資源簡介

專題強化3　彈簧—小球模型　滑塊—光滑斜(曲)面模型
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.進一步掌握用動量守恒定律、能量守恒定律解決碰撞問題的技巧(重點)。2.掌握兩類碰撞問題的解題方法(重難點)。
一、彈簧—小球模型
如圖所示，光滑水平面上靜止著一質(zhì)量為m2的剛性小球B，左端與水平輕質(zhì)彈簧相連，另有一質(zhì)量為m1的剛性小球A以速度v0向右運動，并與彈簧發(fā)生相互作用，兩球半徑相同，問：
(1)彈簧的彈性勢能什么情況下最大？最大為多少？
(2)兩球共速后，兩球的速度如何變化？彈簧長度如何變化？
(3)小球B的速度什么情況下最大？最大為多少？
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拓展延伸　(1)系統(tǒng)動能何時最小？求系統(tǒng)的動能的最小值。
(2)從小球與彈簧相互作用至彈簧恢復(fù)原狀的過程，系統(tǒng)動能何時最大？求系統(tǒng)的動能的最大值。
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對兩個(或兩個以上)物體與彈簧組成的系統(tǒng)，在相互作用的過程中，若系統(tǒng)合外力為零，則系統(tǒng)動量守恒。若接觸面光滑，彈簧和物體組成的系統(tǒng)機械能守恒。
1．彈簧處于最長(最短)狀態(tài)時兩物體速度相同，彈性勢能最大，系統(tǒng)動能通常最小(相當(dāng)于完全非彈性碰撞，兩物體減少的動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能)。
2．彈簧恢復(fù)原長時，彈性勢能為零，系統(tǒng)動能最大(相當(dāng)于剛完成彈性碰撞)。
例1　(2022·江蘇常熟市高二期中)如圖所示，足夠長的光滑水平直軌道上有物塊A、B、C，質(zhì)量分別為2m、m、m，B的左側(cè)固定一輕彈簧(不與A固定)，A、B共同以速度v0向C運動，彈簧處于原長，C靜止，B、C間發(fā)生彈性碰撞。求：
(1)B、C第一次碰撞后，C的速度大小vC；
(2)彈簧具有的最大彈性勢能Ep；
(3)整個運動過程中，B的動量變化量的大小Δp。
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針對訓(xùn)練　(2022·江蘇省阜寧中學(xué)高二期中)如圖甲所示，一輕彈簧的兩端與質(zhì)量分別為m1、m2的兩物塊A、B相連接，并靜止在光滑水平面上?，F(xiàn)使A獲得水平向右、大小為3 m/s的瞬時速度，從此刻開始計時，兩物塊的速度隨時間變化的規(guī)律如圖乙所示，從圖像提供的信息可得(　　)
A．在t1和t3時刻，兩物塊達到共同速度1 m/s，且彈簧分別處于壓縮和拉伸狀態(tài)
B．在t1～t2時間內(nèi)，A、B的距離逐漸增大，t2時刻彈簧的彈性勢能最大
C．兩物塊的質(zhì)量之比為m1∶m2＝2∶1
D．在t2時刻，A、B兩物塊的動能之比為Ek1∶Ek2＝1∶6
二、滑塊—光滑斜(曲)面模型
如圖所示，有一質(zhì)量為m的小球，以速度v0滑上靜置于光滑水平面上的光滑圓弧軌道。已知圓弧軌道的質(zhì)量為2m，小球在上升過程中始終未能沖出圓弧，重力加速度為g，試分析：
(1)在相互作用的過程中，小球和軌道組成的系統(tǒng)機械能是否守恒？總動量是否守恒？
(2)小球到達最高點時，小球與軌道的速度有什么關(guān)系？最大高度為多少？
(3)小球與軌道分離時兩者的速度分別是多少？
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在滑塊—光滑斜(曲)面模型中，若滑塊始終未脫離斜(曲)面
1．當(dāng)滑塊上升到最大高度時，滑塊與斜(曲)面具有共同水平速度v共。此時滑塊的豎直速度vy＝0。系統(tǒng)水平方向動量守恒，有mv0＝(M＋m)v共；系統(tǒng)機械能守恒，有mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h為滑塊上升的最大高度(相當(dāng)于完全非彈性碰撞，系統(tǒng)減少的動能轉(zhuǎn)化為滑塊的重力勢能)。
2．當(dāng)滑塊返回最低點時，滑塊與斜(曲)面分離。水平方向動量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；系統(tǒng)機械能守恒，有mv02＝mv12＋Mv22(相當(dāng)于完成了彈性碰撞)。
例2　如圖所示，在光滑的水平地面上停放著質(zhì)量為m的裝有弧形槽的小車?，F(xiàn)有一質(zhì)量也為m的小球以v0的水平速度沿與切線水平的槽口向小車滑去，不計一切摩擦，則(　　)
A．在相互作用的過程中，小車和小球組成的系統(tǒng)總動量守恒
B．小球從右側(cè)離開車后，對地將向右做平拋運動
C．小球從右側(cè)離開車后，對地將做自由落體運動
D．小球從右側(cè)離開車后，小車的速度有可能大于v0
例3　如圖，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側(cè)一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時刻小孩將冰塊以相對冰面3 m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h＝0.3 m(h小于斜面體的高度)。已知小孩與滑板的總質(zhì)量為m1＝30 kg，冰塊的質(zhì)量為m2＝10 kg，小孩與滑板始終無相對運動。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。
(1)求斜面體的質(zhì)量；
(2)通過計算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？
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專題強化3　彈簧—小球模型　滑塊—光滑斜(曲)面模型
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.進一步掌握用動量守恒定律、能量守恒定律解決碰撞問題的技巧(重點)。2.掌握兩類碰撞問題的解題方法(重難點)。
一、彈簧—小球模型
如圖所示，光滑水平面上靜止著一質(zhì)量為m2的剛性小球B，左端與水平輕質(zhì)彈簧相連，另有一質(zhì)量為m1的剛性小球A以速度v0向右運動，并與彈簧發(fā)生相互作用，兩球半徑相同，問：
(1)彈簧的彈性勢能什么情況下最大？最大為多少？
(2)兩球共速后，兩球的速度如何變化？彈簧長度如何變化？
(3)小球B的速度什么情況下最大？最大為多少？
答案　(1)當(dāng)兩個小球速度相同時，彈簧最短，彈簧的彈性勢能最大。
由動量守恒定律得m1v0＝(m1＋m2)v
由能量守恒定律得
m1v02＝(m1＋m2)v2＋Epmax
解得Epmax＝
(2)如圖所示，兩球共速后，A減速，B加速，A、B間的距離增大，故彈簧的壓縮量減小，彈簧的長度增加。
(3)當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時，小球B的速度最大，
由動量守恒定律得m1v0＝m1v1＋m2v2
由能量守恒定律得m1v02＝m1v12＋m2v22
解得v2＝。
拓展延伸　(1)系統(tǒng)動能何時最??？求系統(tǒng)的動能的最小值。
(2)從小球與彈簧相互作用至彈簧恢復(fù)原狀的過程，系統(tǒng)動能何時最大？求系統(tǒng)的動能的最大值。
答案　(1)彈簧和小球組成的系統(tǒng)機械能守恒，兩球共速時，彈簧的彈性勢能最大，系統(tǒng)的動能最小。
Ekmin＝(m1＋m2)v2＝v02
(2)彈簧和小球組成系統(tǒng)機械能守恒，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時，彈簧的彈性勢能最小，系統(tǒng)的動能最大，Ekmax＝m1v02。
對兩個(或兩個以上)物體與彈簧組成的系統(tǒng)，在相互作用的過程中，若系統(tǒng)合外力為零，則系統(tǒng)動量守恒。若接觸面光滑，彈簧和物體組成的系統(tǒng)機械能守恒。
1．彈簧處于最長(最短)狀態(tài)時兩物體速度相同，彈性勢能最大，系統(tǒng)動能通常最小(相當(dāng)于完全非彈性碰撞，兩物體減少的動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能)。
2．彈簧恢復(fù)原長時，彈性勢能為零，系統(tǒng)動能最大(相當(dāng)于剛完成彈性碰撞)。
例1　(2022·江蘇常熟市高二期中)如圖所示，足夠長的光滑水平直軌道上有物塊A、B、C，質(zhì)量分別為2m、m、m，B的左側(cè)固定一輕彈簧(不與A固定)，A、B共同以速度v0向C運動，彈簧處于原長，C靜止，B、C間發(fā)生彈性碰撞。求：
(1)B、C第一次碰撞后，C的速度大小vC；
(2)彈簧具有的最大彈性勢能Ep；
(3)整個運動過程中，B的動量變化量的大小Δp。
答案　(1)v0　(2)mv02　(3)0
解析　(1)B、C發(fā)生彈性碰撞，則有mv0＝mvB＋mvC，mv02＝mvB2＋mvC2，可得vC＝v0
(2)A、B速度相同時，彈簧具有最大彈性勢能，對A、B，由動量守恒可知2mv0＝3mv，
解得v＝
由能量守恒可知Ep＝×2mv02－×3mv2，
解得Ep＝mv02
(3)對A、B，由動量守恒可知2mv0＝2mv1′＋mv2′，
由能量守恒可知×2mv02＝×2mv1′2＋mv2′2，
解得v1′＝v0 ，v2′＝v0
B、C會再次碰撞，由于B、C質(zhì)量相等，速度交換，B最終的動量pB＝mv0，B的動量變化量的大小Δp＝mv0－mv0＝0。
針對訓(xùn)練　(2022·江蘇省阜寧中學(xué)高二期中)如圖甲所示，一輕彈簧的兩端與質(zhì)量分別為m1、m2的兩物塊A、B相連接，并靜止在光滑水平面上?，F(xiàn)使A獲得水平向右、大小為3 m/s的瞬時速度，從此刻開始計時，兩物塊的速度隨時間變化的規(guī)律如圖乙所示，從圖像提供的信息可得(　　)
A．在t1和t3時刻，兩物塊達到共同速度1 m/s，且彈簧分別處于壓縮和拉伸狀態(tài)
B．在t1～t2時間內(nèi)，A、B的距離逐漸增大，t2時刻彈簧的彈性勢能最大
C．兩物塊的質(zhì)量之比為m1∶m2＝2∶1
D．在t2時刻，A、B兩物塊的動能之比為Ek1∶Ek2＝1∶6
答案　A
解析　根據(jù)圖像可得開始時A的速度大，彈簧被壓縮，t1時A、B速度相同，此時彈簧壓縮量達到最大，之后B的速度大，壓縮量開始變小，t2時彈簧恢復(fù)原長，之后彈簧開始被拉伸，t3時刻A、B速度相同，此時拉伸量達到最大，之后A速度又大于B，拉伸量開始變小，所以t2時刻彈簧處于原長狀態(tài)，此時的彈性勢能最小，A正確，B錯誤；根據(jù)系統(tǒng)動量守恒，取向右為正方向，在0～t1時間內(nèi)，有m1×3 m/s＝(m1＋m2)×1 m/s，解得＝，C錯誤；t2時刻，A、B兩物塊的動能之比為＝＝×＝，D錯誤。
二、滑塊—光滑斜(曲)面模型
如圖所示，有一質(zhì)量為m的小球，以速度v0滑上靜置于光滑水平面上的光滑圓弧軌道。已知圓弧軌道的質(zhì)量為2m，小球在上升過程中始終未能沖出圓弧，重力加速度為g，試分析：
(1)在相互作用的過程中，小球和軌道組成的系統(tǒng)機械能是否守恒？總動量是否守恒？
(2)小球到達最高點時，小球與軌道的速度有什么關(guān)系？最大高度為多少？
(3)小球與軌道分離時兩者的速度分別是多少？
答案　(1)整個過程中系統(tǒng)的機械能守恒，系統(tǒng)水平方向動量守恒，豎直方向上動量不守恒，故總動量不守恒。
(2)當(dāng)小球上升到最高點時，小球和軌道的速度相同。
由動量守恒定律得mv0＝3mv
由能量守恒定律得mv02＝×3mv2＋mgh
解得h＝
(3)設(shè)小球離開軌道時的速度為v1，軌道的速度為v2，由動量守恒定律有mv0＝mv1＋2mv2
根據(jù)機械能守恒定律有
mv02＝mv12＋×2mv22
聯(lián)立以上兩式可得：v1＝－v0，v2＝v0。
在滑塊—光滑斜(曲)面模型中，若滑塊始終未脫離斜(曲)面
1．當(dāng)滑塊上升到最大高度時，滑塊與斜(曲)面具有共同水平速度v共。此時滑塊的豎直速度vy＝0。系統(tǒng)水平方向動量守恒，有mv0＝(M＋m)v共；系統(tǒng)機械能守恒，有mv02＝(M＋m)
v共2＋mgh，其中h為滑塊上升的最大高度(相當(dāng)于完全非彈性碰撞，系統(tǒng)減少的動能轉(zhuǎn)化為滑塊的重力勢能)。
2．當(dāng)滑塊返回最低點時，滑塊與斜(曲)面分離。水平方向動量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；系統(tǒng)機械能守恒，有mv02＝mv12＋Mv22(相當(dāng)于完成了彈性碰撞)。
例2　
如圖所示，在光滑的水平地面上停放著質(zhì)量為m的裝有弧形槽的小車?，F(xiàn)有一質(zhì)量也為m的小球以v0的水平速度沿與切線水平的槽口向小車滑去，不計一切摩擦，則(　　)
A．在相互作用的過程中，小車和小球組成的系統(tǒng)總動量守恒
B．小球從右側(cè)離開車后，對地將向右做平拋運動
C．小球從右側(cè)離開車后，對地將做自由落體運動
D．小球從右側(cè)離開車后，小車的速度有可能大于v0
答案　C
解析　整個過程中系統(tǒng)水平方向動量守恒，豎直方向動量不守恒，故A錯誤；設(shè)小球離開小車時，小球的速度為v1，小車的速度為v2，整個過程中水平方向動量守恒，則有mv0＝mv1＋mv2，由機械能守恒定律得mv02＝mv12＋mv22，聯(lián)立解得v1＝0，v2＝v0，即小球與小車分離時二者交換速度，所以小球從小車右側(cè)離開后將做自由落體運動，故B、D錯誤，C正確。
例3　如圖，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側(cè)一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時刻小孩將冰塊以相對冰面3 m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h＝0.3 m(h小于斜面體的高度)。已知小孩與滑板的總質(zhì)量為m1＝30 kg，冰塊的質(zhì)量為m2＝10 kg，小孩與滑板始終無相對運動。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。
(1)求斜面體的質(zhì)量；
(2)通過計算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？
答案　(1)20 kg　(2)見解析
解析　(1)選向左為正方向，冰塊在斜面體上運動到最大高度時兩者達到共同速度，設(shè)此共同速度為v，斜面體的質(zhì)量為m3。在水平方向上由動量守恒定律和機械能守恒定律得m2v0＝(m2＋m3)v
m2v02＝(m2＋m3)v2＋m2gh
式中v0＝3 m/s為冰塊被推出時的速度，聯(lián)立兩式并代入題給數(shù)據(jù)得m3＝20 kg。
(2)選向右為正方向，設(shè)小孩推出冰塊后小孩的速度為v1，由動量守恒定律有m1v1－m2v0＝0，
代入數(shù)據(jù)得v1＝1 m/s
設(shè)冰塊與斜面體分離后的速度分別為v2和v3，由動量守恒定律和機械能守恒定律有－m2v0＝m2v2＋m3v3
m2v02＝m2v22＋m3v32
聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得v2＝1 m/s
由于冰塊與斜面體分離后的速度與小孩推出冰塊后的速度相同且處在后方，故冰塊不能追上小孩。

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