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精編人教版第一章有理數重難點題型匯總及答案解析
第二部分（第一章共二個部分）
小專題7 絕對值與分類討論思想
小專題8 絕對值與最值問題
小專題9 數軸與點的距離問題
小專題10 數軸與動點問題（一）行程問題
小專題11 數軸與動點問題（二）和差倍分問題
小專題12 數軸與動點問題（三）動點定值問題
第一章有理數
小專題7 絕對值與分類討論思想
[方法技巧]運用零點分段法分類討論解決多絕對值問題.
[例]閱讀下列材料并解決有關問題.
我們知道|x|＝ 現在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式.例如:化簡代數式|x+1|+|x-2|時，可令x+1＝0和x-2＝0，分別求得x＝-1和x＝2（稱-1，2分別為|x+1|與|x-2|的零點值）.在有理數范圍內，零點值x＝-1和x＝2可將全體有理數分成不重復且不遺漏的如下3種情況:① x＜-1;② -1≤x＜2;③ x≥2.
從而在化簡代數式|x+1|+|x-2|時，可分以下三種情況:
① 當x＜-1時，原式＝-（x+1）-（x-2）＝-2x+1;
② 當-1≤x＜2時，原式＝（x+1）-（x-2）＝3;
③ x≥2時，原式＝（x+1）+（x-2）＝2x-1.
通過以上閱讀，請你解決問題:
（1）|x+2|和|x-4|的零點值是____________;
（2）化簡代數式|x+2|+|x-4|;
（3）解方程|x+2|+|x-4|＝10.
歸納總結:
1.在解決有關絕對值問題時，去絕對值是關鍵，一般需分類討論;
2.對于多絕對值問題，則采取零點分段法，分類討論去絕對值.
1.（1）|x-12|和|x+4|的零點值是____________;
（2）化簡代數式|x-12|+|x+4|;
（3）解方程|x-12|+|x+4|＝20;
（4）若|x-12|＝2|x+1|+4，直接寫出x的值為____________.
小專題8 絕對值與最值問題
[方法技巧]利用數形結合及分類討論思想解決絕對值最值問題.
[例]認真閱讀下面的材料，完成有關問題.
材料:在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何意義，如|5-3|表示5，3在數軸上對應的兩點之間的距離;15+3|＝|5-（-3）|，所以|5+3|表示5，-3在數軸上對應的兩點之間的距離;|5|＝|5-0|，所以|5|表示5在數軸上對應的點到原點的距離.一般地，點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|.
（1）點A，B，C在數軸上分別表示有理數x，-2，1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為_____________（用含絕對值的式子表示）;
（2）利用數軸探究:
① |x-3|+|x-2|的最小值是________;
② 求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值以及此時x的值.
歸納總結:
對于幾個絕對值之和的最值問題，一般可借助數軸，將絕對值之和轉化為數軸兩點之間的距離之和，運用數形結合的思想以及分類討論思想來解決.
1.利用數軸探究:
（1）|x-1|+|x-2|的最小值為______;
（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值為_________;
（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|的最小值為________，此時x的取值范圍為______
________
小專題9 數軸與點的距離問題
[方法技巧]熟練掌握數軸上兩點間的距離的表示方法，運用分類討論思想及方程思想解題.
[例]如圖，A，B，C是數軸上的三點（點B在點A的右邊），點A表示的數為-8，A，B兩點的距離AB是點A到原點O的距離OA的3倍，即AB＝3OA.
（1）求點B表示的數;
（2）若AC+BC＝32，求點C表示的數;
（3）若AC＝3BC，求點C表示的數.
歸納總結：
數軸上點的距離問題的處理方法:
通常可將要求的點表示的數設為x，用含x的式子表示出兩點之間的距離，根據距離關系建立絕對值方程，或運用分類討論思想列方程求解。
1.如圖，點A，B在數軸上表示的數分別為-4和+16，A，B兩點間的距離可記為AB.
（1）點C在數軸上A，B兩點之間，且AC＝BC，則點C對應的數是 ;
（2）點C在數軸上A，B兩點之間，且BC＝3AC，求點C對應的數;
（3）點C在數軸上，且AC+BC＝30，求點C對應的數？
小專題10 數軸與動點問題（一）行程問題
[方法技巧]數軸上的行程問題一般設運動時間為t，用含t的式子表示出點與點之間的距離，運用方程思想及分類討論思想計算即可得結果.
[例]如圖，已知數軸上點A表示的數為6，點B是數軸上點A左側的一點，且A，B兩點間的距離為11，動點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒.
（1）數軸上點B表示的數是_____，當點P運動到AB中點時，它所表示的數是_____;
（2）動點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若P，Q兩點同時出發，求:
① 當點P運動多少秒時，點P追上點Q？
② 當點P與點Q之間的距離為8個單位長度時，求此時點P在數軸上所表示的數.
歸納總結：
數軸與動點問題 (一)行程問題解題技巧:
通常設運動時間為t，用含t的式子表示出點與點之間的距離，根據題目中給出的距離關系，建立方程，運用方程思想及分類討論思想計算即可解決問題。
小專題11 數軸與動點問題（二）和差倍分問題
[方法技巧]數軸上的動點問題，若是告訴了運動速度，一般設運動時間為t，用含t的式子表示出動點及點與點之間的距離，通過題目中的和差倍分關系建立方程求解即可，若是求定值，含參數計算也可得結果.
[例]如圖，在數軸上，點A表示-10，點B表示11，點C表示18.動點P從點A出發，沿數軸正方向以每秒2個單位長度的速度勻速運動;同時，動點Q從點C出發，沿數軸負方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動.設運動時間為t秒.
（1）當t為何值時，P，Q兩點相遇？相遇點M所對應的數是多少？
（2）在點Q出發后到達點B之前，求t為何值時OP＝BQ.
備用圖
歸納總結：
數軸與動點問題 (二 )和差倍分問題解題技巧:
此類問題一般會告訴運動速度，則可設運動時間為t，用含t的式子表示出動點，以及點與點之間的距離，根據題目中給出的距離間的和差倍分關系，建立方程，運用方程思想及分類討論思想計算.
小專題12 數軸與動點問題（三）動點定值問題
[方法技巧]設參計算法解決動點定值問題.設動點表示的數，若是行程問題一般設運動時間，從而表示出兩點間的距離，計算即可得結果.
[例]如圖，數軸上有三點A，B，C，點B，C對應的數分別為-800，200，AB:AC＝2:3.
（1）求點A對應的數;
（2）動點P，Q分別從點B和原點O同時出發向左運動，點P，Q的速度為10個單位長度/ s和5個單位長度/s，點M到P，Q兩點的距離相等，點Q在從點O運動到點A的過程中， QC-AM的值是否發生變化？若不變，求其值;若變化，說明理由.
歸納總結：
數軸與動點問題 (三 )動點定值問題解題技巧:
此類問題一般采取設參數計算法解決。具體方法是: 設動點表示的數，若是行程問題，則設運動時間，表示出兩點之間的距離，通過合參數計算，即可得出結果。
參考答案及解析：
第一章有理數
小專題7 絕對值與分類討論思想
[方法技巧]運用零點分段法分類討論解決多絕對值問題.
[例]閱讀下列材料并解決有關問題.
我們知道|x|＝ 現在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式.例如:化簡代數式|x+1|+|x-2|時，可令x+1＝0和x-2＝0，分別求得x＝-1和x＝2（稱-1，2分別為|x+1|與|x-2|的零點值）.在有理數范圍內，零點值x＝-1和x＝2可將全體有理數分成不重復且不遺漏的如下3種情況:① x＜-1;② -1≤x＜2;③ x≥2.
從而在化簡代數式|x+1|+|x-2|時，可分以下三種情況:
① 當x＜-1時，原式＝-（x+1）-（x-2）＝-2x+1;
② 當-1≤x＜2時，原式＝（x+1）-（x-2）＝3;
③ x≥2時，原式＝（x+1）+（x-2）＝2x-1.
通過以上閱讀，請你解決問題:
（1）|x+2|和|x-4|的零點值是____________;
（2）化簡代數式|x+2|+|x-4|;
（3）解方程|x+2|+|x-4|＝10.
分析:（1）令x+2＝0，得x＝-2;令x-4＝0，得x＝4，故零點值為-2和4;
（2）（3）根據零點值-2，4分三種情況:① x＜-2;② -2≤x＜4;③ x≥4，去絕對值化簡和解方程.
解答：
解:（1）-2和4;
（2）① 當x＜-2時，原式＝-（x+2）-（x-4）＝-2x+2;
② 當-2≤x＜4時，原式＝（x+2）-（x-4）＝6;
③ x≥4時，原式＝（x+2）+（x-4）＝2x-2;
（3）① 當x＜-2時，-2x+2＝10，x＝-4;
② 當-2≤x＜4時，（x+2）-（x-4）＝6≠10，此情況不成立;
③ x≥4時，2x-2＝10，x＝6.
綜上所述，x＝-4或6.
歸納總結:
1.在解決有關絕對值問題時，去絕對值是關鍵，一般需分類討論;
2.對于多絕對值問題，則采取零點分段法，分類討論去絕對值.
1.（1）|x-12|和|x+4|的零點值是____________;
（2）化簡代數式|x-12|+|x+4|;
（3）解方程|x-12|+|x+4|＝20;
（4）若|x-12|＝2|x+1|+4，直接寫出x的值為____________.
解:（1）12和-4;
（2）① 當x＜-4時，原式＝-（x-12）-（x+4）＝-2x+8;
② 當-4≤x＜12時，原式＝（x+4）-（x-12）＝16;
③ x≥12時，原式＝（x-12）+（x+4）＝2x-8;
（3）① 當x＜-4時，-2x+8＝20，x＝-6;
② 當-2≤x＜4時，（x+4）-（x-12）＝16≠20，此情況不成立;
③ x≥12時，2x-8＝20，x＝14.綜上所述，x＝-6或14;
（4）分三種情況討論:① 當x＜-1時，-（x-12）＝-2（x+1）+4，解得x＝-10;
② 當-1 ≤x＜12時，-（x-12）＝2（x+1）+4，解得x＝2;
③ x≥12時，x-12＝2（x+1）+4，解得x＝- 18＜12不成立.綜上所述，x＝-10或2.
小專題8 絕對值與最值問題
[方法技巧]利用數形結合及分類討論思想解決絕對值最值問題.
[例]認真閱讀下面的材料，完成有關問題.
材料:在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何意義，如|5-3|表示5，3在數軸上對應的兩點之間的距離;15+3|＝|5-（-3）|，所以|5+3|表示5，-3在數軸上對應的兩點之間的距離;|5|＝|5-0|，所以|5|表示5在數軸上對應的點到原點的距離.一般地，點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|.
（1）點A，B，C在數軸上分別表示有理數x，-2，1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為_____________（用含絕對值的式子表示）;
（2）利用數軸探究:
① |x-3|+|x-2|的最小值是________;
② 求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值以及此時x的值.
解析：
（1）點A，B，C在數軸上分別表示有理數x，-2，1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+2|+|x-1|（用含絕對值的式子表示）;
（2）利用數軸探究:
① |x-3|+|x-2|的最小值是 1 ;
分析:可將絕對值的和轉化為數軸上兩點間的距離之和的最小值問題來解決.
設數軸上表示數2，3，x的點分別為A，B，P.
則|x-2|＝PA，|x-3|＝PB，|x-2|+|x-3|＝PA+PB.
如圖1，當點P位于A，B兩點之間，即2≤x≤3時，
|x-2|+|x-3|＝PA+PB＝AB＝1;
如圖2，當點P位于點A的左邊，即x＜2時，|x-2|+|x-3|＝PA+PB＞AB＝1;
如圖3，當點P位于點B的右邊，即x＞3時，|x-2|+|x-3|＝PA+PB＞AB＝1.
綜上所述，|x-2|+|x-3|的最小值為1.
② 求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值以及此時x的值.
分析:方法同① ，設數軸上表示數3，2，-1，x的點分別為A，B，C，P
則|x-3|＝PA，|x-2|＝PB，|x+1|＝PC，
|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC.
如圖1，當點P位于點C的左邊，即x＜-1時，
|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC＞AC＝4;
如圖2，當點P位于B，C兩點之間時，
|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC＞AC＝4;
如圖3，當點P與點B重合，即x＝2時，
|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC＝AC＝4;
當點P位于A，B兩點之間時，以及位于點A右邊時，同理可得
|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC＞AC＝4;
綜上所述， |x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值為4.
解答：
解:設數軸上的數3，2，-1，x對應的點分別為A，B，C，P.
① 如圖1，|x-3|+|x-2|＝PA+PB＞AB＝1，當點P位于A，B兩點之間時值最小為1，此時2≤x≤3;
② 如圖2，|x-3|+|x-2|+|x+1|＝PA+PB+PC≥AC＝4，當點P與點B重合時值最
小為4，此時x＝2.
歸納總結:
對于幾個絕對值之和的最值問題，一般可借助數軸，將絕對值之和轉化為數軸兩點之間的距離之和，運用數形結合的思想以及分類討論思想來解決.
1.利用數軸探究:
（1）|x-1|+|x-2|的最小值為______;
（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值為_________;
（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|的最小值為________，此時x的取值范圍為______
________
解答：
（1）|x-1|+|x-2|的最小值為 1 ;
（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值為 2 ;
（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|的最小值為 2020 ，此時x的取值范圍為 2≤x≤3.
解:設數軸上的數1，2，3，2020，x對應的點分別A，B，C，D，P.
（1）如圖1，|x-1|+|x-2|＝PA+PB＞AB＝1，當點P位于A，B兩點之間時值最小為1，此時1≤x≤2;
（2）如圖2，|x-1|+|x-2|+|x-3|＝PA+PB+PC≥AC＝2，當點P與點B重合時值最小為2，此時x＝2.
（3）如圖3，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2020|＝PA+PB+PC+PD≥BC+AD＝1+ 2019＝2020，當點P位于B，C兩點之間時其和最小為2020，此時2≤x≤3.
小專題9 數軸與點的距離問題
[方法技巧]熟練掌握數軸上兩點間的距離的表示方法，運用分類討論思想及方程思想解題.
[例]如圖，A，B，C是數軸上的三點（點B在點A的右邊），點A表示的數為-8，A，B兩點的距離AB是點A到原點O的距離OA的3倍，即AB＝3OA.
（1）求點B表示的數;
（2）若AC+BC＝32，求點C表示的數;
（3）若AC＝3BC，求點C表示的數.
解答：
（1）求點B表示的數;分析:
解:由已知可得OA＝8，∴AB＝3 OA＝24，
∴點B表示的數為16;
（2）若AC+BC＝32，求點C表示的數;
A，B兩點表示的數已知，若設點C表示的數為x，
則可利用AC+BC＝32建立方程求x，從而解決問題.
由于點C的位置不確定，可在A，B之間，或點A左邊或在點B右邊，因此需要分三種情況討論.
解:設點C表示的數為x.
① 當點C在A，B兩點之間時，AC+BC＝AB＝24＜32，不成立;
② 當點C在點A的左側即x＜-8時，AC＝-8-x，BC＝16-x，
∵AC+BC＝32， ∴-8-x+16-x＝32，解得x＝-12:
③ 當點C在點B的右側即x＞16時，AC＝x+8，BC＝x-16，∵AC+BC＝32，
∴x+8+x-16＝32，解得x＝20;
綜上所述，點C表示的數為-12或20;
（3）
解:設點C表示的數為x.則AC＝|x+8|，BC＝|x-16|，
∵AC＝3BC，
∴|x+8|＝3|x-16|，解得x＝10或28，
∴點C表示的數為10或28.
歸納總結：
數軸上點的距離問題的處理方法:
通常可將要求的點表示的數設為x，用含x的式子表示出兩點之間的距離，根據距離關系建立絕對值方程，或運用分類討論思想列方程求解。
1.如圖，點A，B在數軸上表示的數分別為-4和+16，A，B兩點間的距離可記為AB.
（1）點C在數軸上A，B兩點之間，且AC＝BC，則點C對應的數是 ;
（2）點C在數軸上A，B兩點之間，且BC＝3AC，求點C對應的數;
（3）點C在數軸上，且AC+BC＝30，求點C對應的數？
解:設點C對應的數為x.
（1）根據題意，得x-（-4）＝16-x，解得x ＝6.
∴點C對應的數是6;
（2）根據題意，得16-x＝3[x-（-4）]，解得x＝1，∴點C對應的數是1.
（3）① 當點C在A，B之間時，AC+BC＝20≠30，此情況不成立;
② 當點C在點A左側時AC+BC＝30，則-4-x+16-x＝30，x＝-9;
③ 當點C在點B右側時，x-16+x-（-4）＝30，x＝21;
綜上所述，點C對應的數為21或-9.
小專題10 數軸與動點問題（一）行程問題
[方法技巧]數軸上的行程問題一般設運動時間為t，用含t的式子表示出點與點之間的距離，運用方程思想及分類討論思想計算即可得結果.
[例]如圖，已知數軸上點A表示的數為6，點B是數軸上點A左側的一點，且A，B兩點間的距離為11，動點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒.
（1）數軸上點B表示的數是_____，當點P運動到AB中點時，它所表示的數是_____;
（2）動點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若P，Q兩點同時出發，求:
① 當點P運動多少秒時，點P追上點Q？
② 當點P與點Q之間的距離為8個單位長度時，求此時點P在數軸上所表示的數.
解答：
（1）數軸上點B表示的數是 -5 ，當點P運動到AB中點時，它所表示的數是0.5 ;
B:6-11＝-5，
AB中點:6-11÷2＝0.5.
（2）動點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若P，Q兩點同時出發，求:
① 當點P運動多少秒時，點P追上點Q？
當點P與點Q之間的距離為8個單位長度時，求此時點P在數軸上所表示的數.
分析:第一步：認準動點出發點、方向、速度;
第二步：P，Q表示的數相同→-5-2t＝6-3t→t＝11;
設t，表示P， Q
PQ＝8→|（6-3t）-（-5-2t）|＝8→t＝3或19→P:-3或-51
解答：
解:① 運動t秒時，點P對應的數為:6-3t，點Q對應的數為:-5-2t，
∵點P追上點Q，
∴6-3t＝-5-2t，解得t＝11，
∴當點P運動11秒時，點P追上點Q;
② ∵點P與點Q之間的距離為8個單位長度，
∴|6-3t-（-5-2t）|＝8，解得t＝3或t＝19，
當t＝3時，點P對應的數為:6-3t＝6-9＝-3;
當t＝19時，點P對應的數為:6-3t＝6-57＝-51.
∴當點P與點Q之間的距離為8個單位長度時，點P表示的數為-3或-51
歸納總結：
數軸與動點問題 (一)行程問題解題技巧:
通常設運動時間為t，用含t的式子表示出點與點之間的距離，根據題目中給出的距離關系，建立方程，運用方程思想及分類討論思想計算即可解決問題。
小專題11 數軸與動點問題（二）和差倍分問題
[方法技巧]數軸上的動點問題，若是告訴了運動速度，一般設運動時間為t，用含t的式子表示出動點及點與點之間的距離，通過題目中的和差倍分關系建立方程求解即可，若是求定值，含參數計算也可得結果.
[例]如圖，在數軸上，點A表示-10，點B表示11，點C表示18.動點P從點A出發，沿數軸正方向以每秒2個單位長度的速度勻速運動;同時，動點Q從點C出發，沿數軸負方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動.設運動時間為t秒.
（1）當t為何值時，P，Q兩點相遇？相遇點M所對應的數是多少？
（2）在點Q出發后到達點B之前，求t為何值時OP＝BQ.
備用圖
分析:
首先用t表示出動點P，Q表示的數，再根據P，Q相遇，即表示的數相同，得
-10+2t＝18-t，解得:
由在點Q出發后到達點B之前， 說明什么呢 點Q在B，C兩點之間， 11＜18-t＜18，∴0＜t＜7.則點P在點0的左邊或右邊.OP=|10-2t|，BQ= 18-t-11=7-t,
|10-2t|=7-t,解得t＝3或.
解答：
解:（1）P:-10+2t，Q:18-t.
依題意，得-10+2t＝18-t，
解得，則M:
所以相遇點M表示的數為;
（2）依題意，得OP＝|10-2t|，BQ＝18-t-11＝7- t，
因為OP＝BQ，所以|10-2t|＝7-t，
解得x＝3或，所以t＝3或時OP＝BQ.
歸納總結：
數軸與動點問題 (二 )和差倍分問題解題技巧:
此類問題一般會告訴運動速度，則可設運動時間為t，用含t的式子表示出動點，以及點與點之間的距離，根據題目中給出的距離間的和差倍分關系，建立方程，運用方程思想及分類討論思想計算.
小專題12 數軸與動點問題（三）動點定值問題
[方法技巧]設參計算法解決動點定值問題.設動點表示的數，若是行程問題一般設運動時間，從而表示出兩點間的距離，計算即可得結果.
[例]如圖，數軸上有三點A，B，C，點B，C對應的數分別為-800，200，AB:AC＝2:3.
（1）求點A對應的數;
（2）動點P，Q分別從點B和原點O同時出發向左運動，點P，Q的速度為10個單位長度/ s和5個單位長度/s，點M到P，Q兩點的距離相等，點Q在從點O運動到點A的過程中， QC-AM的值是否發生變化？若不變，求其值;若變化，說明理由.
分析:點A表示的數為-800+400＝-400.
P:-800-10t， Q:-5t，
M:=-400-7.5t
QC＝200-（-5t）＝200+5t，
AM＝-400-（-400-7.5t）＝7.5t，
解答：
解:（1）由已知得BC＝200+800＝1000.
∵AB:AC＝2:3，
∴
-800+400＝-400，
∴點A對應的數為-400;
（2）設運動時間為 ts，則 P:-800-10t，Q:-5t，
M:（-800-10t-5t）＝-400-7.5t，
∴QC＝200-（-5t）＝200+5t，
AM＝-400-（-400-7.5t）＝7.5t.
∴（200+5t）-7.5t＝300.
歸納總結：
數軸與動點問題 (三 )動點定值問題解題技巧:
此類問題一般采取設參數計算法解決。具體方法是: 設動點表示的數，若是行程問題，則設運動時間，表示出兩點之間的距離，通過合參數計算，即可得出結果。

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