資源簡介

高中數學基本定理、公式匯編
函數
一．函數的單調性與奇偶性
1.如果函數y=f(x)的定義域是關于原點對稱的,則
奇函數 <===> f(x)= f(x) <===> f(x)+f(x)=0;
偶函數 <===> f(x)=f(x) <===> f(x) f(x)=0.
2.在公共定義域內:兩個奇函數的乘積是偶函數;兩個偶函數的乘積是偶函數;一個奇函數與一個偶函數的乘積是奇函數;
3.研究函數的單調性,首先必須弄清它的定義域;
4.判斷函數單調性的基本方法是:1、定義法，2、導數法,
5.用復合函數的單調性質判斷函數的單調性,首先必須弄清復合關系,再用"同增(或同減)者增;一增一減、一減一增者減".
二. 一次函數、二次函數
1. 一次函數的標準形式是:y=kx+b(k≠0),圖象是直線,當k>0時,單調遞增;k<0時,單調遞減;當b=0時,直線過原點,稱之為正比例函數,是奇函數.
2. 二次函數的標準形式是:y=ax2+bx+c(a≠0),其圖象是開口向上(或下)的拋物線,對稱軸是x= ,頂點坐標O' ( ,).
3. 求二次函數表達式的方法主要是待定系數法,
標準形式(一般形式):y=ax2 +bx+c(a≠0).
頂點式:,其中頂點坐標為.
兩點式: y=a(xx1 )(xx2),其中x1 ,x2為圖象與x軸交點橫坐標.
三. 冪函數、指函數、對數函數
1. 冪函數的標準形式是:y=xα (其中x是自變量,α為常數),
①當α為正有理數時,圖象過(0,0)和(1,1)兩個點,在x>0時,單調遞增;
當α為負有理數時,圖象都過(1,1)一個點,在x>0時單調遞減;
②所有冪函數的圖象都不經過第四象限;
2. 指數函數的標準形式是: y=ax (a>0且a≠1),定義域為R,值域為;
1時,單調遞增;0 3. 對數函數的標準形式是: y=loga x (a>0且a≠1),定義域為,值域為R;
a>1時,單調遞增;04. 對數恒等式 換底公式
5．對數運算法則

6．指數冪運算法則
四. 函數圖象
1、函數作圖的一般步驟：
確定函數定義域；化簡函數，分析函數，確定作圖方法。
分析函數的性質，如奇偶性、對稱性、單調性等。
確定函數圖象的關鍵點，如曲線的頂點、端點、與坐標軸的交點等；確定函數圖象的關鍵線，如對稱軸、漸近線等。
2、函數作圖的常用方法：
運用基本函數的圖象作圖；
視函數為方程作圖；
變換作圖；
平移變換：的圖象向左平移a (a>0)個單位，向上平移b（b>0）個單位得的圖象；的圖象向右平移a個單位，向下平移b個單位得的圖象。
伸縮變換：的圖象上各點縱坐標變為b（b>0）倍,橫坐標變為原來的k(k>0)倍，所得圖象的函數解析式為。
對稱變換：(1).函數y=f(x)的圖象與它的反函數y=的圖象關于y=x對稱;
(2).函數y=f(x)的圖象分別與y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)的圖象關于x軸、y軸、坐標原點對稱,
(3).函數y=｜f(x)｜的圖象是保留y=f(x)的圖象在x軸上方(包括x軸上的點)的部分,再加上把y=f(x)的圖象在x軸下方的部分關于x軸對稱得到的圖形.
(4).y=f(｜x｜)的圖象是在x≥0時的區間上y=f(x)的圖象,再加上在x<0的區間上將右邊的圖形關于y軸對稱所得的圖形;
(5)對于函數y=f(x)： 若對定義域內的每個x值，都有f(a+x)=f(ax)或f(2ax)=f(x) ，
則f(x)的圖象關于直線x=a對稱； 若對定義域內的每個x值，都有f(a+x)+f(ax)=2b或
f(2ax)+f(x)=2b ，則f(x)的圖象關于點(a，b)對稱；
函數y=f(xa)與函數y=f(ax)的圖象關于直線x= a對稱；
函數與函數的圖象關于直線對稱.
五. 函數的值域或最值
1．求函數的值域(最值),必須重視函數的定義域, 解應用問題時,在目標函數后必須寫清定義域;
2．求函數的值域(或最值)的常用方法主要是:
(1)直接觀察; (2)用二次函數的最值公式; (3)用實系數一元二次方程的根的判別式;
(4)求反函數的定義域; (5)配方法; (6)利用已知基本初等函數的值域,如:｜sinx｜≤1,
ax >0(a>0且a≠1)等; (7)用均值不等式(注意:正,定,等三條缺一不可);
(8)用已知函數的單調性求,如:二次函數,三角函數,函數y=ax(a>0,b>0,x>0)在(0,)單調遞減,在[,+∞)單調遞增,(需證); (9)換元法.有代數換元和三角換元兩種,前者要注意新元的范圍,后者要使變元(角)的范圍最小; (10)數形結合,注意發現條件和目標函數隱含的幾何意義.
六、函數與方程
1．方程有實數根函數的圖象與x軸有交點函數有零點。
2．零點存在性定理：函數在區間上的圖象是連續的，且，那么函數在區間上至少有一個零點。
三角函數
一、基礎知識要點
1．角的概念
（1）角度與弧度的互化: 1°=弧度← 180°= π弧度 →1弧度 =
（2）弧長公式:L = │α│r ;扇形面積公式: s =Lr =│α│r2
（3）所有與α終邊相同的角β都可以寫成 β = α+ k·360°(k∈Z)或
β = α+ 2kπ(以下k∈Z)的形式.
2．三角函數定義: 任意角終邊上的一點P(x,y)到原點的距離為r(r>0) , 則
sin= cos= tan=
3．同角三角函數基本關系式：
tan= sin+cos=1
4．誘導公式：
sin(+)=sin cos(+)=cos tan(+)= tan
sin()= sin cos()=cos tan()=tan
sin()=sin cos()= cos tan()=tan
sin(2)=sin cos(2)=cos tan(2)=tan
sin()=cos cos()=sin sin(+)=cos cos(+)=sin
5．兩角和與差的三角函數：
sin()=sincoscossin cos()=coscos sinsin
tan()= tan()=
6．二倍角的三角函數：
sin2=2sincos cos2=cossin=2cos1=12sin tan2=
7．萬能公式： ；；．
8．化一個角的一個三角函數公式: asinα+ bcosα=
其中的輔助角ψ所哪個象限由點(a,b)的象限決定,ψ的值由tanψ= 確定.

9.三角函數的圖象與性質
函數名稱
y = sinx
y = cosx
y = tanx
圖
象
奇偶性
奇函數
偶函數
奇函數
周期性
T=2π
T=2π
T=π
單調區間
增[2kπ-,2kπ+]
減[2kπ+,2kπ+]
增[2kπ+,2kπ+2]
減[2kπ,2kπ+]
增（kπ-, kπ+）
對稱性
對稱軸 x=kπ+
對稱中心（kπ,0）
對稱軸 x=kπ
對稱中心
（kπ+,0）
對稱中心
（,0）
最大值
x=2kπ+時，y=1
x=2kπ時，y=1
無
最小值
x=2kπ-時，y=-1
x=2kπ+時，y=-1
無
周期函數 f(x+T)=f(x) ,(T是不為零的常數) ,其中nT都是f(x)的周期(n∈Z,n0)
(2)周期:
y = Asin(ωx+ψ)+m及y = Acos(ωx+ψ)+m的周期T =
y = Atan(ωx+ψ)+m的周期T =
（3）三角函數的變換作圖. 主要掌握以下幾種基本變換:
y = sinx y = sin(x+ψ) y = sin(ωx+ψ)
(ω>0)
y = sinx y = sin(ωx) y = sin(ωx+ψ) (ω>0)
二、解三角形
1. 三角形內角和 A+B+C=π ;
2.有關斜三角形的幾個結論
(1)正弦定理: .
(2)余弦定理:
由此可知:當 時 C > 90° ; 當時 C < 90°.
(3) 面積公式: S = absinC = bcsinA = acsinB= 2R2sinAsinBsinC = .
不等式
一．不等式性質
對稱性 a>b bb>0 , nNa>b
傳遞性 a>b , b>c a>c 6．開方 a>b>0 , nN
加法 a>b a+c>b+c 7．倒數 a>b , ab>0
a>b , c>d a+c>b+d
乘法 a>b , c>0 ac>bc
a>b , c<0 aca>b >0 , c>d>0 ac>bd
二．均值不等式
1．a ,b Ra+b2ab 2．a ,b Ra+b2
（當且僅當 a = b 時 , 取等號）
3．a ,b ，cR a+b+c3abc 4．a ,b ，cRa+b+c3
（當且僅當 a = b=c 時 , 取等號）
5．a ,b R （當且僅當 a = b 時 , 取等號）
三. 絕對值不等式
1．a x>a 或 x0)
2．
四. 柯西不等式
1．代數形式：設均為實數，則
2．一般形式：設，
則其中等號成立的條件：當且或存在一個，使時，等號成立。
五．排序不等式：設為兩組實數，是的任一排列，則
六．不等式證明
常見方法：1.比較法 （作差，作商） 2.綜合法 3.分析法 4.反證法 5.數學歸納法
七．不等式解法
1．一元一次不等式 ，一元二次不等式
2．指數不等式的解法：
當a.>1時 ，
當0 3．對數不等式的解法：
f (x) >0
當a.>1時 ， g (x) >0
f (x) > g (x)
f (x) >0
當00
f (x) < g (x)
6．注意換元法在解不等式中的運用：如解不等式 (logx)+3 logx4 > 0
數列
一．等差數列、等比數列
1．定義和等價形式
等差數列：， ，
，
等比數列： ，
2．通項與求和公式
等差數列： 等比數列：
3．等差中項 等比中項
4．性質
等差數列：（1）
（2）m + n = p + q
（3）也成等差數列
（4）若{an} , {bn }是等差數列,Sn ,Tn 分別為{an} , {bn }的前n項和,則

等比數列 （1）
（2）m + n = p + q
（3）也成等比數列
一般數列的前n項和與通項的關系式

一般數列的前n項和求法
（1）公式法 ①分解為等差數列或等比數列，分組求和
②利用已知公式，如

（2）裂項法求和: 適用于通項是分式形式的數列;
如:;;
（3）錯位相減法求和:適用于通項an =bn ·cn ,其中{bn}是等差數列,{cn}是等比數列;
如:求數列的前n項和
解析幾何
直線
數軸上兩點間距離公式：
直角坐標平面內的兩點間距離公式：
若點，點P分有向線段成定比λ，則：
λ==； = =
4、直線斜率的定義式為，兩點式為k =
5、直線方程的幾種形式：
點斜式：， 斜截式：
兩點式：， 截距式：
一般式：
6、直線與的夾角θ滿足：
7、點到直線的距離：
8、兩條平行線的距離是
二．圓
圓的標準方程是： ( r >0 )
圓的一般方程是：
其中，半徑是，圓心坐標是
三．圓錐曲線
1、橢圓的定義：（1）
（2） （02、橢圓標準方程的兩種形式是：和 。
3、橢圓的焦點坐標是，準線方程是，
離心率是，其中
4、若點是橢圓上一點，是其左、右焦點，則點P的焦半徑的長是和 ；
若點是橢圓上一點，是其下、上焦點，則點P的焦半徑的長是和
5、雙曲線的定義：（1）
（2） （e>1）
6、雙曲線標準方程的兩種形式是：和
7、雙曲線的焦點坐標是，準線方程是，離心率是，漸近線方程是，其中
8、若點是雙曲線上一點，是其左、右焦點，則點P的焦半徑的長是和
9、與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是
10、拋物線的定義： （ 拋物線的離心率e = 1 ）
11、拋物線標準方程的四種形式是：
(p>0 )
12、拋物線的焦點坐標是：，準線方程是：
若點是拋物線上一點，則該點到拋物線的焦點的距離（稱為焦半徑）是： ，過該拋物線的焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦（稱為通徑）的長是：
13、若直線與圓錐曲線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為 ；
極坐標互化公式：
參數方程
經過點傾斜角為的直線參數方程的標準形式
，參數t的幾何意義：表示直線上以定點為起點，任意一點為終點的有向線段的數量。
若點P1、P2、P是直線上的點，它們在上述參數方程中對應的參數分別是 則：；當點P分有向線段時，；當點P是線段P1P2的中點時，
2、圓心在點，半徑為的圓的參數方程是：
3、中心在原點焦點在x軸上的橢圓參數方程是： （為參數）
求軌跡方程的常見類型及其解法
直接法：直接列方程，化簡 ；
定義法 ：先判斷軌跡是何種曲線，再求方程 ；
代入法（坐標轉移法）：將所求軌跡上的點的坐標轉移到已知曲線上；
參數法：引入參數，建立參數方程
立體幾何
一、有關平行的證明
1、
線∥線
⑴公理4 ⑵ ⑶ ⑷
l1∥l2 l1∥α α∥β
l1∥l3 l1∥l2 l1∥l2 l1∥l2
l2∥l3 α∩β=l2
線∥線線∥線 線∥面線∥線 面∥面線∥線 同垂直于一個平面線∥線
2、
線∥面
⑴ ⑵
α∥β
a∥α a∥β
a∥b
線∥線線∥面 面∥面線∥面
3、
面∥面
⑴ ⑵


α∥β α∥β
a∥α
b∥β
線∥面面∥面 同垂直于一直線面∥面
二、有關垂直的證明
1、
線⊥線
⑴ ⑵ ⑶
a∥b 三垂線定理 ⊥射影⊥斜線
平面內直線
逆定理 ⊥斜線⊥射影
（線⊥面線⊥線） （線⊥線線⊥線）
2、
線⊥面
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

a∥b α∥β



(線⊥線線⊥面)
3、
面⊥面



（線⊥面面⊥面）
三．位置關系
空間直線的位置關系有三種：
a∥b?。ǎ玻。ǎ常゛　，b是異面直線
　　　?。?、空間直線與平面的位置關系有三種：
（１）?。ǎ玻。ǎ常゛∥α
　　　　３、空間兩個平面的位置關系有兩種：（１）α∥β　?。ǎ玻?br/>四．空間角
兩條異面直線所成的角α的范圍為　0°<α≤90°
向量法求異面直線所成的角：設直線則有
（當兩方向向量的夾角為鈍角時，應取其補角作為異面直線所成的角）。
直線與平面所成的角的范圍是　0°≤α≤90°;
求二面角的大小的常用方法
（1）先作出平面角,再求平面角的大小
作平面角的方法常見的有三種
①根據定義,過棱上一點在兩半平面內分別作棱的垂線;
②作二面角棱的垂直平面;
z③用三垂線定理或逆定理
（2）向量法：
①若AB、CD分別是二面角的兩個面內與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角。(如圖1)

②設是二面角的兩個角的法向量，則向量與的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小。（如圖2）
五．距離
點到平面的距離 ：垂線段的長；化為線面距離；利用體積相等；利用向量知識
七．面積與體積
1、面積：（-底面周長，-直截面周長，-高，-斜高，
-側棱長或母線長，-底面半徑，R-球的半徑）
直棱柱側面積：，斜棱柱側面積：；
正棱錐側面積：，圓柱側面積：，
圓錐側面積：，球的表面積：
圓錐側面展開圖（扇形）的圓心角公式： （弧度）
2、體積公式：
柱體：， 圓柱體：
錐體：， 圓錐體：
球體：
復數
一.復數的概念:
復數相等:
復數的模： =
排列組合、二項式定理
1．加法原理、乘法原理
2．排列數公式是：==；
排列數與組合數的關系是：
組合數公式是：==；
組合數性質： = +=

3．二項式定理：
二項展開式的通項公式：
平面向量與空間向量
1．坐標運算：設，則
設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則.
3．實數與向量的積的運算律:
設，則λ，
4．向量的數量積：
定義： .
坐標運算:設 ,則
向量在上的射影：||cos，其中為和的夾角
5．重要定理、公式:
平面向量的基本定理
如果 和 是同一平面內的兩個不共線向量 ,那么對該平面內的任一向量 ,有且只有一對實數 ,使
兩個向量平行（共線）的充要條件
設 ，則
兩個非零向量垂直的充要條件
設 ，則
線段的定比分點坐標公式
設P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ，則
平移公式
如果點 P（x，y）按向量 平移至P′（x′，y′），則
6．空間向量基本定理：
給定空間一個基底,且對空間任一向量,存在唯一的有序實數組（x,y,z）使， （x,y,z）叫做向量在基底上的坐標.
設O、A、B、C是不共面的四點,則對空間任一點P,都存在唯一的有序實數組x,y,z使
7．空間向量的直角坐標運算
設,則



設A=, B=, 則
=
，
8．空間向量重要結論
中點坐標公式：若M為AB的中點，則
三點共線：P，A，B三點共線
共面向量：若，是不共線的向量，則與，共面= x+ y
四點共面：點P在平面MAB內
（ x+y+z = 1 ）
概率與統計
1．等可能事件的概率
P（A）= （m為A中所含基本事件數，n為基本事件總數）
2．若事件A、B為互斥事件,則P（A+B）=P（A）+P（B）
3．若事件A、B為相互獨立事件,則P（A·B）=P（A）·P（B）
4．若事件A、B為對立事件,則P（A）+P（B）=1 一般地,
5．如果在一次試驗中某事件發生的概率是p,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生K 次的概率
6．離散型隨機變量的分布列的性質:
① ②.
7．若離散型隨機變量ξ的分布列為
ξ
X1
X2
…
xn
…
p
P1
P2
…
pn
…
則ξ的數學期望
Eξ=
數學期望的性質
設a、b為常數，則E（aξ+b）= a Eξ+b
若ξ～B（n，p），則Eξ= np
ξ的方差為
Dξ=（x1 Eξ）2·p1 +（x2 Eξ）2·p2 + … +（xn Eξ）2·pn + …
方差的性質
設a、b為常數，則D（aξ+b）= a2 Dξ
若ξ～B（n，p），則 Dξ= np（1p）
8．抽樣方法：簡單隨機抽樣 ，系統抽樣 ，分層抽樣
9．用最小二乘法求線性回歸方程系數公式 ，.
10．正態分布
①正態總體函數（隨機變量ξ的概率密度函數）
，，其中表示總體平均值，表示標準差，其分布叫做正態分布，記作N（，2），函數的圖象叫正態曲線（密度曲線）.
②在正態分布中，當，=0，=1時，叫做標準正態分布，記作N（0，1）.
③標準正態分布表中，相應于的值=P.
④正態總體N（，2）取值小于x的概率F（x）=.
⑤若<0,則=1,從而可利用標準正態分布表.
⑥若ξ～ N（，2）, 則
=
導數與積分
1．定義：
2．函數在點處的導數的幾何意義,就是曲線在點P（,f（））處的切線的斜率.
4．幾個重要函數的導數
①,（C為常數） ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
5．導數的四則運算法則
① ② ③
導數的應用
可導函數求單調區間或判斷單調性的方法：使>0的區間為單調增區間,使<0的區間為單調減區間.
可導函數求極值的步驟:
ⅰ.求導數
ⅱ.求方程=0的根
ⅲ.檢驗在方程的根的附近左右值的符號,若左正右負,則在這個根處取極大值,若左負右正,則在這個根處取極小值.
8．定積分
（1）定積分的定義
（2） 定積分的幾何意義
表示介于之間的各部分曲邊梯形面積的代數和，在上方的面積取正號，在在下方的面積取負號。
（3）微積分基本定理（牛頓—萊布尼茲公式）
如果是區間上的連續函數，并且那么
數學歸納法
1、用于證明與正整數n有關的數學命題
2、數學歸納法證明命題的步驟：（1）驗證n取第一個值時命題成立 ，（2）假設當n = k時命題成立，證明當n = k+1時命題也成立。在完成了以上兩個步驟后，就可以斷定命題對于從開始的所有正整數n都成立。
3、數學歸納法的應用：
（1）證明等式 （2）證明整除性 （3）證明幾何問題
（4）證明不等式 （5）先猜想，再利用數學歸納法證明
附：比例的幾個性質
1、比例基本性質：
2、反比定理：
3、更比定理：
4、合比定理；
5、分比定理：
6、合分比定理：
7、分合比定理：
8、等比定理：若，，
則

幾何證明選講
平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。
平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得對應線段成比例。
直角三角形射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項，兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。
圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧的度數一半
推論：（1）直徑（或半圓）所對的圓周角是直角。
（2）同弧或等弧所對的圓周角相等。
（3）等于直角的圓周角所對的弦是圓的直徑。
5．弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半。
推論：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角。
6．切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項
7．相交弦定理：圓內的兩條相交弦被交點分成的兩條線段長的積相等。