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(共36張PPT)
第三章 萬有引力定律
第5節(jié)　太空探索(選學(xué))
素養(yǎng)拓展課(三)　萬有引力定律的應(yīng)用
欄目索引
知識方法 探究
隨堂達標 訓(xùn)練
知識方法 探究
隨堂達標 訓(xùn)練
章末強化練(三)
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米第5節(jié)　太空探索(選學(xué))　略
素養(yǎng)拓展課(三)　萬有引力定律的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標 1．進一步加深對萬有引力定律的理解．2．掌握萬有引力定律在天體、人造衛(wèi)星、航天技術(shù)等各方面的應(yīng)用．3．熟練應(yīng)用萬有引力定律計算天體質(zhì)量、密度，分析人造衛(wèi)星的運動規(guī)律等．
[對應(yīng)學(xué)生用書P53]
1．建立質(zhì)點模型
天體有自然天體(如地球、月球)和人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)兩種，無論是哪種天體，不管它的體積有多大，在分析天體問題時，應(yīng)把研究對象看成質(zhì)點，通常把人造天體直接看成一個質(zhì)點，把自然天體看成位于球心位置的一個質(zhì)點．
2．建立勻速圓周運動模型
行星與衛(wèi)星實際的繞行軌道大都是橢圓，但用圓周運動的知識處理近圓的橢圓軌道問題時，誤差不大并且處理方便，因此通常把天體的運動抽象為質(zhì)點之間相互繞轉(zhuǎn)的勻速圓周運動．其動力學(xué)方程為：G＝m＝mrω2＝mr.
(多選)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)某恒星附近有一顆行星在圓形軌道上繞其運動，并測出了行星的軌道半徑和周期，由此可推算出(　　)
A．行星的質(zhì)量　　　　　　 B．行星的運行速率
C．恒星的質(zhì)量 D．恒星的平均密度
BC　[恒星作為中心天體(視為靜止)，行星繞其運轉(zhuǎn)，中心天體對環(huán)繞天體的萬有引力提供向心力．本題中行星(設(shè)質(zhì)量為m)繞恒星(設(shè)質(zhì)量為M)做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有G＝m＝mr，可得M＝和v＝，故B、C正確；行星是環(huán)繞天體，在列式分析時質(zhì)量會約去，故無法求出行星的質(zhì)量，A錯誤；因恒星半徑未知，故不可以求得恒星的密度，D錯誤．]
[訓(xùn)練1]　利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計算出地球質(zhì)量的是(　　)
A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))
B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期
C．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離
D．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離
D　[由于不考慮地球自轉(zhuǎn)，則在地球表面附近，有G＝mg，故可得M＝，故A不符合題意；由萬有引力提供人造衛(wèi)星的向心力，有G＝m1，v＝，聯(lián)立得M＝，故B不符合題意；由萬有引力提供月球繞地球運動的向心力，有G＝m2()2r，故可得M＝，故C不符合題意；同理，根據(jù)地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離，可求出太陽的質(zhì)量，但不可求出地球的質(zhì)量，故選D.]
1．雙星模型
在天體模型中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星，它們在相互之間的萬有引力的作用下，繞兩星連線上的某點做周期相同的勻速圓周運動．
2．三星模型
如圖所示，三顆質(zhì)量相等的恒星位于一正三角形的頂點處，都繞三角形的中心做勻速圓周運動，每顆恒星運行所需向心力都由其余兩顆恒星對其萬有引力的合力來提供，有×2×cos 30°＝ma，其中L＝2r cos 30°.
三顆行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等．
(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星體位于正三角形的三個頂點，三角形邊長為R，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則(　　)
A．每顆星體做勻速圓周運動的線速度為
B．每顆星體做勻速圓周運動的角速度為
C．每顆星體做勻速圓周運動的周期為2π
D．每顆星體做勻速圓周運動的加速度與它們的質(zhì)量無關(guān)
ABC　[由題圖可知，每顆星體做勻速圓周運動的半徑r＝＝R.由萬有引力提供向心力得·2cos 30°＝m＝mω2r＝mr＝ma，解得v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，a＝，故A、B、C正確，D錯誤．]
[訓(xùn)練2]　引力波的發(fā)現(xiàn)證實了愛因斯坦100年前所做的預(yù)測.1974年發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小，這就間接地證明了引力波的存在．將該雙星系統(tǒng)簡化為理想的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點做勻速圓周運動．由于雙星間的距離減小，則(　　)
A．兩星的運動周期均逐漸減小
B．兩星的運動角速度均逐漸減小
C．兩星的向心加速度均逐漸減小
D．兩星的運動線速度均逐漸減小
A　[雙星做勻速圓周運動的角速度相同，靠相互間的萬有引力提供向心力．根據(jù)G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，得m1r1＝m2r2，知軌道半徑比等于質(zhì)量之反比，由r1＋r2＝L可得r1＝L，r2＝L，雙星間的距離減小，則雙星的軌道半徑都變小，根據(jù)上面公式可知角速度變大，則周期變小，故A正確，B錯誤；根據(jù)G＝m1a1＝m2a2知，L變小，則兩星的向心加速度均增大，故C錯誤；根據(jù)G＝m1 eq \f(v,r1) ，解得v1＝ ＝ eq \r(\f(Gm,L（m1＋m2）)) ，則線速度增大，故D錯誤．]
1．人造地球衛(wèi)星繞地心做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，G＝m＝mr＝mω2r.此式可用來分析衛(wèi)星運行的繞行速度、周期、角速度隨軌道半徑的變化規(guī)律．
2．對于同步衛(wèi)星問題，要理解“同步”的物理意義，即衛(wèi)星在赤道上方一定高度的軌道上運行時，周期、角速度和地球赤道上的物體的周期、角速度相同，要善于將“同步衛(wèi)星”、一般衛(wèi)星和赤道上物體的運動進行對比．
假設(shè)有一艘載人宇宙飛船在距地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運動，地球半徑約為6 400 km，地球同步衛(wèi)星距地面高為36 000 km.宇宙飛船和一顆地球同步衛(wèi)星繞地球同向運動，每當(dāng)兩者相距最近時，宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號，然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送到地面接收站，某時刻兩者相距最遠，從此刻開始，在一晝夜的時間內(nèi)，接收站共接收到信號的次數(shù)為(　　)
A．4次　　　　　　　　　 B．6次
C．7次 D．8次
C　[根據(jù)圓周運動的規(guī)律，分析一晝夜同步衛(wèi)星與宇宙飛船相距最近的次數(shù)，即衛(wèi)星發(fā)射信號的次數(shù)，也為接收站接收到信號的次數(shù)．設(shè)宇宙飛船的運行周期為T，由＝mr，得T＝2π
則＝()3，解得T＝3 h
設(shè)兩者由相隔最遠至第一次相隔最近的時間為t1，同步衛(wèi)星的運行周期為T0，有
(－)·t1＝π，解得t1＝ h
再設(shè)兩者兩次相距最近的時間間隔為t2，有
(－)·t2＝2π，解得t2＝ h
由n＝＝6.5，知接收站接收到信號的次數(shù)為7次．]
[訓(xùn)練3]　(多選)甲、乙為兩顆地球衛(wèi)星，其中甲為地球同步衛(wèi)星，乙的運行高度低于甲的運行高度，兩衛(wèi)星軌道均可視為圓軌道．以下判斷正確的是(　　)
A．甲的周期大于乙的周期
B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的加速度小于乙的加速度
D．甲在運行時能經(jīng)過北極的正上方
AC　[地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動時，萬有引力提供向心力，則G＝m，得T＝2π.r甲>r乙，故T甲>T乙，A正確；貼近地球表面運行的衛(wèi)星的速度稱為第一宇宙速度，由G＝知v＝，r乙>R地，故v乙比第一宇宙速度小，B錯誤；由G＝ma知a＝，r甲>r乙，故a甲1．衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述
人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達預(yù)定軌道，如圖所示．
(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上．
(2)在A點啟動發(fā)動機加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供所需的向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ.
(3)在B點(遠地點)再次啟動發(fā)動機加速進入圓形軌道Ⅲ.
2．三個運行軌道上物理量的大小比較
(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點速率分別為vA、vB.在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因為衛(wèi)星在A點只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同；同理，經(jīng)過B點加速度也相同．
(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上運行的周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律＝k可知T1如圖所示，一顆人造衛(wèi)星原來在橢圓軌道1繞地球E運行，在P點變軌后進入軌道2做勻速圓周運動．下列說法正確的是(　　)
A．不論在軌道1還是在軌道2運行，衛(wèi)星在P點的速度都相同
B．不論在軌道1還是在軌道2運行，衛(wèi)星在P點的加速度都相同
C．衛(wèi)星在軌道1的任何位置都具有相同加速度
D．衛(wèi)星在軌道2的任何位置都具有相同加速度
B　[從軌道1變軌到軌道2，需要在P點加速，故A錯誤；根據(jù)公式G＝ma可得a＝，故只要半徑相同，加速度大小都相同，由于衛(wèi)星在軌道1做橢圓運動，運動半徑在變化，所以運動的加速度在變化，故B正確，C錯誤；衛(wèi)星在軌道2做勻速圓周運動，加速度方向時刻在變化，故D錯誤．]
[訓(xùn)練4]　如圖所示，我國“天舟一號”貨運飛船與“天宮二號”空間實驗室順利完成交會對接．假設(shè)“天宮二號”與“天舟一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是(　　)
A．使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接
B．使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接
C．飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接
D．飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接
C　[為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，可使飛船在較低的軌道上加速做離心運動，逐漸靠近空間實驗室，在兩者速度接近時實現(xiàn)對接，選項C正確．]
[對應(yīng)學(xué)生用書P56]
1．(同步衛(wèi)星的運行特點)下列關(guān)于我國發(fā)射的“亞洲一號”地球同步通信衛(wèi)星的說法，正確的是(　　)
A．若其質(zhì)量加倍，則軌道半徑也要加倍
B．它在北京上空運行
C．它以第一宇宙速度運行
D．它運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同
D　[由G＝m得r＝，則軌道半徑與衛(wèi)星質(zhì)量無關(guān)，A錯誤；同步衛(wèi)星的軌道平面必須與赤道平面重合，即在赤道上空運行，不能在北京上空運行，B錯誤；第一宇宙速度是衛(wèi)星在最低圓軌道上運行的速度，而地球同步衛(wèi)星是在高軌道上運行，其運行速度小于第一宇宙速度，C錯誤；所謂“同步”就是衛(wèi)星保持與地面位置相對靜止，所以同步衛(wèi)星的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，故D正確．]
2．(天體運動模型的構(gòu)建)我國暗物質(zhì)粒子探測衛(wèi)星“悟空”發(fā)射升空進入高為5×102 km的預(yù)定軌道．“悟空”衛(wèi)星和地球同步衛(wèi)星的運動均可視為勻速圓周運動．已知地球半徑R＝6.4×103 km.下列說法正確的是(地球同步衛(wèi)星距地面3.6×104 km)(　　)
A．“悟空”衛(wèi)星的線速度比同步衛(wèi)星的線速度小
B．“悟空”衛(wèi)星的角速度比同步衛(wèi)星的角速度小
C．“悟空”衛(wèi)星的運行周期比同步衛(wèi)星的運行周期小
D．“悟空”衛(wèi)星的向心加速度比同步衛(wèi)星的向心加速度小
C　[地球同步衛(wèi)星距地表3.6×104 km，由v＝可知，“悟空”的線速度要大，A錯誤；由ω＝可知，“悟空”的角速度要大，即周期要小，B錯誤，C正確；由an＝可知，“悟空”的向心加速度要大，D錯誤．]
3．某宇宙飛船在月球上空以速度v繞月球做圓周運動．如圖所示，為了使飛船安全地落在月球上的B點，在軌道A點點燃火箭發(fā)動機做短時間的啟動，向外噴射高溫燃氣，噴氣的方向為(　　)
A．與v的方向相反 B．與v的方向一致
C．垂直v的方向向右 D．垂直v的方向向左
B　[要使飛船降落，必須使飛船做近心運動，即減速，所以噴氣方向應(yīng)該與v方向相同，因此B正確．]
4．(宇宙多星模型)宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上．已知引力常量為G.關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法錯誤的是(　　)
A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動
B．四顆星的軌道半徑均為
C．四顆星表面的重力加速度均為
D．四顆星的周期均為2πa
B　[四星系統(tǒng)中任一顆星體均在其他三顆星體的萬有引力作用下，合力方向指向正方形對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由幾何知識可得軌道半徑均為a，故A正確，B錯誤；在星體表面，根據(jù)萬有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正確；由萬有引力定律和向心力公式得＋ cos 45°＝m·，解得T＝2πa，故D正確．]
章末強化練(三)　萬有引力定律
[對應(yīng)學(xué)生用書P128]
(時間：90分鐘　滿分：100分)
一、選擇題(本題共12小題，共48分，1～7題為單選題，每小題4分，8～12題為多選題，全都選對的得4分，有選對但不全的得2分，有選錯或不選的得0分)
1．關(guān)于萬有引力定律F＝G，下列說法正確的是(　　)
A．開普勒通過研究行星運動的規(guī)律發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律
B．牛頓通過地月引力計算首先推算出了引力常量
C．萬有引力定律中引力常量G的單位是N·m2/kg2
D．研究微觀粒子之間的相互作用時萬有引力不能忽略
C　[萬有引力定律是牛頓發(fā)現(xiàn)的，故A錯誤；引力常量由卡文迪許首先通過實驗較準確測得，故B錯誤；根據(jù)萬有引力定律F＝G得，引力常量G＝，可知引力常量G的單位是N·m2/kg2，故C正確；研究微觀粒子之間的相互作用時萬有引力常常忽略不計，故D錯誤．]
2．兩顆人造地球衛(wèi)星質(zhì)量之比是1∶2，軌道半徑之比是3∶1，則下列說法正確的是(　　)
A．它們的周期之比是3∶1
B．它們的線速度之比是3∶1
C．它們的向心加速度之比是1∶9
D．它們的向心力之比是1∶9
C　[人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力由萬有引力提供，有F＝G＝mr＝m＝ma，根據(jù)G＝mr知T＝2π，則＝ eq \r(\f(r,r)) ＝，故A錯誤；根據(jù)G＝m知v＝ ，則＝＝，故B錯誤；根據(jù)G＝ma知a＝，則＝ eq \f(r,r) ＝＝，故C正確；根據(jù)F＝G知＝· eq \f(r,r) ＝×＝，故D錯誤．]
3．人造地球衛(wèi)星與地面的距離為地球半徑的1.5倍，衛(wèi)星正以角速度ω做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g，R、ω、g這三個物理量之間的關(guān)系是(　　)
A．ω＝ 　　　　　　　 B．ω＝
C．ω＝ D．ω＝
A　[由G＝mrω2得ω＝ ，其中r＝2.5R，再根據(jù)g＝可得ω＝ ，故A正確．]
4．星球上的物體在星球表面附近繞星球做勻速圓周運動所必須具備的速度v1叫作第一宇宙速度，物體脫離星球引力所需要的最小發(fā)射速度v2叫作第二宇宙速度，v2與v1的關(guān)系是v2＝v1.已知某星球的半徑為r，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的.若不計其他星球的影響，則該星球的(　　 )
A．v1＝，v2＝
B．v1＝，v2＝
C．v1＝，v2＝
D．v1＝，v2＝
B　[對貼著星球表面的衛(wèi)星有mg′＝m eq \f(v,r) ，解得v1＝＝，又由v2＝v1，可求出v2＝ .]
5．研究表明，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時．假設(shè)這種趨勢會持續(xù)下去，地球的其他條件都不變，未來人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比(　　)
A．距地面的高度變大
B．向心加速度變大
C．線速度變大
D．角速度變大
A　[衛(wèi)星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，即G＝mr()2，得r＝ ，地球同步衛(wèi)星的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，當(dāng)?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)變慢(自轉(zhuǎn)周期變大)時，同步衛(wèi)星做圓周運動的半徑會變大，離地面的高度變大，故A正確；由G＝ma得a＝，半徑變大，向心加速度變小，故B錯誤；由G＝m得v＝，半徑變大，線速度變小，故C錯誤；由ω＝可知，同步衛(wèi)星的周期變大，角速度變小，故D錯誤．]
6．如圖所示，一飛行器圍繞地球沿半徑為r的圓軌道1運動．經(jīng)P點時，啟動推進器短時間內(nèi)向前噴氣使其變軌，2、3是與軌道1相切于P點的可能軌道．則飛行器(　　)
A．變軌后將沿軌道2運動
B．相對于變軌前運行周期變長
C．變軌前、后在兩軌道上經(jīng)P點的速度大小相等
D．變軌前、后在兩軌道上經(jīng)P點的加速度大小相等
D　[推進器短時間向前噴氣，飛行器將被減速，故C錯誤；此時有G>m，所以飛行器將做向心運動，即變軌后將沿較低軌道3運動，故A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，公轉(zhuǎn)周期將變短，故B錯誤；由于變軌前、后在兩軌道上經(jīng)P點時，所受萬有引力不變，因此加速度大小不變，故D正確．]
7．(2022·山東卷)“羲和號”是我國首顆太陽探測科學(xué)技術(shù)試驗衛(wèi)星．如圖所示，該衛(wèi)星圍繞地球的運動視為勻速圓周運動，軌道平面與赤道平面接近垂直．衛(wèi)星每天在相同時刻，沿相同方向經(jīng)過地球表面A點正上方，恰好繞地球運行n圈．已知地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，則“羲和號”衛(wèi)星軌道距地面的高度為(　　)
A．()－R　　　　　　 B．()
C．()－R D．()
C　[依題意可知衛(wèi)星的繞行周期T0＝，對衛(wèi)星根據(jù)牛頓第二定律可得G＝m(R＋h)· eq \f(4π2,T) ，根據(jù)黃金代換式gR2＝GM，聯(lián)立解得h＝()－R，C正確．]
8．(2021·湖南卷)2021年4月29日，中國空間站“天和”核心艙發(fā)射升空，準確進入預(yù)定軌道．根據(jù)任務(wù)安排，后續(xù)將發(fā)射“問天”實驗艙和“夢天”實驗艙．核心艙繞地球飛行的軌道可視為圓軌道，軌道離地面的高度約為地球半徑的.下列說法正確的是(　　)
A．核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力大小約為它在地面時的
B．核心艙在軌道上飛行的速度大于7.9 km/s
C．核心艙在軌道上飛行的周期小于24 h
D．后續(xù)加掛實驗艙后，空間站由于質(zhì)量增大，軌道半徑將變小
AC　[根據(jù)萬有引力定律有
F＝G
核心艙進入軌道后的萬有引力與地面上萬有引力之比為
＝＝()2
故A正確；
核心艙在軌道上飛行的速度小于7.9 km/s，因為第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，所以B錯誤；
根據(jù)T＝2π 可知軌道半徑越大周期越大，則其周期比同步衛(wèi)星的周期小，小于24 h，故C正確；
衛(wèi)星做圓周運動時萬有引力提供向心力有
G＝m
解得v＝
則衛(wèi)星的環(huán)繞速度與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，所以變軌時需要點火減速或者點火加速，增加質(zhì)量不會改變軌道半徑，D錯誤．]
9．如圖所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，用R、T、v、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、速度、與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積．下列關(guān)系式正確的有(　　)
A．TA>TB B．vA>vB
C．SA＝SB D． eq \f(R,T) ＝ eq \f(R,T)
AD　[衛(wèi)星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，即G＝m＝mR()2，得v＝ ，T＝2π，由RA>RB可知，TA>TB，vA10．有一宇宙飛船到了某行星上(該行星沒有自轉(zhuǎn)運動)，以速度v繞行星表面勻速飛行，測出運動的周期為T，已知引力常量為G，則可得(　　 )
A．該行星的半徑為
B．該行星的平均密度為
C．無法求出該行星的質(zhì)量
D．該行星表面的重力加速度為
AB　[由T＝可得R＝，故A正確；由＝m可得M＝，故C錯誤；由M＝πR3ρ得ρ＝，故B正確；由G＝mg得g＝，故D錯誤．]
11．冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，它們的質(zhì)量之比約為7∶1，已知它們繞連線上某點O做勻速圓周運動．由此可知，冥王星繞O點運動的(　　)
A．軌道半徑約為卡戎的
B．角速度大小約為卡戎的
C．線速度大小約為卡戎的
D．向心力大小約為卡戎的7倍
AC　[冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，所以冥王星和卡戎的周期相等，角速度也相等，故B錯誤；它們之間的萬有引力提供各自的向心力，得mω2r＝Mω2R，冥王星與卡戎的質(zhì)量之比約為7∶1，所以冥王星繞O點運動的軌道半徑約為卡戎的，故A正確；根據(jù)v＝ωr得冥王星的線速度大小約為卡戎的，故C正確．它們之間的萬有引力是相互作用力，大小相等，故D錯誤．]
12．如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M、半徑為R.下列說法正確的是(　　 )
A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為
B．一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為
C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為
D．三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為
BC　[地球與衛(wèi)星之間的距離應(yīng)為地心與衛(wèi)星之間的距離，故A錯誤，B正確；兩顆相鄰衛(wèi)星與地球球心的連線互成120°角，間距為r，代入數(shù)據(jù)得，兩顆衛(wèi)星之間引力大小為，故C正確；三顆衛(wèi)星對地球引力的合力為零，故D錯誤．]
二、非選擇題(本題共4小題，共52分)
13．(12分)在某火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來．已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T.火星可視為半徑為r0的均勻球體．假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v0.求：
(1)火星表面的重力加速度；
(2)它第二次落到火星表面時速度的大小．(不計火星大氣阻力)
解析　(1)設(shè)火星的衛(wèi)星的質(zhì)量為m，有
G＝mr
設(shè)火星表面的物體的質(zhì)量為m0，有
G eq \f(Mm0,r) ＝m0g，
則g＝ eq \f(4π2r3,T2r) .
(2)設(shè)落到火星表面時豎直方向速度為v1，
則有v＝2gh.
又v2＝v＋v，
所以，v＝ eq \r(\f(8π2hr3,T2r)＋v) .
答案　(1) eq \f(4π2r3,T2r) 　(2) eq \r(\f(8π2hr3,T2r)＋v)
14．(12分)某載人飛船中有一體重計，體重計上放一物體，火箭點火前，宇航員觀察到體重計的示數(shù)為F0.在載人飛船隨火箭豎直向上勻加速升空的過程中，當(dāng)飛船離地面高度為H時，宇航員觀察到體重計顯示對物體的彈力為F.設(shè)地球半徑為R，第一宇宙速度為v，求：
(1)該物體的質(zhì)量；
(2)火箭上升的加速度．
解析　(1)設(shè)地面附近重力加速度為g0，由火箭點火前體重計示數(shù)為F0可知，物體質(zhì)量為m＝ ①
由第一宇宙速度公式v＝
可得地球表面附近的重力加速度g0＝ ②
聯(lián)立①②式解得該物體的質(zhì)量為m＝ ③
(2)當(dāng)飛船離地面高度為H時，物體所受萬有引力為
F′＝G ④
而g0＝ ⑤
對物體應(yīng)用牛頓第二定律得F－F′＝ma ⑥
聯(lián)立②③④⑤⑥式得火箭上升的加速度
a＝－.
答案　(1)　(2)－
15．(13分)在某個半徑為R＝105 m的行星表面，用彈簧測力計稱量質(zhì)量m＝1 kg的砝碼，其重力的大小G＝1.6 N.
(1)求該星球的第一宇宙速度v1；
(2)求該星球的平均密度．(球體體積公式V＝πR3，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，結(jié)果保留2位有效數(shù)字)
解析　(1)行星表面的重力加速度g＝＝1.6 m/s2，則m′g＝m′ eq \f(v,R) ，
解得該星球的第一宇宙速度
v1＝＝400 m/s.
(2)由mg＝G得M＝，
又V＝πR3，
所以ρ＝＝，
代入數(shù)據(jù)解得ρ≈5.7×104 kg/m3.
答案　(1)400 m/s　(2)5.7×104 kg/m3
16．(15分)某宇宙飛船由運載火箭先送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道，在B點實施變軌后，再進入預(yù)定圓軌道，如圖所示．已知飛船在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，近地點A距地面高度為h1，地球表面重力加速度為g，地球半徑為R.求：
(1)飛船在近地點A的加速度aA；
(2)遠地點B距地面的高度h2.
解析　(1)設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船的質(zhì)量為m，在A點飛船受到的地球引力為F＝G，
地球表面的重力加速度g＝G
由牛頓第二定律得
aA＝＝＝.
(2)飛船在預(yù)定圓軌道飛行的周期T＝
由牛頓第二定律得
G＝m(R＋h2)
解得h2＝ －R.
答案　(1)　(2) －R第5節(jié)　太空探索(選學(xué))　略
素養(yǎng)拓展課(三)　萬有引力定律的應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標 1．進一步加深對萬有引力定律的理解．2．掌握萬有引力定律在天體、人造衛(wèi)星、航天技術(shù)等各方面的應(yīng)用．3．熟練應(yīng)用萬有引力定律計算天體質(zhì)量、密度，分析人造衛(wèi)星的運動規(guī)律等．
1．建立質(zhì)點模型
天體有自然天體(如地球、月球)和人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)兩種，無論是哪種天體，不管它的體積有多大，在分析天體問題時，應(yīng)把研究對象看成質(zhì)點，通常把人造天體直接看成一個質(zhì)點，把自然天體看成位于球心位置的一個質(zhì)點．
2．建立勻速圓周運動模型
行星與衛(wèi)星實際的繞行軌道大都是橢圓，但用圓周運動的知識處理近圓的橢圓軌道問題時，誤差不大并且處理方便，因此通常把天體的運動抽象為質(zhì)點之間相互繞轉(zhuǎn)的勻速圓周運動．其動力學(xué)方程為：G＝m＝mrω2＝mr.
(多選)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)某恒星附近有一顆行星在圓形軌道上繞其運動，并測出了行星的軌道半徑和周期，由此可推算出(　　)
A．行星的質(zhì)量　　　　　　 B．行星的運行速率
C．恒星的質(zhì)量 D．恒星的平均密度
　
　利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計算出地球質(zhì)量的是(　　)
A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))
B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期
C．月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球間的距離
D．地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離
　
1．雙星模型
在天體模型中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星，它們在相互之間的萬有引力的作用下，繞兩星連線上的某點做周期相同的勻速圓周運動．
2．三星模型
如圖所示，三顆質(zhì)量相等的恒星位于一正三角形的頂點處，都繞三角形的中心做勻速圓周運動，每顆恒星運行所需向心力都由其余兩顆恒星對其萬有引力的合力來提供，有×2×cos 30°＝ma，其中L＝2r cos 30°.
三顆行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等．
(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星體位于正三角形的三個頂點，三角形邊長為R，忽略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運動，引力常量為G，則(　　)
A．每顆星體做勻速圓周運動的線速度為
B．每顆星體做勻速圓周運動的角速度為
C．每顆星體做勻速圓周運動的周期為2π
D．每顆星體做勻速圓周運動的加速度與它們的質(zhì)量無關(guān)
　
　引力波的發(fā)現(xiàn)證實了愛因斯坦100年前所做的預(yù)測.1974年發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小，這就間接地證明了引力波的存在．將該雙星系統(tǒng)簡化為理想的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點做勻速圓周運動．由于雙星間的距離減小，則(　　)
A．兩星的運動周期均逐漸減小
B．兩星的運動角速度均逐漸減小
C．兩星的向心加速度均逐漸減小
D．兩星的運動線速度均逐漸減小
　
1．人造地球衛(wèi)星繞地心做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，G＝m＝mr＝mω2r.此式可用來分析衛(wèi)星運行的繞行速度、周期、角速度隨軌道半徑的變化規(guī)律．
2．對于同步衛(wèi)星問題，要理解“同步”的物理意義，即衛(wèi)星在赤道上方一定高度的軌道上運行時，周期、角速度和地球赤道上的物體的周期、角速度相同，要善于將“同步衛(wèi)星”、一般衛(wèi)星和赤道上物體的運動進行對比．
假設(shè)有一艘載人宇宙飛船在距地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運動，地球半徑約為6 400 km，地球同步衛(wèi)星距地面高為36 000 km.宇宙飛船和一顆地球同步衛(wèi)星繞地球同向運動，每當(dāng)兩者相距最近時，宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號，然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送到地面接收站，某時刻兩者相距最遠，從此刻開始，在一晝夜的時間內(nèi)，接收站共接收到信號的次數(shù)為(　　)
A．4次　　　　　　　　　 B．6次
C．7次 D．8次
　
　(多選)甲、乙為兩顆地球衛(wèi)星，其中甲為地球同步衛(wèi)星，乙的運行高度低于甲的運行高度，兩衛(wèi)星軌道均可視為圓軌道．以下判斷正確的是(　　)
A．甲的周期大于乙的周期
B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的加速度小于乙的加速度
D．甲在運行時能經(jīng)過北極的正上方
　
1．衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述
人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達預(yù)定軌道，如圖所示．
(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上．
(2)在A點啟動發(fā)動機加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供所需的向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ.
(3)在B點(遠地點)再次啟動發(fā)動機加速進入圓形軌道Ⅲ.
2．三個運行軌道上物理量的大小比較
(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點速率分別為vA、vB.在A點加速，則vA>v1，在B點加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因為衛(wèi)星在A點只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同；同理，經(jīng)過B點加速度也相同．
(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上運行的周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律＝k可知T1如圖所示，一顆人造衛(wèi)星原來在橢圓軌道1繞地球E運行，在P點變軌后進入軌道2做勻速圓周運動．下列說法正確的是(　　)
A．不論在軌道1還是在軌道2運行，衛(wèi)星在P點的速度都相同
B．不論在軌道1還是在軌道2運行，衛(wèi)星在P點的加速度都相同
C．衛(wèi)星在軌道1的任何位置都具有相同加速度
D．衛(wèi)星在軌道2的任何位置都具有相同加速度
　
　如圖所示，我國“天舟一號”貨運飛船與“天宮二號”空間實驗室順利完成交會對接．假設(shè)“天宮二號”與“天舟一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是(　　)
A．使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接
B．使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接
C．飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接
D．飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接
　
1．(同步衛(wèi)星的運行特點)下列關(guān)于我國發(fā)射的“亞洲一號”地球同步通信衛(wèi)星的說法，正確的是(　　)
A．若其質(zhì)量加倍，則軌道半徑也要加倍
B．它在北京上空運行
C．它以第一宇宙速度運行
D．它運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同
　
2．(天體運動模型的構(gòu)建)我國暗物質(zhì)粒子探測衛(wèi)星“悟空”發(fā)射升空進入高為5×102 km的預(yù)定軌道．“悟空”衛(wèi)星和地球同步衛(wèi)星的運動均可視為勻速圓周運動．已知地球半徑R＝6.4×103 km.下列說法正確的是(地球同步衛(wèi)星距地面3.6×104 km)(　　)
A．“悟空”衛(wèi)星的線速度比同步衛(wèi)星的線速度小
B．“悟空”衛(wèi)星的角速度比同步衛(wèi)星的角速度小
C．“悟空”衛(wèi)星的運行周期比同步衛(wèi)星的運行周期小
D．“悟空”衛(wèi)星的向心加速度比同步衛(wèi)星的向心加速度小
　
3．某宇宙飛船在月球上空以速度v繞月球做圓周運動．如圖所示，為了使飛船安全地落在月球上的B點，在軌道A點點燃火箭發(fā)動機做短時間的啟動，向外噴射高溫燃氣，噴氣的方向為(　　)
A．與v的方向相反 B．與v的方向一致
C．垂直v的方向向右 D．垂直v的方向向左
　
4．(宇宙多星模型)宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上．已知引力常量為G.關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說法錯誤的是(　　)
A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動
B．四顆星的軌道半徑均為
C．四顆星表面的重力加速度均為
D．四顆星的周期均為2πa
　
章末強化練(三)　萬有引力定律
(時間：90分鐘　滿分：100分)
一、選擇題(本題共12小題，共48分，1～7題為單選題，每小題4分，8～12題為多選題，全都選對的得4分，有選對但不全的得2分，有選錯或不選的得0分)
1．關(guān)于萬有引力定律F＝G，下列說法正確的是(　　)
A．開普勒通過研究行星運動的規(guī)律發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律
B．牛頓通過地月引力計算首先推算出了引力常量
C．萬有引力定律中引力常量G的單位是N·m2/kg2
D．研究微觀粒子之間的相互作用時萬有引力不能忽略
　
2．兩顆人造地球衛(wèi)星質(zhì)量之比是1∶2，軌道半徑之比是3∶1，則下列說法正確的是(　　)
A．它們的周期之比是3∶1
B．它們的線速度之比是3∶1
C．它們的向心加速度之比是1∶9
D．它們的向心力之比是1∶9
　
3．人造地球衛(wèi)星與地面的距離為地球半徑的1.5倍，衛(wèi)星正以角速度ω做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g，R、ω、g這三個物理量之間的關(guān)系是(　　)
A．ω＝ 　　　　　　　 B．ω＝
C．ω＝ D．ω＝
　
4．星球上的物體在星球表面附近繞星球做勻速圓周運動所必須具備的速度v1叫作第一宇宙速度，物體脫離星球引力所需要的最小發(fā)射速度v2叫作第二宇宙速度，v2與v1的關(guān)系是v2＝v1.已知某星球的半徑為r，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的.若不計其他星球的影響，則該星球的(　　 )
A．v1＝，v2＝
B．v1＝，v2＝
C．v1＝，v2＝
D．v1＝，v2＝
　
5．研究表明，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時．假設(shè)這種趨勢會持續(xù)下去，地球的其他條件都不變，未來人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比(　　)
A．距地面的高度變大
B．向心加速度變大
C．線速度變大
D．角速度變大
　
6．如圖所示，一飛行器圍繞地球沿半徑為r的圓軌道1運動．經(jīng)P點時，啟動推進器短時間內(nèi)向前噴氣使其變軌，2、3是與軌道1相切于P點的可能軌道．則飛行器(　　)
A．變軌后將沿軌道2運動
B．相對于變軌前運行周期變長
C．變軌前、后在兩軌道上經(jīng)P點的速度大小相等
D．變軌前、后在兩軌道上經(jīng)P點的加速度大小相等
　
7．(2022·山東卷)“羲和號”是我國首顆太陽探測科學(xué)技術(shù)試驗衛(wèi)星．如圖所示，該衛(wèi)星圍繞地球的運動視為勻速圓周運動，軌道平面與赤道平面接近垂直．衛(wèi)星每天在相同時刻，沿相同方向經(jīng)過地球表面A點正上方，恰好繞地球運行n圈．已知地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，則“羲和號”衛(wèi)星軌道距地面的高度為(　　)
A．()－R　　　　　　 B．()
C．()－R D．()
　
8．(2021·湖南卷)2021年4月29日，中國空間站“天和”核心艙發(fā)射升空，準確進入預(yù)定軌道．根據(jù)任務(wù)安排，后續(xù)將發(fā)射“問天”實驗艙和“夢天”實驗艙．核心艙繞地球飛行的軌道可視為圓軌道，軌道離地面的高度約為地球半徑的.下列說法正確的是(　　)
A．核心艙進入軌道后所受地球的萬有引力大小約為它在地面時的
B．核心艙在軌道上飛行的速度大于7.9 km/s
C．核心艙在軌道上飛行的周期小于24 h
D．后續(xù)加掛實驗艙后，空間站由于質(zhì)量增大，軌道半徑將變小
　
9．如圖所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，用R、T、v、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、速度、與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積．下列關(guān)系式正確的有(　　)
A．TA>TB B．vA>vB
C．SA＝SB D． eq \f(R,T) ＝ eq \f(R,T)
　
10．有一宇宙飛船到了某行星上(該行星沒有自轉(zhuǎn)運動)，以速度v繞行星表面勻速飛行，測出運動的周期為T，已知引力常量為G，則可得(　　 )
A．該行星的半徑為
B．該行星的平均密度為
C．無法求出該行星的質(zhì)量
D．該行星表面的重力加速度為
　
11．冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，它們的質(zhì)量之比約為7∶1，已知它們繞連線上某點O做勻速圓周運動．由此可知，冥王星繞O點運動的(　　)
A．軌道半徑約為卡戎的
B．角速度大小約為卡戎的
C．線速度大小約為卡戎的
D．向心力大小約為卡戎的7倍
　
12．如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M、半徑為R.下列說法正確的是(　　 )
A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為
B．一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為
C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為
D．三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為
　
二、非選擇題(本題共4小題，共52分)
13．(12分)在某火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來．已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T.火星可視為半徑為r0的均勻球體．假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v0.求：
(1)火星表面的重力加速度；
(2)它第二次落到火星表面時速度的大小．(不計火星大氣阻力)
14．(12分)某載人飛船中有一體重計，體重計上放一物體，火箭點火前，宇航員觀察到體重計的示數(shù)為F0.在載人飛船隨火箭豎直向上勻加速升空的過程中，當(dāng)飛船離地面高度為H時，宇航員觀察到體重計顯示對物體的彈力為F.設(shè)地球半徑為R，第一宇宙速度為v，求：
(1)該物體的質(zhì)量；
(2)火箭上升的加速度．
15．(13分)在某個半徑為R＝105 m的行星表面，用彈簧測力計稱量質(zhì)量m＝1 kg的砝碼，其重力的大小G＝1.6 N.
(1)求該星球的第一宇宙速度v1；
(2)求該星球的平均密度．(球體體積公式V＝πR3，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，結(jié)果保留2位有效數(shù)字)
16．(15分)某宇宙飛船由運載火箭先送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道，在B點實施變軌后，再進入預(yù)定圓軌道，如圖所示．已知飛船在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，近地點A距地面高度為h1，地球表面重力加速度為g，地球半徑為R.求：
(1)飛船在近地點A的加速度aA；
(2)遠地點B距地面的高度h2.

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