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4　單擺
[學習目標]　1.理解單擺模型和單擺做簡諧運動的條件，知道單擺振動時回復力的來源(重點)。2.理解影響單擺周期的因素，能熟練應用單擺周期公式解決問題(重難點)。
一、單擺的回復力
如圖所示，一根細線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個很小的夾角，然后釋放，小球在A、A′間來回擺動，不計空氣的阻力。
(1)小球擺動過程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回復力？
(3)小球經過平衡位置O點時回復力為零，合外力也為零嗎？
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1．單擺的組成：由細線和________組成。
2．理想化模型
(1)細線的質量與小球相比可以忽略。
(2)小球的______與線的長度相比可以忽略。
(3)細線的____________與細線長度相比可以忽略。
(4)空氣阻力與小球的________及細線的________相比可以忽略。
3．單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿____________方向的分力，即F＝____________。
(2)回復力的特點：在擺角很________時，擺球所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成________，方向總指向________________，即F＝－x。從回復力特點可以判斷單擺做簡諧運動。
判斷下列5幅圖中的擺動模型能否看成單擺？若不能，請說明原因。
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單擺做簡諧運動的推證
在偏角很小時，用弧度表示的θ與它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈，因此單擺的回復力可表示為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負號表示回復力F與位移x的方向相反)，由此知回復力符合F＝－kx，單擺做簡諧運動。
(1)擺球受到重力、拉力、向心力、回復力四個力的作用。(　　)
(2)單擺運動的回復力是重力和擺線拉力的合力。(　　)
(3)單擺經過平衡位置時受到的合力為零。(　　)
(4)單擺擺動到最高點時速度為零，合外力也為零。(　　)
例1　(2023·山東省青島一中月考)圖中O點為單擺的固定懸點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A．擺球受到重力、拉力、回復力三個力的作用
B．擺球在A點和C點處，速度為零，回復力也為零
C．擺球在B點處，速度最大，細線拉力也最大
D．擺球在B點處，速度最大，回復力也最大
例2　如圖所示，圖甲為一單擺，擺球質量為m，擺長為L，做小角度擺動，擺角為θ(θ<5°)，重力加速度為g，不計空氣阻力，圖乙是某次小球從左端由靜止釋放，擺球第一次由左向右通過平衡位置開始計時，位移x隨時間t變化的圖像，求：
(1)剛釋放時小球的回復力；
(2)t＝1.5 s時小球的位置和0～1.5 s內的路程。
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二、單擺的周期
1．單擺振動的周期與擺球質量________(選填“有關”或“無關”)，在振幅較小時與振幅________(選填“有關”或“無關”)，但與擺長________(選填“有關”或“無關”)，擺長越長，周期______(選填“越大”“越小”或“不變”)。
2．單擺周期公式
(1)提出：單擺周期公式是荷蘭物理學家____________首先提出的。
(2)公式：T＝2π，即周期T與擺長l的二次方根成________，與重力加速度g的二次方根成________，而與振幅、擺球質量________。
惠更斯利用擺的等時性發明了帶擺的計時器，叫擺鐘。擺鐘運行時克服摩擦所需的能量由重錘的勢能提供，運行的速率由鐘擺控制。旋轉鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿擺桿上下移動。請思考：
(1)擺針走時偏快應如何校準？
(2)將一個走時準確的擺鐘從福建移到北京，擺鐘應如何校準？
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對單擺周期公式的理解
1．成立條件：單擺偏角很小(偏角小于5°)。
2．影響因素：周期T只與l和g有關，與擺球質量m及振幅無關，所以單擺的周期也叫固有周期。
3．對l、g的理解
(1)公式中l是擺長，即懸點到擺球球心的距離。
①普通單擺，擺長l＝l′＋，l′為擺線長，D為擺球直徑。
②等效擺長：(a)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為lsin α，其周期T＝2π。(b)圖中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內小角度擺動時，等效擺長等于丙擺的擺長。
(2)①公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
②等效重力加速度：一般情況下，公式中g的值等于擺球靜止在平衡位置時，擺線的拉力與擺球質量的比值。
(1)擺球的質量越大，周期越大。(　　)
(2)若單擺的振幅變為原來的一半，則周期也將變為原來的一半。(　　)
例3　周期是2 s的單擺叫秒擺，秒擺的擺長是多少？把一個地球上的秒擺拿到月球上去，它在月球上做50次全振動要用多長時間？已知地球表面的重力加速度為9.8 m/s2，月球上的自由落體加速度為1.6 m/s2，π2取9.8。
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例4　(2022·江蘇南京市高二期中)某一單擺的位移－時間圖像如圖所示，當地的重力加速度為9.8 m/s2，π2取9.8，則該單擺的(　　)
A．擺長為0.1 m B．周期為1.25 s
C．頻率為1 Hz D．振幅是0.2 m
例5　如圖所示，MN為半徑較大的光滑圓弧的一部分，把小球A放在MN的圓心處，再把另一個小球B放在MN上離最低點C很近的B處(弧BC所對圓心角小于5°)，今使兩小球同時靜止釋放，不計空氣阻力，則(　　)
A．球A先到達C點
B．球B先到達C點
C．兩球同時到達C點
D．無法確定哪個球先到達C點
針對訓練　如圖所示，幾個擺長相同的單擺，它們在不同條件下的周期分別為T1、T2、T3、T4，關于周期大小關系的判斷，正確的是(　　)
A．T1>T2>T3>T4 B．T1C．T1T2＝T3>T4
4　單擺
[學習目標]　1.理解單擺模型和單擺做簡諧運動的條件，知道單擺振動時回復力的來源(重點)。2.理解影響單擺周期的因素，能熟練應用單擺周期公式解決問題(重難點)。
一、單擺的回復力
如圖所示，一根細線上端固定，下端連接一個金屬小球，用手使小球偏離豎直方向一個很小的夾角，然后釋放，小球在A、A′間來回擺動，不計空氣的阻力。
(1)小球擺動過程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回復力？
(3)小球經過平衡位置O點時回復力為零，合外力也為零嗎？
答案　(1)小球受重力和細線的拉力作用。
(2)細線的拉力和重力沿徑向的分力的合力提供向心力。重力沿切線方向的分力提供小球振動的回復力。
(3)小球經過平衡位置時，做圓周運動，其合外力不為零。
1．單擺的組成：由細線和小球組成。
2．理想化模型
(1)細線的質量與小球相比可以忽略。
(2)小球的直徑與線的長度相比可以忽略。
(3)細線的形變量與細線長度相比可以忽略。
(4)空氣阻力與小球的重力及細線的拉力相比可以忽略。
3．單擺的回復力
(1)回復力的來源：擺球的重力沿圓弧切線方向的分力，即F＝mgsin θ。
(2)回復力的特點：在擺角很小時，擺球所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即F＝－x。從回復力特點可以判斷單擺做簡諧運動。
判斷下列5幅圖中的擺動模型能否看成單擺？若不能，請說明原因。
答案　均不能看成單擺。圖(a)(d)擺動過程中擺長會發生變化，圖(b)空氣阻力不能忽略，圖(c)球的直徑與繩的長度相比不能忽略，圖(e)繩的質量與小球相比不能忽略。
單擺做簡諧運動的推證
在偏角很小時，用弧度表示的θ與它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈，因此單擺的回復力可表示為F＝－x(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負號表示回復力F與位移x的方向相反)，由此知回復力符合F＝－kx，單擺做簡諧運動。
(1)擺球受到重力、拉力、向心力、回復力四個力的作用。(　×　)
(2)單擺運動的回復力是重力和擺線拉力的合力。(　×　)
(3)單擺經過平衡位置時受到的合力為零。(　×　)
(4)單擺擺動到最高點時速度為零，合外力也為零。(　×　)
例1　(2023·山東省青島一中月考)圖中O點為單擺的固定懸點，現將擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程中(　　)
A．擺球受到重力、拉力、回復力三個力的作用
B．擺球在A點和C點處，速度為零，回復力也為零
C．擺球在B點處，速度最大，細線拉力也最大
D．擺球在B點處，速度最大，回復力也最大
答案　C
解析　擺球在運動過程中只受到重力和拉力作用，A錯誤；擺球在擺動過程中，在最高點A、C處速度為零，回復力最大，合力不為零，在最低點B處，速度最大，回復力為零，細線的拉力最大，C正確，B、D錯誤。
例2　如圖所示，圖甲為一單擺，擺球質量為m，擺長為L，做小角度擺動，擺角為θ(θ<5°)，重力加速度為g，不計空氣阻力，圖乙是某次小球從左端由靜止釋放，擺球第一次由左向右通過平衡位置開始計時，位移x隨時間t變化的圖像，求：
(1)剛釋放時小球的回復力；
(2)t＝1.5 s時小球的位置和0～1.5 s內的路程。
答案　(1)mgsin θ　(2)最左端(或初始位置)　24 cm
解析　(1)對小球受力分析如圖所示
重力沿半徑方向分力參與提供向心力，而重力沿切線方向分力提供回復力，
有F＝G1＝mgsin θ
(2)根據x－t圖像，可得單擺的周期T＝2 s，而t＝1.5 s＝T
即單擺從平衡位置開始經過四分之三個周期的振動，即處于最左端(或初始位置)；
而路程為s＝3A＝3×8 cm＝24 cm。
二、單擺的周期
1．單擺振動的周期與擺球質量無關(選填“有關”或“無關”)，在振幅較小時與振幅無關(選填“有關”或“無關”)，但與擺長有關(選填“有關”或“無關”)，擺長越長，周期越大(選填“越大”“越小”或“不變”)。
2．單擺周期公式
(1)提出：單擺周期公式是荷蘭物理學家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2π，即周期T與擺長l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，而與振幅、擺球質量無關。
惠更斯利用擺的等時性發明了帶擺的計時器，叫擺鐘。擺鐘運行時克服摩擦所需的能量由重錘的勢能提供，運行的速率由鐘擺控制。旋轉鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿擺桿上下移動。請思考：
(1)擺針走時偏快應如何校準？
(2)將一個走時準確的擺鐘從福建移到北京，擺鐘應如何校準？
答案　(1)擺針走時偏快應調節螺母使圓盤沿擺桿下移。
(2)調節螺母使圓盤沿擺桿下移。
對單擺周期公式的理解
1．成立條件：單擺偏角很小(偏角小于5°)。
2．影響因素：周期T只與l和g有關，與擺球質量m及振幅無關，所以單擺的周期也叫固有周期。
3．對l、g的理解
(1)公式中l是擺長，即懸點到擺球球心的距離。
①普通單擺，擺長l＝l′＋，l′為擺線長，D為擺球直徑。
②等效擺長：(a)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為lsin α，其周期T＝2π。(b)圖中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內小角度擺動時，等效擺長等于丙擺的擺長。
(2)①公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
②等效重力加速度：一般情況下，公式中g的值等于擺球靜止在平衡位置時，擺線的拉力與擺球質量的比值。
(1)擺球的質量越大，周期越大。(　×　)
(2)若單擺的振幅變為原來的一半，則周期也將變為原來的一半。(　×　)
例3　周期是2 s的單擺叫秒擺，秒擺的擺長是多少？把一個地球上的秒擺拿到月球上去，它在月球上做50次全振動要用多長時間？已知地球表面的重力加速度為9.8 m/s2，月球上的自由落體加速度為1.6 m/s2，π2取9.8。
答案　1 m　175 s
解析　根據單擺周期公式T＝2π可得l＝
數據解得l＝ m＝1 m
秒擺搬到月球上，其與地球上的秒擺的周期關系為＝
它在月球上做50次全振動所用的時間為
t＝50T′＝50T＝50×2× s＝175 s。
例4　(2022·江蘇南京市高二期中)某一單擺的位移－時間圖像如圖所示，當地的重力加速度為9.8 m/s2，π2取9.8，則該單擺的(　　)
A．擺長為0.1 m B．周期為1.25 s
C．頻率為1 Hz D．振幅是0.2 m
答案　C
解析　由題圖讀出單擺的周期T＝1 s，由單擺周期公式T＝2π得擺長為l＝，解得l＝0.25 m，A、B錯誤；頻率為f＝＝1 Hz，C正確；振幅等于位移的最大值，由題圖讀出振幅為A＝0.1 m，D錯誤。
例5　如圖所示，MN為半徑較大的光滑圓弧的一部分，把小球A放在MN的圓心處，再把另一個小球B放在MN上離最低點C很近的B處(弧BC所對圓心角小于5°)，今使兩小球同時靜止釋放，不計空氣阻力，則(　　)
A．球A先到達C點
B．球B先到達C點
C．兩球同時到達C點
D．無法確定哪個球先到達C點
答案　A
解析　球A做自由落體運動，到達C點的時間為tA＝＝
當弧BC所對的圓心角小于5°時，球B在圓弧的支持力FN和重力G的作用下做簡諧運動(與單擺類似)，它的振動周期為T＝2π＝2π，
因此球B運動到C點所需的時間是
tB＝＝
故tA針對訓練　如圖所示，幾個擺長相同的單擺，它們在不同條件下的周期分別為T1、T2、T3、T4，關于周期大小關系的判斷，正確的是(　　)
A．T1>T2>T3>T4 B．T1C．T1T2＝T3>T4
答案　D
解析　根據單擺周期公式T＝2π可知單擺的周期與振幅和擺球質量無關，與擺長和重力加速度有關。題圖甲中沿斜面的加速度為a1＝gsin θ，所以周期T1＝2π，題圖乙中擺球所受的庫侖力始終沿擺線方向，回復力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，故擺球的等效重力加速度為a2＝g，所以周期T2＝2π，題圖丙中的周期T3＝2π，題圖丁中的等效重力加速度為a4＝g＋a，所以周期T4＝2π，故T1>T2＝T3>T4，故A、B、C錯誤，D正確。

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