資源簡介

一次函數
一、課標要求與內容分析
1．本章的課標要求是：（1）探索具體問題中的數量關系和變化規律；（2）通過簡單實例，了解常量、變量的意義；能結合實例，了解函數的概念和三種表示方法；能舉出函數的實例，能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析；能確定簡單的整式、分式和簡單實際問題中的函數的自變量取值范圍，并會求函數值；能用適當的函數表示法刻畫某些實際問題中變量之間的關系；結合對函數關系的分析，嘗試對變量的變化規律進行初步預測；（3）結合具體情境體會一次函數的意義，根據已知條件確定一次函數表達式；會畫一次函數圖象；根據一次函數的圖象和解析表達式y=kx+b（k≠0）探索并理解其性質（k＞0或k＜0時，圖象的變化情況＝；理解正比例函數；能根據一次函數圖象求二元一次方程組的近似解；能用一次函數解決實際問題．
2．本章的主要內容是通過一定的探索活動，抽象出函數、一次函數的概念，進而探索一次函數及其圖象的性質，并利用其解決實際問題．
3．本章是在前面學習了利用方程知識來解決實際問題的基礎上，進一步學習變量之間的關系，讓學生初步體會函數的概念，進而研究其中最為簡單的一種函數——一次函數.通過對一次函數的剖析，使學生了解函數的有關性質和研究方法，并初步形成利用函數的觀點認識現實世界的意識和能力。
4．本章的重點是一次函數的概念、圖象、性質及其應用；難點是對函數的意義的理解及函數的表示方法；關鍵是處理好新舊知識的聯系，由方程自然地向函數過渡，盡可能地減少對新知識接受的困難．
二、學法指導
在本章的學習中，要逐步透徹理解函數的概念，在理解的基礎上掌握一次函數圖象的性質，注意在解決問題過程中充分體會和運用數形結合的思想，除此之外，還要注意函數與方程、不等式、幾何知識的內在聯系，把一次函數的知識與其他學科有機地結合起來．
章末總結
知識網絡圖示
基本知識提煉整理
一、基本概念
1．函數的概念
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.
2．一次函數和正比例函數的概念
若兩個變量x,y之間的關系式可以表示成y=kx+b（k,b為常數，且k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數（x是自變量）.
特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數.
二、一次函數和正比例函數的圖象和性質
函數
圖 象
性 質
一
次
函
數
y=kx
+b
（k≠0）
過點（0，b）且平行于y=kx的一條直線
（1）當k＞0時，y隨x的增大而增大，圖象必過第一、三象限；
①當b＞0時，過第一、二、三象限；
②當b=0時，只過第一、三象限；
③當b＜0時，過第一、三、四象限.
（2）當k＜0時，y隨x的增大而減小，圖象必過第二、四象限.
①當b＞0時，過第一、二、四象限；
②當b=0時，只過第二、四象限；
③當b＜0時，過第二、三、四象限
正
比
例
函
數
y=kx
(k≠0)
過原點的一條直線
圖象過原點.
（1）當k＞0，y隨x的增大而增大，圖象必過第一、三象限；
（2）當k＜0時，y隨x的增大而減小，圖象必過第二、四象限
專題總結及應用
一、基礎知識應用
1．結合實例理解函數的概念．
2．熟練掌握一次函數和正比例函數的概念．
3．結合一次函數的圖象，熟練掌握一次函數和正比例函數的性質.
4．會求一次函數的表達式.
5.能靈活運用一次函數的圖象解決實際問題.
例1 一報亭從報社訂購某晚報的價格是每份0．7元，銷售價是每份1元，賣不掉的報紙還可以以每份0．2元的價格退回報社，在一個月內（以30天計算）有20天每天可以賣出100份，其余10天每天只能賣出60份，但每天報亭從報社訂購的份數必須相同，若以報亭每天從報社訂購報紙的份數為自變量x，每月所獲利潤為y（元）．
（1）寫出y與x之間的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（2）報亭應該每天從報社訂購多少份報紙，才能使每月獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
[分析] （1）先確定x的取值范圍，60≤x≤100，且x是正整數，然后列出函數表達式．
（2）利用一次函數的性質求出最大利潤．
解：（1）若報亭每天從報社訂購晚報x份，
則x應滿足60≤x≤100，且x是正整數．
則每月共銷售（20x＋10×60）份，退回報社10（x-60）份．
又因為賣出的報紙每份獲利0．3元，退回的報紙每份虧損0．5元，所以每月獲得的利潤為，
y=0．3(2Ox十10×6O)一0.5×1O(x-6O)=x十48O．
自變量x的取值范圍是60≤x≤100，且x是正整數．
（2）∵當60≤x≤100時，y隨x的增大而增大，
∴當x=100時，y有最大值．
y最大值=100＋480=580（元）．
∴報亭應該從報社訂購100份報紙，才能使每月獲得的利潤最大，最大利潤是580元．
小結 解有關一次函數的應用題要注意運用數形結合的方法綜合分析問題，將所學知識靈活運用，融會貫通，同時還要特別注意自變量的取值范圍的限制，它是解決問題的關鍵之一．
例2 拖拉機耕地時，每小時的耗油量假定是個常量，已知拖拉機耕地2小時油箱中余油28升，耕地3小時油箱中余油22升．
（1）寫出油箱中余油量Q（升）與工作時間t（時）之間的函數關系式；
（2）畫出函數圖象；
（3）這臺拖拉機工作3小時后，油箱中的油還夠拖拉機繼續耕地幾小時？
(分析)由兩組對應量可求出函數關系式，再畫出圖象（在自變量取值范圍內）.
解：（1）設函數關系式為Q=kt+b(k≠0).
由題意可知，
∴余油量Q與時間t之間的函數關系式是
Q=-6t+40.∵40-6t≥0, ∴t≤.
∴自變量t的取值范圍是0≤t≤.
（2）當t=0時，Q=40；當t=時，Q=0.
得到點(0，40),(,0).
連接兩點，得出函數Q=-6t+40(0≤t≤)的圖象，如圖11-53所示.
（3）當Q=0時，t=，那么-3=3(時).
∴拖拉機還能耕地3小時，即3小時40分.
小結 運用一次函數圖象及其性質可以幫助我們解決實際生活中的許多問題，如利潤最大、成本最小、話費最省、最佳設計方案等問題，我們應善于總結規律，達到靈活運用的目的.
二、數學思想方法的歸納及應用
1.函數方法
函數方法就是應用運動、變化的觀點來分析問題中的數量關系，抽象升華為函數的模型，進而解決有關問題的方法，函數的實質是研究兩個變量之間的對應關系，靈活運用函數方法可以解決許多數學問題.
例1 利用圖象解二元一次方程組
（分析）方程組中的兩個方程均為關于x,y的二元一次方程，可以轉化為y關于x的函數.由①得y=2x-2，由②得y=-x-5，實質上是兩個y關于x的一次函數，在平面直角坐標系中畫出它們的圖象，可確定它們的交點坐標，即可求出方程組的解.
解：由①得y=2x-2，
由②得y=-x-5.
在平面直角坐標系中畫出一次函數y=2x-2，y=-x-5的圖象如圖11-54所示.
觀察圖象可知，直線y=2x-2與直線y=-x-5的交點坐標是(-1，-4).
∴原方程組的解是
小結 解方程組通常用消元法.但如果把方程組中的兩個方程看作是兩個一次函數，畫出這兩個函數的圖象，那么它們的交點坐標就是方程組的解.
例2 我國是一個嚴重缺水的國家，大家應該倍加珍惜水資源，節約用水，據測試，擰不緊的水龍頭每秒會滴下2滴水，每滴水約0.05mL.小明同學在洗手時，沒有把水龍頭擰緊，當小明離開x小時后，水龍頭滴了ymL水.
（1）試寫出y與x之間的函數關系式；
（2）當滴了1620mL水時，小明離開水龍頭幾小時？
（分析）已知擰不緊的水龍頭每秒滴2滴水，又∵1小時=3600秒，∴1小時滴水3600×2滴，又∵每滴水約0.05mL，∴每小時約滴水3600×2×0.05＝360mL.
解：（1）y與x之間的函數關系式為x=360x(x≥0).
（2）當y=1620時，有360x=1620，
∴x=4.5.
∴當滴了1620mL水時，小明離開水龍頭4.5小時.
2.數形結合法
數形結合法是指將數與形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思想方法.數形結合法在解決與函數有關的問題時，能起到事半功倍的作用.
例3 如圖11－55所示，一次函數的圖象與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，如果A點的坐標為A（2，0），且OA=OB，試求一次函數的解析式.
（分析）通過觀察圖象可以看出，要確定一次函數的關系式，只要確定B點的坐標即可，因為OB=OA=2，所以點B的坐標為（0，-2），再結合A點坐標，即可求出一次函數的關系式.
解：設一次函數的關系式為y=kx+b(k,b為常數，且k≠0).
∵OA=OB，點A的坐標為(2，0),
∴點B的坐標為(0，-2).
∵點A，B的坐標滿足一次函數的關系式y=kx+b，
∴ ∴
∴一次函數的關系式為y=x-2.
【說明】 利用函數圖象研究數量之間的關系是數形結合思想的具體運用，在解決有關函數問題時有著重要的作用.
3.分類討論法
分類討論法是在對數學對象進行分類的過程中尋求答案的一種思想方法.分類討論法既是一種重要的數學思想，又是一種重要的教學方法.分類的關鍵是根據分類的目的，找出分類的對象，分類既不能重復，也不能遺漏，最后要全面總結.
例4 在一次遙控車比賽中，電腦記錄了速度的變化過程，如圖11－56所示，能否用函數關系式表示這段記錄？
（分析）根據所給圖象及函數圖象的增減性，本題要分三種情況進行討論.電腦記錄提供了賽車時間t(s)與賽車速度υ(m/s)之間的關系，在10s內，賽車的速度從0加速到7.5m/s，又減至0，因此要注意時間對速度的影響.
解：觀察圖象可知，
當t在0～1s內時，速度υ與時間t是正比例函數關系，
υ=7.5t（0≤t≤1）；
當t在1～8s內時，速度υ保持不變，
υ=7.5（1＜t≤8）；
當t在8～10s內時，速度υ與時間t是一次函數關系，
υ=-3.75t+37.5（8＜t≤10＝.
例5 某商場計劃投入一筆資金采購一批緊俏商品，經過市場調查發現，如果月初出售可獲利15%，并可用本利和再投資其他商品，到月末又可獲利10%；如果月末出售可獲利30%，但要付倉儲費用700元，問他如何銷售獲利較多？
（分析）兩種方式獲利多少與投入資金有關，需要分類討論，題中的三個百分比是對投資來講的，設該商場投入資金x元，則按不同方式銷售的獲利情況：月初出售共獲利15%x+(x+15%)·1O%；月末出售共獲利3O%x-700.然后比較兩種銷售方式獲利的多少.
解：設商場計劃投資x元，在月初出售共獲利y1元，在月末出售共獲利y2元，根據題意，得
y1=15%x+（x+15%x）·10%=0.265x，
y2=30%x-700=0.3x-700.
∴y1-y2=0.265x-(0.3x-700)=700-0.035x.
①當y1-y2=0時，有700-0.035x=0，∴x=20000.
∵當x=20000時，兩種銷售方式獲利一樣多.
②當y1-y2＞0時，有700-0.035x＞0，∴x＜20000.
∴當x＜20000時，y1＞y2.即月初出售獲利較多.
③當y1-y2＜0時，有700-0.035x＜0，∴x＞20000.
∴當x＞20000時，y1＜y2.即月末出售獲利較多.
【說明】進行有關問題的分類討論，要全面考察，可根據圖形或題意找出所有可能的情況，然后進行總結.
4.方程方法
方程方法是指對所求數學問題通過列方程（組）使問題得解的方法.在函數及其圖象中，方程方法的應用主要體現在運用待定系數法確定函數關系式中.
例6 已知一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象經過點A（-3，-2）及點B(1，6),求此函數關系式，并作出函數圖象.
(分析) 可將由已知條件給出的坐標分別代入y=kx+b中，通過解方程組求出k，b的值，從而確定函數關系式.
解：由題意可知，
∴函數關系式為y=2x+4.
圖象如圖11－57所示.
【說明】 一次函數y=kx+b中含有兩個待定系數k,b，根據待定系數法，只要列出方程組即可.
例7 科學家通過研究得出：一定質量的某種氣體在體積不變的情況下，壓強p(kPa)隨溫度t(℃)變化的函數關系式是p=kt+b，其圖象如圖11－58所示的直線.
（1）根據圖象求出上述氣體的壓強P與溫度t之間的函數關系式；
（2）當壓強p為200kPa時，求上述氣體的溫度.
(分析) 要求出p與t之間的函數關系式，需知圖象上的兩個點的坐標，由圖象可知，點
（25，110）,(50，120)在該圖象上，通過解方程可得關系式.
解：（1）觀察圖象可知，點(25，110),(50，120)在該圖象上.
∴
∴函數關系式為p=t+100.
（2）當p=200時，有
200=t+100，
∴t=250.
∴當壓強P為200kPa時，氣體的溫度是250℃.

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