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2　簡諧運動的描述
[學習目標]　1.知道振幅、周期和頻率的概念，知道全振動的含義。2.了解初相和相位差的概念以及相位的物理意義(難點)。3.知道簡諧運動的表達式及各物理量的物理意義(重點)。4.能依據簡諧運動的表達式描繪振動圖像，會根據簡諧運動圖像寫出其表達式(重難點)。
一、簡諧運動的振幅、周期和頻率
如圖甲所示為一彈簧振子，O點為它的平衡位置，其中A、A′及B、B′點關于O點對稱。圖乙為先后兩次分別從A、B兩點釋放經過平衡位置開始計時所得的振動圖像。
(1)圖乙中的a、b振動圖像分別是從哪個點開始釋放的？兩次振動圖像中的物理量有什么共同點和不同點？
(2)從小球經過O點至下一次再經過O點的速度方向是否相同？這段時間是否為一個周期？
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1．振幅
(1)概念：振動物體離開平衡位置的____距離。
(2)意義：振幅是表示________________大小的物理量，常用字母________表示。振動物體運動的范圍是振幅的________。
2．周期和頻率
(1)全振動：一個________的振動過程稱為一次全振動。做簡諧運動的物體完成一次全振動的時間總是________的。
(2)周期：做簡諧運動的物體完成一次____________所需要的時間，用T表示。在國際單位制中，周期的單位是________(s)。
(3)頻率：物體完成全振動的__________與________________之比，數值等于_______________的次數，用f表示。在國際單位制中，頻率的單位是________，簡稱________，符號是________。
(4)周期和頻率的關系：f＝________。周期和頻率都是表示物體________________的物理量，周期越小，頻率越________，表示振動越________。
(5)圓頻率ω：表示簡諧運動的快慢，其與周期成________、與頻率成________，它們間的關系式為ω＝________，ω＝________。
1．對全振動的理解
(1)振動過程：如圖所示，從O點開始，一次全振動的完整過程為O→A→O→A′→O；從A點開始，一次全振動的完整過程為A→O→A′→O→A。
(2)完成一次全振動，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時與初始狀態相同。
(3)完成一次全振動歷時一個周期，通過的路程是振幅的4倍。
2．簡諧運動中位移、路程、周期與振幅的關系
(1)位移和振幅
①最大位移的數值等于振幅。
②對于一個給定的振動，振子的位移是時刻變化的，但振幅是不變的。
③位移是矢量，振幅是標量。
(2)路程與振幅
①振動物體在一個周期內的路程為四個振幅，即4A。
②振動物體在半個周期內的路程為兩個振幅，即2A。
(3)周期與振幅
一個振動系統的周期和頻率有確定的值，由振動系統本身的性質決定，與振幅無關。
(1)在簡諧運動的過程中，振幅是不斷變化的。(　　)
(2)振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離，它是標量。(　　)
(3)振子從離開某位置到重新回到該位置的過程為一次全振動過程。(　　)
(4)振幅越大，簡諧運動的周期就越大。(　　)
(5)振動物體內的距程一定等于振幅A。(　　)
例1　(2022·江蘇省如皋中學高二階段練習)如圖所示，彈簧振子在A、B間做簡諧運動，O為平衡位置，A、B間距離是20 cm，小球經過A點時開始計時，經過2 s首次到達B點，則(　　)
A．從O→B→O小球做了一次全振動
B．振動周期為2 s，振幅是10 cm
C．從B開始經過6 s，小球通過的路程是60 cm
D．從O開始經過3 s，小球處在平衡位置
例2　一質點做簡諧運動，其位移x與時間t的關系圖像如圖所示，由圖可知(　　)
A．質點振動的頻率是4 Hz，振幅是2 cm
B．質點經過1 s通過的路程總是2 cm
C．0～3 s內，質點通過的路程為6 cm
D．t＝3 s時，質點的振幅為零
個周期內路程與振幅的關系
1．振動物體在個周期內的路程不一定等于一個振幅A。只有當初始時刻振動物體在平衡位置或最大位移處時，個周期內的路程才等于一個振幅。
2．當振動物體初始時刻不在平衡位置或最大位移處時，若振動物體開始時運動的方向指向平衡位置，則質點在個周期內的路程大于A，若振動物體開始時運動的方向遠離平衡位置，則振動物體在個周期內的路程小于A。
二、簡諧運動的相位、表達式
如圖所示，兩個由完全相同的彈簧和小球組成的振子懸掛在一起，試分析以下問題：
(1)將兩個小球向下拉相同的距離后同時放開，可以看到什么現象？
(2)若當第一個小球到達平衡位置時再釋放第二個，可以看到什么現象？
(3)在問題(2)中，兩個小球振動的位移隨時間變化的表達式x＝Asin(ωt＋φ)中哪個量不同？相差多少？
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1．相位
(1)概念：物理學中把(________)叫作相位，其中φ是t＝________時的相位，叫初相位，或初相。
(2)意義：描述做簡諧運動的物體某時刻在一個運動周期中的________。
(3)相位差：兩個具有相同______的簡諧運動的相位的差值，Δφ＝________(φ1>φ2)。
2．簡諧運動的表達式
x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(t＋φ0)，其中：x表示振動物體在t時刻離開平衡位置的________，A為________，ω為圓頻率，T為簡諧運動的________，φ0為__________________。
1．相位
相位ωt＋φ代表了做簡諧運動的物體在各個不同時刻所處的狀態。它是一個隨時間變化的量，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動。
2．相位差
頻率相同的兩個簡諧運動有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明兩個物體運動步調相同，即同相；
若Δφ＝π，表明兩個物體運動步調相反，即反相。
3．簡諧運動的表達式x＝Asin(t＋φ)
(1)表達式反映了做簡諧運動的物體的位移x隨時間t的變化規律。
(2)從表達式x＝Asin(ωt＋φ)體會簡諧運動的周期性。當Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ時，Δt＝＝nT，振子位移相同，每經過一個周期T完成一次全振動。
例3　(2023·江蘇省常熟中學高二期中)如圖所示，彈簧振子在a、b兩點間做簡諧振動，振幅為A＝10 cm，振動周期為0.2 s，t＝0時振子從平衡位置O開始向a運動，選向左為正方向。
(1)寫出振子振動方程；
(2)求經過2.1 s振子通過的路程。
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例4　有一個彈簧振子，振幅為0.8 cm，周期為0.5 s，初始時具有負方向的最大加速度，則它的振動方程是(　　)
A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m B．x＝8×10－3sin(4πt－) m
C．x＝8×10－3sin(πt＋) m D．x＝8×10－3sin(t＋) m
三、簡諧運動的周期性與對稱性
簡諧運動是一種周期性的運動，簡諧運動的物理量隨時間周期性變化，如圖所示，物體在A、B兩點間做簡諧運動，O點為平衡位置，OC＝OD。
(1)時間的對稱
①物體來回通過相同兩點間的時間相等，即tDB＝tBD。
②物體經過關于平衡位置對稱的等長的兩段路程的時間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的對稱
①物體連續兩次經過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反。
②物體經過關于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的對稱
①物體經過同一點(如C點)時，位移相同。
②物體經過關于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，位移大小相等、方向相反。
例5　彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動，從小球通過O點時開始計時，小球第一次到達M點用了0.3 s，又經過0.2 s第二次通過M點，則小球第三次通過M點還要經過的時間可能是(　　)
A. s B. s
C．1.5 s D．1.6 s
1．周期性造成多解：物體經過同一位置可以對應不同的時刻，物體的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這樣就形成簡諧運動的多解問題。
2．對稱性造成多解：由于簡諧運動具有對稱性，因此當物體通過兩個對稱位置時，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，也會形成多解問題。
2　簡諧運動的描述
[學習目標]　1.知道振幅、周期和頻率的概念，知道全振動的含義。2.了解初相和相位差的概念以及相位的物理意義(難點)。3.知道簡諧運動的表達式及各物理量的物理意義(重點)。4.能依據簡諧運動的表達式描繪振動圖像，會根據簡諧運動圖像寫出其表達式(重難點)。
一、簡諧運動的振幅、周期和頻率
如圖甲所示為一彈簧振子，O點為它的平衡位置，其中A、A′及B、B′點關于O點對稱。圖乙為先后兩次分別從A、B兩點釋放經過平衡位置開始計時所得的振動圖像。
(1)圖乙中的a、b振動圖像分別是從哪個點開始釋放的？兩次振動圖像中的物理量有什么共同點和不同點？
(2)從小球經過O點至下一次再經過O點的速度方向是否相同？這段時間是否為一個周期？
答案　(1)a圖像是從A點開始釋放的，b圖像是從B點開始釋放的；彈簧振子兩次形成的簡諧運動具有相同的周期，從B點釋放時離平衡位置的最大距離比從A點釋放時的最大距離更大。
(2)不相同，兩次速度方向相反。這段時間僅為半個周期。若經過一個周期，小球一定從同一方向再次經過O點。
1．振幅
(1)概念：振動物體離開平衡位置的最大距離。
(2)意義：振幅是表示振動幅度大小的物理量，常用字母A表示。振動物體運動的范圍是振幅的兩倍。
2．周期和頻率
(1)全振動：一個完整的振動過程稱為一次全振動。做簡諧運動的物體完成一次全振動的時間總是相同的。
(2)周期：做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的時間，用T表示。在國際單位制中，周期的單位是秒(s)。
(3)頻率：物體完成全振動的次數與所用時間之比，數值等于單位時間內完成全振動的次數，用f表示。在國際單位制中，頻率的單位是赫茲，簡稱赫，符號是Hz。
(4)周期和頻率的關系：f＝。周期和頻率都是表示物體振動快慢的物理量，周期越小，頻率越大，表示振動越快。
(5)圓頻率ω：表示簡諧運動的快慢，其與周期成反比、與頻率成正比，它們間的關系式為ω＝，ω＝2πf。
1．對全振動的理解
(1)振動過程：如圖所示，從O點開始，一次全振動的完整過程為O→A→O→A′→O；從A點開始，一次全振動的完整過程為A→O→A′→O→A。
(2)完成一次全振動，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時與初始狀態相同。
(3)完成一次全振動歷時一個周期，通過的路程是振幅的4倍。
2．簡諧運動中位移、路程、周期與振幅的關系
(1)位移和振幅
①最大位移的數值等于振幅。
②對于一個給定的振動，振子的位移是時刻變化的，但振幅是不變的。
③位移是矢量，振幅是標量。
(2)路程與振幅
①振動物體在一個周期內的路程為四個振幅，即4A。
②振動物體在半個周期內的路程為兩個振幅，即2A。
(3)周期與振幅
一個振動系統的周期和頻率有確定的值，由振動系統本身的性質決定，與振幅無關。
(1)在簡諧運動的過程中，振幅是不斷變化的。(　×　)
(2)振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離，它是標量。(　√　)
(3)振子從離開某位置到重新回到該位置的過程為一次全振動過程。(　×　)
(4)振幅越大，簡諧運動的周期就越大。(　×　)
(5)振動物體內的距程一定等于振幅A。(　×　)
例1　(2022·江蘇省如皋中學高二階段練習)如圖所示，彈簧振子在A、B間做簡諧運動，O為平衡位置，A、B間距離是20 cm，小球經過A點時開始計時，經過2 s首次到達B點，則(　　)
A．從O→B→O小球做了一次全振動
B．振動周期為2 s，振幅是10 cm
C．從B開始經過6 s，小球通過的路程是60 cm
D．從O開始經過3 s，小球處在平衡位置
答案　C
解析　小球從O→B→O只完成半個全振動，A錯誤；從A→B是半個全振動，用時2 s，所以振動周期是4 s，振幅A＝＝10 cm，B錯誤；因為t＝6 s＝1T，所以小球經過的路程為4A＋2A＝6A＝60 cm，C正確；從O開始經過3 s，小球處在最大位移處(A或B)，D錯誤。
例2　一質點做簡諧運動，其位移x與時間t的關系圖像如圖所示，由圖可知(　　)
A．質點振動的頻率是4 Hz，振幅是2 cm
B．質點經過1 s通過的路程總是2 cm
C．0～3 s內，質點通過的路程為6 cm
D．t＝3 s時，質點的振幅為零
答案　C
解析　由題圖可以直接看出振幅為2 cm，周期為4 s，所以頻率為0.25 Hz，故A錯誤；質點在1 s即個周期內通過的路程不一定等于一個振幅，故B錯誤；t＝0時質點在正向最大位移處，0～3 s為T，則質點通過的路程為3A＝6 cm，故C正確；振幅為質點偏離平衡位置的最大距離，與質點的位移有本質的區別，t＝3 s時，質點的位移為零，但振幅仍為2 cm，故D錯誤。
個周期內路程與振幅的關系
1．振動物體在個周期內的路程不一定等于一個振幅A。只有當初始時刻振動物體在平衡位置或最大位移處時，個周期內的路程才等于一個振幅。
2．當振動物體初始時刻不在平衡位置或最大位移處時，若振動物體開始時運動的方向指向平衡位置，則質點在個周期內的路程大于A，若振動物體開始時運動的方向遠離平衡位置，則振動物體在個周期內的路程小于A。
二、簡諧運動的相位、表達式
如圖所示，兩個由完全相同的彈簧和小球組成的振子懸掛在一起，試分析以下問題：
(1)將兩個小球向下拉相同的距離后同時放開，可以看到什么現象？
(2)若當第一個小球到達平衡位置時再釋放第二個，可以看到什么現象？
(3)在問題(2)中，兩個小球振動的位移隨時間變化的表達式x＝Asin(ωt＋φ)中哪個量不同？相差多少？
答案　(1)兩個小球在相同位置同時釋放，除振幅和周期都相同外，還總是向同一方向運動，同時經過平衡位置，并同時到達同一側的最大位移處。兩個小球的振動步調完全一致。
(2)當第一個小球到達最高點時，第二個剛剛到達平衡位置，而當第二個小球到達最高點時，第一個已經返回平衡位置了。與第一個小球相比，第二個小球總是滯后個周期，或者說總是滯后個全振動。
(3)兩振子A、ω相同，但φ不同，且(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝×2π，即φ1－φ2＝。
1．相位
(1)概念：物理學中把(ωt＋φ)叫作相位，其中φ是t＝0時的相位，叫初相位，或初相。
(2)意義：描述做簡諧運動的物體某時刻在一個運動周期中的狀態。
(3)相位差：兩個具有相同頻率的簡諧運動的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
2．簡諧運動的表達式
x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(t＋φ0)，其中：x表示振動物體在t時刻離開平衡位置的位移，A為振幅，ω為圓頻率，T為簡諧運動的周期，φ0為初相位。
1．相位
相位ωt＋φ代表了做簡諧運動的物體在各個不同時刻所處的狀態。它是一個隨時間變化的量，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動。
2．相位差
頻率相同的兩個簡諧運動有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明兩個物體運動步調相同，即同相；
若Δφ＝π，表明兩個物體運動步調相反，即反相。
3．簡諧運動的表達式x＝Asin(t＋φ)
(1)表達式反映了做簡諧運動的物體的位移x隨時間t的變化規律。
(2)從表達式x＝Asin(ωt＋φ)體會簡諧運動的周期性。當Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ時，Δt＝＝nT，振子位移相同，每經過一個周期T完成一次全振動。
例3　(2023·江蘇省常熟中學高二期中)如圖所示，彈簧振子在a、b兩點間做簡諧振動，振幅為A＝10 cm，振動周期為0.2 s，t＝0時振子從平衡位置O開始向a運動，選向左為正方向。
(1)寫出振子振動方程；
(2)求經過2.1 s振子通過的路程。
答案　(1)x＝10sin 10πt(cm)　(2)420 cm
解析　(1)設振子振動方程為x＝Asin t(cm)
代入數據得x＝10sin 10πt(cm)
(2)時間t＝2.1 s＝10T＋T
經過2.1 s振子通過的路程s＝(4×10＋2)A＝420 cm。
例4　有一個彈簧振子，振幅為0.8 cm，周期為0.5 s，初始時具有負方向的最大加速度，則它的振動方程是(　　)
A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m
B．x＝8×10－3sin(4πt－) m
C．x＝8×10－3sin(πt＋) m
D．x＝8×10－3sin(t＋) m
答案　A
解析　由題可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，可得ω＝＝4π rad/s，初始時刻具有負方向的最大加速度，則初始時位于正向最大位移處，初相位φ0＝，得彈簧振子的振動方程為x＝8×10－3sin(4πt＋) m，A正確。
三、簡諧運動的周期性與對稱性
簡諧運動是一種周期性的運動，簡諧運動的物理量隨時間周期性變化，如圖所示，物體在A、B兩點間做簡諧運動，O點為平衡位置，OC＝OD。
(1)時間的對稱
①物體來回通過相同兩點間的時間相等，即tDB＝tBD。
②物體經過關于平衡位置對稱的等長的兩段路程的時間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的對稱
①物體連續兩次經過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反。
②物體經過關于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的對稱
①物體經過同一點(如C點)時，位移相同。
②物體經過關于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，位移大小相等、方向相反。
例5　彈簧振子以O點為平衡位置做簡諧運動，從小球通過O點時開始計時，小球第一次到達M點用了0.3 s，又經過0.2 s第二次通過M點，則小球第三次通過M點還要經過的時間可能是(　　)
A． s B． s
C．1.5 s D．1.6 s
答案　A
解析　假設彈簧振子在B、C之間振動，M點在O點的右側，如圖甲，若小球開始先向左振動，小球的振動周期為T＝×4 s＝ s，則小球第三次通過M點還要經過的時間是t＝ s－0.2 s＝ s。如圖乙，若小球開始先向右振動，小球的振動周期為T＝4×(0.3＋) s＝1.6 s，則小球第三次通過M點還要經過的時間是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A正確。
1．周期性造成多解：物體經過同一位置可以對應不同的時刻，物體的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這樣就形成簡諧運動的多解問題。
2．對稱性造成多解：由于簡諧運動具有對稱性，因此當物體通過兩個對稱位置時，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，也會形成多解問題。

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