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必修二 第七章、萬有引力定律
問題1、以前的兩種對立的學說是什么？
答1．地心說：地心說認為地球是宇宙的中心，是靜止不動的，太陽、月球以及其他星體都繞地球運動．（大多數人）
2．日心說：日心說認為太陽是靜止不動的，地球和其他行星都繞太陽運動．（哥白尼）
問題2、什么是開普勒行星運動定律？內容有哪些？
一、開普勒三定律的內容、公式
定律 內容 圖示或公式
開普勒第一定律 (軌道定律) 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上
開普勒第二定律 (面積定律) 對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等
開普勒第三定律 (周期定律) 行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一個與行星無關的常量
問題3、中學階段對天體運動的處理方法是什么？
(1)行星繞太陽運動的軌道十分接近圓，太陽處在圓心；
(2)對某一行星來說，它繞太陽做圓周運動的角速度(或線速度)不變，即行星做勻速圓周運動；
(3)所有行星的軌道的半徑的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，即＝k.
練習1　(多選)兩顆小行星都繞太陽做圓周運動，其周期分別是T、3T，則(　　)
A．它們軌道半徑之比為1∶3 B．它們軌道半徑之比為1∶
C．它們運動的速度之比為 ∶1 D．以上選項都不對
練習1、答案　BC 由題知周期比T1∶T2＝1∶3，根據＝，可得＝.又因為v＝，所以＝＝.
問題3、什么是萬有引力定律？萬有引力定律的公式是什么？
答：任何兩個物體間都存在相互吸引的力，這種力叫做萬有引力，大小與質量成正比與距離的平方成反比。
(1)公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。(2)適用條件：適用于質點 間的相互作用。
問題4、萬有引力與重力的關系是什么
答：地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力F向．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在兩極上：G＝mg0. (3)在一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和．
（4）越靠近南、北兩極，g值越大，由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即＝mg.
（5）兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力
（6）地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬有引力的一個分力．
問題5、怎么求解星球上空的重力加速度g′？
答：星球上空距離星體中心r＝R＋h處的重力加速度為g′，
問題6、萬有引力的=“兩個推論”是什么？
答：①推論1：在勻質球殼的空腔內任意位置處，質點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0.（由于物體受球殼各個方向的力平衡）
②推論2：在勻質球體內部距離球心r處的質點(m)受到的萬有引力等于球體內半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力，即
F＝G. 而且半徑為r的同心球體(M′=ρV=ρ)，所以Fr=（即等效于受到集中在圓心處的質點萬有引力）。
練習2．某實心勻質球半徑為R，質量為M，在球外離球面h高處有一質量為m的質點，則其受到實心勻質球的萬有引力大小為(　　) A．G B． C．G D．G
問題7、怎么樣求解天體質量和密度？有哪些方法？用到哪些數學知識？球體體積公式是什么？
答：設r代表衛星運行半徑，R表示中心天體半徑。解決天體(衛星)運動問題的基本思路
(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．
(1)根據“地上跑的”： 由于G＝mg，故天體質量M＝，根據球體公式天體密度ρ＝＝＝ .
（2）或根據“天上飛的”：根據天體的衛星的軌道半徑和周期： G＝mr，得M＝
進而根據密度ρ＝，V＝πR3，得ρ＝ ； 當r＝R時， 密度ρ＝
練習5已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T，僅利用這三個數據，可以估算出的物理量有(　　)
A．月球的質量 B．地球的質量 C．地球的半徑 D．地球的密度
練習5答案　B解析　由天體運動規律知G＝mR可得地球質量M＝，由于不知地球的半徑，無法求地球的密度，故選項B正確．
問題8、什么是黃金代換式？
答：忽略自轉時，mg＝G(物體在天體表面時受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得：gR2＝GM，該公式被稱為“黃金代換式”．
練習6.設地球表面的重力加速度為g,物體在距地心4R（R是地球半徑）處，由于地球的引力作用而產生的重力加速度g,，則g/g,為( )A、1； B、1/9； C、1/4； D、1/16。
練習6選擇D 因為F=GMm/R =m（g0）所以（g0）=GM/R2 同理 g=GM/(4R)2 ∴g/(g0)=1：16
問題9、．人造衛星繞地球的有哪些運動規律？同步衛星有什么運動特點和規律？
答：根據天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即G＝man＝m＝mω2r＝m得
練習7．如圖2，甲、乙兩顆衛星以相同的軌道半徑分別繞質量為M和2M的行星做勻速圓周運動，下列說法正確的是(　　)
7 8
A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的運行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大 D．甲的線速度比乙的大
練習7．答案　A 解析　由萬有引力提供向心力得G＝m＝mω2r＝ma＝mr，變形得：a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，只有周期T和M成減函數關系，而a、v、ω和M成增函數關系，故選A.
練習8．如圖若兩顆人造衛星a和b均繞地球做勻速圓周運動，a、b到地心O的距離分別為r1、r2，線速度大小分別為v1、v2，則(　　)A.＝ B.＝ C.＝()2 D.＝()2
練習8.答案　A 解析　由題意知，兩顆人造衛星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據G＝m，得v＝ ，所以＝，故A正確，B、C、D錯誤．
問題10、衛星運動還有哪些規律？
答：任何衛星規律：運行軌道越高，運動速度越慢。即“高規低速長周期”，即半徑越大，線、角加速度均變小，周期變大。
①.赤道軌道：衛星的軌道在赤道平面內，同步衛星就是其中的一種.
②.極地軌道：衛星的軌道過南、北兩極，即在垂直于赤道的平面內，如極地氣象衛星.
③.其他軌道：除以上兩種軌道外的衛星軌道.所有衛星的軌道平面一定通過地球的球心.
問題11、地球同步衛星有哪些規律？
答：相對于地面靜止且與地球自轉具有相同周期的衛星叫地球同步衛星.同步衛星有以下“七個一定”的特點：
(1)軌道平面一定：軌道平面與赤道平面共面(2)周期一定：與地球自轉周期相同，即T＝24 h.(3)角速度一定：與地球的角速度相同.
(4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步衛星離地面的高度h＝－R ≈3.6×107 m.
(5)速率一定：v＝≈3.1×103 m/s.
(6)向心加速度一定：由G＝man得an＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步衛星的向心加速度等于軌道處的重力加速度.
(7)繞行方向一定：運行方向與地球自轉方向一致.
②距離地面高度大則速度小 、周期大 、加速度小 。同一軌道上各衛星速度、周期、加速度相同。
問題12 、同步衛星和赤道上物體有什么相同點和不同點？
答：同步衛星和赤道上物體的相同點：周期和角速度相同；同步衛星和赤道上物體的不同點：向心力來源不同
對于同步衛星，有＝man＝mω2r 對于赤道上物體，有＝mg＋mω2r，
因此要通過v＝ωr，an＝ω2r比較兩者的線速度和向心加速度的大小．
問題13．同步衛星和近地衛星有什么相同點和不同點？
答：同步衛星和近地衛星相同點：都是萬有引力提供向心力，即都滿足＝m＝mω2r＝mr＝man.
同步衛星和近地衛星不同點：軌道半徑不同．近地衛星的軌道半徑約等于地球的半徑，同步衛星的軌道半徑約等于地球半徑的7倍．
練習12．若已知地球半徑為R，同步衛星離地高度為h，同步衛星的線速度大小為v1、向心加速度大小為a1，地球赤道上物體的線速度大小為v2，向心加速度大小為a2，求v1與v2及a1與a2的比值．
練習12．答案　v1∶v2＝(R＋h)∶R； a1∶a2＝(R＋h)∶R
練習13．若近地衛星的線速度大小為v3，向心加速度大小為a3，求v1與v3及a1與a3的比值．
練習13答案　
圖2
練習14、如圖2所示，A為地面上的待發射衛星，B為近地圓軌道衛星，C為地球同步衛星．三顆衛星質量相同，三顆衛星的線速度大小分別為vA、vB、vC，角速度大小分別為ωA、ωB、ωC，周期分別為TA、TB、TC，向心加速度大小分別為aA、aB、aC，則(　　)
A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TCaB
練習14、答案　A解析　同步衛星與地球自轉同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及an＝ω2r得 vC>vA，aC>aA，
對同步衛星和近地衛星，根據＝m＝mω2r＝mr＝man，知vB>vC，ωB>ωC ，TBaC.
故可知vB>vC>vA，ωB>ωC＝ωA，TBaC>aA.選項A正確，B、C、D錯誤．
問題14、什么是宇宙速度？他們都有什么意義？
(1)第一宇宙速度，v＝7.9 km/s，最小發射速度，也是衛星繞地球做圓周運動的最大繞行速度。
(2)第二宇宙速度，v＝11.2 km/s，物體繞太陽運行的最小發射速度。
(3)第三宇宙速度，v＝16.7 km/s，物體能夠脫離太陽 系的最小發射速度。
問題15、衛星變軌問題怎么解決？各軌道對應的物理量有什么關系？
答：衛星的發射利用了離心運動原理，當地球引力無法提供所需向心力時，便做離心運動，進入新的軌道。
在某點點火加速，從而進入新的橢圓軌道，當道最高點時，再次加速，進入行的軌道運行。
1）.衛星的發射：當衛星的速度突然增大時，G2）.衛星的回收：當衛星的速度突然減小時，G>m，即萬有引力大于所需要的向心力，衛星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小.當衛星進入新的軌道穩定運行時，由v＝可知其運行速度比原軌道時增大，但重力勢能、機械能均減小.
結論：橢圓軌道近日點Q速度vQ大于軌道1環繞速度v1（因為在Q點進行了點火加速vQ>v1）,
軌道1環繞速度v1且大于軌道3運行速度v3,（利用高軌低速原理3軌道運行半徑大，
故速度小，v1>v3）
軌道3運行速度v3大于軌道2遠日點P速度vP 。（因為在P點點火加速離心運動才運行到3軌道，故v3>vP）。
綜上所述：四點速度為 vQ>v1>v3>vP.（高效記憶技巧：橢圓包住了兩個大小同心圓）
⑤．衛星因受阻力損失機械能速度減小做近心運動，重力做正功，速度又變大：高度下降、速度反而增加、周期減小。
③對于相同質量的衛星，高度越大動能越小、重力勢能越大、機械能越大（變軌時燃料內能轉化為動能）。
例1發射地球同步衛星，簡化后的基本過程如下，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后在軌道1上Q點處點火，使其進入橢圓軌道2，之后在橢圓軌道上P點處再次點火，將衛星送入同步軌道3，衛星在1、2軌道相切于Q點，2、3軌道相切于P點，現衛星分別在1、2、3軌道上正常運行，下列說法正確的是（ ）
衛星在軌道3上運行的速率大于在軌道1上運行的速率
B．衛星在軌道2上運行時經過P點的速率大于在軌道2上經過Q點的速率
C．衛星在軌道2上運動時經過P點的加速度等于在軌道3上經過P點的加速度
D．衛星在軌道2上經過Q點的加速度大于在軌道1上經過Q點的加速度
E、由于軌道3上運動速度較小，所以軌道3機械能小于軌道1機械能。
例2解析C【詳解】A．根據高軌低速大周期可判斷知，衛星在軌道3上運行的速率小于在軌道1上運行的速率，故A錯誤；B．根據開普勒第二定律可知，近地點的速度大于遠地點的速度，故衛星在軌道2上運行時經過P點的速率小于在軌道2上經過Q點的速率，故B錯誤；C．加速度由力決定，萬有引力大小相同，故衛星在軌道2上運動時經過P點的加速度等于在軌道3上經過P點的加速度，故C正確；D．加速度由力決定，萬有引力大小相同，衛星在軌道2上經過Q點的加速度等于在軌道1上經過Q點的加速度，故D錯誤。
E選項不對，因在由軌道2到軌道3過渡時，進行了點火加速，軌道2是軌道1點火加速所致，故E3問題16、什么是雙星？雙星問題有什么規律？宇宙中有兩個星體互為引力，互為圓心，做圓周運動，這就是雙星。
答：1.雙星模型 (1)定義：繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統，如圖7所示.
(2)特點：①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2
②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2，由于是同軸轉動，故速度之比等于半徑之比即V1：V2=R1：R2
③兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L
④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即＝.
⑤雙星的運動周期T＝2π ⑥雙星的總質量m1＋m2＝
練習16填空　如圖5所示，兩個星球A、B組成雙星系統，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動．已知A、B星球質量分別為mA、mB，萬有引力常量為G，求(其中L為兩星中心距離，T為兩星的運動周期)．
練習16解：設A、B兩個星球做圓周運動的半徑分別為rA、rB.則rA＋rB＝L ①
對星球A： G＝mArA ② 對星球B：G＝mBrB ③
①式帶入三式求得＝.
[思維深化]1．若在雙星模型中，圖8中L、m1、m2、G為已知量，雙星運動的周期T＝2π
2．若雙星運動的周期為T，雙星之間的距離為L，G已知，雙星的總質量　m1＋m2＝
問題17、三星、四星、多星等問題怎么解決？
答：(1)特點：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外各星體的角速度或周期相同.
(2)三星模型：①三顆星位于同一直線上，兩顆環繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖8甲所示).
②三顆質量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示).
圖7 圖8
(3)四星模型：①其中一種是四顆質量相等的恒星位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示).②另一種是三顆恒星始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示).故：多星問題與雙星問題原理相似，不同之處就是多星的中星體的向心力是由其他星體對它引力的合力提供，即F合＝m1ω2r1 運算方法是：先算其他星體對它的合力，再利用合力提供向心力，對各個星體分別列式，從而利用解方程的方法，求解其他物理量，解題過程和上面一樣。
問題18、天體的追及問題怎么原理與解題方法？
答1)．相距最近:兩衛星的運轉方向相同，且位于和中心連線的半徑上同側時，兩衛星相距最近，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3…)．
2)．相距最遠:當兩衛星位于和中心連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)．
練習18　(多選)(2019·山西省太原市質檢)如圖12，三個質點a、b、c的質量分別為m1、m2、M(M遠大于m1及m2)，在萬有引力作用下，a、b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，已知軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4，則下列說法中正確的有(　　)
A．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶8
C．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線12次
B．a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝1∶4
D．從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次
練習18　答案　AD 解析　根據開普勒第三定律：周期的平方與半徑的三次方成正比，則a、b運動的周期之比為1∶8，A對；設圖示位置夾角為θ<，b轉動一周(圓心角為2π)的時間為t＝Tb，則a、b相距最遠時：Tb－Tb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n<6.75，n可取7個值；a、b相距最近時：Tb－Tb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m<6.25，m可取7個值，故在b轉動一周的過程中，a、b、c共線14次，D對．
問題19、怎么運用“填補法”解題的問題？
答：關鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補，后運算．運用“填補法”解題的過程主要體現了等效的思想．即先把挖去的部分“補”上，使其成為半徑為R的完整球體，再根據萬有引力定律，分別計算出半徑為R的球體和補上的球體對小球的萬有引力，最后兩引力相減即可得到答案．
例1　如圖1所示，在半徑為R的鉛球中挖出一個球形空穴，空穴直徑為R且與鉛球相切，并通過鉛球的球心．在未挖出空穴前鉛球質量為M.求挖出空穴后的鉛球與距鉛球球心距離為d、質量為m的小球(可視為質點)間的萬有引力大小．
練習19解析　設挖出空穴前鉛球與小球間的萬有引力為F1，挖出的球形實體(由球體的體積公式易知質量為，這里不再具體計算)與小球間的萬有引力為F2，鉛球剩余部分與小球間的萬有引力為F，則有F1＝F＋F2
根據萬有引力定律可得F1＝G，F2＝G
故挖出空穴后的鉛球與小球間的萬有引力為F＝F1－F2＝G－G＝.
第七章、萬有引力定律 章末檢測 (時間：90分鐘　滿分：100分)
一、單項選擇題(共6小題，每小題4分，共24分)
1．在物理學理論建立的過程中，有許多偉大的科學家做出了貢獻．關于科學家和他們的貢獻，下列說法正確的是(　)
A．開普勒進行了“月—地檢驗”，得出天上和地下的物體都遵從萬有引力定律的結論
B．哥白尼提出“日心說”，發現了太陽系中行星沿橢圓軌道運動的規律
C．第谷通過對天體運動的長期觀察，發現了行星運動三定律
D．牛頓發現了萬有引力定律
不可回收的航天器在使用后，將成為太空垃圾．如圖1所示是漂浮在地球附近的太空垃圾示意圖，對此有如下說法，正確的是 (　　)
A．離地越低的太空垃圾運行周期越大
B．離地越高的太空垃圾運行角速度越小
C．由公式v＝得，離地越高的太空垃圾運行速率越大
D．太空垃圾一定能跟同一軌道上同向飛行的航天器相撞
3．星球上的物體脫離該星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關系是v2＝v1.已知某星球的半徑為r，它表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的.不計其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為 (　　)A. B. C. D.
4．已知引力常量G，在下列給出的情景中，能根據測量數據求出月球密度的是(　　)
A．在月球表面使一個小球做自由落體運動，測出下落的高度H和時間t
B．發射一顆貼近月球表面繞月球做勻速圓周運動的飛船，測出飛船運行的周期T
C．觀察月球繞地球的圓周運動，測出月球的直徑D和月球繞地球運行的周期T
D．發射一顆繞月球做勻速圓周運動的衛星，測出衛星離月球表面的高度H和衛星的周期T
5．在中國航天驕人的業績中有這些記載：“天宮一號”在離地面343 km的圓形軌道上飛行；“嫦娥一號”在距月球表面高度為200 km 的圓形軌道上飛行；“北斗”衛星導航系統由“同步衛星”(地球靜止軌道衛星，在赤道平面，距赤道的高度約為36 000千米)和“傾斜同步衛星”(周期與地球自轉周期相等，但不定點于某地上空)等組成．則以下分析正確的是(　)
A．設“天宮一號”繞地球運動的周期為T，用G表示引力常量，則用表達式求得的地球平均密度比真實值要大
B．“天宮一號”的飛行速度比“同步衛星”的飛行速度要小
C．“同步衛星”和“傾斜同步衛星”同周期、同軌道半徑，但兩者的軌道平面不在同一平面內
D．“嫦娥一號”與地球的距離比“同步衛星”與地球的距離小
6.“嫦娥”一號探月衛星沿地月轉移軌道到達月球，在距月球表面200 km的P點進行第一次“剎車制動”后被月球捕獲，進入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，如圖2所示．之后，衛星在P點經過幾次“剎車制動”，最終在距月球表面200 km的圓形軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運動．用T1、T2、T3分別表示衛星在橢圓軌道Ⅰ、Ⅱ和圓形軌道Ⅲ的周期，用a1、a2、a3分別表示衛星沿三個軌道運動到P點的加速度，則下面說法正確的是(　　)
A．T1>T2>T3 B．T1a2>a3 D．a1二、不定項選擇題(共4小題，每小題5分，共20分)
7. 如圖3所示，圓a、b、c的圓心均在地球的自轉軸線上，對環繞地球做勻速圓周運動的衛星而言(　　)
A．衛星的軌道可能是a B．衛星的軌道可能是b
C．衛星的軌道可能是c D．同步衛星的軌道只可能是b
8．“嫦娥二號”探月衛星在月球上方100 km的圓形軌道上運行．已知“嫦娥二號”衛星的運行周期、月球半徑、月球表面重力加速度、萬有引力常量G.根據以上信息可求出(　　)
A．衛星所在處的加速度 B．月球的平均密度 C．衛星線速度大小 D．衛星所需向心力
9．我國發射的第一顆探月衛星“嫦娥一號”，進入距月面高度h的圓形軌道正常運行．已知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，則(　　)
A．嫦娥一號繞月球運行的周期為2π B．嫦娥一號繞行的速度為
C．嫦娥一號繞月球運行的角速度為 D．嫦娥一號軌道處的重力加速度g
10．有一宇宙飛船到了某行星附近(該行星沒有自轉運動)，以速度v接近行星表面勻速環繞，測出運動的周期為T，已知引力常量為G，則可得 (　　)
A．該行星的半徑為 B．該行星的平均密度為 C．無法求出該行星的質量 D．該行星表面的重力加速度為
三、填空題(共2小題，共12分)
11．(4分)我國的北斗導航衛星系統包含多顆地球同步衛星．北斗導航衛星系統建成以后，有助于減少我國對GPS導航系統的依賴，GPS由運行周期為12小時的衛星群組成，設北斗導航系統的同步衛星和GPS導航衛星的軌道半徑分別為R1和R2，則R1∶R2＝________．(可用根式表示)
12．(8分)火星的球半徑是地球半徑的，火星質量是地球質量的，忽略火星的自轉，在火星表面由于火星的引力產生的加速度是________m/s；如果地球上質量為60 kg的人到火星上去，則此人在火星表面的質量是________kg，所受的重力是________N；在地球表面上可舉起60 kg杠鈴的人，到火星上用同樣的力，可以舉起質量________ kg的物體．(g取10 m/s2)
四、計算題(共4小題，共44分)
13．(7分)有一星球的密度與地球的密度相同，但它表面處的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，
求該星球的質量是地球質量的多少倍？
14．(10分)“嫦娥三號”探測器于2013年12月2日凌晨在西昌發射中心發射成功進入繞月軌道.設“嫦娥三號”探測器環繞月球的運動為勻速圓周運動，它距月球表面的高度為h，已知月球表面的重力加速度為g、月球半徑為R，引力常量為G，則
(1)探測器繞月球運動的向心加速度為多大；
探測器繞月球運動的周期為多大．
15．(12分)我國“嫦娥一號”月球探測器在繞月球成功運行之后，為進一步探測月球的詳細情況，又發射了一顆繞月球表面飛行的科學實驗衛星．假設該衛星繞月球做圓周運動，月球繞地球也做圓周運動，且軌道都在同一平面內．已知衛星繞月球運動的周期T0，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R0，月心與地心間的距離r，引力常量G，試求：
(1)月球的平均密度ρ；
(2)月球繞地球運動的周期T.
第七章、萬有引力定律 章末檢測 章末檢測 答案
一、單項選擇題(共6小題，每小題4分，共24分)
1．答案　D解析　為了驗證地面上的重力與地球吸引月球、太陽吸引行星的力是同一性質的力,遵守同樣的規律,牛頓做過著名的“月—地” 檢驗;牛頓得出萬有引力定律，A錯誤，D正確；開普勒發現行星運動三定律，B、C錯誤．
2. 答案　B解析　設地球質量為M，垃圾質量為m，垃圾的軌道半徑為r.
由牛頓第二定律可得：G＝mr，垃圾的運行周期：T＝2π，由于π、G、M是常數，所以離地越低的太空垃圾運行周期越小，故A錯誤；由牛頓第二定律可得：G＝mω2r，垃圾運行的角速度ω＝，由于G、M是常數，所以離地越高的垃圾的角速度越小，故B正確；由牛頓第二定律可得：G＝m，垃圾運行的線速度v＝，由于G、M是常數，所以離地越高的垃圾線速度越小，故C錯誤；由線速度公式v＝可知，在同一軌道上的航天器與太空垃圾線速度相同，如果它們繞地球飛行的運轉方向相同，它們不會碰撞，故D錯誤．
3．答案　A解析　該星球的第一宇宙速度：G＝m 在該星球表面處萬有引力等于重力：G＝m
由以上兩式得v1＝，則第二宇宙速度v2＝v1＝×＝，故A正確．
4．答案　B解析:由G＝ｍ得：M＝．① 由ρ＝，Ｖ＝πＲ３得： ．②
R為中心天體的星體半徑。 特殊:當ｒ＝Ｒ時，即衛星繞天體M表面運行時，，由此可以測量天體的密度.
5．答案　C 解析　設地球軌道半徑為R，“天宮一號”的軌道半徑為r，運行周期為T，地球密度為ρ，則有＝mr，M＝ρ×，解得ρ＝，A錯誤；軌道半徑小，運動速度大，B錯誤；“同步衛星”和“傾斜同步衛星”周期相同，則軌道半徑相同，軌道平面不同，C正確；“嫦娥一號”繞月球運動，與地球距離大于同步衛星與地球距離，D錯誤．
6. 答案　A解析　衛星沿橢圓軌道運動時，周期的平方與半長軸的立方成正比，故T1>T2>T3，A項正確，B項錯誤；不管沿哪一軌道運動到P點，衛星所受月球的引力都相等，由牛頓第二定律得a1＝a2＝a3，故C、D錯誤．
二、不定項選擇題(共4小題，每小題5分，共20分)
7.答案　BCD解析　若衛星在a軌道上，則萬有引力可分解為兩個分力，一個是向心力，一個是指向赤道平面的力，衛星不穩定，故A錯誤；對b、c軌道，其圓心是地心，萬有引力無分力，故B、C正確；同步衛星一定在赤道正上方，故D正確．
8．答案　ABC 解析　由黃金代換式＝mg可求出月球的質量，代入密度公式可求出月球的密度，
由＝m＝ma可求出衛星所在處的加速度和衛星的線速度，因為嫦娥二號衛星的質量未知，因為F=ma,故沒法求衛星所需的向心力．
9．答案　CD解析　設月球質量為M，衛星質量為m，在月球表面上，萬有引力約等于其重力有：＝mg，衛星在高為h的軌道上運行時，萬有引力提供向心力有：＝mg′＝m＝mω2(R＋h)＝m(R＋h)，由上二式算出g′、v、ω、T可知A、B錯，C、D正確．所以本題選擇C、D.
10．答案　AB 解析　由T＝可得：R＝①，A正確；由＝m可得：M ＝②，C錯誤；
由M＝πR3ρ得：ρ＝，B正確；由G＝mg=mr③ 由①②③得：g＝，D錯誤．
三、填空題(共2小題，共12分)
11．答案　　由牛頓第二定律可得：G＝mr，垃圾的運行周期：T＝2π . 半徑與周期平方三次方根成正比.
12．答案　4　60　240　150 解析　根據mg＝，則g＝，所以＝＝×22＝0.4，所以g火＝0.4g=0.4 ×10m/s2＝4 m/s2，人到火星上去后質量不變，仍為60 kg；人的重力為mg火＝60×4 N＝240 N，在地球表面上可舉起60 kg杠鈴的人，到火星上用同樣的力，可以舉起質量為 m′＝＝60×2.5 kg＝150 kg.
四、計算題(共4小題，共44分)
13．答案　64解析　設將質量為m的物體分別放在星球和地球表面上，重力近似等于萬有引力且M=ρV=ρ③
mg星＝G ① mg地＝G ② 由得＝， 則由③式得 ＝＝＝＝64，所以M星＝64M地．
14．答案　(1)a＝　(2)T＝2π
解析　(1)對于月球表面附近的物體有＝mg 根據牛頓第二定律有＝m′a 解得a＝
(2)萬有引力提供探測器做勻速圓周運動的向心力有 ＝m′(R＋h) 解得T＝2π
15．答案　(1)　(2) 解析　(1)設月球質量為m，衛星質量為m′，月球的半徑為Rm，對于繞月球表面飛行的衛星，由萬有引力提供向心力有＝m′Rm，解得m＝ 又根據ρ＝解得ρ＝.
(2)設地球的質量為M，對于在地球表面的物體m表 有＝m表g，即GM＝Rg
月球繞地球做圓周運動的向心力來自地球引力 即＝mr，解得T＝.

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