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5　彈性碰撞和非彈性碰撞
[學習目標]　1.知道彈性碰撞、非彈性碰撞的特點(重點)。2.了解對心碰撞和非對心碰撞的概念(重點)。3.能運用動量和能量的觀點分析解決一維碰撞的實際問題(重難點)。
一、彈性碰撞和非彈性碰撞
1．碰撞是我們日常生活中常見到的現象，臺球桌上臺球的碰撞(圖甲)，汽車碰撞測試中兩車的相向碰撞(碰撞后均靜止)(圖乙)等，這些碰撞有哪些相同點？又有哪些不同點？(從動量和能量的角度進行分析)
甲　　　　　　 乙
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2．在本章第一節圖1.1－2 實驗中，碰撞后兩車粘在一起，總動能減少。
(1)碰撞過程中總動能減小的原因是什么？
(2)是否可以改變小車質量和碰前速度使碰撞前后總動能不變？
(3)為了盡量減少總動能的損失，可以對實驗裝置怎么進行改進？
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1．碰撞的特點
(1)時間特點：在碰撞現象中，相互作用的時間很短。
(2)相互作用力的特點：在相互作用過程中，相互作用力先是急劇增大，然后急劇減小，平均作用力很大。
(3)動量守恒條件的特點：系統的內力遠遠大于外力，所以系統即使所受合外力不為零，外力也可以忽略，系統的總動量守恒。
(4)位移特點：碰撞過程是在一瞬間發生的，時間極短，在物體發生碰撞的瞬間，可忽略物體的位移，認為物體在碰撞前后仍在同一位置。
(5)能量特點：碰撞前總動能Ek與碰撞后總動能Ek′滿足Ek≥Ek′。
2．碰撞的分類
(1)彈性碰撞：系統在碰撞前后動能_________________________________________________。
(2)非彈性碰撞：系統在碰撞后動能_________________________________________________。
(1)發生碰撞的兩個物體動量守恒。(　　)
(2)發生碰撞的兩個物體，機械能一定是守恒的。(　　)
(3)兩球在光滑水平面上發生非彈性碰撞時，系統動量是守恒的。(　　)
例1　(2022·江蘇鹽城市田家炳中學高二期中)A、B兩物體在光滑水平地面上沿一直線相對而行，A質量為5 kg，速度大小為10 m/s，B質量為2 kg，速度大小為5 m/s，兩者相碰后，A沿原方向運動。
(1)若碰后A的速度大小為4 m/s，則B的速度大小為多少？
(2)碰撞后，A物體的速度大小是否有可能為6 m/s？請通過計算分析說明理由。
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1．完全非彈性碰撞：碰撞后兩物體合為一體或者具有共同的速度。
2．完全非彈性碰撞中的動能損失：在一動撞一靜的完全非彈性碰撞中，若兩物體質量相等，此過程中損失的動能為系統初動能的一半。
例2　(2023·江蘇淮海中學高二階段練習)如圖所示，光滑水平桌面上一質量為5.0 kg的保齡球，撞上一原來靜止且質量為1.5 kg的球瓶。此后球瓶以3.0 m/s的速度向前飛出，而保齡球以2.0 m/s的速度繼續向前運動，假設它們相互作用的時間為0.05 s。求：
(1)碰撞前保齡球的速度大小；
(2)碰撞時保齡球與球瓶間的相互作用力的大小；
(3)通過計算判斷該碰撞是否為彈性碰撞。
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二、彈性碰撞的實例分析
如圖所示，質量為m1的小球A以速度v1向右與質量為m2的靜止小球B發生碰撞，若兩者間的碰撞是彈性碰撞且兩球碰撞前后的速度均在一條直線上。
根據下列提示，求碰后A、B兩球的速度v1′、v2′。
碰撞過程中動量守恒，表達式為___________________________________________________①
碰撞前后動能相等，表達式為_____________________________________________________②
由①式得m1(v1－v1′)＝m2v2′
由②式得m1(v12－v1′2)＝m2v2′2
聯立以上兩式得v1′＋v1＝v2′
由上面關系式可解得v1′＝________________，v2′＝________________。(請記住這兩個結果，以便今后直接使用)
正碰：兩個小球相碰，碰撞之前球的運動速度與兩球心的連線在同一條直線上，碰撞之后兩球的速度仍會沿著這條直線，這種碰撞稱為________，也叫作________________或________________。
1．以碰前物體m1速度的方向為正方向
(1)若m1＝m2，則有v1′＝________，v2′＝________，即碰撞后兩物體速度________。
(2)若m1>m2，則v1′_______0, v2′_______0(均填“>”“＝”或“<”)，表示v1′和v2′都與v1方向________(填“相同”或“相反”)。
(3)若m1”“＝”或“<”)，表示v1′與v1方向________(填“相同”或“相反”)。
2．繼續思考：
(1)若m1 m2，則v1′＝_________，v2′＝__________；
(2)若m1 m2，則v1′＝_________，v2′＝__________。
(1)在光滑水平面上發生正碰的兩個小球，所組成的系統機械能一定是守恒的。(　　)
(2)兩個質量相同的物體發生碰撞，碰后速度一定相互交換。(　　)
例3　如圖所示，光滑平臺上有兩個剛性小球A和B，質量分別為2m和3m，小球A以速度v0向右運動并與靜止的小球B發生碰撞(碰撞過程不損失機械能)，小球B飛出平臺后經時間t剛好掉入裝有沙子且向左運動的小車中，小車與沙子的總質量為m，速度大小為2v0，小車行駛的路面近似看作是光滑的，不計空氣阻力，求：
(1)碰撞后小球A和小球B的速度；
(2)小球B掉入小車后的速度。
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三、碰撞的可能性
碰撞問題遵循的三個原則：
(1)系統動量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′。
(2)系統動能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。
(3)速度要合理：
碰撞前、后碰撞雙方運動速度之間的關系必須合理。如果碰前兩物體同向運動，有v后>v前，否則無法實現碰撞。碰撞后，原來在前的物體的速度一定增大，若碰后兩物體同向運動，有v前′≥v后′，否則碰撞還沒有結束。
例4　(2022·江蘇無錫市高二期末)質量為mA的A球以某一速度沿光滑水平面向靜止的B球運動，并與B球發生彈性正碰。假設B球的質量mB可選取為不同的值，則(　　)
A．當mB＝mA時，碰后B球的速度最大
B．當mB＝mA時，碰后B球的動能最大
C．當mB＝mA時，碰后B球的動量最大
D．在保持mB>mA的條件下，mB越小，碰后A球的速度越小
一動一靜碰撞問題的討論
質量為m1的球a以速度v1和靜止的質量為m2的球b碰撞，碰后球a、b的速度分別為v1′和v2′。根據能量損失情況不同，討論碰后可能出現的情況如下：
(1)彈性碰撞：v1′＝v1，v2′＝v1。
(2)完全非彈性碰撞：v1′＝v2′＝v1。
(3)一般情況下(即非彈性碰撞)：
v1≥v1′≥v1，
v1≥v2′≥v1。
例5　(2023·江蘇南京市高二期中)質量為m、速度為v的A球跟質量為3m的靜止B球發生正碰，則碰撞后B球速度v′可能值的范圍為(　　)
A．0.2v≤v′≤0.5v
B．0.2v≤v′≤0.75v
C．0.25v≤v′≤0.5v
D．0.25v≤v′≤0.75v
針對訓練　甲、乙兩球在水平光滑軌道上同方向運動，已知它們的動量分別是p1＝5 kg·m/s，p2＝7 kg·m/s，甲從后面追上乙并發生碰撞，碰后乙球的動量變為10 kg·m/s，則兩球質量m1與m2間的關系可能是(　　)
A．m1＝m2 B．2m1＝m2
C．4m1＝m2 D．6m1＝m2
5　彈性碰撞和非彈性碰撞
[學習目標]　1.知道彈性碰撞、非彈性碰撞的特點(重點)。2.了解對心碰撞和非對心碰撞的概念(重點)。3.能運用動量和能量的觀點分析解決一維碰撞的實際問題(重難點)。
一、彈性碰撞和非彈性碰撞
1．碰撞是我們日常生活中常見到的現象，臺球桌上臺球的碰撞(圖甲)，汽車碰撞測試中兩車的相向碰撞(碰撞后均靜止)(圖乙)等，這些碰撞有哪些相同點？又有哪些不同點？(從動量和能量的角度進行分析)
　 　　 甲　　　　　　　乙
答案　相同點是碰撞過程持續時間極短，此過程中內力遠大于外力，碰撞滿足動量守恒；不同點是碰撞過程中機械能損失有多有少，圖甲損失的機械能相比碰撞前的機械能占比較小，圖乙損失的機械能相比碰撞前的機械能占比較大。
2．在本章第一節圖1.1－2 實驗中，碰撞后兩車粘在一起，總動能減少。
(1)碰撞過程中總動能減小的原因是什么？
(2)是否可以改變小車質量和碰前速度使碰撞前后總動能不變？
(3)為了盡量減少總動能的損失，可以對實驗裝置怎么進行改進？
答案　(1)碰撞中有機械能轉化為內能。
(2)通過數據分析知不可以。
(3)兩輛小車安裝彈性碰撞架。
1．碰撞的特點
(1)時間特點：在碰撞現象中，相互作用的時間很短。
(2)相互作用力的特點：在相互作用過程中，相互作用力先是急劇增大，然后急劇減小，平均作用力很大。
(3)動量守恒條件的特點：系統的內力遠遠大于外力，所以系統即使所受合外力不為零，外力也可以忽略，系統的總動量守恒。
(4)位移特點：碰撞過程是在一瞬間發生的，時間極短，在物體發生碰撞的瞬間，可忽略物體的位移，認為物體在碰撞前后仍在同一位置。
(5)能量特點：碰撞前總動能Ek與碰撞后總動能Ek′滿足Ek≥Ek′。
2．碰撞的分類
(1)彈性碰撞：系統在碰撞前后動能不變。
(2)非彈性碰撞：系統在碰撞后動能減少。
(1)發生碰撞的兩個物體動量守恒。(　√　)
(2)發生碰撞的兩個物體，機械能一定是守恒的。(　×　)
(3)兩球在光滑水平面上發生非彈性碰撞時，系統動量是守恒的。(　√　)
例1　(2022·江蘇鹽城市田家炳中學高二期中)A、B兩物體在光滑水平地面上沿一直線相對而行，A質量為5 kg，速度大小為10 m/s，B質量為2 kg，速度大小為5 m/s，兩者相碰后，A沿原方向運動。
(1)若碰后A的速度大小為4 m/s，則B的速度大小為多少？
(2)碰撞后，A物體的速度大小是否有可能為6 m/s？請通過計算分析說明理由。
答案　(1)10 m/s　(2)有可能，理由見解析
解析　(1)以A的速度方向為正方向，則由動量守恒定律可得mAvA－mBvB＝mAvA1＋mBvB1 ，
解得vB1＝10 m/s
(2)設碰撞后，A物體的速度大小為6 m/s，
則由動量守恒定律可得
mAvA－mBvB＝mAvA2＋mBvB2
解得vB2＝5 m/s
碰撞前A、B總動能為
Ek1＝mAvA2＋mBvB2＝275 J ，
碰撞后A、B總動能為
Ek2＝mAvA22＋mBvB22＝115 J
若兩者碰撞后速度相同，則此時動能損失最大，A、B總動能最小，
此時有mAvA－mBvB＝(mA＋mB)vAB
因此A、B最小總動能為
Ek3＝(mA＋mB)vAB2≈114.3 J，
因為Ek31．完全非彈性碰撞：碰撞后兩物體合為一體或者具有共同的速度。
2．完全非彈性碰撞中的動能損失：在一動撞一靜的完全非彈性碰撞中，若兩物體質量相等，此過程中損失的動能為系統初動能的一半。
例2　(2023·江蘇淮海中學高二階段練習)如圖所示，光滑水平桌面上一質量為5.0 kg的保齡球，撞上一原來靜止且質量為1.5 kg的球瓶。此后球瓶以3.0 m/s的速度向前飛出，而保齡球以2.0 m/s的速度繼續向前運動，假設它們相互作用的時間為0.05 s。求：
(1)碰撞前保齡球的速度大小；
(2)碰撞時保齡球與球瓶間的相互作用力的大小；
(3)通過計算判斷該碰撞是否為彈性碰撞。
答案　(1)2.9 m/s　(2)90 N　(3)不是彈性碰撞
解析　(1)設碰撞前保齡球的速度大小為v1，
根據動量守恒定律有Mv1＝Mv1′＋mv2
解得v1＝2.9 m/s
(2)設碰撞時保齡球與球瓶間的相互作用力的大小為F，
對球瓶根據動量定理有Ft＝mv2
解得F＝90 N
(3)保齡球和球瓶組成的系統初、末動能分別為Ek0＝Mv12＝21.025 J，Ek1＝Mv1′2＋mv22＝16.75 J
因為Ek1二、彈性碰撞的實例分析
如圖所示，質量為m1的小球A以速度v1向右與質量為m2的靜止小球B發生碰撞，若兩者間的碰撞是彈性碰撞且兩球碰撞前后的速度均在一條直線上。
根據下列提示，求碰后A、B兩球的速度v1′、v2′。
碰撞過程中動量守恒，表達式為___________________________________________________①
碰撞前后動能相等，表達式為_____________________________________________________②
由①式得m1(v1－v1′)＝m2v2′
由②式得m1(v12－v1′2)＝m2v2′2
聯立以上兩式得v1′＋v1＝v2′
由上面關系式可解得v1′＝______，v2′＝______。(請記住這兩個結果，以便今后直接使用)
答案　m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2
v1　v1
正碰：兩個小球相碰，碰撞之前球的運動速度與兩球心的連線在同一條直線上，碰撞之后兩球的速度仍會沿著這條直線，這種碰撞稱為正碰，也叫作對心碰撞或一維碰撞。
1．以碰前物體m1速度的方向為正方向
(1)若m1＝m2，則有v1′＝0，v2′＝v1，即碰撞后兩物體速度互換。
(2)若m1>m2，則v1′>0, v2′>0(均填“>”“＝”或“<”)，表示v1′和v2′都與v1方向相同(填“相同”或“相反”)。
(3)若m1”“＝”或“<”)，表示v1′與v1方向相反(填“相同”或“相反”)。
2．繼續思考：
(1)若m1 m2，則v1′＝v1，v2′＝2v1；
(2)若m1 m2，則v1′＝－v1，v2′＝0。
(1)在光滑水平面上發生正碰的兩個小球，所組成的系統機械能一定是守恒的。(　×　)
(2)兩個質量相同的物體發生碰撞，碰后速度一定相互交換。(　×　)
例3　如圖所示，光滑平臺上有兩個剛性小球A和B，質量分別為2m和3m，小球A以速度v0向右運動并與靜止的小球B發生碰撞(碰撞過程不損失機械能)，小球B飛出平臺后經時間t剛好掉入裝有沙子且向左運動的小車中，小車與沙子的總質量為m，速度大小為2v0，小車行駛的路面近似看作是光滑的，不計空氣阻力，求：
(1)碰撞后小球A和小球B的速度；
(2)小球B掉入小車后的速度。
答案　(1)v0，向左　v0，向右　(2)v0，向右
解析　(1)設小球A、B的質量分別用m1、m2表示，
A球與B球碰撞過程中系統動量守恒，
有m1v0＝m1v1＋m2v2
碰撞過程中系統機械能守恒，有
m1v02＝m1v12＋m2v22
聯立兩式解得v1＝＝－v0，v2＝＝v0，碰后A球向左，B球向右；
(2)設小車和沙子的總質量用m3表示，B球掉入沙車的過程中系統水平方向動量守恒，有m2v2－m3×2v0＝(m2＋m3)v3′，
解得v3′＝v0，向右
三、碰撞的可能性
碰撞問題遵循的三個原則：
(1)系統動量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′。
(2)系統動能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。
(3)速度要合理：
碰撞前、后碰撞雙方運動速度之間的關系必須合理。如果碰前兩物體同向運動，有v后>v前，否則無法實現碰撞。碰撞后，原來在前的物體的速度一定增大，若碰后兩物體同向運動，有v前′≥v后′，否則碰撞還沒有結束。
例4　(2022·江蘇無錫市高二期末)質量為mA的A球以某一速度沿光滑水平面向靜止的B球運動，并與B球發生彈性正碰。假設B球的質量mB可選取為不同的值，則(　　)
A．當mB＝mA時，碰后B球的速度最大
B．當mB＝mA時，碰后B球的動能最大
C．當mB＝mA時，碰后B球的動量最大
D．在保持mB>mA的條件下，mB越小，碰后A球的速度越小
答案　B
解析　A、B碰撞過程系統動量守恒，以碰撞前A的速度方向為正方向，根據動量守恒定律和機械能守恒定律，得mAvA＝mAvA′＋mBvB′，mAvA2＝mAvA′2＋mBvB′2，聯立解得碰后A、B兩球的速度分別vA′＝vA＝(1－)vA＝(1－)vA，vB′＝vA＝vA。可知當mB＝mA時，碰后B球的速度不是最大，在保持mB>mA的條件下，mB越小，碰后A球的速度越大，故A、D錯誤；當mB＝mA時，彈性正碰后兩球交換速度，此時碰后A球速度為零，B球獲得最大動能，故B正確；碰撞后B球的動量pB＝mBvB′＝＝，則知mB越大，碰后B球的動量越大，故C錯誤。
一動一靜碰撞問題的討論
質量為m1的球a以速度v1和靜止的質量為m2的球b碰撞，碰后球a、b的速度分別為v1′和v2′。根據能量損失情況不同，討論碰后可能出現的情況如下：
(1)彈性碰撞：v1′＝v1，v2′＝v1。
(2)完全非彈性碰撞：v1′＝v2′＝v1。
(3)一般情況下(即非彈性碰撞)：
v1≥v1′≥v1，
v1≥v2′≥v1。
例5　(2023·江蘇南京市高二期中)質量為m、速度為v的A球跟質量為3m的靜止B球發生正碰，則碰撞后B球速度v′可能值的范圍為(　　)
A．0.2v≤v′≤0.5v B．0.2v≤v′≤0.75v
C．0.25v≤v′≤0.5v D．0.25v≤v′≤0.75v
答案　C
解析　若A、B兩球為彈性碰撞，則碰撞過程無能量損失，碰撞后速度最大，取A球初速度方向為正方向，根據動量守恒定律、機械能守恒定律可得mv＝mv1＋3mv2，mv2＝mv12＋mv22，解得v2＝0.5v；若A、B兩球為完全非彈性碰撞，碰撞后兩球共速，碰撞過程能量損失最大，碰撞后速度最小，根據動量守恒定律可得mv＝(m＋3m)v共，解得v共＝0.25v，因此碰撞后B球速度v′可能值的范圍為0.25v≤v′≤0.5v，故選C。
針對訓練　甲、乙兩球在水平光滑軌道上同方向運動，已知它們的動量分別是p1＝5 kg·m/s，p2＝7 kg·m/s，甲從后面追上乙并發生碰撞，碰后乙球的動量變為10 kg·m/s，則兩球質量m1與m2間的關系可能是(　　)
A．m1＝m2 B．2m1＝m2
C．4m1＝m2 D．6m1＝m2
答案　C
解析　甲、乙兩球在碰撞過程中動量守恒，有p1＋p2＝p1′＋p2′，即p1′＝2 kg·m/s。由于在碰撞過程中，不可能有其他形式的能量轉化為機械能，只能是系統內物體間機械能的相互轉化或一部分機械能轉化為內能，因此系統的機械能不會增加。所以有＋≥＋，解得m1≤m2；因為題目給出物理情景是“甲從后面追上乙”，要符合這一物理情景，就必須有>，即m1

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