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小議“直接證明與間接證明”
一、要點透析
1．綜合法
一般地，利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法。
用表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：

應用綜合法時，應從命題的前提出發，在選定了真實性是無可爭辯的出發點以后（它基于題設或已知的真命題），再依次由它得出一系列的命題（或判斷），其中每一個都是真實的（但它們并不一定都是所需求的）且最后一個必須包含我們要證明的命題的結論時，命題得證。并非一上來就能找到通達命題結論的思路，只是在證明的過程中對每步結論進行分析、推敲、比較、選擇后才能得到。當然，在較多地積累一些經驗，掌握一些證法之后，可較為順利地得到證明的思路。
2．分析法
一般地，從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析法。
用表示要證明的結論，則分析法可用框圖表示為：

應用分析法時，并非一開始就確信由結論出發所產生的那些判斷（或命題）都正確，各個推理步驟及依次考慮的概念、定理、法則等都合適。這種推理方法僅僅是建立與需要證明的命題的等效關系，因而需要從這些關系中逐個考查，逐個思索，逐個分析，逐個判斷，在得到了所需的確定結論時（它們是已證的命題或已知的條件），才知道前面各步推理的適當與否，從而找出證明的路子。
當證題不知從何入手時，有時可運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目，往往更是行之有效。
3．綜合法和分析法的區別與聯系
分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件；綜合法的特點是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的必要條件。分析法與綜合法各有其特點，有些具體的特征命題，用分析法和綜合法都可以證明出來，人們往往選擇比較簡單的一種。
4．反證法
一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。
反證法的證明過程可以概括為“否定——推理——否定”，即從否定結論開始，經過正確的推理，導致邏輯矛盾，從而達到新的否定（即肯定原命題）的過程。用反證法證明命題“若則”的過程，可用下圖所示的框圖表示。

應用反證法證明數學命題，一般有下面幾個步驟：
第一步：分清命題“”的條件和結論；
第二步：作出與命題結論相矛盾的假定；
第三步：由和出發，應用正確的推理方法，推出矛盾結果；
第四步：判斷產生矛盾結果的原因在于開始所作的假定不真，于是原結論成立，從而間接地證明了命題為真。
第三步所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾，與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況。
二、范例點悟
例1 已知、、，求證：。
分析：不等式中的、、為對稱的，所以從基本的不等式定理入手，先考慮兩個正數的平均數定理，再據不等式性質推導出證明的結論。
證明：∵，、、，∴，
∴，∴。
同理：，
將三式相加得。
∴
。
∴。
評注：在運用綜合法證明不等式時，常利用不等式的基本性質，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在運用這些性質時，一定要注意這些性質成立的前提條件。
例2 當一個圓與一個正方形的周長相等時，這個圓的面積比正方形的面積大。
分析：應用分析法證題時，語氣總是假定的，通常用“欲證只需證”的語句，在證明過程中一個終結代替另一個終結時，必須注意它們間的等價性。
證明：設圓和正方形的周長為，依題意，圓的面積為，正方形的面積為，因此本題只需證明。
為了證明成立，只需證明，
兩邊同乘以正數得，因此，只需證明。
因為上式是成立的，所以。
這就證明了，如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么這個圓的面積比這個正方形的面積大。
評注：在分析法證明中，從結論出發的每一個步驟所得到的判斷都是結論成立的充分條件，最后一步歸結到已被證明了的事實。因此，從最后一步可以倒推回去，直到結論，但這個倒推過程可以省略。
例3 已知三個關于的方程，，中，至少有一個方程有實根，求實數的取值范圍。
分析：含有至多、至少字樣的問題，往往用反證法去解決。
解析：三個方程都沒有實根的充要條件是 即
解得。
∴使三個方程至少有一個方程有實根的實數的取值范圍為。
評注：反證法的邏輯根據為：要證明命題“若則為真”，該證“若則為假”，因此，反證法的核心是從出發導出矛盾。
直接證明與間接證明教材精析
在前面我們已經知道合情推理和演繹推理都是根據某些已知判斷來確定一個新的判斷的思維過程.其中演繹推理在大前提小前提都正確的情況下所得的結論一定正確，而合情推理（歸納、類比等）所猜測得到的結論不一定正確，必須通過邏輯（演繹）推理的方式加以證明.下面就研究兩類基本的證明方法———直接證明與間接證明.
　　一、綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證法，也是證明數學問題時最常用的思維方式.
　　1.綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立的證明方法.又叫順推證法或由因導果法.
　　其推理方式可用框圖表示為：
　　其中表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，表示所要證明的結論，表示中間結論．
　　綜合法常用的表達格式為：，；
　　又，；，；又，．
　　2．分析法：從要證明的結論出發，對其進行分析和轉化，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止的證明方法.又叫逆推證法或執果索因法.
　　其推理方式可用框圖表示為：
　　
　　其中表示要證明的結論，分別表示使成立的充分條件，表示最后尋求到的一個明顯成立的條件．
　　分析法常用的表達格式為：
　　要證，只需證，只需證，，只需證，由于顯然成立，所以成立．
　　綜合法、分析法都是直接利用已知條件或定義、公理、定理等與所要證明的結論之間的關系推導出所要證明的結論或尋求出使它成立的充分條件，故均屬于直接證法.
　　二、反證法是間接證明的一種基本方法.
　　對于某些看來明顯成立而又不便知道根據什么去推導（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，一般地，可在假設原命題不成立的前提下，經過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.這種證明方法叫做反證法.
　　簡易邏輯部分中四種命題間的關系領悟得好的同學不難悟出反證法的原理不外乎“互為逆否命題的兩個命題真假一致”，即：“”“”．
　　用反證法證題的格式一般為：
　　假設不成立，若，，則，這與已知（定義、公理、定理等）相矛盾，
　　∴假設不成立，成立．
　　1．綜合法的每一步都是三段論（或其簡略形式），大前提一定要正確，否則證明易出錯.
　　2.使用分析法時一定要注意對所要證明的結論是以“分析”的語氣對待的，因而證明格式上應體現出“分析”探討性（“要證…，只需證…”），而非直接肯定結論.
　　例1　求證．
　　錯證：，
　　，，
　　，，顯然原不等式成立．
　　錯因：對分析法的原理不理解，以至于將所要證明的結論當成已知條件來用了.
　　正：只需將“∵”改為“要證”，“∴” 改為“只需證”.
　　3.綜合法和分析法往往不是單一地使用的，而是結合兼用的，特別是較為復雜的證明（教科書例3）.一般是先用綜合法由已知條件P推出一個中間結論M，再用分析法探求，發現M正是使所要證結論Q成立的充分條件.證明過程用框圖1表示；或者先用分析法尋求出使所要證明的結論Q成立的充分條件M，再用綜合法由已知條件P推出M.證明過程用框圖2表示.

或
例2 教科書中對例3的證法是先綜合后分析，證明過程如框圖１的形式；我們還可以改用框圖2的形式，先分析后綜合來證.
　　證明：要證，
　　只需證，
即證
　　即證，
　　即證　　　③．
　　另一方面，因為，所以將已知中的①②代入上式，
　　即得與③相同，于是問題得證．
　　4.綜合法與分析法當所用的證據相同時形式上是互逆的，因此往往可以互相改寫，但須注意二者表達格式的迥異.
　　5.反證法也經常與綜合法或分析法結合使用.
　　例3 證明不可能成等差數列．
　　證明（一）：假設成等差數列，即，下面（用分析法）證明．
　　要證，
　　只需證，
　　即證，即證，
　　即證，而該式顯然成立，
　　故，這與假設相矛盾，
　　所以假設不成立，從而不成等差數列．
　　證明（二）：假設成等差數列，即，下面（用綜合法）證明．
　　，，，
　　即，
　　即，
　　，這與假設相矛盾，
　　故假設不成立，從而不成等差數列．

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