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巧用動(dòng)力學(xué)三大規(guī)律處理計(jì)算題
一、解題步驟
1、確定研究對(duì)象，根據(jù)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景初步判斷其整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為幾個(gè)階段，分析各階段的受力情況；
2、根據(jù)受力情況判斷各階段所屬的運(yùn)動(dòng)類型（分類見(jiàn)下表）；
3、根據(jù)各階段運(yùn)動(dòng)情況選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法（分類見(jiàn)下表）進(jìn)行解答。
二、運(yùn)動(dòng)類型及常用處理方法
運(yùn)動(dòng)類型 特點(diǎn) 常用處理方法
直線運(yùn)動(dòng) 勻速 不受外力或所受合外力為零 勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律及牛頓第二定律 功能關(guān)系 動(dòng)量定理/動(dòng)量守恒定律
勻變速 初速度與合外力方向共線，且合外力大小和方向始終不變 勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律及牛頓第二定律 功能關(guān)系 動(dòng)量定理/動(dòng)量守恒定律
非勻變速 初速度與合外力方向共線，且合外力大小改變，方向始終不變 功能關(guān)系 動(dòng)量定理/動(dòng)量守恒定律
（類）平拋運(yùn)動(dòng) 平拋 初速度與合外力方向垂直，且合外力大小和方向始終不變 平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及牛頓第二定律
類平拋 初速度與合外力方向不共線，且合外力大小及方向始終不變 類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及牛頓第二定律
曲線運(yùn)動(dòng) 勻速圓周 速度與合外力方向始終垂直，且合外力大小不變，方向改變 圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律 功能關(guān)系 動(dòng)量定理/動(dòng)量守恒定律
非勻速圓周/一般曲線 速度與合外力方向不共線，且合外力大小和方向改變 圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律（向心力求壓力/支持力） 功能關(guān)系 動(dòng)量定理/動(dòng)量守恒定律
特殊運(yùn)動(dòng) 碰撞 / 動(dòng)量定理/動(dòng)量守恒定律 功能關(guān)系
三、各方法常用公式
1、勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律：
2、勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律：；；；
3、牛二定律：
4、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律
①加速度：水平方向：；豎直方向：
②速度：水平方向速度：；豎直方向速度：；合速度：
③位移：水平方向位移：；豎直方向位移：；合位移：
④角度：速度方向角：；位移方向角：；兩角關(guān)系：
5、類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律（水平和豎直方向均可為勻變速直線運(yùn)動(dòng)或勻速直線運(yùn)動(dòng)）
①加速度：水平方向：；豎直方向：
②速度：水平方向速度：；豎直方向速度：；合速度：
③位移：水平方向位移：；豎直方向位移：；合位移：
④角度：速度方向角：；位移方向角：
6、圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律：
①向心力：；②豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界速度：
7、功能關(guān)系：
①動(dòng)能定理：；
②機(jī)械能守恒定律：；
③能量守恒定律：系統(tǒng)初狀態(tài)總能量＝系統(tǒng)末狀態(tài)總能量
8、動(dòng)量
①動(dòng)量定理：或
②動(dòng)量守恒定律：
四、分析受力的目的
1、根據(jù)物理的受力情況列平衡方程或者牛頓第二定律方程；
2、根據(jù)物體的受力情況分析物體各階段的運(yùn)動(dòng)情況（詳見(jiàn)上表運(yùn)動(dòng)類型分類）；
3、分析物體各階段中各力的做功情況（恒力做功可表示為W=Fs，變力F做功可表示為WF）
【例1】如圖所示，水平桌面左端有一頂端高為h的光滑圓弧形軌道，圓弧的底端與桌面在同一水平面上。桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑圓軌道MNP，其形狀為半徑R＝0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°后剩余的部分，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也為R。一質(zhì)量m＝0.4kg的物塊A自圓弧形軌道的頂端釋放，到達(dá)圓弧形軌道底端恰與一停在圓弧底端水平桌面上質(zhì)量也為m的物塊B發(fā)生彈性正碰(碰撞過(guò)程沒(méi)有機(jī)械能的損失)，碰后物塊B的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為s＝6t－2t2(關(guān)系式中所有物理量的單位均為國(guó)際單位)，物塊B飛離桌面后恰由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．(重力加速度g取10m/s2)求：
（1）BP間的水平距離sBP；
（2）判斷物塊B能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)；
（3）物塊A由靜止釋放的高度h。
審題分析：由題意及圖像可得出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為：A下滑運(yùn)動(dòng)至B處的過(guò)程中，受到重力以及為變力的支持力，為一般曲線運(yùn)動(dòng)；AB碰撞為特殊運(yùn)動(dòng)；B運(yùn)動(dòng)至D的過(guò)程中根據(jù)位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式可知，為勻減速直線運(yùn)動(dòng)；B由D運(yùn)動(dòng)至P過(guò)程中，只收到重力，為平拋運(yùn)動(dòng)，B由P運(yùn)動(dòng)至M的過(guò)程中，受到重力以及為變力的支持力，結(jié)合軌跡可知為非勻速圓周運(yùn)動(dòng)?？偣参鍌€(gè)運(yùn)動(dòng)階段。在全過(guò)程法不熟練的情況下，優(yōu)先考慮分階段，如果全過(guò)程中包含平拋運(yùn)動(dòng)以及碰撞兩種情況，則這兩種運(yùn)動(dòng)情況優(yōu)先考慮采用分階段單獨(dú)處理。其階段前后部分可分別考慮分階段或者全過(guò)程法。
第1問(wèn)求BP間水平距離，此過(guò)程包含BD和DP兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，且D點(diǎn)為兩個(gè)階段的連接點(diǎn)，即速度一致。BD過(guò)程由于知道加速度和初速度，求位移故選勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，DP段采用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行解答。解答如下：
（1）設(shè)AB碰后，B速度為v1，B在D點(diǎn)的速度為v2，B在BD段運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，根據(jù)位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式可得：
，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得：
設(shè)P點(diǎn)速度為v3，將P點(diǎn)速度分解成水平和豎直方向速度，B由D運(yùn)動(dòng)至P處的過(guò)程中，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：
，，，
故：
聯(lián)立以上等式，代入數(shù)據(jù)可得：
，
第2問(wèn)判斷物塊B能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)，從P到M的過(guò)程中，物體做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的最小臨界速度：，此過(guò)程中只有重力做功，且PM高度差可知，故考慮采用功能關(guān)系進(jìn)行解答：
（2）設(shè)B能夠到達(dá)M點(diǎn)，且到底M點(diǎn)速度為v，則從P到M的過(guò)程中，由功能關(guān)系可得：
代入數(shù)據(jù)可得：
所以B不能沿軌道到達(dá)M點(diǎn)
第3問(wèn)求物塊A由靜止釋放的高度h，A物體由靜止運(yùn)動(dòng)至與B碰撞前的過(guò)程為一般曲線運(yùn)動(dòng)，故采用功能關(guān)系方法。但不知道A的碰前速度，而AB發(fā)生彈性碰撞，故需通過(guò)碰撞求A的碰前速度。詳解如下：
（3）設(shè)A運(yùn)動(dòng)到B處與B碰前A速度為v0，碰后A速度為，由于AB發(fā)生彈性正碰，故根據(jù)動(dòng)量守恒定律及機(jī)械能守恒定律可得
A下滑運(yùn)動(dòng)至B處的過(guò)程中，由功能關(guān)系可得
聯(lián)立以上等式，代入數(shù)據(jù)可得
【訓(xùn)練1】如圖所示，水平軌道OP光滑，PM粗糙，PM長(zhǎng)L＝3.2m。OM與半徑R＝0.15m的豎直半圓軌道MN平滑連接。小物塊A自O(shè)點(diǎn)以v0＝14m/s向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在P點(diǎn)的小物塊B發(fā)生正碰(碰撞時(shí)間極短)，碰后A、B分開(kāi)，A恰好運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)停止。A、B均看作質(zhì)點(diǎn)。已知A的質(zhì)量mA＝1.0kg，B的質(zhì)量mB＝2.0kg，A、B與軌道PM的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝0.25，g取10m/s2，求：
（1）碰后A、B的速度大??；
（2）碰后B沿軌道PM運(yùn)動(dòng)到M所需時(shí)間；
（3）若B恰好能到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)N，求沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程損失的機(jī)械能。
【訓(xùn)練2】如圖所示，光滑軌道abc固定在豎直平面內(nèi)，ab傾斜、bc水平，與半徑R＝0.4m豎直固定的粗糙半圓形軌道cd在c點(diǎn)平滑連接。可視為質(zhì)點(diǎn)的小球甲和乙靜止在水平軌道上，二者中間壓縮有輕質(zhì)彈簧，彈簧與兩小球均不拴接且被鎖定。現(xiàn)解除對(duì)彈簧的鎖定，小球甲在脫離彈簧后恰能沿軌道運(yùn)動(dòng)到a處，小球乙在脫離彈簧后沿半圓形軌道恰好能到達(dá)最高點(diǎn)d。已知小球甲的質(zhì)量m1＝2kg，a、b的豎直高度差h＝0.45m，已知小球乙在c點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)其彈力的大小F＝100N，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)兩小球均在水平軌道上，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小球乙的質(zhì)量；
（2）彈簧被鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能Ep；
（3）小球乙在半圓形軌道上克服摩擦力所做的功Wf。
【例2】如圖所示，xOy為平面直角坐標(biāo)系，在y>d的空間Ⅰ內(nèi)存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。在0（1）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）小球在空間Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）小球進(jìn)入空間Ⅲ后，經(jīng)偏轉(zhuǎn)到達(dá)y軸上F點(diǎn)（F點(diǎn)未畫(huà)出），則DF兩點(diǎn)間電勢(shì)差。
審題分析：根據(jù)題意可知，粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可分為三個(gè)階段，第一個(gè)階段為在空間1中運(yùn)動(dòng)，此階段中，粒子受到恒定不變的電場(chǎng)力和重力，屬于類平拋運(yùn)動(dòng)，可按類平拋運(yùn)動(dòng)處理。第二階段為在空間2中的運(yùn)動(dòng)，粒子受到恒定不變的電場(chǎng)力和重力，以及洛倫茲力，需通過(guò)電場(chǎng)力和重力的大小情況，判斷其為勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是一般曲線運(yùn)動(dòng)。再選擇恰當(dāng)方法。第三階段為在空間3中的運(yùn)動(dòng)，粒子受到恒定不變的電場(chǎng)力和重力，屬于類平拋運(yùn)動(dòng)，可按類平拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行處理。軌跡圖如下所示。小問(wèn)詳析如下
第1問(wèn)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小，分析可知小球在水平方向上在電場(chǎng)力作用下做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上在重力作用下做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。
（1）粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，在水平方向上有：
，，
在豎直方向上有：
，，
在C點(diǎn)的速度為
聯(lián)立以上等式代入數(shù)據(jù)可得
，
由第1問(wèn)可知，粒子在空間2中受到的電場(chǎng)力和重力始終等大反向，故在空間2中粒子只受洛倫茲力的作用，在空間2中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知，需知道粒子在射入點(diǎn)的速度方向。詳解如下：
（2）由于粒子在空間2中受到的電場(chǎng)力和重力始終等大反向，故粒子在空間2中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)的速度方向?yàn)?br/>即
根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得
根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在空間2中運(yùn)動(dòng)的圓心角θ為45°，故運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
由2及幾何關(guān)系可知，坐標(biāo)原點(diǎn)O為粒子圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，所以粒子進(jìn)入空間3時(shí)，速度方向與x軸垂直，粒子在空間3中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子受到恒定不變的電場(chǎng)力和重力，可按類平拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行處理確定F點(diǎn)位置，再根據(jù)電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系進(jìn)行解答，詳解如下：
（3）由2中幾何關(guān)系可知，粒子進(jìn)入空間3時(shí)的速度為與x軸垂直。且D與O點(diǎn)的距離為
對(duì)粒子進(jìn)行分析受力，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，水平方向上有：
，
在豎直方向上有：
,
聯(lián)立以上等式，代入數(shù)據(jù)可得：
分別過(guò)DF點(diǎn)做電場(chǎng)線方向的垂線，根據(jù)電勢(shì)差與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系可知，DF兩點(diǎn)的電勢(shì)差為
【訓(xùn)練3】在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中，x軸上方存在大小為E、方向與x軸負(fù)方向成45°角的勻強(qiáng)電場(chǎng)，x軸下方存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為的帶電粒子從y軸上的點(diǎn)由靜止釋放，從x軸上的A點(diǎn)第一次進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，從x軸上的C點(diǎn)第一次離開(kāi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，恰好從A點(diǎn)第二次進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，不計(jì)粒子受到的重力。求：
（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；
（3）帶電粒子從釋放到經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的時(shí)間t。
【訓(xùn)練4】如圖所示，在xoz平面的第二象限內(nèi)有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，空間某區(qū)域存在軸線平行于z軸的圓柱形磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向沿z軸正方向。一比荷為的帶正電粒子從x軸上的P點(diǎn)以速度射入電場(chǎng)，方向與x軸的夾角。該粒子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，由z軸上的Q點(diǎn)以垂直于z軸的方向立即進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)射出后，通過(guò)坐標(biāo)為（0，0.15m，0.2m）的M點(diǎn)（圖中未畫(huà)出），且速度方向與x軸負(fù)方向的夾角，其中，不計(jì)粒子重力。求：
（1）粒子速度的大?。?br/>（2）圓柱形磁場(chǎng)區(qū)域的最小橫截面積Smin（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；
（3）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）。

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