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第二節　簡諧運動的描述
[核心素養·明目標]
核心素養 學習目標
科學思維 能從簡諧運動的函數表達式分析簡諧運動的振幅、周期、頻率等
科學方法 掌握簡諧運動圖像的物理意義和應用
物理觀念 知道簡諧運動的數學描述，了解相位的概念
知識點一　簡諧運動的函數描述
1．描述簡諧運動位移—時間圖像的函數表達式為x＝Acos(ωt＋φ)．式中A是簡諧運動的振幅，ω為簡諧運動的角頻率．
2．ω與T、f的關系為：ω＝＝2πf．
知識點二　簡諧運動的圖像描述
1．相位、初相
位移—時間函數x＝cos(ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而對應t＝0時的相位φ叫作初相．
2．相位差
對于頻率相同、相位不同的振子，相位差Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2，表示兩個頻率相同的簡諧運動的振動先后關系．
3．圖像信息
如圖所示，從圖像上可知周期和振幅．還可知道任一時刻的位移大小和方向．
1．思考判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．
(1)位移—時間圖像表示振動質點的運動軌跡． (×)
(2)振動的位移為正時，速度也為正． (×)
(3)簡諧運動圖像反映了物體在不同時刻相對平衡位置的位移． (√)
(4)振動位移的方向總是背離平衡位置． (√)
2．一質點做簡諧運動的圖像如圖所示，該質點在t＝3.5 s時刻(　　)
A．速度為正、加速度為正 B．速度為負、加速度為負
C．速度為負、加速度為正 D．速度為正、加速度為負
D　[由圖像可知，質點從正的最大位移處出發，向平衡位置運動，由此知3.5 s時，質點由平衡位置向正的最大位移處運動，所以此時速度為正，質點做減速運動，加速度為負，故選項D正確．]
3．一個彈簧振子沿x軸做簡諧運動，取平衡位置O為x軸坐標原點．從某時刻開始計時，經過四分之一個周期，振子具有沿x軸正方向的最大加速度．能正確反映振子位移與時間關系的圖像是(　　)
A　　　　 B　　　　 C　　 　　D
A　[經周期振子具有沿x軸正方向的最大加速度，故此時振子有負方向的最大位移，A圖符合，故A項正確；B圖中，經周期振子位移為零，故B項錯誤；C圖中，經周期振子位移正向最大，故C項錯誤；D圖中，經周期振子位移為零，故D項錯誤．]
考點1　簡諧運動的表達式
某彈簧振子的振動圖像如圖所示，將彈簧振子從平衡位置拉開4 cm后放開，同時開始計時，
討論：(1)該振動的周期、頻率分別是多少？
(2)寫出該振動的正弦函數表達式．
提示：(1)周期T＝0.4 s　頻率f＝2.5 Hz．
(2)x＝4sin(5πt＋) cm．
1．簡諧運動表達式x＝Asin ωt的理解
(1)x：表示振動質點相對于平衡位置的位移．
(2)A：表示振幅，描述簡諧運動振動的強弱．
(3)ω：角頻率，它與周期、頻率的關系為ω＝＝2πf．可見ω、T、f相當于一個量，描述的都是振動的快慢．
2．簡諧運動的表達式x＝Asin(ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性運動的物體在各個不同時刻所處的不同狀態，是描述不同振動的振動步調的物理量．它是一個隨時間變化的量，相當于一個角度，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動．
(2)式中φ0表示t＝0時簡諧運動質點所處的狀態，稱為初相位或初相．
(3)相位差：即某一時刻的相位之差．兩個具有相同ω的簡諧運動，設其初相位分別為φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01．當Δφ＝0時，兩質點振動步調一致；當Δφ＝π時，兩質點振動步調完全相反．
【典例1】　一物體沿x軸做簡諧運動，振幅為12 cm，周期為2 s．當t＝0時，位移為6 cm，且向x軸正方向運動，求：
(1)初相位；
(2)t＝0.5 s時物體的位置．
[思路點撥]　①關鍵條件是：t＝0時，位移為6 cm，且向x軸正方向運動．
②先假設函數表達式，由t＝0時x＝6 cm求出初相φ．
[解析]　(1)設簡諧運動的表達式為x＝Asin(ωt＋φ)，
A＝12 cm，T＝2 s，ω＝，t＝0時，x＝6 cm，
代入上式得，6 cm＝12sin(0＋φ) cm，
解得sin φ＝，φ＝或π，
因這時物體向x軸正方向運動，故應取φ＝，即其初相為．
(2)由上述結果可得：
x＝Asin(ωt＋φ)＝12sincm，
所以x＝12sin cm＝12sinπ cm＝6 cm．
[答案]　(1)　(2)6 cm處
初相位的兩種求解方法
(1)確定振幅A、角頻率ω及t＝0時刻的位移x，然后利用x＝Asin(ωt＋φ)，求出初相位φ．
(2)設平衡位置處的質點向正方向運動n(n<1)個周期可到達t＝0時刻質點所在處，則初相位φ＝n·2π．
[跟進訓練]
1．彈簧振子做簡諧運動，振子運動范圍為0.8 cm，周期為0.5 s，計時開始時具有正向最大加速度，則它的振動方程是(　　)
A．x＝ 8×10－3 sin( m )
B．x＝4×10－3 sin( m )
C．x＝8×10－3 sin( m )
D．x＝4×10－3 sin( m )
B　[振子振動范圍0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期為0.5 s，所以ω＝＝4π rad/s，而初始時刻具有正向最大加速度，即在波谷位置，綜上可得：x＝4×10－3·sin( m )，B正確，A、C、D錯誤．]
考點2　簡諧運動的圖像
如圖所示，在彈簧振子的小球上固定安置一記錄用的鉛筆P，在下面放一條白紙帶，鉛筆可在紙上留下痕跡．
討論：(1)振子振動時白紙不動，畫出的軌跡是怎樣的？
(2)振子振動時，勻速拖動白紙時，畫出的軌跡又是怎樣的？
提示：(1)是一條平行于小球運動方向的線段．
(2)是一條正弦曲線．
1．圖像形狀
正(余)弦曲線．
2．物理意義
表示振動質點在不同時刻偏離平衡位置的位移，是位移隨時間的變化規律．
3．圖像應用
(1)任意時刻質點位移的大小和方向．如圖甲所示，質點在t1、t2時刻的位移分別為x1和－x2．
甲
(2)任意時刻質點的振動方向：看下一時刻質點的位置，如圖乙中a點，下一時刻離平衡位置更遠，故a點此刻沿x軸正方向振動．圖乙中b點，下一時刻離平衡位置更近，故b此刻沿x軸正方向振動．
乙
(3)某段時間內位移、速度、加速度的變化情況判斷：先判斷質點在這段時間內的振動方向，從而確定各物理量的變化．如圖甲所示，質點在t1時刻到t0時刻這段時間內，離平衡位置的位移變小，故質點正向平衡位置運動，速度增大，位移和加速度都變小；質點在t0時刻到t2時刻這段時間內，質點遠離平衡位置運動，則速度為負值且減小，位移、加速度增大．
【典例2】　如圖甲所示，輕彈簧上端固定，下端系一質量為m＝1 kg的小球，小球靜止時彈簧伸長量為10 cm．現使小球在豎直方向上做簡諧運動，從小球在最低點釋放時開始計時，小球相對平衡位置的位移隨時間t變化的規律如圖乙所示，重力加速度g取10 m/s2．
(1)寫出小球相對平衡位置的位移隨時間的變化關系式；
(2)求出小球在0～12.9 s內運動的總路程和12.9 s時刻的位置；
(3)小球運動到最高點時加速度的大小．
　　　　　　 　甲　　　　　　　乙
[解析]　(1)由振動圖像可知：A＝5 cm，T＝1.2 s，則ω＝＝ rad/s，
小球相對平衡位置的位移隨時間的變化關系式：
y＝Acos ωt(cm)＝5cos t(cm)．
(2)12.9 s＝10T，則小球在0～12.9 s內運動的總路程：43A＝215 cm；12.9 s時刻的位置：y＝0，即在平衡位置．
(3)小球在平衡位置時彈簧伸長量10 cm，則：k＝＝ N/m＝100 N/m，
小球在最高點時，彈簧伸長5 cm，則mg－kΔx′＝ma，
解得a＝5 m/s2．
[答案]　(1)y＝5cost(cm)　(2)215 cm　平衡位置　(3)5 m/s2
簡諧運動圖像的應用技巧
(1)判斷質點任意時刻的位移大小和方向．
質點任意時刻的位移大小看質點離開平衡位置距離的大小即可，也可比較圖像中縱坐標值的大小．方向由坐標值的正負判斷或質點相對平衡位置的方向判斷．
(2)判斷質點任意時刻的加速度(回復力)大小和方向．
由于加速度(回復力)的大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反，所以只要從圖像中得出質點在任意時刻的位移大小和方向即可．
[跟進訓練]
2．(多選)彈簧振子做簡諧運動的振動圖像如圖所示，則(　　)
A．t＝0時，振子位移為零，速度為零，加速度為零
B．t＝1 s時，振子位移最大，速度為零，加速度最大
C．t1和t2時刻振子具有相同的速度
D．t3和t4時刻振子具有相同的加速度
BD　[t＝0時刻，振子位于平衡位置O，位移為零，加速度為零，但速度為最大值，選項A錯誤；t＝1 s時，振子位于正向最大位移處，位移最大，加速度最大，而速度為零，選項B正確；t1和t2時刻振子位于正向同一位置，t1時刻是經此點向正方向運動，t2時刻回到此點向負方向運動，兩時刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，選項C錯誤；t3和t4時刻振子位移相同，即處在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，選項D正確．]
1．物理觀念：利用簡諧運動的函數表達式分析振幅、周期、頻率．
2．科學方法：簡諧運動的圖像．
3．科學思維：簡諧運動的位移公式與圖像的綜合應用．
1．兩個簡諧運動的表達式分別為x1＝4sin 4πt(cm)和x2＝2sin 2πt(cm)，它們的振幅之比、各自的頻率之比是(　　)
A．2∶1　2∶1　　　 B．1∶2　1∶2
C．2∶1　1∶2 D．1∶2　2∶1
A　[由題意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，則A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1．故A正確，B、C、D錯誤．]
2．一質點做簡諧運動的圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．質點的振動頻率是4 Hz
B．在10 s內質點通過的路程是20 cm
C．第4 s末質點的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s兩時刻，質點位移大小相等、方向相同
B　[根據振動圖像可知，該簡諧運動的周期T＝4 s，所以頻率f＝＝0.25 Hz，A錯；10 s內質點通過的路程s＝×4A＝10A＝10×2 cm＝20 cm，B對；第4 s末質點經過平衡位置，速度最大，C錯；在t＝1 s和t＝3 s兩時刻，質點位移大小相等、方向相反，D錯．]
3．如圖所示為某物體做簡諧運動的圖像，下列說法中正確的是(　　)
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先減小后增大
D．由M→N位移始終減小
A　[由圖像可知從P→Q物體遠離平衡位置向外運動，位移增大，速度減小，A正確，B錯誤；由M→N，物體由正位移處向平衡位置移動，速度增大，位移減小，再由平衡位置沿負方向運動，位移增大，速度減小，選項C、D錯誤．]
4．(多選)如圖所示是表示一質點做簡諧運動的圖像，下列說法正確的是(　　)
A．t1時刻振子正通過平衡位置向正方向運動
B．t2時刻振子的位移最大
C．t3時刻振子正通過平衡位置向正方向運動
D．該圖像是從平衡位置計時畫出的
BC　[從圖像可以看出，t＝0時刻，振子在正的最大位移處，因此是從正的最大位移處開始計時畫出的圖像，D項錯誤；t1時刻以后振子的位移為負，t1時刻振子正通過平衡位置向負方向運動，A項錯誤；t2時刻振子在負的最大位移處，因此可以說是在最大位移處，B項正確；t3時刻以后，振子的位移為正，所以該時刻振子正通過平衡位置向正方向運動，C項正確．]
5．如圖所示是某質點做簡諧運動的圖像，根據圖像中的信息，回答下列問題：
(1)質點離開平衡位置的最大距離有多大？
(2)在1.5 s和2.5 s兩個時刻，質點向哪個方向運動？
(3)質點在第2 s末的位移是多少？在前4 s內的路程是多少？
[解析]　由圖像上的信息，結合質點的振動過程可作出以下回答：
(1)質點離開平衡位置的最大距離就是x的最大值10 cm．
(2)在1.5 s以后的時間質點位移減小，因此是向平衡位置運動，在2.5 s以后的時間位移增大，因此是背離平衡位置運動．
(3)2 s末時質點在平衡位置，因此位移為零．質點在前4 s內完成一個周期性運動，其路程10×4 cm＝40 cm．
[答案]　(1)10 cm　(2)向平衡位置運動　背離平衡位置運動　(3)0　40 cm

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