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2　動量定理
[學習目標]　1.理解沖量的概念，知道沖量是矢量，會計算某力的沖量(重點)。2.理解動量定理的含義及其表達式，會運用動量定理解決實際問題(重難點)。3.會用動量定理解釋碰撞、緩沖等生活中的現象(重點)。
一、動量定理的理解
如圖，一個質量為 m的物體在光滑的水平面上受到恒力F的作用，做勻變速直線運動。在初始時刻，物體的速度為 v，經過一段時間Δt，它的速度為v′。試推導F、Δt與Δp的關系。
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1．沖量
(1)定義：力與__________________的乘積。
(2)定義式：I＝________。
(3)物理意義：沖量是反映力的作用對時間的________________的物理量，力越大，作用時間越長，沖量就越________。
(4)單位：在國際單位制中，沖量的單位是________，符號為________。
(5)矢量性：沖量是________(填“矢”或“標”)量。如果力的方向恒定，則沖量的方向與力的方向相同。
2．動量定理
(1)內容：物體在一個過程中所受力的沖量等于它在這個過程始末的______________。
(2)表達式：I＝____________或F(t′－t)＝____________。
1．對動量定理的理解
(1)動量定理反映了合外力的沖量是動量變化的原因。
(2)動量定理的表達式FΔt＝mv′－mv是矢量式，運用動量定理解題時，要注意規定正方向。
(3)公式中的F是物體所受的合外力，若合外力是變化的力，則F應理解為合外力在作用時間內的平均值。
(4)動量定理不僅適用于宏觀物體的低速運動，而且對微觀粒子的高速運動同樣適用。
2．動量定理、動能定理的區別
(1)動量定理指出力在時間上的積累改變了物體的動量，動能定理指出力在空間上的積累改變了物體的動能。
(2)動量定理是矢量式，動能定理是標量式。
(1)作用在物體上的力很大，物體所受的沖量一定也很大。(　　)
(2)只要力的作用時間和力的大小的乘積相同，物體所受的沖量一定相同。(　　)
(3)用力推物體，但沒有推動，則該力對物體的沖量為零。(　　)
(4)若物體在一段時間內動量發生了變化，則物體在這段時間內受到的合外力一定不為零。(　　)
(5)合力越大，動量變化越快。(　　)
二、動量定理的基本應用
(一)用動量定理解釋生活中的現象
雞蛋從同一高度自由下落，第一次落在泡沫塑料墊上，雞蛋沒被打破；第二次落在玻璃上，雞蛋被打破，這是為什么？
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例1　(2023·江蘇蘇州大學附屬中學高二階段練習)如圖所示，籃球運動員接傳過來的籃球時，通常要先伸出雙臂迎接籃球，手接觸到籃球后，雙手迅速后撤將籃球引至胸前。運用你所學的物理規律分析，這樣做可以(　　)
A．減小手對籃球的沖量
B．減小籃球的動量變化量
C．減小籃球對手的作用力
D．縮短籃球對手的作用時間
例2　如圖所示，小明在演示慣性現象時，將一杯水放在桌邊，杯下壓一張紙條。若緩慢拉動紙條，發現杯子會滑落；當他快速拉動紙條時，發現杯子并沒有滑落。對于這個實驗，下列說法正確的是(　　)
A．緩慢拉動紙條時，摩擦力對杯子的沖量較小
B．快速拉動紙條時，摩擦力對杯子的沖量較大
C．為使杯子不滑落，杯子與紙條間的動摩擦因數應盡量大一些
D．為使杯子不滑落，杯子與桌面間的動摩擦因數應盡量大一些
根據動量定理FΔt＝p′－p＝Δp可知：
(1)Δp一定，Δt短則F大，Δt長則F小；
(2)F一定，Δt短則Δp小，Δt長則Δp大；
(3)Δt一定，F大則Δp大，F小則Δp小。
(二)動量定理的定量計算
例3　(2023·江蘇蘇州實驗學校高二階段練習)一個質量m＝50 kg的蹦床運動員，從離水平網面h1＝3.2 m高處自由下落，著網后沿豎直方向蹦回到離水平網面h2＝5.0 m高處。已知運動員與網接觸的時間為Δt＝0.9 s，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求運動員與網接觸的這段時間內動量的變化量Δp；
(2)求網對運動員的平均作用力大小。
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針對訓練1　(2023·江蘇省阜寧中學高二期中)隨著科技信息電子產品的快速發展，人們對手機的依賴性越來越強，據有關方面不完全統計，人們一天平均看手機的次數在150次以上。許多人喜歡躺著看手機，經常出現手機砸傷眼睛的情況。若手機質量為120 g，從離人眼睛約20 cm 的高度無初速度跌落，砸到眼睛后手機未反彈，眼睛受到的手機的沖擊時間約為0.2 s，重力加速度g＝10 m/s2，下列分析正確的是(　　)
A．手機接觸眼睛之前的速度約為1 m/s
B．手機對眼睛的沖量大小約為0.56 N·s
C．手機對眼睛的作用力大小約為1.2 N
D．手機與眼睛作用過程中手機的動量變化量大小為0.24 kg·m/s
1．動量定理是矢量式，應用時必須選取正方向。
2．動量定理公式中I(F·Δt)應為合外力的沖量，不要漏掉某個力的沖量。
3．應用動量定理定量計算的一般步驟：
三、沖量的計算
如圖所示，一個質量為m的物體在與水平方向成θ角的拉力F的作用下保持靜止狀態，經過一段時間t，拉力F做的功是多少？拉力F的沖量是多大？方向如何？
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1．沖量是過程量
沖量是力作用在物體上的時間累積效應，取決于力和時間這兩個因素，所以求沖量時一定要明確所求的是哪一個力在哪一段時間內的沖量。
2．沖量是矢量
在力的方向不變時，沖量的方向與力的方向相同，如果力的方向是變化的，則沖量的方向與相應時間內物體動量變化量的方向相同。
3．沖量和功的比較
(1)某個力在一段時間內做的功為零時，力的沖量不為零。
(2)一對作用力和反作用力的沖量大小一定相等，方向一定相反；但它們所做的功大小不一定相等，符號也不一定相反。
例4　(2023·江蘇省響水中學高二階段練習)如圖，一物體靜止在水平地面上，受到與水平方向成θ角的恒定拉力F作用時間t后，物體仍保持靜止。下列說法正確的是(　　)
A．物體所受拉力F的沖量方向水平向右
B．物體所受拉力F的沖量大小是Ftcos θ
C．物體所受支持力的沖量大小為0
D．物體所受合力的沖量大小為0
某個恒力沖量的大小等于該力與時間的乘積，與是否受到其他力無關，與物體的狀態無關。某力沖量的方向與該力的方向相同。
針對訓練2　(2023·江蘇省鎮江第一中學高二階段練習)如圖所示，質量為m的小滑塊沿傾角為θ的斜面向上滑動，經過時間t1速度變為零然后又下滑，經
過時間t2回到斜面底端，滑塊在運動過程中受到的摩擦力大小始終為Ff，重力加速度為g，在整個過程中，重力對滑塊的總沖量為(　　)
A．mgsin θ(t1＋t2) B．mgsin θ(t1－t2)
C．mg(t1＋t2) D．0
例5　一物體受到方向不變的力F作用，其中力F的大小隨時間變化的規律如圖所示，則力F在6 s內的沖量大小為(　　)
A．9 N·s B．13.5 N·s
C．15.5 N·s D．18 N·s
1．利用公式I＝FΔt求沖量：此公式適用于求恒力的沖量。
2．利用F－t圖像法。
如圖甲、乙所示，該力在時間Δt內的沖量大小在數值上就等于圖中陰影部分的“面積”。
3.如圖丙所示，若力F是變力，但力與時間成線性關系變化，則可用平均力求變力的沖量。
4．利用動量定理求解：I ＝Δp＝p′－p。
2　動量定理
[學習目標]　1.理解沖量的概念，知道沖量是矢量，會計算某力的沖量(重點)。2.理解動量定理的含義及其表達式，會運用動量定理解決實際問題(重難點)。3.會用動量定理解釋碰撞、緩沖等生活中的現象(重點)。
一、動量定理的理解
如圖，一個質量為 m的物體在光滑的水平面上受到恒力F的作用，做勻變速直線運動。在初始時刻，物體的速度為 v，經過一段時間Δt，它的速度為v′。試推導F、Δt與Δp的關系。
答案　加速度a＝
根據牛頓第二定律F＝ma，則有
F＝m＝＝，即FΔt＝p′－p
1．沖量
(1)定義：力與力的作用時間的乘積。
(2)定義式：I＝FΔt。
(3)物理意義：沖量是反映力的作用對時間的累積效應的物理量，力越大，作用時間越長，沖量就越大。
(4)單位：在國際單位制中，沖量的單位是牛秒，符號為N·s。
(5)矢量性：沖量是矢(填“矢”或“標”)量。如果力的方向恒定，則沖量的方向與力的方向相同。
2．動量定理
(1)內容：物體在一個過程中所受力的沖量等于它在這個過程始末的動量變化量。
(2)表達式：I＝p′－p或F(t′－t)＝mv′－mv。
1．對動量定理的理解
(1)動量定理反映了合外力的沖量是動量變化的原因。
(2)動量定理的表達式FΔt＝mv′－mv是矢量式，運用動量定理解題時，要注意規定正方向。
(3)公式中的F是物體所受的合外力，若合外力是變化的力，則F應理解為合外力在作用時間內的平均值。
(4)動量定理不僅適用于宏觀物體的低速運動，而且對微觀粒子的高速運動同樣適用。
2．動量定理、動能定理的區別
(1)動量定理指出力在時間上的積累改變了物體的動量，動能定理指出力在空間上的積累改變了物體的動能。
(2)動量定理是矢量式，動能定理是標量式。
(1)作用在物體上的力很大，物體所受的沖量一定也很大。(　×　)
(2)只要力的作用時間和力的大小的乘積相同，物體所受的沖量一定相同。(　×　)
(3)用力推物體，但沒有推動，則該力對物體的沖量為零。(　×　)
(4)若物體在一段時間內動量發生了變化，則物體在這段時間內受到的合外力一定不為零。(　√　)
(5)合力越大，動量變化越快。(　√　)
二、動量定理的基本應用
(一)用動量定理解釋生活中的現象
雞蛋從同一高度自由下落，第一次落在泡沫塑料墊上，雞蛋沒被打破；第二次落在玻璃上，雞蛋被打破，這是為什么？
答案　兩次碰撞瞬間雞蛋的初速度相同，而末速度都是零，也相同，所以兩次碰撞過程中雞蛋的動量變化相同。根據FΔt＝Δp，第一次與泡沫塑料墊作用的時間長，作用力小，所以雞蛋沒有被打破；第二次與玻璃作用的時間短，作用力大，所以雞蛋被打破。
例1　(2023·江蘇蘇州大學附屬中學高二階段練習)如圖所示，籃球運動員接傳過來的籃球時，通常要先伸出雙臂迎接籃球，手接觸到籃球后，雙手迅速后撤將籃球引至胸前。運用你所學的物理規律分析，這樣做可以(　　)
A．減小手對籃球的沖量
B．減小籃球的動量變化量
C．減小籃球對手的作用力
D．縮短籃球對手的作用時間
答案　C
解析　籃球運動員接傳過來的籃球，末速度為零，動量的變化量是確定的，B錯誤；
根據動量定理知，手對籃球沖量的大小也是確定的，A錯誤；
先伸出雙臂迎接，手接觸到籃球后，兩臂隨籃球引至胸前，這樣可以延長籃球與手接觸的時間，D錯誤；
根據動量定理得－Ft＝0－mv，則F＝，當時間延長時，手對籃球的作用力減小，即籃球對手的作用力減小，故C正確。
例2　如圖所示，小明在演示慣性現象時，將一杯水放在桌邊，杯下壓一張紙條。若緩慢拉動紙條，發現杯子會滑落；當他快速拉動紙條時，發現杯子并沒有滑落。對于這個實驗，下列說法正確的是(　　)
A．緩慢拉動紙條時，摩擦力對杯子的沖量較小
B．快速拉動紙條時，摩擦力對杯子的沖量較大
C．為使杯子不滑落，杯子與紙條間的動摩擦因數應盡量大一些
D．為使杯子不滑落，杯子與桌面間的動摩擦因數應盡量大一些
答案　D
解析　在緩慢拉動和快速拉動紙條的過程中，杯子受到的摩擦力均為滑動摩擦力，大小相等，但快速拉動時，紙條與杯子作用時間短，此時摩擦力對杯子的沖量小，由I＝Δp可知，杯子增加的動量較小，因此杯子沒有滑落，緩慢拉動時，摩擦力對杯子的沖量大，杯子增加的動量大，杯子會滑落，故A、B錯誤；為使杯子不滑落，杯子與紙條間的摩擦力對杯子的沖量應盡量小一些，杯子與紙條間的動摩擦因數應盡量小一些，選項C錯誤；杯子與桌面間的動摩擦因數較大時，杯子在桌面上做減速運動的加速度較大，杯子更容易停下來，不滑落，選項D正確。
根據動量定理FΔt＝p′－p＝Δp可知：
(1)Δp一定，Δt短則F大，Δt長則F小；
(2)F一定，Δt短則Δp小，Δt長則Δp大；
(3)Δt一定，F大則Δp大，F小則Δp小。
(二)動量定理的定量計算
例3　(2023·江蘇蘇州實驗學校高二階段練習)一個質量m＝50 kg的蹦床運動員，從離水平網面h1＝3.2 m高處自由下落，著網后沿豎直方向蹦回到離水平網面h2＝5.0 m高處。已知運動員與網接觸的時間為Δt＝0.9 s，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求運動員與網接觸的這段時間內動量的變化量Δp；
(2)求網對運動員的平均作用力大小。
答案　(1)900 kg·m/s，方向豎直向上　(2)1 500 N
解析　(1)設運動員觸網前的速度大小為v1，
下落過程有mgh1＝mv12
解得v1＝＝8 m/s
設運動員觸網后的速度大小為v2，
上升過程有mgh2＝mv22
解得v2＝＝10 m/s
以豎直向上為正方向，觸網過程中動量的變化量為
Δp＝mv2－(－mv1)＝50×10 kg·m/s－50×(－8) kg·m/s＝900 kg·m/s，方向豎直向上。
(2)觸網過程中，根據動量定理可得(－mg)Δt＝Δp
解得＝＋mg＝ N＋50×10 N＝1 500 N。
針對訓練1　(2023·江蘇省阜寧中學高二期中)隨著科技信息電子產品的快速發展，人們對手機的依賴性越來越強，據有關方面不完全統計，人們一天平均看手機的次數在150次以上。許多人喜歡躺著看手機，經常出現手機砸傷眼睛的情況。若手機質量為120 g，從離人眼睛約20 cm的高度無初速度跌落，砸到眼睛后手機未反彈，眼睛受到的手機的沖擊時間約為0.2 s，重力加速度g＝10 m/s2，下列分析正確的是(　　)
A．手機接觸眼睛之前的速度約為1 m/s
B．手機對眼睛的沖量大小約為0.56 N·s
C．手機對眼睛的作用力大小約為1.2 N
D．手機與眼睛作用過程中手機的動量變化量大小為0.24 kg·m/s
答案　D
解析　根據自由落體規律手機接觸眼睛之前的速度為v＝＝ m/s＝2 m/s，A錯誤；設眼睛對手機的沖量大小為I1，取向下為正方向，根據動量定理有mgt－I1＝0－mv，解得I1＝0.48 N·s，可得眼睛對手機的作用力大小為F1＝＝ N＝2.4 N，根據牛頓第三定律可得手機對眼睛的作用力大小約為2.4 N，手機對眼睛的沖量大小約為0.48 N·s，B、C錯誤；手機與眼睛作用過程中手機的動量變化量大小為Δp＝|m·Δv|＝0.24 kg·m/s，D正確。
1．動量定理是矢量式，應用時必須選取正方向。
2．動量定理公式中I(F·Δt)應為合外力的沖量，不要漏掉某個力的沖量。
3．應用動量定理定量計算的一般步驟：
三、沖量的計算
如圖所示，一個質量為m的物體在與水平方向成θ角的拉力F的作用下保持靜止狀態，經過一段時間t，拉力F做的功是多少？拉力F的沖量是多大？方向如何？
答案　拉力F做的功是零，沖量大小是Ft，方向與F方向相同。
1．沖量是過程量
沖量是力作用在物體上的時間累積效應，取決于力和時間這兩個因素，所以求沖量時一定要明確所求的是哪一個力在哪一段時間內的沖量。
2．沖量是矢量
在力的方向不變時，沖量的方向與力的方向相同，如果力的方向是變化的，則沖量的方向與相應時間內物體動量變化量的方向相同。
3．沖量和功的比較
(1)某個力在一段時間內做的功為零時，力的沖量不為零。
(2)一對作用力和反作用力的沖量大小一定相等，方向一定相反；但它們所做的功大小不一定相等，符號也不一定相反。
例4　(2023·江蘇省響水中學高二階段練習)如圖，一物體靜止在水平地面上，受到與水平方向成θ角的恒定拉力F作用時間t后，物體仍保持靜止。下列說法正確的是(　　)
A．物體所受拉力F的沖量方向水平向右
B．物體所受拉力F的沖量大小是Ftcos θ
C．物體所受支持力的沖量大小為0
D．物體所受合力的沖量大小為0
答案　D
解析　物體所受拉力F的沖量方向與F方向相同，物體所受拉力F斜向上，則F的沖量方向斜向上方向，故A錯誤；根據恒力沖量的定義可知，沖量等于力與時間的乘積，故物體所受拉力沖量大小為I＝Ft，故B錯誤；根據恒力沖量的定義可知，沖量等于力與時間的乘積，故物體所受支持力的沖量大小為I＝(mg－Fsin θ)t，故C錯誤；物體所受合力為零，故合力的沖量大小為0，故D正確。
某個恒力沖量的大小等于該力與時間的乘積，與是否受到其他力無關，與物體的狀態無關。某力沖量的方向與該力的方向相同。
針對訓練2　(2023·江蘇省鎮江第一中學高二階段練習)如圖所示，質量為m的小滑塊沿傾角為θ的斜面向上滑動，經過時間t1速度變為零然后又下滑，經過時間t2回到斜面底端，滑塊在運動過程中受到的摩擦力大小始終為Ff，重力加速度為g，在整個過程中，重力對滑塊的總沖量為(　　)
A．mgsin θ(t1＋t2) B．mgsin θ(t1－t2)
C．mg(t1＋t2) D．0
答案　C
解析　根據沖量的定義式I＝FΔt，因此重力對滑塊的沖量應為重力乘作用時間，所以IG＝mg(t1＋t2)，故選C。
例5　一物體受到方向不變的力F作用，其中力F的大小隨時間變化的規律如圖所示，則力F在6 s內的沖量大小為(　　)
A．9 N·s B．13.5 N·s
C．15.5 N·s D．18 N·s
答案　B
解析　由I＝FΔt可知，在F－t圖像中，圖線與坐標軸所圍成的面積表示沖量的大小，所以I＝×3×3 N·s＋3×3 N·s＝13.5 N·s，故B正確，A、C、D錯誤。
1．利用公式I＝FΔt求沖量：此公式適用于求恒力的沖量。
2．利用F－t圖像法。
如圖甲、乙所示，該力在時間Δt內的沖量大小在數值上就等于圖中陰影部分的“面積”。
3.如圖丙所示，若力F是變力，但力與時間成線性關系變化，則可用平均力求變力的沖量。
4．利用動量定理求解：I ＝Δp＝p′－p。

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