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（選修2--3）離散型隨機變量解答題精選
人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，假設撥過了的號碼不再重復，試求下列事件的概率：
（1）第次撥號才接通電話；　　
（2）撥號不超過次而接通電話.
解：設{第次撥號接通電話}，
（1）第次才接通電話可表示為于是所求概率為
（2）撥號不超過次而接通電話可表示為：于是所求概率為

出租車司機從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設他在各交通崗到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是
（1）求這位司機遇到紅燈前，已經通過了兩個交通崗的概率；
（2）求這位司機在途中遇到紅燈數ξ的期望和方差。
解：（1）因為這位司機第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈，
所以
（2）易知 ∴
獎器有個小球，其中個小球上標有數字，個小球上標有數字，現搖出個小球，規定所得獎金（元）為這個小球上記號之和，求此次搖獎獲得獎金數額的數學期望
解：設此次搖獎的獎金數額為元，
當搖出的個小球均標有數字時，；
當搖出的個小球中有個標有數字，1個標有數字時，；
當搖出的個小球有個標有數字，個標有數字時，。
所以，

答：此次搖獎獲得獎金數額的數字期望是元
4．某學生語、數、英三科考試成績，在一次考試中排名全班第一的概率：語文為，
數學為，英語為，問一次考試中
　　（Ⅰ）三科成績均未獲得第一名的概率是多少？
（Ⅱ）恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少
解：分別記該生語、數、英考試成績排名全班第一的事件為，
則
（Ⅰ）
答：三科成績均未獲得第一名的概率是
（Ⅱ）（）



答：恰有一科成績未獲得第一名的概率是
5．如圖，兩點之間有條網線并聯，它們能通過的最大信息量分別為.現從中任取三條網線且使每條網線通過最大的信息量.
（I）設選取的三條網線由到可通過的信息總量為，當時，則保證信息暢通.求線路信息暢通的概率；
（II）求選取的三條網線可通過信息總量的數學期望.
解：（I）

（II）
∴線路通過信息量的數學期望

答：（I）線路信息暢通的概率是. （II）線路通過信息量的數學期望是
6．三個元件正常工作的概率分別為將它們中某兩個元件并聯后再和第三元件串聯接入電路.
（Ⅰ）在如圖的電路中，電路不發生故障的概率是多少？
（Ⅱ）三個元件連成怎樣的電路，才能使電路中不發生故障的概率最大？請畫出此時電路圖，并說明理由.
解：記“三個元件正常工作”分別為事件，則
（Ⅰ）不發生故障的事件為.
∴不發生故障的概率為
（Ⅱ）如圖，此時不發生故障的概率最大.證明如下：
圖1中發生故障事件為
∴不發生故障概率為
圖2不發生故障事件為，同理不發生故障概率為
7．要制造一種機器零件，甲機床廢品率為，而乙機床廢品率為，而它們
的生產是獨立的，從它們制造的產品中，分別任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件廢品的概率；（2）其中至多有一件廢品的概率.
解：設事件“從甲機床抽得的一件是廢品”；“從乙機床抽得的一件是廢品”.
則
（1）至少有一件廢品的概率
（2）至多有一件廢品的概率
8．甲乙兩人獨立解某一道數學題，已知該題被甲獨立解出的概率為，被甲或乙解出的概率為，（1）求該題被乙獨立解出的概率；（2）求解出該題的人數的數學期望和方差
解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為.
設甲獨立解出此題的概率為，乙為.
則
9．某保險公司新開設了一項保險業務，若在一年內事件發生，該公司要賠償元．設在一年內發生的概率為，為使公司收益的期望值等于的百分之十，公司應要求顧客交多少保險金？
解：設保險公司要求顧客交元保險金，若以 表示公司每年的收益額，則是一個隨機變量，其分布列為：
因此，公司每年收益的期望值為．  為使公司收益的期望值等于的百分之十，只需，即， 故可得．  即顧客交的保險金為 時，可使公司期望獲益．
10．有一批食品出廠前要進行五項指標檢驗，如果有兩項指標不合格，則這批食品不能出廠．已知每項指標抽檢是相互獨立的，且每項抽檢出現不合格的概率都是．
（1）求這批產品不能出廠的概率(保留三位有效數字)；
(2)求直至五項指標全部驗完畢，才能確定該批食品是否出廠的概率(保留三位有效數字)．
解：(1)這批食品不能出廠的概率是： ．  (2)五項指標全部檢驗完畢，這批食品可以出廠的概率是：　　　　  五項指標全部檢驗完畢，這批食品不能出廠的概率是：　　　　 　　由互斥事件有一個發生的概率加法可知，五項指標全部檢驗完畢，才能確定這批產品是否出廠的概率是：．
11．高三（1）班、高三（2）班每班已選出3名學生組成代表隊，進行乒乓球對抗賽. 比賽規則是：①按“單打、雙打、單打”順序進行三盤比賽； ②代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽，不得參加兩盤單打比賽. 已知每盤比賽雙方勝出的概率均為
（Ⅰ）根據比賽規則，高三（1）班代表隊共可排出多少種不同的出場陣容？
（Ⅱ）高三（1）班代表隊連勝兩盤的概率是多少？
解：（I）參加單打的隊員有種方法.
參加雙打的隊員有種方法.
所以，高三（1）班出場陣容共有（種）
（II）高三（1）班代表隊連勝兩盤，可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負，其余兩盤勝，
所以，連勝兩盤的概率為
12．袋中有大小相同的個白球和個黑球，從中任意摸出個，求下列事件發生的概率.
(1)摸出個或個白球 (2)至少摸出一個黑球.
解： （Ⅰ）設摸出的個球中有個白球、個白球分別為事件，則

∵為兩個互斥事件 ∴
即摸出的個球中有個或個白球的概率為
（Ⅱ）設摸出的個球中全是白球為事件，則
至少摸出一個黑球為事件的對立事件
其概率為
練習：
拋擲顆骰子，所得點數之和記為，那么表示的隨機試驗結果為____________。
設某項試驗的成功概率是失敗概率的倍，用隨機變量描述次試驗的成功次數，
則_______________。
3．若的分布列為：
(
0
1
P
p
q
其中，則____________________，____________________，

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