資源簡介

第五節　電勢差及其與電場強度的關系
[學習目標]
核心素養 學習目標
物理觀念 知道電勢差的概念，知道勻強電場中電勢差與電場強度的關系，會應用靜電力做功的公式WAB＝qUAB進行有關計算
科學思維 會用公式UAB＝φA－φB及UAB＝進行有關計算，會推導E＝及1 V/m＝1 N/C，理解電勢差與電場強度的物理意義
科學探究 學會利用關系式UAB＝Ed定性分析非勻強電場的問題，并與他人協作交流和探究
科學態度與責任 通過區分三個公式：E＝，E＝和E＝，學會科學分析問題的方法，培養進行科學普及的興趣與責任
知識點一　電勢差
1．定義：電場中兩點間電勢的差值叫作電勢差，也叫電壓，用符號U表示。
2．公式：設電場中A點的電勢為 φA，B點的電勢為 φB，則A、B兩點之間的電勢差為：UAB＝ φA－φB。B、A兩點之間的電勢差為：UBA＝ φB－φA。
3．電勢差的正負：電勢差是標量，但有正負。電勢差的正負表示兩點電勢的高低。
4．電勢差的單位：在國際單位制中，電勢差與電勢的單位相同，均為伏特，符號是V。
5．電場力做功與電勢差的關系
(1)公式：WAB＝qUAB，UAB＝。
(2)物理意義：電場中A、B兩點間的電勢差，等于把單位電荷從A點移到B點時電場力所做的功。
(3)適用范圍：任意電場。
　電勢差UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，所以有UAB＝－UBA。
1：思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)電勢差的正、負代表了電勢差的大小。 (×)
(2)把正電荷從A點移到B點，電場力做正功，則有UAB＞0。 (√)
(3)公式UAB＝說明兩點間的電勢差UAB與電場力做的功WAB成正比，與移動電荷的電荷量q成反比。 (×)
知識點二　電勢差與電場強度的關系
1．關系：在勻強電場中任意兩點間的電勢差等于場強與這兩點沿電場方向的距離的乘積。
2．關系式：U＝Ed。
3．適用條件：勻強電場，d是沿電場方向兩點間的距離。
4．從電勢差的角度理解電場強度
(1)表達式：E＝。
(2)物理意義：在勻強電場中，電場強度的大小等于兩點間的電勢差與兩點沿電場強度方向的距離的比值。也就是說，在勻強電場中，場強在數值上等于沿場強方向距離為每單位長度的兩點間的電勢差。
　由E＝得電場強度的單位是伏每米(V/m)，這個單位與前面學過的單位牛每庫(N/C)是相同的，即1 V/m＝1 N/C。
2：思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)由E＝可知，E與UAB成正比，與d成反比。 (×)
(2)根據公式UAB＝Ed，在勻強電場中A點和B點間距離越大，則這兩點的電勢差越大。 (×)
3：填空
某一電場的電場線和等勢面如圖所示，已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，則b點電勢為φb＝4 V。
考點1　電勢差與靜電力做功的關系
帶電粒子可能在勻強電場中運動，也可能在非勻強電場中運動，可能是只在靜電力作用下運動，也可能是在多個力作用下運動，可能是做直線運動，也可能是做曲線運動……
思考：公式WAB＝qUAB適用于任何電場嗎？適用于帶電粒子受多個力的情況嗎？功的公式W＝Fscos θ可以用來計算靜電力做的功嗎？
提示：WAB＝qUAB在任何情況下均適用，也適用于粒子受多個力的情況。
功的公式W＝Fscos θ是功的定義式，對任何力做功都可以使用，高中階段一般只用于恒力做功。
1．電勢差的“兩性”
(1)標量性：電勢差是標量，但有正、負之分，其正負表示兩點電勢的高低，可表示為UAB＝－UBA，電勢差的絕對值叫電壓，U＝|UAB|＝|UBA|。
(2)絕對性：電場中兩點間的電勢差只與兩點的位置有關，與零電勢點的選取無關，只要兩點是確定的，兩點間的電勢差就是確定值。
2．對公式WAB＝qUAB或UAB＝的理解
(1)UAB＝可以看成電勢差的定義式，是按比值法定義的物理量。電勢差UAB由電場本身決定，與q、WAB無關。
(2)在一般的計算中，各物理量都要帶符號，即WAB、UAB、q均可正可負，其中WAB取正號表示從A點移動到B點時靜電力做正功，WAB取負號表示從A點移動到B點時靜電力做負功，做負功時也可以說成電荷克服電場力做了功。
(3)注意：用公式WAB＝qUAB或UAB＝計算時W與U的角標要對應。
【典例1】　把帶電荷量2×10－8 C的正點電荷從無限遠處移到電場中A點，需克服電場力做功8×10－6 J，若把該電荷從無限遠處移到電場中B點，需克服電場力做功2×10－6 J，取無限遠處電勢為零。求：
(1)A點的電勢；
(2)A、B兩點間的電勢差。
思路點撥：(1)一般選大地或無限遠處為零電勢點。
(2)克服電場力做功就是做負功。
[解析]　(1)正點電荷從無限遠處移到電場中A點，要克服電場力做功8×10－6 J，即EpA＝8×10－6 J
φA＝＝ V＝400 V。
(2)EpB＝2×10－6 J
φB＝＝ V＝100 V
UAB＝φA－φB＝300 V。
[答案]　(1)400 V　(2)300 V
求解靜電力做功的常用方法
(1)功的定義法：W＝qEd，僅適用于勻強電場，公式中d表示始末位置沿電場線方向的距離。
(2)電勢差法：WAB＝qUAB，既適用于勻強電場，也適用于非勻強電場，計算時要注意帶正負號運算。
(3)電勢能變化法：WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB，適用于任何電場。
(4)動能定理法：W靜電力＋W其他力＝ΔEk，適用于任何電場。
四個公式中，前三個公式可以互相導出，應用時要注意它們的適用條件，要根據具體情況靈活選用公式。
[跟進訓練]
1．(多選)下面關于電勢、電勢差和電勢能的關系的說法中，正確的是(　　)
A．電荷在某點的電勢能越大，該點的電勢越高
B．在電場中的兩點之間移動電荷，電場力做功越多，這兩點的電勢差越大
C．由于零電勢點的選取是任意的，所以電場中兩點間的電勢差也是不確定的
D．電場中A點電勢比B點電勢高1 V，則電荷量為10－2 C的正電荷從A移到B電勢能減少了10－2 J
BD　[根據電勢能的公式Ep＝qφA可知，電場中電勢越高的地方，正電荷在該點具有的電勢能越大，負電荷在該點具有的電勢能越小，故A錯誤；根據公式UAB＝，在電場中的兩點之間移動電荷，電場力做功越多，這兩點的電勢差越大，故B正確；電勢差與零電勢點的選取無關，零電勢點的選取是任意的，但是電場中兩點間的電勢差是確定的，故C錯誤；電場中A點電勢比B點電勢高1 V，則電荷量為10－2 C的正電荷從A移到B，電場力做功10－2 J，電勢能減少了10－2 J，故D正確。]
考點2　勻強電場中電場強度與電勢差的關系
如圖所示，B、C、D三點處在同一等勢面上，沿A→B、A→C、A→D電勢是升高還是降低？哪個方向電勢降低最快？
提示：沿AB、AC、AD三個方向電勢都降低，且電勢下降的值相等。但AC沿電場線方向，距離最短，單位長度上電勢下降最大，即電勢降低最快。
1．電勢差與電場強度的區別與聯系
物理量 電勢差U 電場強度E
定義式 UAB＝ E＝
大小 數值上等于單位正電荷從一點移到另一點時，靜電力所做的功 數值上等于單位電荷受到的靜電力
方向 標量、無方向 矢量，規定與正電荷在該點所受電場力的方向相同
聯系 (1)場強的方向是電勢降落最快的方向，但電勢降落的方向不一定是場強的方向(2)場強的大小等于沿場強方向每單位長度上的電勢降落，即E＝或UAB＝Ed(勻強電場)
2．勻強電場中電勢差與電場強度的關系
(1)在勻強電場中，不與電場線垂直的同一直線上的距離相同的兩點間的電勢差相等，相互平行的等長線段的兩端點電勢差也相等。
(2)在勻強電場中，不與電場線垂直的同一條直線上或幾條相互平行的直線上兩點間的電勢差與兩點間的距離成正比。如圖所示，AC∥PR，則＝＝＝。
【典例2】　如圖所示，在平面直角坐標系中，有方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為0，點A處的電勢為6 V，點B處的電勢為3 V，則電場強度的大小為(　　)
A．200 V/m　　 B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
思路點撥：
→→
A　[x軸上OA的中點C的電勢為3 V，則BC的連線為等勢線，如圖所示，電場的方向與等勢線垂直，且由電勢高處指向電勢低處。根據幾何圖形，O點到BC的距離為d＝1.5 cm，所以E＝＝ V/m＝200 V/m，故選項A正確。]
“等分法”計算勻強電場中的電勢
(1)“等分法”：在勻強電場中，沿任意一個方向上，電勢降落都是均勻的，把某兩點間的距離等分為n段，則每段兩端點間的電勢差等于原電勢差的。
(2)已知電場中幾點的電勢，要求某點的電勢時，一般采用“等分法”在電場中找與待求點電勢相同的等勢點。
[跟進訓練]
2．如圖所示，勻強電場的電場強度E＝100 V/m，A、B兩點相距LAB＝10 cm，A、B連線與電場線的夾角為60°，則UBA為(　　)
A．－10 V B．10 V C．－5 V D．－3 V
C　[由電勢差與電場強度的關系U＝Ed得U＝ELABcos 60°＝100×0.1×cos 60° V＝5 V，且沿電場線方向電勢逐漸降低，φA>φB，故UBA＝－5 V，選項C正確。]
1．如圖所示，A、B是電場線上的兩點，將一點電荷q從A點移動到B點，靜電力做功W，且知A、B間的距離為d，下列說法中正確的是(　　)
A．由公式W＝qU可得，A、B兩點間的電勢差為
B．由公式W＝Eqd可得，A點的電場強度為E＝
C．由公式W＝Eqd可得，B點的電場強度為E＝
D．A點的電勢為
A　[由W＝qUAB知UAB＝，選項A正確；由于不知該電場是不是勻強電場，靜電力可能不為恒力，選項B、C錯誤；題中沒有指明零電勢點，A點的電勢無法確定，選項D錯誤。]
2．如圖所示，在xOy平面內有一個以O為圓心、半徑R＝0.1 m的圓，P為圓周上的一點，O、P兩點連線與x軸正方向的夾角為θ。若空間存在沿y軸負方向的勻強電場，場強大小E＝100 V/m，則O、P兩點的電勢差可表示為(　　)
A．UOP＝－10sin θ(V) B．UOP＝10sin θ(V)
C．UOP＝－10cos θ(V) D．UOP＝10cos θ(V)
A　[由題圖可知勻強電場的方向是沿y軸負方向的。沿著電場線的方向電勢是降低的，所以P點的電勢高于O點的電勢，O、P兩點的電勢差UOP為負值。根據電勢差與場強的關系UOP＝－Ed＝－E·Rsin θ＝－10sin θ(V)，故A正確。]
3．如圖所示，實線為電場線，虛線為等勢面，φa＝50 V，φc＝20 V，則a、c連線中點b的電勢φb為(　　)
A．等于35 V
B．大于35 V
C．小于35 V
D．等于15 V
C　[從電場線疏密可以看出Ea>Eb>Ec，由公式Uab＝Ed可以判斷Uab>Ubc，所以φb<＝35 V，C正確。]
4．(新情境題，以“帶電粒子在勻強電場中運動”為背景，考查W＝qU與E＝)
如圖所示，在勻強電場中，將一電荷量大小為2×10－5 C的負電荷由A點移到B點，其電勢能增加了0.1 J，已知A、B兩點間距離為2 cm，兩點連線與電場方向成60°角，求：
(1)電荷由A移到B的過程中，電場力所做的功WAB；
(2)A、B兩點間的電勢差UAB；
(3)該勻強電場的電場強度E的大小。
[解析]　(1)根據電場力做功與電勢能的關系WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp得WAB＝－ΔEp＝－0.1 J，即電場力做了－0.1 J的功。
(2)由W＝Uq可得A、B兩點間的電勢差
UAB＝＝5×103 V。
(3)由E＝得E＝＝5×105 V/m。
[答案]　(1)－0.1 J　(2)5×103 V　(3)5×105 V/m
回歸本節知識，自我完成以下問題：
1．什么是電勢差？其表達式又是什么？是標量還是矢量？
提示：電場中電勢的差值叫電勢差，用UAB＝φA－φB表示，是標量。
2．寫出靜電力做功與電勢差的關系式。
提示：WAB＝qUAB適用于任何電場。
3．試寫出勻強電場中電場強度與電勢差的關系。
提示：E＝，d是沿電場線方向兩點間的距離。

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