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3　簡諧運動的回復力和能量
[學習目標]　1.理解回復力的概念，知道回復力在機械振動中的特征(重點)。2.會用動力學方法分析簡諧運動中位移、回復力、速度、加速度的變化規(guī)律(重點)。3.會用能量守恒的觀點分析水平彈簧振子在振動過程中動能、勢能、總能量的變化規(guī)律(重難點)。
一、簡諧運動的回復力
如圖所示為水平方向的彈簧振子模型。
(1)當小球離開O點后，是什么力使其回到平衡位置的？
(2)使小球回到平衡位置的力與小球離開平衡位置的位移的大小及方向有何關(guān)系？
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1．回復力
(1)定義：使振動物體回到______________的力。
(2)方向：總是指向________________。
(3)表達式：F＝________。式中“－”號表示F與x方向相反。
2．簡諧運動
理論上可以證明，如果物體所受的力具有__________的形式，物體就做簡諧運動。也就是說：如果物體在運動方向上所受的力與它偏離平衡位置_______的大小成_______，并且總是指向________________，質(zhì)點的運動就是簡諧運動。
在勁度系數(shù)為k，原長為L0的固定于一點的彈簧下端掛一質(zhì)量為m的小球，釋放后小球做上下振動，彈簧始終沒有超出彈性限度，小球的振動是簡諧運動嗎？如果是，什么力充當回復力？
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1．回復力的性質(zhì)
回復力是根據(jù)力的效果命名的，可能由合力、某個力或某個力的分力提供，它一定等于振動物體在振動方向上所受的合力。例如：如圖甲所示，水平方向的彈簧振子，彈簧彈力充當回復力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子，彈簧彈力和重力的合力充當回復力；如圖丙所示，在光滑地面上質(zhì)量為m的木塊隨質(zhì)量為M的滑塊一起振動，木塊的回復力由靜摩擦力提供。
2．簡諧運動的回復力公式中，k是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁度系數(shù)，其值由振動系統(tǒng)決定，與振幅無關(guān)。例如丙圖中，木塊做簡諧運動的回復力F＝－x＝－kx，其中比例系數(shù)k和彈簧的勁度系數(shù)k0不同。
3．簡諧運動的加速度
由F＝－kx及牛頓第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a與位移x的大小成正比，方向與位移方向相反。
(1)小球做簡諧運動，它的位移方向和加速度的方向相反。(　　)
(2)回復力的大小與速度的大小無關(guān)，速度增大時，回復力可能增大，也可能減小。(　　)
例1　如圖所示，彈簧振子在光滑水平桿上的A、B之間做往復運動，下列說法正確的是(　　)
A．彈簧振子運動過程中受重力、支持力和彈簧彈力的作用
B．彈簧振子運動過程中受重力、支持力、彈簧彈力和回復力的作用
C．小球由A向O運動過程中，回復力逐漸增大
D．小球由O向B運動過程中，回復力的方向指向B位置
例2　(2022·江蘇亭湖高中高二期中)如圖所示，勁度系數(shù)為k的彈簧上端固定在天花板上，下端掛一質(zhì)量為m的小球，小球靜止后，再向下將彈簧拉長x，然后放手，小球開始振動。
(1)請證明小球的振動為簡諧運動；
(2)求小球運動到最高點的加速度。
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判斷振動物體是否做簡諧運動的方法
1．振動物體的回復力滿足F＝－kx；
2．振動物體的位移x與時間t滿足x＝Asin (t＋φ)函數(shù)關(guān)系
3．物體的振動圖像是正弦曲線。
二、簡諧運動的能量
如圖所示為水平彈簧振子，小球在A、B之間做往復運動。
(1)從A到B的運動過程中，小球的動能如何變化？彈簧彈性勢能如何變化？振動系統(tǒng)的總機械能是否變化？
(2)如果使小球振動的振幅增大，小球回到平衡位置的動能是否增大？振動系統(tǒng)的機械能是否增大？振動系統(tǒng)的機械能的大小與什么因素有關(guān)？
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1．能量轉(zhuǎn)化
彈簧振子運動的過程就是______和______互相轉(zhuǎn)化的過程。
(1)在最大位移處，______最大，______為零。
(2)在平衡位置處，______最大，______最小。
2．能量特點
在簡諧運動中，振動系統(tǒng)的機械能______，而在實際運動中都有一定的能量損耗，因此簡諧運動是一種____________的模型。
3．對于彈簧的勁度系數(shù)和小球質(zhì)量都一定的系統(tǒng)，________越大，機械能越大。
如圖所示，A、B兩個物體與輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)在光滑水平面上M、N兩點間做簡諧運動，A、B間無相對運動，平衡位置為O。
(1)當物體運動到M點時拿走A物體，振動系統(tǒng)的最大動能有什么變化？
(2)當物體運動到O點時拿走A物體，振動系統(tǒng)的最大彈性勢能有什么變化？
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1．簡諧運動的能量由振動系統(tǒng)和振幅決定，對同一個振動系統(tǒng)，振幅越大，能量越大。
2．在振動的一個周期內(nèi)，動能和勢能完成兩次周期性變化。物體的位移減小時，勢能轉(zhuǎn)化為動能，位移增大時，動能轉(zhuǎn)化為勢能。
(1)在簡諧運動中，任意時刻的動能與勢能之和保持不變。(　　)
(2)振幅越大的彈簧振子，系統(tǒng)機械能也一定越大。(　　)
(3)物體在向平衡位置運動時，由于物體振幅減小，故總機械能減小。(　　)
例3　在光滑斜面上的物塊A被平行于斜面的輕彈簧拉住靜止于O點，如圖所示。現(xiàn)將物塊A沿斜面拉到B點無初速度釋放，物塊A在B、C范圍內(nèi)做簡諧運動，則下列說法正確的是(　　)
A．OB越長，系統(tǒng)的機械能越小
B．在運動過程中，物塊A的機械能守恒
C．物塊A與輕彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)的勢能，當物塊A在C點時最大，當物塊A在O點時最小
D．物塊A與輕彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)的勢能，當物塊A在C點時最大，當物塊A在B點時最小
例4　如圖所示為某個彈簧振子做簡諧運動的振動圖像，由圖像可知(　　)
A．在0.1 s時，由于位移為零，所以彈簧振子的能量為零
B．在0.2 s時，彈簧振子具有最大勢能
C．在0.35 s時，彈簧振子的能量尚未達到最大值
D．在0.4 s時，振子的動能最大
三、簡諧運動中各物理量的變化
如圖所示的彈簧振子，O為平衡位置，B、C為最大位移位置，以向右的方向為正方向，則振子從B運動到O的過程中，位移方向為______，大小逐漸______；回復力方向為______，大小逐漸______；振子速度方向為________，大小逐漸________；動能逐漸______；勢能逐漸______。(均選填“正”“負”“增大”或“減小”)
1.如圖所示為水平的彈簧振子示意圖。
(1)當小球遠離平衡位置過程中，位移增大，回復力、加速度和勢能增大，速度和動能減小；當小球衡位置過程中，位移減小，回復力、加速度和勢能減小，速度和動能增大。
(2)當小球位于A′到O點之間時，位移方向向左，回復力和加速度方向均向右；當小球位于O到A點之間時位移方向向右，回復力和加速度方向均向左；A′→O→A過程中，速度方向向右，A→O→A′過程中，速度方向向左。
2．說明：(1)簡諧運動中各個物理量對應(yīng)關(guān)系不同。位置不同，則位移不同，加速度、回復力不同，但是速度、動能、勢能可能相同，也可能不同，關(guān)鍵看各矢量的方向性。
(2)簡諧運動中的最大位移處，F(xiàn)、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置處，F(xiàn)＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。
(1)當做簡諧運動的物體的位移減小時，其速度和加速度的方向一定相同。(　　)
(2)當做簡諧運動的物體的速度變化最快時，其動能最大。(　　)
(3)當做簡諧運動的物體的加速度與速度反向時，其回復力正在減小。(　　)
(4)在做簡諧運動的物體的動能相等的兩個時刻，其加速度一定相同。(　　)
例5　(2022·江蘇徐州市高二期末)將彈簧一端固定在鐵架臺的支架上，另一端和手機相連。將手機由靜止狀態(tài)豎直下拉一段距離后釋放。手機內(nèi)置的加速度傳感器記錄下手機上下振動時加速度與時間的關(guān)系(取豎直向下為加速度的正方向)，如圖所示。則(　　)
A．a(chǎn)、b對應(yīng)時刻，手機的速度相同
B．a(chǎn)、c對應(yīng)時刻，手機振動的回復力相同
C．從c到b對應(yīng)的時間為半個周期
D．從a到c對應(yīng)的時間內(nèi)，彈簧的彈性勢能先減小后增大
分析簡諧運動中各物理量變化情況的技巧
1．分析簡諧運動中各物理量的變化情況時，一定要以位移為橋梁，位移增大時，回復力、加速度、勢能均增大，速度、動能均減小；反之，則產(chǎn)生相反的變化。另外，各矢量均在其值為零時改變方向。
2．分析過程中要特別注意簡諧運動的周期性和對稱性。位移相同時，回復力、加速度、動能、勢能可以確定，但速度可能有兩個方向，由于周期性，運動時間也不確定。
3　簡諧運動的回復力和能量
[學習目標]　1.理解回復力的概念，知道回復力在機械振動中的特征(重點)。2.會用動力學方法分析簡諧運動中位移、回復力、速度、加速度的變化規(guī)律(重點)。3.會用能量守恒的觀點分析水平彈簧振子在振動過程中動能、勢能、總能量的變化規(guī)律(重難點)。
一、簡諧運動的回復力
如圖所示為水平方向的彈簧振子模型。
(1)當小球離開O點后，是什么力使其回到平衡位置的？
(2)使小球回到平衡位置的力與小球離開平衡位置的位移的大小及方向有何關(guān)系？
答案　(1)彈簧的彈力使小球回到平衡位置。
(2)彈簧彈力與位移大小成正比，方向與位移方向相反。
1．回復力
(1)定義：使振動物體回到平衡位置的力。
(2)方向：總是指向平衡位置。
(3)表達式：F＝－kx。式中“－”號表示F與x方向相反。
2．簡諧運動
理論上可以證明，如果物體所受的力具有F＝－kx的形式，物體就做簡諧運動。也就是說：如果物體在運動方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，質(zhì)點的運動就是簡諧運動。
在勁度系數(shù)為k，原長為L0的固定于一點的彈簧下端掛一質(zhì)量為m的小球，釋放后小球做上下振動，彈簧始終沒有超出彈性限度，小球的振動是簡諧運動嗎？如果是，什么力充當回復力？
答案　規(guī)定向下為正方向，在平衡位置b點，有mg＝kx0，小球在c點受到的彈力大小為F′＝k(x＋x0)，小球在c點的回復力F＝mg－F′＝mg－k(x＋x0)＝mg－kx－kx0＝－kx，回復力滿足F＝－kx，是簡諧運動。彈簧彈力和重力的合力充當回復力。
1．回復力的性質(zhì)
回復力是根據(jù)力的效果命名的，可能由合力、某個力或某個力的分力提供，它一定等于振動物體在振動方向上所受的合力。例如：如圖甲所示，水平方向的彈簧振子，彈簧彈力充當回復力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子，彈簧彈力和重力的合力充當回復力；如圖丙所示，在光滑地面上質(zhì)量為m的木塊隨質(zhì)量為M的滑塊一起振動，木塊的回復力由靜摩擦力提供。
2．簡諧運動的回復力公式中，k是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁度系數(shù)，其值由振動系統(tǒng)決定，與振幅無關(guān)。例如丙圖中，木塊做簡諧運動的回復力F＝－x＝－kx，其中比例系數(shù)k和彈簧的勁度系數(shù)k0不同。
3．簡諧運動的加速度
由F＝－kx及牛頓第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a與位移x的大小成正比，方向與位移方向相反。
(1)小球做簡諧運動，它的位移方向和加速度的方向相反。(　√　)
(2)回復力的大小與速度的大小無關(guān)，速度增大時，回復力可能增大，也可能減小。(　×　)
例1　如圖所示，彈簧振子在光滑水平桿上的A、B之間做往復運動，下列說法正確的是(　　)
A．彈簧振子運動過程中受重力、支持力和彈簧彈力的作用
B．彈簧振子運動過程中受重力、支持力、彈簧彈力和回復力的作用
C．小球由A向O運動過程中，回復力逐漸增大
D．小球由O向B運動過程中，回復力的方向指向B位置
答案　A
解析　彈簧振子運動過程中受重力、支持力和彈簧彈力，回復力是根據(jù)效果命名的力，它是由物體受到的具體的力所提供的，在此情景中彈簧的彈力充當回復力，故A正確，B錯誤；回復力與位移的大小成正比，由A向O運動過程中位移的大小在減小，故此過程回復力逐漸減小，故C錯誤；回復力總是指向平衡位置，故D錯誤。
例2　(2022·江蘇亭湖高中高二期中)如圖所示，勁度系數(shù)為k的彈簧上端固定在天花板上，下端掛一質(zhì)量為m的小球，小球靜止后，再向下將彈簧拉長x，然后放手，小球開始振動。
(1)請證明小球的振動為簡諧運動；
(2)求小球運動到最高點的加速度。
答案　(1)見解析　(2)，方向豎直向下
解析　(1)取豎直向下為正方向，當小球到達平衡位置時，設(shè)彈簧伸長了x0，
則有mg＝kx0
當小球向下偏離平衡位置x時有
F回＝mg－k(x0＋x)，
解得F回＝－kx
故小球的振動為簡諧運動。
(2)由簡諧運動的對稱性得，小球在最高點和最低點的加速度大小相等，方向相反。在最低點時，對小球受力分析，
由牛頓第二定律得mg－k(x0＋x)＝ma，
解得小球運動到最低點時的加速度大小為a＝
故小球運動到最高點時的加速度大小為a＝，方向豎直向下。
判斷振動物體是否做簡諧運動的方法
1．振動物體的回復力滿足F＝－kx；
2．振動物體的位移x與時間t滿足x＝Asin (t＋φ)函數(shù)關(guān)系
3．物體的振動圖像是正弦曲線。
二、簡諧運動的能量
如圖所示為水平彈簧振子，小球在A、B之間做往復運動。
(1)從A到B的運動過程中，小球的動能如何變化？彈簧彈性勢能如何變化？振動系統(tǒng)的總機械能是否變化？
(2)如果使小球振動的振幅增大，小球回到平衡位置的動能是否增大？振動系統(tǒng)的機械能是否增大？振動系統(tǒng)的機械能的大小與什么因素有關(guān)？
答案　(1)小球的動能先增大后減小；彈簧的彈性勢能先減小后增大；總機械能保持不變。
(2)小球回到平衡位置的動能增大；振動系統(tǒng)的機械能增大；振動系統(tǒng)的機械能與彈簧的勁度系數(shù)和振幅有關(guān)。
1．能量轉(zhuǎn)化
彈簧振子運動的過程就是動能和勢能互相轉(zhuǎn)化的過程。
(1)在最大位移處，勢能最大，動能為零。
(2)在平衡位置處，動能最大，勢能最小。
2．能量特點
在簡諧運動中，振動系統(tǒng)的機械能守恒，而在實際運動中都有一定的能量損耗，因此簡諧運動是一種理想化的模型。
3．對于彈簧的勁度系數(shù)和小球質(zhì)量都一定的系統(tǒng)，振幅越大，機械能越大。
如圖所示，A、B兩個物體與輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)在光滑水平面上M、N兩點間做簡諧運動，A、B間無相對運動，平衡位置為O。
(1)當物體運動到M點時拿走A物體，振動系統(tǒng)的最大動能有什么變化？
(2)當物體運動到O點時拿走A物體，振動系統(tǒng)的最大彈性勢能有什么變化？
答案　(1)不變，在M點時，系統(tǒng)的動能為零，彈性勢能最大，拿走A物體后，振動系統(tǒng)的彈性勢能不變，總能量不變，最大動能也不發(fā)生變化。
(2)變小，在O點時彈簧彈性勢能為零，振動系統(tǒng)的動能最大，拿走A物體后，振動系統(tǒng)的最大動能減小，總能量減小，最大彈性勢能也將減小。
1．簡諧運動的能量由振動系統(tǒng)和振幅決定，對同一個振動系統(tǒng)，振幅越大，能量越大。
2．在振動的一個周期內(nèi)，動能和勢能完成兩次周期性變化。物體的位移減小時，勢能轉(zhuǎn)化為動能，位移增大時，動能轉(zhuǎn)化為勢能。
(1)在簡諧運動中，任意時刻的動能與勢能之和保持不變。(　√　)
(2)振幅越大的彈簧振子，系統(tǒng)機械能也一定越大。(　×　)
(3)物體在向平衡位置運動時，由于物體振幅減小，故總機械能減小。(　×　)
例3　在光滑斜面上的物塊A被平行于斜面的輕彈簧拉住靜止于O點，如圖所示。現(xiàn)將物塊A沿斜面拉到B點無初速度釋放，物塊A在B、C范圍內(nèi)做簡諧運動，則下列說法正確的是(　　)
A．OB越長，系統(tǒng)的機械能越小
B．在運動過程中，物塊A的機械能守恒
C．物塊A與輕彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)的勢能，當物塊A在C點時最大，當物塊A在O點時最小
D．物塊A與輕彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)的勢能，當物塊A在C點時最大，當物塊A在B點時最小
答案　C
解析　做簡諧運動的物體的機械能跟振幅有關(guān)，對確定的振動系統(tǒng)，振幅越大，系統(tǒng)的機械能越大，A錯誤；在簡諧運動中，系統(tǒng)機械能守恒，但物塊A的重力勢能與動能總和不斷變化，物塊A的機械能不守恒，B錯誤；在簡諧運動中，系統(tǒng)在最大位移處勢能最大，在平衡位置處動能最大，勢能最小，C正確，D錯誤。
例4　如圖所示為某個彈簧振子做簡諧運動的振動圖像，由圖像可知(　　)
A．在0.1 s時，由于位移為零，所以彈簧振子的能量為零
B．在0.2 s時，彈簧振子具有最大勢能
C．在0.35 s時，彈簧振子的能量尚未達到最大值
D．在0.4 s時，振子的動能最大
答案　B
解析　彈簧振子做簡諧運動，彈簧振子的能量不變，不為零，A錯；在0.2 s時位移最大，彈簧振子具有最大勢能，B對；彈簧振子的能量不變，在0.35 s時彈簧振子的能量與其他時刻相同，C錯；在0.4 s時振子的位移最大，動能為零，D錯。
三、簡諧運動中各物理量的變化
如圖所示的彈簧振子，O為平衡位置，B、C為最大位移位置，以向右的方向為正方向，則振子從B運動到O的過程中，位移方向為________，大小逐漸________；回復力方向為________，大小逐漸________；振子速度方向為________，大小逐漸________；動能逐漸________；勢能逐漸______。(均選填“正”“負”“增大”或“減小”)
答案　正　減小　負　減小　負　增大　增大　減小
1.如圖所示為水平的彈簧振子示意圖
。
(1)當小球遠離平衡位置過程中，位移增大，回復力、加速度和勢能增大，速度和動能減小；當小球衡位置過程中，位移減小，回復力、加速度和勢能減小，速度和動能增大。
(2)當小球位于A′到O點之間時，位移方向向左，回復力和加速度方向均向右；當小球位于O到A點之間時位移方向向右，回復力和加速度方向均向左；A′→O→A過程中，速度方向向右，A→O→A′過程中，速度方向向左。
2．說明：(1)簡諧運動中各個物理量對應(yīng)關(guān)系不同。位置不同，則位移不同，加速度、回復力不同，但是速度、動能、勢能可能相同，也可能不同，關(guān)鍵看各矢量的方向性。
(2)簡諧運動中的最大位移處，F(xiàn)、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置處，F(xiàn)＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。
(1)當做簡諧運動的物體的位移減小時，其速度和加速度的方向一定相同。(　√　)
(2)當做簡諧運動的物體的速度變化最快時，其動能最大。(　×　)
(3)當做簡諧運動的物體的加速度與速度反向時，其回復力正在減小。(　×　)
(4)在做簡諧運動的物體的動能相等的兩個時刻，其加速度一定相同。(　×　)
例5　(2022·江蘇徐州市高二期末)將彈簧一端固定在鐵架臺的支架上，另一端和手機相連。將手機由靜止狀態(tài)豎直下拉一段距離后釋放。手機內(nèi)置的加速度傳感器記錄下手機上下振動時加速度與時間的關(guān)系(取豎直向下為加速度的正方向)，如圖所示。則(　　)
A．a(chǎn)、b對應(yīng)時刻，手機的速度相同
B．a(chǎn)、c對應(yīng)時刻，手機振動的回復力相同
C．從c到b對應(yīng)的時間為半個周期
D．從a到c對應(yīng)的時間內(nèi)，彈簧的彈性勢能先減小后增大
答案　C
解析　由題意和圖像可知，a、b對應(yīng)時刻，手機速度大小相等、方向相反，故A錯誤；a時刻手機在平衡位置上方，回復力向下，c時刻手機在平衡位置下方，回復力向上，方向相反，故B錯誤；c、b兩時刻加速度等大反向，再根據(jù)圖像的特點可以看出兩個時刻的時間間隔為半個周期，故C正確；從a到c對應(yīng)的時間內(nèi)，手機的加速度從向下的逐漸變?yōu)橄蛏系模墒芰Ψ治隹芍獜椈梢恢碧幱谏扉L狀態(tài)，伸長量在增大，故彈簧彈性勢能一直增大，故D錯誤。
分析簡諧運動中各物理量變化情況的技巧
1．分析簡諧運動中各物理量的變化情況時，一定要以位移為橋梁，位移增大時，回復力、加速度、勢能均增大，速度、動能均減小；反之，則產(chǎn)生相反的變化。另外，各矢量均在其值為零時改變方向。
2．分析過程中要特別注意簡諧運動的周期性和對稱性。位移相同時，回復力、加速度、動能、勢能可以確定，但速度可能有兩個方向，由于周期性，運動時間也不確定。

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