資源簡介

專題21　　電場力的性質
題型 選擇題 命題趨勢和備考策略
高考考點 庫侖定律的簡單應用；庫侖力作用下物體的平衡；電場強度和電場線的理解及應用；電場強度的疊加與計算 【命題規(guī)律】 近3年新高考卷對于本節(jié)內容考查共計22次，主要考查： 1. 庫侖定律作用下物體的平衡； 2. 等量同種、異種電荷周圍的電場、電勢的分布特點； 3. 電場強度的疊加與計算； 【備考策略】 根據(jù)電荷間的相互作用規(guī)律，能正確判斷電場力的方向，并掌握兩個電場力公式和三個電場強度公式的使用條件和求解的方法和技巧；熟練巧記電荷周圍電場和電勢的分布，并能判斷電場和電勢的高低，能將空間問題轉化為平面的問題；理解電場的疊加原理，掌握電場強度的四種特殊的計算方法； 【命題預測】 電場是每年高考必考的知識點之一，本節(jié)電場力的性質即可單獨命題，也可和磁場綜合命題出現(xiàn)在各省的考試卷中。其中電場的疊加問題、等量的同種電荷和異種電荷周圍的電場、電勢的分布又屬于近幾年來的熱門考點。2024年考生務必熟練掌握電荷周圍的電場和電勢的分布特點，學會空間問題轉化為平面問題的方法和技巧。
新高考 2023 海南卷8題、湖北卷3題、浙江卷8題、山東卷11題、海南卷12題、湖南卷5題、全國乙卷24題
2022 天津卷2題、遼寧卷10題、海南卷8題、江蘇卷9題、河北卷6題、湖南卷2題、山東卷3題、全國乙卷6題、浙江卷10題、浙江春招1題
2021 江蘇卷10題、湖北卷8題、山東卷6題、河北卷10題、海南卷10題
【導航窗口】
知識梳理
一、庫侖定律　電荷守恒定律 2
二、電場、電場強度 2
三、電場線 3
考點突破
考點一　庫侖定律的理解及應用 4
考點二 庫倫力作用下的平衡問題 5
角度1：三個點電荷共線平衡 6
角度2：共點力作用下的平衡問題 8
角度3：庫侖力作用下的動態(tài)平衡問題 9
考點三　電場強度的理解及疊加 11
角度1：等效法 12
角度2：對稱法 14
角度3：補償法 15
角度4：微元法 16
考點四　電場中的平衡和加速問題 19
角度1：三個點電荷共線平衡 19
角度2：共點力作用下的平衡問題 21
角度3：庫侖力作用下的動態(tài)平衡問題 22
考點過關
【素質基礎練】 24
【能力提高練】 31
【高考通關練】 39
一、庫侖定律　電荷守恒定律
1．點電荷
有一定的電荷量，忽略形狀和大小的一種理想化模型．
2．電荷守恒定律
(1)起電方式：摩擦起電、接觸起電、感應起電．
(2)帶電實質：物體帶電的實質是得失電子．
(3)內容：電荷既不會創(chuàng)生，也不會消滅，它只能從一個物體轉移到另一個物體，或者從物體的一部分轉移到另一部分；在轉移過程中，電荷的總量保持不變．
3．庫侖定律
(1)內容：真空中兩個靜止點電荷之間的相互作用力，與它們的電荷量的乘積成正比，與它們的距離的二次方成反比，作用力的方向在它們的連線上．
(2)表達式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做靜電力常量．
(3)適用條件：①真空中；②點電荷．
[深度思考]　計算兩個帶電小球之間的庫侖力時，公式中的r一定是指兩個球心之間的距離嗎？為什么？
答案　不一定．當兩個小球之間的距離相對于兩球的直徑較小時，兩球不能看做點電荷，這時公式中的r大于(帶同種電荷)或小于(帶異種電荷)兩個球心之間的距離．
二、電場、電場強度
1．電場
(1)定義：存在于電荷周圍，能傳遞電荷間相互作用的一種特殊物質．
(2)基本性質：對放入其中的電荷有力的作用．
2．電場強度
(1)定義：放入電場中某點的電荷受到的電場力F與它的電荷量q的比值．
(2)定義式：E＝，q為試探電荷．
(3)矢量性：規(guī)定正電荷在電場中某點所受電場力的方向為該點電場強度的方向．
3．場強公式的比較
4．電場的疊加
(1)電場疊加：多個電荷在空間某處產(chǎn)生的電場強度為各電荷單獨在該處所產(chǎn)生的電場強度的矢量和．
(2)運算法則：平行四邊形定則．
5．等量同種和異種點電荷的電場強度的比較
比較項目 等量異種點電荷 等量同種點電荷
電場線分布圖
連線中點O處的場強 連線上O點場強最小，指向負電荷一方 為零
連線上的場強大小(從左到右)　　　 沿連線先變小，再變大 沿連線先變小，再變大
沿中垂線由O點向外場強大小 O點最大，向外逐漸減小 O點最小，向外先變大后變小
三、電場線
1．定義
為了形象地描述電場中各點場強的強弱及方向，在電場中畫出一些曲線，曲線上每一點的切線方向都跟該點的場強方向一致，曲線的疏密表示電場的強弱．
2．電場線的三個特點
(1)電場線從正電荷或無限遠處出發(fā)，終止于無限遠或負電荷處；
(2)電場線在電場中不相交；
(3)在同一幅圖中，電場強度較大的地方電場線較密，電場強度較小的地方電場線較疏．
考點一　庫侖定律的理解及應用
1．庫侖定律適用于真空中靜止點電荷間的相互作用．
2．對于兩個均勻帶電絕緣球體，可將其視為電荷集中在球心的點電荷，r為球心間的距離．
3．對于兩個帶電金屬球，要考慮表面電荷的重新分布，如圖所示．
(1)同種電荷：F＜k；(2)異種電荷：F＞k.
4．不能根據(jù)公式錯誤地認為r→0時，庫侖力F→∞，因為當r →0時，兩個帶電體已不能看做點電荷了．
【典例1】（2023·貴州·校考模擬預測）兩個完全相同的金屬小球，所帶電荷量之比為，當它們相距為R（R遠大于小球半徑r）時，相互作用大小為F。現(xiàn)讓兩球接觸一下，然后放到相距為的兩點，這時兩球相互作用力大小可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】ABCD．設兩球的帶電量大小分別為3q、5q，根據(jù)庫侖定律得，相距R時的相互作用力為
若兩小球帶同種電荷，所以接觸后再分離，兩球的帶電量大小各為4q，根據(jù)庫侖定律得
若兩小球帶異種電荷，所以接觸后再分離，兩球的帶電量大小各為q，根據(jù)庫侖定律得，所以接觸后兩小球的相互作用力可能為或。
故選A。
1．如果接觸前兩金屬球帶同種電荷，電荷量分別為q1和q2，兩球接觸時，總電荷量平均分配，兩球的電荷量都等于.
2．如果接觸前兩金屬球帶異種電荷，電荷量分別為q1和q2，且q1＞q2，接觸時，先中和再將剩余的電荷量(q1－q2)平均分配，兩球的電荷量都等于.
【變式1】（2023·上海·統(tǒng)考模擬預測）三個大小相同的帶電導體球，帶電量分別為、和，讓與先接觸，然后讓與接觸，最終所帶的電荷量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】相同大小的三個帶電導體球，根據(jù)電荷守恒定律得，與先接觸后兩球分別帶電為
再讓與接觸，兩球最后分別帶電為
故選A。
【變式2】（2023·貴州·校考模擬預測）取一對用絕緣柱支撐的不帶電的導體A和B，使它們彼此接觸。A、B下方均連有兩片金屬箔片。手握絕緣棒，把帶正電荷的帶電體C移近導體A，下列判斷正確的是（　　）
A．僅有A下方的金屬箔片張開 B．僅有B下方的金屬箔片張開
C．導體A和B帶等量異種電荷 D．導體A帶正電、導體B帶負電
【答案】C
【詳解】把帶正電荷的帶電體C移近導體A，則導體A外端由于靜電感應帶負電荷，導體B外端由于靜電感應帶正電荷，即導體A和導體B下方的金屬箔片均張開，根據(jù)電荷守恒定律可知，導體A和導體B的帶電量是相等的。
故選C。
考點二 庫倫力作用下的平衡問題
電場力的兩個表達式
表達式
適用范圍 真空中的點電荷 任意電場
靜電場中帶電體平衡問題的解題思路
確定研究對象，如果有幾個物體相互作用時，要依據(jù)題意，適當選取“整體法”和“隔離法”，確定研究對象；
受力分析：分析方法和動力學的受力分析方法一致，唯一的區(qū)別是多了一個庫侖力；
三個自由點電荷的平衡問題
條件：兩個點電荷在第三個點電荷的合場強為零，或每個點電荷受到的兩個庫侖力必須大小相等，方向相反。
規(guī)律
①“三點共線”——三個點電荷分布在同一條直線上
②“兩同夾一異”——正負電荷相互間隔
③“兩同夾一小”——中間電荷電荷量最小
④“遠小近大”——中間電荷靠近電荷量較小的電荷
角度1：三個點電荷共線平衡
【典例2】（2023·重慶北碚·統(tǒng)考）如圖所示，在光滑絕緣水平面上有三個孤立的點電荷、Q、，Q恰好靜止不動，、圍繞Q做勻速圓周運動，在運動過程中三個點電荷始終共線。已知、分別與Q相距、，不計點電荷間的萬有引力，下列說法正確的是（ ）
A．、的電荷量之比為 B．、的電荷量之比為
C．、的質量之比為 D．、的質量之比為
【答案】C
【詳解】AB．點電荷Q恰好靜止不動，因此根據(jù)庫侖定律，則有：
所以Q1、Q2的電荷量之比為，故AB錯誤；
CD．對Q1、Q2：它們間的庫侖引力提供向心力，則有：，所以Q1、Q2的質量之比為 ，故C正確，D錯誤。
故選C。
【變式】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，同一直線上的三個點電荷、、，恰好都處在平衡狀態(tài)，除相互作用的靜電力外不受其他外力作用。已知、間的距離是、間距離的2倍。下列說法錯誤的是（　　）
A．若、為正電荷，則為負電荷
B．若、為負電荷，則為正電荷
C．
D．
【答案】C
【詳解】AB．三個自由電荷在同一直線上處于平衡狀態(tài)，則一定滿足“兩同夾異，近小遠大”原理，即兩邊的電荷電性相同和中間的電性相反，則q1、q3電性一定相同，q2電性一定與前兩者相反，故AB正確，不符合題意；
CD．根據(jù)庫侖定律，根據(jù)平衡，對：，解得
對于：，解得，所以，故C錯誤，符合題意；D正確，不符合題意。
故選C。
角度2：共點力作用下的平衡問題
【典例3】（2023·海南·統(tǒng)考高考真題）如圖所示，一光滑絕緣軌道水平放置，直徑上有A、B兩點，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定兩個帶電量分別為Q1、Q2的正電荷，現(xiàn)有一個帶正電小球靜置于軌道內側P點（小球可視為點電荷），已知AP：BP = n：1，試求Q1：Q2是多少（ ）

A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1
【答案】C
【詳解】對小球受力分析如圖所示

由正弦定理有
其中∠CPH = ∠OPB，∠CHP = ∠HPD = ∠APO
其中△APO中，
同理有，其中，，聯(lián)立有Q1：Q2= 2n3：1
故選C。
【變式】（2023·海南·統(tǒng)考二模）用絕緣細線a、b將兩個帶電小球1和2連接并懸掛，已知小球2的重力為G，如圖所示，兩小球處于靜止狀態(tài)，細線a與豎直方向的夾角為30°，兩小球連線與水平方向夾角為30°，細線b水平，則（　　）
A．小球1帶電量一定小于小球2的帶電量
B．細線a拉力大小為
C．細線b拉力大小為
D．小球1與2的質量比為
【答案】B
【詳解】A．由，可知，不能確定小球1與小球2的帶電量，故A不符合題意；
C．對小球2，由平衡條件可得，，解得細線b拉力大小為，故C不符合題意；
BD．對小球1，由平衡條件可得，，
解得細線a拉力大小為
小球1與2的質量比為，故B符合題意，D不符合題意。
故選B。
角度3：庫侖力作用下的動態(tài)平衡問題
【典例4】（多選）（2023·全國·模擬預測）如圖所示，已知帶電小球A、B的電荷量分別為、，A球固定，B球用長為L的絕緣絲線懸掛在O點，靜止時A、B相距為d，若A球電荷量保持不變，B球緩慢漏電，不計兩小球半徑，則下列說法正確的是（　　）
A．絲線對B球的拉力逐漸變大
B．A球對B球的庫侖力逐漸變小
C．當AB間距離減為時，B球的電荷量減小為原來的
D．當AB間距離減為時，B球的電荷量減小為原來的
【答案】BD
【詳解】AB．根據(jù)題意，對B受力分析，受重力、絲線拉力和庫侖力，如圖所示
由相似三角形可得，
根據(jù)庫侖定律可知，由于B球緩慢漏電，則F減小，由于、、均不變，則d逐漸減小，F(xiàn)T不變，故A錯誤，B正確；
CD．根據(jù)AB分析可知，當AB間距離減為時，庫侖力減小到原來的，根據(jù)可知，B球的電荷量減小為原來的，故C錯誤，D正確。
故選BD。
【變式】（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）如圖所示，兩個質量分別為和的帶電小球A、B（可視為質點）通過一根絕緣輕繩跨放在光滑的定滑輪上（滑輪大小不計），兩球靜止，O為滑輪正下方AB連線上的一個點。兩球到O點距離分別為和，到滑輪的距離分別為和，且，細繩與豎直方向的夾角分別為和，兩球電荷量分別為和。則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】A．由于兩球的電場力是相互作用力，故無法比較兩球電荷量的大小，A錯誤；
B．繩子上的力處處相等，對繩子跨過定滑輪的節(jié)點受力分析可知，
所以，B錯誤；
CD．對兩球受力可知，根據(jù)相似三角形
，
可得，，故C錯誤，D正確。
故選D。
考點三　電場強度的理解及疊加
1．求解電場強度的常規(guī)方法
電場強度是靜電學中極其重要的概念，也是高考考點分布的重點區(qū)域之一．求電場強度常見的有定義式法、點電荷電場強度公式法、勻強電場公式法、矢量疊加法．
2．求解電場強度的非常規(guī)思維方法
(1)等效法：在保證效果相同的前提下，將復雜的電場情景變換為簡單的或熟悉的電場情景．
例如：一個點電荷＋q與一個無限大薄金屬板形成的電場，等效為兩個異種點電荷形成的電場，如圖8甲、乙所示．
(2)對稱法：利用空間上對稱分布的電荷形成的電場具有對稱性的特點，使復雜電場的疊加計算問題大為簡化．
例如：如圖9，均勻帶電的球殼在O點產(chǎn)生的場強，等效為弧BC產(chǎn)生的場強，弧BC產(chǎn)生的場強方向，又等效為弧的中點M在O點產(chǎn)生的場強方向．
(3)填補法：將有缺口的帶電圓環(huán)補全為圓環(huán)，或將半球面補全為球面，從而化難為易、事半功倍．
(4)微元法：將帶電體分成許多元電荷，每個元電荷看成點電荷，先根據(jù)庫侖定律求出每個元電荷的場強，再結合對稱性和場強疊加原理求出合場強．
角度1：等效法
【典例5】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，xOy平面是無窮大導體的表面，該導體充滿z＜0的空間，z＞0的空間為真空。將電荷量為q的點電荷置于z軸上z=h處，則在xOy平面上會產(chǎn)生感應電荷，空間任意一點處的電場皆是由點電荷q和導體表面上的感應電荷共同激發(fā)的。已知靜電平衡時導體內部場強處處為零，則在 z軸上處的場強大小為（k為靜電力常量）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】在z軸 處，合場強為零，該點場強為q和導體近端感應電荷產(chǎn)生電場的場強的矢量和；q在處產(chǎn)生的場強為
由于導體遠端離處很遠，影響可以忽略不計，故導體在處產(chǎn)生場強近似等于近端在處產(chǎn)生的場強；處場強為，故
根據(jù)對稱性，導體近端在處產(chǎn)生的場強為
電荷q在處產(chǎn)生的場強為
故處的合場強為，故選D。
電場強度是矢量，疊加時應遵從平行四邊形定則，分析電場的疊加問題的一般步驟是：
(1)確定分析計算場強的空間位置；
(2)分析該處有幾個分電場，先計算出各個分電場在該點的電場強度的大小和方向；
(3)依次利用平行四邊形定則求出矢量和．
【變式】（2021·遼寧朝陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，的空間為真空，區(qū)域內充滿無限大導體，固定電荷為的點電荷，靜電力常量為k。已知靜電平衡時導體內部場強處處為零，則感應電荷在處形成的電場強度大小為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】感應電荷形成的電場與原電荷形成電場等大反向，因此只要求出在點處場強大小即可。根據(jù)點電荷電場強度，其中
所以，故B正確，ACD錯誤。
故選B。
角度2：對稱法
【典例6】（2023·全國·模擬預測）一半徑為R的圓盤上均勻分布著電荷量為Q的電荷，在垂直于圓盤且過圓心c的軸線上有a、b、d三個點，a和b、b和c、c和d間的距離均為R，在a點處有一電荷量為（）的固定點電荷。已知b點處的場強為零，則d點處場強的大小為（k為靜電力常量）（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】點電荷在b點的電場強度方向向右，大小為
要使b點的電場強度為零，圓盤在b點的電場強度方向向左，大小為
根據(jù)對稱性可知，圓盤在d點的電場強度方向向右，大小也為
所以d點的場強為
故選D。
【變式】如圖所示，在x軸上放置兩正點電荷Q1、Q2，當空間存在沿y軸負向的勻強電場時，y軸上A點的場強等于零，已知勻強電場的電場強度大小為E，兩點電荷到A的距離分別為r1、r2，則在y軸上與A點對稱的B點的電場強度大小為（　　）
A．E B．E C．2E D．4E
【答案】C
【詳解】A點場強為零，說明兩點電荷在A點的合場強與勻強電場的場強等大反向，即豎直向上，大小為E，根據(jù)對稱性，兩點電荷在B處產(chǎn)生的合場強豎直向下，大小為E，所以B點的場強大小為2E，方向豎直向下；
故選C。
角度3：補償法
【典例7】（2023秋·河南周口·高三河南省淮陽中學校考期末）均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場。如圖所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，==2R，已知M點的場強大小為E，則N點的場強大小為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】假設在O點有一個完整的帶電荷量為2q的帶電球殼，設完整球殼在N點產(chǎn)生的場強大小為E0，左半球殼在N點產(chǎn)生的電場強度大小為E左，右半球殼在N點產(chǎn)生的電場強度大小為E右，根據(jù)電場疊加原理
根據(jù)題意， ，解得，A正確，BCD錯誤。
故選A。
【變式】（2023·全國·高三專題練習）空間中有一正四面體，棱長為l。在4個頂點都放置一個電荷量為的正點電荷，棱、、中點分別為e、f、g，、、中點分別為h、i、j。已知無窮遠處電勢為0。則下列說法正確的是（　　）
A．e、f、g三點電勢不同，h、i、j三點電勢相同
B．底面的中心位置點的電場強度為
C．該正四面體內、外整個空間中一共有3個場強為0的位置
D．若將一個負點電荷，從e點沿棱移動到i點，電場力做功為0
【答案】D
【詳解】A．根據(jù)對稱性，六個棱中點分別到四面體各個頂點距離相等，故每個點電荷在六個棱中點各點的電勢都相等，所以每條棱的中點電勢都相同，故A錯誤；
B．底面的中心位置O點的電場強度為4個點電荷形成的電場強度的疊加，底面的點電荷形成的電場強度的矢量和為0，故O點的電場強度為由a點的點電荷產(chǎn)生，大小為，故B錯誤；
C．根據(jù)對稱性正四面體體心和無窮遠處兩個地方電場強度為0，故C錯誤；
D．e、i電勢差為0，故點電荷從e點沿棱移動到i點，電場力做功為0，D正確。
故選D。
角度4：微元法
【典例8】（2023·上海·一模）下列選項中的各圓環(huán)大小相同，所帶電荷量已在圖中標出，且電荷均勻分布，各圓環(huán)間彼此絕緣．坐標原點O處電場強度最大的是
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)點電荷的電場強度公式可得各圓環(huán)上的電荷在O點的電場場強大小，再根據(jù)矢量合成，求出合場強，最后比較它們的大小即可．由于電荷均勻分布，則各圓環(huán)上的電荷等效集中于圓環(huán)的中心，設圓的半徑為r，則A圖O點處的場強大小為；將B圖中正、負電荷產(chǎn)生的場強進行疊加，等效兩電荷場強方向間的夾角為90°，則在O點的合場強,方向沿x軸負方向；C圖中兩正電荷在O點的合場強為零，則C中的場強大小為，D圖由于完全對稱，易得合場強ED=0．故O 處電場強度最大的是圖B．故答案為B．
【考點定位】本題考查電場的疊加,要注意采用等效思想及矢量的運算．難度：中等．
【變式】（2022秋·江蘇南通·高三校聯(lián)考期中）如圖所示，電量為Q的正電荷均勻地分布在半徑為r的圓環(huán)上M為圓環(huán)平面內的點，過圓心O點的x軸垂直于環(huán)面，N為x軸上一點，ON=h，靜電力常量為k。則（　　）
A．M、O兩點場強都為零
B．N點場強大小為
C．M、O、N 三點中 O 點電勢最高
D．過M點以O點為圓心的圓上各點電勢不相等
【答案】B
【詳解】A．在圓環(huán)上任取一點，則在圓環(huán)上一定存在關于O點對稱的另一點，這兩個對稱的點在O點產(chǎn)生的電場強度大小相同方向相反，則O點總場強為零。下圖為圓環(huán)的平面圖，線段AB為過M點的直徑。線段CD垂直于線段AB， A點到M點的距離小于B點到M點的距離。所以A、B兩點在M點產(chǎn)生的電場強度指向圓心。 C、D兩點到M點的距離相同，所以C、D兩點在M點產(chǎn)生的電場強度為0。在圓弧AC上任取一點F。連接F與M并延長交于圓上K點。由幾何關系得F點到M點的距離小于K點到M點的距離。所以F、K兩點在M點產(chǎn)生的電場強度指向K點。 F點關于直徑AB對稱的點為G點。連接GM并延長交于圓上J點。同理， G、J兩點在M點的電場強度指向J點。整個圖關于直徑AB對稱，綜上根據(jù)對稱性和矢量疊加原理得M點的電場強度指向圓心。故A錯誤；
B．設圓環(huán)上電荷的線密度為，則有
在圓環(huán)上任取一小段 ，這一小段小到其上的電荷可以看成點電荷，則該小段上的電荷量為
則該小段上的電荷在N點產(chǎn)生的電場強度在x軸上的分量為 （方向沿著x軸正方向）
則圓環(huán)上的所有電荷在N點產(chǎn)生的電場強度，沿x軸的分量為（方向沿著x軸正方向）
根據(jù)對稱性和矢量疊加原理可得，圓環(huán)上的所有電荷在N點產(chǎn)生的電場強度，沿垂直于x軸方向的分量為零。故B正確；
C．根據(jù)B選項的分析，在線段ON上除O點外任取一點，該點的電場強度沿x軸正方向，沿著電場線方向前進電勢降低所以
根據(jù)A選項的分析，在線段MO上除O點外任取一點，該點的電場強度指向圓心，沿著電場線方向前進電勢降低所以 ，故C錯誤；
D．根據(jù)A選項的分析，過M點以O點為圓心的圓上各點的電場強度都指向圓心，所以在該圓上移動電荷時，每時每刻電場力與位移方向垂直，即電場力不做功，所以該圓上的每個點的電勢相同。故D錯誤。
故選B。
考點四　電場中的平衡和加速問題
1．電場力方向
正電荷受力方向與場強方向相同，負電荷受力方向與場強方向相反．
2．恰當選取研究對象，用“整體法”或“隔離法”進行分析．
3．基本思路：(1)平衡問題利用平衡條件列式求解．
(2)非平衡問題利用牛頓第二定律求解．
4．庫侖力作用下電荷的平衡問題與力學中物體的平衡問題相同，可以將力進行合成與分解．
5．列平衡方程，注意電荷間的庫侖力與電荷間的距離有關．
角度1：三個點電荷共線平衡
【典例9】（2023·重慶北碚·統(tǒng)考）如圖所示，在光滑絕緣水平面上有三個孤立的點電荷、Q、，Q恰好靜止不動，、圍繞Q做勻速圓周運動，在運動過程中三個點電荷始終共線。已知、分別與Q相距、，不計點電荷間的萬有引力，下列說法正確的是（ ）
A．、的電荷量之比為 B．、的電荷量之比為
C．、的質量之比為 D．、的質量之比為
【答案】C
【詳解】AB．點電荷Q恰好靜止不動，因此根據(jù)庫侖定律，則有：
所以Q1、Q2的電荷量之比為，故AB錯誤；
CD．對Q1、Q2：它們間的庫侖引力提供向心力，則有：，所以Q1、Q2的質量之比為 ，故C正確，D錯誤。
故選C。
【變式】（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，同一直線上的三個點電荷、、，恰好都處在平衡狀態(tài)，除相互作用的靜電力外不受其他外力作用。已知、間的距離是、間距離的2倍。下列說法錯誤的是（　　）
A．若、為正電荷，則為負電荷
B．若、為負電荷，則為正電荷
C．
D．
【答案】C
【詳解】AB．三個自由電荷在同一直線上處于平衡狀態(tài)，則一定滿足“兩同夾異，近小遠大”原理，即兩邊的電荷電性相同和中間的電性相反，則q1、q3電性一定相同，q2電性一定與前兩者相反，故AB正確，不符合題意；
CD．根據(jù)庫侖定律，根據(jù)平衡，對：，解得
對于：，解得，所以，故C錯誤，符合題意；D正確，不符合題意。
故選C。
角度2：共點力作用下的平衡問題
【典例10】（2023·海南·統(tǒng)考高考真題）如圖所示，一光滑絕緣軌道水平放置，直徑上有A、B兩點，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定兩個帶電量分別為Q1、Q2的正電荷，現(xiàn)有一個帶正電小球靜置于軌道內側P點（小球可視為點電荷），已知AP：BP = n：1，試求Q1：Q2是多少（ ）

A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1
【答案】C
【詳解】對小球受力分析如圖所示

由正弦定理有
其中∠CPH = ∠OPB，∠CHP = ∠HPD = ∠APO
其中△APO中，
同理有，其中，，聯(lián)立有Q1：Q2= 2n3：1
故選C。
【變式】（2023·海南·統(tǒng)考二模）用絕緣細線a、b將兩個帶電小球1和2連接并懸掛，已知小球2的重力為G，如圖所示，兩小球處于靜止狀態(tài)，細線a與豎直方向的夾角為30°，兩小球連線與水平方向夾角為30°，細線b水平，則（　　）
A．小球1帶電量一定小于小球2的帶電量
B．細線a拉力大小為
C．細線b拉力大小為
D．小球1與2的質量比為
【答案】B
【詳解】A．由，可知，不能確定小球1與小球2的帶電量，故A不符合題意；
C．對小球2，由平衡條件可得，，解得細線b拉力大小為，故C不符合題意；
BD．對小球1，由平衡條件可得，，
解得細線a拉力大小為
小球1與2的質量比為，故B符合題意，D不符合題意。
故選B。
角度3：庫侖力作用下的動態(tài)平衡問題
【典例11】（多選）（2023·全國·模擬預測）如圖所示，已知帶電小球A、B的電荷量分別為、，A球固定，B球用長為L的絕緣絲線懸掛在O點，靜止時A、B相距為d，若A球電荷量保持不變，B球緩慢漏電，不計兩小球半徑，則下列說法正確的是（　　）
A．絲線對B球的拉力逐漸變大
B．A球對B球的庫侖力逐漸變小
C．當AB間距離減為時，B球的電荷量減小為原來的
D．當AB間距離減為時，B球的電荷量減小為原來的
【答案】BD
【詳解】AB．根據(jù)題意，對B受力分析，受重力、絲線拉力和庫侖力，如圖所示
由相似三角形可得，
根據(jù)庫侖定律可知，由于B球緩慢漏電，則F減小，由于、、均不變，則d逐漸減小，F(xiàn)T不變，故A錯誤，B正確；
CD．根據(jù)AB分析可知，當AB間距離減為時，庫侖力減小到原來的，根據(jù)可知，B球的電荷量減小為原來的，故C錯誤，D正確。
故選BD。
【變式】（2023·云南·模擬預測）如圖所示，OA為豎直絕緣墻面，A點固定電荷量為的小球，電荷量為的小球B通過輕繩與O點相連，小球B處于靜止狀態(tài)。已知，將小球A視為場源電荷，小球B視為試探電荷，若小球B的電荷量逐漸減小，則在B靠近A的過程中（　　）

A．小球B受到的靜電力大小逐漸減小 B．小球B所處位置的電場強度逐漸減小
C．小球B所處位置的電勢逐漸減小 D．小球B的電勢能不變
【答案】A
【詳解】A．如圖所示，對小球B受力分析，三個力構成首尾相連的三角形，重力不變，利用三角形相似可知兩球間的靜電力F逐漸減小，故A正確；

B．根據(jù)可知，變小，則小球B所處位置的電場強度逐漸增大，故B錯誤；
CD．在靠近過程中小球B受到的靜電力做負功，小球B的電勢能增大，根據(jù)可知電勢增大，故CD錯誤。
故選A。
考點過關
【素質基礎練】
1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）橡膠板置于絕緣水平桌面上，某同學戴著絕緣手套先用毛皮摩擦橡膠板，使橡膠板帶負電，然后手握絕緣手柄將鋁板靠近橡膠板，鋁板的下表面與橡膠板上凸起的接地鐵釘接觸，并在其上表面撒上細紙屑，迅速上抬鋁板至某一位置后，可以看到細紙屑從鋁板上飛濺出來，這就是“靜電飛花”實驗。下列說法正確的是（ ）
A．鋁板未與橡膠板接觸所以始終不帶電
B．紙屑是因為帶正電相互排斥而不斷飛散
C．鋁板與鐵釘接觸時，電子從大地通過鐵釘流向鋁板
D．鋁板與鐵釘接觸時，鋁板上、下表面帶等量異種電荷
【答案】B
【詳解】AD．橡膠板帶負電，鋁板靠近后，鋁板的下表面帶正電，上表面帶負電，當下表面與接地鐵釘接觸后，上表面的負電荷會流到大地，只有下表面帶正電，A錯誤，D錯誤；
B．上抬鋁板過程中，下表面的正電荷減小，上表面正電荷增加。紙屑因為與金屬板帶同種電荷（正電荷）而不斷飛散，B正確；
C．因下表面與接地鐵釘接觸時，上表面的負電荷會流到大地，C錯誤。
故選B。
2．（2023·貴州·校考模擬預測）兩個分別帶有電荷量均為Q的相同金屬小球（均可視為點電荷），固定在相距為r的兩處，它們之間庫侖力的大小為F，將其中一球電荷量變?yōu)?Q，并把它們的距離變?yōu)?r，則兩球間庫侖力的大小變?yōu)椋ā　。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)庫侖定律可得，其中一球電荷量變?yōu)?Q，并把它們的距離變?yōu)?r，則兩球間庫侖力的大小變?yōu)?br/>故選A。
3．（2023·山東淄博·山東省淄博第一中學校聯(lián)考二模）已經(jīng)證實，質子是由上夸克和下夸克兩種夸克組成的，上夸克帶電為，下夸克帶電為，e為電子所帶電荷量的大小。如果質子是由三個夸克組成的，各個夸克之間的距離都相等且在同一圓周上。如圖所示，下列四幅圖中能正確表示出各夸克靜電力的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】AB．質子帶電為＋e，所以它是由2個上夸克和1個下夸克組成的。AB錯誤；
CD．按題意，三個夸克必位于等邊三角形的三個頂點處，設間距為l，這時上夸克與上夸克之間的靜電力應為，為斥力；
上、下夸克之間的靜電力，為吸引力；
由力的合成知兩上夸克所受的靜電力的合力斜向外，下夸克受的靜電力合力指向兩上夸克連線中點，C錯誤，D正確。
故選D。
4．（2023·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）如圖所示，水平面內有一半徑為的圓，為圓心，、為一直徑上的兩端點，、為另一直徑上的兩端點，且垂直。在點、、、分別放置四個電荷量為的點電荷，在垂直于水平面且過圓心點的軸線上有一點，、兩點間的距離也為。已知靜電力常量為，則點的電場強度大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由幾何關系可知，、、、的長度均為
根據(jù)點電荷的電場強度公式和電場疊加原理，可得點的電場強度大小，故C項正確。
故選C。
5．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，a為勻強電場，b為非勻強電場，三個電荷用輕棒連接為正三角形，則整個系統(tǒng)受合力的情況是（ ）

A．a(chǎn)為0，b為0 B．a(chǎn)為0，b不為0 C．a(chǎn)不為0，b為0 D．a(chǎn)不為0，b不為0
【答案】B
【詳解】對于圖a，由于是勻強電場，設電場強度為E，則兩個＋q的電荷受到的電場力為2Eq方向沿電場線向上，一個－2q的電荷受到的電場力為2Eq方向沿電場線向向下，則圖a整個系統(tǒng)受合力為0；同理分析，由于兩個＋q的電荷所在的場強更弱，則圖b整個系統(tǒng)受合力不為0。
故選B。
6．（2023·天津·模擬預測）圖中虛線為一組間距相等的同心圓，圓心處固定一帶正電的點電荷。一帶電粒子以一定初速度射入電場，實線為粒子僅在電場力作用下的運動軌跡，a、b、c三點是實線與虛線的交點，則關于該粒子下列說法錯誤的是（　　）
A．帶正電
B．在c點受力最大
C．在b點的電勢能大于在c點的電勢能
D．由a點到b點的動能變化大于由b點到c點的動能變化
【答案】B
【詳解】A．由圖可知，該粒子受到正點電荷的庫侖斥力，則該粒子帶正電，故A正確，不滿足題意要求；
B．a(chǎn)、b、c三點中，c點離點電荷最遠，可知該粒子在c點受力最小，故B錯誤，滿足題意要求；
C．離正電荷越近，電勢越高，可知b點電勢大于c點電勢，根據(jù)
由于該粒子帶正電，則該粒子在b點的電勢能大于在c點的電勢能，故C正確，不滿足題意要求；
D．根據(jù)點電荷場強公式
可知a、b間同心圓的場強大于b、c間的同心圓場強；根據(jù)
由于a、b間同心圓的距離等于b、c間同心圓的距離，則a、b間的電勢差大于b、c間的電勢差；動能定理可得
可知由a點到b點的動能變化大于由b點到c點的動能變化，故D正確，不滿足題意要求。
故選B。
7．（2023·湖北·模擬預測）如圖所示，電荷均勻分布在半球面上，電荷在該半球的中心處產(chǎn)生的電場的電場強度大小等于，半球的一個截面過半球面的直徑，該截面與半球面的底面夾角，則該截面左下側的這部分球面上的電荷在處產(chǎn)生的電場的電場強度大小為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)對稱性，作出球面上的電荷在O點產(chǎn)生的電場分布，如圖所示，
由平行四邊形定則得到“小瓣”球面上的電荷在O處的電場強度
故選D。
8．（2023·遼寧·模擬預測）如圖所示，半徑為的硬塑膠圓環(huán)，帶有均勻分布的正電荷，單位長度上的電量為，其圓心處的合場強為零，現(xiàn)截去圓環(huán)頂部極少一段（），則剩余部分在圓心處產(chǎn)生場強，下列說法中正確的是（ ）
A．處場強方向豎直向下
B．處場強方向豎直向上，大小為
C．處場強大小為
D．處場強大小為
【答案】D
【詳解】L段的電量為
則L段在O點產(chǎn)生的電場強度，方向向下，大小為
因為完整的圓環(huán)圓心處的合場強為零，所以剩余部分在O點產(chǎn)生的場強與L段在O點產(chǎn)生的電場強度等大反向，即剩余部分在O點產(chǎn)生的場強方向向上，大小表示為，D正確，ABC錯誤。
故選D。
9．（多選）（2023·河北邢臺·校聯(lián)考一模）如圖所示，豎直面內一絕緣細半圓環(huán)均勻分布著正電荷，、為圓環(huán)水平直徑上的兩個點且點為圓心，弧和弧都是四分之一圓弧。已知均勻帶電圓環(huán)內各點的場強均為零，則下列說法正確的是（　　）
A．點電場強度的方向垂直于向下
B．點電場強度的方向斜向下
C．若弧在點的電場強度大小為，則半圓環(huán)在點的電場強度大小為
D．若弧在點的電場強度大小為，則半圓環(huán)在點的電場強度大小為
【答案】AD
【詳解】如圖所示，把半圓環(huán)補成一個圓環(huán)
AB．則點的合場強為零，假設弧在點的電場強度的方向不垂直于，且電場強度的大小為，根據(jù)對稱性可知，弧在點的電場強度為，且和關于對稱，則此種情況下點的合場強不為零，假設不成立，所以點電場強度的方向垂直于向下，故A正確，B錯誤；
CD．令是弧的中點，是弧的中點，根據(jù)電場強度的疊加可得，弧在點的電場強度方向沿方向，弧在點的電場強度方向沿方向，角，則根據(jù)電場強度的疊加可得，若弧在點的電場強度大小為，則半圓環(huán)在點的電場強度大小為，故C錯誤，D正確。
故選AD。
10．（2023·浙江·模擬預測）如圖所示，長l=1 m的輕質細繩上端固定，下端連接一個可視為質點的帶電小球，小球靜止在水平向右的勻強電場中，繩與豎直方向的夾角θ=37°。已知小球所帶電荷量q=1.0×10-5 C，勻強電場的場強E=3.0×103 N/C，取重力加速度g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8求：
（1）小球所受電場力F的大小。
（2）小球的質量m。
（3）將電場撤去，小球回到最低點時速度v的大小。
【答案】（1）3.0×10-2 N；（2）4.0×10-3 kg；（3）2.0 m/s
【詳解】（1）電場力F=qE=3.0×10-2 N 　
（2）由，解得m=4.0×10-3 kg
（3）由動能定理，解得v=2.0 m/s
11．（2023·全國·模擬預測）質量均為m的三個帶電小球A、B、C用三根長度均為的絕緣絲線相互連接，放置在光滑絕緣的水平面上，A球的電荷量為。在C球上施加一個水平向右的恒力F之后，三個小球一起向右運動，三根絲線剛好都伸直且沒有彈力，F(xiàn)的作用線的反向延長線與A、B間的絲線相交于絲線的中點，如圖所示。已知靜電力常量為k，求：
（1）三個小球一起運動的加速度大小；
（2）恒力F的大小。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）以三個小球為研究對象受力分析如圖所示
根據(jù)對稱性可知，B球的電荷量也為q，設C球所帶的電荷量為Q，對A球沿BA方向根據(jù)平衡條件可得，解得
設三個小球的加速度都是a，根據(jù)牛頓第二定律和庫侖定律，對A球受力分析可知，解得
（2）對整體受力分析可知
【能力提高練】
1．（2023·貴州·校考模擬預測）取一對用絕緣柱支撐的不帶電的導體A和B，使它們彼此接觸。A、B下方均連有兩片金屬箔片。手握絕緣棒，把帶正電荷的帶電體C移近導體A，下列判斷正確的是（　　）
A．僅有A下方的金屬箔片張開 B．僅有B下方的金屬箔片張開
C．導體A和B帶等量異種電荷 D．導體A帶正電、導體B帶負電
【答案】C
【詳解】把帶正電荷的帶電體C移近導體A，則導體A外端由于靜電感應帶負電荷，導體B外端由于靜電感應帶正電荷，即導體A和導體B下方的金屬箔片均張開，根據(jù)電荷守恒定律可知，導體A和導體B的帶電量是相等的。
故選C。
2．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）三個相同的帶孔金屬小球A、B、C串在環(huán)形絕緣細繩上，A、B所帶的電荷量分別為、，C不帶電。將三個小球放在絕緣水平桌面上，保持靜止時三個小球的位置如圖甲所示。將三個球一起接觸后釋放，再次靜止時，三個小球的位置如圖乙所示。不計小球的體積與一切摩擦，則前后兩次靜止時，細繩中張力大小之比為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令繩的全長為L，三個球一起接觸之前，對A分析有
三個球一起接觸后，對A分析有
解得
故選A。
3．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預測）如圖所示，在邊長為a的等邊三角形的三個頂點A、B、C上，分別固定三個電荷量相等的點電荷，其中A、B處的點電荷均帶正電，C處的點電荷帶負電，O為三角形中心，已知k為靜電力常量，則關于O點的電場強度大小，下列說法正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)點電荷場強公式可得，三個電荷在O點處產(chǎn)生的場強大小相等，均為
兩個正電荷在O點處產(chǎn)生的場強方向夾角為，根據(jù)場強疊加原理以及幾何知識可得，兩個正電荷在O點處產(chǎn)生的合場強也為，方向與負電荷在O點產(chǎn)生的場強方向相同，因此O點處電場強度大小為
故選C。
4．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖所示，電量為的點電荷固定在N點，內壁光滑的絕緣細管豎直固定，N、B兩點連線水平。電量為的小球從A點由靜止釋放，已知，則關于的電場和小球下落到B點的過程，下列說法正確的是（　　）
A．A點的場強大于B點的場強 B．A點的電勢高于B點的電勢
C．小球在B點的加速度小于重力加速度 D．小球的機械能一直在減小
【答案】D
【詳解】A．根據(jù)點電荷場強公式可知離點電荷越近，場強越大，則A點的場強小于B點的場強，故A錯誤；
B．根據(jù)沿電場方向電勢降低，在的電場中，離越近，電勢越高，則A點的電勢低于B點的電勢，故B錯誤；
C．小球在B點時，庫侖力和管的彈力剛好都處于水平方向，則小球受到的合力等于重力，小球的加速度等于重力加速度，故C錯誤；
D．小球從A點靜止釋放到B點過程，庫侖力對小球一直做負功，小球的機械能一直在減小，故D正確。
故選D。
5．（2023·全國·模擬預測）如圖所示，一半徑為R的絕緣環(huán)上，均勻地分布有電荷量為Q的電荷，在垂直于圓環(huán)平面的對稱軸上有一點P，它與環(huán)心O的距離OP=L。靜電力常量為k，關于P點的場強E，下列四個表達式中有一個是正確的，請你根據(jù)所學的物理知識，通過一定的分析，判斷正確的表達式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】將圓環(huán)半徑極限化：當時，帶電圓環(huán)等同一個點電荷，由點電荷電場強度計算公式可知，在P點的電場強度為，將代入四個選項，只有A、D選項滿足；
將距離極限化：當時，均勻帶電圓環(huán)的中心處產(chǎn)生的電場強度為0，將代入A、D選項，只有D項滿足。
故選D。
6．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）如圖所示，A、B為兩個對稱的圓錐的頂點，相距2l、圓錐的底面半徑為l，C點為圓錐底面圓周上的一點，O點為AB連線的中點，D點為OB連線的中點。現(xiàn)把兩個電荷量都是Q的正點電荷分別置于A、B兩點。該空間為真空，靜電力常量為k。則下列說法正確的是（　　）
A．圓周上各點的電場強度的方向都平行于AB連線
B．圓周上C點的電場強度大小為
C．在OB連線上各點的電場強度都一定大于C點的電場強度
D．將另一個帶負電的檢驗電荷q從C點沿CO、OD的折線路徑移動到D點的過程中，其電勢能一定逐漸減小
【答案】D
【詳解】A．根據(jù)等量同種點電荷電場線的分布特點可知，圓周上各點的電場強度的方向都垂直于AB連線。故A錯誤；
B．圓周上C點的電場強度大小為，故B錯誤；
C．O到B，電場強度由0逐漸增加，而C點場強不為0。則在OB連線上各點的電場強度不一定大于C點的電場強度。故C錯誤；
D．將另一個帶負電的檢驗電荷q從C點沿CO、OD的折線路徑移動到D點的過程中，一直是逆著電場線運動，電場力做正功，其電勢能一定逐漸減小。故D正確。
故選D。
7．（2023·山東·統(tǒng)考二模）學校科技節(jié)中某參賽選手設計了運輸軌道，如圖甲所示，可簡化為傾角為θ的足夠長固定絕緣光滑斜面。以斜面底端為坐標原點，沿斜面向上為x軸的正方向，且沿x軸部分區(qū)域存在電場。在斜面底端由靜止釋放一質量為m、電荷量為＋q的滑塊，在滑塊向上運動的一段過程中，機械能E隨位置坐標x的變化如圖乙所示，曲線A點處切線斜率最大。滑塊可視為質點，不計空氣阻力，不計滑塊產(chǎn)生的電場。以下說法正確的是（　　）
A．在過程中，滑塊動能先減小后恒定
B．在處滑塊的動能最大，
C．在的過程中重力勢能與電勢能之和一直增大
D．在過程中，滑塊先加速后減速
【答案】D
【詳解】A．根據(jù)，可知機械能E隨位置坐標x的變化圖像中圖像上某點切線的斜率表示電場力，由于滑塊由靜止開始運動，則剛剛釋放時的電場力大于重力沿斜面的分力，結合圖像可知，圖像的斜率先增大后減小至0，則電場力先增大至最大值，后減小至0，可知電場力與重力沿斜面的方向大小相等的時刻在中間的某一位置，在該位置，滑塊所受合力為0，該位置之后，電場力小于重力沿斜面的分立，根據(jù)動能定理可知在過程中，滑塊動能先增大后減小，A錯誤；
B．動能最大位置時，滑塊速度最大，滑塊所受合力為0，根據(jù)上述可知，動能最大的位置在在中間的某一位置，B錯誤；
C．根據(jù)上述可知，在的過程中滑塊動能先增大后減小，而滑塊在運動過程中只有重力勢能、電勢能與動能之間的轉化，可知在的過程中重力勢能與電勢能之和先減小后增大，C錯誤；
D．根據(jù)上述可知，在過程中，滑塊向上運動，滑塊先做加速度增大的加速運動，后做加速度減小的加速運動，再做加速度反向增大的減速運動，最后做勻減速運動，即在過程中，滑塊先加速后減速，D正確。
故選D。
8．（2023·全國·重慶市萬州第二高級中學校考模擬預測）如題圖1所示，x軸上和處分別固定A、B兩點電荷，取電場強度沿x軸正方向為正，x軸上區(qū)域的電場強度分布如題圖2所示，放入其中的電荷僅受電場力作用，由此可知（　　）
A．A、B兩點電荷電性相同
B．A、B兩點電荷電荷量大小之比
C．在有限范圍內，x軸上僅有一處電場強度為零
D．將一正點電荷從處由靜止釋放，僅在電場力作用下還能回到處
【答案】C
【詳解】A．根據(jù)圖2可知，處的電場強度為0，則A、B兩點電荷電性必定相反，A錯誤；
B．由于處的電場強度為0，則有
解得
B錯誤；
C．由于處的電場強度為0，可知，A帶正電，B帶負電，則在AB之間A的電場方向向右，B的電場方向也向右，即AB之間電場的方向始終不可能為0，A的電荷量大一些，A的左側電場由A電荷決定，即A左側的電場強度也不可能為0，即在有限范圍內，x軸上僅有位置一處電場強度為零，C正確；
D．根據(jù)圖像，將一正點電荷從處由靜止釋放，所受電場力方向始終沿x軸正方向，即該電荷將在電場力作用下沿x軸正方向做加速運動，不可能回到處，D錯誤。
故選C。
9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖所示，空間正四棱錐的底面邊長和側棱長均為a，水平底面的四個頂點處均固定著電量為的點電荷，頂點P處有一個質量為m的帶電小球，在靜電力和重力的作用下恰好處于靜止狀態(tài)。將P處小球的電荷量減半，同時加豎直方向的勻強電場，此時P處小球仍能保持靜止，重力加速度為g，靜電力常量為k，則所加勻強電場強度大小為（　　）

A． B．
C．· D．
【答案】D
【詳解】設P處的帶電小球電量為Q，根據(jù)庫侖定律可知，則P點小球受到各個頂點電荷的庫侖力大小為
根據(jù)幾何關系，可知正四棱錐型的側棱與豎直線的夾角為45°；再由力的分解法則，可有
若將P處小球的電荷量減半，則四個頂點的電荷對P的小球的庫侖合力為：
當外加勻強電場后，再次平衡，則有
解得
故選D。
10．（2023·全國·模擬預測）如題圖甲為密立根油滴實驗的原理圖，用噴霧器把許多油滴從上板中間的小孔噴入電場。某次實驗過程可以簡化為題圖乙，其中A、B為水平正對放置的平行金屬板，兩金屬板間加電壓，板間距d，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)一帶電油滴P在兩金屬板之間保持靜止。若突然撤去兩金屬板間的電壓，且兩極板所帶電量立即消失，經(jīng)過一小段時間油滴達到最大速率后再勻速下降時間t到達B板，油滴P從靜止出發(fā)點到B板的位移為L。設油滴在運動過程中質量和電荷量均保持不變，若油滴質量按正比于最大速率的二次方近似處理，比例系數(shù)為；空氣阻力與速度大小成正比，比例系數(shù)為。重力加速度為g，不計油滴間的作用力。求：
（1）油滴P運動過程中的最大速率；
（2）油滴P所帶電荷量；
（3）油滴P從靜止到剛到達最大速率過程中重力勢能的變化量。
【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）設油滴的質量為m，撤去電壓后達到的最大速率為由題意有①
由平衡條件得②
聯(lián)立①②解得③
（2）未撤電壓時油滴保持靜止狀態(tài),有④
聯(lián)立②③④解得，
（3）設勻速過程中的位移為h，有⑤
則重力勢能的變化量⑥
【高考通關練】
1．（2023·浙江·統(tǒng)考高考真題）某帶電粒子轉向器的橫截面如圖所示，轉向器中有輻向電場。粒子從M點射入，沿著由半徑分別為R1和R2的圓弧平滑連接成的虛線（等勢線）運動，并從虛線上的N點射出，虛線處電場強度大小分別為E1和E2，則R1、R2和E1、E2應滿足（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】帶電粒子在電場中做勻速圓周運動，電場力提供向心力，則有，，聯(lián)立可得
故選A。
2．（2023·湖北·統(tǒng)考高考真題）在正點電荷Q產(chǎn)生的電場中有M、N兩點，其電勢分別為、，電場強度大小分別為、。下列說法正確的是（　　）
A．若，則M點到電荷Q的距離比N點的遠
B．若，則M點到電荷Q的距離比N點的近
C．若把帶負電的試探電荷從M點移到N點，電場力做正功，則
D．若把帶正電的試探電荷從M點移到N點，電場力做負功，則
【答案】C
【詳解】A．沿著電場線的方向電勢降低，根據(jù)正點電荷產(chǎn)生的電場特點可知若，則M點到電荷Q的距離比N點的近，故A錯誤；
B．電場線的疏密程度表示電場強度的大小，根據(jù)正點電荷產(chǎn)生的電場特點可知若，則M點到電荷Q的距離比N點的遠，故B錯誤；
C．若把帶負電的試探電荷從M點移到N點，電場力做正功，則是逆著電場線運動，電勢增加，故有，故C正確；
D．若把帶正電的試探電荷從M點移到N點，電場力做負功，則是逆著電場線運動；根據(jù)正點電荷產(chǎn)生的電場特點可知，故D錯誤。
故選C。
3．（2023·湖南·統(tǒng)考高考真題）如圖，真空中有三個點電荷固定在同一直線上，電荷量分別為Q1、Q2和Q3，P點和三個點電荷的連線與點電荷所在直線的夾角分別為90°、60°、和30°。若P點處的電場強度為零，q > 0，則三個點電荷的電荷量可能為（ ）

A．Q1= q，，Q3= q B．Q1= －q，，Q3= －4q
C．Q1= －q，，Q3= －q D．Q1= q，，Q3= 4q
【答案】D
【詳解】AB．選項AB的電荷均為正和均為負，則根據(jù)電場強度的疊加法則可知，P點的場強不可能為零，AB錯誤；
C．設P、Q1間的距離為r，則Q1、Q3在P點產(chǎn)生的合場強大小有，解得
而Q2產(chǎn)生的場強大小為 ，則P點的場強不可能為零，C錯誤；
D．設P、Q1間的距離為r，則Q1、Q3在P點產(chǎn)生的合場強大小有，解得
而Q2產(chǎn)生的場強大小為，則P點的場強可能為零，D正確。
故選D。
4．（2023·山東·統(tǒng)考高考真題）如圖所示，正六棱柱上下底面的中心為O和，A、D兩點分別固定等量異號的點電荷，下列說法正確的是（ ）

A．點與點的電場強度大小相等
B．點與點的電場強度方向相同
C．點與點的電勢差小于點與點的電勢差
D．將試探電荷由F點沿直線移動到O點，其電勢能先增大后減小
【答案】ACD
【詳解】D．將六棱柱的上表面拿出

由幾何條件可知正電荷在OF中點K的場強方向垂直O(jiān)F，則K點的合場強與OF的夾角為銳角，在F點的場強和OF的夾角為鈍角，因此將正電荷從F移到O點過程中電場力先做負功后做正功，電勢能先增大后減小，D正確；
C．由等量異種電荷的電勢分布可知，，，
因此，C正確；
AB．由等量異種電荷的對稱性可知和電場強度大小相等，和電場強度方向不同，A正確B錯誤；
故選ACD。
5．（2023·海南·統(tǒng)考高考真題）如圖所示，正三角形三個頂點固定三個等量電荷，其中帶正電，帶負電，為邊的四等分點，下列說法正確的是（ ）

A．、兩點電場強度相同 B．、兩點電勢相同
C．負電荷在點電勢能比在點時要小 D．負電荷在點電勢能比在點時要大
【答案】BC
【詳解】A．根據(jù)場強疊加以及對稱性可知，MN兩點的場強大小相同，但是方向不同，選項A錯誤；
B．因在AB處的正電荷在MN兩點的合電勢相等，在C點的負電荷在MN兩點的電勢也相等，則MN兩點電勢相等，選項B正確；
CD．因負電荷從M到O，因AB兩電荷的合力對負電荷的庫侖力從O指向M，則該力對負電荷做負功，C點的負電荷也對該負電荷做負功，可知三個電荷對該負電荷的合力對其做負功，則該負電荷的電勢能增加，即負電荷在M點的電勢能比在O點小；同理可知負電荷在N點的電勢能比在O點小。選項C正確，D錯誤。
故選BC。
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題21　　電場力的性質
題型 選擇題 命題趨勢和備考策略
高考考點 庫侖定律的簡單應用；庫侖力作用下物體的平衡；電場強度和電場線的理解及應用；電場強度的疊加與計算 【命題規(guī)律】 近3年新高考卷對于本節(jié)內容考查共計22次，主要考查： 1. 庫侖定律作用下物體的平衡； 2. 等量同種、異種電荷周圍的電場、電勢的分布特點； 3. 電場強度的疊加與計算； 【備考策略】 根據(jù)電荷間的相互作用規(guī)律，能正確判斷電場力的方向，并掌握兩個電場力公式和三個電場強度公式的使用條件和求解的方法和技巧；熟練巧記電荷周圍電場和電勢的分布，并能判斷電場和電勢的高低，能將空間問題轉化為平面的問題；理解電場的疊加原理，掌握電場強度的四種特殊的計算方法； 【命題預測】 電場是每年高考必考的知識點之一，本節(jié)電場力的性質即可單獨命題，也可和磁場綜合命題出現(xiàn)在各省的考試卷中。其中電場的疊加問題、等量的同種電荷和異種電荷周圍的電場、電勢的分布又屬于近幾年來的熱門考點。2024年考生務必熟練掌握電荷周圍的電場和電勢的分布特點，學會空間問題轉化為平面問題的方法和技巧。
新高考 2023 海南卷8題、湖北卷3題、浙江卷8題、山東卷11題、海南卷12題、湖南卷5題、全國乙卷24題
2022 天津卷2題、遼寧卷10題、海南卷8題、江蘇卷9題、河北卷6題、湖南卷2題、山東卷3題、全國乙卷6題、浙江卷10題、浙江春招1題
2021 江蘇卷10題、湖北卷8題、山東卷6題、河北卷10題、海南卷10題
【導航窗口】
知識梳理
一、庫侖定律　電荷守恒定律 2
二、電場、電場強度 2
三、電場線 3
考點突破
考點一　庫侖定律的理解及應用 4
考點二 庫倫力作用下的平衡問題 5
角度1：三個點電荷共線平衡 5
角度2：共點力作用下的平衡問題 6
角度3：庫侖力作用下的動態(tài)平衡問題 7
考點三　電場強度的理解及疊加 8
角度1：等效法 9
角度2：對稱法 9
角度3：補償法 10
角度4：微元法 11
考點四　電場中的平衡和加速問題 12
角度1：三個點電荷共線平衡 12
角度2：共點力作用下的平衡問題 13
角度3：庫侖力作用下的動態(tài)平衡問題 14
考點過關
【素質基礎練】 15
【能力提高練】 19
【高考通關練】 23
一、庫侖定律　電荷守恒定律
1．點電荷
有一定的電荷量，忽略形狀和 的一種理想化模型．
2．電荷守恒定律
(1)起電方式：摩擦起電、接觸起電、 起電．
(2)帶電實質：物體帶電的實質是
(3)內容：電荷既不會創(chuàng)生，也不會消滅，它只能從一個物體轉移到 ，或者從物體的一部分轉移到 ；在轉移過程中，電荷的總量保持不變．
3．庫侖定律
(1)內容：真空中兩個靜止點電荷之間的相互作用力，與它們的電荷量的乘積成正比，與它們的距離的二次方成反比，作用力的方向在
(2)表達式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做靜電力常量．
(3)適用條件：① ；②
【深度思考】　計算兩個帶電小球之間的庫侖力時，公式中的r一定是指兩個球心之間的距離嗎？為什么？
二、電場、電場強度
1．電場
(1)定義：存在于電荷周圍，能傳遞電荷間 的一種特殊物質．
(2)基本性質：對放入其中的電荷有 的作用．
2．電場強度
(1)定義：放入電場中某點的電荷受到的電場力F與它的 的比值．
(2)定義式：E＝，q為 電荷，又稱檢驗電荷．
(3)矢量性：規(guī)定 電荷在電場中某點所受電場力的方向為該點電場強度的方向．
3．場強公式的比較
4．電場的疊加
(1)電場疊加：多個電荷在空間某處產(chǎn)生的電場強度為各電荷單獨在該處所產(chǎn)生的電場強度的 和．
(2)運算法則： 定則．
5．等量同種和異種點電荷的電場強度的比較
比較項目 等量異種點電荷 等量同種點電荷
電場線分布圖
連線中點O處的場強 連線上O點場強最小，指向負電荷一方 為零
連線上的場強大小(從左到右)　　　 沿連線先變小，再變大 沿連線先變小，再變大
沿中垂線由O點向外場強大小 O點最大，向外逐漸減小 O點最小，向外先變大后變小
三、電場線
1．定義
為了形象地描述電場中各點場強的強弱及 ，在電場中畫出一些曲線，曲線上每一點的 方向都跟該點的場強方向一致，曲線的疏密表示電場的
2．電場線的三個特點
(1)電場線從正電荷或無限遠處出發(fā)，終止于無限遠或 處；
(2)電場線在電場中不相交；
(3)在同一幅圖中，電場強度較大的地方電場線較密，電場強度較小的地方電場線
考點一　庫侖定律的理解及應用
1．庫侖定律適用于真空中靜止點電荷間的相互作用．
2．對于兩個均勻帶電絕緣球體，可將其視為電荷集中在球心的點電荷，r為球心間的距離．
3．對于兩個帶電金屬球，要考慮表面電荷的重新分布，如圖所示．
(1)同種電荷：F＜k；(2)異種電荷：F＞k.
4．不能根據(jù)公式錯誤地認為r→0時，庫侖力F→∞，因為當r →0時，兩個帶電體已不能看做點電荷了．
【典例1】（2023·貴州·校考模擬預測）兩個完全相同的金屬小球，所帶電荷量之比為，當它們相距為R（R遠大于小球半徑r）時，相互作用大小為F。現(xiàn)讓兩球接觸一下，然后放到相距為的兩點，這時兩球相互作用力大小可能是（　　）
A． B． C． D．
1．如果接觸前兩金屬球帶同種電荷，電荷量分別為q1和q2，兩球接觸時，總電荷量平均分配，兩球的電荷量都等于.
2．如果接觸前兩金屬球帶異種電荷，電荷量分別為q1和q2，且q1＞q2，接觸時，先中和再將剩余的電荷量(q1－q2)平均分配，兩球的電荷量都等于.
【變式1】（2023·上海·統(tǒng)考模擬預測）三個大小相同的帶電導體球，帶電量分別為、和，讓與先接觸，然后讓與接觸，最終所帶的電荷量為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·貴州·校考模擬預測）取一對用絕緣柱支撐的不帶電的導體A和B，使它們彼此接觸。A、B下方均連有兩片金屬箔片。手握絕緣棒，把帶正電荷的帶電體C移近導體A，下列判斷正確的是（　　）
A．僅有A下方的金屬箔片張開 B．僅有B下方的金屬箔片張開
C．導體A和B帶等量異種電荷 D．導體A帶正電、導體B帶負電
考點二 庫倫力作用下的平衡問題
電場力的兩個表達式
表達式
適用范圍 真空中的點電荷 任意電場
靜電場中帶電體平衡問題的解題思路
確定研究對象，如果有幾個物體相互作用時，要依據(jù)題意，適當選取“整體法”和“隔離法”，確定研究對象；
受力分析：分析方法和動力學的受力分析方法一致，唯一的區(qū)別是多了一個庫侖力；
三個自由點電荷的平衡問題
條件：兩個點電荷在第三個點電荷的合場強為零，或每個點電荷受到的兩個庫侖力必須大小相等，方向相反。
規(guī)律
①“三點共線”——三個點電荷分布在同一條直線上
②“兩同夾一異”——正負電荷相互間隔
③“兩同夾一小”——中間電荷電荷量最小
④“遠小近大”——中間電荷靠近電荷量較小的電荷
角度1：三個點電荷共線平衡
【典例2】（2023·重慶北碚·統(tǒng)考）如圖所示，在光滑絕緣水平面上有三個孤立的點電荷、Q、，Q恰好靜止不動，、圍繞Q做勻速圓周運動，在運動過程中三個點電荷始終共線。已知、分別與Q相距、，不計點電荷間的萬有引力，下列說法正確的是（ ）
A．、的電荷量之比為 B．、的電荷量之比為
C．、的質量之比為 D．、的質量之比為
【變式】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，同一直線上的三個點電荷、、，恰好都處在平衡狀態(tài)，除相互作用的靜電力外不受其他外力作用。已知、間的距離是、間距離的2倍。下列說法錯誤的是（　　）
A．若、為正電荷，則為負電荷 B．若、為負電荷，則為正電荷
C． D．
角度2：共點力作用下的平衡問題
【典例3】（2023·海南·統(tǒng)考高考真題）如圖所示，一光滑絕緣軌道水平放置，直徑上有A、B兩點，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定兩個帶電量分別為Q1、Q2的正電荷，現(xiàn)有一個帶正電小球靜置于軌道內側P點（小球可視為點電荷），已知AP：BP = n：1，試求Q1：Q2是多少（ ）

A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1
【變式】（2023·海南·統(tǒng)考二模）用絕緣細線a、b將兩個帶電小球1和2連接并懸掛，已知小球2的重力為G，如圖所示，兩小球處于靜止狀態(tài)，細線a與豎直方向的夾角為30°，兩小球連線與水平方向夾角為30°，細線b水平，則（　　）
A．小球1帶電量一定小于小球2的帶電量 B．細線a拉力大小為
C．細線b拉力大小為 D．小球1與2的質量比為
角度3：庫侖力作用下的動態(tài)平衡問題
【典例4】（多選）（2023·全國·模擬預測）如圖所示，已知帶電小球A、B的電荷量分別為、，A球固定，B球用長為L的絕緣絲線懸掛在O點，靜止時A、B相距為d，若A球電荷量保持不變，B球緩慢漏電，不計兩小球半徑，則下列說法正確的是（　　）
A．絲線對B球的拉力逐漸變大
B．A球對B球的庫侖力逐漸變小
C．當AB間距離減為時，B球的電荷量減小為原來的
D．當AB間距離減為時，B球的電荷量減小為原來的
【變式】（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）如圖所示，兩個質量分別為和的帶電小球A、B（可視為質點）通過一根絕緣輕繩跨放在光滑的定滑輪上（滑輪大小不計），兩球靜止，O為滑輪正下方AB連線上的一個點。兩球到O點距離分別為和，到滑輪的距離分別為和，且，細繩與豎直方向的夾角分別為和，兩球電荷量分別為和。則（ ）
A． B． C． D．
考點三　電場強度的理解及疊加
1．求解電場強度的常規(guī)方法
電場強度是靜電學中極其重要的概念，也是高考考點分布的重點區(qū)域之一．求電場強度常見的有定義式法、點電荷電場強度公式法、勻強電場公式法、矢量疊加法．
2．求解電場強度的非常規(guī)思維方法
(1)等效法：在保證效果相同的前提下，將復雜的電場情景變換為簡單的或熟悉的電場情景．
例如：一個點電荷＋q與一個無限大薄金屬板形成的電場，等效為兩個異種點電荷形成的電場，如圖8甲、乙所示．
(2)對稱法：利用空間上對稱分布的電荷形成的電場具有對稱性的特點，使復雜電場的疊加計算問題大為簡化．
例如：如圖9，均勻帶電的球殼在O點產(chǎn)生的場強，等效為弧BC產(chǎn)生的場強，弧BC產(chǎn)生的場強方向，又等效為弧的中點M在O點產(chǎn)生的場強方向．
(3)填補法：將有缺口的帶電圓環(huán)補全為圓環(huán)，或將半球面補全為球面，從而化難為易、事半功倍．
(4)微元法：將帶電體分成許多元電荷，每個元電荷看成點電荷，先根據(jù)庫侖定律求出每個元電荷的場強，再結合對稱性和場強疊加原理求出合場強．
角度1：等效法
【典例5】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，xOy平面是無窮大導體的表面，該導體充滿z＜0的空間，z＞0的空間為真空。將電荷量為q的點電荷置于z軸上z=h處，則在xOy平面上會產(chǎn)生感應電荷，空間任意一點處的電場皆是由點電荷q和導體表面上的感應電荷共同激發(fā)的。已知靜電平衡時導體內部場強處處為零，則在 z軸上處的場強大小為（k為靜電力常量）（ ）
A． B． C． D．
電場強度是矢量，疊加時應遵從平行四邊形定則，分析電場的疊加問題的一般步驟是：
(1)確定分析計算場強的空間位置；
(2)分析該處有幾個分電場，先計算出各個分電場在該點的電場強度的大小和方向；
(3)依次利用平行四邊形定則求出矢量和．
【變式】（2021·遼寧朝陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，的空間為真空，區(qū)域內充滿無限大導體，固定電荷為的點電荷，靜電力常量為k。已知靜電平衡時導體內部場強處處為零，則感應電荷在處形成的電場強度大小為（　　）
A． B． C． D．
角度2：對稱法
【典例6】（2023·全國·模擬預測）一半徑為R的圓盤上均勻分布著電荷量為Q的電荷，在垂直于圓盤且過圓心c的軸線上有a、b、d三個點，a和b、b和c、c和d間的距離均為R，在a點處有一電荷量為（）的固定點電荷。已知b點處的場強為零，則d點處場強的大小為（k為靜電力常量）（　　）
A． B． C． D．
【變式】如圖所示，在x軸上放置兩正點電荷Q1、Q2，當空間存在沿y軸負向的勻強電場時，y軸上A點的場強等于零，已知勻強電場的電場強度大小為E，兩點電荷到A的距離分別為r1、r2，則在y軸上與A點對稱的B點的電場強度大小為（　　）
A．E B．E C．2E D．4E
角度3：補償法
【典例7】（2023秋·河南周口·高三河南省淮陽中學校考期末）均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場。如圖所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，==2R，已知M點的場強大小為E，則N點的場強大小為（　　）
A． B．
C． D．
【變式】（2023·全國·高三專題練習）空間中有一正四面體，棱長為l。在4個頂點都放置一個電荷量為的正點電荷，棱、、中點分別為e、f、g，、、中點分別為h、i、j。已知無窮遠處電勢為0。則下列說法正確的是（　　）
A．e、f、g三點電勢不同，h、i、j三點電勢相同
B．底面的中心位置點的電場強度為
C．該正四面體內、外整個空間中一共有3個場強為0的位置
D．若將一個負點電荷，從e點沿棱移動到i點，電場力做功為0
角度4：微元法
【典例8】（2023·上海·一模）下列選項中的各圓環(huán)大小相同，所帶電荷量已在圖中標出，且電荷均勻分布，各圓環(huán)間彼此絕緣．坐標原點O處電場強度最大的是
A．B．C．D．
【變式】（2022秋·江蘇南通·高三校聯(lián)考期中）如圖所示，電量為Q的正電荷均勻地分布在半徑為r的圓環(huán)上M為圓環(huán)平面內的點，過圓心O點的x軸垂直于環(huán)面，N為x軸上一點，ON=h，靜電力常量為k。則（　　）
A．M、O兩點場強都為零 B．N點場強大小為
C．M、O、N 三點中 O 點電勢最高 D．過M點以O點為圓心的圓上各點電勢不相等
考點四　電場中的平衡和加速問題
1．電場力方向
正電荷受力方向與場強方向相同，負電荷受力方向與場強方向相反．
2．恰當選取研究對象，用“整體法”或“隔離法”進行分析．
3．基本思路：(1)平衡問題利用平衡條件列式求解．
(2)非平衡問題利用牛頓第二定律求解．
4．庫侖力作用下電荷的平衡問題與力學中物體的平衡問題相同，可以將力進行合成與分解．
5．列平衡方程，注意電荷間的庫侖力與電荷間的距離有關．
角度1：三個點電荷共線平衡
【典例9】（2023·重慶北碚·統(tǒng)考）如圖所示，在光滑絕緣水平面上有三個孤立的點電荷、Q、，Q恰好靜止不動，、圍繞Q做勻速圓周運動，在運動過程中三個點電荷始終共線。已知、分別與Q相距、，不計點電荷間的萬有引力，下列說法正確的是（ ）
A．、的電荷量之比為 B．、的電荷量之比為
C．、的質量之比為 D．、的質量之比為
【變式】（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，同一直線上的三個點電荷、、，恰好都處在平衡狀態(tài)，除相互作用的靜電力外不受其他外力作用。已知、間的距離是、間距離的2倍。下列說法錯誤的是（　　）
A．若、為正電荷，則為負電荷 B．若、為負電荷，則為正電荷
C． D．
角度2：共點力作用下的平衡問題
【典例10】（2023·海南·統(tǒng)考高考真題）如圖所示，一光滑絕緣軌道水平放置，直徑上有A、B兩點，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定兩個帶電量分別為Q1、Q2的正電荷，現(xiàn)有一個帶正電小球靜置于軌道內側P點（小球可視為點電荷），已知AP：BP = n：1，試求Q1：Q2是多少（ ）

A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1
【變式】（2023·海南·統(tǒng)考二模）用絕緣細線a、b將兩個帶電小球1和2連接并懸掛，已知小球2的重力為G，如圖所示，兩小球處于靜止狀態(tài)，細線a與豎直方向的夾角為30°，兩小球連線與水平方向夾角為30°，細線b水平，則（　　）
A．小球1帶電量一定小于小球2的帶電量 B．細線a拉力大小為
C．細線b拉力大小為 D．小球1與2的質量比為
角度3：庫侖力作用下的動態(tài)平衡問題
【典例11】（多選）（2023·全國·模擬預測）如圖所示，已知帶電小球A、B的電荷量分別為、，A球固定，B球用長為L的絕緣絲線懸掛在O點，靜止時A、B相距為d，若A球電荷量保持不變，B球緩慢漏電，不計兩小球半徑，則下列說法正確的是（　　）
A．絲線對B球的拉力逐漸變大
B．A球對B球的庫侖力逐漸變小
C．當AB間距離減為時，B球的電荷量減小為原來的
D．當AB間距離減為時，B球的電荷量減小為原來的
【變式】（2023·云南·模擬預測）如圖所示，OA為豎直絕緣墻面，A點固定電荷量為的小球，電荷量為的小球B通過輕繩與O點相連，小球B處于靜止狀態(tài)。已知，將小球A視為場源電荷，小球B視為試探電荷，若小球B的電荷量逐漸減小，則在B靠近A的過程中（　　）

A．小球B受到的靜電力大小逐漸減小 B．小球B所處位置的電場強度逐漸減小
C．小球B所處位置的電勢逐漸減小 D．小球B的電勢能不變
考點過關
【素質基礎練】
1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）橡膠板置于絕緣水平桌面上，某同學戴著絕緣手套先用毛皮摩擦橡膠板，使橡膠板帶負電，然后手握絕緣手柄將鋁板靠近橡膠板，鋁板的下表面與橡膠板上凸起的接地鐵釘接觸，并在其上表面撒上細紙屑，迅速上抬鋁板至某一位置后，可以看到細紙屑從鋁板上飛濺出來，這就是“靜電飛花”實驗。下列說法正確的是（ ）
A．鋁板未與橡膠板接觸所以始終不帶電
B．紙屑是因為帶正電相互排斥而不斷飛散
C．鋁板與鐵釘接觸時，電子從大地通過鐵釘流向鋁板
D．鋁板與鐵釘接觸時，鋁板上、下表面帶等量異種電荷
2．（2023·貴州·校考模擬預測）兩個分別帶有電荷量均為Q的相同金屬小球（均可視為點電荷），固定在相距為r的兩處，它們之間庫侖力的大小為F，將其中一球電荷量變?yōu)?Q，并把它們的距離變?yōu)?r，則兩球間庫侖力的大小變?yōu)椋ā　。?br/>A． B． C． D．
3．（2023·山東淄博·山東省淄博第一中學校聯(lián)考二模）已經(jīng)證實，質子是由上夸克和下夸克兩種夸克組成的，上夸克帶電為，下夸克帶電為，e為電子所帶電荷量的大小。如果質子是由三個夸克組成的，各個夸克之間的距離都相等且在同一圓周上。如圖所示，下列四幅圖中能正確表示出各夸克靜電力的是（　　）
A．B．C．D．
4．（2023·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）如圖所示，水平面內有一半徑為的圓，為圓心，、為一直徑上的兩端點，、為另一直徑上的兩端點，且垂直。在點、、、分別放置四個電荷量為的點電荷，在垂直于水平面且過圓心點的軸線上有一點，、兩點間的距離也為。已知靜電力常量為，則點的電場強度大小為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，a為勻強電場，b為非勻強電場，三個電荷用輕棒連接為正三角形，則整個系統(tǒng)受合力的情況是（ ）

A．a(chǎn)為0，b為0 B．a(chǎn)為0，b不為0 C．a(chǎn)不為0，b為0 D．a(chǎn)不為0，b不為0
6．（2023·天津·模擬預測）圖中虛線為一組間距相等的同心圓，圓心處固定一帶正電的點電荷。一帶電粒子以一定初速度射入電場，實線為粒子僅在電場力作用下的運動軌跡，a、b、c三點是實線與虛線的交點，則關于該粒子下列說法錯誤的是（　　）
A．帶正電 B．在c點受力最大
C．在b點的電勢能大于在c點的電勢能 D．由a點到b點的動能變化大于由b點到c點的動能變化
7．（2023·湖北·模擬預測）如圖所示，電荷均勻分布在半球面上，電荷在該半球的中心處產(chǎn)生的電場的電場強度大小等于，半球的一個截面過半球面的直徑，該截面與半球面的底面夾角，則該截面左下側的這部分球面上的電荷在處產(chǎn)生的電場的電場強度大小為（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·遼寧·模擬預測）如圖所示，半徑為的硬塑膠圓環(huán)，帶有均勻分布的正電荷，單位長度上的電量為，其圓心處的合場強為零，現(xiàn)截去圓環(huán)頂部極少一段（），則剩余部分在圓心處產(chǎn)生場強，下列說法中正確的是（ ）
A．處場強方向豎直向下 B．處場強方向豎直向上，大小為
C．處場強大小為 D．處場強大小為
9．（多選）（2023·河北邢臺·校聯(lián)考一模）如圖所示，豎直面內一絕緣細半圓環(huán)均勻分布著正電荷，、為圓環(huán)水平直徑上的兩個點且點為圓心，弧和弧都是四分之一圓弧。已知均勻帶電圓環(huán)內各點的場強均為零，則下列說法正確的是（　　）
A．點電場強度的方向垂直于向下
B．點電場強度的方向斜向下
C．若弧在點的電場強度大小為，則半圓環(huán)在點的電場強度大小為
D．若弧在點的電場強度大小為，則半圓環(huán)在點的電場強度大小為
10．（2023·浙江·模擬預測）如圖所示，長l=1 m的輕質細繩上端固定，下端連接一個可視為質點的帶電小球，小球靜止在水平向右的勻強電場中，繩與豎直方向的夾角θ=37°。已知小球所帶電荷量q=1.0×10-5 C，勻強電場的場強E=3.0×103 N/C，取重力加速度g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8求：
（1）小球所受電場力F的大小。
（2）小球的質量m。
（3）將電場撤去，小球回到最低點時速度v的大小。
11．（2023·全國·模擬預測）質量均為m的三個帶電小球A、B、C用三根長度均為的絕緣絲線相互連接，放置在光滑絕緣的水平面上，A球的電荷量為。在C球上施加一個水平向右的恒力F之后，三個小球一起向右運動，三根絲線剛好都伸直且沒有彈力，F(xiàn)的作用線的反向延長線與A、B間的絲線相交于絲線的中點，如圖所示。已知靜電力常量為k，求：
（1）三個小球一起運動的加速度大小；
（2）恒力F的大小。
【能力提高練】
1．（2023·貴州·校考模擬預測）取一對用絕緣柱支撐的不帶電的導體A和B，使它們彼此接觸。A、B下方均連有兩片金屬箔片。手握絕緣棒，把帶正電荷的帶電體C移近導體A，下列判斷正確的是（　　）
A．僅有A下方的金屬箔片張開 B．僅有B下方的金屬箔片張開
C．導體A和B帶等量異種電荷 D．導體A帶正電、導體B帶負電
2．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）三個相同的帶孔金屬小球A、B、C串在環(huán)形絕緣細繩上，A、B所帶的電荷量分別為、，C不帶電。將三個小球放在絕緣水平桌面上，保持靜止時三個小球的位置如圖甲所示。將三個球一起接觸后釋放，再次靜止時，三個小球的位置如圖乙所示。不計小球的體積與一切摩擦，則前后兩次靜止時，細繩中張力大小之比為（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預測）如圖所示，在邊長為a的等邊三角形的三個頂點A、B、C上，分別固定三個電荷量相等的點電荷，其中A、B處的點電荷均帶正電，C處的點電荷帶負電，O為三角形中心，已知k為靜電力常量，則關于O點的電場強度大小，下列說法正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖所示，電量為的點電荷固定在N點，內壁光滑的絕緣細管豎直固定，N、B兩點連線水平。電量為的小球從A點由靜止釋放，已知，則關于的電場和小球下落到B點的過程，下列說法正確的是（　　）
A．A點的場強大于B點的場強 B．A點的電勢高于B點的電勢
C．小球在B點的加速度小于重力加速度 D．小球的機械能一直在減小
5．（2023·全國·模擬預測）如圖所示，一半徑為R的絕緣環(huán)上，均勻地分布有電荷量為Q的電荷，在垂直于圓環(huán)平面的對稱軸上有一點P，它與環(huán)心O的距離OP=L。靜電力常量為k，關于P點的場強E，下列四個表達式中有一個是正確的，請你根據(jù)所學的物理知識，通過一定的分析，判斷正確的表達式是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）如圖所示，A、B為兩個對稱的圓錐的頂點，相距2l、圓錐的底面半徑為l，C點為圓錐底面圓周上的一點，O點為AB連線的中點，D點為OB連線的中點。現(xiàn)把兩個電荷量都是Q的正點電荷分別置于A、B兩點。該空間為真空，靜電力常量為k。則下列說法正確的是（　　）
A．圓周上各點的電場強度的方向都平行于AB連線
B．圓周上C點的電場強度大小為
C．在OB連線上各點的電場強度都一定大于C點的電場強度
D．將另一個帶負電的檢驗電荷q從C點沿CO、OD的折線路徑移動到D點的過程中，其電勢能一定逐漸減小
7．（2023·山東·統(tǒng)考二模）學校科技節(jié)中某參賽選手設計了運輸軌道，如圖甲所示，可簡化為傾角為θ的足夠長固定絕緣光滑斜面。以斜面底端為坐標原點，沿斜面向上為x軸的正方向，且沿x軸部分區(qū)域存在電場。在斜面底端由靜止釋放一質量為m、電荷量為＋q的滑塊，在滑塊向上運動的一段過程中，機械能E隨位置坐標x的變化如圖乙所示，曲線A點處切線斜率最大。滑塊可視為質點，不計空氣阻力，不計滑塊產(chǎn)生的電場。以下說法正確的是（　　）
A．在過程中，滑塊動能先減小后恒定
B．在處滑塊的動能最大，
C．在的過程中重力勢能與電勢能之和一直增大
D．在過程中，滑塊先加速后減速
8．（2023·全國·重慶市萬州第二高級中學校考模擬預測）如題圖1所示，x軸上和處分別固定A、B兩點電荷，取電場強度沿x軸正方向為正，x軸上區(qū)域的電場強度分布如題圖2所示，放入其中的電荷僅受電場力作用，由此可知（　　）
A．A、B兩點電荷電性相同
B．A、B兩點電荷電荷量大小之比
C．在有限范圍內，x軸上僅有一處電場強度為零
D．將一正點電荷從處由靜止釋放，僅在電場力作用下還能回到處
9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖所示，空間正四棱錐的底面邊長和側棱長均為a，水平底面的四個頂點處均固定著電量為的點電荷，頂點P處有一個質量為m的帶電小球，在靜電力和重力的作用下恰好處于靜止狀態(tài)。將P處小球的電荷量減半，同時加豎直方向的勻強電場，此時P處小球仍能保持靜止，重力加速度為g，靜電力常量為k，則所加勻強電場強度大小為（　　）

A． B． C．· D．
10．（2023·全國·模擬預測）如題圖甲為密立根油滴實驗的原理圖，用噴霧器把許多油滴從上板中間的小孔噴入電場。某次實驗過程可以簡化為題圖乙，其中A、B為水平正對放置的平行金屬板，兩金屬板間加電壓，板間距d，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)一帶電油滴P在兩金屬板之間保持靜止。若突然撤去兩金屬板間的電壓，且兩極板所帶電量立即消失，經(jīng)過一小段時間油滴達到最大速率后再勻速下降時間t到達B板，油滴P從靜止出發(fā)點到B板的位移為L。設油滴在運動過程中質量和電荷量均保持不變，若油滴質量按正比于最大速率的二次方近似處理，比例系數(shù)為；空氣阻力與速度大小成正比，比例系數(shù)為。重力加速度為g，不計油滴間的作用力。求：
（1）油滴P運動過程中的最大速率；
（2）油滴P所帶電荷量；
（3）油滴P從靜止到剛到達最大速率過程中重力勢能的變化量。
【高考通關練】
1．（2023·浙江·統(tǒng)考高考真題）某帶電粒子轉向器的橫截面如圖所示，轉向器中有輻向電場。粒子從M點射入，沿著由半徑分別為R1和R2的圓弧平滑連接成的虛線（等勢線）運動，并從虛線上的N點射出，虛線處電場強度大小分別為E1和E2，則R1、R2和E1、E2應滿足（　　）

A． B． C． D．
2．（2023·湖北·統(tǒng)考高考真題）在正點電荷Q產(chǎn)生的電場中有M、N兩點，其電勢分別為、，電場強度大小分別為、。下列說法正確的是（　　）
A．若，則M點到電荷Q的距離比N點的遠
B．若，則M點到電荷Q的距離比N點的近
C．若把帶負電的試探電荷從M點移到N點，電場力做正功，則
D．若把帶正電的試探電荷從M點移到N點，電場力做負功，則
3．（2023·湖南·統(tǒng)考高考真題）如圖，真空中有三個點電荷固定在同一直線上，電荷量分別為Q1、Q2和Q3，P點和三個點電荷的連線與點電荷所在直線的夾角分別為90°、60°、和30°。若P點處的電場強度為零，q > 0，則三個點電荷的電荷量可能為（ ）

A．Q1= q，，Q3= q B．Q1= －q，，Q3= －4q
C．Q1= －q，，Q3= －q D．Q1= q，，Q3= 4q
4．（多選）（2023·山東·統(tǒng)考高考真題）如圖所示，正六棱柱上下底面的中心為O和，A、D兩點分別固定等量異號的點電荷，下列說法正確的是（ ）

A．點與點的電場強度大小相等
B．點與點的電場強度方向相同
C．點與點的電勢差小于點與點的電勢差
D．將試探電荷由F點沿直線移動到O點，其電勢能先增大后減小
5．（2023·海南·統(tǒng)考高考真題）如圖所示，正三角形三個頂點固定三個等量電荷，其中帶正電，帶負電，為邊的四等分點，下列說法正確的是（ ）

A．、兩點電場強度相同 B．、兩點電勢相同
C．負電荷在點電勢能比在點時要小 D．負電荷在點電勢能比在點時要大
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