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專題強化　豎直上拋運動
[學習目標]　1.知道什么是豎直上拋運動，理解豎直上拋運動是勻變速直線運動(重點)。2.會分析豎直上拋運動的運動規律，會利用分段法或全程法求解豎直上拋運動的有關問題(重難點)。3.知道豎直上拋運動的對稱性。
一、豎直上拋運動的基本概念
(1)豎直上拋運動的速度和加速度方向有什么關系？在上升階段和下降階段加速度是否發生變化？
(2)研究豎直上拋運動的全過程，可以把它看成什么運動？試畫出豎直上拋運動全過程的v－t圖像。
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1．豎直上拋運動：將一個物體以某一初速度v0________________拋出，拋出的物體只在________作用下運動，這種運動就是豎直上拋運動。
2．(1)上升階段：初速度v0________________，加速度為g，方向________________，是__________直線運動。
(2)下降階段：初速度為零、加速度為g，是________________運動。
例1　關于豎直上拋運動，下列說法不正確的是(　　)
A．豎直上拋運動的上升過程是勻減速直線運動
B．勻變速直線運動規律對豎直上拋運動的全過程都適用
C．以初速度的方向為正方向，豎直上拋運動的加速度a＝g
D．豎直上拋運動中，任何相等的時間內物體速度的變化量相等
二、豎直上拋運動的規律
一小球以v0＝10 m/s的初速度豎直向上拋出，忽略一切阻力。(g取10 m/s2)
(1)計算小球上升的時間和最大高度；
(2)計算小球落回原處的時間和速度大小。
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1．豎直上拋運動的規律
通常取初速度v0的方向為正方向，則a＝________
(1)速度公式：v＝________________。
(2)位移公式：h＝________________。
(3)速度與位移的關系式：v2－v02＝______。
(4)上升的最大高度：H＝____________。
(5)上升到最高點(即v＝0時)所需的時間：t＝____________。
2．豎直上拋運動的對稱性
(1)時間對稱
物體從某點上升到__________和從______回到該點的時間相等，即t上＝t下。
(2)速率對稱
物體上升和下降通過同一位置時速度的大小________、方向________。
(3)位移對稱
物體上升和下降通過同一位置時物體發生的位移________。
例2　(2022·重慶市高一期末)如圖所示，某人將一小球從高臺邊緣沿豎直方向向上拋出，其初速度大小v0＝10 m/s，不計空氣阻力，取拋出點為原點，向上為坐標軸正方向，g取10 m/s2，則2 s內小球運動的(　　)
A．位移為10 m B．路程為10 m
C．速度改變量為0 D．平均速度為5 m/s
例3　在某塔頂上將一物體豎直向上拋出，拋出點為A，物體上升的最大高度為20 m，不計空氣阻力，設塔足夠高，則：(g取10 m/s2)
(1)物體拋出的初速度大小為多少？
(2)物體位移大小為10 m時，物體通過的路程可能為多少？
(3)若塔高H＝60 m，求物體從拋出到落到地面的時間和落地速度大小。
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1．當物體處于拋出點上方某個位置時，可能處于上升階段，也可能處于下降階段，造成多解。
2．只給出位移大小時，可能處于拋出點上方，也可能處于拋出點下方，造成多解。
例4　氣球下掛一重物，以v0＝10 m/s的速度勻速上升，當到達離地面高175 m處時，懸掛重物的繩子突然斷裂，那么重物再經多長時間落到地面？落地前瞬間的速度多大？(空氣阻力不計，g取10 m/s2)
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豎直上拋運動的處理方法
分段分析法 上升階段是初速度為v0、加速度a＝－g的勻減速直線運動；下降階段是自由落體運動
全過程分析法 全過程看作初速度為v0、加速度a＝－g的勻變速直線運動 (1)v>0時，上升階段；v<0，下降階段 (2)x>0時，物體在拋出點的上方；x<0時，物體在拋出點的下方
專題強化　豎直上拋運動
[學習目標]　1.知道什么是豎直上拋運動，理解豎直上拋運動是勻變速直線運動(重點)。2.會分析豎直上拋運動的運動規律，會利用分段法或全程法求解豎直上拋運動的有關問題(重難點)。3.知道豎直上拋運動的對稱性。
一、豎直上拋運動的基本概念
(1)豎直上拋運動的速度和加速度方向有什么關系？在上升階段和下降階段加速度是否發生變化？
(2)研究豎直上拋運動的全過程，可以把它看成什么運動？試畫出豎直上拋運動全過程的v-t圖像。
答案　(1)上升階段速度與加速度的方向相反，下降階段速度與加速度的方向相同；在整個過程中加速度不變。
(2)全過程可以看成初速度為v0(豎直向上)、加速度為g(豎直向下)的勻變速直線運動。整個過程v-t圖像斜率不變，即加速度不變，v-t圖像如圖所示。
1．豎直上拋運動：將一個物體以某一初速度v0豎直向上拋出，拋出的物體只在重力作用下運動，這種運動就是豎直上拋運動。
2．(1)上升階段：初速度v0豎直向上，加速度為g，方向豎直向下，是勻減速直線運動。
(2)下降階段：初速度為零、加速度為g，是自由落體運動。
例1　關于豎直上拋運動，下列說法不正確的是(　　)
A．豎直上拋運動的上升過程是勻減速直線運動
B．勻變速直線運動規律對豎直上拋運動的全過程都適用
C．以初速度的方向為正方向，豎直上拋運動的加速度a＝g
D．豎直上拋運動中，任何相等的時間內物體速度的變化量相等
答案　C
二、豎直上拋運動的規律
一小球以v0＝10 m/s的初速度豎直向上拋出，忽略一切阻力。(g取10 m/s2)
(1)計算小球上升的時間和最大高度；
(2)計算小球落回原處的時間和速度大小。
答案　(1)t0＝＝1 s
v02＝2gh，h＝5 m。
(2)t′＝2t0＝2 s
v＝gt0＝10 m/s。
1．豎直上拋運動的規律
通常取初速度v0的方向為正方向，則a＝－g
(1)速度公式：v＝v0－gt。
(2)位移公式：h＝v0t－gt2。
(3)速度與位移的關系式：v2－v02＝－2gh。
(4)上升的最大高度：H＝。
(5)上升到最高點(即v＝0時)所需的時間：t＝。
2．豎直上拋運動的對稱性
(1)時間對稱
物體從某點上升到最高點和從最高點回到該點的時間相等，即t上＝t下。
(2)速率對稱
物體上升和下降通過同一位置時速度的大小相等、方向相反。
(3)位移對稱
物體上升和下降通過同一位置時物體發生的位移相同。
例2　(2022·重慶市高一期末)如圖所示，某人將一小球從高臺邊緣沿豎直方向向上拋出，其初速度大小v0＝10 m/s，不計空氣阻力，取拋出點為原點，向上為坐標軸正方向，g取10 m/s2，則2 s內小球運動的(　　)
A．位移為10 m
B．路程為10 m
C．速度改變量為0
D．平均速度為5 m/s
答案　B
解析　取豎直向上為正方向，豎直上拋運動可看作一種做加速度為－g的勻減速直線運動，小球上升的最大高度為H＝＝5 m，上升到最高點所用時間為t0＝＝1 s，由對稱性，知2 s內小球的位移為x＝0,2 s內小球運動的路程為s＝2H＝2×5 m＝10 m；2 s內小球的速度變化量為Δv＝at＝－gt＝－20 m/s；平均速度為＝＝0，故選B。
例3　在某塔頂上將一物體豎直向上拋出，拋出點為A，物體上升的最大高度為20 m，不計空氣阻力，設塔足夠高，則：(g取10 m/s2)
(1)物體拋出的初速度大小為多少？
(2)物體位移大小為10 m時，物體通過的路程可能為多少？
(3)若塔高H＝60 m，求物體從拋出到落到地面的時間和落地速度大小。
答案　(1)20 m/s　(2)10 m　30 m　50 m
(3)6 s　40 m/s
解析　(1)設初速度為v0，取豎直向上為正方向，有－2gh＝0－v02，故v0＝20 m/s。
(2)位移大小為10 m，有三種可能：向上運動時x＝10 m，返回時在出發點上方10 m，返回時在出發點下方10 m，對應的路程分別為s1＝10 m，s2＝(20＋10) m＝30 m，s3＝(40＋10) m＝50 m
(3)落到地面時的位移x′＝－60 m，設從拋出到落到地面用時為t，有x′＝v0t－gt2，
解得t＝6 s(t＝－2 s舍去)
落地速度v＝v0－gt＝(20－10×6) m/s＝－40 m/s，則落地速度大小為40 m/s。
1．當物體處于拋出點上方某個位置時，可能處于上升階段，也可能處于下降階段，造成多解。
2．只給出位移大小時，可能處于拋出點上方，也可能處于拋出點下方，造成多解。
例4　氣球下掛一重物，以v0＝10 m/s的速度勻速上升，當到達離地面高175 m處時，懸掛重物的繩子突然斷裂，那么重物再經多長時間落到地面？落地前瞬間的速度多大？(空氣阻力不計，g取10 m/s2)
答案　7 s　60 m/s
解析　方法一　分段法
繩子斷裂后，重物先勻減速上升，速度減為零后，再勻加速下落。
重物上升階段，時間t1＝＝1 s，
由v02＝2gh1知，h1＝＝5 m
重物下落階段，下落距離H＝h1＋175 m＝180 m
設下落時間為t2，則H＝gt22，故t2＝＝6 s
重物落地總時間t＝t1＋t2＝7 s，落地前瞬間的速度大小v＝gt2＝60 m/s。
方法二　全程法
取初速度方向為正方向
重物全程位移h＝v0t－gt2＝－175 m
解得t＝7 s(t＝－5 s舍去)
由v＝v0－gt，得v＝－60 m/s，負號表示速度方向豎直向下，則落地前瞬間的速度大小為60 m/s。
豎直上拋運動的處理方法
分段分析法 上升階段是初速度為v0、加速度a＝－g的勻減速直線運動；下降階段是自由落體運動
全過程分析法 全過程看作初速度為v0、加速度a＝－g的勻變速直線運動 (1)v>0時，上升階段；v<0，下降階段 (2)x>0時，物體在拋出點的上方；x<0時，物體在拋出點的下方4　自由落體運動
[學習目標]　1.知道物體做自由落體運動的條件，了解自由落體加速度的大小和方向(重點)。2.能夠通過實驗判斷自由落體的運動性質，知道自由落體運動是初速度為零的勻加速直線運動(重點)。3.能夠運用自由落體運動的規律和特點解決有關問題(重難點)。
一、自由落體運動
物體從空中自由釋放，探究影響物體下落快慢的因素。
學生實驗1：讓硬幣和紙片從同一高度同時下落，看到什么現象？
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學生實驗2：將同樣大小的兩張紙其中一張揉成團，讓紙團和紙片從相同高度同時下落，看到什么現象？
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實驗結論：物體下落的快慢與它的輕重______，影響物體下落快慢的因素是______________。
1．定義：物體只在________作用下從________開始下落的運動，叫作自由落體運動。
2．特點：(1)只受________作用；(2)初速度為________。
3．說明：空氣阻力可以________時，物體下落的運動也可以近似看成自由落體運動。
(1)從靜止下落的物體都可以看成自由落體運動。(　　)
(2)物體只在重力作用下的運動是自由落體運動。(　　)
(3)蘋果從樹上落下來，蘋果的運動可以看成自由落體運動。(　　)
(4)雪花從空中下落，雪花的運動可以看成自由落體運動。(　　)
(5)從豎直上升的熱氣球吊籃中掉下的物體的運動是自由落體運動。(　　)
二、實驗：研究自由落體運動的規律
1．實驗裝置
鐵架臺、打點計時器、紙帶、電源、重物、夾子、刻度尺。
2．實驗原理
紙帶在重物的作用下自由下落，根據打出的紙帶上的點跡，分析重物的運動規律。
3．操作要點
先接通________，再釋放________，打完點后立刻關閉電源。
4．數據分析
(1)測量點跡清晰的連續點之間的位移，并記錄在表格中；
(2)根據表格中數據計算連續相等時間間隔的位移差，得出連續相等時間間隔的位移差是一個常數，從而得出自由落體運動是__________直線運動；
(3)計算出自由落體運動的加速度約為________ m/s2。
例1　(2022·成都市第八中學校高一期中)用如圖甲所示的裝置研究自由落體運動規律。已知打點計時器的工作頻率為50 Hz。
(1)部分實驗步驟如下：
A．測量完畢，關閉電源，取出紙帶
B．把打點計時器固定在夾板上，讓紙帶穿過限位孔
C．啟動電源，待打點計時器工作穩定后放開重物
D．使重物停靠在打點計時器附近，重物與紙帶相連
上述實驗步驟的正確順序是________。
(2)如圖乙所示為實驗中打出的一條紙帶，標出A、B、C、D、E五個計數點，相鄰兩個計數點之間還有4個點未畫出，則計數點D對應的瞬時速度大小為vD＝________ m/s(計算結果保留三位有效數字)。
(3)根據實驗記錄的數據計算重物的加速度大小g＝________ m/s2(計算結果保留三位有效數字)。
三、自由落體加速度
1．自由落體加速度：同一地點，一切物體自由下落的加速度都相同，這個加速度叫作自由落體加速度或重力加速度，通常用g表示。
2．大小：在地球表面不同的地方，g的大小一般是________(選填“不同”或“相同”)的，g值隨緯度的增大而逐漸______；g值隨著高度的增加而逐漸減小。一般取值：g＝________ m/s2或g＝________ m/s2。
3．方向：________________。
(1)自由落體的加速度與緯度和高度有關。(　　)
(2)自由落體加速度的方向豎直向下。(　　)
(3)兩極處的重力加速度小于赤道處的重力加速度。(　　)
(4)同一地點，質量大的物體重力加速度大。(　　)
四、自由落體運動規律的應用
因為自由落體運動是勻變速直線運動，所以勻變速直線運動的一切公式、推論，如平均速度公式、位移差公式、初速度為零的勻變速直線運動的比例式，都適用于自由落體運動。僅需要將v0＝0、a＝g代入相關式子、x習慣性地寫成h即可，請在表格中填寫自由落體運動的規律。
規律名稱 勻變速直線運動的規律 自由落體運動的規律
速度公式 v＝v0＋at ________
位移公式 x＝v0t＋at2 ____________
速度與位移的關系式 v2－v02＝2ax ____________
平均速度求位移公式 x＝t __________
例2　從離地面500 m的空中自由落下一個小球，取g＝10 m/s2，不計空氣阻力，求：
(1)小球落到地面所用的時間及落地時的速度大小；
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(2)小球自開始下落計時，在第1 s內的位移大小、最后1 s內的位移大小。
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例3　(2022·無錫市高二學業考試)高空作業的電工在某次操作過程中，不慎將一螺母脫落，經3 s落地，不計空氣阻力，g取10 m/s2，則(　　)
A．脫落處離地高45 m
B．第2 s內下落的位移大小為20 m
C．下落2 s內的平均速度大小為20 m/s
D．落地速度大小為15 m/s
例4　同學們利用如圖所示方法估測反應時間。首先，甲同學捏住直尺上端，使直尺保持豎直狀態，直尺零刻度線位于乙同學的兩指之間。當乙看見甲放開直尺時，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度讀數為x，重力加速度為g，則乙同學的反應時間為______。(用x、g表示)
基于上述原理，某同學用直尺制作測量反應時間的工具，若測量范圍為0～0.4 s，則所用直尺的長度至少為________ cm(g取10 m/s2)；若以相等時間間隔在該直尺的另一面標記出表示反應時間的刻度線，則每個時間間隔在直尺上對應的長度是________(選填“相等”或“不相等”)的。
4　自由落體運動
[學習目標]　1.知道物體做自由落體運動的條件，了解自由落體加速度的大小和方向(重點)。2.能夠通過實驗判斷自由落體的運動性質，知道自由落體運動是初速度為零的勻加速直線運動(重點)。3.能夠運用自由落體運動的規律和特點解決有關問題(重難點)。
一、自由落體運動
物體從空中自由釋放，探究影響物體下落快慢的因素。
學生實驗1：讓硬幣和紙片從同一高度同時下落，看到什么現象？
答案　重的硬幣下落得快。
學生實驗2：將同樣大小的兩張紙其中一張揉成團，讓紙團和紙片從相同高度同時下落，看到什么現象？
答案　紙團下落得快。
實驗結論：物體下落的快慢與它的輕重無關，影響物體下落快慢的因素是空氣阻力。
1．定義：物體只在重力作用下從靜止開始下落的運動，叫作自由落體運動。
2．特點：(1)只受重力作用；(2)初速度為0。
3．說明：空氣阻力可以忽略時，物體下落的運動也可以近似看成自由落體運動。
(1)從靜止下落的物體都可以看成自由落體運動。(　×　)
(2)物體只在重力作用下的運動是自由落體運動。(　×　)
(3)蘋果從樹上落下來，蘋果的運動可以看成自由落體運動。(　√　)
(4)雪花從空中下落，雪花的運動可以看成自由落體運動。(　×　)
(5)從豎直上升的熱氣球吊籃中掉下的物體的運動是自由落體運動。(　×　)
二、實驗：研究自由落體運動的規律
1．實驗裝置
鐵架臺、打點計時器、紙帶、電源、重物、夾子、刻度尺。
2．實驗原理
紙帶在重物的作用下自由下落，根據打出的紙帶上的點跡，分析重物的運動規律。
3．操作要點
先接通電源，再釋放紙帶，打完點后立刻關閉電源。
4．數據分析
(1)測量點跡清晰的連續點之間的位移，并記錄在表格中；
(2)根據表格中數據計算連續相等時間間隔的位移差，得出連續相等時間間隔的位移差是一個常數，從而得出自由落體運動是勻加速直線運動；
(3)計算出自由落體運動的加速度約為9.8 m/s2。
例1　(2022·成都市第八中學校高一期中)用如圖甲所示的裝置研究自由落體運動規律。已知打點計時器的工作頻率為50 Hz。
(1)部分實驗步驟如下：
A．測量完畢，關閉電源，取出紙帶
B．把打點計時器固定在夾板上，讓紙帶穿過限位孔
C．啟動電源，待打點計時器工作穩定后放開重物
D．使重物停靠在打點計時器附近，重物與紙帶相連
上述實驗步驟的正確順序是________。
(2)如圖乙所示為實驗中打出的一條紙帶，標出A、B、C、D、E五個計數點，相鄰兩個計數點之間還有4個點未畫出，則計數點D對應的瞬時速度大小為vD＝________ m/s(計算結果保留三位有效數字)。
(3)根據實驗記錄的數據計算重物的加速度大小g＝________ m/s2(計算結果保留三位有效數字)。
答案　(1)BDCA　(2)3.19　(3)9.8
解析　(1)先安裝實驗器材，后穿紙帶，再連接重物，啟動電源后釋放紙帶，打點完畢后關閉電源，取出紙帶，并選擇紙帶進行數據處理，整理好實驗器材。所以上述實驗步驟的正確順序是BDCA。
(2)打點計時器的工作頻率為50 Hz，每隔0.02 s打一次點，每相鄰兩計數點之間還有4個計時點未畫出，故T＝0.1 s，在勻變速直線運動中，平均速度大小等于中間時刻的瞬時速度大小，有
vD＝≈3.19 m/s
(3)根據逐差法，可求出加速度為
g＝＝9.8 m/s2。
三、自由落體加速度
1．自由落體加速度：同一地點，一切物體自由下落的加速度都相同，這個加速度叫作自由落體加速度或重力加速度，通常用g表示。
2．大小：在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同(選填“不同”或“相同”)的，g值隨緯度的增大而逐漸增大；g值隨著高度的增加而逐漸減小。一般取值：g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2。
3．方向：豎直向下。
(1)自由落體的加速度與緯度和高度有關。(　√　)
(2)自由落體加速度的方向豎直向下。(　√　)
(3)兩極處的重力加速度小于赤道處的重力加速度。(　×　)
(4)同一地點，質量大的物體重力加速度大。(　×　)
四、自由落體運動規律的應用
因為自由落體運動是勻變速直線運動，所以勻變速直線運動的一切公式、推論，如平均速度公式、位移差公式、初速度為零的勻變速直線運動的比例式，都適用于自由落體運動。僅需要將v0＝0、a＝g代入相關式子、x習慣性地寫成h即可，請在表格中填寫自由落體運動的規律。
規律名稱 勻變速直線運動的規律 自由落體運動的規律
速度公式 v＝v0＋at v＝gt
位移公式 x＝v0t＋at2 h＝gt2
速度與位移的關系式 v2－v02＝2ax v2＝2gh
平均速度求位移公式 x＝t h＝t
例2　從離地面500 m的空中自由落下一個小球，取g＝10 m/s2，不計空氣阻力，求：
(1)小球落到地面所用的時間及落地時的速度大小；
(2)小球自開始下落計時，在第1 s內的位移大小、最后1 s內的位移大小。
答案　(1)10 s　100 m/s　(2)5 m　95 m
解析　(1)由h＝gt2
得t＝＝10 s
由速度與時間的關系式得v＝gt＝100 m/s
(2)第1 s內的位移
h1＝gt12＝×10×1 m＝5 m
最后1 s內的位移
h2＝500 m－g×(9 s)2
＝500 m－5×81 m
＝95 m。
例3　(2022·無錫市高二學業考試)高空作業的電工在某次操作過程中，不慎將一螺母脫落，經3 s落地，不計空氣阻力，g取10 m/s2，則(　　)
A．脫落處離地高45 m
B．第2 s內下落的位移大小為20 m
C．下落2 s內的平均速度大小為20 m/s
D．落地速度大小為15 m/s
答案　A
解析　螺母做自由落體運動有h＝gt2＝45 m，A正確；第2 s內下落的位移h1＝g×t22－g×t12＝15 m，B錯誤；下落2 s內的平均速度大小為＝＝ m/s＝10 m/s，C錯誤；落地時速度大小為v＝gt＝30 m/s，D錯誤。
例4　同學們利用如圖所示方法估測反應時間。首先，甲同學捏住直尺上端，使直尺保持豎直狀態，直尺零刻度線位于乙同學的兩指之間。當乙看見甲放開直尺時，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度讀數為x，重力加速度為g，則乙同學的反應時間為______。(用x、g表示)
基于上述原理，某同學用直尺制作測量反應時間的工具，若測量范圍為0～0.4 s，則所用直尺的長度至少為________ cm(g取10 m/s2)；若以相等時間間隔在該直尺的另一面標記出表示反應時間的刻度線，則每個時間間隔在直尺上對應的長度是________(選填“相等”或“不相等”)的。
答案　　80　不相等
解析　直尺下降時間即為乙同學的反應時間，直尺做自由落體運動，故有x＝gt2，解得t＝。0.4 s內直尺下落的高度為h＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m＝80 cm，故直尺長度至少為80 cm，在相等時間間隔通過的位移是不斷增加的，所以每個時間間隔在直尺上對應的長度是不相等的。專題強化　勻變速直線運動的位移差公式　逐差法求加速度
[學習目標]　1.理解位移差公式并能解決相關問題(重點)。2.理解逐差法的意義并會用逐差法求加速度(重難點)。3.能夠理解偶然誤差及系統誤差的產生原因，并會按要求保留有效數字(重點)。
一、位移差公式
1.如圖所示，一物體做加速度為a的勻變速直線運動，取任意兩個連續相等的時間T，它們的位移分別為x1、x2，通過A、B、C時的速度分別為v0、v1、v2，試推導x2－x1＝aT2。
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2．對于加速度大小恒定的勻變速直線運動，若已知連續相等的時間內通過的位移分別為x1、x2、x3、x4，則x4－x1＝____________。
位移差公式：Δx＝aT2
1．內容：做勻變速直線運動的物體，在任意兩個連續相等的時間T內的位移差______，即____________。
2．推論：對于不連續的相等時間內的位移差，xm－xn＝____________，其中m>n。
例1　(2022·馬鞍山二中高一期中)一個物體做勻加速直線運動。它在第1 s內的位移為2.4 m，它在第3 s內的位移為3.6 m。求：
(1)該物體運動的加速度是多大？
(2)該物體在第5 s內的位移是多大？
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例2　從斜面上某一位置每隔0.1 s靜止釋放一個相同的小球，釋放后小球做勻加速直線運動，在連續釋放幾個小球后，對在斜面上滾動的小球拍下如圖所示的照片，測得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：
(1)小球的加速度的大小；
(2)拍攝時小球在B點時的速度的大小；
(3)拍攝時C、D間的距離xCD；
(4)A點的上方滾動的小球還有幾個。
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二、逐差法求加速度
一物體做勻加速直線運動，已知連續相等時間T內的六段位移如圖所示。某同學計算物體加速度時，選取紙帶上任意兩段位移，利用公式x2－x1＝aT2計算物體的加速度，你認為這種方法有何不妥？
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1．紙帶上測得連續6個相同時間T內的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，將它們分為三組，由xm－xn＝(m－n)aT2得，
a1＝，a2＝，a3＝，
a＝＝。
此式把各段位移都利用上，有效地減小了僅有兩次位移測量所帶來的偶然誤差，這種方法稱為逐差法。
技巧：此種情況也可以把連續的六段位移看成連續的兩大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，時間間隔Δt＝3T，即a＝＝。
1.如圖所示，類比寫出已知連續4個相同時間T內的位移，利用逐差法求加速度公式？
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2．若n為大于4的奇數段，應怎么處理？
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例3　(2022·清華附中高一期中)某實驗小組利用打點計時器測量小車做勻變速直線運動的速度，打點計時器應接________電源(填“直流”或“交流”)。該實驗小組選取了一條點跡清晰的紙帶，如圖所示。圖中O、A、B、C、D是按打點先后順序依次選取的計數點，相鄰計數點間的時間間隔T＝0.10 s，由圖中的數據可知，打點計時器打下B點時小車運動的速度vB＝________ m/s，小車運動的加速度a＝________ m/s2(均保留兩位有效數字)。
例4　在做“研究勻變速直線運動”的實驗時，某同學得到一條用打點計時器打下的紙帶如圖所示，并在其上取了A、B、C、D、E、F、G共7個計數點，每相鄰兩個計數點之間還有4個點(圖中沒有畫出)，打點計時器接周期為T＝0.02 s的交變電源，經過測量得：d1＝3.62 cm，d2＝8.00 cm，d3＝13.20 cm，d4＝19.19 cm，d5＝25.99 cm，d6＝33.61 cm。(結果均保留兩位有效數字)
(1)物體在打B點時的瞬時速度大小vB＝________m/s；
(2)物體的加速度大小a＝________m/s2；
(3)如果當時電源中交變電流的頻率是f＝51 Hz(已知T＝)，而做實驗的同學并不知道，那么加速度的測量值與實際值相比________(選填“偏大”“偏小”或“不變”)。
專題強化　勻變速直線運動的位移差公式　逐差法求加速度
[學習目標]　1.理解位移差公式并能解決相關問題(重點)。2.理解逐差法的意義并會用逐差法求加速度(重難點)。3.能夠理解偶然誤差及系統誤差的產生原因，并會按要求保留有效數字(重點)。
一、位移差公式
1.如圖所示，一物體做加速度為a的勻變速直線運動，取任意兩個連續相等的時間T，它們的位移分別為x1、x2，通過A、B、C時的速度分別為v0、v1、v2，試推導x2－x1＝aT2。
答案　v1＝v0＋aT
x1＝v0T＋aT2
x2＝v1T＋aT2
x2與x1的位移差：
Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2
2．對于加速度大小恒定的勻變速直線運動，若已知連續相等的時間內通過的位移分別為x1、x2、x3、x4，則x4－x1＝________。
答案　方法一　如圖所示
設初速度為v0，第四段位移的初速度為v3，則
v3＝v0＋3aT
x1＝v0T＋aT2
x4＝v3T＋aT2
x4－x1＝(v3－v0)T＝3aT2。
方法二　由x2－x1＝aT2
x3－x2＝aT2
x4－x3＝aT2
得x4－x1＝3aT2。
位移差公式：Δx＝aT2
1．內容：做勻變速直線運動的物體，在任意兩個連續相等的時間T內的位移差恒定，即Δx＝aT2。
2．推論：對于不連續的相等時間內的位移差，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n。
例1　(2022·馬鞍山二中高一期中)一個物體做勻加速直線運動。它在第1 s內的位移為2.4 m，它在第3 s內的位移為3.6 m。求：
(1)該物體運動的加速度是多大？
(2)該物體在第5 s內的位移是多大？
答案　(1)0.6 m/s2　(2)4.8 m
解析　(1)根據位移差公式有
Δx＝x3－x1＝2aT2
解得a＝0.6 m/s2
(2)x3－x1＝2aT2
x3－x1＝1.2 m
x5－x3＝2aT2
故x5＝x3＋2aT2＝3.6 m＋1.2 m＝4.8 m。
例2　從斜面上某一位置每隔0.1 s靜止釋放一個相同的小球，釋放后小球做勻加速直線運動，在連續釋放幾個小球后，對在斜面上滾動的小球拍下如圖所示的照片，測得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：
(1)小球的加速度的大小；
(2)拍攝時小球在B點時的速度的大小；
(3)拍攝時C、D間的距離xCD；
(4)A點的上方滾動的小球還有幾個。
答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m　(4)2個
解析　(1)由Δx＝aT2可知，小球加速度為
a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2。
(2)由題意知B點對應AC段的中間時刻，所以B點的速度等于AC段的平均速度，即
vB＝＝ m/s＝1.75 m/s。
(3)由于連續相等時間內位移差恒定，
所以xCD－xBC＝xBC－xAB，得xCD＝0.25 m。
(4)設A點處小球的速度為vA，
由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s，
所以A點處小球的運動時間為tA＝＝0.25 s，
所以在A點的上方滾動的小球還有2個。
二、逐差法求加速度
一物體做勻加速直線運動，已知連續相等時間T內的六段位移如圖所示。某同學計算物體加速度時，選取紙帶上任意兩段位移，利用公式x2－x1＝aT2計算物體的加速度，你認為這種方法有何不妥？
答案　偶然誤差較大，沒有充分利用實驗數據。
1．紙帶上測得連續6個相同時間T內的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，將它們分為三組，由xm－xn＝(m－n)aT2得，
a1＝，a2＝，a3＝，
a＝＝。
此式把各段位移都利用上，有效地減小了僅有兩次位移測量所帶來的偶然誤差，這種方法稱為逐差法。
技巧：此種情況也可以把連續的六段位移看成連續的兩大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，時間間隔Δt＝3T，即a＝＝。
1．如圖所示，類比寫出已知連續4個相同時間T內的位移，利用逐差法求加速度公式？
答案　a＝。
2．若n為大于4的奇數段，應怎么處理？
答案　舍去位移最小的一段或中間一段
假設n＝5，若相鄰各段間的位移逐漸增大，第一段讀數的誤差相對較大，可以舍去第一段，則
a＝，
同理，若相鄰各段間的位移逐漸減小，可以舍去最后一段或舍去中間一段，則
a＝＝。
例3　(2022·清華附中高一期中)某實驗小組利用打點計時器測量小車做勻變速直線運動的速度，打點計時器應接________電源(填“直流”或“交流”)。該實驗小組選取了一條點跡清晰的紙帶，如圖所示。圖中O、A、B、C、D是按打點先后順序依次選取的計數點，相鄰計數點間的時間間隔T＝0.10 s，由圖中的數據可知，打點計時器打下B點時小車運動的速度vB＝________ m/s，小車運動的加速度a＝________ m/s2(均保留兩位有效數字)。
答案　交流　0.72　2.4
解析　打點計時器應接交變電源，打點計時器打下B點時小車運動的速度vB＝＝×10－2 m/s＝0.72 m/s，由公式Δx＝aT2得a＝＝×10－2 m/s2≈2.4 m/s2。
例4　在做“研究勻變速直線運動”的實驗時，某同學得到一條用打點計時器打下的紙帶如圖所示，并在其上取了A、B、C、D、E、F、G共7個計數點，每相鄰兩個計數點之間還有4個點(圖中沒有畫出)，打點計時器接周期為T＝0.02 s的交變電源，經過測量得：d1＝3.62 cm，d2＝8.00 cm，d3＝13.20 cm，d4＝19.19 cm，d5＝25.99 cm，d6＝33.61 cm。(結果均保留兩位有效數字)
(1)物體在打B點時的瞬時速度大小vB＝________m/s；
(2)物體的加速度大小a＝________m/s2；
(3)如果當時電源中交變電流的頻率是f＝51 Hz(已知T＝)，而做實驗的同學并不知道，那么加速度的測量值與實際值相比________(選填“偏大”“偏小”或“不變”)。
答案　(1)0.40　(2)0.80　(3)偏小
解析　(1)每相鄰兩個計數點之間還有4個點，打點計時器接周期為T＝0.02 s的交變電源，則計數點間的時間間隔為
T′＝5T＝0.10 s，打點計時器打B點時，物體的速度
vB＝＝ m/s＝0.40 m/s
(2)物體的加速度為
a＝＝
＝ m/s2≈0.80 m/s2
(3)如果當時電源中交變電流的頻率是f＝51 Hz，而做實驗的同學并不知道，那么實際打點周期小于測量的打點周期；據Δx＝aT2得，真實的加速度大于測量的加速度，即加速度的測量值與實際值相比偏小。專題強化　追及相遇問題
[學習目標]　1.進一步熟練掌握勻變速直線運動公式的應用(重點)。2.會分析追及相遇問題中物體速度、位移變化，會根據位移關系及速度關系列方程(難點)。
兩物體在同一直線上一前一后運動，速度相同時它們之間可能出現距離最大、距離最小或者相遇(碰撞)的情況，這類問題稱為追及相遇問題。
一、初速度小者追初速度大者——最大距離問題
例1　一輛值勤的警車停在公路邊，當警員發現在警車前面x0＝13 m遠處以v0＝8 m/s的速度勻速向前行駛的貨車有違章行為時，決定前去追趕，經t0＝2.5 s，警車發動起來，以加速度a＝2 m/s2做勻加速直線運動，求：
(1)警車發動后追上違章的貨車所用的時間t；
(2)在警車追上貨車之前，兩車間的最大距離Δxm。
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針對訓練　(2023·北京石景山高一統考期末)在平直的公路上有甲、乙兩輛汽車從同一地點，沿同一方向做勻變速直線運動，它們的速度—時間圖像如圖所示。在0～6 s時間內，根據圖像可以判斷出(　　)
A．甲運動的加速度大小大于乙運動的加速度大小
B．在t＝4 s時，甲、乙運動的加速度大小相等
C．甲、乙在t＝4 s時相遇
D．在t＝4 s時，甲、乙相距最遠，且最遠距離為24 m
1．討論追及、相遇問題，其實質就是分析討論兩物體在同一時刻能否到達相同的空間位置。
2．解題技巧
(1)一個條件：即速度相等，它往往是兩物體能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。
(2)兩個關系：即時間關系和位移關系，這兩個關系可通過畫運動示意圖得到。
(3)常用解題方法有：臨界分析法、數學解析法、v－t圖像法。
3．初速度小者追初速度大者常見情形分析
實物圖
情景圖 勻加速追勻速 　 勻速追勻減速　勻加速追勻減速 注意：勻速(或勻加速)追勻減速問題中需要對勻減速運動的物體是否已經停止進行討論
t＝t0以前(v2＜v1) 兩物體距離增大
t＝t0時(v1＝v2) 相距最遠
t＝t0以后(v2＞v1) 兩物體距離減小
追及情況 只能追上一次
二、初速度大者追初速度小者——能否追上及最小距離問題
例2　一輛客車從靜止開始以a＝1 m/s2做勻加速直線運動的同時，在車的后面s＝20 m處有一乘客騎自行車以6 m/s的速度勻速追趕這輛車，判斷乘客能否追上這輛客車？若不能，二者間的最小距離為多少？
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初速度大者追初速度小者的常見情形分析
實物圖
情景圖 　 勻減速追勻速　勻速追勻加速 勻減速追勻加速
t0時刻以前(v2＞v1) 兩物體距離減小(甲未追上乙時)
t0時刻 (v2＝v1) Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次
若Δx＜x0，追不上，有最小距離
若Δx＞x0，相遇兩次
例3　(2022·西安市高一期末)在一條平直公路上，某時刻有兩輛車相距L＝10 m同向行駛，甲車在前，正以初速度v0＝20 m/s、加速度a1大小為5 m/s2緊急剎車，可視為勻減速直線運動，乙車在后，正以v2＝10 m/s做勻速直線運動。求：
(1)甲車經多長時間停下；
(2)甲、乙兩車相遇前最大距離；
(3)甲、乙兩車經多長時間相遇。
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如遇剎車問題，要判定是運動停止前相遇，還是運動停止后相遇。
三、有條件限制的追及問題
　　　　　　　　　　　　　　　　
例4　一輛摩托車能達到的最大速度為30 m/s，要想在3 min內由靜止起沿一條平直公路追上前面1 000 m處正以20 m/s的速度勻速行駛的汽車。
(1)判斷在追趕過程中摩托車能一直加速嗎？
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(2)如果在3 min內摩托車能追上汽車，摩托車至少以多大加速度啟動？(計算結果保留兩位有效數字)
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如果車輛有最大速度的限制，要注意車輛達到最大速度前后運動狀態的不同。
專題強化　追及相遇問題
[學習目標]　1.進一步熟練掌握勻變速直線運動公式的應用(重點)。2.會分析追及相遇問題中物體速度、位移變化，會根據位移關系及速度關系列方程(難點)。
兩物體在同一直線上一前一后運動，速度相同時它們之間可能出現距離最大、距離最小或者相遇(碰撞)的情況，這類問題稱為追及相遇問題。
一、初速度小者追初速度大者——最大距離問題
例1　一輛值勤的警車停在公路邊，當警員發現在警車前面x0＝13 m遠處以v0＝8 m/s的速度勻速向前行駛的貨車有違章行為時，決定前去追趕，經t0＝2.5 s，警車發動起來，以加速度a＝2 m/s2做勻加速直線運動，求：
(1)警車發動后追上違章的貨車所用的時間t；
(2)在警車追上貨車之前，兩車間的最大距離Δxm。
答案　(1)11 s　(2)49 m
解析　(1)警車開始運動時，貨車在它前面
Δx＝x0＋v0t0＝13 m＋8×2.5 m＝33 m
警車運動位移：x1＝at2
貨車運動位移：x2＝v0t
警車要追上貨車需滿足：x1＝x2＋Δx
聯立并代入數據解得：t＝11 s(t＝－3 s舍去)
(2)警車與貨車速度相同時，相距最遠，
對警車有：v0＝at′，x1′＝at′2
對貨車有：x2′＝v0t′
最大距離：Δxm＝x2′－x1′＋Δx＝49 m。
針對訓練　(2023·北京石景山高一統考期末)在平直的公路上有甲、乙兩輛汽車從同一地點，沿同一方向做勻變速直線運動，它們的速度—時間圖像如圖所示。在0～6 s時間內，根據圖像可以判斷出(　　)
A．甲運動的加速度大小大于乙運動的加速度大小
B．在t＝4 s時，甲、乙運動的加速度大小相等
C．甲、乙在t＝4 s時相遇
D．在t＝4 s時，甲、乙相距最遠，且最遠距離為24 m
答案　D
解析　v-t圖像斜率的絕對值表示加速度的大小，由題圖可知0～6 s時間內，甲運動的加速度大小小于乙運動的加速度大小，故A、B錯誤；v-t圖像與t軸圍成的面積表示位移的大小，由題圖可知在t＝4 s時乙在甲的前方，故C錯誤；在t＝4 s前，乙的速度大于甲的速度，t＝4 s后，乙的速度小于甲的速度，所以在t＝4 s時，甲、乙相距最遠，且最遠距離為Δx＝×12×4 m＝24 m，故D正確。
1．討論追及、相遇問題，其實質就是分析討論兩物體在同一時刻能否到達相同的空間位置。
2．解題技巧
(1)一個條件：即速度相等，它往往是兩物體能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。
(2)兩個關系：即時間關系和位移關系，這兩個關系可通過畫運動示意圖得到。
(3)常用解題方法有：臨界分析法、數學解析法、v-t圖像法。
3．初速度小者追初速度大者常見情形分析
實物圖
情景圖 勻加速追勻速 勻速追勻減速　勻加速追勻減速 注意：勻速(或勻加速)追勻減速問題中需要對勻減速運動的物體是否已經停止進行討論
t＝t0以前(v2＜v1) 兩物體距離增大
t＝t0時(v1＝v2) 相距最遠
t＝t0以后(v2＞v1) 兩物體距離減小
追及情況 只能追上一次
二、初速度大者追初速度小者——能否追上及最小距離問題
例2　一輛客車從靜止開始以a＝1 m/s2做勻加速直線運動的同時，在車的后面s＝20 m處有一乘客騎自行車以6 m/s的速度勻速追趕這輛車，判斷乘客能否追上這輛客車？若不能，二者間的最小距離為多少？
答案　見解析
解析　由臨界條件知當v車＝v人時乘客如果能追上就可以追上，即at＝v人
解得t＝6 s
x車＝at2＝×1×62 m＝18 m
x人＝v人t＝6×6 m＝36 m
如圖所示
x人＜x車＋20 m
故追不上
最小距離Δx＝(18＋20－36) m＝2 m。
初速度大者追初速度小者的常見情形分析
實物圖
情景圖 　 勻減速追勻速　勻速追勻加速 勻減速追勻加速
t0時刻以前(v2＞v1) 兩物體距離減小(甲未追上乙時)
t0時刻 (v2＝v1) Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次
若Δx＜x0，追不上，有最小距離
若Δx＞x0，相遇兩次
例3　(2022·西安市高一期末)在一條平直公路上，某時刻有兩輛車相距L＝10 m同向行駛，甲車在前，正以初速度v0＝20 m/s、加速度a1大小為5 m/s2緊急剎車，可視為勻減速直線運動，乙車在后，正以v2＝10 m/s做勻速直線運動。求：
(1)甲車經多長時間停下；
(2)甲、乙兩車相遇前最大距離；
(3)甲、乙兩車經多長時間相遇。
答案　(1)4 s　(2)20 m　(3)5 s
解析　(1)以初速度方向為正方向，甲車從開始剎車到停下所經歷的時間：t1＝＝4 s。
(2)當兩車的速度相同時兩車間的距離最大，經歷的時間：t2＝＝2 s
甲車的位移：x1＝t2＝30 m
乙車的位移：x2＝v2t2＝10×2 m＝20 m
兩車的最大距離：xm＝L＋x1－x2＝20 m
(3)2 s末兩車之間的距離是20 m，再經過2 s甲車停止，所以可知甲車停止時，乙車還未追上甲車，則有：v2t3＝L＋
代入數據解得：t3＝5 s。
如遇剎車問題，要判定是運動停止前相遇，還是運動停止后相遇。
三、有條件限制的追及問題
例4　一輛摩托車能達到的最大速度為30 m/s，要想在3 min內由靜止起沿一條平直公路追上前面1 000 m處正以20 m/s的速度勻速行駛的汽車。
(1)判斷在追趕過程中摩托車能一直加速嗎？
(2)如果在3 min內摩托車能追上汽車，摩托車至少以多大加速度啟動？(計算結果保留兩位有效數字)
答案　見解析
解析　(1)t0＝3 min＝180 s，假設摩托車在180 s內一直做勻加速直線運動，設追上汽車時，摩托車的速度為v。
由v汽t0＋1 000 m＝t0
代入數據得v≈51.1 m/s>30 m/s，超過了摩托車所能達到的最大速度，所以摩托車先做加速運動，速度達到最大值后做勻速運動。
(2)設摩托車加速時間為t1，加速度為a,3 min內摩托車恰好能追上汽車時，加速度最小，
則有at1＝v1＝30 m/s
at12＋v1(t0－t1)＝v汽t0＋1 000 m
代入數據得a≈0.56 m/s2。
如果車輛有最大速度的限制，要注意車輛達到最大速度前后運動狀態的不同。3　勻變速直線運動的位移與時間的關系
[學習目標]　1.掌握勻變速直線運動的位移與時間的關系式，會用公式x＝v0t＋at2解決勻變速直線運動的問題(重點)。2.掌握勻變速直線運動的速度與位移的關系式并會應用公式v2－v02＝2ax解決勻變速直線運動的問題(難點)。
一、勻變速直線運動的位移
1．物體做勻速直線運動，其v－t圖像與t軸圍成的矩形面積有什么意義？
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2．如圖是某物體以初速度v0做勻變速直線運動的v－t圖像。
(1)如圖甲所示，把物體的運動分成5段，每一段時間內，看成勻速直線運動，試著在圖中畫出這5小段的位移之和。
(2)如圖乙所示，如果把過程分割為更多的小段，和甲圖相比，哪種情形更接近整個過程的位移？
(3)依次類推，如果把過程分割成無數個小段，能否用梯形的面積代表物體在這段時間的位移？
(4)梯形面積為多少？試結合v＝v0＋at推導出位移x與時間t的關系。
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1．勻變速直線運動位移與時間的關系式：x＝________________
當v0＝0時，x＝____________(由靜止開始的勻加速直線運動)，此時x∝t2。
2．適用范圍：僅適用于____________直線運動。
3．公式的矢量性：公式中x、v0、a都是______，應用時必須選取正方向。一般選________的方向為正方向。當物體做勻加速直線運動時，a取________值。當物體做勻減速直線運動時，a取________值，計算結果中，位移x的正、負表示其________。
4．各物理量的單位都要使用國際單位制單位。
說明：(1)推導勻變速直線運動的位移大小等于圖像下方的面積時用到了微元法。
(2)任意形狀的v－t圖像與時間軸所圍成的面積都等于物體的位移大小。
例1　以36 km/h的速度行駛的列車開始下坡，在下坡路上的加速度等于0.2 m/s2，經過30 s到達坡底，求坡路的長度和列車到達坡底時的速度大小。
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例2　一物體做勻減速直線運動，初速度大小為v0＝5 m/s，加速度大小為0.5 m/s2，求：
(1)物體在前3 s內的位移大小；
(2)物體在第3 s內的位移大小。
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應用位移與時間的關系式解題的步驟：
(1)規定正方向(一般以初速度的方向為正方向)。
(2)根據規定的正方向確定已知量的正、負，并用帶有正、負號的數值表示。
(3)根據位移與時間的關系式或其變形公式列式、求解。
(4)根據計算結果說明所求量的大小和方向。
二、速度與位移的關系
試由x＝v0t＋at2和v＝v0＋at，消去時間t，推導速度與位移的關系式。
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1．勻變速直線運動速度與位移的關系式：________________＝2ax。
2．適用范圍：僅適用于________________運動。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，應用解題時一定要先設定正方向，一般取v0方向為正方向。
(1)若是加速運動，a取________值，若是減速運動，a取________值。
(2)若計算結果x＞0，表明位移的方向與初速度方向________，x＜0表明位移的方向與初速度方向________。
(3)若計算結果v＞0，表明速度的方向與初速度方向________，v＜0表明速度的方向與初速度方向________。
例3　某型號航空母艦上裝有幫助飛機起飛的彈射系統，已知某型號的飛機在平直跑道上加速時可產生的最大加速度為5.0 m/s2，當飛機的速度達到50 m/s時才能離開航空母艦起飛，設航空母艦始終處于靜止狀態。問：
(1)若某艦上不裝彈射系統，要求該型號飛機仍能在此艦上正常起飛，該艦身至少為多長？
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(2)若要求該飛機滑行160 m后起飛，彈射系統必須使飛機具有多大的初速度？
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如果在所研究的問題中，已知量和未知量都不涉及時間t，利用公式v2－v02＝2ax解題，往往會更方便。
三、剎車中的位移問題
一汽車在水平路面上勻速行駛，速度v0＝10 m/s，突然前方出現緊急情況，司機以5 m/s2的加速度剎車，求汽車開始剎車后1 s內和3 s內的位移。
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剎車類問題的分析思路：
汽車剎車、飛機降落后在跑道上滑行等都可簡化為單方向的勻減速直線運動，當速度減小到零后，就停止運動，在計算這類運動的位移時，應先計算出速度減小到零所用的時間t0。
(1)如果t0(2)如果t0>t，說明經過時間t運動還沒有停止，則應用題目所給的時間t直接求解位移。
例4　以18 m/s的速度行駛的汽車，制動后做勻減速直線運動，在3 s內前進36 m(3 s時汽車未停止)。求汽車的加速度及制動后5 s內發生的位移大小。
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剎車類問題末速度為零時，可以將汽車勻減速到零的運動看成是反向的初速度為零的勻加速運動，從而使問題的解答更簡便。
3　勻變速直線運動的位移與時間的關系
[學習目標]　1.掌握勻變速直線運動的位移與時間的關系式，會用公式x＝v0t＋at2解決勻變速直線運動的問題(重點)。2.掌握勻變速直線運動的速度與位移的關系式并會應用公式v2－v02＝2ax解決勻變速直線運動的問題(難點)。
一、勻變速直線運動的位移
1．物體做勻速直線運動，其v-t圖像與t軸圍成的矩形面積有什么意義？
答案　做勻速直線運動的物體在時間t內的位移大小對應著v-t圖線與t軸圍成的矩形面積，即v-t圖像與t軸圍成的矩形面積表示物體的位移大小。
2．如圖是某物體以初速度v0做勻變速直線運動的v-t圖像。
(1)如圖甲所示，把物體的運動分成5段，每一段時間內，看成勻速直線運動，試著在圖中畫出這5小段的位移之和。
(2)如圖乙所示，如果把過程分割為更多的小段，和甲圖相比，哪種情形更接近整個過程的位移？
(3)依次類推，如果把過程分割成無數個小段，能否用梯形的面積代表物體在這段時間的位移？
(4)梯形面積為多少？試結合v＝v0＋at推導出位移x與時間t的關系。
答案　(1)位移為圖中矩形面積之和，如圖所示。
(2)圖乙更接近整個過程中的位移。
(3)可以。
(4)S＝t＝t＝v0t＋at2，則x＝v0t＋at2。
1．勻變速直線運動位移與時間的關系式：x＝v0t＋at2
當v0＝0時，x＝at2(由靜止開始的勻加速直線運動)，此時x∝t2。
2．適用范圍：僅適用于勻變速直線運動。
3．公式的矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，應用時必須選取正方向。一般選v0的方向為正方向。當物體做勻加速直線運動時，a取正值。當物體做勻減速直線運動時，a取負值，計算結果中，位移x的正、負表示其方向。
4．各物理量的單位都要使用國際單位制單位。
說明：(1)推導勻變速直線運動的位移大小等于圖像下方的面積時用到了微元法。
(2)任意形狀的v-t圖像與時間軸所圍成的面積都等于物體的位移大小。
例1　以36 km/h的速度行駛的列車開始下坡，在下坡路上的加速度等于0.2 m/s2，經過30 s到達坡底，求坡路的長度和列車到達坡底時的速度大小。
答案　390 m　16 m/s
解析　設坡路的長度為x，列車到達坡底時的速度大小為v，初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，
加速度a＝0.2 m/s2，時間t＝30 s，
根據x＝v0t＋at2，
得x＝10 m/s×30 s＋×0.2 m/s2×(30 s)2＝390 m。
根據v＝v0＋at，
得v＝10 m/s＋0.2 m/s2×30 s＝16 m/s。
例2　一物體做勻減速直線運動，初速度大小為v0＝5 m/s，加速度大小為0.5 m/s2，求：
(1)物體在前3 s內的位移大小；
(2)物體在第3 s內的位移大小。
答案　(1)12.75 m　(2)3.75 m
解析　(1)取初速度方向為正方向
v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2
前3 s內物體的位移x3＝v0t3＋at32＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m。
(2)同理，前2 s內物體的位移
x2＝v0t2＋at22＝5×2 m＋×(－0.5)×22 m＝9 m
因此第3 s內物體的位移
x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。
應用位移與時間的關系式解題的步驟：
(1)規定正方向(一般以初速度的方向為正方向)。
(2)根據規定的正方向確定已知量的正、負，并用帶有正、負號的數值表示。
(3)根據位移與時間的關系式或其變形公式列式、求解。
(4)根據計算結果說明所求量的大小和方向。
二、速度與位移的關系
試由x＝v0t＋at2和v＝v0＋at，消去時間t，推導速度與位移的關系式。
答案　由v＝v0＋at得
t＝
代入x＝v0t＋at2得
v2－v02＝2ax。
1．勻變速直線運動速度與位移的關系式：v2－v02＝2ax。
2．適用范圍：僅適用于勻變速直線運動。
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，應用解題時一定要先設定正方向，一般取v0方向為正方向。
(1)若是加速運動，a取正值，若是減速運動，a取負值。
(2)若計算結果x＞0，表明位移的方向與初速度方向相同，x＜0表明位移的方向與初速度方向相反。
(3)若計算結果v＞0，表明速度的方向與初速度方向相同，v＜0表明速度的方向與初速度方向相反。
例3　某型號航空母艦上裝有幫助飛機起飛的彈射系統，已知某型號的飛機在平直跑道上加速時可產生的最大加速度為5.0 m/s2，當飛機的速度達到50 m/s時才能離開航空母艦起飛，設航空母艦始終處于靜止狀態。問：
(1)若某艦上不裝彈射系統，要求該型號飛機仍能在此艦上正常起飛，該艦身至少為多長？
(2)若要求該飛機滑行160 m后起飛，彈射系統必須使飛機具有多大的初速度？
答案　(1)250 m　(2)30 m/s
解析　(1)不裝彈射系統時，飛機從靜止開始做勻加速直線運動，由公式v2＝2ax可知該艦身長至少為x1＝＝250 m。
(2)設彈射系統使飛機具有的初速度為v0，由速度與位移的關系式v2－v02＝2ax
可得v0＝＝30 m/s。
如果在所研究的問題中，已知量和未知量都不涉及時間t，利用公式v2－v02＝2ax解題，往往會更方便。
三、剎車中的位移問題
一汽車在水平路面上勻速行駛，速度v0＝10 m/s，突然前方出現緊急情況，司機以5 m/s2的加速度剎車，求汽車開始剎車后1 s內和3 s內的位移。
答案　首先根據v＝v0＋at0
可求得開始剎車到停止所用時間為t0＝＝ s＝2 s，因t1＝1 sx1＝v0t1＋at12＝10×1 m－×5×12 m＝7.5 m
因t2＝3 s>t0
故x2＝v0t0＋at02＝10×2 m－×5×4 m＝10 m。
剎車類問題的分析思路：
汽車剎車、飛機降落后在跑道上滑行等都可簡化為單方向的勻減速直線運動，當速度減小到零后，就停止運動，在計算這類運動的位移時，應先計算出速度減小到零所用的時間t0。
(1)如果t0(2)如果t0>t，說明經過時間t運動還沒有停止，則應用題目所給的時間t直接求解位移。
例4　以18 m/s的速度行駛的汽車，制動后做勻減速直線運動，在3 s內前進36 m(3 s時汽車未停止)。求汽車的加速度及制動后5 s內發生的位移大小。
答案　4 m/s2，與初速度方向相反　40.5 m
解析　初速度v0＝18 m/s，時間t＝3 s，位移x＝36 m
根據x＝v0t＋at2，得a＝＝ m/s2＝－4 m/s2，則加速度大小為4 m/s2，方向與初速度方向相反。
根據v＝v0＋at, 汽車停止運動的時間t′＝＝ s＝4.5 s
故汽車在制動后5 s內的位移與4.5 s內的位移相等，此過程可以看作反向的初速度為零的勻加速直線運動
x′＝a′t′2＝×4×4.52 m＝40.5 m。
剎車類問題末速度為零時，可以將汽車勻減速到零的運動看成是反向的初速度為零的勻加速運動，從而使問題的解答更簡便。專題強化　自由落體運動規律的綜合應用
[學習目標]　1.進一步加深對自由落體運動性質的理解(重點)。2.能夠靈活運用自由落體運動規律解決滴水、物體過窗等復雜問題(難點)。
一、自由落體運動的多物體問題
1．自由落體運動是______________________運動。
2．自由落體的規律
(1)v＝________；
(2)h＝gt2；
(3)v2＝________。
例1　在離地面7.2 m處手提2.2 m長的繩子的上端，如圖所示，在繩子的上下兩端各拴一小球A、B，放手后小球自由下落(繩子的質量不計，不計空氣阻力，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)，求：
(1)兩小球落地的時間差；
(2)B球落地時A球的速度大小。
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在研究自由落體運動的多物體問題時，首先利用自由落體運動規律，分別計算每個物體落地時間、速度等物理量，再對相關物理量進行分析、比較。
二、自由落體運動中的滴水問題
從屋檐上每隔相同時間下落一雨滴，當第2滴雨滴剛要下落時，第一滴雨滴下落時間為t0。當第3滴雨滴剛下落時，
(1)第1滴雨滴下落的時間為多少？
(2)第1滴雨滴與第2滴雨滴的距離為多少？
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例2　小敏在學過自由落體運動規律后，對自家屋檐上下落的雨滴產生了興趣，她坐在窗前發現從屋檐每隔相等時間滴下一滴水，當第5滴正欲滴下時，第1滴剛好落到地面，而第3滴與第2滴分別位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同學在自己的作業本上畫出了如圖所示的雨滴下落同自家房子的關系，其中2點和3點之間的小矩形表示小敏正對的窗子，不計空氣阻力，g取10 m/s2，求：(嘗試用多種方法求解)
(1)滴水的時間間隔是多少？
(2)此屋檐離地面多高？
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“水滴下落”類問題
像水滴下落這樣從同一位置開始、間隔相等時間、依次做自由落體運動的物體在空間形成不同間距的問題，可將若干個物體在某一時刻的排列情形等效成一個物體在不同時刻的位置，這就類似于研究勻變速直線運動時打點計時器打下的紙帶上的點，由此可以用Δx＝aT2、初速度為零的勻變速直線運動的比例關系或者平均速度法進行求解。
三、桿過窗問題
例3　木桿長5 m，上端固定在屋檐處豎直懸掛，由靜止放開后讓其自由下落(不計空氣阻力，下落過程中始終保持豎直)，木桿通過屋檐正下方20 m處的窗子，窗子高為5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木桿通過窗子上端所用時間是多少？
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(2)木桿通過窗子所用時間是多少？
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“落桿”類問題
由于物體有一定的長度，故物體經過某一點不是一個瞬間，而是一段時間，解決這類問題的關鍵是選準研究過程，找準與這段研究過程的起點和終點相對應的位移，解答過程中應借助示意圖，搞清楚物體運動的過程，從而達到解決問題的目的。
四、自由落體多過程問題
例4　跳傘運動員做低空跳傘表演，他離開飛機后先做自由落體運動，當距離地面125 m時打開降落傘，傘張開后運動員就以大小為14.3 m/s2的加速度做勻減速直線運動，到達地面時的速度為5 m/s，取g＝10 m/s2。問：
(1)運動員離開飛機時距地面的高度為多少？
________________________________________________________________________
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(2)離開飛機后，運動員經過多長時間才能到達地面？(結果保留三位有效數字)
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分析多過程中物體的運動情況
1．找出交接處速度與各段間位移—時間關系。
2．多過程的轉折點處速度是聯系兩個運動的紐帶，往往是解題的關鍵。
專題強化　自由落體運動規律的綜合應用
[學習目標]　1.進一步加深對自由落體運動性質的理解(重點)。2.能夠靈活運用自由落體運動規律解決滴水、物體過窗等復雜問題(難點)。
一、自由落體運動的多物體問題
1．自由落體運動是初速度為0的勻加速直線運動。
2．自由落體的規律
(1)v＝gt；
(2)h＝gt2；
(3)v2＝2gh。
例1　在離地面7.2 m處手提2.2 m長的繩子的上端，如圖所示，在繩子的上下兩端各拴一小球A、B，放手后小球自由下落(繩子的質量不計，不計空氣阻力，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)，求：
(1)兩小球落地的時間差；
(2)B球落地時A球的速度大小。
答案　(1)0.2 s　(2)10 m/s
解析　(1)設B球落地所需時間為t1，A球落地所需時間為t2，因為h1＝gt12，
所以t1＝＝ s＝1 s，
由h2＝gt22得t2＝＝ s＝1.2 s
所以兩小球落地的時間差為Δt＝t2－t1＝0.2 s。
(2)當B球落地時，A球的速度與B球的速度相等，即vA＝vB＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s。
在研究自由落體運動的多物體問題時，首先利用自由落體運動規律，分別計算每個物體落地時間、速度等物理量，再對相關物理量進行分析、比較。
二、自由落體運動中的滴水問題
從屋檐上每隔相同時間下落一雨滴，當第2滴雨滴剛要下落時，第一滴雨滴下落時間為t0。當第3滴雨滴剛下落時，
(1)第1滴雨滴下落的時間為多少？
(2)第1滴雨滴與第2滴雨滴的距離為多少？
答案　(1)第1滴雨滴下落的時間為2t0。
(2)h2＝gt02，h1＝g(2t0)2，Δh＝h1－h2＝gt02。
例2　小敏在學過自由落體運動規律后，對自家屋檐上下落的雨滴產生了興趣，她坐在窗前發現從屋檐每隔相等時間滴下一滴水，當第5滴正欲滴下時，第1滴剛好落到地面，而第3滴與第2滴分別位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同學在自己的作業本上畫出了如圖所示的雨滴下落同自家房子的關系，其中2點和3點之間的小矩形表示小敏正對的窗子，不計空氣阻力，g取10 m/s2，求：(嘗試用多種方法求解)
(1)滴水的時間間隔是多少？
(2)此屋檐離地面多高？
答案　(1)0.2 s　(2)3.2 m
解析　方法一　公式法
(1)設屋檐離地面高為h，滴水時間間隔為T。如圖所示。
由公式h＝gt2得
第2滴雨滴下落的位移h2＝g(3T)2
第3滴雨滴下落的位移h3＝g(2T)2
且h2－h3＝1 m
解得T＝0.2 s
(2)則屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m。
方法二　比例法
(1)(2)由于初速度為零的勻加速直線運動從開始運動起，在連續相等的時間間隔內的位移之比為1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相鄰兩雨滴之間的間距從上到下依次是s、3s、5s、7s，
由題意知，窗高為5s，則5s＝1 m，s＝0.2 m，
屋檐高h＝s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2 m。
由h＝gt2得滴水的時間間隔T＝＝0.2 s。
方法三　平均速度法
(1)設滴水時間間隔為T，則雨滴經過窗戶過程中的平均速度為＝，其中h＝1 m。
雨滴在2.5T時的速度v2.5＝2.5gT，
由于v2.5＝，所以＝2.5gT，解得T＝0.2 s
(2)屋檐高H＝g(4T)2＝3.2 m。
方法四　速度—位移關系法
(1)設滴水時間間隔為T，則第2滴水滴的速度v2＝g·3T，
第3滴水滴的速度v3＝g·2T，h＝1 m，
由v2－v02＝2ax得v22－v32＝2gh
解得T＝0.2 s
(2)由v2＝2gH，v＝gt得v＝g·4T＝8 m/s
H＝＝3.2 m。
“水滴下落”類問題
像水滴下落這樣從同一位置開始、間隔相等時間、依次做自由落體運動的物體在空間形成不同間距的問題，可將若干個物體在某一時刻的排列情形等效成一個物體在不同時刻的位置，這就類似于研究勻變速直線運動時打點計時器打下的紙帶上的點，由此可以用Δx＝aT2、初速度為零的勻變速直線運動的比例關系或者平均速度法進行求解。
三、桿過窗問題
　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　木桿長5 m，上端固定在屋檐處豎直懸掛，由靜止放開后讓其自由下落(不計空氣阻力，下落過程中始終保持豎直)，木桿通過屋檐正下方20 m處的窗子，窗子高為5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木桿通過窗子上端所用時間是多少？
(2)木桿通過窗子所用時間是多少？
答案　(1)(2－) s　(2)(－) s
解析　(1)木桿由靜止開始做自由落體運動，木桿下端到達窗子上端用時由h下上＝gt下上2，得
t下上＝＝ s＝ s
木桿上端到達窗子上端用時
t上上＝＝ s＝2 s
則木桿通過窗子上端所用時間
t＝t上上－t下上＝(2－) s
(2)木桿的上端到達窗子的下端用時為
t上下＝＝ s＝ s
則木桿通過窗子的時間為
t′＝t上下－t下上＝(－) s。
“落桿”類問題
由于物體有一定的長度，故物體經過某一點不是一個瞬間，而是一段時間，解決這類問題的關鍵是選準研究過程，找準與這段研究過程的起點和終點相對應的位移，解答過程中應借助示意圖，搞清楚物體運動的過程，從而達到解決問題的目的。
四、自由落體多過程問題
例4　跳傘運動員做低空跳傘表演，他離開飛機后先做自由落體運動，當距離地面125 m時打開降落傘，傘張開后運動員就以大小為14.3 m/s2的加速度做勻減速直線運動，到達地面時的速度為5 m/s，取g＝10 m/s2。問：
(1)運動員離開飛機時距地面的高度為多少？
(2)離開飛機后，運動員經過多長時間才能到達地面？(結果保留三位有效數字)
答案　(1)305 m　(2)9.85 s
解析　(1)設運動員自由下落的高度為h1，打開傘前瞬間的速度為v1，以向下為正方向有v12＝2gh1
打開降落傘后做勻減速運動時滿足：
v22－v12＝2ah2，又a＝－14.3 m/s2
解得v1＝60 m/s，h1＝180 m
所以總高度為H＝h1＋h2＝(180＋125) m＝305 m
(2)設第一過程經過的時間是t1，有h1＝gt12
設第二過程經過的時間是t2，則有t2＝
所以總時間為t＝t1＋t2≈9.85 s。
分析多過程中物體的運動情況
1．找出交接處速度與各段間位移—時間關系。
2．多過程的轉折點處速度是聯系兩個運動的紐帶，往往是解題的關鍵。1　實驗：探究小車速度隨時間變化的規律
[學習目標]　1.進一步練習使用打點計時器。2.會測量小車的瞬時速度。3.會用v－t圖像處理實驗數據，并計算小車的加速度(重點)。
一、實驗思路
1．實驗方案：槽碼牽引小車在長木板上運動。
2．物理量的直接測量
位移：用刻度尺測量；
時間：由紙帶獲取。
二、實驗裝置
打點計時器(帶導線)、________________、紙帶、一端帶有定滑輪的長木板、小車、細繩、槽碼、__________、復寫紙、坐標紙。
三、進行實驗
1．在長木板上固定打點計時器，并使滑輪伸出桌面，連接電路。讓小車停在______打點計時器的位置，安裝好紙帶，連接細繩和槽碼。
2．先________________，后______________，打點完成后________________，觀察紙帶的點跡是否清晰。
3．增減所掛的槽碼(或在小車上放置重物)，更換紙帶，再做兩次實驗。
四、數據分析
1．求解并記錄各計數點的瞬時速度
(1)取該計數點相鄰兩計數點，算出此段的平均速度，該點的瞬時速度近似等于此段的平均速度( 注意估讀、單位以及有效數字)。
v1＝____________，v2＝____________，…
T為相鄰兩個計數點間的時間間隔，若交變電源頻率為50 Hz，每5個點取一個計數點(中間隔4個點)，則T＝________ s。
(2)把各計數點的瞬時速度填入表中標有“vⅠ ” 的一行。同理，計算增減槽碼后兩次實驗的速度分別填入表中標有“vⅡ” 和“vⅢ” 的兩行內。
位置編號 0 1 2 3 4 5 6 …
時間t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
vⅠ/(m·s－1)
vⅡ/(m·s－1)
vⅢ/(m·s－1)
測量示例
位置 0 1 2 3 4 5 6
時間t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
v/(m·s－1) 0.45 0.60 0.74 0.89 1.03 1.19
2.作出v－t圖像
(1)在坐標紙上建立坐標系，描出數據點，如圖所示；
(2)用一條平滑曲線(包括直線)“擬合”這些點，讓這條線通過盡可能多的點，不在線上的點均勻分布在線兩側，偏差比較大的點忽略不計。
v－t圖像的數據點幾乎分布在一條直線上。
五、實驗結論
小車運動的v－t圖像是一條傾斜的直線，說明速度隨時間均勻增加，它們成“線性關系”，即小車運動的加速度________。
六、注意事項
1．開始放開小車時，應使小車靠近打點計時器。
2．先啟動打點計時器，等打點穩定后，再放開小車。
3．打點完畢，立即________________。
4．選取一條點跡清晰的紙帶，舍掉開頭點跡密集部分，選取適當的計數點(注意計數點與計時點的區別)，弄清楚所選的時間間隔T等于多少。
5．不要分段測量各段距離，應盡可能地一次測量完畢(可統一量出各計數點到計時起點的距離)。
6．在坐標紙上畫v－t圖像時，注意坐標軸單位長度的選取，應使圖像大致布滿坐標紙。
例1　在“探究小車速度隨時間變化的規律”的實驗中，
(1)下列給出的器材中，A、E、F、H已選出，還需要________。
A．電磁打點計時器 B．天平
C．低壓交變電源 D．低壓直流電源
E．細繩和紙帶 F．槽碼和小車
G．秒表 H．一端有滑輪的長木板
I．刻度尺
(2)某同學按照以下步驟進行操作：
A．換上紙帶重復做三次，選擇一條較為理想的紙帶；
B．將電磁打點計時器固定在長木板上沒有滑輪的一端，接上電源；
C．把小車停在靠近電磁打點計時器的地方，先放開小車，再啟動電磁打點計時器；
D．斷開電源，取下紙帶；
E．把一條細繩拴在小車前端，繩跨過滑輪掛上槽碼，把紙帶固定在小車后端并讓紙帶穿過電磁打點計時器。
以上步驟有錯誤的是________(填步驟前的字母)，應更正為______________________；步驟合理的順序是____(填步驟前的字母)。
例2　某同學在“探究小車速度隨時間變化的規律”的實驗中，用打點計時器記錄了被小車拖動的紙帶的運動情況，在紙帶上確定出A、B、C、D、E、F、G共7個計數點。其相鄰兩點間的距離如圖所示，在每兩個相鄰的計數點之間還有4個點未畫出，交變電源頻率為50 Hz。
(1)試根據紙帶上各個計數點間的距離，計算出打下B、F兩個點時小車的瞬時速度，并將這兩個速度值填入下表。(結果均保留3位有效數字)
速度 vB vC vD vE vF
數值(m·s－1) 0.479 0.560 0.640
(2)將B、C、E、F各個時刻的瞬時速度標在直角坐標系中(D時刻的已標出)，并畫出小車的瞬時速度隨時間變化的關系圖線。
(3)由所畫速度—時間圖像求出小車加速度為______ m/s2。(結果保留2位有效數字)
(4)寫出圖線與縱軸的交點的物理意義：____________________________________________
______________________________________________________________________________。
例3　為研究小車沿斜面向下運動的規律，把紙帶的一端固定在小車上，小車拖動紙帶運動時，紙帶上打出的點如圖所示。
(1)某同學用以下方法繪制小車的v－t圖像。先把紙帶每隔0.1 s剪斷，得到若干短紙條。再把這些紙條由短到長并排貼在一張紙上，使這些紙條下端對齊，作為橫軸，標出時間(表示時間軸)。最后將紙條上端中心連起來，于是得到v－t圖像。請你按以上辦法(用一張薄紙壓在圖上，復制得到紙帶)繪制這個圖像。
(2)這樣做有道理嗎？說說你的看法_________________________________________________
_______________________________________________________________________________。
1　實驗：探究小車速度隨時間變化的規律
[學習目標]　1.進一步練習使用打點計時器。2.會測量小車的瞬時速度。3.會用v-t圖像處理實驗數據，并計算小車的加速度(重點)。
一、實驗思路
1．實驗方案：槽碼牽引小車在長木板上運動。
2．物理量的直接測量
位移：用刻度尺測量；
時間：由紙帶獲取。
二、實驗裝置
打點計時器(帶導線)、交變電源、紙帶、一端帶有定滑輪的長木板、小車、細繩、槽碼、刻度尺、復寫紙、坐標紙。
三、進行實驗
1．在長木板上固定打點計時器，并使滑輪伸出桌面，連接電路。讓小車停在靠近打點計時器的位置，安裝好紙帶，連接細繩和槽碼。
2．先啟動打點計時器，后釋放小車，打點完成后關閉電源，觀察紙帶的點跡是否清晰。
3．增減所掛的槽碼(或在小車上放置重物)，更換紙帶，再做兩次實驗。
四、數據分析
1．求解并記錄各計數點的瞬時速度
(1)取該計數點相鄰兩計數點，算出此段的平均速度，該點的瞬時速度近似等于此段的平均速度( 注意估讀、單位以及有效數字)。
v1＝，v2＝，…
T為相鄰兩個計數點間的時間間隔，若交變電源頻率為50 Hz，每5個點取一個計數點(中間隔4個點)，則T＝0.1 s。
(2)把各計數點的瞬時速度填入表中標有“vⅠ”的一行。同理，計算增減槽碼后兩次實驗的速度分別填入表中標有“vⅡ”和“vⅢ”的兩行內。
位置編號 0 1 2 3 4 5 6 …
時間t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
vⅠ/(m·s－1)
vⅡ/(m·s－1)
vⅢ/(m·s－1)
測量示例
位置 0 1 2 3 4 5 6
時間t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
v/(m·s－1) 0.45 0.60 0.74 0.89 1.03 1.19
2.作出v-t圖像
(1)在坐標紙上建立坐標系，描出數據點，如圖所示；
(2)用一條平滑曲線(包括直線)“擬合”這些點，讓這條線通過盡可能多的點，不在線上的點均勻分布在線兩側，偏差比較大的點忽略不計。
v-t圖像的數據點幾乎分布在一條直線上。
五、實驗結論
小車運動的v-t圖像是一條傾斜的直線，說明速度隨時間均勻增加，它們成“線性關系”，即小車運動的加速度不變。
六、注意事項
1．開始放開小車時，應使小車靠近打點計時器。
2．先啟動打點計時器，等打點穩定后，再放開小車。
3．打點完畢，立即關閉電源。
4．選取一條點跡清晰的紙帶，舍掉開頭點跡密集部分，選取適當的計數點(注意計數點與計時點的區別)，弄清楚所選的時間間隔T等于多少。
5．不要分段測量各段距離，應盡可能地一次測量完畢(可統一量出各計數點到計時起點的距離)。
6．在坐標紙上畫v-t圖像時，注意坐標軸單位長度的選取，應使圖像大致布滿坐標紙。
例1　在“探究小車速度隨時間變化的規律”的實驗中，
(1)下列給出的器材中，A、E、F、H已選出，還需要________。
A．電磁打點計時器 B．天平
C．低壓交變電源 D．低壓直流電源
E．細繩和紙帶 F．槽碼和小車
G．秒表 H．一端有滑輪的長木板
I．刻度尺
(2)某同學按照以下步驟進行操作：
A．換上紙帶重復做三次，選擇一條較為理想的紙帶；
B．將電磁打點計時器固定在長木板上沒有滑輪的一端，接上電源；
C．把小車停在靠近電磁打點計時器的地方，先放開小車，再啟動電磁打點計時器；
D．斷開電源，取下紙帶；
E．把一條細繩拴在小車前端，繩跨過滑輪掛上槽碼，把紙帶固定在小車后端并讓紙帶穿過電磁打點計時器。
以上步驟有錯誤的是________(填步驟前的字母)，應更正為________；步驟合理的順序是________(填步驟前的字母)。
答案　(1)C、I　(2)C　先啟動電磁打點計時器，再放開小車　BECDA
解析　(1)在本實驗中，不需要測量小車和槽碼的質量，因此不需要天平；電磁打點計時器使用的是低壓交變電源，因此不需要直流電源，同時電磁打點計時器記錄了小車的運動時間，因此不需要秒表；測量點跡間的距離需要刻度尺，所以還需要的器材是：C、I。
(2)以上步驟有錯誤的是C，應先啟動電磁打點計時器，再放開小車。
根據組裝器材、進行實驗、數據處理的順序知，操作步驟順序為：BECDA。
例2　某同學在“探究小車速度隨時間變化的規律”的實驗中，用打點計時器記錄了被小車拖動的紙帶的運動情況，在紙帶上確定出A、B、C、D、E、F、G共7個計數點。其相鄰兩點間的距離如圖所示，在每兩個相鄰的計數點之間還有4個點未畫出，交變電源頻率為50 Hz。
(1)試根據紙帶上各個計數點間的距離，計算出打下B、F兩個點時小車的瞬時速度，并將這兩個速度值填入下表。(結果均保留3位有效數字)
速度 vB vC vD vE vF
數值(m·s－1) 0.479 0.560 0.640
(2)將B、C、E、F各個時刻的瞬時速度標在直角坐標系中(D時刻的已標出)，并畫出小車的瞬時速度隨時間變化的關系圖線。
(3)由所畫速度—時間圖像求出小車加速度為________ m/s2。(結果保留2位有效數字)
(4)寫出圖線與縱軸的交點的物理意義：_________________________________________。
答案　(1)0.400　0.721
(2)見解析圖
(3)0.80(0.72～0.82)
(4)打計數點A時刻小車對應的瞬時速度
解析　(1)由于每相鄰兩個計數點間還有4個點沒有畫出，所以相鄰的計數點間的時間間隔T＝0.1 s，
vB＝ m/s＝0.400 m/s
vF＝ m/s＝0.721 m/s
(2)小車的瞬時速度隨時間變化的關系圖線如圖所示。
(3)小車加速度a＝＝0.80 m/s2。
(4)圖線與縱軸的交點表示打計數點A時刻小車對應的瞬時速度。
例3　為研究小車沿斜面向下運動的規律，把紙帶的一端固定在小車上，小車拖動紙帶運動時，紙帶上打出的點如圖所示。
(1)某同學用以下方法繪制小車的v-t圖像。先把紙帶每隔0.1 s剪斷，得到若干短紙條。再把這些紙條由短到長并排貼在一張紙上，使這些紙條下端對齊，作為橫軸，標出時間(表示時間軸)。最后將紙條上端中心連起來，于是得到v-t圖像。請你按以上辦法(用一張薄紙壓在圖上，復制得到紙帶)繪制這個圖像。
(2)這樣做有道理嗎？說說你的看法____________。
答案　見解析
解析　(1)如圖所示
(2)有道理。因為剪下的紙條長度表示0.1 s時間內位移大小Δx，這些紙帶構成上述所示的直方圖。小車運動速度大小近似認為v ＝，由于v∝Δx，所以紙帶長度反映了小車運動速度的大小。專題強化　勻變速直線運動的平均速度公式　v－t圖像看位移
[學習目標]　1.理解平均速度公式，并能用平均速度公式解決相關問題(難點)。2.會用v－t圖像求直線運動位移的大小(重點)。
一、平均速度公式
1．如圖所示，一物體做勻變速直線運動，初速度為v0，末速度為v，這段時間中間時刻的瞬時速度為，試推導＝＝。
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2.＝＝適合于所有的變速直線運動嗎？
________________________________________________________________________
1．勻變速直線運動的平均速度公式：＝＝
(1)勻變速直線運動中任意一段時間t內的平均速度等于該段時間的中間時刻的瞬時速度，還等于該段時間初、末速度矢量和的一半。
(2)若同時涉及位移與時間而不涉及加速度，選用中間時刻瞬時速度公式及平均速度公式，即＝，＝。
2．三個平均速度公式的比較
＝適用于任何運動；
＝及＝僅適用于勻變速直線運動。
例1　在某次測試中，我國國產大飛機C919的初速度v0＝2 m/s,4 s內位移為20 m，求：
(1)飛機4 s內的平均速度大小；
(2)飛機4 s末的速度大小；
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(3)飛機2 s末的速度大小。
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
例2　若一物體做勻加速直線運動，初速度為v0，末速度為v，位移為x，這段位移中間位置的瞬時速度為。試用不同方法比較與的大小。
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中點位置的瞬時速度公式：＝
(1)推導：如圖所示，前一段位移－v02＝2a·，后一段位移v2－＝2a·，所以有＝·(v02＋v2)，即有＝。
(2)適用條件：勻變速直線運動。
(3)對于任意一段勻變速直線運動，無論是勻加速直線運動還是勻減速直線運動，中點位置的瞬時速度大于中間時刻的瞬時速度，即>。
二、v－t圖像看位移
某一做直線運動物體的v－t圖像如圖所示：
(1)物體在0～t0及t0～2t0時間內做什么運動？
(2)物體在0～2t0時間內的位移為多少？
(3)物體在0～2t0時間內的路程為多少？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
1．對于任意形狀的v－t圖像，其與時間軸圍成的“面積”表示物體的________。
2．“面積”在時間軸上方表示位移為________，“面積”在時間軸下方表示位移為________(選填“正”或“負”)。
(1)v－t圖像的斜率表示加速度。(　　)
(2)v－t圖像的交點表示速度相等。(　　)
(3)v－t圖像為曲線說明物體做曲線運動。(　　)
(4)v－t圖像與時間軸所圍成的面積為位移。(　　)
例3　(2023·北京豐臺高一統考期末)一個質量為m的物體沿直線運動，v－t圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．0～2 s與2～3 s物體運動方向相反
B．1～2 s與2～3 s物體加速度方向相反
C．0～2 s內物體的位移是4 m
D．0～3 s內物體的位移是4 m
例4　有四個物體A、B、C、D，物體A、B運動的x－t圖像如圖甲所示；物體C、D從同一地點沿同一方向運動的v－t圖像如圖乙所示。以下根據圖像做出的判斷中正確的是(　　)
A．物體A和B均做勻變速直線運動
B．在0～3 s的時間內，物體A、B的間距逐漸減小
C．t＝3 s時，物體C、D的位移相同
D．在0～3 s的時間內，物體C與D的間距逐漸增大
v－t圖像與x－t圖像的比較
　　　　種類 內容 v－t圖像 x－t圖像
圖線斜率 表示加速度 表示速度
圖線與時間軸所圍面積 表示位移 無意義
兩圖線交點坐標 表示速度相同，不一定相遇 表示相遇
相同點 表示物體做直線運動
專題強化　勻變速直線運動的平均速度公式　v-t圖像看位移
[學習目標]　1.理解平均速度公式，并能用平均速度公式解決相關問題(難點)。2.會用v-t圖像求直線運動位移的大小(重點)。
一、平均速度公式
1．如圖所示，一物體做勻變速直線運動，初速度為v0，末速度為v，這段時間中間時刻的瞬時速度為，試推導＝＝。
答案　方法一　解析法
中間時刻的瞬時速度＝v0＋at，該段時間的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定義式和勻變速直線運動的位移公式可得＝＝＝v0＋at＝，又＝v0＋at＝＝＝，即＝＝。
方法二　圖像法
0～t時間內的位移x＝t
平均速度＝＝
中間時刻的瞬時速度的大小對應梯形中位線與圖像交點的縱坐標，故＝＝。
2.＝＝適合于所有的變速直線運動嗎？
答案　不適用。推導中所用v＝v0＋at，x＝v0t＋at2均來自勻變速直線運動中的公式，故＝＝只適用于勻變速直線運動。
1．勻變速直線運動的平均速度公式：＝＝
(1)勻變速直線運動中任意一段時間t內的平均速度等于該段時間的中間時刻的瞬時速度，還等于該段時間初、末速度矢量和的一半。
(2)若同時涉及位移與時間而不涉及加速度，選用中間時刻瞬時速度公式及平均速度公式，即＝，＝。
2．三個平均速度公式的比較
＝適用于任何運動；
＝及＝僅適用于勻變速直線運動。
例1　在某次測試中，我國國產大飛機C919的初速度v0＝2 m/s,4 s內位移為20 m，求：
(1)飛機4 s內的平均速度大小；
(2)飛機4 s末的速度大小；
(3)飛機2 s末的速度大小。
答案　見解析
解析　(1)利用平均速度公式
＝＝ m/s＝5 m/s
(2)因為＝
v＝2－v0＝8 m/s
(3)2 s末為0～4 s的中間時刻
＝＝5 m/s。
例2　若一物體做勻加速直線運動，初速度為v0，末速度為v，位移為x，這段位移中間位置的瞬時速度為。試用不同方法比較與的大小。
答案　見解析
解析　方法一　定性分析法
實際運動過程以勻加速直線運動為例，速度先慢后快，
前時間內的位移x1<，故。
方法二　公式法
如圖，－v02＝2a
v2－＝2a
得＝
－>0
故>
方法三　圖像法
由圖知>。
中點位置的瞬時速度公式：＝
(1)推導：如圖所示，前一段位移－v02＝2a·，后一段位移v2－＝2a·，所以有＝·(v02＋v2)，即有＝。
(2)適用條件：勻變速直線運動。
(3)對于任意一段勻變速直線運動，無論是勻加速直線運動還是勻減速直線運動，中點位置的瞬時速度大于中間時刻的瞬時速度，即>。
二、v-t圖像看位移
某一做直線運動物體的v-t圖像如圖所示：
(1)物體在0～t0及t0～2t0時間內做什么運動？
(2)物體在0～2t0時間內的位移為多少？
(3)物體在0～2t0時間內的路程為多少？
答案　(1)0～t0時間內物體沿正方向做勻減速直線運動，t0～2t0時間內物體沿負方向做勻加速直線運動
(2)方法一　0～t0時間內的位移
x1＝v0t0
t0～2t0時間內的位移
x2＝－v0t0
x總＝x1＋x2＝0
方法二　x＝·2t0＝0
(3)s＝|x1|＋|x2|＝v0t0。
1．對于任意形狀的v-t圖像，其與時間軸圍成的“面積”表示物體的位移。
2．“面積”在時間軸上方表示位移為正，“面積”在時間軸下方表示位移為負(選填“正”或“負”)。
(1)v-t圖像的斜率表示加速度。(　√　)
(2)v-t圖像的交點表示速度相等。(　√　)
(3)v-t圖像為曲線說明物體做曲線運動。(　×　)
(4)v-t圖像與時間軸所圍成的面積為位移。(　√　)
例3　(2023·北京豐臺高一統考期末)一個質量為m的物體沿直線運動，v-t圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．0～2 s與2～3 s物體運動方向相反
B．1～2 s與2～3 s物體加速度方向相反
C．0～2 s內物體的位移是4 m
D．0～3 s內物體的位移是4 m
答案　A
解析　v-t圖像速度的正負表示速度的方向，在0～2 s與2～3 s物體速度方向相反，則物體在這兩個時間段運動方向相反，故A正確；v-t圖像的斜率表示加速度，則在1～3 s內物體的加速度相同，故B錯誤；圖線與橫軸圍成的面積表示位移，則在0～2 s物體的位移是x1＝×(1＋2)×2 m＝3 m,0～3 s物體的位移是x2＝×(1＋2)×2 m－×1×2 m＝2 m，故C、D錯誤。
例4　有四個物體A、B、C、D，物體A、B運動的x-t圖像如圖甲所示；物體C、D從同一地點沿同一方向運動的v-t圖像如圖乙所示。以下根據圖像做出的判斷中正確的是(　　)
A．物體A和B均做勻變速直線運動
B．在0～3 s的時間內，物體A、B的間距逐漸減小
C．t＝3 s時，物體C、D的位移相同
D．在0～3 s的時間內，物體C與D的間距逐漸增大
答案　D
解析　由題圖甲看出：物體A和B的位移—時間圖像都是傾斜的直線，斜率都不變，速度都不變，說明兩物體都做勻速直線運動，故選項A錯誤；由題圖甲看出，在0～3 s的時間內，物體A的位移都大于B的位移，且從圖像上可以看出兩者之間的距離一直在增大，故選項B錯誤；由題圖乙可以看出C、D兩物體的v-t圖線在t＝3 s交于一點，所以此時刻C、D的速度一定相同，根據v-t圖線與t軸所圍面積表示位移以及物體C、D從同一地點沿同一方向運動可知，t＝3 s時物體C、D的位移不相同，故選項C錯誤；由題圖乙看出：在0～3 s的時間內，D的速度較大，C、D間距離逐漸增大，故選項D正確。
v-t圖像與x-t圖像的比較
　　　 　種類 內容　　　　 v-t圖像 x-t圖像
圖線斜率 表示加速度 表示速度
圖線與時間軸所圍面積 表示位移 無意義
兩圖線交點坐標 表示速度相同，不一定相遇 表示相遇
相同點 表示物體做直線運動2　勻變速直線運動的速度與時間的關系
[學習目標]　1.知道勻變速直線運動的特點及分類。2.掌握勻變速直線運動的v－t圖像的特點(重點)。3.掌握勻變速直線運動的速度公式，會用此公式解決簡單的勻變速直線運動問題(難點)。
一、勻變速直線運動
四個做直線運動的物體的v－t圖像如圖所示。
(1)在甲、乙、丙、丁四幅圖中物體的速度隨時間如何變化？
(2)在甲、乙、丙、丁四幅圖中，當物體速度變化時，從v－t圖像中分析物體加速度如何變化？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
1．勻變速直線運動：沿著一條直線，且________________的運動。
2．勻變速直線運動的特點：
(1)加速度________________；
(2)v－t圖像是一條________________。
3．分類：
(1)勻加速直線運動：速度隨時間________的直線運動。如圖________兩物體為勻加速直線運動。
(2)勻減速直線運動：速度隨時間________的直線運動。如圖________兩物體為勻減速直線運動。
例1　(2023·宿遷泗陽縣實驗高級中學高一期末)對勻變速直線運動的理解，下列說法正確的是(　　)
A．勻變速直線運動是速度越來越大的運動
B．勻變速直線運動是在任意相等的時間內速度變化相等的運動
C．勻變速直線運動是速度保持不變的運動
D．勻變速直線運動是速度方向保持不變的運動
例2　如圖所示是一個質點在水平面上運動的v－t圖像，以下判斷正確的是 (　　)
A．在0～3 s的時間內，質點在做勻變速直線運動
B．在0～3 s的時間內，質點的加速度方向發生了變化
C．第6 s末，質點的加速度為零
D．前6 s內，質點的速度變化量為－4 m/s
拓展
如圖是甲、乙兩物體運動的v－t圖像。在相等的時間間隔Δt內，速度的變化量Δv′和Δv總是相等的嗎？兩物體都做勻變速直線運動嗎？二者有何區別？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
二、速度與時間的關系
設一個物體做勻加速直線運動，運動開始時刻(t＝0)的速度為v0(叫作初速度)，加速度為a，請根據加速度定義式求t時刻物體的瞬時速度v。
________________________________________________________________________
勻變速直線運動速度與時間的關系式：________________。
1．適用范圍：只適用于________________運動。其中at是t時間內______________。
2．公式的矢量性：v、v0、a均為矢量，一般以v0的方向為正方向。
(1)在加速運動中，加速度a取________值；在減速運動中a取________值。
(2)若計算出v為正值，則表示末速度方向與初速度的方向________，若v為負值，則表示末速度方向與初速度的方向________。
3．兩種特殊情況
(1)當v0＝0時，v＝________。
由于勻變速直線運動的加速度恒定不變，表明由靜止開始的勻加速直線運動的速度大小與其運動時間成正比。
(2)當a＝0時，v＝________。
加速度為零的勻變速直線運動是勻速直線運動。
如圖所示為某一勻變速直線運動的v－t圖像。
(1)求此勻變速直線運動的初速度和加速度的大小；
(2)寫出物體的速度隨時間變化的關系式。
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
例3　一個物體以10 m/s的速度在水平面上做直線運動，某時刻起獲得一個與初速度方向相同、大小為2.5 m/s2的加速度。
(1)求6 s末物體的速度大小；
(2)若加速度方向與初速度方向相反，求1 s末和6 s末物體的速度。
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例4　小明駕駛汽車以10 m/s的速度行駛，突然前面有情況，小明緊急剎車，加速度大小為5 m/s2。
(1)求剎車1 s末和4 s末的速度；
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(2)若本題改為：一物體做勻變速直線運動，初速度為10 m/s，加速度為－5 m/s2，則4 s末的速度為多少？結果中的負號表示什么意思？請畫出物體在0～4 s內的v－t圖像。
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2　勻變速直線運動的速度與時間的關系
[學習目標]　1.知道勻變速直線運動的特點及分類。2.掌握勻變速直線運動的v-t圖像的特點(重點)。3.掌握勻變速直線運動的速度公式，會用此公式解決簡單的勻變速直線運動問題(難點)。
一、勻變速直線運動
四個做直線運動的物體的v-t圖像如圖所示。
(1)在甲、乙、丙、丁四幅圖中物體的速度隨時間如何變化？
(2)在甲、乙、丙、丁四幅圖中，當物體速度變化時，從v-t圖像中分析物體加速度如何變化？
答案　(1)甲的速度不變；乙的速度隨時間均勻增大；丙的速度隨時間均勻減小；丁的速度隨時間增加得越來越快。
(2)甲圖加速度為0；
乙、丙兩圖加速度不變；
丁圖加速度在逐漸變大。
1．勻變速直線運動：沿著一條直線，且加速度不變的運動。
2．勻變速直線運動的特點：
(1)加速度恒定不變；
(2)v-t圖像是一條傾斜直線。
3．分類：
(1)勻加速直線運動：速度隨時間均勻增大的直線運動。如圖A、B兩物體為勻加速直線運動。
(2)勻減速直線運動：速度隨時間均勻減小的直線運動。如圖C、D兩物體為勻減速直線運動。
例1　(2023·宿遷泗陽縣實驗高級中學高一期末)對勻變速直線運動的理解，下列說法正確的是(　　)
A．勻變速直線運動是速度越來越大的運動
B．勻變速直線運動是在任意相等的時間內速度變化相等的運動
C．勻變速直線運動是速度保持不變的運動
D．勻變速直線運動是速度方向保持不變的運動
答案　B
解析　勻變速直線運動速度均勻變化，勻加速直線運動速度越來越大，勻減速直線運動速度越來越小，故A錯誤；勻變速直線運動物體的速度均勻變化，在任意相等時間內速度改變量相等，故B正確；勻變速直線運動是速度均勻變化的運動，故C錯誤；勻變速直線運動的特點是加速度恒定不變，但速度方向可以改變，故D錯誤。
例2　如圖所示是一個質點在水平面上運動的v-t圖像，以下判斷正確的是 (　　)
A．在0～3 s的時間內，質點在做勻變速直線運動
B．在0～3 s的時間內，質點的加速度方向發生了變化
C．第6 s末，質點的加速度為零
D．前6 s內，質點的速度變化量為－4 m/s
答案　A
解析　在0～3 s的時間內，質點的加速度保持不變，故選項A正確，B錯誤；第6 s末，質點的速度為零，但加速度不為零，故選項C錯誤；第6 s末質點的速度為0，則前6 s內速度變化量為Δv＝0－(－2) m/s＝2 m/s，故選項D錯誤。
拓展　
如圖是甲、乙兩物體運動的v-t圖像。在相等的時間間隔Δt內，速度的變化量Δv′和Δv總是相等的嗎？兩物體都做勻變速直線運動嗎？二者有何區別？
答案　在相等的時間間隔Δt內，甲的Δv′<Δv，乙的Δv′>Δv；兩物體的運動均不是勻變速直線運動；甲物體做加速度減小的加速運動，乙物體做加速度增大的加速運動。
二、速度與時間的關系
設一個物體做勻加速直線運動，運動開始時刻(t＝0)的速度為v0(叫作初速度)，加速度為a，請根據加速度定義式求t時刻物體的瞬時速度v。
答案　由加速度的定義式a＝＝＝，整理得t時刻物體的瞬時速度v＝v0＋at。
勻變速直線運動速度與時間的關系式：v＝v0＋at。
1．適用范圍：只適用于勻變速直線運動。其中at是t時間內速度的變化量。
2．公式的矢量性：v、v0、a均為矢量，一般以v0的方向為正方向。
(1)在加速運動中，加速度a取正值；在減速運動中a取負值。
(2)若計算出v為正值，則表示末速度方向與初速度的方向相同，若v為負值，則表示末速度方向與初速度的方向相反。
3．兩種特殊情況
(1)當v0＝0時，v＝at。
由于勻變速直線運動的加速度恒定不變，表明由靜止開始的勻加速直線運動的速度大小與其運動時間成正比。
(2)當a＝0時，v＝v0。
加速度為零的勻變速直線運動是勻速直線運動。
如圖所示為某一勻變速直線運動的v-t圖像。
(1)求此勻變速直線運動的初速度和加速度的大小；
(2)寫出物體的速度隨時間變化的關系式。
答案　(1)2 m/s　0.5 m/s2
(2)v＝(2＋0.5t) m/s
例3　一個物體以10 m/s的速度在水平面上做直線運動，某時刻起獲得一個與初速度方向相同、大小為2.5 m/s2的加速度。
(1)求6 s末物體的速度大小；
(2)若加速度方向與初速度方向相反，求1 s末和6 s末物體的速度。
答案　(1)25 m/s　(2)7.5 m/s，方向與初速度方向相同　5 m/s，方向與初速度方向相反
解析　以初速度方向為正方向，v0＝10 m/s，
(1)a1＝2.5 m/s2，
由v6＝v0＋a1t6，得v6＝25 m/s。
(2)當a與v0反向時，a2＝－2.5 m/s2，
在1 s末，由v1＝v0＋a2t1，得v1＝7.5 m/s，
在6 s末，由v6′＝v0＋a2t6，得v6′＝－5 m/s，
負號表示速度方向與初速度方向相反。
例4　小明駕駛汽車以10 m/s的速度行駛，突然前面有情況，小明緊急剎車，加速度大小為5 m/s2。
(1)求剎車1 s末和4 s末的速度；
(2)若本題改為：一物體做勻變速直線運動，初速度為10 m/s，加速度為－5 m/s2，則4 s末的速度為多少？結果中的負號表示什么意思？請畫出物體在0～4 s內的v-t圖像。
答案　見解析
解析　(1)以初速度方向為正方向，則v0＝10 m/s，a＝－5 m/s2，根據v＝v0＋at，當車速為0時，得t＝2 s，故剎車后1 s末的速度v1＝10 m/s－5×1 m/s＝5 m/s，剎車后4 s末的速度為零。
(2)根據v＝v0＋at，得v＝10 m/s＋(－5)×4 m/s＝－10 m/s，結果中的負號表示速度方向與初速度方向相反。物體0～4 s內的v-t圖像如圖所示。專題強化　初速度為零的勻變速直線運動常用結論
[學習目標]　1.掌握初速度為零的勻變速直線運動比例式的推導及應用(重點)。2.進一步加深學生對逆向思維法的靈活運用(難點)。
一、初速度為零的勻加速直線運動的比例式
飛機、火車、汽車等交通工具由靜止到穩定運動的過程都可以看作從零開始的勻加速直線運動。若一輛汽車從靜止開始做勻加速直線運動，則求汽車：
(1)1 s末、2 s末、3 s末的瞬時速度之比；
(2)1 s內、2 s內、3 s內的位移之比；
(3)第1 s內、第2 s內、第3 s內的位移之比；
(4)通過連續相等的位移(通過第一個x、第二個x、第三個x)所用時間之比。
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1．初速度為零的勻加速直線運動，按時間等分(設相等的時間間隔為T)，則：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬時速度之比為：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝__________。
(2)T內、2T內、3T內、…、nT內的位移之比為：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝________________________。
(3)第1個T內、第2個T內、第3個T內、…、第n個T內的位移之比為：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝________________________。
2．初速度為零的勻加速直線運動按位移等分(設相等的位移為x)的比例式
(1)通過前x、前2x、前3x、…、前nx的位移時的瞬時速度之比為：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝________________________。
(2)通過前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用時間之比為：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝________________________。
(3)通過連續相同的位移所用時間之比為：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝________________________________。
例1　一個物體做初速度為零的勻加速直線運動，比較它在開始運動后第1 s內、第2 s內、第3 s內的運動，下列說法中錯誤的是(　　)
A．第1 s、第2 s、第3 s各段時間內最大速度之比是1∶2∶3
B．第1 s、第2 s、第3 s各段時間經歷的位移大小之比是1∶3∶5
C．第1 s、第2 s、第3 s各段時間的平均速度之比是1∶3∶5
D．第1 s、第2 s、第3 s各段時間中間時刻的瞬時速度之比是1∶2∶3
例2　如圖所示，光滑斜面AE被分成長度相等的四段，一個物體由A點靜止釋放后做勻加速直線運動，下面結論中正確的是(　　)
A．經過每一部分時，其速度增量均相同
B．物體通過AB、BC、CD、DE段所需的時間之比為1∶∶∶2
C．物體到達B、C、D、E各點的速度大小之比為1∶∶∶2
D．若該物體從A點運動到E點共用時4 s，則物體在第1 s末的速度等于B點速度
二、逆向思維在比例法中的應用
1.如圖，a物體做初速度為0，末速度為v，加速度大小為a的勻加速直線運動，b物體做初速度為v，末速度為0，加速度大小為a的勻減速直線運動。
b物體運動可看成a物體運動的逆過程，此方法稱為逆向思維法。
2．逆向思維：對于末速度為零的勻減速直線運動，可把它看成逆向的初速度為零的勻加速直線運動，應用比例關系，可使問題簡化。
例3　在跳水比賽中，運動員從入水到下潛至最低點所用的時間為3t，該過程可視為勻減速直線運動，則運動員在第1個時間t內和第3個時間t內的位移大小之比為(　　)
A．5∶1 B．4∶1 C．3∶1 D．2∶1
例4　(2022·南京市高一統考期末)幾個水球可以擋住子彈？《國家地理頻道》實驗證實：四個水球就足夠！某次實驗中，子彈恰好能穿過第四個水球，實驗中將完全相同的水球緊挨在一起水平排列，子彈在水球中沿水平方向視為做勻變速直線運動，則(　　)
A．由題目信息可以求得子彈穿過每個水球的時間之比
B．子彈在每個水球中運動的平均速度相同
C．子彈在每個水球中速度變化量相同
D．子彈依次進入四個水球的初速度之比為4∶3∶2∶1
專題強化　初速度為零的勻變速直線運動常用結論
[學習目標]　1.掌握初速度為零的勻變速直線運動比例式的推導及應用(重點)。2.進一步加深學生對逆向思維法的靈活運用(難點)。
一、初速度為零的勻加速直線運動的比例式
飛機、火車、汽車等交通工具由靜止到穩定運動的過程都可以看作從零開始的勻加速直線運動。若一輛汽車從靜止開始做勻加速直線運動，則求汽車：
(1)1 s末、2 s末、3 s末的瞬時速度之比；
(2)1 s內、2 s內、3 s內的位移之比；
(3)第1 s內、第2 s內、第3 s內的位移之比；
(4)通過連續相等的位移(通過第一個x、第二個x、第三個x)所用時間之比。
答案　(1)由v＝at得1 s末、2 s末、3 s末的瞬時速度之比為1∶2∶3
(2)由x＝at2得1 s內、2 s內、3 s內的位移之比為1∶4∶9
(3)由1 s內、2 s內、3 s內位移之比為1∶4∶9
知第1 s內、第2 s內、第3 s內位移之比為1∶3∶5
(4)通過第一個x，x＝at12，t1＝
通過前兩個x,2x＝at22，t2＝
通過第2個x，t2′＝(－1)t1
通過前三個x,3x＝at32，t3＝
通過第3個x，t3′＝(－)t1
故通過第1個x、第2個x、第3個x所用時間之比為1∶(－1)∶(－)
1．初速度為零的勻加速直線運動，按時間等分(設相等的時間間隔為T)，則：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬時速度之比為：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)T內、2T內、3T內、…、nT內的位移之比為：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第1個T內、第2個T內、第3個T內、…、第n個T內的位移之比為：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．初速度為零的勻加速直線運動按位移等分(設相等的位移為x)的比例式
(1)通過前x、前2x、前3x、…、前nx的位移時的瞬時速度之比為：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
(2)通過前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用時間之比為：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
(3)通過連續相同的位移所用時間之比為：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
例1　一個物體做初速度為零的勻加速直線運動，比較它在開始運動后第1 s內、第2 s內、第3 s內的運動，下列說法中錯誤的是(　　)
A．第1 s、第2 s、第3 s各段時間內最大速度之比是1∶2∶3
B．第1 s、第2 s、第3 s各段時間經歷的位移大小之比是1∶3∶5
C．第1 s、第2 s、第3 s各段時間的平均速度之比是1∶3∶5
D．第1 s、第2 s、第3 s各段時間中間時刻的瞬時速度之比是1∶2∶3
答案　D
解析　由于物體做初速度為零的勻加速直線運動，所以其在第1 s、第2 s、第3 s各段時間內最大速度之比即為第1 s末、第2 s末、第3 s末的瞬時速度之比，即末速度之比為1∶2∶3，A正確；第1 s內、第2 s內、第3 s內的位移之比為1∶3∶5，B正確；根據勻變速直線運動的平均速度公式＝＝，可得第1 s、第2 s、第3 s各段時間的平均速度之比等于各時間段內的位移之比，也是各時間段中間時刻的瞬時速度之比，由B中分析可知比值為1∶3∶5，C正確，D錯誤。
例2　如圖所示，光滑斜面AE被分成長度相等的四段，一個物體由A點靜止釋放后做勻加速直線運動，下面結論中正確的是(　　)
A．經過每一部分時，其速度增量均相同
B．物體通過AB、BC、CD、DE段所需的時間之比為1∶∶∶2
C．物體到達B、C、D、E各點的速度大小之比為1∶∶∶2
D．若該物體從A點運動到E點共用時4 s，則物體在第1 s末的速度等于B點速度
答案　C
解析　由推論可知物體通過AB、BC、CD、DE所需時間之比為1∶(－1)∶(－)∶(2－)，速度增量Δv＝aΔt，故A、B錯誤；
由v2＝2ax可知物體在B、C、D、E各點速度大小之比為1∶∶∶2，故C正確；
由D項可知，由A→E總時間為4 s，則tAB＝2 s，故物體在第2 s末的速度等于B點的速度，故D錯誤。
二、逆向思維在比例法中的應用
1．如圖，a物體做初速度為0，末速度為v，加速度大小為a的勻加速直線運動，b物體做初速度為v，末速度為0，加速度大小為a的勻減速直線運動。
b物體運動可看成a物體運動的逆過程，此方法稱為逆向思維法。
2．逆向思維：對于末速度為零的勻減速直線運動，可把它看成逆向的初速度為零的勻加速直線運動，應用比例關系，可使問題簡化。
例3　在跳水比賽中，運動員從入水到下潛至最低點所用的時間為3t，該過程可視為勻減速直線運動，則運動員在第1個時間t內和第3個時間t內的位移大小之比為(　　)
A．5∶1 B．4∶1
C．3∶1 D．2∶1
答案　A
解析　末速度為零的勻減速直線運動可以看成方向相反的初速度為零的勻加速直線運動，由初速度為零的勻加速直線運動規律可知，從開始運動相同時間的位移之比為1∶3∶5∶7∶…(2n－1)，則運動員在第1個時間t內和第3個時間t內的位移大小之比5∶1，故選A。
例4　(2022·南京市高一統考期末)幾個水球可以擋住子彈？《國家地理頻道》實驗證實：四個水球就足夠！某次實驗中，子彈恰好能穿過第四個水球，實驗中將完全相同的水球緊挨在一起水平排列，子彈在水球中沿水平方向視為做勻變速直線運動，則(　　)
A．由題目信息可以求得子彈穿過每個水球的時間之比
B．子彈在每個水球中運動的平均速度相同
C．子彈在每個水球中速度變化量相同
D．子彈依次進入四個水球的初速度之比為4∶3∶2∶1
答案　A
解析　將子彈穿過四個水球的過程逆向看作初速度為零的勻加速直線運動，則根據初速度為零的勻加速直線運動推論，通過連續相等位移所用的時間之比為1∶(－1)∶(－)∶(2－)，則子彈通過四個水球所用時間之比為(2－)∶(－)∶(－1)∶1，故A正確；水球尺寸都相同，子彈通過每個水球時間不等，由平均速度定義式＝可知，子彈在每個水球中運動的平均速度不同，故B錯誤；由Δv＝at，a不變，但子彈通過每個水球時間不等，所以速度變化量不等，故C錯誤；根據初速度為零的勻加速直線運動推論，連續相等位移末速度之比為1∶∶∶2，所以子彈依次進入四個水球的初速度之比為2∶∶∶1，故D錯誤。第二章　勻變速直線運動的研究 章末素養提升
物理觀念 勻變速直線運動 特點：加速度________；v－t圖像是一條________________
勻變速直線運動的基本公式 (1)速度與時間的關系式v＝____________ (2)位移與時間的關系式x＝________________
自由落體運動 (1)條件：只受________作用由________下落 (2)重力加速度：g＝________ m/s2，方向________________，地球上不同位置g值可能不同 (3)h＝gt2，v＝________
科學思維 微元法 利用微元法推導v－t圖像與t軸圍成的面積表示位移大小
圖像法 利用v－t圖像分析并解決生產和生活中有關實際問題，例如追及問題
推導并會應用勻變速直線運動的公式 (1)速度與位移關系式：v2－v02＝________ (2)平均速度公式：＝________＝____________ (3)位移差公式：連續相等時間內的位移之差Δx＝aT2
科學探究 1.能提出與“小車速度的測量方法”“小車速度隨時間變化的可能關系”等有關的物理問題 2.會結合打點計時器設計實驗方案并完成實驗操作。能在打出的紙帶上合理選取時間間隔計算各點的瞬時速度，會設計合適的表格并記錄數據 3.能建立標度合適的v－t坐標并描點，會用直線擬合數據點。能通過對擬合所得的圖像進行分析、思考，得到小車速度隨時間變化的規律，知道測量誤差產生的原因 4.能撰寫實驗報告，陳述實驗研究的過程和結果 5.能借助計算機數表軟件繪制v－t圖像，并選擇適當的函數擬合數據
科學態度與責任 1.了解伽利略研究自由落體運動的實驗思想及所用的推理方法，認識到物理實驗與科學推理在物理學研究中的作用，認識到伽利略對物體運動的研究在科學發展和人類進步中的重大意義 2.了解近代實驗科學產生的背景，認識實驗對物理學發展的推動作用 3.在探究小車速度隨時間變化的規律實驗中，養成實事求是的態度，能與他人合作
　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　公路上行駛的汽車，司機從發現前方異常情況到緊急剎車，汽車仍將前進一段距離才能停下來。要保持安全，這段距離內不能有車輛和行人，因此把它稱為安全距離。通常情況下，人的反應時間和汽車系統的反應時間之和為1 s(這段時間汽車仍保持原速)。晴天汽車在干燥的路面上以108 km/h的速度行駛時，安全距離為120 m。設雨天汽車剎車時的加速度為晴天時的，若要求安全距離仍為120 m，求汽車在雨天安全行駛的最大速度。
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例2　ETC是電子不停車收費系統的簡稱，如圖，汽車以15 m/s的速度行駛，如果過人工收費通道，需要在收費站中心線處減速至0，經過20 s繳費后，再加速至15 m/s行駛；如果過ETC通道，需要在中心線前方10 m處減速至5 m/s，勻速到達中心線后，再加速至15 m/s行駛。設汽車加速和減速的加速度大小均為1 m/s2。
(1)汽車過人工收費通道，從收費前減速開始，到收費后加速結束，總共通過的路程和所需的時間是多少？
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(2)如果過ETC通道，汽車通過第(1)問路程所需要的時間是多少？汽車通過ETC通道比人工收費通道節約多長時間？
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例3　火車甲以v1＝288 km/h的速度勻速行駛，司機突然發現前方同軌道上相距s＝0.5 km處有一列火車乙正沿同方向以v2＝144 km/h的速度做勻速運動，司機立即以大小為a的加速度緊急剎車，要使甲、乙不相撞，a應滿足什么條件？
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例4　(2023·北京市海淀區高一期末)如圖所示是同一平直公路上同向行駛的甲、乙兩汽車的v－t圖像，t＝1.5t0時兩車恰好并排行駛，則(　　)
A．t＝0時刻，甲在乙前方v0t0處
B．t＝0.5t0時刻，甲在乙的前方
C．t＝t0時刻，乙在甲前方v0t0處
D．t＝3t0時刻，兩車再次并排行駛
物理分析法 抓住“兩物體能否同時到達同一位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題中的隱含條件，建立物體運動關系的情景，并畫出運動情況示意圖，找出位移關系
圖像法 將兩者的v－t圖像畫在同一坐標系中，然后利用圖像分析求解
數學分析法 設從開始到相遇的時間為t，根據條件列位移關系方程，得到關于t的一元二次方程，用判別式進行討論。若Δ＞0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若Δ＝0，說明剛好追上或相遇；若Δ<0，說明追不上或不能相碰
例5　某質點做直線運動，現以出發點為坐標原點，以運動方向為x軸正方向，質點運動的v2－x圖像如圖所示。則(　　)
A．質點的初速度為0
B．質點做變加速直線運動
C．質點做勻加速直線運動，且加速度大小為4 m/s2
D．質點從x＝1 m坐標處運動到x＝2 m坐標處所用的時間為 s
例6　一質點沿x軸正方向做直線運動，通過坐標原點時開始計時，其－t的圖像如圖所示，則(　　)
A．質點做勻速直線運動，速度為0.5 m/s
B．質點做勻加速直線運動，加速度為0.5 m/s2
C．質點在2 s末的速度為5 m/s
D．質點在第2 s內的位移為2 m
對于非常規運動圖像，可由運動學公式推導出兩個物理量間的函數關系，來分析圖像的斜率、截距、面積的含義。
1．函數法解決－t圖像
由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，截距b為初速度v0，圖像的斜率k為a，如圖甲所示。
2．函數法解決v2－x圖像
由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，截距b為v02，圖像斜率k為2a，如圖乙所示。
3．其他非常規圖像
圖像種類 示例 解題關鍵
-圖像 公式依據：x＝v0t＋at2 →＝v0·＋a 斜率意義：初速度v0 縱截距意義： 加速度的一半
a-x圖像 公式依據：v2－v02＝2ax→ax＝ 面積意義：速度平方變化量的一半
-x圖像 公式依據：t＝ 面積意義：運動時間t
章末素養提升
物理觀念 勻變速直線運動 特點：加速度恒定；v-t圖像是一條傾斜的直線
勻變速直線運動的基本公式 (1)速度與時間的關系式v＝v0＋at (2)位移與時間的關系式x＝v0t＋at2
自由落體運動 (1)條件：只受重力作用由靜止下落 (2)重力加速度：g＝9.8 m/s2，方向豎直向下，地球上不同位置g值可能不同 (3)h＝gt2，v＝gt
科學思維 微元法 利用微元法推導v-t圖像與t軸圍成的面積表示位移大小
圖像法 利用v-t圖像分析并解決生產和生活中有關實際問題，例如追及問題
推導并會應用勻變速直線運動的公式 (1)速度與位移關系式：v2－v02＝2ax (2)平均速度公式：＝＝ (3)位移差公式：連續相等時間內的位移之差Δx＝aT2
科學探究 1.能提出與“小車速度的測量方法”“小車速度隨時間變化的可能關系”等有關的物理問題 2.會結合打點計時器設計實驗方案并完成實驗操作。能在打出的紙帶上合理選取時間間隔計算各點的瞬時速度，會設計合適的表格并記錄數據 3.能建立標度合適的v-t坐標并描點，會用直線擬合數據點。能通過對擬合所得的圖像進行分析、思考，得到小車速度隨時間變化的規律，知道測量誤差產生的原因 4.能撰寫實驗報告，陳述實驗研究的過程和結果 5.能借助計算機數表軟件繪制v-t圖像，并選擇適當的函數擬合數據
科學態度與責任 1.了解伽利略研究自由落體運動的實驗思想及所用的推理方法，認識到物理實驗與科學推理在物理學研究中的作用，認識到伽利略對物體運動的研究在科學發展和人類進步中的重大意義 2.了解近代實驗科學產生的背景，認識實驗對物理學發展的推動作用 3.在探究小車速度隨時間變化的規律實驗中，養成實事求是的態度，能與他人合作
　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　公路上行駛的汽車，司機從發現前方異常情況到緊急剎車，汽車仍將前進一段距離才能停下來。要保持安全，這段距離內不能有車輛和行人，因此把它稱為安全距離。通常情況下，人的反應時間和汽車系統的反應時間之和為1 s(這段時間汽車仍保持原速)。晴天汽車在干燥的路面上以108 km/h的速度行駛時，安全距離為120 m。設雨天汽車剎車時的加速度為晴天時的，若要求安全距離仍為120 m，求汽車在雨天安全行駛的最大速度。
答案　24 m/s
解析　由題知，v＝108 km/h＝30 m/s，
晴天時，v·t＋＝120 m
解得a＝5 m/s2
設汽車在雨天安全行駛的最大速度為v′
v′·t＋＝120 m
其中a′＝a＝3 m/s2
聯立解得v′＝24 m/s(v′＝－30 m/s舍去)。
例2　ETC是電子不停車收費系統的簡稱，如圖，汽車以15 m/s的速度行駛，如果過人工收費通道，需要在收費站中心線處減速至0，經過20 s繳費后，再加速至15 m/s行駛；如果過ETC通道，需要在中心線前方10 m處減速至5 m/s，勻速到達中心線后，再加速至15 m/s行駛。設汽車加速和減速的加速度大小均為1 m/s2。
(1)汽車過人工收費通道，從收費前減速開始，到收費后加速結束，總共通過的路程和所需的時間是多少？
(2)如果過ETC通道，汽車通過第(1)問路程所需要的時間是多少？汽車通過ETC通道比人工收費通道節約多長時間？
答案　見解析
解析　(1)汽車過人工收費通道：
減速到收費站中心線所需時間：t1＝＝15 s，
x1＝＝112.5 m
繳費時間t2＝20 s
加速時間：t3＝＝15 s
x2＝x1＝112.5 m
故總時間為t＝15 s＋20 s＋15 s＝50 s，
總路程x＝x1＋x2＝225 m
(2)汽車過ETC通道：
減速時間：t1′＝ s＝10 s，
位移：x1′＝×10 m＝100 m
勻速時間：t2′＝ s＝2 s，
位移：x2′＝10 m
加速時間：t3′＝t1′＝10 s，
位移：x3′＝100 m
x′＝100 m＋10 m＋100 m＝210 m
Δx＝x－x′＝225 m－210 m＝15 m
Δt＝＝1 s
t總＝t1′＋t3′＋t2′＋Δt＝23 s
節約時間Δt′＝50 s－23 s＝27 s。
例3　火車甲以v1＝288 km/h的速度勻速行駛，司機突然發現前方同軌道上相距s＝0.5 km處有一列火車乙正沿同方向以v2＝144 km/h的速度做勻速運動，司機立即以大小為a的加速度緊急剎車，要使甲、乙不相撞，a應滿足什么條件？
答案　a＞1.6 m/s2
解析　方法一　物理分析法
甲、乙不相撞的條件是當甲、乙速度相同時，甲、乙仍相距一段距離，即
v1－at＝v2①
x1＜x2＋s②
其中x1＝v1t－at2③
x2＝v2t④
聯立①②③④式，解得a＞1.6 m/s2
即a＞1.6 m/s2時，甲、乙不會相撞。
方法二　數學分析法
設甲減速t時間后，甲、乙相撞
則有x1＝x2＋s，
即v1t－at2＝v2t＋s
整理得at2－2(v1－v2)t＋2s＝0
若甲、乙不相撞，則以上方程無解
即判別式應滿足Δ＝4(v1－v2)2－8as<0
解得a>＝1.6 m/s2。
方法三　圖像法
分別畫出甲、乙的v-t圖像，如圖所示
剛好不相撞時圖中陰影部分面積為s
有(v1－v2)t1＝s，＝a
故a＝，且s＝0.5 km
若要使甲、乙不相撞，
則a>＝1.6 m/s2。
例4　(2023·北京市海淀區高一期末)如圖所示是同一平直公路上同向行駛的甲、乙兩汽車的v-t圖像，t＝1.5t0時兩車恰好并排行駛，則(　　)
A．t＝0時刻，甲在乙前方v0t0處
B．t＝0.5t0時刻，甲在乙的前方
C．t＝t0時刻，乙在甲前方v0t0處
D．t＝3t0時刻，兩車再次并排行駛
答案　A
解析　t＝1.5t0時兩車恰好并排行駛，t＝0時刻，兩車間距為Δx1＝1.5v0t0－×1.5t0×v0＝v0t0，即甲在乙前方v0t0處，A正確；
t＝0.5t0時刻，兩車間距為
Δx2＝×0.5t0×v0＋v0t0－0.5v0t0＝0
兩車并排行行駛，B錯誤；t＝t0時刻，兩車間距為Δx3＝v0t0－v0t0－v0t0＝v0t0
乙在甲前方v0t0處，C錯誤；
t＝1.5t0到t＝3t0，甲車速度始終大于乙車速度，則t＝3t0時刻，甲車在乙車前方，D錯誤。
物理分析法 抓住“兩物體能否同時到達同一位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題中的隱含條件，建立物體運動關系的情景，并畫出運動情況示意圖，找出位移關系
圖像法 將兩者的v-t圖像畫在同一坐標系中，然后利用圖像分析求解
數學分析法 設從開始到相遇的時間為t，根據條件列位移關系方程，得到關于t的一元二次方程，用判別式進行討論。若Δ＞0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若Δ＝0，說明剛好追上或相遇；若Δ<0，說明追不上或不能相碰
例5　某質點做直線運動，現以出發點為坐標原點，以運動方向為x軸正方向，質點運動的v2-x圖像如圖所示。則(　　)
A．質點的初速度為0
B．質點做變加速直線運動
C．質點做勻加速直線運動，且加速度大小為4 m/s2
D．質點從x＝1 m坐標處運動到x＝2 m坐標處所用的時間為 s
答案　D
解析　根據勻變速直線運動的規律可知，v2－v02＝2ax，得v2＝2ax＋v02，再結合題圖圖像知，該質點做初速度不為零的勻加速直線運動，斜率大小等于加速度大小的2倍，a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A、B、C錯誤；質點在x＝1 m處對應的速度為 m/s，質點在x＝2 m處對應的速度為3 m/s，故質點從x＝1 m坐標處運動到x＝2 m坐標處所用的時間t＝＝ s，故D正確。
例6　一質點沿x軸正方向做直線運動，通過坐標原點時開始計時，其-t的圖像如圖所示，則(　　)
A．質點做勻速直線運動，速度為0.5 m/s
B．質點做勻加速直線運動，加速度為0.5 m/s2
C．質點在2 s末的速度為5 m/s
D．質點在第2 s內的位移為2 m
答案　D
解析　根據題圖圖像，結合數學知識得圖線的斜率為：k＝＝，則圖線的函數關系為：＝t＋，整理得：x＝t2＋t，由勻變速直線運動的位移與時間的關系式x＝v0t＋at2得，質點做初速度為0.5 m/s、加速度為1 m/s2的勻加速直線運動，故A、B錯誤；根據勻變速直線運動的速度與時間的關系式得，質點在2 s末的速度為：v2＝v0＋at2＝0.5 m/s＋1×2 m/s＝2.5 m/s，故C錯誤；根據勻變速直線運動的位移與時間的關系式得，質點在第1 s內的位移為：x1＝v0t1＋at12＝0.5×1 m＋×1×12 m＝1 m，在前2 s內的位移為：x2＝v0t2＋at22＝0.5×2 m＋×1×22 m＝3 m，則質點在第2 s內的位移為：Δx2＝x2－x1＝2 m，故D正確。
對于非常規運動圖像，可由運動學公式推導出兩個物理量間的函數關系，來分析圖像的斜率、截距、面積的含義。
1．函數法解決-t圖像
由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，截距b為初速度v0，圖像的斜率k為a，如圖甲所示。
2．函數法解決v2-x圖像
由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，截距b為v02，圖像斜率k為2a，如圖乙所示。
3．其他非常規圖像
圖像種類 示例 解題關鍵
-圖像 公式依據：x＝v0t＋at2 →＝v0·＋a 斜率意義：初速度v0 縱截距意義： 加速度的一半
a-x圖像 公式依據：v2－v02＝2ax→ax＝ 面積意義：速度平方變化量的一半
-x圖像 公式依據：t＝ 面積意義：運動時間t

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