60 rad/s＝120π rad/s
(2)已知r＝0.1 m，因此這一點的線速度為
v＝ωr＝120π×0.1 m/s＝12π m/s
答案　(1) s　120π rad/s　(2)12π m/s
15．(16分)有一列重為100 t的火車，以72 km/h的速率勻速通過一個內(nèi)外軌一樣高的彎道，軌道半徑為400 m.
(1)計算鐵軌受到的側(cè)壓力大小；
(2)若要使火車以此速率通過彎道，且使鐵軌受到的側(cè)壓力為零，我們可以適當傾斜路基，計算路基傾斜角度θ的正切值．(g取10 m/s2)
解析　(1)火車速度v＝72 km/h＝20 m/s，外軌對輪緣的側(cè)壓力提供火車轉(zhuǎn)彎所需要的向心力，所以有
N＝m＝1×105× N＝1×105 N
由牛頓第三定律可知鐵軌受到的側(cè)壓力大小等于105 N.
(2)火車過彎道，重力和鐵軌對火車的彈力的合力正好提供向心力，如圖所示，則
mg tan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0.1.
答案　(1)1×105 N　(2)0.1
16．(16分)如圖所示，用長L＝0.6 m的繩系著裝有m＝0.5 kg 水的小桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，稱為“水流星”．(g取10 m/s2)
(1)在最高點水不流出的最小速度為多少？
(2)若過最高點時速度為3 m/s，則此時水對桶底的壓力為多大？
解析　(1)水做圓周運動，在最高點水不流出的條件是：水的重力不大于水所需要的向心力．這時的最小速度即為過最高點的臨界速度v0.
以水為研究對象，則有mg＝m eq \f(v,L) ，
解得v0＝＝ m/s＝ m/s.
(2)由前面v0的解答知v＝3 m/s＞v0，故重力不足以提供向心力，要由桶底對水向下的壓力補充，此時所需向心力由以上兩力的合力提供．
設桶底對水的壓力為F，則有：mg＋F＝m，
解得F＝m－mg＝0.5×(－10)N＝2.5 N.
根據(jù)牛頓第三定律知F′＝F，
所以水對桶底的壓力為2.5 N.
答案　(1) m/s　(2)2.5 N第4節(jié)　圓周運動與人類文明(選學)　略
素養(yǎng)拓展課(二)　圓周運動問題
學習目標 1．鞏固圓周運動相關(guān)的物理概念、物理規(guī)律．2．能建立圓周運動模型，分析水平面內(nèi)和豎直面內(nèi)的圓周運動問題．3．掌握圓周運動問題的分析方法．
1．v＝＝rω，ω＝＝，T＝＝＝.
2．F＝m＝mrω2，a＝＝rω2＝vω.
(多選)甲、乙兩名溜冰運動員，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，面對面拉著彈簧測力計做圓周運動的溜冰表演，如圖所示，兩人相距0.9 m，彈簧測力計的示數(shù)為24 N．不計一切摩擦，下列判斷正確的是(　　)
A．兩人的線速度相同，約為40 m/s
B．兩人的角速度相同，均為1 rad/s
C．兩人的運動半徑相同，均為0.45 m
D．兩人的運動半徑不同，甲的為0.3 m，乙的為0.6 m
　
　如圖所示，在光滑水平面上，兩個相同的小球A、B固定在同一桿上，以O點為圓心做勻速圓周運動．A、B兩球在運動過程中，下列物理量時刻相等的是(　　)
A．角速度　　　　　　　　 B．線速度
C．向心加速度 D．向心力
　
1．靜摩擦力產(chǎn)生的臨界情況
在水平轉(zhuǎn)臺上做圓周運動的物體，若有靜摩擦力參與，則當轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)速變化時，靜摩擦力也會隨之變化，當f靜達到最大值時，對應有臨界角速度和臨界線速度．解決這類問題一定要牢記“靜摩擦力大小有個范圍、方向可以改變”這一特點．
2．彈簧連接物體的臨界情況
用彈簧連接的物體做圓周運動，當運動狀況發(fā)生改變時，往往伴隨著運動半徑的改變，從而導致彈簧彈力發(fā)生變化．處理該類問題的關(guān)鍵是分析彈力的大小和方向的改變，特別是有摩擦力參與的問題更需要和靜摩擦力的特點相結(jié)合，明確運動半徑是否改變、什么情況下改變、彈簧是伸長還是縮短等．
如圖所示，有一個水平放置的圓盤，上面放有一根勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧的一端固定于圓心O點，另一端拴一個質(zhì)量為m的物體，物體與盤面間的最大靜摩擦力為其重力的μ倍，開始時彈簧處于自然長度，長為R.
(1)圓盤的轉(zhuǎn)速n0為多大時，物體開始滑動？
(2)當轉(zhuǎn)速達到2n0時，彈簧的伸長量Δx是多大？(結(jié)果用μ、m、R、k、g表示)
　隨著北京三環(huán)東路快速路的正式通車，城北到城南的通行時間將大幅縮減，大大提升出行效率．該段公路有一個大圓弧形彎道，公路外側(cè)路基比內(nèi)側(cè)路基高．當汽車以理論時速vc行駛時，汽車恰好沒有向公路內(nèi)、外兩側(cè)滑動的趨勢．則(　　)
A．車速只要低于vc，車輛便會向內(nèi)側(cè)滑動
B．要求汽車在轉(zhuǎn)彎過程中不打滑，車速不能大于vc
C．當路面結(jié)冰時與未結(jié)冰時相比，vc的值變小
D．當路面結(jié)冰時與未結(jié)冰時相比，vc的值不變
　
物理情境 示意圖 在最高點的臨界特征 做圓周運動的條件
細繩拉著小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動 T＝0mg＝m v＝ 在最高點時速度應不小于
小球在豎直放置的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動 N＝0mg＝m v＝ 在最高點時速度應不小于
小球固定在輕桿上，在豎直平面內(nèi)做圓周運動 v＝0F向＝0 N＝mg 在最高點時速度應大于或等于零
小球在豎直放置的光滑管中做圓周運動 v＝0F向＝0 N＝mg 在最高點時速度應大于或等于零
如圖所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和球B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點．外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力．忽略空氣阻力，則球B在最高點時(　　)
A．球B的速度為零
B．球A的速度大小為
C．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mg
D．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg
　
　模擬過山車的實驗裝置如圖所示，小球從左側(cè)的最高點釋放后能夠通過豎直圓軌道而到達右側(cè)．若豎直圓軌道的半徑為R，要使小球能順利通過豎直圓軌道，則小球通過豎直圓軌道的最高點時的最小角速度為(　　)
A．　　　　　　　 B．2
C． D．
　
1．(描述圓周運動的物理量)如圖所示，風力發(fā)電機葉片上有a和b兩點，在葉片轉(zhuǎn)動時，a、b的角速度分別為ωa、ωb，線速度大小為va、vb，則(　　)
A．ωa<ωb，va＝vB　　　　　 B．ωa>ωb，va＝vb
C．ωa＝ωb，vavb
　
2．(水平面內(nèi)的圓周運動)有一豎直轉(zhuǎn)軸以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)軸上的A點固定一根長為l的細繩，繩上系有質(zhì)量為m的小球．要使小球在隨轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動的同時又不離開光滑的水平面，則A點到水平面的高度h最大為(　　)
A．　　　　B．ω2g　　　　C．　　　　D．
　
3．(豎直面內(nèi)的圓周運動)(2020·全國卷Ⅰ)一名同學在蕩秋千，已知秋千的兩根繩長均為10 m，該同學和秋千踏板的總質(zhì)量約為50 kg.繩的質(zhì)量忽略不計．當該同學蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為 8 m/s，此時每根繩子平均承受的拉力約為(　　)
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
　
4．(圓周運動實際問題)(多選)在我國某些地方的群眾現(xiàn)在還要依靠滑鐵索過江(如圖甲所示)，可把滑鐵索過江簡化成圖乙的模型，鐵索的兩個固定點A、B在同一水平面內(nèi)，AB間的距離為L＝80 m，鐵索的最低點離AB間的垂直距離為h＝8 m．若把鐵索看作是圓弧，已知一個質(zhì)量m＝52 kg的人借助滑輪(滑輪質(zhì)量不計)滑到最低點的速度為10 m/s(g取10 m/s2)，那么(　　)
甲　　　　　　乙
A．人在整個鐵索上的運動可看成勻速圓周運動
B．可求得鐵索的圓弧半徑為104 m
C．人在滑到最低點時對鐵索的壓力為570 N
D．在滑到最低點時人處于失重狀態(tài)
　
章末強化練(二)　勻速圓周運動
(時間：90分鐘　滿分：100分)
一、選擇題(本題共12小題，共48分，1～7題為單選題，每小題4分，8～12題為多選題，全都選對的得4分，有選對但不全的得2分，有選錯或不選的得0分)
1．一質(zhì)點做圓周運動，在時間t內(nèi)轉(zhuǎn)過n周．已知圓周半徑為R，則該質(zhì)點的線速度大小為(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
　
2．如圖所示，質(zhì)量相等的汽車甲和汽車乙以相等的速率沿同一水平彎道做勻速圓周運動，汽車甲在汽車乙的外側(cè)．兩車沿半徑方向受到的摩擦力分別為f甲和f乙．以下說法正確的是(　　)
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均與汽車速率無關(guān)
　
3．如圖所示，在較大的平直木板上相隔一定距離釘幾個釘子，將三合板彎曲成拱橋形卡入釘子內(nèi)形成拱形橋，三合板上表面事先鋪上一層牛仔布以增加摩擦，這樣玩具車就可以在橋面上跑起來了．把這套系統(tǒng)放在電子秤上做實驗，玩具車靜止在拱形橋頂端時電子秤的示數(shù)為m，下列說法正確的是(　　)
A．玩具車運動通過拱形橋頂端時的示數(shù)小于m
B．玩具車運動通過拱形橋頂端時的示數(shù)等于m
C．玩具車運動通過拱形橋頂端時處于超重狀態(tài)
D．玩具車運動通過拱形橋頂端時速度越大(未離開拱形橋)，示數(shù)越小
　
4. 如圖所示，當一輛汽車通過拱形橋頂點的速度為10 m/s時，橋?qū)ζ嚨闹С至槠囍亓Φ?若要使該輛汽車能安全地通過此拱形橋(不脫離橋面)，則汽車通過橋頂?shù)淖畲笏俣缺仨毿∮?　　)
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
　
5. 如圖所示，在高速轉(zhuǎn)動的洗衣機脫水桶內(nèi)壁上，有一件濕衣服隨桶一起轉(zhuǎn)動，在保證衣服不滑動的情況下(　　)
A．桶轉(zhuǎn)速增大時，衣服對桶壁的壓力不變
B．桶轉(zhuǎn)速增大時，衣服對桶壁的壓力減小
C．桶轉(zhuǎn)速足夠大時，衣服上的水滴將做離心運動
D．桶轉(zhuǎn)速足夠大時，衣服上的水滴將做向心運動
　
6．(2021·廣東卷)由于高度限制，車庫出入口采用如圖所示的曲桿道閘，道閘由轉(zhuǎn)動桿OP與橫桿PQ連接而成，P、Q為橫桿的兩個端點．在道閘抬起過程中，桿PQ始終保持水平．桿OP繞O點從與水平方向成30°勻速轉(zhuǎn)動到60°的過程中，下列說法正確的是(　　)
A．P點的線速度大小不變
B．P點的加速度方向不變
C．Q點在豎直方向做勻速運動
D．Q點在水平方向做勻速運動
　
7．如圖所示是兩種不同的過山車過最高點時的情形，圖甲情形中，乘客經(jīng)過軌道最高點時頭朝上，圖乙情形中，乘客經(jīng)過軌道最高點時頭朝下．假設兩種圓軌道的半徑均為R，下列說法正確的是(　　)
A．圖甲中，乘客經(jīng)過軌道最高點時，若v＜，則座椅對乘客的作用力方向豎直向下
B．圖甲中，乘客經(jīng)過軌道最高點時，若v＜，則座椅對乘客的作用力方向豎直向上
C．圖乙中，乘客經(jīng)過軌道最高點時，若v＝，則座椅對乘客的作用力方向豎直向下
D．圖乙中，乘客經(jīng)過軌道最高點時，若v＞，則座椅對乘客的作用力方向豎直向上
　
8．(2021·河北卷)如圖所示，矩形金屬框MNQP豎直放置，其中MN、PQ足夠長，且PQ桿光滑，一根輕彈簧一端固定在M點，另一端連接一個質(zhì)量為m的小球，小球穿過PQ桿，金屬框繞MN軸分別以角速度ω和ω′勻速轉(zhuǎn)動時，小球均相對PQ桿靜止．若ω′＞ω，則與以ω勻速轉(zhuǎn)動時相比，以ω′勻速轉(zhuǎn)動時(　　)
A．小球的高度一定降低
B．彈簧彈力的大小一定不變
C．小球?qū)U壓力的大小一定變大
D．小球所受合外力的大小一定變大
　
9．(2022·山東卷)無人配送小車某次性能測試路徑如圖所示，半徑為3 m的半圓弧BC與長8 m的直線路徑AB相切于B點，與半徑為4 m的半圓弧CD相切于C點．小車以最大速度從A點駛?cè)肼窂剑竭m當位置調(diào)整速率運動到B點，然后保持速率不變依次經(jīng)過BC和CD.為保證安全，小車的速率最大為4 m/s，在ABC段的加速度最大為2 m/s2，CD段的加速度最大為1 m/s2.小車視為質(zhì)點，小車從A到D所需最短時間t及在AB段做勻速直線運動的最長距離l為(　　)
A．t＝(2＋)s，l＝8 m
B．t＝(＋)s，l＝5 m
C．t＝(2＋＋)s，l＝5.5 m
D．t＝s，l＝5.5 m
　
10．如圖甲所示，在光滑水平轉(zhuǎn)臺上放一木塊A，用細繩的一端系住木塊A，另一端穿過轉(zhuǎn)臺中心的光滑小孔O懸掛另一木塊B.當轉(zhuǎn)臺以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，A恰能隨轉(zhuǎn)臺一起做勻速圓周運動，圖乙為其俯視圖，則(　　)
A．當轉(zhuǎn)臺的角速度變?yōu)?.5ω時，木塊A將沿圖乙中的 a方向運動
B．當轉(zhuǎn)臺的角速度變?yōu)?.5ω時，木塊A將沿圖乙中的 b方向運動
C．當轉(zhuǎn)臺的角速度變?yōu)?.5ω時，木塊A將沿圖乙中的 b方向運動
D．當轉(zhuǎn)臺的角速度變?yōu)?.5ω時，木塊A將沿圖乙中的 c方向運動
　
11．如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動．小球運動到最高點時，桿與小球間的彈力大小為FN，小球在最高點的速度大小為v，其FN v2圖像如圖乙所示，則(　　)
A．小球的質(zhì)量為
B．當?shù)氐闹亓铀俣却笮?br/>C．當v2＝c時，在最高點桿對小球的彈力方向向上
D．當v2＝2b時，在最高點桿對小球的彈力大小為2a
　
12．如圖所示，水平桿兩端有擋板，質(zhì)量為m的小木塊A穿在水平桿上，輕質(zhì)彈簧一端與水平桿左側(cè)擋板連接，另一端與A連接．初始時彈簧處于伸長狀態(tài)，彈力恰好等于A與桿間的最大靜摩擦力，A與桿間的動摩擦因數(shù)為μ.最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，A到豎直軸OO′的距離為L.現(xiàn)使桿繞豎直軸OO′由靜止緩慢加速轉(zhuǎn)動，角速度為ω.若A不與擋板接觸，則下列說法正確的是(　　)
A．彈簧伸長量先保持不變后逐漸增大
B．彈簧伸長量保持不變
C．當ω＝ 時，摩擦力為零
D．當ω＝ 時，彈簧彈力為零
　
二、非選擇題(本題共4小題，共52分)
13．(10分)我們可以用如圖所示的實驗裝置來探究影響向心力大小的因素．長槽上的擋板B到轉(zhuǎn)軸的距離是擋板A的2倍，長槽上的擋板A和短槽上的擋板C到各自轉(zhuǎn)軸的距離相等．轉(zhuǎn)動手柄使長槽和短槽分別隨變速輪塔勻速轉(zhuǎn)動，槽內(nèi)的球就做勻速圓周運動．橫臂的擋板對球的壓力提供了向心力，球?qū)醢宓姆醋饔昧νㄟ^橫臂的杠桿作用使彈簧測力筒下降，從而露出標尺，標尺上的紅白相間的等分格顯示出兩個球所受向心力的比值．
(1)當傳動皮帶套在兩輪塔半徑不同的輪盤上時，輪塔邊緣處的________(選填“線速度”或“角速度”)相等．
(2)探究向心力和角速度的關(guān)系時，應將傳動皮帶套在兩輪塔半徑不同的輪盤上，將質(zhì)量相同的小球分別放在擋板________和擋板________處．(均選填“A”“B”或“C”)
14．(10分)如圖所示為發(fā)動機的曲軸，發(fā)動機的曲軸每分鐘轉(zhuǎn)3 600周，求：
(1)曲軸轉(zhuǎn)動的周期與角速度；
(2)曲軸上距轉(zhuǎn)軸r＝0.1 m的點的線速度大小．
15．(16分)有一列重為100 t的火車，以72 km/h的速率勻速通過一個內(nèi)外軌一樣高的彎道，軌道半徑為400 m.
(1)計算鐵軌受到的側(cè)壓力大小；
(2)若要使火車以此速率通過彎道，且使鐵軌受到的側(cè)壓力為零，我們可以適當傾斜路基，計算路基傾斜角度θ的正切值．(g取10 m/s2)
16．(16分)如圖所示，用長L＝0.6 m的繩系著裝有m＝0.5 kg 水的小桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，稱為“水流星”．(g取10 m/s2)
(1)在最高點水不流出的最小速度為多少？
(2)若過最高點時速度為3 m/s，則此時水對桶底的壓力為多大？

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