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競賽中的三角函數例題選講
【內容綜述】
一．三角函數的性質
1．正，余弦函數的有界性
對任意角，，　
2．奇偶性與圖象的對稱性
正弦函數，正切函數和余切函數都是奇函數，它們的圖象關于原點對稱，并且y=sinx的圖象還關于直線對稱：余弦函數是偶函數，從而y=cosx的圖象關于y軸對稱，并且其圖象還關于直線對稱
3．單調性
y=sinx在上單調遞增，在上單調遞減：y=cosx在上單調遞增，在上單調遞減；y=tanx在上都是單調遞增的；y=cotx在上都是單調遞減的。
4．周期性
y=sinx與y=cosx的最小正周期是2π，y=tanx與y=cosxr 的最小正周期是π。
　　【例題分析】
　　 例1 已知圓至少覆蓋函數的一個最大值點與一個最小值點，求實數k的取值范圍。
　　解 因為是一個奇函數，其圖象關于原點對稱，而圓也關于原點對稱，所以，圖只需覆蓋的一個最值點即可。
　　令，可解得的圖象上距原點最近的一個最大值點，依題意，此點到原點的距離不超過|k|，即
　　
　　
　　綜上可知，所求的K 為滿足的一切實數。
　　例2 已知，且
　　
　　求 cos(x+2y)的值。
　　解 原方程組可化為
　　
　　因為所以令 ，則在上是單調遞增的，于是由
　　得 f(x)=f(-2y)
　　得 x=-2y
　　即 x+2y=0
　　
　　例3 求出（并予以證明）函數
　　解 首先，對任意，均有
　　
　　
　　這表明，是函數f(x)的一個周期
　　其次，設，T是f(x)的一個周期，則對任意，均有
　　
　　在上式中，令x=0，則有
　　。
　　兩邊平方，可知
　　
　　即 sin2T=0，這表明，矛盾。
　　綜上可知，函數的最小正周期為。
　　例3 求證：在區間內存在唯一的兩個數，使得
　　sin(cosc)=c, cos(sind)=d
　　證，構造函數
　　f(x)=cos(sinx)-x
　　f(x)在區間內是單調遞減的，由于
　　f(0)=cos(sin0)-0=1>0.
　　
　　故存在唯一的，使f(d)=0，即
　　cos(sind)=d
　　對上述兩邊取正弦，并令c=sind，有
　　sin(cos(sind))=sind
　　sin(cosc)=c
　　顯然，由于y=sinx在是單調遞增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且
　　例4 已知對任意實數x，均有
　　
　　求證：
　　證 首先，f(x)可以寫成
　?、?br/>　　其中是常數，且，
　　
　　在①式中，分別令和得
　?、?br/>　　③
　?、?③，得
　　
　　
　　又在①式中分別令，得
　?、?br/>　?、?br/>　　由④+⑤，得
　　
【能力訓練】
（A組）
1．求函數的單調遞增區間
2．已知是偶函數，，求
3．設，，試比較的大小。
4．證明：對所以實數x,y，均有
5．已知為偶函數，且t滿足不等式，求t的值。
（B組）
6．已知，且滿足：
（1）；（2）；
（3）。
求f(x)的解析式
7．證明：對任意正實數x,y以及實數均有不等式
8．已知當時，不等式
恒成立，求的取值范圍。
9．設，，求乘積的最大值和最小值。
參考答案
【能力訓練】
A組
　　1．
　　2．由偶函數的定義，有
　　
　　
　　
　　上式對任意成立，故
　　
　　所以
　　3．首先，又
　　
　　
　　，
　　即
　　4．只需證明不能同時成立，若不然，則存在整數m,n,k,使得
　　
　　
　　即
　　矛盾
　　5．由題設，得
　　
　　即
　　由于上式對任意x成立，故sint=1，結合，即-1　　B組
　　6．由可得a+2b+4c=1524①
　?。?）當且b>0時，有
　　
　　此方程組與①聯立后無解
　?。?）當且b<0 有
　　
　　此時a=4,b=-40, c=400
　?。?）當a>0且有
　　
　　此方程組與①聯立后無解。
　?。?）當a<0且，有
　　
　　此方程組與①聯立后無解，
　　得上可知，。
　　7．原不等式等價于
　　
　　若，則
　　若
　　故原不等式成立
　　8．令，由條件可得所以在第I象限，原不等式可化為
　　
　　由于結合原不等式對任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即
　　
　　
　　
　　9．由條件知，于是
　　

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