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專題強化6　波的圖像與振動圖像的綜合問題及波的多解問題
[學習目標]　1.進一步理解波的圖像問題(重點)。2.知道波的圖像和振動圖像的區別與聯系，會區別并分析兩類圖像(重難點)。3.理解波的多解性，會分析波的綜合問題(重難點)。
一、波的圖像與振動圖像的綜合問題
1．波的圖像與振動圖像的異同點
振動圖像 波的圖像
不同點 圖像
物理意義 一個質點在不同時刻的振動位移 各質點在同一時刻的振動位移
研究對象 __________ 沿波傳播方向上的___________
坐標 橫坐標 時間 各質點的__________________
縱坐標 某一質點在________的振動位移 各質點在_________的振動位移
一個完整波形信息 周期T 波長λ
相同點 圖像形狀 正弦曲線
可獲取的信息 質點的振幅A及位移、速度、加速度的大小和方向
2.求解波的圖像與振動圖像綜合問題的三個關鍵
(1)分清振動圖像與波的圖像，橫坐標為x的是波的圖像，橫坐標為t的是振動圖像。
(2)看清橫、縱坐標的單位。尤其要注意單位前的數量級。
(3)找準波的圖像對應的時刻，找準振動圖像對應的質點。
例1　(2022·江蘇南通市高二期中)漁船上的聲吶利用超聲波來探測遠方魚群的方位。某漁船發出的一列超聲波在t＝0時的波動圖像如圖甲所示，圖乙為質點P的振動圖像，則(　　)
A．該波沿x軸負方向傳播
B．0～1 s時間內，質點P沿x軸運動了1.6 cm
C．該波的波速為1.6 m/s
D．在任意1 s的時間內，質點P運動的路程一定是2 m
例2　(2022·江蘇連云港市高二期中)如圖甲所示，t＝0時，一小船位于海面上的P點，一塊浮木漂在縱坐標y＝0.5 m的R點，其后小船的振動圖像如圖乙所示，可知(　　)
A．水波的振動向x軸負方向傳播
B．水波波速為4.8 m/s
C．1.2 s末，小船運動到Q點
D．1.5 s末，浮木向下運動
分析波的圖像與振動圖像的綜合問題，主要有以下兩個方面：
(1)由振動圖像確定波的周期(質點振動周期)，由波的圖像確定波長，進而計算波速。
(2)先在振動圖像中確定與波的圖像對應時刻質點的振動方向，然后根據波的圖像確定波的傳播方向。
例3　(2022·北京市第四十四中學期中)一列沿x軸傳播的簡諧橫波，t＝0時刻的波形圖如圖甲所示。圖乙表示x＝1.0 m處的質點的振動圖像，則
(1)求簡諧橫波傳播速度的大小；
(2)在圖丙中畫出平衡位置為x＝2.0 m處質點的振動圖像(從t＝0時刻開始計時，至少畫出一個周期)；
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(3)在圖丁中畫出簡諧橫波t＝0.3 s時的波形圖(至少畫出一個波長)。
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Δt后波形圖的畫法
1．特殊點法：找出波形圖一個波形中相鄰的幾個特殊點(如波峰、波谷、平衡位置等點)，畫出這些特殊點在Δt時刻的位置，然后用正、余弦曲線連起來畫出波形圖，如果Δt較長，可先表示為Δt＝nT＋Δt′。由于時間的周期性，可以去整留零，只需畫出特殊點在Δt′時刻的波形圖。特殊點法適用于特殊時間，Δt或Δt′必須為T的整數倍才好確定特殊點的位置來畫波形。特殊點法畫波形圖較為簡單易行。
2．平移法：算出波在Δt時間內傳播的距離Δx＝vΔt，把波形沿波的傳播方向平移Δx。如果Δx較大，可化為Δx＝nλ＋Δx′，由于波的空間周期性，可以去整留零，只需平移Δx′即可，平移波形后一定要注意把圖像補畫完整。
二、波的多解問題
1．波的傳播方向的雙向性形成多解
只要沒有指明機械波沿哪個方向傳播，就要討論兩個方向的可能性。
2．波的周期性形成多解
(1)時間周期性：相隔周期________倍時間的兩個時刻的波形圖______________，時間間隔Δt與周期T的關系不明確造成多解。
(2)空間周期性：將某一波形沿波的傳播方向平移波長的________倍距離，平移后的波形與原波形________________，若題中沒有給定傳播距離與波長的確切關系，則會引起答案的不確定性。
例4　(2022·江蘇徐州高二期末)在圖甲所示坐標系中，一彈性輕繩沿x軸水平放置，繩左端位于坐標原點，沿y軸振動，在x軸上形成一沿x軸正方向傳播的簡諧橫波。測得波源的振動傳到x1＝1.0 m的A質點用時t＝0.2 s。
(1)求繩波的波速大小；
(2)圖乙為繩上x1＝1.0 m、x2＝3.0 m處的A、B兩質點在一段時間內的振動圖像，求波源的振動頻率。
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例5　一列簡諧橫波圖像如圖所示，t1時刻的波形如圖中實線所示，t2時刻的波形如圖中虛線所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，
(1)這列波的周期可能是多大？
(2)這列波可能的波速表達式是怎樣的？
(3)若波向左傳播，且3T<Δt<4T，波速為多大？
(4)若波速v＝68 m/s，則波向哪個方向傳播？
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解決波的多解問題的一般思路
1．首先考慮傳播方向的雙向性：如果題目未說明波的傳播方向或沒有其他條件暗示，應首先按波傳播方向的可能性進行討論。
2．對設定的傳播方向，首先確定Δt和T(或確定Δx和λ)的關系，一般先確定最簡單的情況，即一個周期內(或一個波長內)的情況，然后在此基礎上加nT(或nλ)。
3．應注意題目是否有限制條件，如有的題目限制波的傳播方向，或限制時間Δt大于或小于一個周期等。所以解題時應綜合考慮，加強多解意識，認真分析題意。
專題強化6　波的圖像與振動圖像的綜合問題及波的多解問題
[學習目標]　1.進一步理解波的圖像問題(重點)。2.知道波的圖像和振動圖像的區別與聯系，會區別并分析兩類圖像(重難點)。3.理解波的多解性，會分析波的綜合問題(重難點)。
一、波的圖像與振動圖像的綜合問題
1．波的圖像與振動圖像的異同點
振動圖像 波的圖像
不同點 圖像
物理意義 一個質點在不同時刻的振動位移 各質點在同一時刻的振動位移
研究對象 一個質點 沿波傳播方向上的各質點
坐標 橫坐標 時間 各質點的平衡位置
縱坐標 某一質點在不同時刻的振動位移 各質點在同一時刻的振動位移
一個完整波形信息 周期T 波長λ
相同點 圖像形狀 正弦曲線
可獲取的信息 質點的振幅A及位移、速度、加速度的大小和方向
2.求解波的圖像與振動圖像綜合問題的三個關鍵
(1)分清振動圖像與波的圖像，橫坐標為x的是波的圖像，橫坐標為t的是振動圖像。
(2)看清橫、縱坐標的單位。尤其要注意單位前的數量級。
(3)找準波的圖像對應的時刻，找準振動圖像對應的質點。
例1　(2022·江蘇南通市高二期中)漁船上的聲吶利用超聲波來探測遠方魚群的方位。某漁船發出的一列超聲波在t＝0時的波動圖像如圖甲所示，圖乙為質點P的振動圖像，則(　　)
A．該波沿x軸負方向傳播
B．0～1 s時間內，質點P沿x軸運動了1.6 cm
C．該波的波速為1.6 m/s
D．在任意1 s的時間內，質點P運動的路程一定是2 m
答案　D
解析　由題圖乙知t＝0時質點P位于平衡位置沿y軸正向振動，由題圖甲根據波的平移法知該波沿x軸正方向傳播，故A錯誤；質點P不隨波遷移，不沿x軸運動，故B錯誤；由題圖甲知該波的波長λ＝1.6×10－2 m，由題圖乙知該波的周期T＝1×10－5 s，則該波的波速為v＝＝ m/s＝1.6×103 m/s，故C錯誤；由題圖甲知振幅為A＝5×10－6 m，在任意
1 s的時間內，質點P運動的路程s＝×4A＝×4×5×10－6 m＝2 m，故D正確。
例2　(2022·江蘇連云港市高二期中)如圖甲所示，t＝0時，一小船位于海面上的P點，一塊浮木漂在縱坐標y＝0.5 m的R點，其后小船的振動圖像如圖乙所示，可知(　　)
A．水波的振動向x軸負方向傳播
B．水波波速為4.8 m/s
C．1.2 s末，小船運動到Q點
D．1.5 s末，浮木向下運動
答案　D
解析　由題圖乙可知，t＝0時刻小船沿y軸正方向運動，由題圖甲知，所以水波向x軸正方向傳播，故A錯誤；由題圖甲、乙可知波的波長和周期分別為λ＝4 m、T＝1.2 s，所以水波波速為v＝＝ m/s，故B錯誤；小船只會在平衡位置附近振動，不會沿波的傳播方向移動，故C錯誤；t＝0時刻浮木正沿y軸負方向運動，因為1.5 s＝T＋，且t＝0時刻浮木位于平衡位置上方，所以1.5 s末，浮木向下運動，故D正確。
分析波的圖像與振動圖像的綜合問題，主要有以下兩個方面：
(1)由振動圖像確定波的周期(質點振動周期)，由波的圖像確定波長，進而計算波速。
(2)先在振動圖像中確定與波的圖像對應時刻質點的振動方向，然后根據波的圖像確定波的傳播方向。
例3　(2022·北京市第四十四中學期中)一列沿x軸傳播的簡諧橫波，t＝0時刻的波形圖如圖甲所示。圖乙表示x＝1.0 m處的質點的振動圖像，則
(1)求簡諧橫波傳播速度的大小；
(2)在圖丙中畫出平衡位置為x＝2.0 m處質點的振動圖像(從t＝0時刻開始計時，至少畫出一個周期)；
(3)在圖丁中畫出簡諧橫波t＝0.3 s時的波形圖(至少畫出一個波長)。
答案　(1)5 m/s　(2)見解析圖　(3)見解析圖
解析　(1)由題圖甲可知波長λ＝2 m，
由題圖乙可知周期T＝0.4 s，
則v＝＝5 m/s
(2)根據題圖甲和題圖乙判斷可知簡諧橫波向x軸正方向傳播，則x＝2.0 m處質點起振方向為y軸負方向，波長、振幅、周期與x＝1.0 m處的質點相同，則振動圖像如圖所示
(3)當t＝0.3 s時，波向前傳播的距離
x＝vt＝5 m/s×0.3 s＝1.5 m
則波的圖像如圖所示
Δt后波形圖的畫法
1．特殊點法：找出波形圖一個波形中相鄰的幾個特殊點(如波峰、波谷、平衡位置等點)，畫出這些特殊點在Δt時刻的位置，然后用正、余弦曲線連起來畫出波形圖，如果Δt較長，可先表示為Δt＝nT＋Δt′。由于時間的周期性，可以去整留零，只需畫出特殊點在Δt′時刻的波形圖。特殊點法適用于特殊時間，Δt或Δt′必須為T的整數倍才好確定特殊點的位置來畫波形。特殊點法畫波形圖較為簡單易行。
2．平移法：算出波在Δt時間內傳播的距離Δx＝vΔt，把波形沿波的傳播方向平移Δx。如果Δx較大，可化為Δx＝nλ＋Δx′，由于波的空間周期性，可以去整留零，只需平移Δx′即可，平移波形后一定要注意把圖像補畫完整。
二、波的多解問題
1．波的傳播方向的雙向性形成多解
只要沒有指明機械波沿哪個方向傳播，就要討論兩個方向的可能性。
2．波的周期性形成多解
(1)時間周期性：相隔周期整數倍時間的兩個時刻的波形圖完全重合，時間間隔Δt與周期T的關系不明確造成多解。
(2)空間周期性：將某一波形沿波的傳播方向平移波長的整數倍距離，平移后的波形與原波形完全重合，若題中沒有給定傳播距離與波長的確切關系，則會引起答案的不確定性。
例4　(2022·江蘇徐州高二期末)在圖甲所示坐標系中，一彈性輕繩沿x軸水平放置，繩左端位于坐標原點，沿y軸振動，在x軸上形成一沿x軸正方向傳播的簡諧橫波。測得波源的振動傳到x1＝1.0 m的A質點用時t＝0.2 s。
(1)求繩波的波速大小；
(2)圖乙為繩上x1＝1.0 m、x2＝3.0 m處的A、B兩質點在一段時間內的振動圖像，求波源的振動頻率。
答案　(1)5 m/s　(2)(2n＋1) Hz(n＝0,1,2，…)
解析　(1)波源的振動傳到x1＝1.0 m的A質點用時t＝0.2 s，
則波速大小v＝＝5 m/s
(2)由題圖乙發現，x1＝1.0 m、x2＝3.0 m處的A、B兩質點振動情況總是相反，故兩質點間的距離為半倍波長的奇數倍，有x2－x1＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)
解得λ＝ m(n＝0,1,2，…)
波源振動頻率f＝＝＝(2n＋1) Hz(n＝0,1,2，…)
例5　一列簡諧橫波圖像如圖所示，t1時刻的波形如圖中實線所示，t2時刻的波形如圖中虛線所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，
(1)這列波的周期可能是多大？
(2)這列波可能的波速表達式是怎樣的？
(3)若波向左傳播，且3T<Δt<4T，波速為多大？
(4)若波速v＝68 m/s，則波向哪個方向傳播？
答案　見解析
解析　(1)(2)由題圖可知波長λ＝8 m，
當波向右傳播時Δt＝nT1＋
T1＝ s(n＝0,1,2，…)
v右＝＝4(4n＋1) m/s(n＝0,1,2，…)
當波向左傳播時Δt＝nT2＋T2
T2＝ s(n＝0,1,2，…)
v左＝＝4(4n＋3) m/s(n＝0,1,2，…)。
(3)若波向左傳播，且3T<Δt<4T
則Δt＝3T，
得T＝ s，v1＝＝60 m/s
(4)Δt內波傳播的距離為：x＝vΔt＝68×0.5 m＝34 m＝4λ
故波向右傳播。
解決波的多解問題的一般思路
1．首先考慮傳播方向的雙向性：如果題目未說明波的傳播方向或沒有其他條件暗示，應首先按波傳播方向的可能性進行討論。
2．對設定的傳播方向，首先確定Δt和T(或確定Δx和λ)的關系，一般先確定最簡單的情況，即一個周期內(或一個波長內)的情況，然后在此基礎上加nT(或nλ)。
3．應注意題目是否有限制條件，如有的題目限制波的傳播方向，或限制時間Δt大于或小于一個周期等。所以解題時應綜合考慮，加強多解意識，認真分析題意。

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