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第12講 帶電粒子在磁場中的運動
知識點一：帶電粒子在勻強磁場中的運動
1．運動軌跡
帶電粒子（不計重力）以一定的速度v進入磁感應強度為B的勻強磁場中：
（1）當v∥B時，帶電粒子將做勻速直線運動；
（2）當v⊥B時，帶電粒子將做勻速圓周運動；
（3）當v與B的夾角為（≠0°，90°，180°）時，帶電粒子將做等螺距的螺旋線運動．
說明：電場和磁場都能對帶電粒子施加影響，帶電粒子在勻強電場中只在電場力作用下，可能做勻變速直線運動，也可能做勻變速曲線運動，但不可能做勻速直線運動；在勻強磁場中，只在磁場力作用下可以做曲線運動．但不可能做變速直線運動．
2．帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動
如圖所示，帶電粒子以速度v垂直磁場方向入射，在磁場中做勻速圓周運動，設帶電粒子的質量為m，所帶的電荷量為q．
（1）軌道半徑：由于洛倫茲力提供向心力，則有，得到軌道半徑．
（2）周期：由軌道半徑與周期之間的關系可得周期．
說明：（1）由公式知，在勻強磁場中，做勻速圓周運動的帶電粒子，其軌道半徑跟運動速率成正比．
（2）由公式知，在勻強磁場中，做勻速圓周運動的帶電粒子，周期跟軌道半徑和運動速率均無關，而與比荷成反比．
注意：與是兩個重要的表達式，每年的高考都會考查．但應用時應注意在計算說明題中，兩公式不能直接當原理式使用．
知識點二：帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的問題分析
1．分析方法
研究帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的問題，應遵循“一找圓心，二找半徑R=mv／qB，三找周期T=2πm／Bq或時間”的基本方法和規律，具體分析為：
（1）圓心的確定
帶電粒子進入一個有界磁場后的軌道是一段圓弧，如何確定圓心是解決問題的前提，也是解題的關鍵．首先，應有一個最基本的思路：即圓心一定在與速度方向垂直的直線上．通常有兩種確定方法：
①已知入射方向和出射方向時，可以通過入射點和出射點作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心（如圖甲所示，圖中P為入射點，M為出射點，O為軌道圓心）．
②已知入射方向和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心（如圖乙所示，P為入射點，M為出射點，O為軌道圓心）．
（2）運動半徑的確定：
作入射點、出射點對應的半徑，并作出相應的輔助三角形，利用三角形的解析方法或其他幾何方法，求解出半徑的大小，并與半徑公式聯立求解．
（3）運動時間的確定
粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為時，其運動時間可由下式表示：（或）．可見粒子轉過的圓心角越大，所用時間越長．
2．有界磁場
（1）磁場邊界的類型如圖所示
（2）與磁場邊界的關系
①剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切．
②當速度v一定時，弧長（或弦長）越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長．
③當速率v變化時，圓周角越大的，運動的時間越長．
（3）有界磁場中運動的對稱性
①從某一直線邊界射入的粒子，從同一邊界射出時，速度與邊界的夾角相等；
②在圓形磁場區域內，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出．
3．解題步驟
帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的解題方法——三步法：
（1）畫軌跡：即確定圓心，幾何方法求半徑并畫出軌跡．
（2）找聯系：軌道半徑與磁感應強度、運動速度相聯系，偏轉角度與圓心角運動時間相聯系，在磁場中運動的時間與周期相聯系．
（3）用規律：即牛頓第二定律和圓周運動的規律，特別是周期公式、半徑公式．
注意：
（1）帶電粒子射出磁場的速度方向與射入磁場的速度方向之間的夾角叫做偏向角，偏向角等于圓弧軌道對應的圓心角，即，如圖所示．
（2）圓弧軌道所對圓心角等于PM弦與切線的夾角（弦切角）的2倍，即，如圖所示．
類型一、洛倫茲力的特點
[例1]下列說法正確的是（ ）
A．運動電荷在磁感應強度不為零的地方，一定受到洛倫茲力的作用
B．運動電荷在某處不受洛倫茲力的作用，則該處的磁感應強度一定為零
C．洛倫茲力既不能改變帶電粒子的動能，也不能改變帶電粒子的速度
D．洛倫茲力對帶電粒子不做功
[變式1]關于洛倫茲力，以下說法正確的是（ ）
A．帶電粒子在磁場中一定會受到洛倫茲力的作用
B．若帶電粒子在某點受到洛倫茲力的作用，則該點的磁感應強度一定不為零
C．洛倫茲力不會改變運動電荷的速度方向
D．僅受洛倫茲力作用的運動電荷的動能一定不改變
[變式2]帶電為+q的粒子在勻強磁場中運動，下面說法中正確的是（ ）
A．只要速度大小相同，所受洛侖茲力就相同
B．如果把+q改為-q，且速度反向大小不變，則洛侖茲力的大小、方向均不變
C．洛侖茲力方向一定與電荷速度方向垂直，磁場方向一定與電荷運動方向垂直
D．粒子只受到洛侖茲力作用，其運動的動能可能增大
[例2]如圖所示，一個帶正電荷的小球沿水平光滑絕緣的桌面向右運動，飛離桌子邊緣A，最后落到地板上．設有磁場時飛行時間為t1，水平射程為x1，著地速度大小為v1；若撤去磁場，其余條件不變時，小球飛行時間為t2，水平射程為x2，著地速度大小為v2．則下列結論不正確的是（ ）
x1＞x2 B．t1＞t2
C．v1＞v2 D．v1和v2大小相同
[變式1]質量為m．帶電量為q的小球，從傾角為θ的光滑絕緣斜面上由靜止下滑，整個斜面置于方向水平向外的勻強磁場中，其磁感應強度為B，如圖所示．若帶電小球下滑后某時刻對斜面的作用力恰好為零，下面說法中正確的是（ ）
A．小球帶正電
B．小球在斜面上運動時做勻加速直線運動．
C．小球在斜面上運動時做加速度增大，而速度也增大的變加速直線運動．
D．小球在斜面上下滑過程中，當小球對斜面壓力為零時的速率為
[變式2]在如圖所示勻強磁場中，一個質量為m電量為+q的圓環套在一根固定的絕緣水平長直桿上，環與桿的動摩擦因數為μ。現給環一個向右的初速度v0，則環在運動過程中克服摩擦所做的功大小可能為（ ）
A． B．0
C． D．
[變式3]某空間存在著如圖所示的足夠大的沿水平方向的勻強磁場．在磁場中A、B兩個物塊疊放在一起，置于光滑水平面上，物塊A帶正電，物塊B不帶電且表面絕緣．在t1=0時刻，水平恒力F作用在物塊B上，物塊A、B由靜止開始做加速度相同的運動．在A、B一起向左運動的過程中，以下說法正確的是 （ ）
A．圖乙可以反映A所受洛侖茲力大小隨時間t變化的關系
B．圖乙可以反映A對B的摩擦力大小隨時間t變化的關系
C．圖乙可以反映A對B的壓力大小隨時間t變化的關系
D．圖乙可以反映B對地面壓力大小隨時間t變化的關系
類型二、帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動
[例3]兩個粒子，帶電量相等, 在同一勻強磁場中只受磁場力而作勻速圓周運動（ ）
A．若速率相等，則半徑必相等 B．若質量相等，則周期必相等
C．若動量相等，則半徑必相等 D．若動能相等，則周期必相等
[變式1]兩個電荷量相等的帶電粒子，在同一勻強磁場中只受磁場力作用而做勻速圓周運動．下列說法中正確的是（ ）
A．若它們的軌跡半徑相等，則它們的質量相等
B．若它們的軌跡半徑相等，則它們的速度大小相等
C．若它們的運動周期相等，則它們的質量相等
D．若它們的運動周期相等，則它們的速度大小相
[例4]一個帶電粒子，沿垂直于磁場的方向射入一勻強磁場中，粒子的一段運動徑跡如圖所示。若徑跡上的每一小段都可近似看成圓弧，由于帶電粒子使沿途的空氣電離，粒子的能量逐漸減小(帶電量不變)，則從圖中情況可以確定（ ）
A．粒子是從a運動到b，帶正電
B．粒子是從b運動到a，帶正電
C．粒子是從a運動到b，帶負電
D．粒子是從b運動到a，帶負電
[變式1]帶電粒子在勻強磁場中運動，由于受到阻力作用，粒子的動能逐漸減小（帶電荷量不變，重力忽略不計），軌道如曲線abc所示.則該粒子 ( )
A．帶負電，運動方向c→b→a
B．帶負電，運動方向a→b→c
C．帶正電，運動方向a→b→c
D．帶正電，運動方向c→b→a
[變式2]在光滑絕緣水平面上，一輕繩拉著一個帶電小球繞豎直方向的軸O在勻強磁場中做逆時針方向的水平勻速圓周運動，磁場的方向豎直向下，其俯視圖如圖所示，若小球運動到A點時，繩子突然斷開，關于小球在繩斷開后可能的運動情況，以下說法正確的是 ( )
A．小球仍做逆時針勻速圓周運動，半徑不變
B．小球仍做逆時針勻速圓周運動，半徑減小
C．小球做順時針勻速圓周運動，半徑不變
D．小球做順時針勻速圓周運動，半徑減小
類型三、帶電粒子圓周運動時間的求解
[例5]如圖所示，為一圓形區域的勻強磁場，在O點處有一放射源，沿半徑方向射出速度為v的不同帶電粒子，其中帶電粒子1從A點飛出磁場，帶電粒子2從B點飛出磁場，不考慮帶電粒子的重力，則 ( )
A．帶電粒子1的比荷與帶電粒子2的比荷比值為3:1
B．帶電粒子1的比荷與帶電粒子2的比荷比值為∶1
C．帶電粒子1與帶電粒子2在磁場中運動時間比值為2∶3
D．帶電粒子1與帶電粒子2在磁場中運動時間比值為1∶2
[變式1]如圖所示，在圓形區域內，存在垂直紙面向外的勻強磁場，ab是圓的一條直徑．一帶電粒子從a點射入磁場，速度大小為2v，方向與ab成30°時恰好從b點飛出磁場，粒子在磁場中運動的時間為t；若僅將速度大小改為v，則粒子在磁場中運動的時間為(不計帶電粒子所受重力)( )
B．
D．
[變式2]如圖所示，圓形區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，一個帶電粒子以速度v從A點沿直徑AOB方向射入磁場，經過Δt時間從C點射出磁場，OC與OB成60°角．現將帶電粒子的速度變為，仍從A點沿原方向射入磁場，不計重力，則粒子在磁場中的運動時間變為( )
Δt B．2Δt
C．Δt D．3Δt
[變式3]如圖所示，在空間有一坐標系xoy，直線OP與x軸正方向的夾角為，第一象限內有兩個方向都垂直紙面向外的勻強磁場區域Ⅰ和Ⅱ，直線OP是他們的邊界，OP上方區域Ⅰ中磁場的磁感應強度為B。一質量為m，電荷量為q的質子（不計重力）以速度v從O點沿與OP成角的方向垂直磁場進入區域Ⅰ，質子先后通過磁場區域Ⅰ和Ⅱ后，恰好垂直打在x軸上的Q點（圖中未畫出），則（ ）
A．質子在區域Ⅰ中運動的時間為
B．質子在區域Ⅰ中運動的時間為 C．質子在區域Ⅱ中運動的時間為
D．質子在區域Ⅱ中運動的時間為
類型二、 帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
[例6]如圖所示，一帶電粒子質量為m，電量為q（不計重力），以某一速度垂直射入磁感應強度B、寬度為d的有界勻強磁場中，穿過磁場時速度方向與原來入射方向的夾角為30°。求：
（1）帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動時的速度大小；
（2）帶電粒子穿過磁場區域的時間為多少？
[變式1]如圖所示，勻強磁場寬L="30" cm，B=3.34×10-3 T，方向垂直紙面向里.設一質子以v=1.6×105 m/s 的速度垂直于磁場B的方向從小孔C射入磁場，然后打到照相底片上的A點. 試求：
（1）質子在磁場中運動的軌道半徑r；
（2）A點距入射線方向上的O點的距離H；
（3）質子從C孔射入到A點所需的時間t.（質子的質量為1.67×10-27 kg；質子的電荷量為1.6×10-19 C）
[變式3]如圖所示，在x軸的上方（y>0的空間內）存在著垂直于紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，一個不計重力的帶正電粒子從坐標原點O處以速度υ進入磁場，粒子進入磁場時的速度方向垂直于磁場且與x軸正方向成45°角，若粒子的質量為m，電量為q，求：
（1）畫出粒子在磁場中的運動軌跡；
（2）該粒子射出磁場的位置距原點O的距離；
（3）粒子在磁場中運動的時間．
[變式4]如圖所示，一個質量為m，帶q（q >0）電量的粒子在BC邊上的M點以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點垂直于AC邊飛出該三角形，可在適當的位置加一個垂直于紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個也是正三角形的區域內，且不計粒子的重力，試求：
（1）畫出正三角形區域磁場的邊長最小時的磁場區域及粒子運動的軌跡。
（2）該粒子在磁場里運動的時間t。
（3）該正三角形區域磁場的最小邊長。
[變式5]如圖所示，在平面直角坐標系中有一個垂直紙面向里的圓形勻強磁場，其邊界過原點O和y軸上的點A（0，L）。一質量為m、電荷量為e的電子從A點以初速度v0平行于x軸正方向射入磁場，并從x軸上的B點射出磁場，射出B點時的速度方向與x軸正方向的夾角為60°。求：
（1）電子在磁場中運動的軌跡半徑r；
（2）勻強磁場的磁感應強度B的大小；
（3）電子在磁場中運動的時間t。
[變式6]如圖所示，圓形區域存在磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，一電荷量為q，質量為m的粒子沿平行于直徑AC的方向射入磁場，射入點到直徑AC的距離為磁場區域半徑的一半，粒子從D點射出磁場時的速率為，不計粒子的重力.求
（1）粒子在磁場中加速度的大小；
（2）粒子在磁場中運動的時間；
（3）圓形區域中勻強磁場的半徑
[變式7]如圖所示，分布在半徑為的圓形區域內的勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里。電荷量為、質量為的帶正電粒子從磁場邊緣點處沿圓的半徑O方向射入磁場，離開磁場時速度方向偏轉了角，試求：
（1）粒子做圓周運動的半徑R；
（2）粒子的入射速度；
（3）若保持粒子的速率不變，從點入射時速度的方向順時針轉過角，粒子在磁場中運動的時間。
[變式8]如圖所示，在正方形區域abcd內充滿方向垂直紙面向里的、磁感應強度為B的勻強磁場。在t=0時刻，一位于正方形區域中心O的粒子源在abcd平面內向各個方向發射出大量帶正電的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁場中做圓周運動的半徑恰好等于正方形邊長，不計重力和粒子之間的相互作用力。已知平行于ad方向發射的粒子在t=t0。時刻剛好從磁場邊界cd上的某點離開磁場，求：（已知）
（1）粒子的比荷；
（2）從粒子發射到粒子全部離開磁場所用的時間；
（3）假設粒子源發射的粒子在各個方向均勻分布，在t=t0時刻仍在磁場中的粒子數與粒子源發射的總粒子數之比。
第12講 帶電粒子在磁場中的運動作業
如圖所示，足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，現從ad邊的中心O點處，垂直磁場方向射入一速度為v0的帶正電粒子，v0與ad邊的夾角為30°.已知粒子質量為m，帶電量為q，ad邊長為L，不計粒子的重力.
（1）求要使粒子能從ab邊射出磁場，v0的大小范圍.
（2）粒子在磁場中運動的最長時間是多少 在這種情況下，粒子將從什么范圍射出磁場
2.在以坐標原點O為圓心、半徑為r的圓形區域內，存在磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度沿-x方向射入磁場，它恰好從磁場邊界與軸的交點C處沿+方向飛出。
（1）請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷；
（2）若磁場的方向和所在空間范圍不變，而磁感應強度的大小變為B1，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了600角，求磁感應強度B1是多大？此次粒子在磁場中運動所用時間t是多少？

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