資源簡(jiǎn)介

3.4力的合成和分解
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.闡述分力的概念及力的分解的含義。
2.掌握根據(jù)力的效果進(jìn)行分解的方法，會(huì)用三角形知識(shí)求分力。
3.能區(qū)別矢量和標(biāo)量，知道三角形定則。
4.能用平行四邊形定則和三角形定則進(jìn)行矢量運(yùn)算
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】
重點(diǎn)
1.通過(guò)生活實(shí)例，體會(huì)等效替代的物理思想.
2.通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究，得出求合力的方法——平行四邊形定則，知道力的分解是力的合成的逆運(yùn)算.
難點(diǎn)
1.會(huì)用作圖法和直角三角形的知識(shí)求共點(diǎn)力的合力.
2.會(huì)應(yīng)用平行四邊形定則或三角形定則進(jìn)行矢量運(yùn)算.
【預(yù)習(xí)新知】
（一）合力和分力
[情境導(dǎo)學(xué)]
如圖所示，一個(gè)成年人或兩個(gè)孩子均能提起相同質(zhì)量的一桶水，那么該成年人用的力與兩個(gè)孩子用的力作用效果是否相同？二者能否等效替換？
提示：效果相同；能等效替換。
[知識(shí)梳理]
1．合力：假設(shè)一個(gè)力單獨(dú)作用的效果跟某幾個(gè)力共同作用的效果相同，這個(gè)力就叫作那幾個(gè)力的合力。
2．分力：假設(shè)幾個(gè)力共同作用的效果跟某個(gè)力單獨(dú)作用的效果相同，這幾個(gè)力叫作那個(gè)力的分力。
[初試小題]
1．判斷正誤。
(1)合力與其分力同時(shí)作用在物體上。(×)
(2)合力一定與分力共同作用產(chǎn)生的效果相同。(√)
(3)合力一定大于分力。(×)
(4)合力有可能小于任何一個(gè)分力。(√)
2．[多選]下列關(guān)于幾個(gè)力與其合力的說(shuō)法中，正確的是(　　)
A．合力的作用效果跟原來(lái)幾個(gè)力共同作用產(chǎn)生的效果相同
B．合力與原來(lái)那幾個(gè)力同時(shí)作用在物體上
C．合力的作用可以替代原來(lái)那幾個(gè)力的作用
D．不同性質(zhì)的力不可以合成
解析：選AC　由合力和分力的關(guān)系可知，選項(xiàng)A正確；合力和分力是等效替代關(guān)系，它們不能同時(shí)存在，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；力能否合成與力的性質(zhì)無(wú)關(guān)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
（二）力的合成和分解
力的合成和分解(科學(xué)思維——科學(xué)推理)
泰山索道包括泰山中天門(mén)索道、后石塢索道、桃花源索道。三條索道以岱頂為中心，構(gòu)成了連接中天門(mén)景區(qū)、后石塢景區(qū)和桃花峪景區(qū)的泰山空中交通網(wǎng)，如圖為正在運(yùn)行的泰山索道。索道為什么松一些好？
提示：如圖，當(dāng)合力一定時(shí)，兩分力間的夾角越小，分力也就越小，所以索道松一些好。
1．遵循原則：都遵循平行四邊形定則。
2．合力的求解方法：
(1)作圖法(如圖所示)
根據(jù)平行四邊形定則用作圖工具作出平行四邊形，后用測(cè)量工具測(cè)量出合力的大小、方向，具體操作流程如下：
(2)計(jì)算法
①兩分力共線時(shí)：
a．若F1與F2方向相同，則合力大小F＝F1＋F2，方向與F1和F2的方向相同。
b．若F1與F2方向相反，則合力大小F＝|F1－F2|，方向與F1和F2中較大的方向相同。
②兩分力不共線時(shí)：可以先根據(jù)平行四邊形定則作出分力及合力的示意圖，然后由幾何知識(shí)求解對(duì)角線，即為合力。
3．以下為求合力的兩種常見(jiàn)特殊情況：
類型 作圖 合力的計(jì)算
兩分力相 互垂直 大?。篎＝ 方向：tan θ＝
兩分力等大， 夾角為θ 大小：F＝2F1cos 方向：F與F1夾角為
【典例】假設(shè)斜拉橋中某對(duì)鋼索與豎直方向的夾角都是30°，每根鋼索中的拉力都是3×104 N，通過(guò)作圖法和計(jì)算法求出它們對(duì)塔柱形成的合力的大小。
【解析】作圖法：自O(shè)點(diǎn)引兩根有向線段OA和OB，它們跟豎直方向的夾角都為30°。取單位長(zhǎng)度為1×104 N，則OA和OB的長(zhǎng)度都是3個(gè)單位長(zhǎng)度。量得對(duì)角線OC長(zhǎng)為5.2個(gè)單位長(zhǎng)度，所以合力的大小為F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N。
計(jì)算法：
根據(jù)這個(gè)平行四邊形是一個(gè)菱形的特點(diǎn)，如圖所示，連接AB，交OC于點(diǎn)D，則AB與OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC。對(duì)于直角三角形AOD，∠AOD＝30°，而OD＝OC，則有F＝2F1cos30°＝2×3×104× N≈5.2×104 N。
答案：5.2×104 N
【拓展要點(diǎn)】多力的合成
1．合成方法：多個(gè)力的合成的基本方法仍是平行四邊形定則。具體做法是先任選兩個(gè)分力求出它們的合力，用求得的結(jié)果再與第三個(gè)分力求合力，直到將所有分力的合力求完。
2．三個(gè)力合力范圍的確定：
最大值 三個(gè)力方向均相同時(shí)，三力合力最大，F(xiàn)m＝F1＋F2＋F3
最小值 若一個(gè)力在另外兩個(gè)力的和與差之間，則它們的合力的最小值為零
若一個(gè)力不在另外兩個(gè)力的和與差之間，則它們的合力的最小值等于三個(gè)力中最大的力減去另外兩個(gè)力
（三）矢量和標(biāo)量
[知識(shí)梳理]
1．矢量：既有大小又有方向，相加時(shí)遵從平行四邊形定則的物理量。
2．標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向，相加時(shí)遵從算術(shù)法則的物理量。
3．三角形定則：把兩個(gè)矢量首尾相接，從第一個(gè)矢量的始端指向第二個(gè)矢量的末端的有向線段就表示合矢量的大小和方向，表示三個(gè)矢量的有向線段正好組成閉合的三角形。
力合成的三角形如圖甲所示。位移合成的三角形如圖乙所示。
[初試小題]
1．判斷正誤。
(1)只要有方向的物理量就是矢量。(×)
(2)電流的方向規(guī)定為正電荷定向移動(dòng)的方向，故電流是矢量。(×)
(3)三角形定則和平行四邊形定則的實(shí)質(zhì)是一樣的，都是矢量運(yùn)算的法則。(√)
(4)有的標(biāo)量也有方向，所以運(yùn)算時(shí)也遵循平行四邊形定則。(×)
2．對(duì)于矢量和標(biāo)量的說(shuō)法正確的是(　　)
A．有大小和方向的物理量就是矢量
B．力、位移和路程都是矢量
C．矢量合成必須遵循平行四邊形定則
D．矢量和標(biāo)量的運(yùn)算法則相同
解析：選C　有些標(biāo)量也有方向，故A錯(cuò)誤；路程是標(biāo)量，故B錯(cuò)誤；矢量與標(biāo)量的根本區(qū)別是運(yùn)算法則不同，故C正確，D錯(cuò)誤。
【重難探究】
一、合力與分力的關(guān)系
(1)一個(gè)成年人或兩個(gè)孩子均能提起同一桶水，那么該成年人用的力與兩個(gè)孩子用的力的作用效果是否相同？二者能否等效替代？
(2)兩個(gè)孩子共提一桶水時(shí)，要想省力，兩個(gè)人拉力間的夾角應(yīng)大些還是小些？為什么？
答案　(1)作用效果相同；兩種情況下的作用效果均是把同一桶水提起來(lái)，能夠等效替代．
(2)夾角應(yīng)小些．提水時(shí)兩個(gè)孩子對(duì)水桶拉力的合力的大小等于一桶水所受的重力，合力不變時(shí)，兩分力的大小隨著兩個(gè)力之間夾角的減小而減小，因此夾角越小越省力．
兩分力大小不變時(shí)，合力F隨兩分力夾角θ的增大而減小，隨θ的減小而增大．
(1)兩分力同向(θ＝0°)時(shí)，合力最大，F(xiàn)＝F1＋F2，合力與分力同向．
(2)兩分力反向(θ＝180°)時(shí)，合力最小，F(xiàn)＝|F1－F2|，合力的方向與較大的一個(gè)分力的方向相同．
(3)合力的取值范圍：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
合力可以大于某一分力，也可以小于某一分力，還可以等于某一分力．
例1　關(guān)于兩個(gè)大小不變的分力與其合力的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．合力的大小隨兩力夾角增大而增大
B．合力的大小不能小于分力中最小者
C．合力的大小一定大于分力中最大者
D．兩個(gè)分力夾角小于180°時(shí)，合力大小隨著夾角的減小而增大
答案　D
解析　在夾角小于180°范圍內(nèi)，合力的大小隨兩力夾角的增大而減小，隨夾角的減小而增大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，D正確；合力的大小可能比分力大，也可能比分力小，還有可能等于分力，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤．
例2　力是矢量，它的合成與分解遵循平行四邊形定則，則下列關(guān)于大小分別為7 N和9 N的兩個(gè)力的合力的說(shuō)法正確的是(　　)
A．合力可能為3 N　　　 B．合力不可能為9 N
C．合力一定為16 N D．合力可能為1 N
答案　A
解析　兩力合成時(shí)，有|F1－F2|≤F≤F1＋F2.當(dāng)兩力夾角為零時(shí)合力最大，最大值為9 N＋7 N＝16 N；當(dāng)夾角為180°時(shí)合力最小，最小值為9 N－7 N＝2 N；故合力介于2 N至16 N之間，A正確，B、C、D錯(cuò)誤．
二、合力的求解
1．作圖法(如圖2所示)
圖2
2．計(jì)算法
(1)兩分力共線時(shí)：
①若F1、F2兩力同向，則合力F＝F1＋F2，方向與兩力同向．
②若F1、F2兩力反向，則合力F＝|F1－F2|，方向與兩力中較大的同向．
(2)兩分力不共線時(shí)：
可以根據(jù)平行四邊形定則作出力的示意圖，然后由幾何關(guān)系求解對(duì)角線，其長(zhǎng)度即為合力大?。韵聻閮煞N特殊情況：
圖3
①相互垂直的兩個(gè)力的合成(即α＝90°)：F＝，F(xiàn)與F1的夾角的正切值tan β＝，如圖3所示．
②兩個(gè)等大的力的合成：平行四邊形為菱形，利用其對(duì)角線互相垂直平分的特點(diǎn)可解得F合＝2Fcos，如圖4所示．
　
圖4　　　　　　　圖5
若α＝120°，則合力大小等于分力大小(如圖5所示)．
例3　物體只受兩個(gè)力F1和F2的作用，F(xiàn)1＝30 N，方向水平向左，F(xiàn)2＝40 N，方向豎直向下．求這兩個(gè)力的合力F.
答案　50 N，與F1的夾角為53°斜向左下
解析　解法一　圖解法
取單位長(zhǎng)度為10 N的力，則分別取3個(gè)單位長(zhǎng)度、4個(gè)單位長(zhǎng)度，自O(shè)點(diǎn)引兩條有向線段OF1和OF2分別表示力F1、F2.以O(shè)F1和OF2為兩個(gè)鄰邊，作平行四邊形如圖所示，則對(duì)角線的長(zhǎng)度為5個(gè)單位長(zhǎng)度，則合力的大小F＝5×10 N＝50 N．用量角器量出合力F與分力F1的夾角θ為53°，方向斜向左下．
解法二　計(jì)算法
實(shí)際上是先運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，再回到物理情景中．在如圖所示的平行四邊形中，△OFF1為直角三角形，根據(jù)直角三角形的幾何關(guān)系，可以求得斜邊OF的長(zhǎng)度和OF與OF1間的夾角，將其轉(zhuǎn)化為物理問(wèn)題，就可以求出合力F的大小和方向，則F＝＝50 N，tan θ＝＝，θ為53°，合力F與F1的夾角為53°，方向斜向左下．
三、力的正交分解
如圖所示，重為G的物體靜止在傾角為θ的斜面上，
以物體(可以看成質(zhì)點(diǎn))為原點(diǎn)，沿斜面向下為x軸，垂直斜面向下為y軸，作圖并求物體重力在x軸和y軸方向的分力．
答案　如圖所示
G1＝Gsin θ，G2＝Gcos θ
正交分解法
1．定義：把力沿著兩個(gè)選定的相互垂直的方向分解的方法．
2．正交分解法求合力的步驟：
(1)建立坐標(biāo)系：以共點(diǎn)力的作用點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直角坐標(biāo)系x軸和y軸的選擇應(yīng)使盡量多的力在坐標(biāo)軸上．
圖8
(2)正交分解各力：將每一個(gè)不在坐標(biāo)軸上的力分解到x軸和y軸上，并求出各分力的大小，如圖8所示．
(3)分別求出x軸、y軸上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，F(xiàn)y＝F1y＋F2y＋….
(4)求共點(diǎn)力的合力：合力大小F＝，設(shè)合力的方向與x軸的夾角為α，則tan α＝.
例4　在同一平面內(nèi)共點(diǎn)的四個(gè)力F1、F2、F3、F4的大小依次為19 N、40 N、30 N和15 N，方向如圖9所示，求它們的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
圖9
答案　38.2 N，方向與F1夾角為45°斜向右上
解析　本題若直接運(yùn)用平行四邊形定則求解，需解多個(gè)斜三角形，需多次確定各個(gè)力的合力的大小和方向，計(jì)算過(guò)程十分復(fù)雜．為此，可采用力的正交分解法求解此題．
如圖甲，建立直角坐標(biāo)系，
把各個(gè)力分解到這兩個(gè)坐標(biāo)軸上，
并求出x軸和y軸上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
因此，如圖乙所示，合力：
F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.
即合力的大小約為38.2 N，方向與F1夾角為45°斜向右上．
1．作圖法求合力時(shí)，各個(gè)力的圖示必須采用同一標(biāo)度，并且所選力的標(biāo)度的比例要適當(dāng)．
2．平行四邊形定則是矢量運(yùn)算的通用法則，適用于任何矢量的運(yùn)算．
3．坐標(biāo)軸的選取原則：坐標(biāo)軸的選取是任意的，為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，建立坐標(biāo)系時(shí)坐標(biāo)軸的選取一般有以下兩個(gè)原則：
(1)使盡量多的力處在坐標(biāo)軸上．
(2)盡量使某一軸上各分力的合力為零．
4．正交分解法的適用情況：適用于計(jì)算物體受三個(gè)或三個(gè)以上共點(diǎn)力的合力情況．
針對(duì)訓(xùn)練　兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1、F2，當(dāng)它們之間的夾角為90°時(shí)合力的大小為20 N，則當(dāng)它們之間夾角為120°時(shí)，合力的大小為(　　)
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
答案　B
解析　設(shè)F1＝F2＝F，當(dāng)它們之間的夾角α＝90°時(shí)，如圖甲所示，由畫(huà)出的平行四邊形(為正方形)得合力為F合＝＝＝F.
所以F＝F合＝×20 N＝10 N.
當(dāng)兩分力F1和F2之間夾角變?yōu)棣拢?20°時(shí)，同理畫(huà)出平行四邊形，如圖乙所示．由于平行四邊形的一半為一等邊三角形，因此其合力F′＝F1＝F2＝10 N.
針對(duì)訓(xùn)練　
如圖10所示，將大拇指傾斜按在水平桌面上向前推(仍靜止不動(dòng))，此推力大小為80 N，方向斜向下，與水平方向成37°角，則大拇指對(duì)桌面的壓力和摩擦力分別多大(　　)
圖10
A．64 N,48 N　　　　　　 B．48 N,64 N
C．40 N,80 N D．80 N,80 N
答案　B
解析　將推力F沿兩個(gè)效果方向分解，即水平向右和豎直向下，分解如圖，
則：F1＝Fcos 37°＝80×0.8 N＝64 N，F(xiàn)2＝Fsin 37°＝80×0.6 N＝48 N，即大拇指對(duì)桌面的壓力FN＝F2＝48 N，對(duì)桌面的摩擦力為Ff＝F1＝64 N.
【鞏固訓(xùn)練】
1.如圖所示，輕質(zhì)網(wǎng)兜兜住重力為G的足球，用輕繩掛于光滑豎直墻壁上的A點(diǎn)，輕繩的拉力為，墻壁對(duì)足球的支持力為，則( )
A. B. C. D.
2.如圖所示，質(zhì)量均為m的小球A、B用兩根不可伸長(zhǎng)的輕繩連接后懸掛于O點(diǎn)，在外力F的作用下，小球A、B處于靜止?fàn)顟B(tài).若要使兩小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，且懸線OA與豎直方向的夾角θ保持30°不變，則外力F的大小不可能為( )
A.0.5mg B.mg C.2mg D.5mg
3.唐代《耒耜經(jīng)》記載了曲轅犁相對(duì)直轅犁的優(yōu)勢(shì)之一是起土省力，設(shè)牛用大小相等的拉力F通過(guò)耕索分別拉兩種犁，F(xiàn)與豎直方向的夾角分別為α和β，，如圖所示，忽略耕索質(zhì)量，耕地過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是( )
A.耕索對(duì)曲轅犁拉力的水平分力比對(duì)直轅犁的大
B.耕索對(duì)曲轅犁拉力的豎直分力比對(duì)直轅犁的大
C.曲轅犁勻速前進(jìn)時(shí)，耕索對(duì)犁的拉力小于犁對(duì)耕索的拉力
D.直轅犁加速前進(jìn)時(shí)，耕索對(duì)犁的拉力大于犁對(duì)耕索的拉力
某同學(xué)利用如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置完成了“探究合力與分力的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)，其中間為橡皮筋，為分別掛有彈簧測(cè)力計(jì)的細(xì)繩套，本實(shí)驗(yàn)采用了“等效替代法”的思想，分析下列問(wèn)題：

（1）下列對(duì)“等效替代法”的理解正確的是______。
A. 間的橡皮筋可以用細(xì)繩代替
B. 與 間的細(xì)繩可以用橡皮筋代替
C.兩個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)共同作用的效果可以用一個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)的作用代替
（2）下列操作錯(cuò)誤或不必要的是______。
A.實(shí)驗(yàn)時(shí)兩細(xì)繩 必須垂直
B.應(yīng)在細(xì)繩上用筆尖記錄間距較近的兩點(diǎn)來(lái)確定細(xì)繩的方向
C.橡皮筋的反向延長(zhǎng)線必須在 的角平分線上
D.在讀取彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)時(shí)必須正視彈簧測(cè)力計(jì)
（3）如果開(kāi)始時(shí) 兩細(xì)繩的夾角小于90°,現(xiàn)保持 O點(diǎn)的位置以及 BO的方向不變,在將CO沿逆時(shí)針?lè)较蚓徛D(zhuǎn)動(dòng)到水平的過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是______。
A.左側(cè)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)一直減小 B.左側(cè)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)先減小后增大
C.右側(cè)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)一直增大 D.右側(cè)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)先減小后增大
參考答案
1.答案：C
解析：足球受重力、拉力和支持力平衡，受力如圖：
運(yùn)用合成法，根據(jù)幾何知識(shí)得：
繩子對(duì)球的拉力為：
墻壁的支持力為：，
可知：，故C正確，ABD錯(cuò)誤。
故選：C。
2.答案：A
解析：對(duì)AB兩球整體受力分析，受重力，OA繩子的拉力T以及拉力F，三力平衡，將繩子的拉力T和拉力F合成，其合力與重力平衡，如圖：
當(dāng)拉力F與繩子的拉力T垂直時(shí)，拉力F最小，最小值為，即；由于拉力F的方向具有不確定性，因而從理論上講，拉力F最大值可以取到任意值，故A錯(cuò)誤，BCD正確。
本題選擇錯(cuò)誤的，故選：A。
3.答案：B
解析：A、耕索對(duì)曲轅犁拉力的水平分力大小為，耕索對(duì)直轅犁拉力的水平分力大小為，由于，則耕索對(duì)曲轅犁拉力的水平分力比對(duì)直轅犁拉力的水平分力小，故A錯(cuò)誤；B、耕索對(duì)曲轅犁拉力的在豎直方向的分力大小為，耕索對(duì)直轅犁拉力的豎直方向分力大小為，由于，則耕索對(duì)曲轅犁拉力的豎直方向的分力比對(duì)直轅犁拉力在豎直方向的分力大，故B正確；CD、無(wú)論曲轅犁勻速前進(jìn)或直轅犁加速前進(jìn)，耕索對(duì)犁的拉力與犁對(duì)耕索的拉力屬于物體間的相互作用力，總是大小相等、方向相反，故CD錯(cuò)誤。故選：B。

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