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專題強化4　子彈打木塊模型　滑塊—木板模型
[學習目標]　1.進一步理解動量守恒條件。2.會分析兩物體在相對運動過程中的能量轉換(重點)。3.能夠從動量和能量的觀點分析子彈打木塊模型、滑塊—木板模型(重難點)。
一、子彈打木塊模型
1.如圖所示，質量為M＝1 kg的木塊靜止于粗糙的水平面上，木塊與水平面間的動摩擦因數為0.2，一質量為m＝20 g、速度為v0＝600 m/s的子彈水平射入木塊，穿出時的速度為v＝100 m/s，若木塊的寬度為d＝0.1 m，重力加速度g＝10 m/s2，試求子彈與木塊間的平均作用力與木塊和地面間的滑動摩擦力之比，并根據結果分析在解決此類問題時應如何處理？
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2.如圖所示，質量為M的木塊靜止于光滑的水平面上，一質量為m、速度為v0的子彈水平射入木塊且未穿出，設木塊對子彈的阻力恒為F，則
(1)子彈與木塊相對靜止時二者共同速度為多大？
(2)子彈射入過程中產生的內能為多少？
(3)木塊至少為多長時子彈不會穿出？
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1．模型特點
(1)子彈打木塊的過程很短暫，認為該過程內力遠大于外力，系統動量守恒。(地面光滑或不光滑都成立)
(2)在子彈打木塊過程中摩擦生熱，系統機械能不守恒，機械能向內能轉化。
2．兩種類型
(1)子彈留在木塊中(未穿出)
①動量守恒：mv0＝(m＋M)v
②機械能損失(摩擦生熱)
Q熱＝Ff·d＝mv02－(m＋M)v2
其中d為子彈射入木塊的深度。
此過程相當于完全非彈性碰撞，動能損失最多。
(2)子彈穿出木塊
①動量守恒：mv0＝mv1＋Mv2
②機械能的損失(摩擦生熱)
Q熱＝Ff·L＝mv02－mv12－Mv22
其中L為木塊的長度，注意d≤L。
例1　(2022·江蘇南通市高二期末)把一個質量m＝0.2 kg的小球放在高度為h＝5.0 m 的直桿的頂端。一顆質量m′＝0.01 kg的子彈以某一速度沿水平方向擊中小球，并穿過球心，子彈落地處離桿的距離為s′＝100 m，小球落地處離桿的距離為 s＝20 m。(g取10 m/s2)求：
(1)子彈擊中小球前的速度大小v0。
(2)子彈穿過小球過程中系統產生的內能。
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針對訓練1　(2023·江蘇徐州市王杰中學高二階段練習)矩形滑塊由不同材料按上、下兩層黏合在一起組成，將其放在光滑的水平面上，質量為m的子彈以速度v水平射向滑塊。若射擊滑塊下層，則子彈剛好不射出滑塊；若射擊滑塊上層，則子彈剛好能射穿滑塊的一半厚度，如圖所示。則上述兩種情況相比較(　　)
A．子彈的末速度大小不相等
B．系統產生的熱量一樣多
C．子彈對滑塊做的功不相同
D．子彈和滑塊間的水平作用力一樣大
二、滑塊—木板模型
如圖所示，在光滑的水平地面上，質量為m的滑塊以初速度v0從滑塊的左邊緣滑上質量為M的木板的上表面，若滑塊始終未滑離木板，滑塊和木板間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。
(1)此過程系統的動量是否守恒？系統的機械能是否守恒？
(2)若滑塊恰未脫離木板，試求木板的長度L。
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1．把滑塊、木板看成一個整體，摩擦力為內力，若水平面光滑，滑塊和木板組成的系統動量守恒。
2．由于摩擦生熱，機械能轉化為內能，系統機械能不守恒，根據能量守恒定律，機械能的減少量等于因摩擦而產生的熱量，即ΔE＝Ff·s相對，其中s相對為滑塊和木板相對滑動的路程。
3．注意：若滑塊不滑離木板，就意味著二者最終具有共同速度，此過程相當于完全非彈性碰撞，機械能損失最多。
例2　質量為M＝1.0 kg的長木板A在光滑水平面上以v1＝0.5 m/s的速度向左運動，某時刻質量為m＝0.5 kg的小木塊B以v2＝4 m/s的速度從左端向右滑上長木板，經過時間t＝
0.6 s小木塊B相對A靜止，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)兩者相對靜止時的運動速度v；
(2)小木塊與長木板間的動摩擦因數μ；
(3)為使小木塊不從長木板另一端掉下來，長木板長度L至少多長？
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針對訓練2　(2022·江蘇蘇州外國語學校高二期末)圖甲中，長為L的長木板靜止于光滑水平面上，小物塊位于木板的右端點。t＝0時，木板以速度v0開始向右滑動，小物塊恰好沒有從長木板上滑落。圖乙為物塊與木板運動的v－t圖像，重力加速度為g，則(　　)
A．物塊質量是木板質量的
B．物塊與木板間的動摩擦因數為
C．0～t0內，物塊與木板損失的動能為木板初動能的
D．物塊的最大動能是木板初動能的
例3　質量為m的長木板A靜止在光滑水平面上，另外兩個質量也為m的物塊B和C分別同時從A的左、右兩端滑上A的上表面，初速度大小分別為v和2v，如圖所示。物塊B、C與長木板A間的動摩擦因數均為μ，假設物塊B、C在長木板A表面上運動時始終沒有碰撞。試求：
(1)B、C剛滑上長木板A時，A所受合外力為多大？
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(2)長木板A的最終運動速度為多大？
(3)為使物塊B、C不相撞，長木板A至少多長？
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1．從物塊滑上木板至兩者共速時，若物塊仍未脫離木板，此過程相當于完全非彈性碰撞過程。
2．若地面光滑，物塊和木板組成的系統動量守恒；若地面粗糙，系統的總動量將發生變化。
專題強化4　子彈打木塊模型　滑塊—木板模型
[學習目標]　1.進一步理解動量守恒條件。2.會分析兩物體在相對運動過程中的能量轉換(重點)。3.能夠從動量和能量的觀點分析子彈打木塊模型、滑塊—木板模型(重難點)。
一、子彈打木塊模型
1.如圖所示，質量為M＝1 kg的木塊靜止于粗糙的水平面上，木塊與水平面間的動摩擦因數為0.2，一質量為m＝20 g、速度為v0＝600 m/s的子彈水平射入木塊，穿出時的速度為v＝100 m/s，若木塊的寬度為d＝0.1 m，重力加速度g＝10 m/s2，試求子彈與木塊間的平均作用力與木塊和地面間的滑動摩擦力之比，并根據結果分析在解決此類問題時應如何處理？
答案　由動能定理可得－·d＝mv2－mv02
解得＝3.5×104 N
木塊與地面間的滑動摩擦力Ff＝μMg＝2 N
兩者之比為＝17 500
由此可知，子彈與木塊間的平均作用力遠大于木塊與地面間的作用力，因此子彈和木塊組成的系統在相互作用過程中滿足動量守恒的條件。
2.如圖所示，質量為M的木塊靜止于光滑的水平面上，一質量為m、速度為v0的子彈水平射入木塊且未穿出，設木塊對子彈的阻力恒為F，則
(1)子彈與木塊相對靜止時二者共同速度為多大？
(2)子彈射入過程中產生的內能為多少？
(3)木塊至少為多長時子彈不會穿出？
答案　(1)子彈與木塊組成的系統動量守恒，以子彈的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
mv0＝(m＋M)v
解得：v＝
(2)由能量守恒定律可知：
mv02＝Q＋(m＋M)v2
得產生的熱量為：Q＝
(3)設木塊最小長度為L，由能量守恒定律：
FL＝Q
得木塊的最小長度為：L＝。
1．模型特點
(1)子彈打木塊的過程很短暫，認為該過程內力遠大于外力，系統動量守恒。(地面光滑或不光滑都成立)
(2)在子彈打木塊過程中摩擦生熱，系統機械能不守恒，機械能向內能轉化。
2．兩種類型
(1)子彈留在木塊中(未穿出)
①動量守恒：mv0＝(m＋M)v
②機械能損失(摩擦生熱)
Q熱＝Ff·d＝mv02－(m＋M)v2
其中d為子彈射入木塊的深度。
此過程相當于完全非彈性碰撞，動能損失最多。
(2)子彈穿出木塊
①動量守恒：mv0＝mv1＋Mv2
②機械能的損失(摩擦生熱)
Q熱＝Ff·L＝mv02－mv12－Mv22
其中L為木塊的長度，注意d≤L。
例1　(2022·江蘇南通市高二期末)把一個質量m＝0.2 kg的小球放在高度為h＝5.0 m的直桿的頂端。一顆質量m′＝0.01 kg的子彈以某一速度沿水平方向擊中小球，并穿過球心，子彈落地處離桿的距離為s′＝100 m，小球落地處離桿的距離為 s＝20 m。(g取10 m/s2)求：
(1)子彈擊中小球前的速度大小v0。
(2)子彈穿過小球過程中系統產生的內能。
答案　(1)500 m/s　(2)1 160 J
解析　(1)由h＝gt2，得t＝1 s
設子彈穿過小球后的速度為v1，小球速度為v2，由
s′＝v1t，得v1＝100 m/s
由s＝v2t，有v2＝20 m/s
根據動量守恒有m′v0＝m′v1＋mv2，得v0＝500 m/s
(2)根據穿過前后能量守恒有Q＝m′v02－(m′v12＋mv22)，解得Q＝1 160 J。
針對訓練1　(2023·江蘇徐州市王杰中學高二階段練習)矩形滑塊由不同材料按上、下兩層黏合在一起組成，將其放在光滑的水平面上，質量為m的子彈以速度v水平射向滑塊。若射擊滑塊下層，則子彈剛好不射出滑塊；若射擊滑塊上層，則子彈剛好能射穿滑塊的一半厚度，如圖所示。則上述兩種情況相比較(　　)
A．子彈的末速度大小不相等
B．系統產生的熱量一樣多
C．子彈對滑塊做的功不相同
D．子彈和滑塊間的水平作用力一樣大
答案　B
解析　根據動量守恒，兩種情況下子彈最終與滑塊的速度相等，選項A錯誤；
根據能量守恒可知，初狀態兩子彈動能相同，末狀態兩滑塊與子彈的動能也相同，因此損失的動能轉化成的熱量也相同，選項B正確；
子彈對滑塊做的功等于滑塊末狀態的動能，因此子彈對滑塊做功相同，選項C錯誤；
系統產生的熱量Q＝FfΔx，由于兩種情況下系統產生的熱量相同，而相對位移Δx不同，因此子彈和滑塊間的水平作用力大小不同，選項D錯誤。
二、滑塊—木板模型
如圖所示，在光滑的水平地面上，質量為m的滑塊以初速度v0從滑塊的左邊緣滑上質量為M的木板的上表面，若滑塊始終未滑離木板，滑塊和木板間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g。
(1)此過程系統的動量是否守恒？系統的機械能是否守恒？
(2)若滑塊恰未脫離木板，試求木板的長度L。
答案　(1)系統的合外力為零，故系統的動量守恒。由于摩擦力對系統做負功，系統機械能不守恒。
(2)根據動量守恒：mv0＝(m＋M)v
系統機械能損失(摩擦生熱)，Q熱＝Ff·x相對＝mv02－(m＋M)v2，Ff＝μmg
若滑塊恰未脫離木板，則L＝x相對
解得L＝。
1．把滑塊、木板看成一個整體，摩擦力為內力，若水平面光滑，滑塊和木板組成的系統動量守恒。
2．由于摩擦生熱，機械能轉化為內能，系統機械能不守恒，根據能量守恒定律，機械能的減少量等于因摩擦而產生的熱量，即ΔE＝Ff·s相對，其中s相對為滑塊和木板相對滑動的路程。
3．注意：若滑塊不滑離木板，就意味著二者最終具有共同速度，此過程相當于完全非彈性碰撞，機械能損失最多。
例2　質量為M＝1.0 kg的長木板A在光滑水平面上以v1＝0.5 m/s的速度向左運動，某時刻質量為m＝0.5 kg的小木塊B以v2＝4 m/s的速度從左端向右滑上長木板，經過時間t＝0.6 s小木塊B相對A靜止，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)兩者相對靜止時的運動速度v；
(2)小木塊與長木板間的動摩擦因數μ；
(3)為使小木塊不從長木板另一端掉下來，長木板長度L至少多長？
答案　(1)1 m/s，方向水平向右　(2)0.5　(3)1.35 m
解析　設水平向右為正方向
(1)從開始到兩者相對靜止，對長木板與小木塊組成的系統，
由水平方向動量守恒得－Mv1＋mv2＝(M＋m)v
解得v＝1 m/s，方向水平向右
(2)對小木塊B，根據動量定理得－μmgt＝mv－mv2
解得μ＝0.5
(3)為使小木塊不從長木板另一端掉下來，當小木塊到達木板右端時，恰好二者共速，此時木板長度最短，根據功能關系有μmgL＝Mv12＋mv22－(m＋M)v2
代入數據解得L＝1.35 m。
針對訓練2　(2022·江蘇蘇州外國語學校高二期末)圖甲中，長為L的長木板靜止于光滑水平面上，小物塊位于木板的右端點。t＝0時，木板以速度v0開始向右滑動，小物塊恰好沒有從長木板上滑落。圖乙為物塊與木板運動的v－t圖像，重力加速度為g，則(　　)
A．物塊質量是木板質量的
B．物塊與木板間的動摩擦因數為
C．0～t0內，物塊與木板損失的動能為木板初動能的
D．物塊的最大動能是木板初動能的
答案　B
解析　設木板的質量為M，物塊的質量為m，由動量守恒定律結合題圖乙可得Mv0＝(m＋M)v0，解得M＝3m，A錯誤；
對于系統，由能量守恒定律得μmgL＝Mv02－(m＋M)(v0)2，解得μ＝，B正確；
0～t0內，物塊與木板損失的動能為ΔEk＝Mv02－(m＋M)(v0)2＝Mv02，物塊與木板損失的動能為木板初動能的，C錯誤；
物塊的最大動能是m(v0)2＝Mv02，是木板初動能的，D錯誤。
例3　質量為m的長木板A靜止在光滑水平面上，另外兩個質量也為m的物塊B和C分別同時從A的左、右兩端滑上A的上表面，初速度大小分別為v和2v，如圖所示。物塊B、C與長木板A間的動摩擦因數均為μ，假設物塊B、C在長木板A表面上運動時始終沒有碰撞。試求：
(1)B、C剛滑上長木板A時，A所受合外力為多大？
(2)長木板A的最終運動速度為多大？
(3)為使物塊B、C不相撞，長木板A至少多長？
答案　見解析
解析　(1)A受力如圖所示，A受到的合力為：
FA合＝μmg－μmg＝0。
(2)系統所受合外力為零，系統動量守恒，以向左為正方向，
由動量守恒定律得：
m·2v－mv＝(m＋m＋m)v′，
解得A、B、C最終的共同速度：v′＝，
即木板A最終運動的速度為，方向水平向左。
(3)對系統，由能量守恒定律得：
mv2＋m(2v)2＝(m＋m＋m)v′2＋μmgL，
解得：L＝。
1．從物塊滑上木板至兩者共速時，若物塊仍未脫離木板，此過程相當于完全非彈性碰撞過程。
2．若地面光滑，物塊和木板組成的系統動量守恒；若地面粗糙，系統的總動量將發生變化。

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